聚甲基丙烯酸甲酯的应用研究

聚甲基丙烯酸甲酯的应用研究
聚甲基丙烯酸甲酯的应用研究

聚甲基丙烯酸甲酯的应用研究

【摘要】随着科技的快速发展,各种有机材料逐渐进入大家的日常生活中,其中,聚甲基丙烯酸甲酯,也就是俗称的有机玻璃,在生活的方方面面都有它的使用,多方面的应用源于对它长久的研究和开发。

关键词:聚甲基丙烯酸甲酯;应用;研究

Abstract:With the rapid development of science and technology, all kinds of organic materials into everyone's daily life, among them, poly (methyl methacrylate (mma), also known as organic glass, in all aspects of life has its own use, from a variety of applications for its research and development for a long time.

Key words: poly(methyl methacrylate);application;research

目录

摘要 (1)

Abstract (1)

一、聚甲基丙烯酸甲酯应用研究的背景与意义 (3)

(一)聚甲基丙烯酸甲酯研究的背景 (3)

(二)聚甲基丙烯酸甲酯研究的意义 (3)

二、聚甲基丙烯酸甲酯的应用范围 (3)

(一)汽车工业方面 (3)

(二)医药行业方面 (3)

(三)工业应用方面 (3)

(四)日用消费品方面方面 (3)

三、聚甲基丙烯酸甲酯的改性研究 (3)

(一)改性原因 (3)

(二)耐热改性 (3)

(三)耐磨损改性 (4)

(四)阻燃改性 (4)

参考文献 (5)

一、聚甲基丙烯酸甲酯应用研究的背景与意义

(一)聚甲基丙烯酸甲酯研究的背景

聚甲基丙烯酸甲酯也叫亚克力或者亚加力。都是英文Acrylic的中文叫法,翻译过来其实就是有机玻璃。化学名称为聚甲基丙烯酸甲酯。香港人多叫亚加力,是一种开发较早的重要热塑性塑料,具有较好的透明性、化学稳定性和耐候性,易染色,易加工,外观优美,在建筑业中有着广泛的应用。有机玻璃产品通常可以分为浇注板、挤出板和模塑料。

(二)聚甲基丙烯酸甲酯研究的意义

聚甲基丙烯酸甲酯属于丙烯酸系树脂的一种,它是一种无定形聚合物,其玻璃化转变温度(Tg)=104℃,有着优异的光学性能(透过波长287~2600nm)和表面性能(光泽度好、手感丰满等)以及良好的耐候性、化学稳定性、良好的绝缘性、良好的加工性能、机械性能。自30年代问世以来,已广泛应用于多种行业及领域。然而,聚甲基丙烯酸甲酯的使用温度低,在80~90℃便开始软化变形,耐热性差,表面硬度小,吸湿大等缺点限制了它的应用范围,因此,聚甲基丙烯酸甲酯的研究仍有其重要意义。

二、聚甲基丙烯酸甲酯的应用范围

(一)汽车工业方面

信号灯设备、仪表盘汽车尾灯、信号灯、路标

(二)医药行业方面

储血容器

(三)工业应用方面

有机玻璃压克力(亚克力)主要应用于建筑采光体、透明屋顶、棚顶、电话亭、楼梯和房间墙壁护板等方面;卫生洁具方面有浴缸、洗脸盆、化妆台等产品。此外还有影碟、灯光散射器、电子产品的按键,

(四)日用消费品方面

饮料杯、文具、家具配件、亚力克工艺品、亚力克化妆盒。

三、聚甲基丙烯酸甲酯的改性研究

(一)改性原因

有机玻璃在使用过程中受温度的影响很大, 例如, 在典型机械加工( 挤出、注塑、切割和热成型) 中其受温度或加工剪切速度的影响易引起有机玻璃自解聚, 即: 降解, 回到MMA 单体状态而逸出, 同时在聚合过程中因有氧气的参与会生成很多不稳定的基团, 造成加工和化学性能的不稳定。

1 有机玻璃( PMMA) 热稳定性差的原因

有机玻璃( PMMA) 聚合终止有两种方式, 偶合终止和歧化终止。实验测定: MMA 在60℃以下聚合两种方式都有; 在60℃以上主要以歧化终止为主, 而歧化终止是在聚合物中生成C = C 双键, 我们知道它的键能是很低的, 而且化学性能很活泼, 能与很多其他的化学试剂反应, 产生不稳定聚合物, 因而导致有机玻璃( PMMA) 热稳定性差。

(二)耐热改性

PMMA是典型的无定型高分子材料,改善其耐热性的最有效方法是使大分子链段活动性减小。根据这一原理,在保持PMMA原有性能,尤其是透明性的前提下,通常采用以下几种途径来提高PMMA的耐热性能。

1 增加链段刚性

增加聚合物分子链段刚性的主要方法有:在PMMA主链上引入大体积基团的刚

性侧链。在PMMA主链上引入环状结构。

2 形成主价交联

PMMA为线型结构,加入交联剂后分子链之间直接成链,使其由线型结构变为体型结构,大大降低了分子链段的活

动能力,从而可以显著提高有机玻璃的耐热性能、机械强度和耐磨性能。

3 增强高分子链间的相互作用力

增强高分子链间的相互作用力,也就是使高分子链之间形成副价交联,与主价交联相比,副价交联既能提高聚合物的性能又能保持聚合物的线型结构,不影响其加工成型。

(三)耐磨损改性

PMMA虽然具有良好的透明性,但是其表面硬度低,磨性差,使用过程中易产生擦伤磨损,致使透明性下降,不仅

严重影响制品的外观质量,而且使其耐应力开裂性和机械强度都明显降低,使制品的使用寿命大大缩短。因此,必须对其进行耐磨损改性。可以通过改进分子链结构、纳米复合改性和利用表面涂层改性来解决问题。

(四)阻燃改性

PMMA的氧指数只有17,是一种极易燃烧的聚合物材料,因此对其进行阻燃改性具有十分重要的意义。同其他聚合物材料一样,PMMA的阻燃改性正朝着低烟、无毒、无卤和环境友好的方向发展。采用的主要方法有外加阻燃剂或对PMMA分子链进行化学改性,赋予聚合物本身以适当的阻燃性能。目前常用的方法有以下几种:1 纳米粘土改性阻燃,2 无机金属氢氧化物填充阻燃,3 化学改性阻燃

参考文献

[1]彭治国.制造技术与机床.2013年第3期.144-144

[2]刘继纯李晴媛付梦月张玉柱罗杰 .河南科技大学化工与制药学院,高分子科学与纳米技术重点实验室 .化工新型材料 .第37卷第1期 .2009年1月 .5-7

[3] 张宇宗 .关于改善聚甲基丙烯酸甲酯( PMMA ) 性能的研究.黑龙江中盟龙新化工有限公司 .内蒙古石油化工. 2011 年第6期 . 15-16

小学奥数之容斥原理

五.容斥原理问题 1.有100种赤贫.其中含钙的有68种,含铁的有43种,那么,同时含钙和铁的食品种类的最大值和最小值分别是( ) A 43,25 B 32,25 C32,15 D 43,11 解:根据容斥原理最小值68+43-100=11 最大值就是含铁的有43种 2.在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知:(1)某校25名学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题;(2)在所有没有解出第一题的学生中,解出第二题的人数是 解出第三题的人数的2倍:(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1人;(4)只解出一道题的学生中,有一半没有解出第一题,那么只解出第二题的学生人数是( ) A,5 B,6 C,7 D,8 解:根据“每个人至少答出三题中的一道题”可知答题情况分为7类:只答第1题,只答第2题,只答第3题,只答第1、2题,只答第1、3题,只答2、3题,答1、2、3题。 分别设各类的人数为a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123 由(1)知:a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123=25…① 由(2)知:a2+a23=(a3+ a23)×2……② 由(3)知:a12+a13+a123=a1-1……③ 由(4)知:a1=a2+a3……④ 再由②得a23=a2-a3×2……⑤ 再由③④得a12+a13+a123=a2+a3-1⑥ 然后将④⑤⑥代入①中,整理得到 a2×4+a3=26 由于a2、a3均表示人数,可以求出它们的整数解: 当a2=6、5、4、3、2、1时,a3=2、6、10、14、18、22 又根据a23=a2-a3×2……⑤可知:a2>a3 因此,符合条件的只有a2=6,a3=2。 然后可以推出a1=8,a12+a13+a123=7,a23=2,总人数=8+6+2+7+2=25,检验所有条件均符。 故只解出第二题的学生人数a2=6人。 3.一次考试共有5道试题。做对第1、2、3、、4、5题的分别占参加考试人数的95%、80%、79%、74%、85%。如果做对三道或三道以上为合格,那么这次考试的合格率至少是多少? 答案:及格率至少为71%。 假设一共有100人考试 100-95=5 100-80=20 100-79=21 100-74=26 100-85=15 5+20+21+26+15=87(表示5题中有1题做错的最多人数)

聚甲基丙烯酸甲酯

聚甲基丙烯酸甲酯(PMMA)大量供应化妆品用PMMA微粉PMMA塑料的性能简介: 聚甲基丙烯酸甲酯PMMA 又叫有机玻璃。压克力。顾名思义, 因良好的光学透明性而著名。它不但具有很高的透光率(92%),而且机械强度高。重量轻、耐紫外线老化优良的电性能等特点。PMMA的不足之处是表面硬度不够、耐热性差、冲击强度不高,尤其对缺口冲击敏感等。改性后的PMMA其性能变得更加优异。 性质:非晶体聚合物,92%光线穿透率,热变性温度介于74°C~102°C 间。 优点:1、高光学透明性;2、耐候性佳;3、刚性佳;4、易染色。 用途:灯罩、窗玻璃、标示牌、光学透镜、硬式隐形眼镜、汽车零件。PMMA塑料的用途简介: 广泛用于:光学仪器:制作各种光学镜片,如眼镜、放大镜、各种透镜以及激光扫描控制的慢转录像带等。 文具及日用品:制作各种制图用具、示教模型、标示防护罩,灯具、各种笔杆、纽扣、发夹、糖果盒、肥皂盒、各种容器及其它日用装饰品。建筑方面:室内外照明及非照明信号显示、天花板照明设备,高级装饰品(如雕塑品等)、家具、隔板材料等。太阳能集热器的外罩、室内紫外灯操作的日关浴床,可制作彩色有机玻璃浴缸、脸盆等。其它方面:可用作医疗器械,如假肢、假牙、医用导光的基本原料。还可作无机硅玻璃的代替品。用于宇宙器械、指示灯罩、表面覆盖板、汽车及摩托的挡风玻璃。

化妆品用PMMA微粉 中文名称:聚甲基丙烯酸甲酯 产品描述: 1.具有优异的吸油性能,可以较好地吸收皮脂、汗液等皮肤分泌物;2.高折射率的特点使入射光线产生散射,淡化面部明暗对比,实现遮瑕效果; 3.球形的构造赋予化妆品良好的滑爽性和优异的柔滑手感; 4.用于含有有机溶剂(乙醇等)的液体化妆品中具有良好的分散性和稳定性; 5.透明的特性可使部分光线透过,降低面部的苍白感,达到自然的效。物化性质: 外观:白色微粉末 组成:PMMA交联体 平均粒径:约5.5~8.5μm 加热减量:2.0%以下 pH值:5.0~7.5 产品应用: 肤感滑爽,铺展性极佳,广泛适用于高端粉饼、眼影、腮红、BB霜、防晒霜、洗发水等化妆品产品的生产。 供应PMMA台湾奇美CM205耐热级、能耐高温 供应PMMA台湾奇美CM207中流动性耐热性 供应PMMA台湾奇美CM211高流动性

完整版容斥原理习题加答案

1. 现有50名学生都做物理、化学实验,如果物理实验做正确的有40人,化学实验做正确的有31人,两种实验都错的有4人,则两种实验都做对的有( ) 【答案】B 【解析】直接代入公式为:50=31+40+4- A H B 得A H B=25,所以答案为B。 2. 某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号各占一半。其中25%是白色的, 75%是蓝色的。如果这批衬衫共有100件,其中大号白色衬衫有10件,小号蓝色衬衫有多少件?() A 、15 B 、 25 C 、35 D40 【答案】C 【解析】这是一种新题型,该种题型直接从求解出发,将所求答案设为A H B,本题设小号和蓝色分别为两个事件A和B,小号占50%蓝色占75%直接代入公式

为:100=50+75+10- A H B,得:A H B=35 3. 某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中,准备参加注册会计师考试的有63人,准备参加英语六级考试的有89人,准备参加计算机考试的有47人,三种考试都准备参加的有24人,准备只选择两种考试都参加的有46人,

【解析】本题画图按中路突破原则,先填充三集合公共部分数字 24,再推 其他部分数字: 根据每个区域含义应用公式得到: 总数=各集合数之和-两两集合数之和+三集合公共数+三集合之外数 =63+89+47— {(x+24)+(z+24)+(y+24)}+24+15 =199— { (x+z+y ) +24+24+24}+24+15 根据上述含义分析得到:x+z+y 只属于两集合数之和,也就是该题所讲的只 选择两种考试都参加的人数,所以 x+z+y 的值为46人;得本题答案为120. 4. 对某单位的100名员工进行调查,结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。 其中58人喜欢看球赛,38人喜欢看戏剧,52人喜欢看电影,既喜欢看球赛又喜 欢看戏剧的有18人,既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人,三种都喜欢看的有 12人,则只喜欢看电影的有多少人( ) A.22 人 B.28 人 C.30 人 D.36 人 【答案】A 【解析】本题画图按中路突破原则,先填充三集合公共部分数字 12,再推 其他部分数字: 根据各区域含义及应用公式得到: 总数=各集合数之和-两两集合数之和+三集合公共数+三集合之外数 100= 58+38+52- {18+16+ (12+ x ) }+12+0,因为该题中,没有三种都不喜 欢的 人,所以三集合之外数为 0,解方程得到:x = 14。52= x+12+4+Y = 14+12+4+Y 得到Y = 22人。 不参加其中任何一种考试的都15人。问接受调查的学生共有多少人?( )

2015国家公务员考试行测:数学运算-容斥原理和抽屉原理

【导读】国家公务员考试网为您提供:2015国家公务员考试行测:数学运算-容斥原理和抽屉原理,欢迎加入国家公务员考试QQ群:242808680。更多信息请关注安徽人事考试网https://www.360docs.net/doc/5f2258097.html, 【推荐阅读】 2015国家公务员笔试辅导课程【面授+网校】 容斥原理和抽屉原理是国家公务员考试行测科目数学运算部分的“常客”,了解此两种原理不仅可以提高做题效率,还可以提高自己的运算能力,扫平所有此类计算题。中公教育专家在此进行详细解读。 一、容斥原理 在计数时,要保证无一重复,无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算,在不考虑重叠 的情况下,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数 目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复,这种计数的方法称为容斥原理。 1.容斥原理1——两个集合的容斥原理 如果被计数的事物有A、B两类,那么,先把A、B两个集合的元素个数相加,发现既是 A类又是B类的部分重复计算了一次,所以要减去。如图所示: 公式:A∪B=A+B-A∩B 总数=两个圆内的-重合部分的 【例1】一次期末考试,某班有15人数学得满分,有12人语文得满分,并且有4人语、 数都是满分,那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人? 数学得满分人数→A,语文得满分人数→B,数学、语文都是满分人数→A∩B,至少有一 门得满分人数→A∪B。A∪B=15+12-4=23,共有23人至少有一门得满分。 2.容斥原理2——三个集合的容斥原理 如果被计数的事物有A、B、C三类,那么,将A、B、C三个集合的元素个数相加后发现 两两重叠的部分重复计算了1次,三个集合公共部分被重复计算了2次。 如图所示,灰色部分A∩B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、C∩A-A∩B∩C都被重复计算了1 次,黑色部分A∩B∩C被重复计算了2次,因此总数A∪B∪C=A+B+C-(A∩B-A∩B∩C)-(B∩ C-A∩B∩C)-(C∩A-A∩B∩C)-2A∩B∩C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。即得到: 公式:A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C

7-7-5 容斥原理之最值问题.教师版

1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容; 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用. 一、两量重叠问题 在一些计数问题中,经常遇到有关集合元素个数的计算.求两个集合并集的元素的个数,不能简单地把两个集合的元素个数相加,而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数,即减去交集的元素个数,用式子可表示成:A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”,相当于中文“和”或者“或”的意思;符号“”读作“交”,相当于中文“且”的意思.)则称这一公式为包含与排除原理,简称容斥原理.图示如下:A 表示小圆部分,B 表示大圆部分,C 表示大圆与小圆的公共部分,记为:A B ,即阴影面积.图示如下:A 表示小圆部分,B 表示大圆部分, C 表示大圆与小圆的公共部分,记为:A B ,即阴影面积. 包含与排除原理告诉我们,要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数,可分以下两步进行: 第一步:分别计算集合A B 、的元素个数,然后加起来,即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进 来,加在一起); 第二步:从上面的和中减去交集的元素个数,即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数). 二、三量重叠问题 A 类、 B 类与 C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数.用符号表示为:A B C A B C A B B C A C A B C =++---+.图示如下: 教学目标 知识要点 7-7-5.容斥原理之最值问题 1.先包含——A B + 重叠部分A B 计算了2次,多加了1次; 图中小圆表示A 的元素的个数,中圆表示B 的元素的个数, 1.先包含:A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次, 多加了1次. 2.再排除:A B C A B B C A C ++---

聚甲基丙烯酸甲酯 PMMA 有机玻璃的介绍

聚甲基丙烯酸甲酯 以丙烯酸及其酯类聚合所得到的聚合物统称丙烯酸类树酯,相应的塑料统称聚丙烯酸类塑料,其中以聚甲基丙烯酯甲酯应用最广泛。聚甲基丙烯酸甲酯缩写代号为PMMA,俗称有机玻璃,是迄今为止合成透明材料中质地最优异,价格又比较适宜的品种。 一、性能 聚甲基丙烯酸甲酯是刚性硬质无色透明材料,密度为1.18-1.19g/CM3,折射率较小,约1.49,透光率达92%,雾度不大于2%,是优质有机透明材料。 1.力学性能 聚甲基丙烯酸甲酯具有良好的综合力学性能,在通用塑料中居前列,拉伸、弯曲、压缩等强度均高于聚烯烃,也高于聚苯乙烯、聚氯乙烯等,冲击韧性较差,但也稍优于聚苯乙烯。浇注的本体聚合聚甲基丙烯酸甲酯板材(例如航空用有机玻璃板材)拉伸、弯曲、压缩等力学性能更高一些,可以达到聚酰胺、聚碳酸酯等工程塑料的水平。 一般而言,聚甲基丙烯酸甲酯的拉伸强度可达到50-77MPa水平,弯曲强度可达到90-130MPa,这些性能数据的上限已达到甚至超过某些工程塑料。其断裂伸长率仅 2%-3% ,故力学性能特征基本上属于硬而脆的塑料,且具有缺口敏感性,在应力下易开裂,但断裂时断口不像聚苯乙烯和普通无机玻璃那样尖锐参差不齐。40℃是一个二级转变温度,相当于侧甲基开始运动的温度,超过40℃,该材料的韧性,延展性有所改善。聚甲基丙烯酸甲酯表面硬度低,容易擦伤。 聚甲基丙烯酸甲酯的强度与应力作用时间有关,随作用时间增加,强度下降。经拉伸取向后的聚甲基丙烯酸甲酯(定向有机玻璃)的力学性能有明显提高,缺口敏感性也得到改善。聚甲基丙烯酸甲酯的耐热性并不高,它的玻璃化温度虽然达到104℃,但最高连续使用温度却随工作条件不同在65℃-95℃之间改变,热变形温度约为96℃(1.18MPa),维卡软化点约113℃。可以用单体与甲基丙烯酸丙烯酯或双酯基丙烯酸乙二醇酯共聚的方法提高耐热性。聚甲基丙烯酸甲酯的耐寒性也较差,脆化温度约9.2℃。聚甲基丙烯酸甲酯的热稳定性属于中等,优于聚氯乙烯和聚甲醛,但不及聚烯烃和聚苯乙烯,热分解温度略高于270℃,其流动温度约为160℃,故尚有较宽的熔融加工温度范围。 聚甲基丙烯酸甲酯的热导率和比热容在塑料中都属于中等水平,分别为0.19W/CM.K和1464J/Kg.K 2.电性能 聚甲基丙烯酸甲酯由于主链侧位含有极性的甲酯基,电性能不及聚烯烃和聚苯乙烯等非极性塑料。甲酯基的极性并不太大,聚甲基丙烯酸甲酯仍具有良好的介电和电绝缘性能。值得指出的是,聚甲基丙烯酸甲酯乃至整个丙烯酸类塑料,都具有优异的抗电弧性,在电弧作用下,表面不会产生碳化的导电通路和电弧径迹现象。20℃是一个二级转变温度,相应于侧甲酯基开始运动的温度,低于20℃,侧甲酯基处于冻结状态,材料的电性能比处于20℃以上时会有所提高。 3. 耐化学试剂及耐溶剂性 聚甲基丙烯酸甲酯可耐较稀的无机酸,但浓的无机酸可使它侵蚀,可耐碱类,但温热的氢氧化钠、氢氧化钾可使它浸蚀,可耐盐类和油脂类,耐脂肪烃类,不溶于水、甲醇、甘油等,但可吸收醇类溶胀,并产生应力开裂,不耐酮类、氯代烃和芳烃。它的溶解度参数约为18.8(J/CM3)1/2 ,在许多氯代烃和芳烃中可以溶解,如二氯乙烷、三氯乙烯、氯仿、甲苯等,乙酸乙烯和丙酮也可以使它溶解。 聚甲基丙烯酸甲酯对臭氧和二氧化硫等气体具有良好的抵抗能力。

2015河北政法干警行测指导:数量关系之容斥原理

在政法干警考试行测题目中,对数量关系中容斥问题的考查内容也经常出现。这类问题需要考生掌握容斥原理,否则在解答过程中就会遇到困难,甚至花费较长的时间,也很难得出正确的答案。出现这样的情况,是政法干警行测笔试过程中的大忌。因为答题的时间有限,保证题目的正确率也至关重要。所以,考生一定要对容斥原理有一个非常清晰的认识。 容斥原理又称排容原理,主要的工作就是计算时,排斥掉重复计算的部分,保证最后的数据结果无遗漏和重复。 【实例分析】 例1. 某班有50人,会游泳的有27人,会体操的有18人,都不会的有15人。问既会游泳又会体操的有多少人? 解析:因至少会游泳或体操的人数为50-15=35(人),所以根据两个集合的容斥

原理,可以得到既会游泳又会体操的人数=27+18-35=10(人)。 例2. 某专业有学生50人,现开设有甲、乙、丙三门选修课程。有40人选修甲课程,36人选修乙课程,30人选修丙课程,兼选甲、乙两门课程的有28人,兼选甲、丙两门课程的有26人,兼选乙、丙两门课程的有24人,甲、乙、丙三门课程均选的有20人。问三门课程均未选的有多少人? 解析:根据题干叙述选修甲课程的对应为集合A=40,选修乙课程的对应为集合B=36,选修丙课程的对应集合C=30。兼选甲、乙的对应为A∩B=28,兼选甲、丙的对应为A∩C=26,兼选乙、丙的对应为B∩C=24。甲、乙、丙均选的对应为A∩B∩C=20。三门课程均未选的对应为50-A∪B∪C。 根据A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C =40+36+30-28-26-24+20=48 三门均未选的有50-A∪B∪C=50-48=2。故三门课程均未选的有2人。 文章来源:更多信息请关注承德中公教育网https://www.360docs.net/doc/5f2258097.html,/?wt.mc_id=bk4828

国考数量关系之比例、容斥问题

国考数量关系之比例、容斥问题 比例问题: 1、养鱼塘里养了一批鱼,第一次捕上来200尾,做好标记后放回鱼塘,数日后再捕上100尾,发现有标记的鱼为5尾,问鱼塘里大约有多少尾鱼? A.2000 B.4000 C.5000 D.6000 解析:此题用列方程法解答 可设鱼塘有X尾鱼,则可列方程,100/5=X/200,解得X=4000,选择B。 2、2001年,某公司所销售的计算机台数比上一年度上升了20%,而每台的价格比上一年度下降了20%。如果2001年该公司的计算机销售额为3000万元,那么2000年的计算机销售额大约是多少? A.2900万元 B.3000万元 C.3100万元 D.3300万元 解析:此题可用列方程法解答 设2000年时,销售的计算机台数为X,每台的价格为Y,显然由题意可知,2001年的计算机的销售额=X(1+20%)Y(1-20%),也即3000万=0.96XY,显然XY≈3100。答案为C。 特殊方法:对一商品价格而言,如果上涨X后又下降X,求此时的商品价格原价的多少?或者下降X再上涨X,求此时的商品价格原价的多少?只要上涨和下降的百分比相同,我们就可运用简化公式,1-X 。但如果上涨或下降的百分比不相同时则不可运用简化公式,需要一步一步来。对于此题而言,计算机台数比上一年度上升了20%,每台的价格比上一年度下降了20%,因为销售额=销售台数×每台销售价格,所以根据乘法的交换律我们可以看作是销售额上涨了20%又下降了20%,因而2001年是2000年的1-(20%)=0.96,2001年的销售额为3000万,则2000年销售额为3000÷0.96≈3100。 3、生产出来的一批衬衫中大号和小号各占一半。其中25%是白色的,75%是蓝色的。如果这批衬衫总共有100件,其中大号白色衬衫有10件,问小号蓝色衬衫有多少件? A.15 B.25 C.35 D.40 解析:这是包含容斥关系的比例问题。 根据已知大号白=10件,因为大号共50件,所以,大号蓝=40件;

数量关系比较全@

常用数学公式汇总 一、基础代数公式 1. 平方差公式:(a +b )3(a -b )=a 2-b 2 2. 完全平方公式:(a±b)2=a 2±2ab +b 2 完全立方公式:(a ±b )3=(a±b)(a 2 ab+b 2) 3. 同底数幂相乘: a m 3a n =a m +n (m 、n 为正整数,a≠0) 同底数幂相除:a m ÷a n =a m -n (m 、n 为正整数,a≠0) a 0=1(a≠0) a -p =p a 1(a≠0,p 为正整数) 4. 等差数列: (1)s n =2 )(1n a a n ?+=na 1+21n(n-1)d ; (2)a n =a 1+(n -1)d ; (3)n =d a a n 1-+1; (4)若a,A, b 成等差数列,则:2A =a+b ; (5)若m+n=k+i ,则:a m +a n =a k +a i ; (其中:n 为项数,a 1为首项,a n 为末项,d 为公差,s n 为等差数列前n 项的和) 5. 等比数列: (1)a n =a 1q -1; (2)s n =q q a n -11 ·1)-((q ≠1) (3)若a,G,b 成等比数列,则:G 2=ab ; (4)若m+n=k+i ,则:a m 2a n =a k 2a i ; (5)a m -a n =(m-n)d (6)n m a a =q (m-n) (其中:n 为项数,a 1为首项,a n 为末项,q 为公比,s n 为等比数列前n 项的和) 6.一元二次方程求根公式:ax 2+bx+c=a(x-x 1)(x-x 2) 其中:x 1=a ac b b 242-+-;x 2=a ac b b 242---(b 2-4ac ≥0) 根与系数的关系:x 1+x 2=-a b ,x 12x 2=a c 二、基础几何公式 1. 三角形:不在同一直线上的三点可以构成一个三角形;三角形内角和等于180°;三角形中任两 边之和大于第三边、任两边之差小于第三边; (1)角平分线:三角形一个的角的平分线和这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段,叫做三角形的角的平分线。

国考行测暑期每日一练数学运算:容斥原理和抽屉原理精讲

2015国考行测暑期每日一练数学运算:容斥原理和抽屉原理精讲 容斥原理和抽屉原理是国家公务员测试行测科目数学运算部分的“常客”,了解此两种原理不仅可以提高做题效率,还可以提高自己的运算能力,扫平所有此类计算题。中公教育专家在此进行详细解读。 一、容斥原理 在计数时,要保证无一重复,无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算,在不考虑重叠的情况下,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复,这种计数的方法称为容斥原理。 1.容斥原理1——两个集合的容斥原理 如果被计数的事物有A、B两类,那么,先把A、B两个集合的元素个数相加,发现既是A类又是B类的部分重复计算了一次,所以要减去。如图所示: 公式:A∪B=A+B-A∩B 总数=两个圆内的-重合部分的 【例1】一次期末测试,某班有15人数学得满分,有12人语文得满分,并且有4人语、数都是满分,那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人? 数学得满分人数→A,语文得满分人数→B,数学、语文都是满分人数→A∩B,至少有一门得满分人数→A∪B。A∪B=15+12-4=23,共有23人至少有一门得满分。 2.容斥原理2——三个集合的容斥原理 如果被计数的事物有A、B、C三类,那么,将A、B、C三个集合的元素个数相加后发现两两重叠的部分重复计算了1次,三个集合公共部分被重复计算了2次。 如图所示,灰色部分A∩B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、C∩A-A∩B∩C都被重复计算了1次,黑色部分A∩B∩C被重复计算了2次,因此总数A∪B∪C=A+B+C-(A∩B-A∩B∩C)-(B∩C -A∩B∩C)-(C∩A-A∩B∩C)-2A∩B∩C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。即得到:公式:A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C

数量关系之容斥原理

数量关系之容斥原理 在大学生村官考试中,数学类题目主要包括两种类型:数量关系和资料分析。数量关系对于很多考生来说是难度最大的一块,且资料分析涉及到的都是一些统计性数据,且这些数据往往比较复杂,且计算起来又有一定的难度,那么,在考试中解起题来就相对来说比较麻烦。下面,中公大学生村官考试网就为广大考生对此进行讲解。 考场上考生不允许带计算器的,虽然不让带计算器,但一些基本的工具性的东西,比如准考证、腕表、直尺、量角器等都是可以带的。那么,我们就充分利用让我们带的这些东西,让它们在考场上发挥最大的作用。 首先是准考证:(1)可以在做图形推理的时候派上用场;(2)准考证还可以草稿纸去用;(3)在数量关系中,曾考过一根绳子对折几次从中间剪几刀可以剪成几段的题,这类剪绳问题虽有公式,但如果在考场上忘记公式的话,可以很快从准考证上撕下一条来当作绳子,对折完再撕然后再数几段就可以了,能保证既快又准确。 腕表:第一可以用来看时间,第二主要用来做时间类的题目,比如:3点19分时,时钟上的时针与分针所构成的税角为几度?如果利用时间相关公式去做,计算量相当大,此时只需把时间调到3点19分,然后拿量角器去量角度,答案很快就出来了。 直尺、量角器: 在学习利用直尺、量角器前,首先了解指数相关知识: 指数:用于衡量某种要素相对变化的指标量。 1.相应两期实际值的比=相应两期指数的比。 2.指数的增长率=实际值的增长率。 3.指数一般表示的是那些我们并不关心其绝对值大小,而只关心其相对变化的指标量。 在资料分析中,给的图形肯定都是标准的,图形的比例和实际数值的比例都必然是一致的,故可采用直尺和量角器。 直尺主要用于柱状图中。(1)比较两期增长量的大小,可直接利用直尺量出两期长度的差值再比较大小即可;(2)计算增长率,如:2005年产量相对2004年产量的增长率可直接用2005年长度相对2004年长度的增长率即可;(3)部分长度÷总体长度=部分产量÷总体产量,用来计算产量等; 量角器主要用于饼状图中,若一个题目只给出一张饼状图,且给出每一分部分的具体数值,但未给出总体数值,问某一部分占总体的比重是多少,此时,我们只要量出该部分的圆心角角度,再用这个角度去除以360°即可得出该部分占总体的比重。 总而言之,各位考生要利用能带进考场的辅助工具,以使自己能快速解决相关考题。 更多信息查看:安徽人事考试网六安大学生村官考试网

集合与容斥原理

第一讲集合与容斥原理 数学是一门非常迷人的学科,久远的历史,勃勃的生机使她发展成为一棵枝叶茂盛的参天大树,人们不禁要问:这根大树到底扎根于何处?为了回答这个问题,在19世纪末,德国数学家康托系统地描绘了一个能够为全部数学提供基础的通用数学框架,他创立的这个学科一直是我们数学发展的根植地,这个学科就叫做集合论。它的概念与方法已经有效地渗透到所有的现代数学。可以认为,数学的所有内容都是在“集合”中讨论、生长的。 集合是一种基本数学语言、一种基本数学工具。它不仅是高中数学的第一课,而且是整个数学的基础。对集合的理解和掌握不能仅仅停留在高中数学起始课的水平上,而要随着数学学习的进程而不断深化,自觉使用集合语言(术语与符号)来表示各种数学名词,主动使用集合工具来表示各种数量关系。如用集合表示空间的线面及其关系,表示平面轨迹及其关系、表示方程(组)或不等式(组)的解、表示充要条件,描述排列组合,用集合的性质进行组合计数等。集合的划分反映了集合与子集之间的关系,这既是一类数学问题,也是数学中的解题策略——分类思想的基础,在近几年来的数学竞赛中经常出现,日益受到重视,本讲主要介绍有关的概念、结论以及处理集合、子集与划分问题的方法。 1.集合的概念 集合是一个不定义的概念,集合中的元素有三个特征: (1)确定性设A是一个给定的集合,a是某一具体对象,则a或者是A的元素,或者不是A的元素,两者必居其一,即a∈A与a?A仅有一种情况成立。 (2)互异性一个给定的集合中的元素是指互不相同的对象,即同一个集合中不应出现同一个元素. (3)无序性 2.集合的表示方法 主要有列举法、描述法、区间法、语言叙述法。常用数集如:R , ,应熟记。 N, Z Q 3.实数的子集与数轴上的点集之间的互相转换,有序实数对的集合与平面上的点集可以互相转换。对于方程、不等式的解集,要注意它们的几何意义。 4.子集、真子集及相等集 (1)A?? B A?B或A=B; (2)A?B?A?B且A≠B; (3)A=B?A?B且A?B。 5.一个n阶集合(即由个元素组成的集合)有n2个不同的子集,其中有n2-1个非空子集,也有n2-1个真子集。 6.集合的交、并、补运算 x∈} A B={A |且B x∈ x x∈} A B={A |或B x x∈ x?} A∈ {且A =| I x x 要掌握有关集合的几个运算律: (1)交换律A B=B A,A B=B A; (2)结合律A (B C)=(A B) C, A ( B C)=(A B) C;

(完整版)容斥原理习题加答案

1.现有50名学生都做物理、化学实验,如果物理实验做正确的有40人,化学实验做正确的有31人,两种实验都错的有4人,则两种实验都做对的有( ) A、27人 B、25人 C、19人 D、10人 【答案】B 【解析】直接代入公式为:50=31+40+4-A∩B 得A∩B=25,所以答案为B。 2.某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号各占一半。其中25%是白色的,75%是蓝色的。如果这批衬衫共有100件,其中大号白色衬衫有10件,小号蓝色衬衫有多少件?() A、15 B、25 C、35 D、40 【答案】C 【解析】这是一种新题型,该种题型直接从求解出发,将所求答案设为A∩B,本题设小号和蓝色分别为两个事件A和B,小号占50%,蓝色占75%,直接代入公式为:100=50+75+10-A∩B,得:A∩B=35。 3.某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中,准备参加注册会计师考试的有63人,准备参加英语六级考试的有89人,准备参加计算机考试的有47人,三种考试都准备参加的有24人,准备只选择两种考试都参加的有46人,

不参加其中任何一种考试的都15人。问接受调查的学生共有多少人?()A.120 B.144 C.177 D.192 【答案】A 【解析】本题画图按中路突破原则,先填充三集合公共部分数字24,再推其他部分数字: 根据每个区域含义应用公式得到: 总数=各集合数之和-两两集合数之和+三集合公共数+三集合之外数 =63+89+47-{(x+24)+(z+24)+(y+24)}+24+15 =199-{(x+z+y)+24+24+24}+24+15 根据上述含义分析得到:x+z+y只属于两集合数之和,也就是该题所讲的只选择两种考试都参加的人数,所以x+z+y的值为46人;得本题答案为120. 4.对某单位的100名员工进行调查,结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中58人喜欢看球赛,38人喜欢看戏剧,52人喜欢看电影,既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人,既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人,三种都喜欢看的有12人,则只喜欢看电影的有多少人() A.22人 B.28人 C.30人 D.36人 【答案】A 【解析】本题画图按中路突破原则,先填充三集合公共部分数字12,再推其他部分数字: 根据各区域含义及应用公式得到: 总数=各集合数之和-两两集合数之和+三集合公共数+三集合之外数 100=58+38+52-{18+16+(12+ x)}+12+0,因为该题中,没有三种都不喜欢的人,所以三集合之外数为0,解方程得到:x=14。52=x+12+4+Y=14+12+4+Y,得到Y=22人。

抽屉原理

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简单 1.在一米长的线段上任意点六个点。试证明:这六个点中至少有两个点的距离不大于20厘米。 2.在今年入学的一年级新生中有370多人是在同一年出生的。请你证明:他们中至少有两个人是在同一天出生的。 3.夏令营有400个小朋友参加,问:在这些小朋友中, (1)至少有多少人在同一天过生日? (2)至少有多少人单独过生日? (3)至少有多少人不单独过生日? 4.学校举行开学典礼,要沿操场的400米跑道插40面彩旗。试证明:不管怎样插,至少有两面彩旗之间的距离不大于10米。 5.在100米的路段上植树,问:至少要植多少棵树,才能保证至少有两棵之间的距离小于10米? 6.在一付扑克牌中,最少要拿多少张,才能保证四种花色都有? 7.在一个口袋中有10个黑球、6个白球、4个红球。问:至少从中取出多少个球,才能保证其中有白球? 8.口袋中有三种颜色的筷子各10根,问: (1)至少取多少根才能保证三种颜色都取到? (2)至少取多少根才能保证有两双颜色不同的筷子? (3)至少取多少根才能保证有两双颜色相同的筷子? 9.据科学家测算,人类的头发每人不超过20万根。试证明:在一个人口超过20万的城市中,至少有两人的头发根数相同。 10.第四次人口普查表明,我国50岁以下的人口已经超过8亿。试证明:在我国至少有两人的出生时间相差不超过2秒钟。 11.证明:在任意的37人中,至少有四人的属相相同。

六年下册奥数试题-容斥原理(一)全国通用(含答案)

第9讲容斥原理(一) 森林中住着很多动物,据说狮子大王派仙鹤去统计鸟类的种数,蝙蝠跑过去对仙鹤说;“我有翅膀,我应该是属于鸟类的。”于是仙鹤就把蝙蝠统计到鸟类的种类里去了,结果得出森林中一共有80种鸟类。狮子大王又派大象去统计野兽的种类数,蝙蝠听说又统计兽类了,急忙跑过去对大象说;“我没有羽毛,我应该是属于兽类的。”于是大象就把蝙蝠统计到兽类的种类里去了,结果统计出森林中一共有60种兽类。最后狮子大王问:“森林中共有鸟类和兽类多少种?”狡猾的狐狸听见了仙鹤和大象的统计结果,高兴地向狮子大王汇报:“这还不简单!森林中共有鸟类和兽类140种。”这个统计正确吗? 同学们肯定会说:“不对!蝙蝠被算了两次,应该再减去一,是139种。”这个故事说明了一个数学问题,那就是被称为“容斥原理”的包含与排除问题。当需要计数的两类事物互相包含(有部分重复交叉)时,应把重复计数的部分排除掉。由此我们得到逐步排除法(容斥原理):当两个计数部分有重复时,为了不重复计数,应从它们的和中减去重复部分。例如:请看下图,在长为30厘米,宽为20厘米的长方形铁板上钻了一个半径为5厘米的圆孔,请问:阴影部分的面积是多少平方厘米? 这个图形是一个不规则图形,如果我们直接计算很难,由上图容易看出阴影面积加圆面积恰好等于长方形面积,而长方形面积与圆的面积都很好计算,因而有:阴影面积=20×30-5×5×π=600-25π(平方厘米)。 由此我们得到排除法:两个分量之和等于总量,当计算一个分量时,可用总量减去另一个分量。即若A+B=C,则A=C-B。请看下面的例题。 例1 一个班有学生48人,每人至少参加跑步、跳高两项比赛中的一项。已知参加跑步的有37人,参加跳高的有40人,请问:这两项比赛都参加的学生有多少人? 分析:两项比赛都参加的学生人数,就是参加跑步人数、参加跳高人数重复的部分,排除掉重复部分,所得的就是全体参赛人数,也就是全班学生人数。 解答:设两项比赛都参加的有人,那么 (37+40)-=48 =29 说明:通过上题我们发现,解答这类问题最好先画图,它可以帮助我们分析数量关系。另外我们还发现在解答问题时可以分两步进行:第一步先把两类数量加在一起,即都“包含”进。37+40=77,第二步再减掉一个班有学生48人,这个数量,即“排除”,就可以求出正确答案了。77-48=29。还可以这样计算:40-(48-37)=29人。你能讲出道理吗?请你想一想,你还能再列出一种算式吗? 想一想:如果全班有3人哪一个比赛项目都不参加,将会得出什么结果? 说明:一般地,假设具有性质A的事物(人)有A个,具有性质B的事物(人)有B 个,既具有性质A,又具有性质B的事物(人)有AB个,至少具有A、B中一种性质的事物(人)有个,那么:=(A+B)-AB。这个关系式可用下图表示:

抽屉原理和容斥原理

I .抽屉原则 10个苹果放入9个抽屉中,无论怎么放,一定有一个抽屉里放了2个或更多个苹果.这 个简单的事实就是抽屉原则.由德国数学家狄利克雷首先提出来的.因此,又称为狄利克雷原则. 将苹果换成信、鸽子或鞋,把抽屉换成信筒、鸽笼或鞋盒,这个原则又叫做信筒原则、 鸽笼原则或鞋盒原则.抽屉原则是离散数学中的一个重要原则,把它推广到一般情形就得到下面几种形式: 原则一:把m 个元素分成n 类(m >n ),不论怎么分,至少有一类中有两个元素. 原则二:把m 个元素分成n 类(m >n ) (1)当n |m 时,至少有一类中含有至少 n m 个元素; (2)当n |m 时,至少有一类中含有至少[n m ]+1个元素. 其中n m 表示n 是m 的约数,n m 表示n 不是m 的约数,[ n m ]表示不超过n m 的最大整数. 原则三:把1221+-+++n m m m 个元素分成n 类,则存在一个k ,使得第k 类至 少有k m 个元素. 原则四:把无穷多个元素分成有限类,则至少有一类包含无穷多个元素. 以上这些命题用反证法极易得到证明,这里从略. 一般来说,适合应用抽屉原则解决的数学问题具有如下特征:新给的元素具有任意性. 如10个苹果放入9个抽屉,可以随意地一个抽屉放几个,也可以让抽屉空着. 问题的结论是存在性命题,题目中常含有“至少有……”、“一定有……”、“不少于……”、“存在……”、“必然有……”等词语,其结论只要存在,不必确定,即不需要知道第几个抽屉放多少个苹果. 对一个具体的可以应用抽屉原则解决的数学问题还应搞清三个问题: (1)什么是“苹果”? (2)什么是“抽屉”? (3)苹果、抽屉各多少? 用抽屉原则解题的本质是把所要讨论的问题利用抽屉原则缩小范围,使之在一个特定

容斥原理与鸽巢原理的应用

摘要 容斥原理和鸽巢原理作为组合数学中的基本内容,就原理本身而言简单易懂.然而,由于此二者分别在组合计数问题和存在性问题的应用中所展现出来的魅力,国内外学者在很多书籍、学术性论文中关于容斥原理和鸽巢原理的应用进行了探讨,并且关于此方面的研究已取得一系列的成果. 本文主要是以综述的方式从起源、理论和应用三方面对容斥原理和鸽巢原理进行了介绍和分类探讨. 首先介绍了容斥原理分别与加法理论、减法理论的区别与优势,并与实际问题相结合突出其优势所在.其次本文介绍了鸽巢原理的两种具体形式及其推论,并对鸽巢原理在数学理论研究、数学竞赛题目、解决实际生活中的问题等方面的应用进行介绍后,对鸽巢原理的应用中所常见的几种构造“鸽巢”的方法进行了分类谈论. 最后,针对鸽巢原理,我们给出针对新疆某区域关于旅游产品的实际应用实例,并提出了个人见解. 关键词:容斥原理,鸽巢原理,构造方法,鸽巢,鸽子

ABSTRACT As the basic content of combinatorial mathematics, the principle of tolerance and the theory of pigeon nest the principle itself is simple and understandable. However, due to the charm of the two applications in combinatorial counting and existential problems, scholars at home and abroad have probed into the application of the principle of tolerance and the pigeon nest in many books and academic papers, And the research on this aspect has made a series of achievements. In this paper, the author introduces and classifies the theory of tolerance and doctrine and the principle of pigeon nest in the way of summarization from the origin, theory and application. Firstly, the differences and advantages between the theory of tolerance and exclusion and the theory of addition and subtraction were introduced. and the actual problem with the combination of highlighting its advantages. Secondly, this paper introduces two concrete forms of pigeon nest principle and its inference, and introduces the application of pigeon nest principle in mathematics theory research, Maths contest problem, solving real life problems and so on. , several common methods of constructing pigeon nest in the application of pigeon nest principle are classified and discussed. Finally, according to the pigeon Nest principle, we give a practical example of the tourism products in a region of Xinjiang, and put forward personal opinions. KEY WORDS: inclusion-exclusion principle, pigeonhole principle, construction method, pigeonhole, pigeon

重叠问题(容斥原理,包含与排除)

包含与排除 例题1,(1)五年级一班参加体育兴趣小组的有30人,参加文艺兴趣小组的有25人,两项活动都参加的有13人,全班每人至少参加一项活动。问这个班有多少人? (2)三年级一班参加合唱队的有40人,参加舞蹈队的有20人,既参加合唱队又参加舞蹈队的有14人。这两队都没有参加的有10人。请算一算,这个班共有多少人? 1,学校文艺组每人至少会演奏一种乐器,已知会拉手风琴的有24人,会弹电子琴的有17人,其中两种乐器都会演奏的有8人。这个文艺组一共有多少人? 2,某班在一次测验中有26人语文获优,有30人数学获优,其中语文、数学双优的有12人,另外还有8人语文、数学均未获优。这个班共有多少人? 3,第一小组的同学们都在做两道数学思考题,做对第一题的有15人,做对第二题的有10人,两题都做对的有7人,两题都做错的有2人。第一小组共有多少人? 例题2,(1)五年级一班有42人,参加体育兴趣小组的有30人,参加文艺兴趣小组的有25人,全班每人至少参加一项活动。问这个班两项活动都参加的有多少人? (2)一个旅行社有36人,其中会英语的有24人,会法语的有18人,两样都不会的有4人。两样都会的有多少人?

(3)3,某班有36个同学在一项测试中,答对第一题的有25人,答对第二题的有23人,两题都答对的有15人。问多少个同学两题都答得不对? 1,五年级有122名学生参加语文、数学考试,每人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有65人,数学优秀的有87人。语文、数学都优秀的有多少人? 2,一个俱乐部有103人,其中会下中国象棋的有69人,会下国际象棋的有52人,这两种棋都不会下的有12人。问这两种棋都会下的有多少人? 3,学校开展课外活动,共有250人参加。其中参加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动,参加象棋组的有83人,参加乒乓球组的有86人,这两个小组都参加的有25人。问这250名同学中,象棋组、乒乓球组都不参加的有多少人? 例题3,(1)四年级一班有54人,订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人,订《小学生优秀作文》的有45人,每人至少订一种读物,订《数学大世界》的有多少人? (2)全班46名同学,仅会打乒乓球的有28人,会打乒乓球又会打羽毛球的有10人,不会打乒乓球又不会打羽毛球的有6人。仅会打羽毛球的有多少人? 1,40人都在做加试的两道题,并且至少做对了其中的一题。已知做对第一题的有30人,做对第二题的有21人。只做对第一题的有多少人?

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