第九章 直线回归和相关

略。
(2) 在任一X 上都存在着一个Y 总体(可称为条件总
体)，它是作正态分布的，其平均数
Y
是X
/X
的线性
函数：
Y / X X
(9·9)
Y的/ X样本估计值，与X 的关系就是线性回归方程
(9·1)。
(3) 所有的Y 总体都具有共同的方差 ，2而直线回归
总体具有 N( 。X试,验2 )所得的一组观察值(xi，yi )
直线是综合9年结果而得出的一般趋势，所以其代表 性比任何一个实际的坐标点都好。当然，这种估计 仍然有随机误差，下文再作讨论。
(四)直线回归的估计标准误
Q 就是误差的一种度量，称为离回归平方和(sum
of squares due to deviation from regression)或 剩余平方和。
然后，由一级数据算得5个二级数据：
SSx = x 2 ( x)2 n =12517.49-(333.7)2/9 =144.6356 *SSy = y 2 ( y)2 n =794-(70)2/9 =249.5556
SP= xy x y n 2436.4-(333.7×70)/9= -159.0444
以5月10日为0)的关系，得结果于表9.1。试计算其 直线回归方程。 首先由表9.1算得回归分析所必须的6个一级数据(即 由观察值直接算得的数据)：
表9.1 累积温和一代三化螟盛发期的关系
x累积温
35.5 34.1 31.7 40.3 36.8 40.2 31.7 39.2 44.2
y盛发期
12 16 9 2 7 3 13 9 -1
建立回归方程时用了a 和b 两个统计数，故Q 的自
由度 n 2
得
Q y yˆ2
sy x n 2 n 2
Q
( y
yˆ )2
SS y
(SP)2 SSx
=SSy-b(SP)
=SSy-b2(SSx)
=∑y2-a∑y-b∑xy
(9·5)
(9·6A) (9·6B) (9·6C) (9·6D)
(五)直线回归的数学模型和基本假定
相反；前者Y 随X 的增大而增大，表示两个变数的关 系是正的，后者Y 随X 的增大而减小，表示关系是负
的。② 图9.1A的各个点几乎都落在一直线上，图
9.1B则较为分散；因此，图9.1A中X 和Y 相关的密 切程度必高于图9.1B。③ 图9.1C中X 和Y 的关系是 非直线型的；大约在x≤(6—7)时，Y 随X 的增大而 增大，而当x＞(6—7)时，Y 随X 的增大而减小。
yˆ a bx
(9·1)
回归截距(regression intercept）：a是x=0时的
值，即回归直线在y 轴上的截距。
回归系数(regression coefficient）：b是x 每增 加一个单位数时，平均地将要增加(b＞0时)或减 少(b＜0时)的单位数。
Q
n
( y
yˆ )2
n
物的产量与施肥量的关系，两类变数受误差 的干扰表现为统计关系。
因果关系：两个变数间的关系若具有原因 和反应(结果)的性质。
相关关系：呈现一种共同变化的特点，则 称这两个变数间存在。
回归分析：计算回归方程为基础的统计分 析方法。
yˆ 为f(Yx依) X 的回归方程(regression equation of
Ry·12…m ；在两个变数曲线相关时称为相关指数 (correlation index)，记作R。
一般规则：
当两个变数中Y 含有试验误差而X 不含试验误差时 着重进行回归分析；而当Y 和X 均含有试验误差时
则着重去进行相关分析。
4. 两个变数资料的散点图
对具有统计关系的两个变数的资料进行初步考察
的简便而有效的方法，是将这两个变数的n对观察 值(x1，y1)、(x2，y2)、…、(xn，yn)分别以坐标点
的形式标记于同一直角坐标平面上，获得散点图 (scatter diagram)。
根据散点图可初步判定双变数X 和Y 间的关系，包 括：①X 和Y 相关的性质(正或负)和密切程度； ②X 和Y 的关系是直线型的还是非直线型的；
( y
a
bx)2 为最小
1
1
时，分别对a和b 求偏导数并令其为0，可得
正规方程组（normal equations）：
an b x y a x b x2 xy 得
a y bx
(9·2)
1
b
xy x n
x2 1(
y x)2
(x x)(y (x x)2
y)
SP SS x
的F分布
F
(SP) 2 Q /(n
/ SS x 2)
2．两个回归系数比较时的假设测验
H0：1 2 0 对 HA：1 2 0
sb1 b2
s2 b1
s2 b2
s
2 y
/
x
s
2 y
/
x
SS x1 SS x2
(9·14)
s
2 y
观察数据中未曾得到任何信息。
所以，在应用=48.5-1.1x于预测时，需限定x的区间 为[31.7，44.2]；如要在x＜31.7或＞44.2的区间外
延，则必须有新的依据。
(三)直线回归方程的图示
直线回归图包括回归直线的图象和散点图，它可以
醒目地表示x 和y 的数量关系。
方法：制作直线回归图时，首先以x为横坐标，以y
定(31.7，13.69)和(44.2，-0.05)这两个点，再连接
之，即为 yˆ=48.5485-1.0996x的直线图象。注意：
此直线必通过点( x， )y，它可作为制图是否正确的
核对。最后，将实测的各对(xi，yi)数值也用坐标点
标于图9.3上。
x，3月下旬至4月中旬旬平均温度累积值图
旬平均温度累积值和一代三化螟盛发期的关系
(y yˆ)2 (yˆ y)2 2(y yˆ)(yˆ y)
因为 ( y yˆ)(yˆ y) 0
得 (y y)2 (y yˆ)2 (yˆ y)2
将 ( yˆ 记y)2作U
U
( yˆ
y)2
SS y
Q
(SP)2 SS x
回归和离回归的方差比遵循 1 1 2 n 2
只是
中N的(一个X随,机 2样) 本。
(4)随机误差 相互独立，并作正态分布，具有
。
N(0,
2
)
二、直线回归的假设测验和区间估计 (一)直线回归的假设测验
1．回归关系的假设测验 （1）t 测验
H0：=0 对 HA ： 0
sb
s
2 y
/
x
(x x)2
sy/x SS x
(9·10)
b
t sb
到以( x ，y )为原点时，回归直线的走向仅决定于b，
所以一般又称b为回归斜率(regression slope）。
(二)直线回归方程的计算 [例9.1] 一些夏季害虫盛发期的早迟和春季温度高低
有关。江苏武进连续9年测定3月下旬至4月中旬旬平
均温度累积值(x，旬·度)和水稻一代三化螟盛发期(y，
研究每亩穗数、每穗粒数和每亩产量的关系，就 有穗数、粒数和产量三个变数。
第一节 回归和相关的概念
1. 函数关系与统计关系 2. 自变数与依变数 3. 回归分析和相关分析 4. 两个变数资料的散点图
变量间的关系
函数关系
有精确的数学表达式
（确定性的关系）
一元回归分析
直线回归分析
统计关系 （非确定性的关系）
n= 9
x =35.5+34.1+…+44.2=333.7
x 2=35.52+34.12+…+44.22=12517.49
y =12+16+…+(-1)=70
y
2
=122+162+…+(-1)2=794
xy =(35.5×12)+(34.1×16)+…+[44.2×(-1)]=2436.4
(9·3)
n
将(9·2)代入(9·1)可得：
yˆ (y bx) bx y b(x x)
(9·4)
y
①
②
③
x 直线回归方程的图象
①a>0,b<0 ②a>0,b>0 ③a<0,b>0
由(9·4)可看到：①当x以离均差(x - x )为单位时，回
归直线的位置仅决定于 y 和b ；②当将坐标轴平移
x x n 333.7/9=37.0778 y y n 70/9=7.7778
因而有： b= SP / SSx -159.0444/144.6356= - 1.0996[天/(旬·度)]
a= y bx =7.7778-(-1.0996×37.0778)=48.5485(天)
故得表9.1资料的回归方程为：
Y on X )。
相关分析：计算相关系数为基础的统计分析方法。
计算表示Y 和X 相关密切程度的统计数，并测验其
显著性。
这个统计数在两个变数为直线相关时称为相关系数
(correlation coefficient)，记为r；在多元相关时称
为复相关系数(multiple correlation)，记作
(9·11)
遵循 n的 2t分布，故由t 值即可知道样本回归系数
b来自 =0总体的概率大小
（2）F 测验当仅以表示y资料时（不考虑x 的影响），
y变数具有平方和SSy 和自(由y 度y)2 当以表示yn资1 料时(考虑x的影响)，则SSy将分解成两个部分，即：
(y y)2 (y yˆ yˆ y)2