第九章回归分析和相关分析
统计学原理第九章(相关与回归)习题答案
第九章相关与回归一．判断题部分题目1：负相关指的是因素标志与结果标志的数量变动方向是下降的。
（）答案：×题目2：相关系数为+1时，说明两变量完全相关；相关系数为-1时，说明两个变量不相关。
（）答案：√题目3：只有当相关系数接近+1时，才能说明两变量之间存在高度相关关系。
（）答案：×题目4：若变量x的值增加时，变量y的值也增加，说明x与y之间存在正相关关系；若变量x的值减少时，y变量的值也减少，说明x与y之间存在负相关关系。
（）答案：×题目5：回归系数和相关系数都可以用来判断现象之间相关的密切程度。
（）答案：×题目6：根据建立的直线回归方程，不能判断出两个变量之间相关的密切程度。
（）答案：√题目7：回归系数既可以用来判断两个变量相关的方向，也可以用来说明两个变量相关的密切程度。
（）答案：×题目8：在任何相关条件下，都可以用相关系数说明变量之间相关的密切程度。
（）答案：×题目9：产品产量随生产用固定资产价值的减少而减少，说明两个变量之间存在正相关关系。
（）答案：√题目10：计算相关系数的两个变量，要求一个是随机变量，另一个是可控制的量。
（）答案：×题目11：完全相关即是函数关系，其相关系数为±1。
（）答案：√题目12：估计标准误是说明回归方程代表性大小的统计分析指标，指标数值越大，说明回归方程的代表性越高。
（）答案×二．单项选择题部分题目1：当自变量的数值确定后，因变量的数值也随之完全确定，这种关系属于（）。
A.相关关系B.函数关系C.回归关系D.随机关系答案：B题目2：现象之间的相互关系可以归纳为两种类型，即（）。
A.相关关系和函数关系B.相关关系和因果关系C.相关关系和随机关系D.函数关系和因果关系答案：A题目3：在相关分析中，要求相关的两变量（）。
A.都是随机的B.都不是随机变量C.因变量是随机变量D.自变量是随机变量答案：A题目4：测定变量之间相关密切程度的指标是（）。
回归分析与相关分析
回归分析与相关分析导言回归分析与相关分析是统计学中常用的两种分析方法，用于研究变量之间的关系。
在本文中，我们将对回归分析和相关分析进行详细探讨，并介绍它们的原理、应用和实例。
一、回归分析回归分析是通过建立一个数学模型来描述一个或多个自变量与因变量之间的关系。
它可以帮助我们预测因变量的取值，并理解自变量对因变量的影响程度。
1.1 简单线性回归简单线性回归是回归分析中最常见的一种方法，它假设自变量和因变量之间存在线性关系。
通过最小二乘法，我们可以得到最佳拟合直线，从而预测因变量的取值。
1.2 多元线性回归多元线性回归是对简单线性回归的拓展，它可以同时考虑多个自变量对因变量的影响。
通过最小二乘法，我们可以得到最佳的多元回归方程，从而预测因变量的取值。
1.3 逻辑回归逻辑回归是回归分析在分类问题上的一种应用。
它能够根据自变量的取值，预测因变量的类别。
逻辑回归常用于预测二分类问题，如预测一个学生是否会被大学录取。
二、相关分析相关分析是研究两个或多个变量之间相关关系的一种方法。
它可以帮助我们了解变量之间的关联程度，以及一个变量是否能够作为另一个变量的预测因子。
2.1 皮尔逊相关系数皮尔逊相关系数是一种衡量两个连续变量之间线性相关程度的统计量。
它的取值范围在-1到1之间，当相关系数接近1时，表示两个变量正相关；当相关系数接近-1时，表示两个变量负相关；当相关系数接近0时，表示两个变量无相关关系。
2.2 斯皮尔曼相关系数斯皮尔曼相关系数是一种衡量两个变量之间的非线性相关程度的统计量。
它的取值范围也在-1到1之间，但它适用于衡量非线性关系和顺序关系。
斯皮尔曼相关系数广泛应用于心理学和社会科学领域。
应用实例为了更好地理解回归分析与相关分析的应用，让我们通过一个实际案例来说明。
假设我们想研究某个国家的人均GDP与教育水平之间的关系。
我们收集了10个州的数据，包括每个州的人均GDP和受教育程度指数。
我们可以利用回归分析来建立一个数学模型，从而预测人均GDP与受教育水平之间的关系。
9 第九章 回归与相关
估计。
一）、加权最小二乘估计 假定各观测值的权重为Wi，求解回归方 程就要使得以下加权后的残差平方和最小
ss残W Wi Yi aw bw X
2
bw
aW
WX WY WXY W l l WX WX W WY b WX Y b W
二、直线回归方程的求法 直线方程为： a为Y轴上的截距；b为斜率，表示X 每改变一个单位，Y的变化的值，称为回 归系数； 表示在X值处Y的总体均数 估计值。为求a和b两系数，根据数学上 的最小二乘法原理，可导出a和b的算式 如下：
例9-1 某地方病研究所调查了8名正常 儿童的尿肌酐含量（mmol/24h）如表91。估计尿肌酐含量（Y）对其年龄（X） 的关系。
表14，rs界值表，P<0.01,故可认为当地居 民死因的构成和各种死因导致的潜在工作损 失年数WYPLL的构成呈正相关。 二、相同秩次较多时rs的校正 当X及Y中，相同秩次个数多时，宜用下式校 正
第四节
加权直线回归
在一些情况下，根据专业知识考虑 并结合实际数据，某些观察值对于估计 回归方程显得更“重要”，而有些不 “重要”，此时可以采用加权最小二乘
lYY的分析 如图9－4，p点的纵坐标被回归直线与均数 截成三个线段：
图9－4
平方和划分示意图
第一段 第二段
第三段
上述三段代数和为：
移项：
p点是散点图中任取一点，将所有的点子都
按上法处理，并将等式两端平方后再求和，
则有：
它们各自的自由度分别为： 可计算统计量F：
SS回 SS 残
2
F
回 残
表9-3某省1995年到1999年居民死因构成与WYPLL构成
统计学第9章 相关分析和回归分析
回归模型的类型
回归模型
一元回归
线性回归
10 - 28
多元回归
线性回归 非线性回归
非线性回归
统计学
STATISTICS (第二版)
一元线性回归模型
10 - 29
统计学
STATISTICS (第二版)
一元线性回归
1. 涉及一个自变量的回归 2. 因变量y与自变量x之间为线性关系
被预测或被解释的变量称为因变量 (dependent variable)，用y表示 用来预测或用来解释因变量的一个或多个变 量称为自变量 (independent variable) ，用 x 表示
统计学
STATISTICS (第二版)
3.相关分析主要是描述两个变量之间线性关 系的密切程度；回归分析不仅可以揭示 变量 x 对变量 y 的影响大小，还可以由 回归方程进行预测和控制 4.回归系数与相关系数的符号是一样的，但 是回归系数是有单位的，相关系数是没 有单位的。
10 - 27
统计学
STATISTICS (第二版)
10 - 19
统计学
STATISTICS (第二版)
相关系数的经验解释
1. 2. 3. 4.
|r|0.8时，可视为两个变量之间高度相关 0.5|r|<0.8时，可视为中度相关 0.3|r|<0.5时，视为低度相关 |r|<0.3时，说明两个变量之间的相关程度 极弱，可视为不相关
10 - 20
10 - 6
统计学
STATISTICS (第二版)
函数关系
(几个例子)
某种商品的销售额 y 与销售量 x 之间的关系 可表示为 y = px (p 为单价)
第九章 第四节 相关性、最小二乘估计、回归分析与独立性检验
分析与独立性检验
9/30/2013
9/30/2013
1.相关性 （1）散点图：在考虑两个量的关系时，为了对_____之间的关 变量 系有一个大致的了解，人们通常将___________的点描出来， 变量所对应 这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间 的散点图.
1.利用统计量χ 2来判断“两个变量X,Y有关系”计算公式为：
2
（A）ad-bc越小，说明X与Y关系越弱
（B）ad-bc越大，说明X与Y关系越强 （C）(ad-bc)2越大，说明X与Y关系越强 （D）(ad-bc)2越接近于0，说明X与Y关系越强
a b c d a c b d
1 2
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【拓展提升】线性相关关系与函数关系的区别 （1）函数关系中的两个变量间是一种确定性关系．例如，正 方形面积S与边长x之间的关系S＝x2就是函数关系．
（2）相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变
量与随机变量之间的关系．例如，商品的销售额与广告费是相
关关系．两个变量具有相关关系是回归分析的前提．
50 13 20－10 7） （ 4.844， 23 27 20 30
2
因为χ 2≥3.841，所以有
答案：95%
9/30/2013
考向 1
相关关系的判断
【典例1】（1）对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，„，
10)，得散点图(1)；对变量u，v有观测数据(ui,vi)(i＝1,
9/30/2013
3.独立性检验
（1）2×2列联表
设A，B为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量A：
回归分析与相关分析
回归分析与相关分析回归分析是通过建立一个数学模型来研究自变量对因变量的影响程度。
回归分析的基本思想是假设自变量和因变量之间存在一种函数关系，通过拟合数据来确定函数的参数。
回归分析可以分为线性回归和非线性回归两种。
线性回归是指自变量和因变量之间存在线性关系，非线性回归是指自变量和因变量之间存在非线性关系。
回归分析可用于预测、解释和控制因变量。
回归分析的应用非常广泛。
例如，在经济学中，回归分析可以用于研究收入与消费之间的关系；在医学研究中，回归分析可以用于研究生活方式与健康之间的关系。
回归分析的步骤包括确定自变量和因变量、选择合适的回归模型、拟合数据、检验模型的显著性和解释模型。
相关分析是一种用来衡量变量之间相关性的方法。
相关分析通过计算相关系数来度量变量之间的关系的强度和方向。
常用的相关系数有Pearson相关系数、Spearman相关系数和判定系数。
Pearson相关系数适用于连续变量，Spearman相关系数适用于顺序变量，判定系数用于解释变量之间的关系。
相关分析通常用于确定两个变量之间是否相关，以及它们之间的相关性强度和方向。
相关分析的应用也非常广泛。
例如，在市场研究中，相关分析可以用于研究产品价格与销量之间的关系；在心理学研究中，相关分析可以用于研究学习成绩与学习时间之间的关系。
相关分析的步骤包括确定变量、计算相关系数、检验相关系数的显著性和解释相关系数。
回归分析与相关分析的主要区别在于它们研究的对象不同。
回归分析研究自变量与因变量之间的关系，关注的是因变量的预测和解释；相关分析研究变量之间的关系，关注的是变量之间的相关性。
此外，回归分析通常是为了解释因变量的变化，而相关分析通常是为了量化变量之间的相关性。
综上所述，回归分析和相关分析是统计学中常用的两种数据分析方法。
回归分析用于确定自变量与因变量之间的关系，相关分析用于测量变量之间的相关性。
回归分析和相关分析在实践中有广泛的应用，并且它们的步骤和原理较为相似。
第九章相关分析和回归分析
§3 回归分析 回归分析(regression analysis )是研究两组变量之间 相互关系的统计分析方法。其中最重要的是研究一个 因变量和一个或几个自变量之间的线性关系。首先我 们研究一个因变量和一个自变量之间的线性关系。设 因变量y（通常是随机变量）和一个非随机变量x之间 有某种相关关系。在x的不全相同的取值点 x 1 , , x n 作独立观察得到y的n个观察值 y1 , , y n ，记为 (x1, y1 ), (x2 , y2 ), , (xn , yn ) 。我们的目的是从这n组数据中 寻求x和y之间的关系。 例4：观察家庭月收入与月支出之间的关系，随 机抽取10个家庭作调查得如下结果：
（一致的） if the
ranks for both elements agree: that is, if both xi > xj and yi > yj or if both
xi < xj and yi < yj. They are said to be discordant（不一致的）, if
350 300 250 200 150 100
50 -
3
5
10 30 40 50 60 80 100 120 160
0
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5 -0.5 0
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
y = -0.8263x - 2.8843
作线性性变换 u = lgy, t = lg x ，则数据变换( (lg x i , lg y i ), 由此算得变换后数据的相关系数 r = −0.9967 。这说明 变换后数据高度相关，这些数据比较集中地落在某直 线（斜率为负）的附近，这也说明原数据不是线性相 关，而是大体在曲线附近 y = dxb 。
第九章 相关分析
第九章 相关分析
( y y)2
=
( y yc )2
+
( yc y)2
由此可以推导出：
( y yc ) ( y y) ( yc y)
2 2
2
2
Lyy (a bx a b x) Lyy b ( x x)
2 2
Lyy b Lxx
表明两变量完全不相关。 （4）当计算相关系数的原始数据较多（如50项以 上）时，认为相关系数在0.3以下为无相关， 0.3以上为有相关；0.3-0.5为低度相关；0.5-0.8 为显著相关；0.8以上为高度相关。
9
第九章 相关分析
相关系数计算分析例题
生产费用
序 月产量 号 1 1.2 2 2.0 3 3.1 4 3.8 5 5.0 6 6.1 7 7.2 8 8.0 ∑ 36.4
2 2
x n y y
2
2
0.97
说明产量和生产费用之间存在高度正相关。
第九章 相关分析
第三节
回 归 分 析
一、回 归 分 析 的 意 义 回归分析是对具有相关关系的两个或两个以 上变量之间的数量变化的一般关系进行测定，确 立一个相应的数学表达式，以便从一个已知量来 推测另一个未知量，为估算预测提供一个重要的 方法。 二、回 归 的 种 类 按自变量的个数分 按回归线的形态分 一元回归 多元回归 线性回归 非线性回归
Lxx x b b y Lyy
y br r x
Lyy L21 xx
第九章 相关分析
五 回归分析与相关分析的特点
1、回归分析必须区分自变量和因变量，而相关 分析不必区分。 2、回归分析的两个变量一个是自变量，一个是 因变量，通过给定自变量的值来推算因变量 的可能值；而相关分析的两个变量都是随机 变量。 3、回归分析中对于因果关系不甚明确的两个变量， 可以建立两个回归方程；而相关分析只能计算 出一个相关系数。 4、一种回归方程只能做一种推算，即只能给出自 变量的值来推算因变量的值，不能逆推。
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相关方向： • 正相关 • 负相关
涉及变量： • 一元相关 • 多元相关
影响因素： • 单相关 • 复相关
➢在进行相关分析和回归分析之前需要观察不同变量之间的散点图。 了解相关程度。
➢x=c(1.21,1.30,1.39,1.42,1.47,1.56,1.68,1.72,1.98,2.10) ➢y=c(3.90,4.50,4.20,4.83,4.16,4.93,4.32,4.99,4.70,5.20) ➢plot(x,y)
• plot(a$x,a$y)
#作x和y的散点图
• summary(lm(y~x))
#回归分析结果
• abline(lm(y~x))
#在散点图上显示回归直线
• plot(residuals(lm(y~x))) #残差散点图
• predict(lm(y~x),data.frame(x=200),interval="prediction") #x=200时的预测区间
9.4 回归诊断
• 误差项是否满足不相关性、等方差性、正态性等 • 选择的模型是否合适 • 是否存在异常样本 • 回归分析是否具备稳定性 • 自变量之间是否存在高度相关，（多重共线性）
残差分析（残差散点图）
• 残差图：以残差为纵坐标的图形。 • 残差图应随机在-2——+2之间的带
状区间里，称之为正常残差图 （图a），其他三张为异常残差图。
弱相关 中等相关 强相关
• kappa(y)
方差膨胀因子VIF
• VIF>10，模型有很强的共线性问题。 • vif(lm(y~x1+x2+x3+......))
Logistic回归
logistic回归模型属于广义线性模型(Generalized Linear Model)的一种
R语言实现
• x1<-rep(c(1, 0, 1, 0, 1), c(5, 10, 10, 10, 10)) • x2<-c(17, 44, 48, 55, 75, 35, 42, 57, 28, 20,38, 45, 47, 52, 55, 68,t;-par(mfrow=c(1, 2)) #将两张散残差点图一并输出
• plot(y.res~y.fit)； plot(y.rst~y.fit)
方差齐性的诊断及修正方法
• 当残差的绝对值随预测值的增加也有明显
增加的趋势(或减少的趋势, 或先增加后减
少的趋势)时, 表示关于误差的方差齐性(即
• x和y的相关系数为0.68，p值=0.03≤0.05，故拒绝原假设，从而认 为x和y相关。
• 如何算x和y的Spearman秩相关系数？ • 练习：P271，9.1
9.2 一元线性回归分析
• 数学模型：
y=β0+β1X+ɛ
相关的函数： 求回归方程：lm() 求参数置信区间：confint() summary();anova();predict()
9.1 相关性及其度量
变量间相互关系分为两种： • 函数关系：可以用某一方程y=f(x)表达 • 相关关系：数值变化存在不完全确定的依存关系。可以用某种相
关性度量来刻画 • 相关关系——相关分析；函数关系——回归分析；
相关的种类
相关程度： • 完全相关 • 不完全相关 • 不相关
相关形式： • 线性相关 • 非线性相关
• B<-data.frame(x, y) • lm.reg<-lm(y~x);summary(lm.reg) • y.rst<-rstandard(lm.reg); y.fit<-predict(lm.reg) • op<-par(mfrow=c(2, 2));plot(y.rst~y.fit)
• lm.new_reg<-update(lm.reg, sqrt(.)~.);coef(lm.new_reg) • yn.rst<-rstandard(lm.new_reg); yn.fit<-predict(lm.new_reg);plot(yn.rst~yn.fit)
差。 • 相差越大，该观测点对回归结果的影响越大。 • lm.influence(模型，do.coef=TRUE)
判别标准
• Cook距离：|Di|>4/n 强影响点
•
DFFITS准则：|Di|>
2
p 1 n
强影响点
• COVRATIO准则： 离1越远，影响越大。
• influence.measures(模型)
68, 48, 17,70, 72, 35, 19, 62, 39, 40, 55, 68, 25,17, 45, 44, 67, 55, 61, 19, 69, 23, 19,72, 74, 31, 16, 61) • x3<-c(1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0,1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1,0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1) • y<-c(1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1,0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0,0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0) • accident<-data.frame(x1, x2, x3, y) • log.glm<-glm(y~x1+x2+x3, family=binomial, data=accident) • summary(log.glm)
• 根据显示结果说说X和Y的关系如何？ • 练习：P272，9.2
9.3 多元线性回归分析
• 数学模型：
y=β0+β1X1+β2X2+β3X3+β4X4+.......+ɛ
数据输入
y<-c(11.2, 8.8, 12.3, 11.6, 13.4, 18.3, 11.1, 12.1,9.6, 8.4, 9.3, 10.6, 8.4, 9.6, 10.9, 10.1,14.8, 9.1, 10.8, 10.2, 13.6, 14.9, 16.0, 13.2,20.0, 13.3, 10.4) x1<-c(5.68, 3.79, 6.02, 4.85, 4.60, 6.05, 4.90, 7.08,3.85,4.65, 4.59, 4.29, 7.97, 6.19, 6.13, 5.71,6.40,6.06, 5.09, 6.13, 5.78, 5.43, 6.50, 7.98,11.54,5.84, 3.84) x2<-c(1.90, 1.64, 3.56, 1.07, 2.32, 0.64, 8.50, 3.00,2.11, 0.63, 1.97, 1.97, 1.93, 1.18, 2.06, 1.78,2.40, 3.67, 1.03, 1.71, 3.36, 1.13, 6.21, 7.92,10.89, 0.92, 1.20) x3<-c(4.53, 7.32, 6.95, 5.88, 4.05, 1.42, 12.60, 6.75,16.28, 6.59, 3.61, 6.61, 7.57, 1.42, 10.35, 8.53,4.53,12.79, 2.53, 5.28, 2.96, 4.31, 3.47, 3.37,1.20, 8.61, 6.45) x4<-c(8.2, 6.9, 10.8, 8.3, 7.5, 13.6, 8.5, 11.5,7.9, 7.1, 8.7, 7.8, 9.9, 6.9, 10.5, 8.0,10.3, 7.1, 8.9, 9.9, 8.0, 11.3, 12.3, 9.8,10.5, 6.4, 9.6) A=data.frame(y,x1,x2,x3,x4)
• 图b：应改为曲线模型； • 图c：主差齐性不成立； • 图d：观测值不独立。
R语言实现
• y.res<-residuals(lm.reg) #计算残差
• print(y.res)
• y.rst<-rstandard(lm.reg) #计算标准化残差
• print(y.rst)
• y.fit<-predict(lm.reg)
R语言实现
• x1<-c(1500, 1500, 3300, 4200, 2000, 2500, 2300, 2500) • x2<-c(5000, 4000, 3000, 2500, 2000, 2500, 3500, 3000) • y<-c(96000, 95000, 95000, 94000, 90000, 92000, 95000, 94000) • money<-data.frame(x1, x2, y) • lm.reg<-lm(y~x1+x2, data=money) • summary(lm.reg) • influence.measures(lm.reg)
误差方差
）的假定不成立.
• 误差方差非齐性时, 有时可以通过对因变量 作适当的变换，使得关于因变量Z在回归中 误差的方差接近齐性.
R语言实现
• x<-c(294, 247, 267, 358, 423, 311, 450, 534, 438, 697,688, 630, 709, 627, 615, 999, 1022, 1015, 700, 850,980, 1025, 1021, 1200, 1250, 1500, 1650); y<-c(50, 40, 45, 55, 70, 65, 55, 62, 68, 78,80, 84, 88, 97, 100, 109, 114, 117, 106, 128,130, 160, 97, 180, 112, 210, 135)