数列通项公式题型总结

数列通项公式题型总结

类型一、等差数列前n项和公式的推导

例1、设是公差为正数的等差数列，若，，则__________例2、已知数列为等差数列，且。

（1） 求数列的通项公式；

（2） 证明

1、 设等差数列满足。

（1） 求的通项公式；

（2） 求的前n项和及使最大的序号n的值。

类型二、等比数列

例3、（1）在各项都为正数的等比数列中，首项=3，前三项和为21，则（ ）

A、33

B、72

C、84

D、189

（2） 在等差数列中，若，则有等式成立。类比上述性质，相应地：在等比数列中，若，则有等式____________________________________成立。

例4、设数列的前n项和为，已知=1，=4+2.

（1） 设，证明数列是等比数列；

（2） 求数列的通项公式。

类型三、求数列通项公式的常用方法

1、 观察法

根据数列给出的前几项的特点，通过归纳类比验证得出通项公式。

例5、求通项公式

（1）1,3,3,5,5,7,7,9,9……

（2） 6,66,666,6666,66666……

2、 公式法

运用等差数列或等比数列的通项公式

3、 作差法

若一直数列前n项和，则。注意：要讨论n=1时，是否符合所得的通项公式，不符合时要分段表达通项公式。

例7、已知数列的前n项和求的通项公式。

4、 作商法

已知数列前n项之积，则。注意：要讨论n=1时，是否符合所得的通项公式，不符合时要分段表达通项公式。

例8、数列中，，对所有的n≥2都有，则__________

5、累加法

已知，且的和比较好求，则可采用累加法来求通项公式。

例9、已知数列满足，求数列的通项公式。

6、 累乘法

已知且f(n)的前n项和比较好求，求用累乘法。

例10、在数列中，，求的表达式。

7、 构造辅助数列法

（1） 取倒数法

一般地形如等形式的递推数列，可以用倒数法将其变形为我们熟悉的形式来求通项公式。

例11、已知数列满足：，求的通项公式。

（2） 取对数法

当数列和的递推关系涉及到高次时，形如：（其中m、p、q为常数）等，我们一般采用对数法，等式两边分别取对数，进行降次，再重新构造数列运用累乘法进行求解。

例12、已知，点在函数的图像上，其中求数列的通项公式。

（3） 型

1 若为常数，即（p、q为常数，pq(p-1)≠0),对于这种类型我们有两种

方法：一是待定系数法，将原式变形为于是就构造出了一个以p为公比的等比数列，先比较系数求出，然后求出；二是逐项相减法，由于所以，再通过累加法即可求出。

例13、已知数列中，求数列的通项公式。

2 若f(n)为一次多项式，即数列的递推关系为对于这种类型，我们同样

有两种方法：一是用待定系数法，将原式变形为的形式来求解；二是用逐项相减法，再通过换元法和累加法求解。

例14、设数列中，，求的通项公式。

3 若f(n)为指数幂，即（其中p、q是常数），对于这种类型，我们有三

种方法：一是化为的形式，通过待定系数法求出，转化为等比数列求通项（注意：应用待定系数法时，要求p≠q,否则待定系数法会失

效）；二是两边同时除以，则，令，则，再累加求出，然后求出通项；三是两边同除以，令则可化为然后按照f(n)为常数的方法来求解。

例15、已知数列满足求数列的通项公式。

8、 换元法

对于含根式的递推关系，我们经常采用换元法。

例16、已知数列满足求数列的通项公式。

9、 特征根方程法

形如（p、q是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为其两根为α，β。

若α≠β，则可令是待定常数）。

若α≠β，则可令是待定常数）。

例17、已知数列满足,求数列的通项。

1、 已知数列满足，求数列的通项。

10、 数学归纳法

例18、在数列中，其中。求数列的通项公式。