随机模型与计算机模拟
随机模拟
随机模拟（蒙特卡罗算法）一 随机模拟法随机模拟法也叫蒙特卡罗法，它是用计算机模拟随机现象，通过大量仿真试验，进行分析推断，特别是对于一些复杂的随机变量，不能从数学上得到它的概率分布，而通过简单的随机模拟就可以得到近似的解答。
M onte Carlo 法也用于求解一些非随机问题，如重积分、非线性方程组求解、最优化问题等。
需要指出的是，Monte Carlo 计算量大，精度也不高，因而主要用于求那些解析方法或常规数学方法难解问题的低精度解，或用于对其他算法的验证。
蒙特卡罗方法的基本思想是：当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作为问题的解。
在解决实际问题的时候应用蒙特·卡罗方法主要有两部分工作： 用蒙特卡罗方法模拟某一过程时，需要产生各种概率分布的随机变量。
用统计方法把模型的数字特征估计出来，从而得到实际问题的数值解。
使用蒙特卡罗方法进行分子模拟计算是按照以下步骤进行的：使用随机数发生器产生一个随机的分子构型。
对此分子构型的其中粒子坐标做无规则的改变，产生一个新的分子构型。
计算新的分子构型的能量。
比较新的分子构型于改变前的分子构型的能量变化，判断是否接受该构型。
若新的分子构型能量低于原分子构型的能量，则接受新的构型。
若新的分子构型能量高于原分子构型的能量，则计算玻尔茲曼常数，同时产生一个随机数。
若这个随机数大于所计算出的玻尔兹曼因子，则放弃这个构型，重新计算。
若这个随机数小于所计算出的玻尔兹曼因子，则接受这个构型，使用这个构型重复再做下一次迭代。
如此进行迭代计算，直至最后搜索出低于所给能量条件的分子构型结束。
二 随机模拟法应用实例考虑二重积分(,)AI f x y dxdy =⎰⎰,其中(,)0,(,)f x y x y A ≥∀∈根据几何意义，它是以(,)f x y 为曲面顶点，A 为底的柱体C 的体积。
计算机仿真
模 型 构 造
行模 与型 改的 进运
运行：确定具体的运行方案,如初始条件、 参数、步长、重复次数等,然后输入数据,运 行程序。 改进：将得出的仿真结果与实际系统比较, 进一步分析和改进模型,直到符合实际系统 的要求及精度为止。
出设 设计出结构清晰的仿真结果输出。包括 仿 计 提供文件的清单,记录重要的中间结果等。 真格 结式 输出格式要有利于用户了解整个仿真过 果 输 程 ,分析和使用仿真结果.
计算机仿真举例： (库存问题) 某电动车行的仓库管理人员采取一种简单的订 货策略，当库存量降低到P辆电动车时就向厂家订 货，每次订货Q辆，如果某一天的需求量超过了库 存量，商店就有销售损失和信誉损失，但如果库存 量过多，会导致资金积压和保管费增加。若现在已 有如下表所示的两种库存策略，试比较选择一种策 略以使总费用最少。
重新订货点P辆 方案1 方案2 125 150 重新订货量 Q辆 150 250
这个问题的已知条件是： (1)从发出订货到收到货物需隔3天。 (2)每辆电动车保管费为0.50元/天，每辆电动车的缺货 损失为1.60元/天，每次的订货费为75元。 (3)每天电动车需求量是0到99之间均匀分布的随机数。 (4)原始库存为110辆，并假设第一天没有发出订货。 分析：这一问题用解析法讨论比较麻烦，但用计算 机按天仿真仓库货物的变动情况却很方便。我们以 30天为例，依次对这两种方案进行仿真，最后比较 各方案的总费用，从而就可以做出决策。 计算机仿真时的工作流程是早上到货、全天 销售、晚上订货，以一天为时间步长进行仿真。
事件: 改变系统状态的瞬间变化的事情.
事件表: 事件表一般是一个有序的记录列，每个记 录包括事件发生时间、事件类型等一些内容．
状态: 系统的状态是指在某一时刻实体及其属性 值的集合．
基于MC的计算机仿真随机模型分析与设计
Ａｎ ｌｓｓａ ｄ ｓｇ ｆ￣ ｌｈ ｓｉ ｏ ｄ ｎ Ｃ ｌｌ ｒ Ｓｍｕａｉ ｎ Ｂａ ｅ ｏ ｔ — ｒｏ Ｍ ｅ ｄ ａｙ ｉ ｎ Ｄｅ ｉｎ ｏ ｅ ａ ｌ Ｍ ｄ ｉ ｏｌ ￣ ｃ ｌ ｉ ｌｔｏ ｓ ｄ ｏ Ｍ ｎ ｅ—Ｃａ ｌ ｔ ｎ ｈｏ
Ｗ Ｕ ｉｑ ｎ， Ｃｕ — ｉ ＨＵＡＮＧ ｎ－ ｕ Ｙａ ｇ ｏ，ＫＵＡＮＧ ａ ｙ ｎ Ｘｉｎ— ａ
遇到 的很 多 随机 现 象 ， 用 在 计 算 机 上 产 生 这 类 数 利 据 ， 可 能通过 计算机 仿 真来研 究 动态 现象 及其 影 就有
数 是一种 简 单的均 匀分 布 ， 其产生 的 随机 数仅 仅 是
ＭＣ 方 法 建 立 多 种 随 机 模 型 ， 将 其 设 计 成 应 用 模 ） 并 块 ， 以直接应 用 于仿真 系统 中 。 可
１ ＭＣ 法原 理 与伪 随机 数 的产 生
计算机仿真
计算机仿真引言计算机仿真（Computer Simulation）是利用计算机模拟真实世界或虚拟系统的过程。
它通过创建数学模型和模拟实验来研究和分析各种现象和系统。
计算机仿真在许多领域中都发挥着重要的作用，包括物理学、工程学、生物学、社会科学和医学等。
计算机仿真的应用物理学仿真计算机仿真在物理学中起着至关重要的作用。
它可以模拟天体运动、流体力学、电磁场以及量子物理等现象。
通过计算机仿真，我们可以对复杂的物理系统进行研究和分析，例如黑洞的形成、星系的演化、飞机的气动特性等。
计算机仿真能够大大加速科学研究的进程，并提供准确的预测结果。
工程学仿真在工程学领域，计算机仿真广泛应用于产品设计、工艺优化和性能评估等方面。
通过创建虚拟模型和模拟实验，工程师可以在计算机上测试和优化设计方案。
这种虚拟的仿真环境可以帮助工程师降低开发成本、节省时间和资源。
例如，在汽车工程中，计算机仿真可以模拟车辆的碰撞试验，优化车身结构，提高安全性能。
生物学仿真计算机仿真在生物学研究中也发挥着重要的作用。
生物学仿真可以模拟生物体内的化学反应、细胞分裂、蛋白质折叠等生物过程。
通过计算机仿真，科学家可以深入研究生物系统的复杂性，加深对生命现象的理解。
同时，生物学仿真还可以用于药物研发、疾病模拟以及基因工程等领域。
社会科学仿真社会科学仿真是计算机仿真在社会学、经济学和人文学科中的应用。
它可以模拟人类社会的行为和互动，分析社会系统的稳定性和变化。
社会科学仿真可以用于研究市场经济、政治决策、交通流动等各种社会现象。
通过计算机仿真，我们可以预测社会系统的发展趋势，提供政策决策的参考。
医学仿真在医学领域，计算机仿真被广泛应用于医疗技术的研发和临床实践中。
例如，计算机仿真可以模拟手术过程，帮助医生进行手术前的模拟操作，提高手术的成功率。
此外，计算机仿真可以模拟人体生理过程，用于研究疾病的发展和治疗方法的优化。
计算机仿真的方法和技术数值模拟数值模拟是计算机仿真的一种重要方法。
计算机在材料科学中的应用
计算机在材料科学中的应用1 材料：是人类生产和生活水平提高的物质基础，是人类文明的重要支柱和进步的里程碑。
2 20世纪60年代，被称为当代文明的三大支柱：A材料；B 能源；C信息。
3 70年代新技术革命的主要标志指：A新型材料；B信息技术；C生物技术。
4 材料的分类：根据组成：A金属材料；B无机非金属材料；C有机高分子材料；D复合材料。
根据性能特征和作用：A结构材料；B功能材料。
根据用途：A建筑材料；B能源材料；C电子材料；D耐火材料；E医用材料；F耐蚀材料。
5 材料的性质：是材料对电、磁、光、热、机械载荷的反应，而这些性质终于要取决于材料的组成与结构。
6 使用性能：是材料在使用状态下表现出来的行为。
7 材料的合成与制备过程的内容：A传统的冶炼、制粉、压力加工和焊接；B也包括各种新发展的真空溅射、气相沉积等新工艺。
8 材料科学飞速发展的重要原因之一：材料科学随着各种技术的更新而出现了高速发展的趋势，计算机在材料科学中的应用正是材料科学飞速发展的重要原因之一。
9 计算机在材料科学中的应用：A计算机用与新材料的设计；B材料科学研究中的计算机模拟；C材料工艺过程的优化及自动控制；D计算机用于数据和图像处理；E计算机网络在材料研究中的应用。
10 材料设计：设想始于20世纪50年代，是指通过理论与计算机预报新材料的组分、结构与性能，或者是通过理论设计来“订做”具有特定性能的新材料。
按生产要求“设计”最佳的制备和加工方法。
11 材料制备技术：A急冷；B分子束外延（MBD）；C有机金属化合物气相沉积；D离子注入；E微重力制备等。
12材料设计的有效方法之一：利用计算机对真实的系统进行模拟“实验”、提供实验结果、指导新材料研究，是材料设计的有效方法之一。
13 材料设计中的计算机模拟对象遍及从材料研制到使用的全过程，包括合成、结构、性能、制备和使用等。
14 计算机模拟的优点：用计算机模拟比进行真实的实验要快、要省15 计算机模拟是一种根据实际体系在计算机上进行的模型试验。
什么是一种量化的方法
什么是一种量化的方法一种量化方法是指通过数学模型、统计分析和计算机技术等手段，将研究对象的特征或属性转化为数量化的指标或数据，并利用这些指标或数据进行分析和研究的方法。
在实际应用中，各行各业都会使用量化的方法进行研究和决策。
以下是几个常见的量化方法的介绍：1. 统计分析：统计分析是量化方法中最基础也是最常用的方法之一。
通过对数据进行收集、整理、描述和分析，得出数值化的结论。
常见的统计分析方法包括描述统计、概率统计、假设检验、回归分析等。
2. 数学模型：数学模型是使用数学语言表达和描述研究对象的行为和规律的方法。
数学模型可以是一种方程式、算法或者函数关系，用来表示变量之间的相互作用关系。
常见的数学模型包括线性模型、非线性模型、随机模型等。
3. 计算机模拟：计算机模拟是一种基于计算机技术的量化方法。
通过建立适当的模型和算法，使用计算机进行大量的计算和模拟，得到仿真结果。
计算机模拟可以用来模拟真实世界的复杂现象，预测未来的变化趋势，进行决策支持和优化设计等。
4. 经济学方法：经济学方法是运用经济学原理和理论进行量化研究的方法。
通过建立数学模型和统计分析等手段，分析供求关系、市场价格、经济政策等因素对经济行为和经济发展的影响。
经济学方法主要用于宏观经济和微观经济的研究。
5. 数据挖掘：数据挖掘是从大量数据中挖掘出潜在的、以前未知的、有用的信息的过程。
通过应用统计学、机器学习和数据库技术等方法，对大规模的数据进行搜索、分析和挖掘，发现数据中的模式、规律和关联，从而进行决策和预测。
数据挖掘广泛应用于市场营销、风险评估、客户关系管理等领域。
6. 量化投资：量化投资是一种基于量化方法进行股票、债券、期货等金融产品投资的方法。
通过利用数学模型、统计分析和计算机算法等手段，分析金融市场的行情、历史数据和各种指标，制定投资策略和模型，进行大规模的自动化交易和投资决策。
总之，量化方法的出现和应用使得研究和决策更加精确、科学和高效。
计算机仿真与建模方法
计算机仿真与建模方法计算机仿真与建模是一种利用计算机技术来模拟和重现现实系统或过程的方法。
它被广泛应用于各个领域，包括工程、科学、医学、社会科学等。
本文将介绍计算机仿真与建模的基本原理和常见方法，并探讨其在不同领域中的应用。
一、计算机仿真与建模的基本原理计算机仿真与建模的基本原理是通过数学模型来描述现实系统或过程，并运用计算机技术进行模拟和分析。
其基本步骤包括：系统建模、模型验证、仿真实验和结果评估。
1. 系统建模系统建模是计算机仿真与建模的第一步。
它涉及到对待模拟系统的深入了解，包括系统的结构、特性和行为规律等。
建模可以采用不同的方法，如数学建模、物理建模或逻辑建模等，具体选择取决于模拟对象的特点和研究目的。
2. 模型验证模型验证是保证仿真结果准确性的关键环节。
它包括对模型的数学基础、逻辑关系和参数设定进行检验和验证。
验证方法包括对比实测数据、与已有模型对比和理论推导等。
3. 仿真实验仿真实验是计算机仿真与建模的核心环节。
在仿真实验阶段，利用计算机技术对建立的数学模型进行模拟和分析，得到仿真结果。
实验中会根据需要对系统参数进行调整，以观察不同条件下系统的行为变化。
4. 结果评估结果评估是对仿真实验结果进行分析和评价的过程。
评估结果可以与实际系统进行对比，评估仿真模型的可靠性和准确性。
评估结果还可以为实际系统的改进提供参考和指导意见。
二、常见的计算机仿真与建模方法计算机仿真与建模方法有多种，具体的选择取决于模拟对象的特点和研究目的。
以下列举了几种常见的方法：1. 数值模拟方法数值模拟方法是计算机仿真与建模中常用的一种方法。
它通过将实际问题离散化为一系列数学方程，然后利用数值计算方法求解这些方程，得到仿真结果。
数值方法包括有限元法、差分法、有限差分法等，适用于各种工程、物理和科学领域的仿真建模。
2. 离散事件模拟方法离散事件模拟方法是一种基于事件驱动的仿真方法。
它将系统建模为一系列离散的事件，并模拟这些事件的发生时间和处理过程，得到仿真结果。
数学建模名词解释
0349]《数学建模》第一批次[填空题]名词解释: 1．原型2．模型3．数学模型4．机理分析5．测试分析6．理想方法7．计算机模拟8．蛛网模型9．群体决策10．直觉11．灵感12．想象力13．洞察力14．类比法15．思维模型16．符号模型17．直观模型18．物理模型19．2倍周期收敛 20．灵敏度分析21．TSP 问题22．随机存储策略23．随机模型24．概率模型25．混合整数规划26．灰色预测参考答案：1．原型：原型指人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象。
2．模型：指为某个特定目的将原形的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。
3．数学模型：是由数字、字母或其它数字符号组成的，描述现实对象数量规律的数学公式、图形或算法。
4．机理分析：根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律，建立的模型常有明显的物理意义或现实意义。
5．测试分析：将研究对象看作一个"黑箱”系统，通过对系统输入、输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合得最好的模型。
6．理想方法：是从观察和经验中通过想象和逻辑思维，把对象简化、纯化，使其升华到理状态，以其更本质地揭示对象的固有规律。
7．计算机模拟：根据实际系统或过程的特性，按照一定的数学规律用计算机程序语言模拟实际运行情况，并依据大量模拟结构对系统或过程进行定量分析。
8．蛛网模型：用需求曲线和供应曲线分析市场经济稳定性的图示法在经济学中称为蛛网模型。
9．群体决策：根据若干人对某些对象的决策结果，综合出这个群体的决策结果的过程称为群体决策。
10．直觉：直觉是人们对新事物本质的极敏锐的领悟、理解或推断。
11．灵感：灵感是指在人有意识或下意识思考过程中迸发出来的猜测、思路或判断。
12．想象力：指人们在原有知识基础上，将新感知的形象与记忆中的形象相互比较、重新组合、加工、处理，创造出新形象，是一种形象思维活动。
13．洞察力：指人们在充分占有资料的基础上，经过初步分析能迅速抓住主要矛盾，舍弃次要因素，简化问题的层次，对可以用那些方法解决面临的问题，以及不同方法的优劣作出判断。
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建模
微分方程
dP d n tb n 1 P n 1 ( t) d n 1 P n 1 ( t) ( b n d n )P n ( t)
bn=n，dn=n
d d n P t( n 1 ) P n 1 ( t)( n 1 ) P n 1 ( t) () n n ( t) P
1, Pn(0)0,
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11
2、数学模拟
在一定的假设条件下，运用数学运算模拟系统的运 行，称为数学模拟。现代的数学模拟都是在计算机上进 行的，称为计算机模拟。
计算机模拟可以反复进行，改变系统的结构和系数 都比较容易。
在实际问题中，面对一些带随机因素的复杂系统， 用分析方法建模常常需要作许多简化假设，与面临的实 际问题可能相差甚远，以致解答根本无法应用。这时， 计算机模拟几乎成为唯一的选择。
其它(出生或死亡二人， 出生且死亡一人，… …)
概率Pn(t+t) Pn-1(t), bn-1t Pn+1(t), dn+1t Pn(t), 1-bnt -dn t
o(t)
P n(t t) P n 1(t)b n 1 t P n 1(t)d n 1 t P n(t)1 可( 编 辑b ppn t t d n t) o ( t)5
nn0 nn
(t=0时已知人口为n0)
0
~一组递推微分方程——求解的困难和不必要
转而考察X(t)的期望和方差
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6
基本方程 d d n P t( n 1 ) P n 1 ( t)( n 1 ) P n 1 ( t) () n n ( t) P
求解 X(t)的期望 E(t)nPn(t) n1
研究Pn(t)的变化规律；得到X(t)的期望和方差
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3
模型假设
若X(t)=n, 对t到t+t的出生和死亡概率作以下假设
1)出生一人的概率与t成正比，记bnt ; 出生二人及二人以上的概率为o(t).
2)死亡一人的概率与t成正比，记dnt ; 死亡二人及二人以上的概率为o(t).
3)出生和死亡是相互独立的随机事件。
第七讲 随机模型与计 算机模拟
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2
随机人口模型
背景 • 一个人的出生和死亡是随机事件
一个国家或地区
平均生育率 平均死亡率
确定性模型
一个家族或村落
出生概率 死亡概率
随机性模型
对象
X(t) ~ 时刻 t 的人口, 随机变量.
Pn(t) ~概率P(X(t)=n), n=0,1,2,…
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7
求解
dE ( )E(t)
dt E(0) n0
E(t)n0er,t r
r ~ 增长概率
比较：确定性指数增长模型 x(t)x0ert r ~ 平均增长率
X(t)的方差
E
D(t)n2Pn(t)E2(t)
n1
D (t)n0
e [e ()t ()t
1]n0
E(t)+(t) E(t)-(t)
进一步假设
bn与n成正比，记bn=n , ~出生概率；
dn与n成正比，记dn=n，~死亡概率。
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4
建模 为得到Pn(t) P(X(t)=n),的变化规律，
考察Pn(t+t) =P(X(t +t)=n).
事件X(t +t)=n的分解 X(t)=n-1, t内出生一人 X(t)=n+1, t内死亡一人 X(t)=n, t内没有出生和死亡
产 生 一 个 均 值 为 ， 方 差 为 的 正 态 分 布 的 随 机 数 ： n o r m r n d ( , )
•当研究对象视为大量相互独立的随机变量之和，且其中每 一种变量对总和的影响都很小时，可以认为该对象服从正态 分布。
dE n dPn dt n1 dt
n-1=k
dE dt
n ( n 1) Pn 1 (t ) n 1
k(k1)Pk(t) k 1
n ( n 1) Pn1 (t )
k(k1)Pk(t) k1
n 1
n+1=k
( ) n 2 Pn (t )
n 1
d d E t() n 1nn(P t) ()E）方法是一种应用随机数来
进行计算机模拟的方法．此方法对研究的系统进行随机
观察抽样，通过对样本值的观察统计，求得所研究系统
的某些参数．
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用蒙特卡洛方法进行计算机模拟的步骤：
[1] 设计一个逻辑框图，即模拟模型．这个框图要正确反映系统各部 分运行时的逻辑关系。
当只知道一个随机变量取值在（a，b）内，但不知道 （也没理由假设）它在何处取值的概率大，在何处取值的 概率小，就只好用U（a，b）来模拟它。
2．产生m n阶［０，１］均匀分布的随机数矩阵：rand (m, n)
产生一个［０，１］均匀分布的随机数：rand
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3 . 产 生 m n 阶 均 值 为 ， 方 差 为 的 正 态 分 布 的 随 机 数 矩 阵 ： n o r m r n d ( , , m , n )
0
t
X(t)大致在 E(t)2(t) 范围内（ (t) ~均方差）
- = r D(t) , D(t)
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目的 内容
学习计算机模拟的基本过程与方法。
1、模拟的概念。 2、产生随机数的计算机命令。 3、计算机模拟实例。
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模拟的概念
模拟就是利用物理的、数学的模型来类比、模仿现实 系统及其演变过程，以寻求过程规律的一种方法。
模拟的基本思想是建立一个试验模型，这个模型包含 所研究系统的主要特点．通过对这个实验模型的运行，获 得所要研究系统的必要信息
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模拟的方法
1、物理模拟： 对实际系统及其过程用功能相似的实物系统去模仿。
例如，军事演习、船艇实验、沙盘作业等。
物理模拟通常花费较大、周期较长，且在物理模 型上改变系统结构和系数都较困难。而且，许多系统 无法进行物理模拟，如社会经济系统、生态系统等。
[2] 模拟随机现象．可通过具有各种概率分布的模拟随机数来模拟随 机现象．
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产生模拟随机数的计算机命令
在Matlab软件中，可以直接产生满足各种分布的随机数， 命令如下： 1．产生m n阶［a，b］均匀分布U（a，b）的随机数矩阵：
unifrnd (a,b,m, n) 产生一个［a，b］均匀分布的随机数：unifrnd (a,b)