山财自考37线性代数考核作业(已填好答案)
自考线性代数试题及答案
自考线性代数试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列矩阵中，哪一个是可逆矩阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [2, 0; 0, 1]C. [1, 1; 1, 1]D. [0, 1; 1, 0]答案：B2. 设向量v = (1, 2, 3)，向量w = (4, 5, 6)，则向量v与向量w 的点积为：A. 32B. 34C. 36D. 38答案：A3. 对于线性变换T: R^3 → R^2，如果T(x, y, z) = (x + z, y - z)，那么T的秩是：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B4. 设A和B是两个n阶方阵，若AB = BA，则称矩阵A和B是可交换的。
若A和B是两个n阶实对称矩阵，且AB = BA，那么：A. A和B一定可交换B. A和B一定不可交换C. A和B可交换或不可交换D. 无法判断A和B是否可交换答案：A5. 对于任意的n阶方阵A，以下哪个选项是正确的？A. |A| = |A^T|B. det(A) = det(A^T)C. trace(A) = trace(A^T)D. A * A^T 一定是对称矩阵答案：C6. 设A是m×n矩阵，B是n×p矩阵，若AB = 0，则：A. 必有B = 0B. 必有A = 0C. 必有rank(A) + rank(B) ≤ max(m, p)D. rank(AB) ≤ rank(A)答案：D7. 对于n维向量空间V，以下哪个命题是线性代数的基本定理？A. 每个向量都可以由V的一组基唯一表示B. V中任意两个不同的向量都是线性无关的C. V中任意非零向量都是可逆的D. V中任意两个向量都线性相关答案：A8. 设λ是n阶方阵A的一个特征值，对应的特征向量为v，则：A. (A - λI)v = 0B. Av = vC. A^2v = λ^2vD. (A + I)v = λv答案：A9. 对于任意矩阵A，以下哪个选项是正确的？A. |A| = |A^2|B. det(A) = det(A^2)C. trace(A) = trace(A^2)D. A^2 一定是可逆的答案：B10. 设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，且AB = Im，则：A. B一定是A的逆矩阵B. A一定是B的逆矩阵C. A和B互为逆矩阵D. A和B不一定是方阵答案：C二、填空题（每题3分，共15分）11. 设矩阵A = [1, 2; 3, 4]，则A的特征多项式为f(λ) = _______。
自考线性代数试题库及答案
自考线性代数试题库及答案一、选择题1. 下列矩阵中，哪一个是可逆矩阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [2, 0; 0, 1]C. [1, 1; 1, 1]D. [0, 1; 1, 0]答案：B2. 设向量组α1 = (1, 2, 3), α2 = (4, 5, 6), α3 = (7, 8, 9)，这三个向量是否线性相关？A. 是B. 不是答案：A3. 对于矩阵A，|A|表示其行列式，若|A| = 0，则A是：A. 可逆矩阵B. 非可逆矩阵C. 零矩阵D. 单位矩阵答案：B二、填空题4. 设矩阵B是由矩阵A通过初等行变换得到的，若B = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9]，则A至少包含____个非零行。
答案：三5. 对于任意的n阶方阵A，Tr(A)表示A的______。
答案：迹三、解答题6. 已知矩阵A = [2, -1; 1, 3]，求A的逆矩阵A^(-1)。
答案：首先计算A的行列式，|A| = (2 * 3) - (-1 * 1) = 7。
然后计算A的伴随矩阵，即adj(A) = [(3, 1); (-1, 2)]。
最后，A^(-1) = (1/|A|) * adj(A) = [(3/7), (1/7); (-1/7), (2/7)]。
7. 设向量空间V中的向量v1 = (1, 0, 1), v2 = (0, 1, 1), v3 = (1, 1, 0)。
证明v1, v2, v3线性无关。
答案：要证明v1, v2, v3线性无关，我们需要证明对于任意的实数a, b, c，只要a * v1 + b * v2 + c * v3 = 0，那么a = b = c = 0。
设a * v1 + b * v2 + c * v3 = (a + b, b + c, a + c) = (0, 0, 0)，由此可得a + b = 0，b + c = 0，a + c = 0。
通过简单的代数运算，可以得出a = b = c = 0，因此v1, v2, v3线性无关。
自考试题线性代数题库及答案
自考试题线性代数题库及答案线性代数是数学的一个重要分支，广泛应用于工程、物理、计算机科学等领域。
以下是一套自考试题线性代数题库及答案，供学习者参考。
一、选择题1. 下列矩阵中，哪一个是可逆矩阵？A. \( A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \)B. \( B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)C. \( C = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \)D. \( D = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \)答案： C2. 设 \( A \) 是一个 \( n \times n \) 矩阵，\( I \) 是 \( n\times n \) 的单位矩阵，若 \( A^2 = I \)，则 \( A \) 称为：A. 正交矩阵B. 反对称矩阵C. 正交变换矩阵D. 反射变换矩阵答案： D二、填空题1. 设向量 \( \mathbf{v} = (1, 2, 3) \)，向量 \( \mathbf{w} =(4, 5, 6) \)，这两个向量的点积为 __________。
答案： 322. 若 \( A \) 是一个 \( m \times n \) 矩阵，\( B \) 是一个\( n \times p \) 矩阵，则 \( AB \) 的行列数为 __________。
答案： \( m \times p \)三、解答题1. 证明：若 \( A \) 是一个 \( n \times n \) 矩阵，且 \( A^n =I \)，则 \( A \) 必定可逆。
解答：由于 \( A^n = I \)，我们可以得出 \( A \) 的 \( n \) 次幂是单位矩阵。
山财自考37线性代数考核作业(已填好问题详解)
线性代数（经管类）综合试题一（课程代码 4184）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设D==M≠0，则D1==( B )．A.－2MB.2MC.－6MD.6M2.设 A、B、C为同阶方阵，若由AB = AC必能推出B = C，则A应满足 ( D )．A. A≠OB. A = OC.|A|= 0D. |A|≠03.设A，B均为n阶方阵，则 ( A)．A.|A+AB|=0，则|A|=0或|E+B|=0B.(A+B)2=A2+2AB+B2C.当AB=O时，有A=O或B=OD.(AB)-1=B-1A-14.二阶矩阵A，|A|=1，则A-1= ( B)．A. B. C. D.，则下列说法正确的是( B )．A.若两向量组等价，则s = t .B.若两向量组等价，则r()= r()C.若s = t，则两向量组等价.D.若r()=r()，则两向量组等价.6.向量组线性相关的充分必要条件是 ( C )．A. 中至少有一个零向量B. 中至少有两个向量对应分量成比例C. 中至少有一个向量可由其余向量线性表示D. 可由线性表示7.设向量组有两个极大无关组与，则下列成立的是( C )．A. r与s未必相等B. r + s = mC. r = sD. r + s > m8.对方程组Ax = b与其导出组Ax = o，下列命题正确的是( D )．A. Ax = o有解时，Ax = b必有解.B. Ax = o有无穷多解时，Ax = b有无穷多解.C. Ax = b无解时，Ax = o也无解.D. Ax = b有惟一解时，Ax = o只有零解.9.设方程组有非零解，则k = ( D)．A. 2B. 3C. -1D. 110.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是( D )．A. |A|>0B.存在n阶方阵C使A=C T CC.负惯性指标为零D.各阶顺序主子式均为正数二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
线性代数自考试题及答案
1．设3阶方阵A的行列式为2，则= 【 B 】A．-1 B.C． D．12．设A为n阶方阵，将A的第1列与第2列交换得到方阵B，假设|A|≠|B|，则必有【 C 】 A．|A|=0 B．|A+B|≠0C．|A|≠0 D．|A+B|≠03．设，则方程的根的个数为【 B 】A．0 B. 1C．2 D．34. 设A为n阶方阵，则以下结论中不正确的选项是：【 C 】A．是对称矩阵 B. 是对称矩阵C．是对称矩阵 D．是对称矩阵5．设，其中，则矩阵A的秩为【 B 】A．0 B. 1C．2 D．36. 设阶方阵A的秩为4，则A的伴随矩阵的秩为【 A 】A．0 B. 2C．3 D．47．设向量a=(1，-2，3)与=(2，k，6)正交，则数k为【 D 】A．-10 B. -4C．4 D．108．设3的阶方阵A的特征多项式为，则|A|= 【 A 】A．-18 B. -6C．6 D．189．已知线性方程组无解，则数a= 【 D 】A． B．0C． D．110．设二次型正定，则数a的取值应满足【 C 】A．a>9 B．3 a9C．-3<a< 3 D．a-3二、填空题(本大题共10小题，每题2分，共20分)请在每题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
11．设行列式，其第三行各元素的代数余子式之和为 0 。
12.设则AB= 。
13.设线性无关的向量组可由向量组线性表示，则r与s的关系为14.设A是4x3的矩阵且r〔A〕=2，，则r〔AB〕= 215．已知向量组 =(1，2，-1)， =(2，0，t)， =(0，-4，5)的秩为2，则数t=316．设4元线性方程组Ax=b的三个解，已知，，r(A)=3．则方程组的通解是．17．设方程组有非零解，且 <0，则= -2 ．18.设矩阵有一个特征值=2，对应的特征向量为，则数a= 219．设3阶方阵4的秩为2，且，则A的全部特征值为 0，-5，-5 ．20．设实二次型，己知A的特征值为-1，1，2，则该二次型的标准形为。
自考本线性代数试题及答案
自考本线性代数试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列矩阵中，哪个是可逆矩阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [1, 0; 0, 1]C. [2, 3; 4, 5]D. [0, 1; 1, 0]答案：B2. 设A为n阶方阵，若存在常数k使得A^2 = kA，则称A为幂等矩阵。
若A是幂等矩阵且|A|≠0，则k的值是：A. 0B. 1C. -1D. n答案：B3. 对于任意的n阶方阵A，以下哪个选项是正确的？A. |A| = |A^T|B. det(A) = det(A^T)C. tr(A) = tr(A^T)D. A + A^T 总是对称矩阵答案：C4. 设A和B是两个n阶方阵，若AB=BA，则称A和B可交换。
若A和B可交换，且|A|=5，|B|=3，则|AB|的值是：A. 15B. 5C. 3D. 无法确定答案：A5. 对于n维向量空间V，以下哪个命题是线性代数的基本假设？A. 向量加法满足交换律B. 向量加法满足结合律C. 标量乘法对向量加法满足分配律D. 所有选项都是答案：D二、填空题（每题3分，共15分）6. 设向量α=(1, 2, 3)^T，β=(-4, 5, -6)^T，向量α和β的点积α·β等于______。
答案：-37. 若矩阵A的特征值为2，则矩阵2A的特征值为______。
答案：48. 设矩阵B可以表示为B=P^(-1)AP，其中P是可逆矩阵，那么B和A 是______相似的。
答案：相似9. 对于任意矩阵A，tr(A)表示矩阵A的______。
答案：迹（或特征值之和）10. 设A是一个3×3的矩阵，且A^3 = A，则A的一个特征值可以是______。
答案：1三、解答题（共75分）11. （15分）证明任意n阶方阵A，|A^T| = |A|。
证明：设A是一个n阶方阵，其行列式为|A|。
根据行列式的性质，我们知道行列式与行（列）的置换有关。
对于矩阵A的转置矩阵A^T，它的行（列）与A的列（行）相对应。
线性代数自考试题及答案
线性代数自考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 矩阵A的行列式为0，则矩阵A（）A. 可逆B. 不可逆C. 行等价于零矩阵D. 列等价于零矩阵答案：B2. 若矩阵A的秩为r，则矩阵A的齐次线性方程组的解空间的维数为（）A. rB. r-1C. n-rD. n+r答案：C3. 向量组α1，α2，…，αs线性无关，则（）A. 向量组α1+α2，α2+α3，…，αs-1+αs线性无关B. 向量组kα1，kα2，…，kαs线性无关，其中k为非零常数C. 向量组α1+α2，α2+α3，…，αs-1+αs，αs线性无关D. 向量组kα1，kα2，…，kαs线性相关，其中k为非零常数答案：B4. 设A为n阶方阵，且|A|≠0，则下列命题中正确的是（）A. A与A*的秩相等B. A*与A^(-1)的秩相等C. A与A^(-1)的秩相等D. A与A*的秩不相等答案：C5. 矩阵A=（）A. 行最简形矩阵B. 行阶梯形矩阵C. 行等价于单位矩阵的矩阵D. 行等价于零矩阵的矩阵答案：C6. 设A为3×3矩阵，且|A|=2，则|2A|=（）A. 4B. 8C. 16D. 32答案：C7. 设A为n阶方阵，且A^2=0，则（）A. A=0B. |A|=0C. A可逆D. A不可逆答案：D8. 设A为n阶方阵，且A^2=E，则（）A. A=0B. |A|=0C. A可逆D. A不可逆答案：C9. 设A为n阶方阵，且A^T=A，则（）A. A为对称矩阵B. A为反对称矩阵C. A为正交矩阵D. A为斜对称矩阵答案：A10. 设A为n阶方阵，且|A|=1，则|A^(-1)|=（）A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B二、填空题（每题2分，共20分）11. 若A为n阶方阵，且|A|=-3，则|-2A|=______。
答案：1212. 设A为n阶方阵，且A^2=0，则矩阵A的秩r(A)满足______。
7月自学考试线性代数试题及答案解析
全国2018年7月自学考试线性代数试题课程代码：02198试题符号说明：A T 表示矩阵A 的转置矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，A －1表示矩阵A 的逆矩阵，秩（A ）表示矩阵A 的秩.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设A ，B ，C 是三个n 阶方阵，若AB ＝AC ，则必有（ ）A ．A ＝0B ．B ＝C C ．|B|＝|C|D ．|AB|＝|AC|2．设A ，B 都是n 阶方阵，且|A|＝－2，|B|＝1，则|A T B －1|＝（ ）A ．－2B ．－21 C ．21 D ．23．设A 为4×5矩阵，若矩阵A 的秩为3，则秩（－3A T ）为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．设向量α＝（－1，2，－2，4），则下列向量是单位向量的是（ ）A ．31α B ．51α C ．91α D ．251α 5．二次型22212143x x )x ,x (f +=的规范形是（ ）A ．2221y y -B ．2221y y --C ．2221y y +-D ．2221y y + 6．设A 为5阶方阵，若秩（A ）＝4，则齐次线性方程组A x ＝0的基础解系中包含的解向量的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 7．向量空间W ＝｛（x 1,x 2,0,x 4）|x 1+x 2=0｝的维数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 8．设矩阵A ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛--4321，则矩阵A 的伴随矩阵A *＝（ ） A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--1324 B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1324 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--1234 D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛12349．设矩阵A ＝⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4000330022201111，则A 的线性无关的特征向量的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．设A 、B 分别为m×n 和m ×k 矩阵，向量组（Ⅰ）是由A 的行向量构成的向量组，向量组（Ⅱ）是由（A ，B ）的行向量构成的向量组，则必有（ ）A ．若（Ⅱ）线性无关，则（Ⅰ）线性无关B ．若（Ⅰ）线性无关，则（Ⅱ）线性相关C ．若（Ⅰ）线性无关，则（Ⅱ）线性无关D ．若（Ⅱ）线性无关，则（Ⅰ）线性相关二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
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线性代数（经管类)综合试题一（课程代码 4１84)一、单项选择题（本大题共10小题,每小题2分，共2０分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设D==M≠0,则D1＝=( B ).A．-2M B.2MＣ.-6Ｍ D.６M2.设A、B、C为同阶方阵,若由AＢ= AC必能推出B＝C,则A应满足( D)．A. A≠ O B．A=Ｏ C.|A|= 0 D．|A|≠03．设A，B均为n阶方阵，则（A)．A.|A+AB|=０,则|Ａ|＝0或|Ｅ+Ｂ｜=０B.(A+B)2=Ａ2+２AB+B2C.当ＡB=O时,有A=O或B=Ｏ D．（AＢ）-1=B－1A-14．二阶矩阵Ａ,|Ａ|＝1,则Ａ-1= ( B).A.Ｂ. C.D.，则下列说法正确的是( B).Ａ.若两向量组等价,则ｓ＝t .Ｂ.若两向量组等价，则ｒ()＝ｒ()C.若s = t，则两向量组等价.D．若ｒ()=ｒ(),则两向量组等价.6.向量组线性相关的充分必要条件是（C )．A.中至少有一个零向量B.中至少有两个向量对应分量成比例Ｃ.中至少有一个向量可由其余向量线性表示Ｄ.可由线性表示７.设向量组有两个极大无关组与,则下列成立的是( Ｃ).Ａ. r与s未必相等 B. r + s ＝ｍＣ. r = s D. r + s > m８.对方程组Ａx ＝b与其导出组Ax＝o,下列命题正确的是( Ｄ).A. Ax =o有解时,Ax = b必有解.Ｂ．Ax＝o有无穷多解时，Ax = b有无穷多解.C．Ax = b无解时，Ax= o也无解.D．Ax = b有惟一解时，Ax = o只有零解.9．设方程组有非零解，则ｋ=( D)．A. ２B．3 C. -1 D. 1１0．n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是( D).A.|A｜>０Ｂ.存在n阶方阵C使A=C T CC.负惯性指标为零 D．各阶顺序主子式均为正数二、填空题（本大题共10小题，每小题2分,共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
11.四阶行列式D中第３列元素依次为-1，2,0,1，它们的余子式的值依次为５,3,-7，4，则D= -1５．１２.若方阵A满足A2= A,且A≠Ｅ，则|A|= 0 .13.若A为3阶方阵,且,则|2A｜= 4．14.设矩阵的秩为２,则t= -３ .１５.设向量＝(6，８，0），=(4，–3，5),则（，)= 0 .1６.设n元齐次线性方程组A x= o,r（A)= r＜n,则基础解系含有解向量的个数为ｎ-r个.17.设＝(1，１,0),＝(0，1，1），＝(0,0，１)是Ｒ3的基,则＝（1，2,3)在此基下的坐标为 (1,1，２）１8.设A 为三阶方阵，其特征值为1,-１，2，则A 2的特征值为 １,1,4 .１9.二次型的矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---110132022２０.若矩阵A 与Ｂ=相似,则A 的特征值为 1，2,3三、计算题（本大题共6小题,每小题9分,共５４分)２1.求行列式的值解：yy x x-+-+1111111111111111=yyy x x x--+--+001111001111=xy11110000110011yx ++=xy11000000011000y x ＝ｘ²y ²２2.解矩阵方程:.解:令A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111112111，B ＝⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛632因为(ＡE ）＝⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100111010112001111→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---101200012130001111→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2102110061312101031310001，所以A 1-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2102161312131310 由A Ｘ=B ，得X= A 1-B=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2102161312131310⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛632=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23123.求向量组＝( 1, １, ２, 3 ),＝(-１,-１, 1, 1 ），=(1,3, 3, 5 ）,=（4,-2, 5, 6 )的秩和一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大无关组线性表示.解：将已知向量按列构成矩阵,并对其进行行变换:（r r r r 4321αααα） ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----6200311062004111→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----6240313062004111 →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----6200311062004111→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---0000310031104111→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0000310000107001所以，r(r r r r 4321αααα)=3,极大无关组为1α,2α,3α；4α＝71α-33α2４.ａ取何值时，方程组有解?并求其通解（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）．解:对方程组的增广矩阵施以初等变换：A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---a 114712412111112→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------273503735024121a →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----500003735024121a若方程有解,则ｒ(A )＝ｒ（A)，故a ＝5 当a=5时,继续施以初等行变换得:A →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000005357531054565101,原方程组的同解方程组为：⎪⎩⎪⎨⎧-+=--=432431575353565154x x x x x x ,x 3,x 4为自由未知量,令x 3=ｘ4=0得原方程组的一个特解:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛005354与导出组同解的方程组为： ⎪⎩⎪⎨⎧-=--=43243157535651x x x x x xｘ3，x 4为自由未知量，令⎪⎪⎭⎫⎝⎛43x x分别取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10，得到导出组的基础解系:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-015351，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--105756，所以，方程组的全部解为v ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛005354+ｃ1⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-015351+ｃ2⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--105756,其中ｃ1，c 2为任意常数。
2５.已知,求A 的特征值及特征向量，并判断Ａ能否对角化,若能，求可逆矩阵P ,使P –1AP ＝Λ(对角形矩阵）．解:矩阵A 的特征多项式为：A E -λ=11121002-----λλλ=)1()2(2--λλ所以,A 的特征值为:1,2321===λλλ对于：221==λλ，求齐次线性方程组O x A E =-)2(的基础解系，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-0000001011011010002A E ,得基础解系：,101,010⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛从而矩阵A的对应于特征值221==λλ的全部特征向量为:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10101021c c 21,c c 不全为零。
对于13=λ，求齐次线性性方程组(E-Ａ)ｘ=O 的基础解系,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-000110001001111001A E ,得基础解系:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛110,从而矩阵A的对应于特征值13=λ的全部特征向量为：()0110≠⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛c c因为三阶矩阵A 有三个线性无关的特征向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110，所以,Ａ相似于对角矩阵,且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100020002,110101010P２6.用配方法将下列二次型化为标准形:解：3231212322213214442),,(x x x x x x x x x x x x f --+-+= =[]3223222322323212142)(4)(4)(4x x x x x x x x x x x x --+---+-+ ＝2332222321542)22(x x x x x x x -+--+ =2323322223213)2(2)22(x x x x x x x x -+---+ =2323223213)(2)22(x x x x x x ----+令⎪⎩⎪⎨⎧=-=-+=33322321122x y x x y x x x y ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=333222112y x y y x y y x 得二次型的标准型为：23222132y y y --.四、证明题（本大题共6分) 27.设向量，证明向量组是R ３空间中的一个基.证：因为02100020011111011011≠==-，所以321,,ααα线性无关，所以向量组321,,ααα是3R 空间的一个基。
线性代数(经管类)综合试题二(课程代码４184)一、单项选择题(本大题共10小题，每小题２分,共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．若三阶行列式=0,则ｋ= ( Ｃ ).Ａ．1Ｂ.0 Ｃ.-1D.-22.设A、B为n阶方阵,则成立的充要条件是（ D).A.A可逆Ｂ．Ｂ可逆 C.|A｜=｜B｜D．AB=ＢＡ3.设A是ｎ阶可逆矩阵,Ａ*是A的伴随矩阵, 则（ A）.A．B．C. D.4．矩阵的秩为２,则λ =（ B).A．2B.1C.0D.５.设3×4矩阵A的秩r(Ａ)＝1，是齐次线性方程组Ａx=o 的三个线性无关的解向量，则方程组的基础解系为(D）.A． B.C.Ｄ．6.向量线性相关,则( Ｃ).A.ｋ=-４B．k = 4 Ｃ.ｋ=-3 D．k= 37.设u1, u2是非齐次线性方程组Ａｘ=b的两个解, 若是其导出组Ax=ｏ的解, 则有(Ｂ）．A．c1+c２=１B．c1＝c2C．c1+ c2=０Ｄ．c1＝２c28.设A为ｎ(ｎ≥2)阶方阵，且A2=E，则必有（B ).Ａ．Ａ的行列式等于1 B．A的秩等于ｎC.A的逆矩阵等于ED.Ａ的特征值均为１9.设三阶矩阵A 的特征值为2, 1, １, 则A -1的特征值为 ( D ).A ．1, 2 Ｂ.２, １, １ Ｃ．, 1 D ．, 1, 1 １0.二次型是( A ).A ．正定的B .半正定的C .负定的 Ｄ.不定的 二、填空题(本大题共10小题，每小题２分,共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1１．=___＿___５_＿．12.设A 为三阶方阵,且|A ｜=４,则｜2A |=＿__＿_32_＿_.13.设A =, B ＝， 则A T Ｂ=___⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1040011011___＿___． 14.设A ＝,则A －1＝＿＿＿_⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2512＿___＿_． 15.向量表示为向量组的线性组合式为_32152e e e ++-_＿＿______.16.如果方程组有非零解, 则k ＝__＿-1_______. 17.设向量与正交，则ａ ＝＿__＿2______．18.已知实对称矩阵A =,写出矩阵A 对应的二次型_3121232221321332),,(x x x x x x x x x x f -+-+=______＿＿_．19.已知矩阵Ａ与对角矩阵Λ=相似,则A ２=___E__＿＿_.２0.设实二次型的矩阵A 是满秩矩阵,且二次型的正惯性指数为3，则其规范形为_＿24232221y y y y -++_＿______． 三、计算题（本大题共6小题,每小题9分,共54分）21．计算行列式的值.解:原式=x y y y xy x y y x y y x y xy y y y x 3333++++=xy y y x y y y x y yy y x 1111)3(+ =yx yx y x yyyy x ---+0000001)3( =3))(3(y x y x -+2２．设矩阵Ａ=,B =，求矩阵A －１Ｂ .解:（ＡB)=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--123222012111011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→1341003111011011 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→134100103010111011 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→13410010301092001 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=∴-134103921B A23.设矩阵,求k 的值，使Ａ的秩r （A )分别等于1,２，3.解：对矩阵Ａ施行初等变换:当k ＝1时,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=000000321A ,矩阵Ａ的秩r （A ）=1；当k=-2时,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000330621A ，矩阵Ａ的秩r(Ａ）=2；当k 2k 且1-≠≠时，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100110321k A ，矩阵A 的秩r （A)=3.２4.求向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示．解:将所给列向量构成矩阵A ，然后实施初等行变换：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=)1)(2(00110321336003322032133220332203213232132122k k k k k k k k k k k k k k k k k k A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0000210020102001000021002210211121004200221021111812308620221021112013411073143212111)(4321αααα所以,向量组的秩3),,,(4321=ααααr ,向量组的一个极大无关组为： ,,,321ααα且有3214222αααα+-=.25．求线性方程组的基础解系，并用基础解系表示其通解．解：对方程组的系数矩阵(或增广矩阵）作初等行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=000043105401000043103221431043103221753121323221A与原方程组同解的方程组为:⎩⎨⎧-=+-=4324314354x x x x x x ,其中x 3，ｘ4为自由未知量。