证明泰勒公式
第7讲 泰勒公式
2 x →0 x →0
tan(sin x)[1 − cos(sin x)] tan x(1 − cos x)
1 2 sin x = 1 + lim 2 = 1+1 = 2. x →0 1 2 x 2
例 7-4 设 f ( x) 在 x0 附近有各阶导数且 f
(1 + x) − ( A + Bx + Cx 2 ) = D ，求 A, B, C , D 的值（可仿例题的做法， x →0 x3
1 x
引申：此题变形为如下：设 lim 注意函数展开到多少阶）. 例 7-3 求极限 lim
tan(tan x) − sin(sin x) . x →0 tan x − sin x
2
分析：和上例相似在任意点 x 处展开，但不同之处是要取任意点 x + h 的值. 证明：用泰勒公式在任意点 x 处展开并求任意点 x + h 的值. 对 ∀h > 0 ， f ( x + h) = f ( x) + f ′( x)h +
∴ ∴
f ′( x) =
f ( x + h) − f ( x ) − h
f [u ( x)] f ′′( x) = lim = lim x →0 + x →0 + [ f ′( x)]2
2. 利用拉格朗日余项的证明问题 例 7-6 设 f ( x) 在 [0,1] 上具有二阶导数， f (0) = f (1) = 0 ， min f ( x) = −1 ，求证： max f ′′( x) ≥ 8 .
( n +1)
( x0 ) ≠ 0 ，对 ∀h ∈ R ，
泰勒公式的证明过程
泰勒公式的证明过程
嘿，朋友们！今天咱来聊聊超厉害的泰勒公式的证明过程呀！
泰勒公式呢，就像是一把神奇的钥匙，能把一个复杂的函数给拆解开来，变得好理解多了。
它说的是，如果函数 f(x)在点 x₀处具有 n 阶导数，那么
在 x₀的邻域内就可以展开成一个多项式和一个余项的和。
公式长这样：
f(x)=f(x₀)+f'(x₀)(x-x₀)+(1/2!)f''(x₀)(x-x₀)²+…+(1/n!)fⁿ(x₀)(x-x₀)ⁿ+Rₙ(x)。
咱举个例子哈，就说正弦函数 sin(x)吧。
假如我们想在 x=0 处用泰勒
公式来近似它，那 sin(x)就可以写成 x-(1/3!)x³+… 这个多项式加上一个余项。
哇塞，这多神奇呀！就好像我们把正弦函数这个神秘的家伙拆得清清楚楚的！
你想想看，这不就像是我们解开一个超级复杂的谜题嘛！原本 sin(x)让你摸不着头脑，现在通过泰勒公式，我们就能很好地把握它啦！所以说呀，泰勒公式可真是个宝贝呀！别小看它哦！你说是不是超厉害的呢！。
用数学归纳法证明泰勒公式
用数学归纳法证明泰勒公式
x
一、引言
泰勒公式是数学上著名的级数展开公式，它可以用来求解函数在某一点的近似值，并且可以用来求解有限次复杂函数的精确值。
它是一种重要的数学工具，被广泛应用于科学计算、工程计算和统计学中。
本文将以数学归纳法的方式证明泰勒公式。
二、证明
（1）设f(x)为一般多项式，其形如f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn。
（2）当n＝0时，根据泰勒公式有f(x)＝a0。
（3）假设n＝k时，f(x)的泰勒公式为f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋akxk，且我们已经证明了该公式的正确性。
（4）证明n=k+1时，泰勒公式的正确性。
由于已知f(x)的泰勒公式为f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋akxk，则由泰勒展开公式可以得到
f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋akxk＋ak＋1xk＋1＝a0＋(a1＋ak
＋1x)x＋(a2＋akx)x2＋…＋(ak＋1)xk＋，
即当n＝k＋1时，f(x)的泰勒公式为f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋akxk＋ak＋1xk＋1，且该公式的正确性已被证明。
（5）综上所述，根据数学归纳法可以证明，当n从0取值到正无穷时，f(x)的泰勒公式的正确性得以证实。
三、总结
本文利用数学归纳法证明了泰勒公式的正确性。
从而说明，当n 从0取值到正无穷时，f(x)的泰勒公式的正确性得以证实。
泰勒公式 证明
泰勒公式证明全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：泰勒公式是微积分中非常重要的公式之一，它被广泛应用于求解函数在某一点处的近似值。
泰勒公式的证明涉及到数学分析的基本原理和技巧，在这篇文章中，我们将为大家详细介绍泰勒公式的证明过程。
我们来回顾一下泰勒公式的表达式。
对于一个连续可导的函数f(x)，在某点a处的泰勒展开式可以表示为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ... + f^(n)(a)(x-a)^n/n! + R_n(x)其中f(a)表示函数在点a处的函数值，f'(a)表示函数在点a处的导数，f''(a)表示函数在点a处的二阶导数，以此类推。
R_n(x)为余项，表示当n趋向于无穷大时的极限值。
现在，我们来证明泰勒公式。
我们假设函数f(x)在区间[a,b]上具有n+1阶连续导数。
根据拉格朗日中值定理，存在点ξ∈(a,b)，使得f(b)可以表示为：其中R_n(b)为余项，表示f(b)和泰勒展开式之间的误差。
我们可以将R_n(b)表示为：R_n(b) = f^(n+1)(ξ)(b-a)^(n+1)/(n+1)!接下来，我们定义一个新的函数g(x) = f(x) - T_n(x)，其中T_n(x)表示的是f(x)的n阶泰勒展开式，即：我们可以计算g(x)在点b处的导数g^(n+1)(b)：由于f(x)具有(n+1)阶连续导数，可以得到g^(n+1)(b) = 0，即g(x)在点b处的(n+1)阶导数为零。
根据罗尔定理，存在点ξ'∈(a,b)，使得g'(ξ') = 0。
接下来，我们来证明ξ'等于ξ。
根据注脚法，设h(ξ) = f(b) -T_n(b)，我们可以得到：我们可以将h(ξ)的泰勒展开式表示为：由于h^(n+1)(ξ') = 0，我们得到h(ξ) = O((ξ - ξ')^(n+1))。
泰勒公式的证明及应用
泰勒公式的证明及应用work Information Technology Company.2020YEAR摘要：泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，是一种非常重要的数学工具。
它集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在微积分学及相关领域的各个方面都有重要的应用。
本文通过对泰勒公式的证明方法进行介绍，归纳整理其在求极限与导数、判定级数与广义积分的敛散性、不等式的证明、定积分的证明等方面的应用，从而进一步加深对泰勒公式的认识。
关键词：泰勒公式，佩亚诺余项，拉格朗日余项，验证，应用绪论随着近代微积分的发展，许多数学家都致力于相关问题的研究，尤其是泰勒，麦克劳林、费马等人作出了具有代表性的工作。
泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的。
泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式，对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式()20000000()()()()()()()(),1!2!!n n n f x f x f x T x f x x x x x x x n '''=+-+-++-称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式，若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有0()()(()),n n f x T x x x ο=+-即()200000000()()()()()()()()(()).2!!n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+-++-+- 称为泰勒公式.众所周知，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，且有很高的精确度，在微积分的各个方面都有重要的应用。
用数学归纳法证明泰勒公式
用数学归纳法证明泰勒公式数学归纳法是一种证明数学命题的常用方法，通过此方法可以证明泰勒公式的正确性。
以下将通过数学归纳法来证明泰勒公式。
首先，我们先回顾一下泰勒公式的表达式：设函数f(x)在点a的某个邻域内具有n+1阶导数,则有：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+R_n(x) 其中，R_n(x)是余项，表示略去前n项后产生的误差。
接下来，我们通过数学归纳法证明泰勒公式对于任意自然数n 都成立。
1.基础情形：当n=0时，泰勒公式的表达式为：f(x)=f(a)+R_0(x)2.归纳假设：假设对于任意的n=k，泰勒公式成立，即：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^k(a)(x-a)^k/k!+R_k(x) 3.归纳步骤：我们需要证明当n=k+1时，泰勒公式也成立。
设F(x)=f(x)+c_0+c_1(x-a)+...+c_k(x-a)^k，其中c_0, c_1, ...,c_k都是待定系数。
我们要找到这样一组系数，使得F(x)满足以下条件：F(a)=F'(a)=F''(a)=...=F^k(a)=0通过求解这个方程组，我们可以确定c_0, c_1, ..., c_k的具体值。
因为F(x)-f(x)是一个k+1阶的多项式函数，所以根据求导法则，F'(x)-f'(x)是一个k阶的多项式函数。
同理，F''(x)-f''(x)，...，F^k(x)-f^k(x)都是多项式函数。
因此，我们可以得知F(x)的k+1阶导数和f(x)的k+1阶导数是相同的。
根据归纳假设，f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^k(a)(x-a)^k/k!+R_k(x)所以，F(x)-f(x)的表达式可以写为：F(x)-f(x)=c_{k+1}(x-a)^(k+1)+R_k(x)将F(a)=F'(a)=F''(a)=...=F^k(a)=0代入上式，可以求解出c_{k+1}=f^(k+1)(a)/(k+1)!因此，我们得到新的F(x)的表达式：F(x)=f(x)+f^(k+1)(a)(x-a)^(k+1)/(k+1)!+R_k(x)将F(x)回代回f(x)，我们可以得到f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^k(a)(x-a)^k/k!+f^(k+1)(a)(x-a)^(k+1)/(k+1)!+R_k(x)这就是n=k+1时泰勒公式的表达式。
3-3 泰勒公式
+
1)n+1 ,
ξ在 − 1与x之间.
注 1的误差为 Rn( x) = f ( x) − pn( x)
Rn( x) =
f (n+1)(ξ )
(n + 1) !
(
x
−
x0
)n+1
(ξ 在 x0 与 x 之间).
当在 x0 的某邻域内 f (n+1)( x) ≤ M (常数) 时 , 有
的具体估计式.
pn(x) 的确定: pn( x) = a0+ a1( x − x0 ) + a2( x − x0 )2 + + an( x − x0 )n ,
观察： f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + o( x − x0 )
有
= f ( x0 ) p1( x) 相交
Rn (1)
<
(n
3 + 1)
!<
10−6
,
由ex计=算1 +可x知+ x当2 +n =x39+时上+式x成n 立 , 因此
+
1)!.
f (−1) = −1, f ′(−1) = −1, f ′′(−1) = −2!,
因此
, f (n)(−1) = −n!.
f ( x) = −1 − ( x + 1) − ( x + 1)2 − − ( x + 1)n + Rn( x),
其中Rn( x)
=
(−1)n+1
ξ n+2
(
x
− −
Rn′ x0
泰勒公式及其应用
第一章 绪论近代微积分的蓬勃发展，促使几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研究，特别是泰勒，笛卡尔，费马，巴罗，沃利斯等人作出了具有代表性的工作.泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的.泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式，对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式()20000000()()()()()()()(),1!2!!n n n f x f x f x T x f x x x x x x x n '''=+-+-++-称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式，若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有0()()(()),n n f x T x x x ο=+-即()200000000()()()()()()()()(()).2!!n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+-++-+-称为泰勒公式.众所周知，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的应用. 泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要作用,它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面.关于泰勒公式的应用，已有许多专家学者对它产生了浓厚的兴趣，它们对某些具体的题目作出了具体的解法，如求极限，判断函数凹凸性和收敛性，求渐近线，界的估计和近似值的计算等等.虽然泰勒公式应用到各个数学领域很多，但也还有很多方面学者还很少提及，因此在这泰勒公式及其应用方面我们有研究的必要，并且有很大的空间.泰勒公式不仅在极限和不等式证明中能解决许多问题，同时也是研究分析数学的重要工具.其原理是很多函数都能用泰勒公式表示，又能借助于泰勒公式来研究函数近似值式和判断级数收敛性的问题.因此泰勒公式在数学实际应用中是一种重要的应用工具，我们必须掌握它，用泰勒公式这一知识解决更多的数学实际问题.第二章 泰勒公式1.1泰勒公式的意义泰勒公式的意义是，用一个n 次多项式来逼近函数f .而多项式具有形式简单，易于计算等优点.泰勒公式由()f x 的n 次泰勒多项式()n P x 和余项0()[()]n n R x o x x =-组成，我们来详细讨论它们. 当n =1时，有1000()()()()P x f x f x x x '=+-，是()y f x =的曲线在点00(,())x f x 处的切线（方程），称为曲线()y f x =在点00(,())x f x 的一次密切，显然，切线与曲线的差异是较大的，只是曲线的近似. 当n =2时，有2020000()()()()()()2!f x P x f x f x x x x x '''=+-+-， 是曲线()y f x =在点00(,())x f x 的“二次切线”，也称曲线()y f x =在点00(,())x f x 的二次密切.可以看出，二次切线与曲线的接近程度比切线要好.当次数越来越高时，接近程度越来越密切，近似程度也越来越高.1.2泰勒公式余项的类型泰勒公式的余项分为两类，一类是定性的，一类是定量的，它们的本质相同，但性质各异.定性的余项如佩亚诺型余项0(())n o x x -，仅表示余项是比0()n x x -（当0x x →时）高阶的无穷小.如33sin ()6x x x o x =-+，表示当0x →时，sin x 用36x x -近似，误差（余项）是比3x 高阶的无穷小.定量的余项如拉格朗日型余项(1)101()()(1)!n n f x x n ξ++-+（ξ也可以写成00()x x x θ+-）、柯西余项（如在某些函数的幂级数展开时用）.定量的余项一般用于函数值的计算与函数形态的研究. 1.3泰勒公式的定义（1）带有佩亚诺(Peano )型余项的泰勒公式如果函数()f x 在点0x 的某邻域内具有n 阶导数, 则对此邻域内的点x ,有()200000000()()()()()()()()(()).2!!n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+-++-+-当00x =时, 上式称为麦克劳林(Maclaurin )公式.即()(1)21(0)(0)(0)()(0)(0)(01)2!!(1)!n n n n f f f f x f f x x x x n n θθ++'''=+++++<<+（2）带有拉格朗日(Lagrange )型余项的泰勒公式如果函数()f x 在点0x 的某邻域内具有1n +阶导数, 则对此邻域内的点x , 有()(1)2100000000()()()()()()()()()()2!!(1)!n n n n f x f x f f x f x f x x x x x x x x x n n ξ++'''=+-+-++-+-+(ξ介于0x 与x 之间）第三章 泰勒公式的实际应用2.1利用泰勒公式求极限对于待定型的极限问题，一般可以采用洛比达法则来求，但是，对于一些求导比较繁琐，特别是要多次使用洛比达法则的情况，泰勒公式往往是比洛比达法则更为有效的求极限工具.利用泰勒公式求极限，一般用麦克劳林公式形式，并采用佩亚诺型余项.当极限式为分式时，一般要求分子分母展成同一阶的麦克劳林公式，通过比较求出极限. 例1 求224cos limx x x ex -→-分析：此题分母为4x ，如果用洛比达法则，需连用4次，比较麻烦.而用带佩亚诺余项的泰勒公式解求较简单. 解： 因为2211()2!x e x x o x =+++ 将x 换成22x -有222222211()()(())22!22x x x x eo -=+-+-+-又244cos 1()2!4!x x x o x =-++所以 24442111cos ()()()2484x x ex o x o x --=-+- 441()12x o x =-+ 故2442441()cos 112lim lim 12x x x x o x x e x x -→∞→∞-+-==- 例2 求极限2240cos limsin x x x e x-→-.解： 因为分母的次数为4，所以只要把cos x ，22x e -展开到x 的4次幂即可.24411cos 1()2!4!x x x o x =-++ 22224211()()22!2x x x eo x -=-+-+故 2240cos limsin x x x e x-→-444011()()4!8lim x x o x x→-+= 112=- 带有佩亚诺型余项的泰勒公式是求函数极限的一个非常有力的工具 ,运用得当会使求函数的极限变得十分简单. 2.2利用泰勒公式进行近似计算例1 用x e 的10次泰勒多项式求e 的近似值i ，并估计误差. 解：在x e 的泰勒公式中取1,10x n ==,则有111112!3!10!e ≈+++++2.718281801=由于e 的精确度值e 2.718281801=，可以看出这么算得的结果是比较准确的.关于计算的误差，则有如下的估计11813()6.81011!11!x e d x ξ==<≈⨯. 必须注意，泰勒公式只是一种局部性质，因此在用它进行近似计算时，x 不能远离0x ，否则效果会比较差，甚至产生完全错误的结果.如在ln(1)x +的泰勒多项式中令x =1，取它的前10项计算ln 2的近似值，得到111111111ln 212345678910≈-+-+-+-+-=0.645 634 92…而ln 2=0.693 147 28…，误差相当大，但如改用其他泰勒多项式，如1lnln(1)ln(1)1xx x x+=+--- 23223221()232232n n nx x x x x x x x o x n n ⎡⎤⎡⎤=-+--------+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦352122()3521n nx x x x o x n -⎡⎤=+++++⎢⎥-⎣⎦， 令1,3x =只取前两项便有3111ln 22()333⎡⎤≈+=⎢⎥⎣⎦0.69135…,取前四项则可达到3571111111ln 22()()()3335373⎡⎤≈+++⎢⎥⎣⎦=0.693 124 75…,效果比前面好得多.例2 当x 很小时，推出331111x x x x +-⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭的简单的近似公式. 解： 当x 很小时，111133331122111111x x x x x x x x +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2224[1][1]3(1)3(1)3(1)x x xx x x ≈+--=--- 43x≈2.3在不等式证明中的应用关于不等式的证明，我们已经在前面介绍了多种方法，如利用拉格朗日中值定理来证明不等式，利用函数的凸性来证明不等式，以及通过讨论导数的符号来得到函数的单调性，从而证明不等式的方法.下面我们举例说明，泰勒公式也是证明不等式的一个重要方法.例1 设()f x 在[0,1]二次可导，而且(0)(1)0f f ==，01lim ()1x f x ≤≤=-，试求存在(0,1)ξ∈，使()8f ξ''≥.证： 由于()f x 在[0,1]的最小值不等于在区间端点的值，故在[0,1]内存在1x ，使1()1f x =-，由费马定理知，1()0f x '=. 又21111()()()()()()2!f f x f x f x x x x x η'''=+-+- 21()1()2!f x x η''=-+-（η介于x 与1x 之间） 由于(0)(1)0f f ==，不令0x =和1x =，有211()0(0)1(0)2f f x ξ''==-+- 所以21112()2(1)(1)f x x ξξ-''=-<<当1112x <≤时，2128x -≥，而当1112x <<时，212(1)8x --≥，可见1()f ξ''与2()f ξ''中必有一个大于或等于8.2.4泰勒公式在外推上的应用外推是一种通过将精度较低的近似值进行适当组合，产生精度较高的近似值的方法，它的基础是泰勒公式，其原理可以简述如下. 若对于某个值a ，按参数h 算出的近似值1()a h 可以展开成231123()a h a c h c h c h =++++（*）（这里先不管i c 的具体形式），那么按参数2h 算出的近似值1()2h a 就是231123111()2248h a a c h c h c h =++++ (**)1()a h 和1()2ha 与准确值a 的误差都是()o h 阶的.现在，将后(**)式乘2减去（*）式，便得到11232232()()2()21ha a h a h a d h d h -==+++-也就是说，对两个()o h 阶的近似值化了少量几步四则运算进行组合之后，却得到了具有2()o h 阶的近似值2()a h .这样的过程就称为外推.若进行了一次外推之后精度仍未达到要求，则可以从2()a h 出发再次外推，22343344()()2()41ha a h a h a e h e h -==+++-，得到3()o h 阶的近似值3()a h .这样的过程可以进行1k -步，直到11112()()2()()21k k k k k k ha a h a h a o h -----==+-， 满足预先给定的精度.外推方法能以较小的待解获得高精度的结果，因此是一种非常重要的近似计算技术.例 1 单位圆的内接正n 边形的面积可以表示为1()sin(2)2S h h hπ=， 这里1h n=,按照泰勒公式351(2)(2)()223!5!h h S h h h πππ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦246123c h c h c h π=++++因此，其内接正2n 边形的面积可以表示为351()()()23!5!h h h S h h πππ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦24612314c h c h c h π=++++，用它们作为π的近似值，误差都是()o h 量级的.现在将这两个近似的程度不够理想的值按以下方式组合：4()()()()22()()4123h hS S h S S h h S h S --==+- 那么通过简单的计算就可以知道4623()S h d h d h π=+++2h 项被消掉了！也就是说，用()S h 近似表示π，其精度可以大大提高.2.5求曲线的渐近线方程若曲线()y f x =上的点(,())x f x 到直线y ax b =+的距离在x →+∞或x →-∞时趋于零，则称直线y ax b =+是曲线()y f x =的一条渐近线.当0a =时称为水平渐近线，否则称为斜渐近线.显然，直线y ax b =+是曲线()y f x =的渐近线的充分必要条件为lim [()()]0x f x ax b →+∞-+=或lim [()()]0x f x ax b →-∞-+=如果y ax b =+是曲线()y f x =的渐近线，则()()lim 0x f x ax b x →+∞-+=（或()()lim 0x f x ax b x→-∞-+=）. 因此首先有()lim x f x a x →+∞=（或()lim x f x a x→-∞=）. 其次，再由lim [()()]0x f x ax b →+∞-+=（或lim [()()]0x f x ax b →-∞-+=）可得 lim [()]x b f x ax →+∞=-（或lim [()]x b f x ax →-∞=-） 反之，如果由以上两式确定了a 和b ，那么y ax b =+是曲线()y f x =的一条渐近线.中至少有一个成立，则称直线y ax b =+是曲线()y f x =的一条渐近线，当0a =时，称为水平渐近线，否则称为斜渐近线.而如果()f x 在x 趋于某个定值a 时趋于+∞或-∞，即成立lim ()x f x →∞=±∞则称直线x a =是()f x 的一条垂直渐近线.注意，如果上面的极限对于x →∞成立，则说明直线y ax b =+关于曲线()y f x =在x →+∞和x →-∞两个方向上都是渐近线.除上述情况外，如果当x a +→或a -时，()f x 趋于+∞或-∞，即lim ()x a f x +→=±∞或lim ()x a f x -→=±∞，则称直线x a =是曲线()y f x =的一条垂直渐近线.例1 求 2(1)3(1)x y x -=+的渐近线方程. 解： 设 2(1)3(1)x y x -=+的渐近线方程为y ax b =+，则由定义 2(1)1lim lim 3(1)3x x y x a x x x →∞→∞-===+ 2(1)lim[]3(1)x x b ax x →∞-=-+ 2(1)1l i m []3(1)3x x x x →∞-=-+ =131lim 131x x x →∞-+=-+ 由此13x y =-为曲线y =2(1)3(1)x x -+的渐近线方程。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!•(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!•(x-x.)^3+……+f(n) (x.)/n!•(x-x.)^n+Rn其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!•(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。
（注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数，不是f(n)与x.的相乘。
）证明：我们知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α（根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx→0 f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.)Δx），其中误差α是在limΔx→0 即limx→x.的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式： P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n来近似地表示函数f(x)且要写出其误差f(x)-P(x)的具体表达式。
设函数P(x)满足P(x.)=f(x.),P'(x.)=f'(x.),P''(x.)=f''(x.),……,P(n)(x.)=f(n)(x.),于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An。
显然，P(x.)=A0,所以A0=f(x.)；P'(x.)=A1,A1=f'(x.)；P''(x.)=2!A2,A2=f''(x.)/2!……P(n) (x.)=n!An,An=f(n)(x.)/n!。
至此，多项的各项系数都已求出，得：P(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!•(x-x.)^2+……+f(n)(x.)/n!•(x-x.)^n.接下来就要求误差的具体表达式了。
设Rn(x)=f(x)-P(x),于是有Rn(x.)=f(x.)-P(x.)=0。
所以可以得出Rn(x.)=Rn'(x.)=Rn''(x.)=……=Rn(n) (x.)=0。
根据柯西中值定理可得Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(x)-Rn(x.)/(x-x.)^(n+1)-0=Rn'(ξ1)/(n+1)(ξ1-x.)^n(注：(x.-x.)^(n+1)=0),这里ξ1在x和x.之间；继续使用柯西中值定理得Rn'(ξ1)-Rn'(x.)/(n+1)(ξ1-x.)^n-0=Rn''(ξ2)/n(n+1)(ξ2-x.)^(n-1)这里ξ2在ξ1与x.之间；连续使用n+1次后得出Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(n+1)(ξ)/(n+1)!，这里ξ在x.和x之间。
但Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-P(n+1)(x),由于P(n)(x)=n!An,n!An是一个常数，故P(n+1)(x)=0，于是得Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)。
综上可得，余项Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!•(x-x.)^(n+1)。
一般来说展开函数时都是为了计算的需要，故x往往要取一个定值，此时也可把Rn(x)写为Rn。
麦克劳林展开式：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和：f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!•x^2,+f'''(0)/3!•x^3+……+f(n)(0)/n!•x^n+Rn其中Rn=f(n+1)(θx)/(n+1)!•x^(n+1),这里0<θ<1。
证明：如果我们要用一个多项式P(x)=A0+A1x+A2x^2+……+Anx^n来近似表示函数f(x)且要获得其误差的具体表达式，就可以把泰勒公式改写为比较简单的形式即当x.=0时的特殊形式：f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!•x^2,+f'''(0)/3!•x^3+……+f(n)(0)/n!•x^n+f(n+1)(ξ)/(n+1)!•x^(n+1)由于ξ在0到x之间，故可写作θx，0<θ<1。
麦克劳林展开式的应用：1、展开三角函数y=sinx和y=cosx。
解：根据导数表得：f(x)=sinx , f'(x)=cosx , f''(x)=-sinx , f'''(x)=-cosx , f(4)(x)=sinx……于是得出了周期规律。
分别算出f(0)=0，f'(0)=1, f''(x)=0, f'''(0)=-1,f(4)=0……最后可得：sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+x^9/9!-……（这里就写成无穷级数的形式了。
）类似地，可以展开y=cosx。
2、计算近似值e=lim x→∞ (1+1/x)^x。
解：对指数函数y=e^x运用麦克劳林展开式并舍弃余项：e^x≈1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!当x=1时，e≈1+1+1/2!+1/3!+……+1/n!取n=10,即可算出近似值e≈2.7182818。
3、欧拉公式：e^ix=cosx+isinx（i为-1的开方，即一个虚数单位）证明：这个公式把复数写为了幂指数形式，其实它也是由麦克劳林展开式确切地说是麦克劳林级数证明的。
过程具体不写了，就把思路讲一下：先展开指数函数e^z，然后把各项中的z写成ix。
由于i的幂周期性，可已把系数中含有土i的项用乘法分配律写在一起，剩余的项写在一起，刚好是cosx,sinx的展开式。
然后让sinx乘上提出的i，即可导出欧拉公式。
有兴趣的话可自行证明一下。
[编辑本段]泰勒展开式e的发现始于微分,当 h 逐渐接近零时,计算之值,其结果无限接近一定值 2.71828...,这个定值就是 e,最早发现此值的人是瑞士著名数学家欧拉,他以自己姓名的字头小写 e 来命名此无理数.计算对数函数的导数,得 ,当 a=e 时, 的导数为 ,因而有理由使用以 e 为底的对数,这叫作自然对数.若将指数函数 ex 作泰勒展开,则得以 x=1 代入上式得此级数收敛迅速,e 近似到小数点后 40 位的数值是将指数函数 ex 扩大它的定义域到复数 z=x+yi 时,由透过这个级数的计算,可得由此,De Moivre 定理,三角函数的和差角公式等等都可以轻易地导出.譬如说,z1=x1+y1i, z2=x2+y2i,另方面,所以,我们不仅可以证明 e 是无理数,而且它还是个超越数,即它不是任何一个整系数多项式的根,这个结果是 Hermite 在1873年得到的.甲)差分.考虑一个离散函数(即数列) R,它在 n 所取的值 u(n) 记成 un,通常我们就把这个函数书成或 (un).数列 u 的差分还是一个数列,它在 n 所取的值以定义为以后我们干脆就把简记为(例):数列 1, 4, 8, 7, 6, -2, ... 的差分数列为 3, 4, -1, -1, -8 ...注:我们说「数列」是「定义在离散点上的函数」如果在高中,这样的说法就很恶劣.但在此地,却很恰当,因为这样才跟连续型的函数具有完全平行的类推.差分算子的性质(i) [合称线性](ii) (常数) [差分方程根本定理](iii)其中 ,而 (n(k) 叫做排列数列.(iv) 叫做自然等比数列.(iv)' 一般的指数数列(几何数列)rn 之差分数列(即「导函数」)为 rn(r-1) (乙).和分给一个数列 (un).和分的问题就是要算和 . 怎么算呢我们有下面重要的结果:定理1 (差和分根本定理) 如果我们能够找到一个数列 (vn),使得 ,则和分也具有线性的性质:甲)微分给一个函数 f,若牛顿商(或差分商) 的极限存在,则我们就称此极限值为f 为点 x0 的导数,记为 f'(x0) 或 Df(x),亦即若 f 在定义区域上每一点导数都存在,则称 f 为可导微函数.我们称为 f 的导函数,而叫做微分算子.微分算子的性质:(i) [合称线性](ii) (常数) [差分方程根本定理](iii) Dxn=nxn-1(iv) Dex=ex(iv)' 一般的指数数列 ax 之导函数为(乙)积分.设 f 为定义在 [a,b] 上的函数,积分的问题就是要算阴影的面积.我们的办法是对 [a,b] 作分割:;其次对每一小段 [xi-1,xi] 取一个样本点 ;再求近似和 ;最后再取极限(让每一小段的长度都趋近于 0).若这个极限值存在,我们就记为的几何意义就是阴影的面积.(事实上,连续性也「差不多」是积分存在的必要条件.)积分算子也具有线性的性质:定理2 若 f 为一连续函数,则存在.(事实上,连续性也「差不多」是积分存在的必要条件.)定理3 (微积分根本定理) 设 f 为定义在闭区间 [a,b] 上的连续函数,我们欲求积分如果我们可以找到另一个函数 g,使得 g'=f,则注:(1)(2)两式虽是类推,但有一点点差异,即和分的上限要很小心!上面定理1及定理3基本上都表述着差分与和分,微分与积分,是两个互逆的操作,就好像加法与减法,乘法与除法是互逆的操作一样.我们都知道差分与微分的操作比和分与积分简单多了,而上面定理1及定理3告诉我们,要计算 (un) 的和分及 f 的积分,只要去找另一个 (vn) 及g 满足 , g'=f (这是差分及微分的问题),那么对 vn 及 g 代入上下限就得到答案了.换句话说,我们可以用较简单的差分及微分操作来掌握较难的和分及积分操作,这就是"以简御繁"的精神.牛顿与莱布尼慈对微积分最大的贡献就在此.甲)Taylor展开公式这分别有离散与连续的类推.它是数学中「逼近」这个重要想法的一个特例.逼近想法的意思是这样的:给一个函数 f,我们要研究 f 的行为,但 f 本身可能很复杂而不易对付,于是我们就想法子去找一个较「简单」的函数 g,使其跟 f 很「靠近」,那么我们就用 g 来取代 f.这又是以简御繁的精神表现.由上述我们看出,要使用逼近想法,我们还需要澄清两个问题:即如何选取简单函数及逼近的尺度.(一) 对于连续世界的情形,Taylor 展式的逼近想法是选取多项函数作为简单函数,并且用局部的「切近」作为逼近尺度.说得更明白一点,给一个直到到 n 阶都可导微的函数 f,我们要找一个 n 次多项函数 g,使其跟 f 在点 x0 具有 n 阶的「切近」,即 ,答案就是此式就叫做 f 在点 x0 的 n 阶 Taylor 展式.g 在 x0 点附近跟 f 很靠近,于是我们就用 g 局部地来取代 f.从而用 g 来求得 f 的一些局部的定性行为.因此 Taylor 展式只是局部的逼近.当f是足够好的一个函数,即是所谓解析的函数时,则 f可展成 Taylor 级数,而且这个 Taylor 级数就等于 f 自身.值得注意的是,一阶 Taylor 展式的特殊情形,此时 g(x)=f(x0+f'(x0)(x-x0)) 的图形正好是一条通过点 (x0,f(x0)) 而且切于 f 的图形之直线.因此f 在点 x0 的一阶 Taylor 展式的意义就是,我们用过点 (x0,f(x0)) 的切线局部地来取代原来 f 曲线.这种局部化「用平直取代弯曲」的精神,是微分学的精义所在.利用 Talor 展式,可以帮忙我们做很多事情,比如判别函数的极大值与极小值,求积分的近似值,作函数表(如三角函数表,对数表等),这些都是意料中事.事实上,我们可以用逼近的想法将微积分「一以贯之」.复次我们注意到,我们选取多项函数作为逼近的简单函数,理由很简单:在众多初等函数中,如三角函数,指数函数,对数函数,多项函数等,从算术的观点来看,以多项函数最为简单,因为要计算多项函数的值,只牵涉到加减乘除四则运算,其它函数就没有这么简单.当然,从别的解析观点来看,在某些情形下还另有更有用更重要的简单函数.例如,三角多项式,再配合上某种逼近尺度,我们就得到 Fourier 级数展开,这在应用数学上占有举足轻重的地位.(事实上,Fourier 级数展开是采用最小方差的逼近尺度,这在高等数学中经常出现,而且在统计学中也有应用.)注:取 x0=0 的特例,此时 Taylor 展式又叫做 Maclaurin 展式.不过只要会做特例的展开,欲求一般的 Taylor 展式,作一下平移(或变数代换)就好了.因此我们大可从头就只对 x=0 点作 Taylor 展式.(二) 对于离散的情形,Taylor 展开就是:给一个数列 ,我们要找一个 n 次多项式数列 (gt),使得 gt 与 ft 在 t=0 点具有 n 阶的「差近」.所谓在 0 点具有 n 阶差近是指:答案是此式就是离散情形的 Maclaurin 公式.乙)分部积分公式与Abel分部和分公式的类推(一) 分部积分公式:设 u(x),v(x) 在 [a,b] 上连续,则(二) Abel分部和分公式:设(un),(v)为两个数列,令 sn=u1+......+un,则上面两个公式分别是莱布尼慈导微公式 D(uv)=(Du)v+u(Dv),及莱布尼慈差分公式的结论.注意到,这两个莱布尼慈公式,一个很对称,另一个则不然.(丁)复利与连续复利 (这也分别是离散与连续之间的类推)(一) 复利的问题是这样的:有本金 y0,年利率 r,每年复利一次,要问 n 年后的本利和 yn= 显然这个数列满足差分方程 yn+1=yn(1+r)根据(丙)之(二)得知 yn=y0(1+r)n 这就是复利的公式.(二) 若考虑每年复利 m 次,则 t 年后的本利和应为令 ,就得到连续复利的概念,此时本利和为y(t)=y0ert换句话说,连续复利时,t 时刻的本利和 y(t)=y0ert 就是微分方程 y'=ry 的解答.由上述我们看出离散复利问题由差分方程来描述,而连续复利的问题由微分方程来描述.对于常系数线性的差分方程及微分方程,解方程式的整个要点就是叠合原理,因此求解的办法具有完全平行的类推.(戊)Fubini 重和分定理与 Fubini 重积分定理(也是离散与连续之间的类推)(一) Fubini 重和分定理:给一个两重指标的数列 (ars),我们要从 r=1 到m,s=1到 n, 对 (ars) 作和 ,则这个和可以这样求得:光对 r 作和再对 s 作和(反过来亦然).亦即我们有(二)Fubini 重积分定理:设 f(x,y) 为定义在上之可积分函数,则当然,变数再多几个也都一样.(己)Lebesgue 积分的概念(一) 离散的情形:给一个数列 (an),我们要估计和 ,Lebesgue 的想法是,不管这堆数据指标的顺序,我们只按数值的大小来分堆,相同的分在一堆,再从每一堆中取一个数值,乘以该堆的个数,整个作和起来,这就得到总和.(二)连续的情形:给一个函数 f,我们要定义曲线 y=f(x) 跟 X 轴从 a 到 b 所围出来的面积.Lebesgue 的想法是对 f 的影域作分割:函数值介 yi-1 到 yi 之间的 x 收集在一齐,令其为 , 于是 [a,b] 就相应分割成 ,取样本点 ,作近似和让影域的分割加细,上述近似和的极限若存在的话,就叫做 f 在 [a,b] 上的 Lebesgue 积分.泰勒公式的余项f(x)=f(a) + f'(a)(x-a)/1! + f''(a)(x-a)^2/2! + …… + f(n)(a)(x-a)^n/n! +Rn(x) [其中f(n)是f的n阶导数]泰勒余项可以写成以下几种不同的形式：1.佩亚诺(Peano)余项：Rn(x) = o((x-a)^n)2.施勒米尔希-罗什(Schlomilch-Roche)余项：Rn(x) = f(n+1)(a+θ(x-a))(1-θ)^(n+1-p)(x-a)^(n+1)/(n!p)[f(n+1)是f的n+1阶导数，θ∈(0,1)]3.拉格朗日(Lagrange)余项：Rn(x) = f(n+1)(a+θ(x-a))(x-a)^(n+1)/(n+1)![f(n+1)是f的n+1阶导数，θ∈(0,1)]4.柯西(Cauchy)余项：Rn(x) = f(n+1)(a+θ(x-a))(1-θ)^n (x-a)^(n+1)/n![f(n+1)是f的n+1阶导数，θ∈(0,1)]5.积分余项：Rn(x) = [f(n+1)(t)(x-t)^n在a到x上的积分]/n![f(n+1)是f的n+1阶导数]泰勒简介18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒（Brook Taylor），于1685 年8月18日在米德尔塞克斯的埃德蒙顿出生。