【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线综合题答案-
2020高考数学圆锥曲线试题(含答案)
2020高考虽然延期，但是每天练习一定要跟上，加油！圆锥曲线一． 选择题：1.（福建卷11)又曲线22221x y a b==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为BA.(1,3)B.(]1,3C.(3,+∞)D.[)3,+∞2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ）A. （41，－1） B. （41，1）C. （1，2）D. （1，－2）3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22c a . 其中正确式子的序号是BA. ①③B. ②③C. ①④D. ②④4.（湖南卷8）若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2)B.(2,+∞)C.(1,5)D. (5,+∞)5.（江西卷7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A ．(0,1) B ．1(0,]2C．(0,2 D．,1)26.（辽宁卷10）已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ） AB ．3 CD ．927.（全国二9）设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（ B ）A． B． C ．(25)， D．(28.（山东卷(10)设椭圆C 1的离心率为135，焦点在X 轴上且长轴长为ABCD-26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为A（A ）1342222=-y x (B)15132222=-y x(C)1432222=-y x (D)112132222=-y x9.（陕西卷8）双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ B ）ABC D10.（四川卷12）已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且AK AF =，则AFK ∆的面积为( B )（Ａ）4 （Ｂ）8 （Ｃ）16 （Ｄ）3211.（天津卷（7）设椭圆22221x y m n+=（0m >，0n >）的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为B（A ）2211216x y += （B ）2211612x y += （C ）2214864x y += （D ）2216448x y += 12.（浙江卷7）若双曲线12222=-by a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是D（A ）3 （B ）5 （C ）3 （D ）5 13.（浙江卷10）如图，AB 是平面a 的斜线段，A 为斜足，若点P 在平面a 内运动，使得△ABP 的面积为定值，则动点P 的轨迹是B（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）一条直线 （D ）两条平行直线14.（重庆卷(8)已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的一条渐近线为y =kx (k ＞0),离心率e 5k ,则双曲线方程为C（A ）22x a －224y a =1(B)222215x y a a -= (C)222214x y b b-=(D)222215x y b b-=二． 填空题：1.（海南卷14）过双曲线221916x y -=的右顶点为A ，右焦点为F 。
【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线综合题答案
即 (x1, y1 2) (x2 , y2 2), x1 x2 ，
于是 x1 x2
x22 , x1
x2
(1
)
x2
,
(
x1 1
x2
)2
x1 x2
，……………⑤
( 4k )2
3
1 k2
1 k2
将③④代入⑤得 2
2
，
(1 )2
16
整理得
3(1 )2 , 1 1
则 16k 2m2 4 2k 2 1 2m2 4 0 ，即 m2 4k 2 2 0
又 x1
x2
4km 2k 2 1
，
x1 x2
2m 2 2k 2
4 1
9分
∴ y1 y2 kx1 mkx2 m k 2 x1x2 kmx1 x2 m2
…………11 分
(2 x1, y1) 3(2 x2 , y2 )
∴ 2yx1133y(22 x2 )
由
y1
y2
3 y2
y2
2 y2
12t 3t2 1
得
y2
6t 3t2 1
由
y1 y2
(3y2 ) y2
3 y22
9 3t2 1
得
y22
y2
1
消去 y得(1 k 2 )x 2 4kx 3 0,由 0得k 2 3 .
2
2
设 M (x1, y1 ), N (x2 , y2 ) ，则
2020高考—圆锥曲线(解答+答案)
2020年高考——圆锥曲线1.(20全国Ⅰ文21)（12分）已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程； （2）证明：直线CD 过定点.2.(20全国Ⅰ理20)（12分）已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程； （2）证明：直线CD 过定点.3.（20全国Ⅱ文19）(12 分)已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴重直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．（1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．4.（20全国Ⅱ理19）（12分）已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |． （1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程．5.（20全国Ⅲ文21）（12分）已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<，A ，B 分别为C 的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积．6.（20全国Ⅲ理20）（12分）已知椭圆222:1(05)25x y C m m+=<<，A ，B 分别为C 的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积．7.（20新高考Ⅰ22）（12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点A （2，1）．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．8.(20天津18)（本小题满分15分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．9.(20浙江21)（本题满分15分）如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于点M （B ，M 不同于A ）． （Ⅰ）若116p =，求抛物线2C 的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．10.（20江苏18）（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求12AF F △的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记OAB △与MAB △的面积分别为S 1，S 2，若213S S =，求点M 的坐标．11.(20北京20)（本小题15分）已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --，且2a b =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ．求||||PB BQ 的值．参考答案：1．解：（1）由题设得(,0),(,0),(0,1)A a B a G -．则(,1)AG a =，(,1)GB a =-．由8AG GB ⋅=得218a -=，即3a =．所以E 的方程为2219x y +=．（2）设1122(,),(,),(6,)C x y D x y P t ．若0t ≠，设直线CD 的方程为x my n =+，由题意可知33n -<<． 由于直线PA 的方程为(3)9t y x =+，所以11(3)9ty x =+．直线PB 的方程为(3)3t y x =-，所以22(3)3ty x =-．可得12213(3)(3)y x y x -=+．由于222219x y +=，故2222(3)(3)9x x y +-=-，可得121227(3)(3)y y x x =-++， 即221212(27)(3)()(3)0m y y m n y y n ++++++=．①将x my n =+代入2219xy +=得222(9)290m y mny n +++-=．所以212122229,99mn n y y y y m m -+=-=-++． 代入①式得2222(27)(9)2(3)(3)(9)0m n m n mn n m +--++++=． 解得3n =-（舍去），32n =． 故直线CD 的方程为32x my =+，即直线CD 过定点3(,0)2． 若0t =，则直线CD 的方程为0y =，过点3(,0)2．综上，直线CD 过定点3(,0)2．2．解：（1）由题设得A （–a ，0），B （a ，0），G （0，1）.则(,1)AG a =，GB =（a ，–1）.由AG GB ⋅=8得a 2–1=8，即a =3.所以E 的方程为29x +y 2=1．（2）设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），P （6，t ）.若t ≠0，设直线CD 的方程为x =my +n ，由题意可知–3<n <3. 由于直线PA 的方程为y =9t （x +3），所以y 1=9t （x 1+3）.直线PB 的方程为y =3t （x –3），所以y 2=3t（x 2–3）.可得3y 1（x 2–3）=y 2（x 1+3）.由于222219x y +=，故2222(3)(3)9x x y +-=-，可得121227(3)(3)y y x x =-++， 即221212(27)(3)()(3)0.m y y m n y y n ++++++=①将x my n =+代入2219xy +=得222(9)290.m y mny n +++-=所以12229mn y y m +=-+，212299n y y m -=+．代入①式得2222(27)(9)2(3)(3)(9)0.m n m n mn n m +--++++= 解得n =–3（含去），n =32.故直线CD 的方程为3=2x my +，即直线CD 过定点（32，0）． 若t =0，则直线CD 的方程为y =0，过点（32，0）.综上，直线CD 过定点（32，0）.3．解：（1）由已知可设2C 的方程为24y cx =，其中c =不妨设,A C 在第一象限，由题设得,A B 的纵坐标分别为2b a ，2b a -；,C D 的纵坐标分别为2c ，2c -，故22||b AB a=，||4CD c =.由4||||3CD AB =得2843b c a=，即2322()c c a a ⨯=-，解得2c a =-（舍去），12c a =.所以1C 的离心率为12.（2）由（1）知2a c =，b =，故22122:143x y C c c+=，所以1C 的四个顶点坐标分别为(2,0)c ，(2,0)c -，)，(0,)，2C 的准线为x c =-. 由已知得312c c c c +++=，即2c =.所以1C 的标准方程为2211612x y +=，2C 的标准方程为28y x =.4．解：（1）由已知可设2C 的方程为24y cx =，其中c =不妨设,A C 在第一象限，由题设得,A B 的纵坐标分别为2b a ，2b a -；,C D 的纵坐标分别为2c ，2c -，故22||b AB a=，||4CD c =.由4||||3CD AB =得2843b c a=，即2322()c c a a ⨯=-，解得2c a =-（舍去），12c a =.所以1C 的离心率为12.（2）由（1）知2a c =，b =，故22122:143x y C c c+=，设00(,)M x y ，则220022143x y c c +=，2004y cx =，故20024143x x c c+=.①由于2C 的准线为x c =-，所以0||MF x c =+，而||5MF =，故05x c =-，代入①得22(5)4(5)143c c c c --+=，即2230c c --=，解得1c =-（舍去），3c =. 所以1C 的标准方程为2213627x y +=，2C 的标准方程为212y x =.5．解：（1）由题设可得54=，得22516m =，所以C 的方程为221252516x y +=. （2）设(,),(6,)P P Q P x y Q y ，根据对称性可设0Q y >，由题意知0P y >， 由已知可得(5,0)B ，直线BP 的方程为1(5)Qy x y =--，所以||BP y =，||BQ =， 因为||||BP BQ =，所以1P y =，将1P y =代入C 的方程，解得3P x =或3-. 由直线BP 的方程得2Q y =或8.所以点,P Q 的坐标分别为1122(3,1),(6,2);(3,1),(6,8)P Q P Q -.11||PQ 11PQ 的方程为13y x =，点(5,0)A -到直线11PQ，故11APQ △的面积为1522=. 22||PQ =22P Q 的方程为71093y x =+，点A 到直线22P Q的距离为26，故22AP Q △的面积为152262⨯=. 综上，APQ △的面积为52.6．解：（1）由题设可得54=，得22516m =， 所以C 的方程为221252516x y +=. （2）设(,),(6,)P P Q P x y Q y ，根据对称性可设0Q y >，由题意知0P y >，由已知可得(5,0)B ，直线BP 的方程为1(5)Qy x y =--，所以||BP y =，||BQ =， 因为||||BP BQ =，所以1P y =，将1P y =代入C 的方程，解得3P x =或3-. 由直线BP 的方程得2Q y =或8.所以点,P Q 的坐标分别为1122(3,1),(6,2);(3,1),(6,8)P Q P Q -.11||PQ 11PQ 的方程为13y x =，点(5,0)A -到直线11PQ 的距离为2，故11APQ △的面积为1522=.22||PQ =22P Q 的方程为71093y x =+，点A 到直线22P Q故22AP Q △的面积为1522=. 综上，APQ △的面积为52.7．解：（1）由题设得22411a b +=，22212a b a -=，解得26a =，23b =． 所以C 的方程为22163x y +=． （2）设11(,)M x y ，22(,)N x y ．若直线MN 与x 轴不垂直，设直线MN 的方程为y kx m =+，代入22163x y +=得222(12)4260k x kmx m +++-=． 于是2121222426,1212km m x x x x k k -+=-=++．①由AM AN ⊥知0AM AN ⋅=，故1212(2)(2)(1)(1)0x x y y --+--=， 可得221212(1)(2)()(1)40k x x km k x x m ++--++-+=．将①代入上式可得22222264(1)(2)(1)401212m kmk km k m k k-+---+-+=++．整理得(231)(21)0k m k m +++-=．因为(2,1)A 不在直线MN 上，所以210k m +-≠，故2310k m ++=，1k ≠．于是MN 的方程为21()(1)33y k x k =--≠. 所以直线MN 过点21(,)33P -. 若直线MN 与x 轴垂直，可得11(,)N x y -.由0AM AN ⋅=得1111(2)(2)(1)(1)0x x y y --+---=. 又2211163x y +=，可得2113840x x -+=.解得12x =（舍去），123x =. 此时直线MN 过点21(,)33P -. 令Q 为AP 的中点，即41(,)33Q . 若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt ADP △的斜边，故1||||2DQ AP ==. 若D 与P 重合，则1||||2DQ AP =. 综上，存在点41(,)33Q ，使得||DQ 为定值.8．（Ⅰ）解：由已知可得3b =．记半焦距为c ，由||||OF OA =可得3c b ==．又由222a b c =+，可得218a =．所以，椭圆的方程为221189x y +=． （Ⅱ）解：因为直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以AB CP ⊥．依题意，直线AB 和直线CP 的斜率均存在．设直线AB 的方程为3y kx =-．由方程组223,1,189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =，或21221k x k =+.依题意，可得点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为(0,3)-，所以点P 的坐标为2263,2121k k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭．由3OC OF =，得点C 的坐标为(1,0)，故直线CP 的斜率为2230216121k k k --+-+，即23261k k -+．又因为AB CP ⊥，所以231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =，或1k =． 所以，直线AB 的方程为132y x =-，或3y x =-．9.（Ⅰ）由116p =得2C 的焦点坐标是1(,0)32． （Ⅱ）由题意可设直线:(0,0)l x my t m t =+≠≠，点00(,)A x y ．将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=得222(2)220m y mty t +++-=， 所以点M 的纵坐标22M mt y m =-+． 将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得2220y pmy pt --=，所以02M y y pt =-，解得202(2)p m y m+=， 因此22022(2)p m x m+=． 由220012x y +=得2421224()2()160m m p m m =+++≥，所以当m，t =时，p．10.解：（1）椭圆22:143x y E +=的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ， 则2224,3,1a b c ===.所以12AF F △的周长为226a c +=.（2）椭圆E 的右准线为4x =.设(,0),(4,)P x Q y ，则(,0),(4,)OP x QP x y ==--，2(4)(2)44,OP QP x x x ⋅=-=--≥-在2x =时取等号.所以OP QP ⋅的最小值为4-.（3）因为椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为12,F F ，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ⊥， 则123(1,0),(1,0),(1,)2F F A -. 所以直线:3430.AB x y -+= 设(,)M x y ，因为213S S =，所以点M 到直线AB 距离等于点O 到直线AB 距离的3倍. 由此得|343||30403|355x y -+⨯-⨯+=⨯， 则34120x y -+=或3460x y --=. 由2234120,143x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得2724320x x ++=，此方程无解； 由223460,143x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩得271240x x --=，所以2x =或27x =-. 代入直线:3460l x y --=，对应分别得0y =或127y =-. 因此点M 的坐标为(2,0)或212(,)77--.11.。
2020年高考数学真题汇编10 圆锥曲线 理( 解析版)
2020高考真题分类汇编：圆锥曲线一、选择题1.【2020高考真题浙江理8】如图，F 1,F 2分别是双曲线C ：22221x y a b-=（a,b ＞0）的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P,Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交与点M ，若|MF 2|=|F 1F 2|,则C 的离心率是A.33 B 。
6223【答案】B【解析】由题意知直线B F 1的方程为：b x c b y +=，联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=0,b y a x b x cb y 得点Q ),(a c bc a c ac --，联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=0,b y a x b x cb y 得点P ),(ac bc a c ac ++-，所以PQ 的中点坐标为),(222b c b c a ，所以PQ 的垂直平分线方程为：)(222bca xbc b c y --=-，令0=y ，得)1(22b a c x +=，所以c ba c 3)1(22=+，所以2222222a cb a -==，即2223c a =，所以26=e 。
故选B2.【2020高考真题新课标理8】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，43AB =；则C 的实轴长为（ ）()A 2 ()B 22()C 4 ()D 8【答案】C【解析】设等轴双曲线方程为)0(22>=-m m y x ，抛物线的准线为4-=x ，由34=AB ,则32=A y ,把坐标)32,4(-代入双曲线方程得4121622=-=-=y x m ，所以双曲线方程为422=-y x ，即14422=-y x ，所以2,42==a a ，所以实轴长42=a ，选C. 3.【2020高考真题新课标理4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，12PF F ∆是底角为30o 的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12 ()B 23 ()C 34 ()D 45【答案】C【解析】因为12PF F ∆是底角为30o 的等腰三角形，则有PF F F 212=,，因为2130=∠F PF ，所以0260=∠D PF ,0230=∠DPF ，所以21222121F F PF D F ==，即c c c a =⨯=-22123，所以c a 223=，即43=a c ，所以椭圆的离心率为43=e ，选C.4.【2020高考真题四川理8】已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。
高三数学圆锥曲线综合试题答案及解析
高三数学圆锥曲线综合试题答案及解析1.已知圆经过椭圆的右焦点和上顶点．（1）求椭圆的方程；（2）过原点的射线与椭圆在第一象限的交点为，与圆的交点为，为的中点，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】本题考查直线、圆、椭圆、平面向量、分式函数等基础知识，考查直线与圆锥曲线的位置关系；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合、化归与转化及函数与方程等数学思想．第一问，数形结合，令y=0，x=0即可分别求出c和b的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，设出直线方程和P、Q点坐标，令直线与椭圆联立得到Q点横坐标，利用向量的数量积，将P、Q点坐标代入，得到关于k的表达式，利用导数求函数的最值；法二，将进行转化，变成，再利用配方法求最值.试题解析：（1）在中，令得，即，令，得，即， 2分由，∴椭圆：. 4分（2）法一：依题意射线的斜率存在，设，设 -5分得：，∴. 6分得：，∴， 7分∴. 9分．设，，令，得．又，∴在单调递增，在单调递减. 11分∴当时，，即的最大值为. 13分法二：依题意射线的斜率存在，设，设 5分得：，∴. 6分= 9分.设，则.当且仅当即.法三：设点，，6分= . 7分又，设与联立得： . 9分令. 11分又点在第一象限，∴当时，取最大值. 13分【考点】直线、圆、椭圆、平面向量、分式函数.2.（本小题满分12分）已知曲线上的点到点的距离比它到直线的距离小2.（1）求曲线的方程；（2）曲线在点处的切线与轴交于点.直线分别与直线及轴交于点，以为直径作圆，过点作圆的切线，切点为，试探究：当点在曲线上运动（点与原点不重合）时，线段的长度是否发生变化？证明你的结论.【答案】（1）.（2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明见解析.【解析】（1）思路一：设为曲线上任意一点，依题意可知曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，得到曲线的方程为.思路二：设为曲线上任意一点，由，化简即得.（2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明如下：由（1）知抛物线的方程为，设，得，应用导数的几何意义，确定切线的斜率，进一步得切线的方程为.由，得.由，得.根据，得圆心，半径，由弦长，半径及圆心到直线的距离之关系，确定.试题解析：解法一：（1）设为曲线上任意一点，依题意，点S到的距离与它到直线的距离相等，所以曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，所以曲线的方程为.（2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明如下：由（1）知抛物线的方程为，设，则，由，得切线的斜率，所以切线的方程为，即.由，得.由，得.又，所以圆心，半径，.所以点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变.解法二：（1）设为曲线上任意一点，则，依题意，点只能在直线的上方，所以，所以，化简得，曲线的方程为.（2）同解法一.【考点】抛物线的定义，导数的几何意义，直线方程，直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系.3.已知抛物线C:的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且.(1)求抛物线C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A,B两点，若AB的垂直平分线与C相交于M,N两点，且A,M,B,N四点在同一个圆上，求直线l的方程.【答案】（1）；（2）x-y-1=0或x+y-1=0.【解析】（1）设Q（x0，4），代入由中得x=，在根据抛物线的性质可得，解出p即可（2）设直线l的方程为，（m≠0）代入中得，直线的方程为，将上式代入中，并整理得.A（x1,y1）,B(x2,y2),M(x3,y3),N(x4,y4),根据二次函数根与系数的关系可得y1+y2=4m，y1y2=－4，.然后求出MN的中点为E和AB的中点为D坐标的表达式，计算的表达式,根据求出m即可.试题解析：（1）设Q（x0，4），代入由中得x=，所以，由题设得，解得p=－2（舍去）或p=2.所以C的方程为.（2）依题意知直线l与坐标轴不垂直，故可设直线l的方程为，（m≠0）代入中得，设A（x1,y1）,B(x2,y2),则y1+y2=4m，y1y2=－4，故AB的中点为D（2m2+1,2m），，有直线的斜率为－m，所以直线的方程为，将上式代入中，并整理得.设M(x3,y3),N(x4,y4),则.故MN的中点为E（）.由于MN垂直平分AB，故A,M,B,N四点在同一个圆上等价于,从而,即，化简得m2-1=0，解得m=1或m=－1，所以所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.【考点】1.抛物线的性质和方程；2.直线方程以及直线与曲线的位置关系.4.如图，已知椭圆的右焦点为，点是椭圆上任意一点，圆是以为直径的圆．（1）若圆过原点，求圆的方程；（2）写出一个定圆的方程，使得无论点在椭圆的什么位置，该定圆总与圆相切,请写出你的探究过程．【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）因为是圆的直径，所以当圆过原点时，一定有，由此可确定点的位置并进一步求出圆的标准方程；（2）设圆M的半径为,连结，显然有根据椭圆的标准方程知,所以，从而找到符合条件的定圆.解：（1）解法一：因为圆过原点，所以，所以是椭圆的短轴顶点，的坐标是或，于是点的坐标为或，易求圆的半径为所以圆的方程为或 6分解法二：设，因为圆过原点，所以所以，所以，所以点于是点的坐标为或，易求圆的半径所以圆的方程为或 6分（2）以原点为圆心，5为半径的定圆始终与圆相内切，定圆的方程为 8分探究过程为：设圆的半径为，定圆的半径为，因为，所以当原点为定圆圆心，半径时，定圆始终与圆相内切．（13分）【考点】1、椭圆的定义与标准方程；2、圆的定义与标准方程.5.已知，是双曲线的左，右焦点，若双曲线左支上存在一点与点关于直线对称，则该双曲线的离心率为A．B．C．D．【答案】【解析】即双曲线的一条渐近线方程.过焦点且垂直渐近线的直线方程为：，与联立，解之可得故对称中心的点坐标为（）；由中点坐标公式可得对称点的坐标为，将其代入双曲线的方程可得结合化简可得，故．故选.【考点】双曲线的几何性质，直线方程，两直线的位置关系.6.已知F1、F2为双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M，且满足||＝3||，则此双曲线的渐近线方程为________．【答案】y＝±x【解析】由双曲线的性质可推得||＝b，则||＝3b，在△MF1O中，||＝a，||＝c，cos∠F1OM＝－，由余弦定理可知＝－，又c2＝a2＋b2，可得a2＝2b2，即＝，因此渐近线方程为y＝±x．7.抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是（）A．B．C．D．3【答案】B【解析】设抛物线y=﹣x2上一点为（m，﹣m2），该点到直线4x+3y﹣8=0的距离为，分析可得，当m=时，取得最小值为，故选B．8.已知椭圆和椭圆的离心率相同，且点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆上一点，过点作直线交椭圆于、两点，且恰为弦的中点。
2020年高考数学圆锥曲线解答题必刷热点题型(附答案解析)
2020年高考数学圆锥曲线解答题必刷热点题型1．（2020•蚌埠三模）如图，设抛物线21:4C x y =与抛物线22:2(0)C y px p =>在第一象限的交点为2(,)4t M t ，点A ，B 分别在抛物线2C ，1C 上，AM ，BM 分别与1C ，2C 相切．（1）当点M 的纵坐标为4时，求抛物线2C 的方程；（2）若[1t ∈，2]，求MBA ∆面积的取值范围．2．（2020•威海一模）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点3(1,)2P -是椭圆上一点，12||F F 是1||PF 和2||PF 的等差中项．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若A 为椭圆的右顶点，直线AP 与y 轴交于点H ，过点H 的另一直线与椭圆交于M 、N 两点，且6HMA PHN S S ∆∆=，求直线MN 的方程．3．（2020•濮阳一模）已知O 为坐标原点，抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点坐标为1(0,)2，点A ，B 在该抛物线上且位于y 轴的两侧，3OA OB =u u u r u u u r g ．（Ⅰ）证明：直线AB 过定点(0,3)；（Ⅱ）以A ，B 为切点作C 的切线，设两切线的交点为P ，点Q 为圆22(1)1x y -+=上任意一点，求||PQ 的最小值．4．（2020•辽阳一模）已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点．（1）若l 过点F ，抛物线C 在点P 处的切线与在点Q 处的切线交于点G ．证明：点G 在定直线上．（2）若2p =，点M 在曲线y =MP ，MQ 的中点均在抛物线C 上，求MPQ ∆面积的取值范围．5．（2020•东莞市模拟）已知抛物线2:4E y x =，过抛物线焦点F 的直线1分别交抛物线E 和圆22:(1)1F x y -+=于点A 、C 、D 、B （自上而下）．（1）求证：||||AC BD g 为定值；（2）若||AC 、||CD 、||DB 成等差数列，求直线l 的方程．6．（2020•天津一模）已知抛物线2:C y =的焦点为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点，C 的准线与E 交于P ，Q 两点，且||2PQ =．（1）求E 的方程；（2）过E 的左顶点A 作直线l 交E 于另一点B ，且(BO O 为坐标原点）的延长线交E 于点M ，若直线AM 的斜率为1，求l 的方程．。
2024年新高考版数学专题1_9.5 圆锥曲线的综合问题(分层集训)
解析 (1)设动点P的坐标为(x,y),因为| PF | = 5 ,
d5
所以
(x 1)2 y2
=
5 ,即5[(x+1)2+y2]=|x+5|2,整理得 x2 + y2 =1.所以动点P的
| x5|
5
54
轨迹方程为 x2 + y2 =1.
54
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),由(1)可得点A的坐标为(0,-2),故直线AM:y=
AC
·BC
=1,
则点C的轨迹为 ( )
A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.直线
答案 A
3.(2023届贵州遵义新高考协作体入学质量监测,8)已知圆C的方程为(x-1)2
+y2=16,B(-1,0),A为圆C上任意一点,若点P为线段AB的垂直平分线与直线
AC的交点,则点P的轨迹方程为 ( )
A. x2 + y2 =1
2 2
+
y2 b2
=1(a>b>0)的离心率e=
2 ,四
2
个顶点组成的菱形的面积为8 2 ,O为坐标原点.
(1)求椭圆E的方程;
(2)过☉O:x2+y2= 8
上任意点P作☉O的切线l与椭圆E交于点M,N,求证:
PM
·
3
PN
为定值.
解析 (1)由题意得2ab=8 2 ,e= c = 2 ,a2=b2+c2,
2
3
6
,
0
,∴
PM
=
0,
2
3
6
,
PN
=
0,
2
6 3
,
∴
高考数学母题解密专题20 圆锥曲线综合附答案及解析(北京专版)
专题20 圆锥曲线综合【母题原题1】【2020年北京高考】已知椭圆2222:1x yCa b+=过点(2,1)A--，且2a b=．【母题原题2】【20219年北京高考（文）】已知椭圆2222:1x yCa b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A.【母题原题3】【20219年北京高考（理）】已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．【命题意图】（1）掌握直线方程的几种形式，掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程，能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.（2）了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.（3）掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.（4）了解圆锥曲线的简单应用.（5）理解数形结合的思想.【命题规律】解析几何的解答题一般难度较大，多为试卷的压轴题之一，常考查直线与圆锥曲线的位置关系及最值范围、定点、定值、存在性问题及证明问题，多涉及最值求法，综合性强.从近三年高考情况来看，多考查直线与圆或抛物线的位置关系，但也要注意对椭圆知识的考查，解题时，充分利用数形结合思想，转化与化归思想．同时注重数学思想在解题中的指导作用，以及注重对运算能力的培养.【方法总结】（一）求直线方程的常用方法有（1）直接法：根据已知条件灵活选用直线方程的形式，写出方程．（2）待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程．（3）直线在x(y)轴上的截距是直线与x(y)轴交点的横(纵)坐标，所以截距是一个实数，可正、可负，也可为0，而不是距离．（4）求直线方程时，如果没有特别要求，求出的直线方程应化为一般式Ax+By+C=0，且A≥0.（二）求圆的方程（1）求圆的方程必须具备三个独立的条件．从圆的标准方程来看，关键在于求出圆心坐标和半径，从圆的一般方程来讲，能知道圆上的三个点即可求出圆的方程，因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法．（2）用几何法求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”，“半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形”．（三）求椭圆的方程有两种方法:（1）定义法.根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.（2）待定系数法.这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：第一步，做判断.根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要分类讨论）.第二步，设方程.根据上述判断设方程为22221(0)x ya ba b+=>>或22221(0)y xa ba b+=>>.第三步，找关系.根据已知条件，建立关于,,a b c 的方程组（注意椭圆中固有的等式关系222c a b =－）. 第四步，得椭圆方程.解方程组，将解代入所设方程，即为所求.【注意】用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为22100()mx ny m n m n >>+≠＝，且. （四）用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：若无法确定抛物线的位置，则需分类讨论.特别地，已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标准方程. （五）直线与圆锥曲线的弦长问题有三种解法：（1）过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题．（2）将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长． （3）它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系.（六）圆锥曲线中的定点、定值问题定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究.同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等.1．（2020·北京顺义·高三一模）已知椭圆C ：223412x y +=.（1）求椭圆C 的离心率；（2）设,A B 分别为椭圆C 的左右顶点,点P 在椭圆C 上,直线AP ,BP 分别与直线4x =相交于点M ,N .当点P 运动时,以M ,N 为直径的圆是否经过x 轴上的定点？试证明你的结论.2．（2020·北京高三零模）已知椭圆C 的短轴的两个端点分别为()0,1A 、()0,1B -，焦距为23 （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线y m =与椭圆C 有两个不同的交点M 、N ，设D 为直线AN 上一点，且直线BD 、BM 的斜率的积为14-．证明：点D 在x 轴上． 3．（2020·北京四中高三月考）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .4．（2020·北京顺义·牛栏山一中高三月考）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点)3,1，离心率为6. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()4,0M 的直线交椭圆于A 、B 两点，若AM MB λ=，在线段AB 上取点D ，使AD DB λ=-，求证：点D 在定直线上.5．（2020·北京东城·高三二模）已知椭圆C ：2222x y a b+=1（a ＞b ＞0）的一个顶点坐标为A （0，﹣1），离心率为2. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线y =k （x ﹣1）（k ≠0）与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，线段PQ 的中点为M ，点B （1，0），求证：点M 不在以AB 为直径的圆上.6．（2020·北京高三其他）已知椭圆22:24C x y +=（1）求椭圆C 的标准方程和离心率；（2）是否存在过点()0,3P 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且满足2PB PA =．若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．7．（2020·北京海淀·高三二模）已知椭圆W ：22221x y a b +=(0)a b >>过(0,1)A ，(0,1)B -两点，离心率为（1）求椭圆W 的方程；（2）过点A 的直线l 与椭圆W 的另一个交点为C ，直线l 交直线2y =于点M ，记直线BC ，BM 的斜率分别为12k k ，，求12k k 的值．8．（2020·北京通州·高三一模）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，点()0,1A 在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，过原点的直线（不与x 轴垂直）与椭圆C 交于M 、N 两点，直线AM 、AN 与x 轴分别交于点E 、F .问：y 轴上是否存在定点G ，使得OGE OFG ∠=∠？若存在，求点G 的坐标；若不存在，说明理由.9．（2020·首都师范大学附属中学高三其他）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点M （﹣2，﹣1），离心率为2．过点M 作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C 交于异于M 的另外两点P 、Q ． (1)求椭圆C 的方程；（2）试判断直线PQ 的斜率是否为定值，证明你的结论．10．（2020·北京密云·高三月考）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点1,2P ⎛ ⎝⎭，设它的左、右焦点分别为1F 、2F ，左顶点为A ，上顶点为B ，且满足12AB F =． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程和离心率；（Ⅱ）过点6,05Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭作不与y 轴垂直的直线交椭圆C 于M 、N （异于点A ）两点，试判断MAN ∠的大小是否为定值，并说明理由．11．（2020·北京市建华实验学校高三月考）已知椭圆C 的方程为22143x y +=，圆O 的方程为224x y +=，过椭圆的右焦点F 的直线的斜率为1k与椭圆交于,A B 两点与圆交于,C D 两点. （1）求F 的坐标和CD 取值范围； （2）求2||||CD AB 的取值范围．12．（2020·北京怀柔·高三月考）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>．（1）求椭圆的方程；（2）设,A B 是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且点A 在第一象限，AE x ⊥轴，垂足为E ，连接BE 并延长交椭圆于点D ，证明：ABD ∆是直角三角形．13．（2020·北京西城·高三二模）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，右焦点为F ，点(),0A a ，且1AF =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线l （不与x 轴重合）交椭圆C 于点M 、N ，直线MA 、NA 分别与直线4x =交于点P 、Q ，求PFQ ∠的大小．14．（2020·北京密云·一模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，且过点()0,1A .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）点P 是椭圆上异于短轴端点A ，B 的任意一点，过点P 作PQ y ⊥轴于Q ，线段PQ 的中点为M .直线AM 与直线1y =-交于点N ，D 为线段BN 的中点，设O 为坐标原点，试判断以OD 为直径的圆与点M 的位置关系.15．（2020·北京房山·高三一模）已知椭圆C ：2222x y a b+=1（a ＞b ＞0）过A （2，0），B （0，1）两点.（1）求椭圆C 的方程和离心率的大小；（2）设M ，N 是y 轴上不同的两点，若两点的纵坐标互为倒数，直线AM 与椭圆C 的另一个交点为P ，直线AN 与椭圆C 的另一个交点为Q ，判断直线PQ 与x 轴的位置关系，并证明你的结论.解析附后专题20 圆锥曲线综合【母题原题1】 【2020年北京高考】已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --，且2a b =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ．求||||PB BQ 的值． 【答案】（Ⅰ）22182x y +=；（Ⅱ）1. 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意得到关于a ,b 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；(Ⅱ)首先联立直线与椭圆的方程，然后由直线MA ,NA 的方程确定点P ,Q 的纵坐标，将线段长度的比值转化为纵坐标比值的问题，进一步结合韦达定理可证得0P Q y y +=，从而可得两线段长度的比值. 【详解】(1)设椭圆方程为：()222210x y a b a b+=>>，由题意可得：224112a ba b⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得：2282a b ⎧=⎨=⎩， 故椭圆方程为：22182x y +=.(2)设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为：()4y k x =+，与椭圆方程22182x y +=联立可得：()222448x k x ++=，即：()()222241326480k x k x k +++-=，则：2212122232648,4141k k x x x x k k --+==++. 直线MA 的方程为：()111122y y x x ++=++， 令4x =-可得：()()()1111111141214122122222P k x k x y x y x x x x ++-++++=-⨯-=-⨯-=++++， 同理可得：()()222142Q k x y x -++=+.很明显0P Q y y <，且：PQPB y PQy =，注意到： ()()()()()()()()122112121242424421212222P Q x x x x x x y y k k x x x x +++++⎛⎫+++=-++=-+⨯⎪++++⎝⎭， 而：()()()()()122112124242238x x x x x x x x +++++=+++⎡⎤⎣⎦2222648322384141k k k k ⎡⎤⎛⎫--=+⨯+⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦()()()22226483328412041k k k k -+⨯-++=⨯=+，故0,P Q P Q y y y y +==-.从而1PQPB y BQy ==. 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．【母题原题2】 【20219年北京高考（文）】已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点. 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意确定a ,b 的值即可确定椭圆方程；(Ⅱ)设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程确定OM ,ON 的表达式，结合韦达定理确定t 的值即可证明直线恒过定点. 【详解】（Ⅰ）因为椭圆的右焦点为(1,0)，所以1225； 因为椭圆经过点(0,1)A ,所以1b =，所以2222a b c =+=，故椭圆的方程为2212x y +=.（Ⅱ）设1122(,),(,)P x y Q x y联立2212(1)x y y kx t t ⎧+=⎪⎨⎪=+≠⎩得222(12)4220k x ktx t +++-=，21212224220,,1212kt t x x x x k k-∆>+=-=++，121222()212t y y k x x t k +=++=+，222212121222()12t k y y k x x kt x x t k-=+++=+. 直线111:1y AP y x x --=，令0y =得111x x y -=-，即111x OM y -=-； 同理可得221x ON y -=-. 因为2OM ON =,所以1212121212211()1x x x x y y y y y y --==---++；221121t t t -=-+，解之得0t =，所以直线方程为y kx =，所以直线l 恒过定点(0,0).【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．【母题原题3】 【20219年北京高考（理）】已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意结合点的坐标可得抛物线方程，进一步可得准线方程；(Ⅱ)联立准线方程和抛物线方程，结合韦达定理可得圆心坐标和圆的半径，从而确定圆的方程，最后令x =0即可证得题中的结论. 【详解】(Ⅰ)将点()2,1-代入抛物线方程：()2221p =⨯-可得：2p =，故抛物线方程为：24x y =-，其准线方程为：1y =. (Ⅱ)很明显直线l 的斜率存在，焦点坐标为()0,1-，设直线方程为1y kx =-，与抛物线方程24x y =-联立可得：2440x kx +-=.故：12124,4x x k x x +=-=-.设221212,,,44x x M x N x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12,44OM ON x x k k =-=-， 直线OM 的方程为14x y x =-，与1y =-联立可得：14,1A x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理可得24,1B x ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 易知以AB 为直径的圆的圆心坐标为：1222,1x x ⎛⎫+-⎪⎝⎭，圆的半径为：1222x x -， 且：()1212122222x x k x x x x ++==，12222x x -==则圆的方程为：()()()2222141x k y k -++=+，令0x =整理可得：2230y y +-=，解得：123,1y y =-=，即以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点()()0,3,0,1-. 【点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的方程的求解及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.【命题意图】（1）掌握直线方程的几种形式，掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程，能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.（2）了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. （3）掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质. （4）了解圆锥曲线的简单应用. （5）理解数形结合的思想. 【命题规律】解析几何的解答题一般难度较大，多为试卷的压轴题之一，常考查直线与圆锥曲线的位置关系及最值范围、定点、定值、存在性问题及证明问题，多涉及最值求法，综合性强.从近三年高考情况来看，多考查直线与圆或抛物线的位置关系，但也要注意对椭圆知识的考查，解题时，充分利用数形结合思想，转化与化归思想．同时注重数学思想在解题中的指导作用，以及注重对运算能力的培养. 【方法总结】（一）求直线方程的常用方法有（1）直接法：根据已知条件灵活选用直线方程的形式，写出方程．（2）待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程．（3）直线在x (y )轴上的截距是直线与x (y )轴交点的横(纵)坐标，所以截距是一个实数，可正、可负，也可为0，而不是距离．（4）求直线方程时，如果没有特别要求，求出的直线方程应化为一般式Ax +By +C =0，且A ≥0. （二）求圆的方程（1）求圆的方程必须具备三个独立的条件．从圆的标准方程来看，关键在于求出圆心坐标和半径，从圆的一般方程来讲，能知道圆上的三个点即可求出圆的方程，因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法．（2）用几何法求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”，“半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形”． （三）求椭圆的方程有两种方法:（1）定义法.根据椭圆的定义，确定a 2，b 2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程. （2）待定系数法.这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：第一步，做判断.根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要分类讨论）.第二步，设方程.根据上述判断设方程为22221(0)x y a b a b +=>>或22221(0)y x a b a b+=>>.第三步，找关系.根据已知条件，建立关于,,a b c 的方程组（注意椭圆中固有的等式关系222c a b =－）. 第四步，得椭圆方程.解方程组，将解代入所设方程，即为所求.【注意】用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为22100()mx ny m n m n >>+≠＝，且.（四）用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：若无法确定抛物线的位置，则需分类讨论.特别地，已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标准方程. （五）直线与圆锥曲线的弦长问题有三种解法：（1）过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题．（2）将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长．（3）它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系.（六）圆锥曲线中的定点、定值问题定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究.同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等.1．（2020·北京顺义·高三一模）已知椭圆C ：223412x y +=.（1）求椭圆C 的离心率；（2）设,A B 分别为椭圆C 的左右顶点,点P 在椭圆C 上,直线AP ,BP 分别与直线4x =相交于点M ,N .当点P 运动时,以M ,N 为直径的圆是否经过x 轴上的定点？试证明你的结论.【解析】解：（1）由223412x y +=得22143x y +=,那么224,3a b ==所以2221c a b =-=解得2a =,1c =所以离心率12c e a == （2）由题可知(2,0),(2,0)A B -,设()00,P x y ,则2200:3412C x y +=①直线AP 的方程：00(2)2y y x x =++ 令4x =,得0062M y y x =+,从而M 点坐标为0064,2y x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭直线BP 的方程：00(2)2y y x x =-- 令4x =,得0022N y y x =-,从而N 点坐标为0024,2y x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭设以MN 为直径的圆经过x 轴上的定点()1,0Q x ,则MQ NQ ⊥由0MQ NQ ⋅=得()()()22100124022y x x x -+=+-② 由①式得()2220001236994y x x =-=-,代入②得()2149x -=解得11x =或17x =所以MN 为直径的圆经过x 轴上的定点()1,0和()7,0.2．（2020·北京高三零模）已知椭圆C 的短轴的两个端点分别为()0,1A 、()0,1B -，焦距为 （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线y m =与椭圆C 有两个不同的交点M 、N ，设D 为直线AN 上一点，且直线BD 、BM 的斜率的积为14-．证明：点D 在x 轴上． 【解析】（1）由题设，得1b c =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以2224a b c =+=，即2a =．故椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）设()1,M x m ，则()1,N x m -，10x ≠，11m -<<．所以直线BM 的斜率为()11110m m x x --+=-，因为直线BD 、BM 的斜率的积为14-，所以直线BD 的斜率为()141x m -+．直线AN 的方程为111my x x -=+，直线BD 的方程为()1141x y x m =--+．联立()1111141m y x x x y x m -⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪+⎩，解得点D 的纵坐标为221221114114D x m y x m --+=-+-．因为点M 在椭圆C 上，所以22114x m +=，则0D y =，所以点D 在x 轴上．3．（2020·北京四中高三月考）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .【解析】（1）设P （x ，y ），M （00,x y ）,则N （0,0x ），00NP (x ,),NM 0,x y y =-=（）由NP 2NM =得0002x y y ==，. 因为M （00,x y ）在C 上，所以22x 122y +=.因此点P 的轨迹为222x y +=.由题意知F （-1,0），设Q （-3，t ），P （m ，n ），则()()OQ 3t PF 1m n OQ PF 33m tn =-=---⋅=+-，，，，， ()OP m n PQ 3m t n ==---，，（，）.由OP PQ 1⋅=得-3m-2m +tn-2n =1，又由（1）知222m n +=，故3+3m-tn=0.所以OQ PF 0⋅=，即OQ PF ⊥.又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C的左焦点F.4．（2020·北京顺义·牛栏山一中高三月考）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点)，离心率为. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()4,0M 的直线交椭圆于A 、B 两点，若AM MB λ=，在线段AB 上取点D ，使AD DB λ=-，求证：点D 在定直线上.【解析】（1）由题意得222223311c a a b c a b⎧=⎪⎪⎪⎨+=⎪⎪=-⎪⎩，解得26a =，22b =. 所以椭圆C 的方程是22162x y +=；（2）设直线AB 的方程为4x my =+，()11,A x y 、()22,B x y 、()00,D x y ，由224162x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2238100m y my +++=.()()222840305m m m ∆=-+>⇒>，则有12283m y y m -+=+，122103y y m =+， 由AM MB λ=，得12y y λ-=，由AD DB λ=-，可得12012011x x x y y y λλλλ-⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，()21212112012122102442233444811213m my my x x my my y m x y m y y m y λλλλ⨯+-+-+===+=+=+=---+++， 212112012122102225381213y y y y y m y y m y y mm y λλ⨯-+=====---+++， 综上，点D 在定直线32x =上. 5．（2020·北京东城·高三二模）已知椭圆C ：2222x y a b+=1（a ＞b ＞0）的一个顶点坐标为A （0，﹣1），离心率为32. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线y =k （x ﹣1）（k ≠0）与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，线段PQ 的中点为M ，点B （1，0），求证：点M 不在以AB 为直径的圆上.【解析】（Ⅰ）解：由题意可知222321b c a c a b ⎧+=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩解得213a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（Ⅱ）证明：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 0，y 0),.由()22141x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，，得(4k 2+1)x 2﹣8k 2x +4k 2﹣4=0， 所以△=(﹣8k 2)2﹣4×(4k 2+1)(4k 2﹣4)=48k 2+16. 所以当k 为任何实数时，都有△＞0.所以 2122841k x x k +=+，21224441k x x k -=+. 因为线段PQ 的中点为M ，所以 212024241x x k x k +==+，()002141k y k x k -=-=+， 因为 B （1，0），所以 ()001AM x y =+，，()001BM x y =-，. 所以 ()()220000000011AM BM x x y y x x y y ⋅=-++=-++2222222244()()41414141k k k k k k k k --=-++++++ ()232222243143(41)(41)k k k k k k k k -++---==++ 222374816(41)k k k ⎡⎤⎛⎫-++⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=+. 又因为 k ≠0，2374()0816k ++>， 所以 0AM BM ≠⋅，所以点M 不在以AB 为直径的圆上.6．（2020·北京高三其他）已知椭圆22:24C x y +=（1）求椭圆C 的标准方程和离心率；（2）是否存在过点()0,3P 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且满足2PB PA =．若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【解析】（1）由22142x y +=，得2,a b ==c ==，2c e a ==； （2）假设存在过点P （0，3）的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且满足2PB PA =， 可设直线l 的方程为x ＝m （y ﹣3），联立椭圆方程x 2+2y 2＝4，可得（2+m 2）y 2﹣6m 2y +9m 2﹣4＝0，△＝36m 4﹣4（2+m 2）（9m 2﹣4）＞0，即m 2＜47， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得y 1+y 2＝2262m m +，y 1y 2＝22942m m-+，① 由2PB PA =，可得（x 2，y 2﹣3）＝2（x 1，y 1﹣3），即y 2﹣3＝2（y 1﹣3），即y 2＝2y 1﹣3，②将②代入①可得3y 1﹣3＝2262m m +，y 1（2y 1﹣3）＝22942m m-+，消去y 1，可得22232m m ++•22322m m -+＝22942m m -+，解得m 2＝2747<，所以7m =±，故存在这样的直线l ，且方程为7x ＝0或7x y ﹣＝0．7．（2020·北京海淀·高三二模）已知椭圆W ：22221x y a b +=(0)a b >>过(0,1)A ，(0,1)B -两点，离心率为（2）过点A 的直线l 与椭圆W 的另一个交点为C ，直线l 交直线2y =于点M ，记直线BC ，BM 的斜率分别为12k k ，，求12k k 的值． 【解析】（1）由题意可知2221c a b b c a ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ 所以椭圆W 的方程为2214x y +=.（2）由题意可知，直线l 斜率存在且不为0，设直线l ：1y kx =+，由22144y kx x y =+⎧⎨+=⎩得()224180k x kx ++= 所以2841C kx k -=+， 在直线l ：1y kx =+中，令2y =，得1M x k =，即1,2M k ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以2112241144c c c c c y kx k k k k x x x k k+++===+=-=- 2331k kk== 所以1213344k k k k =-⨯=-. 8．（2020·北京通州·高三一模）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，点()0,1A 在椭圆C 上.（Ⅱ）设O 为原点，过原点的直线（不与x 轴垂直）与椭圆C 交于M 、N 两点，直线AM 、AN 与x 轴分别交于点E 、F .问：y 轴上是否存在定点G ，使得OGE OFG ∠=∠？若存在，求点G 的坐标；若不存在，说明理由.【解析】（Ⅰ）由题意得22212b c e a a b c=⎧⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩，解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以，椭圆C 的方程为2212x y +=；（Ⅱ）设()00,M x y ，由题意及椭圆的对称性可知()()000,1N x y y --≠±，则直线AM 的方程为0011y y x x -=+，直线AN 的方程为0011y y x x +=+， 则E 点坐标为00,01x y ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，F 点坐标为00,01x y ⎛⎫- ⎪+⎝⎭. 假设存在定点()0,G n 使得OGE OFG ∠=∠， 即tan tan OGE OFG ∠=∠（也可以转化为斜率来求），即OE OG OG OF =，即2OG OE OF =⋅，即()22020220021211y x n y y -===--，所以n =， 所以存在点G坐标为(0,满足条件.9．（2020·首都师范大学附属中学高三其他）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点M （﹣2，﹣1），离．过点M 作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C 交于异于M 的另外两点P 、Q ． (1)求椭圆C 的方程；（2）试判断直线PQ 的斜率是否为定值，证明你的结论．【解析】(1)由题设，得2241a b +＝1，①＝2，②由①、②解得a 2＝6，b 2＝3，故椭圆C 的方程为2263x y ＋＝1.(2)设直线MP 的斜率为k ，则直线MQ 的斜率为－k ， 记P(x 1，y 1)、Q(x 2，y 2)．设直线MP 的方程为y ＋1＝k(x ＋2)，与椭圆C 的方程联立，得(1＋2k 2)x 2＋(8k 2－4k)x ＋8k 2－8k －4＝0，则－2，x 1是该方程的两根，则－2x 1＝2288412k k k --＋，即x 1＝2244212k k k -+＋＋. 设直线MQ 的方程为y ＋1＝－k(x ＋2)，同理得x 2＝2244212k k k --＋＋. 因y 1＋1＝k(x 1＋2)，y 2＋1＝－k(x 2＋2)，故k PQ ＝2121212121212282)2412812ky y k x k x k x x k k x x x x x x k +－（＋（＋）（＋＋）＋＝＝＝－－－＋＝1，因此直线PQ 的斜率为定值．10．（2020·北京密云·高三月考）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点1,2P ⎛ ⎝⎭，设它的左、右焦点分别为1F 、2F ，左顶点为A ，上顶点为B，且满足12AB F =． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程和离心率；（Ⅱ）过点6,05Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭作不与y 轴垂直的直线交椭圆C 于M 、N （异于点A ）两点，试判断MAN ∠的大小是否为定值，并说明理由．【解析】（Ⅰ）解：根据题意得222222213141526a b a b c a b c⎧+=⎪⎪⎪+=⨯⎨=+⎪⎪⎩，解得213a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩， 所以椭圆C 的方程为2214x y +=，离心率3e =； （Ⅱ） 因为直线不与轴垂直，所以直线的斜率不为0， 设直线MN 的方程为65x ty =-，设()11,M x y 、()22,N x y ， 联立方程226514x ty x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，化简得()22126440525t y ty +--=. 显然点6,05Q ⎛⎫-⎪⎝⎭在椭圆C 的内部，所以>0∆． 则()1221254t y y t +=+，()12264254y y t =-+. 又因为()2,0A -，所以()112,AM x y =+，()222,AN x y =+． 所以()()12121212442255AM AN x x y y ty ty y y ⎛⎫⎛⎫⋅=+++=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()()()2222121226414816441610525254t t t t t y y y y t -++++=++++==+， 所以AM AN ⊥，即90MAN ∠=是定值.11．（2020·北京市建华实验学校高三月考）已知椭圆C 的方程为22143x y +=，圆O 的方程为224x y +=，过椭圆的右焦点F 的直线的斜率为1k与椭圆交于,A B 两点与圆交于,C D 两点. （1）求F 的坐标和CD 取值范围； （2）求2||||CD AB 的取值范围．【解析】（1）由题得2431,c =-=所以椭圆的右焦点F 的坐标为(1,0).由题得直线的方程为1(1)y x k=-，即10x ky --=. 21+k ,所以21||241CD k=-+ 因为20k >，所以弦长||(23CD ∈，（2）把直线方程代入椭圆的方程整理得222(34)84120k x x k +-+-=，由弦长公式得4222221144144121)||134)34k k k AB k k k ++=+=++（（. 21+k ,所以21||241CD k=-+ 所以22222223412(1)34|||AB |4()4813434k k k CD k k k +++==⨯+++设20()t k g t =>∴=，344834tt +⨯+，所以27()48034)g t t '=⨯>+（， 所以函数()g t 在定义域内单调递增，所以()g t 348364>⨯=. 当t →+∞时，3444848=64343t t +⨯→⨯+ 所以2||||CD AB 的取值范围为(36,64)12．（2020·北京怀柔·高三月考）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>，离心率为2．（1）求椭圆的方程；（2）设,A B 是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且点A 在第一象限，AE x ⊥轴，垂足为E ，连接BE 并延长交椭圆于点D ，证明：ABD ∆是直角三角形．【解析】（1）依题意可得2c b a ==，所以2222222212c a b a a a a --===， 得2a =，所以椭圆的方程是22142x y += .（2）设()11,A x y ，(),y D D D x ，则()11,B x y --，()1,0E x ，直线BE 的方程为()1112y y x x x =-， 与22142x y +=联立得 222211*********y y y x x x x ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭， 因为D x ，1x -是方程的两个解，所以()212211122211121482212D y y x x x x y y x ---==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭又因为2211142x y +=，所以21121838D y x x y -=-，代入直线方程得312138D y y y -=- 3112211122111112138241838AB ADy y y y y k k y x x x x y +--===---- 所以AB AD ⊥，即ABD ∆是直角三角形.13．（2020·北京西城·高三二模）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，右焦点为F ，点(),0A a ，且1AF =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线l （不与x 轴重合）交椭圆C 于点M 、N ，直线MA 、NA 分别与直线4x =交于点P 、Q ，求PFQ ∠的大小．【解析】（Ⅰ）由题意得121c a AF a c ⎧=⎪⎨⎪=-=⎩，解得2a =，1c =，从而b ==所以椭圆C 的方程为22143x y +=；（Ⅱ）设直线l 的方程为1x ty =+，设点()11,M x y 、()22,N x y ，联立221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()2234690t y ty ++-=，则()214410t ∆=+>恒成立，由韦达定理得122634t y y t +=-+，122934y y t =-+， 设点()4,P m ，()()11112,1,AM x y ty y =-=-，()2,AP m =，由//AM AP 得()1121y m ty =-，可得1121y m ty =-，即点1124,1y P ty ⎛⎫⎪-⎝⎭， 同理可得点2224,1y Q ty ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，1123,1y FP ty ⎛⎫∴= ⎪-⎝⎭，2223,1y FQ ty ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，()()()121221212124499111y y y y FP FQ ty ty t y y t y y ∴⋅=+=+---++222223634909613434t t t t t -+=+=-++++， 因此，90PFQ ∠=.14．（2020·北京密云·一模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，且过点()0,1A .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）点P 是椭圆上异于短轴端点A ，B 的任意一点，过点P 作PQ y ⊥轴于Q ，线段PQ 的中点为M .直线AM 与直线1y =-交于点N ，D 为线段BN 的中点，设O 为坐标原点，试判断以OD 为直径的圆与点M 的位置关系.【解析】（1）由题意可知，2221b ca ab c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆C 的标准方程为：2214x y +=. （2）设点0(P x ，0)y ，则0(2x M ，0)y ， ∴直线AM 的斜率为000012(1)02y y x x --=-， ∴直线AM 的方程为：002(1)1y y x x -=+， 令1y =-得，01x x y =-， ∴点N 的坐标为0(1x y -，1)-， ∴点D 的坐标为00(2(1)x y -，1)-，∴0(2x OM DM →→⋅=，2220000000000)(,1)22(1)444x x x x y y y y y y ⋅-+=+-+--， 又点0(P x ，0)y 在椭圆C 上，∴220014x y +=，220044x y =-，∴2000004(1)11(1)04(1)y OM DM y y y y →→-⋅=-+=-++=-，∴点M 在以OD 为直径的圆上．15．（2020·北京房山·高三一模）已知椭圆C ：2222x y a b+=1（a ＞b ＞0）过A （2，0），B （0，1）两点.（1）求椭圆C 的方程和离心率的大小；（2）设M ，N 是y 轴上不同的两点，若两点的纵坐标互为倒数，直线AM 与椭圆C 的另一个交点为P ，直线AN 与椭圆C 的另一个交点为Q ，判断直线PQ 与x 轴的位置关系，并证明你的结论.【解析】（1）依题意得a ＝2，b ＝1，所以椭圆C 的方程为2214x y +=，c =离心率的大小c e a ==（2）解法一、因为M ，N 是y 轴上不同的两点，两点的纵坐标互为倒数， 设M ，N 坐标为（0，m ），（0，n ），则1n m=，m ≠0，n ≠0 由A （2，0），M （0，m ）得直线AM 的方程为2my x m =+-，22142x y m y x m⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪-⎩， 整理得（m 2+1）y 2﹣2my ＝0或（m 2+1）x 2﹣4m 2x +4m 2﹣4＝0， 得交点P 的纵坐标为221P my m =+， 同理交点Q 的纵坐标为22212221111Q n mmy n m m ⋅===++⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以y P ＝y Q ≠0，直线PQ 与x 轴平行. 解法二：设直线AM 的方程为x ＝ty +2（t ≠0），直线AN 的方程为x ＝sy +2（s ≠0），令x ＝0得ty M ＝﹣2，M 坐标为20t -⎛⎫ ⎪⎝⎭，，同理N 坐标为20s -⎛⎫ ⎪⎝⎭，，因为M ，N 是y 轴上不同的两点，两点的纵坐标互为倒数，所以st ＝4，22142x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得（t 2+4）y 2+4ty ＝0或（t 2+4）x 2﹣16x +16﹣4t 2＝0， 得交点P 的纵坐标为244P ty t -=+， 同理得22244444444Q s tty s t t -⋅--===++⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以y P ＝y Q ≠0，直线PQ 与x 轴平行. 解法三：设直线AM 的方程为y ＝k 1（x ﹣2），k 1≠0，直线AN 的方程为y ＝k 2（x ﹣2），k 2≠0 令x ＝0得M 坐标为（0，﹣2k 1），同理N 坐标为（0，﹣2k 2），因为M ，N 是y 轴上不同的两点，两点的纵坐标互为倒数，所以4k 1k 2＝1，代入椭圆方程得()221142x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，()222211141161640k x k x k +-+-=，或()222111211644140241P k k y k y x k -++==+所以21218241P k x k -=+，得交点P 的纵坐标为2111221182424141P k k y k k k ⎛⎫--=⋅-= ⎪++⎝⎭，同理得21122221114444141414()14Q k k k y k k k ---===+++，所以y P ＝y Q ≠0，直线PQ 与x 轴平行.。