对一道中考试题的探究
对一道中考试题的解法探究
＝
Ｓ ｃ 即 伽 ，
ｓ四 形Ｐ 户 ＝ — ５△ Ｂ ． 边 ＾ｃ
． ， 的一个等式． ｓ ， 点评 该试题是 以“ 有一条边对应相等 的两个 三角
问题 ２ 连 接 ＱＲ ， ： ２如 图 ５ 由 问 题 １的 结 论 ＱＲ ， ，
可 知
．
复习参考 ．
所以 ＰＲ ∥ＰＲ ＃ｎ ， ， ｃ 于是有
ＡＡ 。 。 △Ａ ２ ２ ＡＡ Ｃ 且面积 比为 １： ９ ＰＲ ＰＲ 一 Ｂ ， ４：．
所以Ｉ边 ｓ 口
：
Ｑ ， ３Ｑ 五等分边 Ｄ ． Ｓ 边 Ｃ 若 日 聊 ＝１ 求 ． 边 ｐ ， ｓ 形 ． ｏ Ｑ 问题 ４ 如 图 ４ Ｐ ， ２Ｐ ， 。Ｐ ，３四等分边 Ａ Ｑ ， ２Ｑ Ｂ， ｌＱ ， ３ 四等分边 Ｄ ， 。 。Ｐ Ｑ ， ， ， 四边形 Ａ Ｃ Ｃ Ｐ Ｑ ， ２ Ｐ Ｑ 将 Ｂ Ｄ分成 四 个部分 ， 面积分 别 为 Ｉ ， Ｓ ， 请 直接 写出含 有 ． ， ｓ ． ，，．． 。ｓ ｓ ｓ
由结论 （ ） 可知 Ｓ Ｐ ＝Ｓ 隅 ２ ， △Ｉ 舶． △ 所 以 Ｓ 边 ｐ ＝ｓ 边 Ｐ． ５ 边 。． 四 形． ． 形 ， ＋ 四 形 ． ｏ ｏ 四 足 兄
ｓ 边
：
十・截・ （１ 第０ 初 版 ７ ２１ １ ０ 年 期・ 中 ）
问题 ２
３ ９
＝
÷ ， ｓ。
图பைடு நூலகம்
别 证 １ 如 图 ６ 连 接 ，
ＡＱ ， Ｑ ， 再 设 ｈ ， ： Ｐ。 Ｐ Ｃ， 。ｈ ，
ｓ配 ＝ｓ Ｄ ÷ 边 一
所 以
的一 件 有 益 事 情． 文 以 ２ １ 本 ０ １年 一 道 中考 试 题 进 行 探
揭示问题本质 扩大解题成果——对一道2009中考题试题的研究
１６ ｒ
＋
１
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１
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Ａ
曰
』 ４
Ｏ
Ｂ
÷ ＋ｒ （ ｃ＝ ）
２ Ｓ
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图 １
图２
丁‘
（ ）．Ａ（一３， ） ８ ３， ） Ｃ（ ４） ２。 ‘ ０ ， （ ０ ， ０， ，
（ ２） 已 知 ，如 图 ２ ， ＡＡ Ｃ中 ， ， ， Ｂ Ａ Ｂ Ｃ三 点 的 坐
●
．．．．．．
一
‘ ＢＤ 一
２ ‘ 口
‘Ｊ一 ‘
。
同理
。‘ Ｄ 一
（
２
）
二 Ｕ
－２
ｌ＋ｂ ２＋ｃ ３ Ｙ ｙ
１＋
Ｚ ０
ｇ — ＝ 于是 得到旁 心坐标公式．
一
．
同 ＝ ． 等
ｌ Ｉ
完全类 似的可以得 到另两个旁心坐标公 式为 ： ＡＡ Ｃ中 ， Ｃ＝ａ Ｃ ＝ｂ Ａ ＝Ｃ Ａ（ ，１ ， Ｂ Ｂ ，Ａ ，Ｂ ， ｌ ） Ｂ Ｙ
＝
过点 Ｐ分 别为作 Ｐ 上 Ｅ 轴于 Ｅ， Ｆ Ｌ Ｂ于 Ｆ， Ｐ Ｐ ＿Ｃ 则 Ｆ
ＰＥ ＝０Ｃ ＝４ ．
在 Ｒ ＡＰ Ｃ中， ｔ Ｆ
５ ８
‘ ．
‘
中‘擞 ・ （ １年 ５ 初 版 ７ ７ ２ ０ 第 期． 中 ） ０
Ａ Ａ Ｎ， Ｍ ． ＩＭ Ｄ ； ￣Ａ Ａ
・ 试题赏析 ・
力和灵活运用知识 的能力 ； ３ 小题 又在第 （ ） 第（ ） ２ 小题的
基 础 上 进 ～ 步 延 伸 ， 识 的 应 用 也 由 形 内 拓 展 到 了 形 知 外， 问题 的 解 决 方 式 也 呈 现 出多 样 性 和灵 活 性 ， 好 地 较
中考数学试题探究与感悟
数形结合，突出永恒主题
在各地中考题和历年的中考题中，我们可关注到 二次函数与平面几何的结合这一类试题是常考不 衰。不管是新题还是陈题都可以在中考试题中见 到。由此让我们感觉到这样的试题到底是否是有 这样的存在价值？而对于一些地市的中考试题中 这一类试题多少年不变在教学中体现了一种什么 样的导向？这样命题安排是否真正的体现了指导 初中教学，铺垫高中教学的数学课堂教学指导思 想？等等的问题让我们都能够不断的对这一类考 题进行思考。
牧童B的划分方案如图（一）：三块矩形的面积相等，牧 童的位置在三个小矩形的中心．
牧童C的划分方案如图（三）：把正方形的 牧场分成三块矩形，牧童的位置在三个小 矩形的中心，并保证在有情况时三个人所 需走的最大距离相等．
请回答：
（1）牧童B的划分方案中，牧童 （填A、
B或C）在有情况时所需走的最大距离较远；
本题的证明很简单，只需要将EF、MN平移，使得
两条线段都有一个端点和正方形的顶点重合即可 得到证明。
而对这一道试题的研究
与探索，让我们看到了
更多的相关问题，而且
有的问题立意高远，灵
活度高，成为一道道耐
人寻味的好题。
[1]：《高中数学奥林匹克基础讲座》P 52页，广东高等教育出版社，二○○一年版。
A．仅小明对出 B．仅小亮对 C．两人都对 D．两人都不对
另辟溪径求比例，功夫不负有心人
[例3] （09梧州18）如图，正方形ABCD 中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，
则
等于（ ）
A．
B．
C．
对一道中考数学试题的再思考
◎
、
Ｇ与点 Ｄ 重合
图 ５
Ａ 与Ｂ Ｄ Ｅ的交点 Ｇ 在其延长线 上
图６
４ ９
Байду номын сангаас缓
荔 霓及
中学数 学杂 志
２０ ０ ９年第 １ ２期
原 题 中 的三 个 问题能 否可 求 ？ 试看 ！ 试
— ‘
ｌ ３
图 ３中 ， 结 Ａ Ｏ Ｏ 易得 ＡＡ Ｅ为等 边三 连 Ｅ、 Ｂ、 Ｃ， Ｂ 角 形 ， Ｏ 为 Ｒ △ ， 以 ／Ｃ Ｏ ＝ ３ 。 Ｃ ＝ ＡＢ Ｃ ｔ 所 Ｂ ０ ，Ｏ
Ｄ ，１
（ ）求 ＬＡ Ｅ ＋２ ２ Ｂ 的度数 ； ＬＤ
Ｄ ，１
所 以 ￣Ｂ Ｏ ＝ Ｏ Ｇ， 以 ＡＡ Ｇ— Ｂ Ｇ， Ａ Ｂ 所 Ｂ Ｏ
Ｄ
一 一 一
（ ）求 的值． ３
＾ Ｌ ，
１ ３
ＡＢ
２ ＢＨ
２、
２
＿＿ 二
１ 解题 思路 探 究
图２
（ ）过 点 Ｄ作 Ｏ 上ＭＮ于 Ｑ， Ｆ ：ＭＮ， ２ Ｑ 因Ｃ 由
圆心 角 、 、 、 心 距 的 关 系 得 Ｃ ＝ＭＮ， Ｈ ＝ 弧 弦 弦 Ｆ Ｏ
Ｏ 进 而 Ａ ＝Ｂ 以下解 法 同原题 （ ） Ｑ， Ｂ Ｅ， ２．
（ ）因 Ｏ ＝ＯＱ， ３ Ｈ ＢＯ ：Ｂ 所 以 Ｒ ＡＢＯ Ｏ， ｔ Ｈ Ｒ ＡＢ Ｑ，ＬＡ Ｏ ： Ｏ Ｇ， Ａ ＝Ｏ ｔ Ｏ Ｂ Ｂ 又 Ｏ Ｂ，
中学数 学杂 志
２０ ０ ９年第 １ ２期
Ａ绶渤 々
炳 ‘ 羁潞 躜毛
对 一 道 中考数 学 试 题 的再 思 考
山 东省 淄博 市 沂源县 西 里 中学 中考数 学试 题是 命题 者 精雕 细琢 的产 品 ， 些 有 ２６０ ５ １８ 赵 同娟 李德 忠
对一道上海中考题的探究与推广
Ｈ （Ｔ ＝ １ ０ ． ＝ ） ２ 。
‘
．
．
Ｂ （ Ｈ ＝ Ｐ Ｏ Ｔ． ＝ ） Ｒｔ Ｂ 《 丑 垒 Ｒｔ Ｐ （ ．． 《 Ｈ ＝ Ｏ Ｔ． △ 二 鱼 ） △ 二 ） ’二 ． ）
‘ ． ．
点 （在 二 ） Ⅳ 的平分线上 ． 当 （ 上 Ｍ 时， 二 ） Ｂ 显然 （Ｐ 上 Ⅳ， ＝ ）
‘ ． ‘ ． ．
Ｏ Ｂ ＝ ０ ３
图４
当ＯＢ不垂直 于 Ｍ 时， Ｏ日 上 Ｍ ， 作 （ 上 Ⅳ， ＝ ） 垂足分别为 Ｈ、 ． 由 Ａ ＝ ６ 。 ＡＨ Ｏ ＝ ＡＴＯ ＝ ９ 。 ０， ０，
‘ ． ．
会 内外与多个国家的学者积极研讨， 已经有了深 入交 流和合作 的意 向．由于 中国国际地位 的明 显提升， 国际数学教育界有许多人对 中国很感兴 趣， 非常愿意对中国的数学教育的专长和特色有 更实际的了解， 并对此开展研究． 例如， ９ 在 月份 就 将有加拿大、 国和澳大利亚 的 ４ 美 位教授、 学 者应邀到华东师大访 问， 交流学术研究成果， 其 中一位将利用他 的学术假期 的机会， 在上海做长 达三个 月的访 问和合作研 究．我们期待着这 样
的大幅海报． 由于长达近两年的精 心筹备和各师 范院校的紧密合作， 这次 中国数学教育国家展示
会取得了较好 的效果， 获得了国际同行 的好评． 从 Ｉ ＭＥ ９ Ｃ 开始， 加大会 的华人学者都会 参
举行一次聚会， 本届大会也不例外 ．经 王建磐、 范 良火和梁贯 成等人 的发起， 参加 Ｉ ＭＥ １ 的 Ｃ １ 华人在大会组委会 的支持下举行 了一次很有意 义的聚会， 有近 ７ 人参 加， ０ 还有一些非华人学者
． ．
。
点 （在 ＡⅣ的平分线上． 二 ） 综上所述， 当点 Ｐ在射线 Ⅳ 上运 动时， 点
对一道中考题解答过程的分析及反思
同学生 的数学 学 习水 平 ， 合 考 查 学 生 的各 种 自学 能 综
力， 区分 不 同 的数 学学 习水平 ， 为高一级 学校 的选 拔 创
在等边 三角形 Ａ Ｃ中， Ｂ 点 Ｅ在 Ａ 上 ， Ｄ在 Ｃ 的 Ｂ 点 Ｂ 延 长线 上 ， Ｅ 且 Ｄ— Ｅ ， 图 Ｃ如
叶
综合题 ， 本题难度适宜 ， 主要有 以下几个 特点 ： ①第 １ 小 题 以特殊情况 ， 探索结论 ， 出考查 学生 的基本 知识 ， 突 基 本技能 ； ②第 ２ 小题在第 一题 的基 础上 ， 特例启 发 ， 答 解
出教学 中的成绩 和存在 问 题． 者有 幸 参加 了 ２ １ 年 笔 ０１
绍兴市 数学卷 的 阅卷 工作． 对试 卷 中 的第 ２ 题 感 触颇 ３ 深， 现将 自己对 该题 的分析 、 反思 、 索摘 文如 下 ， 同 探 供 行参考 ． 题 目：浙江省 ２ １ 年初 中毕业 生学业 考试 绍兴市 （ ０１ 数 学试 卷第 ２ ３题） （０１ ２ １ 年绍兴市 中考试 题 ２ ３题 ） 数学 课 上 ， 老师 李
方法 三 ： 图 ， 等 边 三 如 在
角 形 ＡＢＣ 中 ，
Ａ ＢＣ 一 Ａ ＣＢ 一
Ｃ
（） ２ 特例启发 ， 解答题 目
解 ： 目中 ， 与 ＤＢ 的大 小 关 系 是 ： 题 ＡＥ ＡＥ ＤＢ（ “ ” “ ” “ ”． 由如 下 ： 填 ＞ ，＜ 或 一 ）理 明 证 明点 ， 如 图 ３ 过 点 即 ，
出示 了 如 下 框 中 的题 目．
题 目， 先是猜测大小关系 ， 是写具 体解答 过程 ， 后 符合 了
洞察结构明来路 回归本源知去路——以一道中考试题的思路探究为例
笔者曾利用2019年中考湖北武汉卷第23题参加湖北省宜昌市初中数学学科工作室“我讲中考压轴题”的活动展示.现呈现此题的相关解答、两道关联题的反思及教学启示.立足解题的通性、通法，借助几何直观，以更有效的方式打开学生的思路，引导学生掌握解题教学之道.一、试题呈现题目（2019年湖北·武汉卷）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB BC=n，M是边BC上一点，连接AM.（1）如图1，若n=1，N是AB延长线上一点，CN 与AM垂直，求证：BM=BN.（2）过点B作BP⊥AM，点P为垂足，连接CP并延长交AB于点Q.①如图2，若n=1，求证：CP PQ=BM BQ.②如图3，若M是BC的中点，直接写出tan∠BPQ 的值.（用含n的式子表示.）MCA B N图1CMPA BQ图2CMPA BQ图3二、解法探究1.识别模式中探析因果觅路第（1）小题，如图4，延长AM交CN于点D，由核心元素CB⊥AB，AM⊥CN，AB=BC构成“三垂直”模型，且图形中元素的位置关系和数量关系是确定的，确定即可求.当n=1时，可确定△ABC是以∠ABC为直角的等腰直角三角形.要证BM=BN，只需要证明△ABM≌△CBN.由“CN与AM垂直”识别出“等角的余角相等”，可以证得∠MAB=∠NCB.结合已知条件AB=BC，∠ABM=∠CBN，可以证得△ABM≌△CBN.由全等三角形的性质，可得BM=BN.洞察结构明来路回归本源知去路——以一道中考试题的思路探究为例叶先玖摘要：通过对2019年中考湖北武汉卷第23题及关联试题的解法进行探究，探索借助几何直观识别图形，明晰图形结构，并利用确定性、本源性、全局性、动静互换等思维，整体把握空间形式和数量关系，积累有效的解答经验；探究回到基本概念和基本图形的措施，着眼于通性、通法，并着力于几何直观、最近发展区和思维过程等.以知晓方法的来路，形成自然简洁的解答策略.探寻引导学生及时反思解答的路径，点亮思维的去路，培养并优化学生分析与解决问题的能力．关键词：研题要点；几何直观；通性、通法收稿日期：2020-12-18作者简介：叶先玖（1971—），男，高级教师，主要从事初中数学教学课例及实践研究.ABNMC图4D2.几何直观里回归本源启思第（2）小题第①问，给出条件“过点B 作BP ⊥AM 和n =1”后，借助几何直观，审视图形结构并抓住变与不变的元素，则由AB =BC 易联想到三角形全等.由“三垂直”模型识别出△APB ∽△BPM ∽△ABM 等“子母型”相似.要证CP PQ =BM BQ ，可以回归到求线段长、三角形相似、平行线分线段成比例、利用面积比证明线段比等知识源及通法.因此，得到以下五种证明方法.证法1：确定△ABM .抓住AB =BC 这个条件，通过移拼△ABM 可得图5，即过点C 作AM 的垂线，垂足为点D ，且交AB 的延长线于点N .易证△CBN ≌△ABM ，所以BM =BN .由PB ⊥AM ，CN ⊥AM ，可得PB ∥CN .所以CP PQ =NB BQ .所以CP PQ =BM BQ.CA B QMPDN CA BQ MPD图5图6证法2：确定△ABM .抓住AB =BC 这个条件，通过移拼△ABM 可得图6，即过点C 作CD ∥AB ，交BP 的延长线于点D ，易证△CPD ∽△QPB .得CP PQ =CD QB .易证△ABM ≌△BCD .所以CD =BM .所以CP PQ =BM BQ.证法3：确定△ABP .抓住AB =BC 这个条件，通过移拼△ABP 可得图7，即过点C 作CD ⊥BP ，交BP 的延长线于点D ，过点Q 作QE ⊥BP 于点E ，易证△CPD ∽△QPE .得CP PQ =CD QE.易证△CDB ≌△BPA ，所以CD =BP .易证△BPM ∽△QEB .所以BP QE =BM QB.所以CP PQ =CD QE =BP QE =BM QB.CABQMPD E图7C A BQ MPD图8证法4：确定△ABM .如图8，过点Q 作QD ∥BC ，交BP 的延长线于点D ，易证△CPB ∽△QPD .得CP PQ =CB QD.易证△DQB ∽△ABM .所以AB DQ =MB BQ .因为AB =BC ，所以CB QD =BM BQ .所以CP PQ =BM BQ.证法5：如图9，由△BPC 和△BPQ 是等高三角形的图形结构，得CP PQ =S△BPC S △BPQ .过点P 作BC ，AB 的垂线，垂足分别为点D ，E ，则有S△BPC S △BPQ =12⋅BC ⋅PD12⋅BQ ⋅PE.只要分别求出确定的线段PD ，PE ，BM ，BQ 的长（具体计算可参考后文思路10的解答），通过计算即可以证得CP PQ =BM BQ.C ABQ MP图9DE 【思路说明】上述证法中，抓住AB =BC ，回归到旋转定义，动静互换，可洞察到图形中隐藏的“共点等边旋转”结构，即从全局性看，线段AB 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BC ，则△ABM 绕点B 顺时针旋转90°得到△CBN .由第（1）小题及解答经验，借助平行线分线段成比例，结合线段之间的等量代换得到证法1.基于图形变换，抓住AB =BC 进行图形移拼，得到证法2和证法3.结合所证结论CP PQ =BM BQ ，直观觉察到“X 型”相似，借助中间比得到证法4.识别出△BPC 和△BPQ 等高，想到求线段的长，将线段的比转化为面积的比得到证法5.3.洞察结构中追根联想得法第（2）小题第②问通过回到正切定义，借助几何直观，捕捉到以下九种思路.思路1：如图10，过点C 作CE ∥AB ，交BP 的延长线于点E ，过点C 作CF ⊥BE 于点F .设BC =2，PM =t ，则BM =1，AB =2n .易证△APB ∽△BPM .所以BM AB=PM PB.则BP =2nt .由中位线定理，得CF =2PM =2t ，PF =BP =2nt .可得tan ∠BPQ =tan ∠CPF =CF PF =2t 2nt =1n.CAB Q MP EF图10CAB Q MP D图11思路2：如图11，过点C 作CD ∥AM ，交BP 的延长线于点D .设BC =2a ，PM =t .由∠PBM =∠MAB ，得PM PB =MB AB =a 2na.则PB =2nt .又由DC =2PM =2t ，DP =PB =2nt ，可得tan ∠BPQ =tan ∠CPD =DC DP =2t 2nt =1n .思路3：如图12，延长PM 到点H ，使MH =PM .连接CH ，易证△CMH ≌△BMP .所以CH =BP ，∠CHM =∠BPM =90°.因为AB BC =n ，BC =2BM ，所以AB BM =2n.设PM =MH =1.由已知易证△ABM ∽△BPM ，所以AB BP =BM PM.则PB =CH =2n .可得tan ∠BPQ =tan ∠HCP =PH CH =2MH CH =22n =1n.CMP HAB Q图12CMP HAB Q图13思路4：如图13，过点C 作CH ⊥AM ，交AM 的延长线于点H ，则CH ∥BP .易证△CMH ≌△BMP .所以CH =BP ，MH =MP .可得tan ∠BPQ =tan ∠PCH =PH CH =2PM BP =2tan ∠PBM =2tan ∠MAB =2×BM AB =BC AB =1n.思路5：如图14，过点B 作BD ∥QC ，交AM 的延长线于点D .设BC =2a ，PM =t .易证△BMD ≌△CMP .所以PM =DM .由∠PBM =∠MAB ，得PM PB =MB AB =a 2na.则PB =2nt .可得tan ∠BPQ =tan ∠PBD =PD PB =2t 2nt =1n.CAB QMP D图14CAB Q MP D图15思路6：如图15，过点M 作MD ∥PB ，交CQ 于点D .设BC =2a ，PM =t .由∠PBM =∠MAB ，得PM PB =MB AB=a 2na.则PB =2nt .由DM =12PB =nt ，且∠BPQ =∠PDM =90°，可得tan ∠BPQ =tan ∠PDM =PM DM =t nt =1n.思路7：如图16，过点B 作BD ∥AM ，交CQ 的延长线于点D ，得∠PBQ =∠MPB =90°.设BC =2a ，PM =t ，易求得BD =2PM =2t .由∠PBM =∠MAB ，得PM PB =MB AB=a 2na.所以PB =2nt .可得tan ∠BPQ =BD PB =2t 2nt =1n .CA BQM PD图16CAB Q MP 图17D 思路8：如图17，过点M 作MD ∥QC ，交BP 于点D .设BC =2a ，PM =t .由∠PBM =∠MAB ，得PM PB =MB AB=a 2na .所以PB =2nt .所以PD =DB =12PB =nt .可得tan ∠BPQ =tan ∠PDM =PM PD =t nt =1n.思路9：如图18，过点C 作AM 的垂线，垂足为点H ，且交AB 的延长线于点N .设BC =2a ，PM =t ，则AB =2na .易证∠NBC =∠MHN =90°，则点B ，M ，H ，N 在以MN 为直径的圆上.易证△ABM ∽△CBN .所以AB CB =AM CN.易求得CN =由切割线定理推论，可得CM ⋅CB =CH ⋅CN .进而可得CH =在Rt△CMH 中，根据勾股定理，易求得MH =a 4n 2+1.所以tan ∠BPQ =tan ∠PCH =PH CH =2MH CH =1n.【思路说明】从已知条件看，∠ABC =90°，AB BC=n ，BP ⊥AM ，M 是BC 的中点等核心要素是确定的；从图形看，增加了中点，会联想三角形中位线结构，或过中点作延长线构造三角形全等；从“直接写出tan ∠BPQ 的值”结论想到补直角三角形，或利用“锐角相等正切值相等”来解决问题.于是，借助前面识别图形结构的经验和补图经验，得到图10，通过关联性思考使得思路自然贯通.及时反思，发现BM AB =12n，察觉到图10中∠BPQ 与∠CPE 的关系，优化思路1得到思路2.洞察到中点M ，识别过中点作延长线构造全等三角形，得到思路3和思路4.识别出中位线结构，得到思路5~思路8.借助第（1）小题的解答，洞察到图中的对角互补，识别出隐圆，得到思路9.上述思路借助几何直观求正切值，自然且有效.三、解后反思1.思路自然，为什么受挫笔者坚持“练后精讲，不练不讲”.事实上，学生独立解答上述题目第（2）小题第②问时，有些学生先想到的是根据正切的定义去补形.现摘录学生的解题思路如下.思路10：如图19，过点Q 作QE ⊥PB 于点E .在Rt△PEQ 中，若能分别求出QE ，PE 的长，则tan ∠BPQ的值可求.CAB Q MP 图20FC ABQ M P 图19E思路11：如图20，过点B 作BF ⊥PQ 于点F .在Rt△PFB 中，若能分别求出BF ，PF 的长，则tan ∠BPQ的值可求.思路12：如图21，过点Q 作QD ⊥AM 于点D .若能分别求出PD ，DQ 的长，在Rt△PDQ 中，可求出tan ∠PQD 的值.进一步可得tan ∠BPQ =tan ∠PQD .CABQ MP图21D 图22思路13：如图22，以点B 为坐标原点，AB 方向为x 轴正半轴，BC 方向为y 轴正半轴建立平面直角坐标系.设BC =2，则点C ()0，2，点M ()0，1，点A ()-2n ，0.再作QE ⊥PB 于点E ，将问题转化为一次函数求解.只要求得点Q æèçöø÷-2n 1+2n 2，0，则可求得QE ，PE 的长，即tan ∠BPQ 的值可求.对于思路13，若能求出BQ 的长，则可以分别求出直线CQ ，AM 的解析式，联立可解得点P 的坐标.再求出直线PB 的解析式，从而可求出直线QE 的解析式，联立可解得点E 的坐标，便可以分别求出PE ，QE 的长.在Rt△PEQ 中，根据tan ∠BPQ =QEPE ，可以求得tan ∠BPQ的值.然而，这四种思路因学生求比值的通法不够熟练、耐心不足，解题过程计算量大等原因，最终没能求出BQ 长这一关键性的元素，导致这四种解答思路受挫.事实上，借助求比值的常规方法，不仅能求得BQ的长，而且图中相关线段的比值都是确定的、可求的，只不过计算量大，需要学生有足够的耐心.现以思路10为例进行解答.解：如图23，过点Q 作QE ⊥PB 于点E ，过点P 作PG ⊥BC 于点G.设BM =a ，PM =t .因为∠ABC =90°，BP ⊥AM .所以∠MAB =∠PBM.因为tan ∠MAB =12n，tan ∠PBM =t PB ，所以a 2na =t PB .解得PB =2nt .因为tan ∠MAB =PB AP =12n ，所以AP =4n 2t .因为PG ∥AB ，所以MG GB =PM AP =14n 2.因为MG +GB =a ，所以MG =a 1+4n 2，GB =4n 2a 1+4n 2.因为PG ∥AB ，所以PG AB =PM AM =t t +4n 2t =11+4n 2.所以PG =2na 1+4n2.因为PG ∥QB ，所以PG QB =CG CB.解得QB =2na 1+2n2.因为QE ∥AP ，所以QE AP =BE BP =QB AB =11+2n2.解得QE =4n 2t 1+2n 2，BE =2nt 1+2n 2.所以PE =PB -BE =2nt -2nt 1+2n 2=4n 3t 1+2n 2.所以tan∠BPQ =QE PE =4n 2t 1+2n 2⋅1+2n 24n 3t=1n .其实在设BC =2a 后，图中的元素均可求，设PM =t 是为了计算表达简洁.例如，思路3中，利用△APB ∽△BPM ∽△ABM “子母型相似”结构，可计算BP 的长；也可以延长CH 交AB 的延长线于点N （如图18），发现△ABM ∽△CHM ∽△CBN ，可计算出MH ，CH 的长，利用三角形全等可得PH 的长；或者发现B ，M ，H ，N 四点共圆，结合切割线定理和勾股定理求出相应线段的长，使问题得到解决.2.通性、通法的运用，如何更为熟练自然在思路10~思路13中，回归基本概念和基本图形应当是学生最自然的想法.然而，却受挫于求BQ 的长.为什么学生无法求出这个值？或许当学生对下面两道例题进行深入研究并能熟练应用后，会对上述思路的解答有所启发.例1如图24，过△ABC 的顶点C 任意作一条直线，与边AB 及中线AD 分别交于点F ，E ，求证：AE DE =2AF BF.ABCD F E图24借助平行线分线段成比例，此题有较多的解法.由D 为BC 的中点，直线BC 、直线AD 、直线AB 两两相交于点D ，B ，A ，且与这三条直线相关的是直线CF ，回到作平行线求比值的常规方法.可以进行如下解答.如图25，分别过点A ，B ，D 分别作直线CF 的垂线，垂线段分别记为h 1，h 2，h 3，则有h 1h 2=AF FB ，h 2h 3=BC CD ，h 3h 1=DE EA .将三式相乘，即可证得AE DE =2AF BF.ABCD FE h1h 2h 3图25借助这种优化后的求比值的通法，可对例2给出较为简洁的解法.例2如图26，线段OA ⊥OB ，点C 为OB 的中点，D 为线段OA 上一点，连接AC ，BD 交于点P.当OA =OB ，且D 为OA 中点时，求AP PC 的值.CA B Q MP 图23EGBA CODP图26BACO DP 图27h 1h 2h 3如图27，分别过点A ，O ，C 分别作直线BD 的垂线，垂线段分别记为h 1，h 2，h 3，则有h 1h 2=AD DO ，h2h 3=BO BC，h 3h 1=CP PA .将三式相乘，得AP CP =2.这种分别过点A ，O ，C 作直线BD 的垂线求比值的方法相对简洁，彰显了几何直观的魅力.这为笔者对前述题目进行多视角改编提供了支撑，就题挖掘与改编，可以更好地提升学生解题素养．题目的改编：锐角△ABC 中，∠ABC =60°，AB BC=n ，点M 是BC 上一动点，连接AM ，P 是AM 上一动点，连接CP 并延长交AB 于点Q .（1）如图28，若n =1，∠APQ =60°，求CQAM的值.（2）如图29，若n ≠1，CM BM =14，CP PQ =35，求AQQB 的值.（3）如图30，若n >1，CM BM =14，BP ⊥AM ，CQ ⊥AB ，求n 的值AB C MP Q A B C MP Q A BC MPQ 图28图29图30四、教学启示教育上的“慢”是客观规律，必须遵守，不能绕过去.在几何解题教学中，“绕”不过去的是“思”，“慢”的落脚点在“悟”.教学上的“慢”，应从确定性、本源性、全局性、动静互换等出发，回溯知识本源，着眼通性、通法，熟悉基本图形变换，浸润基本数学思想等处着力，展开理性分析和精准计算，知晓方法的来路，点亮学生思维的去路.1.教活思考习惯，理清思路来源由条件推算结论、由问题寻找条件、由问题前后的关联性逐步推理与计算，定性分析、定量计算是常用的解答手段.题目给出的图形中，线段之间、角之间必然有确定的逻辑联系和因果关系.因果明，则思之有路；图形定，则对应的数量关系及位置关系就随之确定.看条件、找结论、追其何处去是常用的分析、解决问题的思考方法.识图时，从全局入手，掌握“译式”方法，学会与条件“对话”，借助符号或未知数把条件转换到图形上，巧用图形建立联系.画图补形时，学生要懂得静能定位、动能生联系，主动发现点、边、角等元素之间的关系，关注变化中的不变，从图形结构中发现并拆分、重组常见的基本图形.这种动静互换思维，有助于寻找到相关元素之间的联系，从而联想到相关图形的性质、唤醒解答经验和方法，更好地展开定位分析和定量计算.解题时，要仔细审读条件，借助确定性、本源性、全局性、动静互换等思维，回归到知识源、特殊点和关键点展开联想，实现文字、图形、符号等数学语言的相互转化.例如，题目第（1）小题借助图形变换，还可以有以下思路.延长MB ，取BH =BM ，连接AH ，构造等腰三角形；或过点M ，A 分别作AB ，BC 的平行线，得矩形ABMH ，从特殊四边形的性质及CN ⊥AM 可推导出与∠NCB 相等的角，再通过三角形全等进行转化，证得BM =BN .就此小题而言，这些思路虽然复杂，但却与波利亚的解题理念相吻合，即拿一个有意义但又不复杂的题目去帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过这道题就好像通过一道“门户”，把学生引入一个完整的领域.把简单的题深入做，可以帮助学生更好地领悟解题的本质，引导学生发现知识之间的联系，形成深层次的思考，并借助图形变换及确定性、本源性、全局性、动静互换等解答后面两道小题，启发学生的思维.2.盘活思考方式，落细教学着力点，知晓方法来路笔者以2019年中考湖北武汉卷第23题为例，借助探究与类比，溯源强基，提炼求线段比值的方法.任何一种解法都依赖坚实的基础知识和扎实的数学基本功.易想难算、易算难想，解题思路没有捷径可走.熟练运用通性、通法后得到的巧妙解答是看透知识及方法本质后的火热思考，是真思考.在通性、通法的优化中，寻找着力固牢“四基”的讲题切入点，提升解题素养才是悟之必要.题目中内含“X型”“A型”“子母型”“隐圆”等基本图形，暗示着解题教学要着力于强化几何直观，洞察图形结构，丰富答题经验.在解答题目第（2）小题第①问时，有的学生从所求结论CPPQ =BMBQ出发，联想求线段成比例的通法，过点P作BC的平行线，或过点P作AB的平行线，或过点Q作AM的平行线，或过点Q作BC的平行线等，得到“A型”或“X型”等相似图形，暗示教学要着力于学生思维的最近发展区去应对和启发；洞察到“三垂直”结构，充分利用已知条件AB=AC，打开“另一扇窗”，凸显真实思维考量.3.激活思考方法，点亮思维去路解题研究无禁区，课堂教学有范围.对于教师来说，繁简解法、对错解法、优劣解法等都应该兼收并蓄.至于将哪一种解法用于课堂教学，则取决于教学要求和学生的实际情况.当前的数学教学，首先要在“如何让学生想得到”上下工夫，激活思考方式，启发学生在洞察结构上思本源，想通性、通法.题目第（2）小题第②问的解决，是先借助几何直观补形转化，再设元计算，从数的角度去剖析相关元素间的关系；从形的角度看，图10中，由“三垂直”模型，可得△ECB∽△MBA，利用相似三角形对应高的比等于相似比，得CFBP =BEAM=BCAB=1n.借助中位线定理，得BP=PF.于是可求得tan∠BPQ=tan∠CPF=CFPF=1n.笔者从形、数或形数结合等角度展开研题，并呈现各种繁与简的解法，为答疑学生的奇思妙想、放飞学生的思维做了充分准备.借助几何直观，把握图形结构，可以启发学生明了题意、展开联想，明白如何去想，“知其然”而得法.适度拓展，适时一题多解或多解归一，明了为什么要这样去想，知晓解法本质，“知其所以然”，达到举一反三.教师要引导学生回归知识本源，及时反思，充分经历试错、析错、纠错的过程，抓联系、知因果，突破思路，展开作图、计算、推理，厚植由确定展开理性分析与推算等必备的解题能力，让学生在尝试和慢悟中学会选择、转化、比较和优化，把握规律，灵活贯通，在还可以怎样去想上下足工夫，撬动思维的杠杆，推动学生进行深度思考，以点亮思维的去路．参考文献：［1］钱德春.解题教学应关注思维方式与思维心理［J］.中学数学教学参考（中旬），2018（10）：2-5.［2］张建华.关注模型特征提升解题能力：“动点路径”中考试题归类解法思考［J］.中国数学教育（初中版），2019（6）：48-52.［3］沈岳夫.洞察试题结构构造基本图形［J］.中国数学教育（初中版），2017（11）：47-50.［4］叶先玖，王胜兰，胡泽明.讲题的关注点：理性、确定、及时、适度［J］.中学数学杂志，2019（8）：48-52.。
一题多解真奇妙,追本溯源又见新——对一道中考选择题的再探究
本题 以我们非常熟悉 的三角形外接圆和角平分线为 背景 ， 题 目新颖 ， 设计巧妙 ， 具有很 强的探索性． 贵刊２ ０ １ ２ 年１ １ 月的初中版中的一篇文章《 小题大做 ， 借题发挥—— 从 一道 中考选择题说起 》 ． 作者用 了１ ０ 种方法 对这道 中考 选 择题进行 了求 解 ， 思路清 晰 ， 方法新奇 ， 并对原题 进行
系式 是成立 的 ， 但 是 离不 开 厶４ Ｃ Ｂ ＝ ９ ０ 。 这个 条件． 于是 ， 作者 又改变 题设条 件 ， 在 厶４ Ｃ Ｂ＃９ ０ 。 ， 其 他条件 不变 的 情况下 ， 通过类 比探究对定理 １ 进行了推广得 到定理 ２ ， 如
下：
图５ 图６
证 法二 ：如 图６ ，连接Ａ Ｄ、 Ｂ Ｄ、 Ａ Ｂ，由托勒 密定 理
＝
＝
＋ ｓ ｉ ｎ ０ １ ｃ ｏ ｓ ０ ｃ ｏ ｓ （ ０ １ ＋ Ｌ Ｄ Ｃ Ｅ） ＋ ｓ ｉ ｎ Ｏ ｌ ｓ ｉ ｎ Ｏ ｓ ｉ ｎ （ Ｏ ｌ ＋ ￣Ｄ Ｃ Ｅ） ］
＝
２ ｒ ｓ ｉ ｎ ０ ｃ ｏ ｓ ／ ＤＣＥ
ｊ １ ） ・ ｓ ｉ ｎ
＝
利用作者 的第 １ 种解法 、第 ２ 种解法等可证 明这个关
（ Ｐ ｔ ｏ ｌ ｅ ｍ ｙ ） ￣ａ Ｃ ・ Ｂ Ｄ ＋ Ａ Ｄ・ Ｂ Ｃ ＝ Ａ Ｂ・ Ｃ Ｄ ．
在Ａ Ａ Ｂ Ｄ中应用正弦定理得
Ｃ 是 ｏ０ 的两条 弦 ， 且 厶４ Ｃ Ｂ ＝ Ｏ ，
凸
厶４ ｃ 的平分线交 （ Ｄ Ｏ 于点Ｄ， 则Ａ Ｃ ＋ Ｂ Ｃ ＝ ２ Ｃ Ｄ・ ｃ ｏ ｓ ．
ｓ ｌ ｎＵ ２
＝ ＝ ＝
２ ｒ ， 结合①式得
ｓ ｌ ｎ ｆ￣
ｓ ｌ ｎ Ｏ
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定”中的一道思考题 ，进行 了认真 的探索．
思 考 题 ：如 图 １ ，一 架 ２ ． ５米 长 的梯 子
当 ＡＡ Ａ。 ０ ＡＢ Ｂ 。 ０时 ，就 有下
滑 距离 Ａ Ａ 和外 移距离 Ｂ Ｂ 。 相 等 ，即
Ａ４ ＝Ｂ Ｂ１ ．
Ａ Ｂ斜靠在竖直 的墙 Ａ Ｃ上 ，这 时点 到墙 点 Ｃ处的距离 为 ０ ． ７米 ，如果梯子 的顶端沿
． ９米 ” ，那么该题 的答案会是 ０ ． ９米吗？为什么 ？ 考试题在我们的教材 中都 能找到原型，所以我们应尊重教材 、梳 ０ 滑的距离与点 曰向外移动的距离 ，有可能相等吗？为什么？ 试解答小聪提 出的这 ２ 个 问题．
二 、问题 解 答 及 引 申
２ ０ １ ２ 年浙江省绍兴市的中考试题的第 ２ ２题是一道 由浙教版
个 现象 正是 此题值得研究 的地方 ，也是该题 的亮点所在．
三 、 猜 想 规 律
四 、证 明猜 想
证 明 ：如 图 １ ， ＡＣ＞Ｂ Ｃ， 设Ａ Ａｌ ＝ ，Ｂ Ｂ ｌ ＝ Ｙ ，
带着这个 问题 ，我们先梳 理一下题 中梯子顶 端下滑 的距离
与 底 端 滑 动 的 距 离 的 几组 数据 ．
此题分两小题 ，第（ １ ） 小题较简单 ，容易人手．第（ ２ ） 小题 中
《 义务教育课 程标 准实验教科 书 ・ 数学》 八年级上册第 二章 “ 特 的问题 １ ，仿照第 （ １ ） 小题的解题思路 ，验证 、比较 ，即可得 出 殊 三角形” 的 目标 与评定第 ５ １ 页第 ｌ ６题改编而成 的常规解答 结论 ；第 （ ２ ） 小题 中的 问题 ２ ，属于数 学存 在性 问题 ，其解 题
贝 ０ Ａ ｌ Ｃ＝Ａ Ｃ— Ａ Ａ１ ＝ ＡＣ— ，Ｂｌ Ｃ：Ｂ Ｃ＋Ｂ Ｂｌ ＝Ｂ Ｃ＋ Ｙ ．
一
解 ：（ 方法 １ ） 如图 ２ ，记 Ａ Ｂ 和
Ａ． ８ 的交点为 ０， 在 下 滑 过 程 中 ， 我 们 发 现
、
试 题 呈 现
题目
对教材 “ 目标 与 评 ＡＡ Ａ， ０在 变 大 ，而 ａＢ Ｂ ０在 变 小 ． 小 明和 同 桌 小 聪 在 课 后 复 习 时 ，
而 ＡＩ Ｂ ｌ ＝２ ． ５ ，
贝 ０ Ａｌ Ｃ＝２ ． ４一 ，Ｂ ， Ｃ＝ ＋０ ． ７ ． 由勾 股 定 理 ，得 （ ＋０ ． ７ ） ＋（ ２ ． ４一 ） ＝２ ． ５ ． 解 得 ＝１ ． ７ （ 米） ． 那 么 从 小 聪 提 出 的 ２个 问题 来 看 ，这 个 结 论 是 否 具 有 一 般
关 键 词 ：教 材 改 编题 ；建 模 能 力 ；拓 展 探 究
（ ２ ） 解完 “ 思考题 ”后 ，小聪提出了如下 ２个问题． 问题 １ ：在 “ 思 考题 ”中 ，将 “ 下滑 ０ ． ４米 ”改 为 “ 下 滑
问题 ２ ：在 “ 思 考题 ” 中 ，梯 子 的 顶 端 从 点 Ａ处 沿 墙 ＡＣ下
墙下滑 ０ ． ４米 ， 那 么 点 Ｂ 将 向 外 移 动 多
少 米？
图 ２
根据 Ａ Ａ Ｓ ，得 出 △ＡＢ Ｃ ＡＡ。 Ｂ 。 Ｃ ．
所 以 Ａ１ Ａ＝Ｂ Ｂ ｌ ＝ ＡＣ— ＡＩ Ｃ＝ Ｂ ｌ Ｃ— Ｂ Ｃ： ＡＣ—Ｂ Ｃ＝２ ． ４—０ ． ７＝
图 １
（ １ ） 试将小 明对 “ 思考题”的解答补充
题 ，此题 简约 而不 简单 ，问题 的设 计着 眼于学 生 自主 、合作 、 思路 为 ：假设存 在一 推理论 证一得 出结论．若 能导 出合理 的结
探 究的学习 ，步步 为营 ，延展有 序 ，将知识融会 贯通 ，思维 活 果 ，就作 出 “ 存在 ”的判断 ；若导 出矛盾 ，就作 出 “ 不存 在 ” 动层层展开 ，不断深入 ，进一步增强学生探究问题的能力 ． 学生 的判断．下面提供第（ ２ ） 小题 中的问题 ２的 ２种解题思路 ． 通过 观察 、比较 、分析 、综合 、抽象 、概括等一系列思维活动 ， 得到不同层次的发展 ，获得新知．
作者简介 ：沈岳 夫 （ １ ９ ６ ３ 一） ，男，浙江绍兴人 ，中学高级教 师，主要从事数学教 育和数 学解题研究
３ ４
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完整．
１ ． ７ （ 米） ．
（ 方法 ２ ）可列方程直接解决．
设 ＝Ｂ Ｂ ｌ ＝ ，
解 ：设点 Ｂ将 向外移动 米 ，即 Ｂ Ｂ ＝ ，
贝 ０ Ｂ １ Ｃ＝ ＋０ ． ７ ，Ａ。 Ｃ： ＡＣ— Ａ Ａｌ ＝、 ／ ２ ． ５ 一０ ． ７ 一０ ． ４： ２ ．
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Байду номын сангаас
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一
／ ｔ Ｔ Ｉ Ｙ Ａ Ｎ Ｊ Ｉ Ｕ ￣
一
— 。 。
ＳＨ
的距离 ？如果 不是 ，那 么 “ 梯子 滑动 ”是 否有一定 的规律 ？这 滑 动 的距 离 大 于顶 端 下 滑 的距 离 ．
在Ｒ ｔ ＡＢ ｌ Ｃ Ａ． 中 ，由 Ｂ ． ＋ Ａ． Ｃ ＝ Ａｌ Ｂ ，得方程 — — ．
解 方 程 ，得 ｌ ＝ — — ， ２ ＝ — — ．
所以点 曰将 向外移动 — —
米．
性？即是不是在任何 情况下 ，底端 滑动的距离都 大于顶端下 滑
收 稿 日期 ：２ ０ １ ３ － ０ ４ — １ ８
２ ０ １ ３年 第 １ ０期
Ｚ ＨＯＮＧＧＵＯ Ｓ ＨＵ ＸＵＥ Ｊ Ｉ ＡＯ ＹＵ
摘要 ：新课 程倡 导教 师要创造性地使 用教材 ，引导学生进 行 自主性 学习、探 究性 学习．综观近几年各地 中考试题 ，许 多中 理教 材、深挖教材 、活化教 学素材 ，认真评析教材 中的典型例 题 、习题 ，这样才能真正提 高教学效率 ，达到事半功倍 的效果．