第一讲-插值方法
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数值分析 第一章 插值方法教材
2018/10/8 12
注: n次插值多项式 pn(x) ，精确讲应该是次数 ≤n的插值多项式，如下图
y Pn(x) f (x)
0
x
2018/10/8
13
插值多项式的存在性、唯一性 [利用待定系数法求解并证明]
..,n 求 pn ( x) 已知 f ( xi ) yi , i 0,1,2,....
x2 x3 例如： e 1 x ...... 2! 3!
x
插值多项式：设 f 是区间[a, b]上的一个实函数， 且有n+1个相异点x0, x1,…,xn∈[a,b], f 在xi处的值yi =f (xi) (i=0,1,2,..,n),若存在一个简单函数p(x)，使 得 p(xi)=yi (i=0,1,2,..,n) ①
f " (100) p2 (115) p1 (115) (115 110) 2 2!
10.75 0.028125 10.721875
Байду номын сангаас
115 10.723805 ......
2018/10/8
有4位有效数字。
11
结论：利用f (x)的泰勒多项式研究 f (x)，需知f (x)在 某点x0的各阶导数，这不易做到。
( n 1 )! ——泰勒余项定理
2018/10/8 8
y0 , y ,......,y 泰勒插值 已知一组数据 多项式 pn(x), 使得pn(x)满足
(1) 0
( n) 0
，求n次
(k ) (k ) pn ( x0 ) y0 , k 0,1,2,...... n
(*)
(k ) 对某一函数 f (x)，已知一组数据 f ( k ) ( x0 ) y0 , (k ) (k ) p ( x ) f ( x0 ) 求 p ( x ), 使得 p ( x ) 满足 n 0 (k 0,1,2,, n), n n
注: n次插值多项式 pn(x) ，精确讲应该是次数 ≤n的插值多项式，如下图
y Pn(x) f (x)
0
x
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13
插值多项式的存在性、唯一性 [利用待定系数法求解并证明]
..,n 求 pn ( x) 已知 f ( xi ) yi , i 0,1,2,....
x2 x3 例如： e 1 x ...... 2! 3!
x
插值多项式：设 f 是区间[a, b]上的一个实函数， 且有n+1个相异点x0, x1,…,xn∈[a,b], f 在xi处的值yi =f (xi) (i=0,1,2,..,n),若存在一个简单函数p(x)，使 得 p(xi)=yi (i=0,1,2,..,n) ①
f " (100) p2 (115) p1 (115) (115 110) 2 2!
10.75 0.028125 10.721875
Байду номын сангаас
115 10.723805 ......
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有4位有效数字。
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结论：利用f (x)的泰勒多项式研究 f (x)，需知f (x)在 某点x0的各阶导数，这不易做到。
( n 1 )! ——泰勒余项定理
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y0 , y ,......,y 泰勒插值 已知一组数据 多项式 pn(x), 使得pn(x)满足
(1) 0
( n) 0
，求n次
(k ) (k ) pn ( x0 ) y0 , k 0,1,2,...... n
(*)
(k ) 对某一函数 f (x)，已知一组数据 f ( k ) ( x0 ) y0 , (k ) (k ) p ( x ) f ( x0 ) 求 p ( x ), 使得 p ( x ) 满足 n 0 (k 0,1,2,, n), n n
插值方法
多项式，若f(x)Cn[a,b] ， f(x)在(a, b)内存在 n+1阶导数，其中 [a, b]是包含点x0, x1, …, xn 的任一区间，则对任意给定的x[a,b] ，总
存在一点(a, b) （依赖于x）使
R(x) f (x) Ln (x)
f ( (n1) )
(n 1)! (x x0 )( x x1) (x xn )
记Nn(x)= f(x0)+f(x0,x1)(x-x0)+f(x0,x1,x2)(x-x0)(x-x1) +…+ f(x0,x1,…,xn)(x-x0)(x-x1)…(x-xn-1)
R(x)=f(x)-Nn(x)=f(x0,x1,…,xn,x)(x-x0)(x-x1)…(x-xn) R(xi)=0 (i=0,1,…n)
L2(x0)= y0 ，L2(x1)= y1 ，L2(x2)= y2. 二次Lagrange插值多项式为
L２(x)= y0l0(x) + y1l1(x) + y2l2(x)
其中
l0 (x)
(x ( x0
x1)( x x2 ) x1)( x0 x2 )
l1 ( x)
(x ( x1
f (n) ( )
从而f(x0,x1,…,xn)＝ n! ， (a, b)
比较Ln(x)与Nn(x)中xn的系数有f(x0,x1,…,xn)=
n
i0
f
(xi ) (xi )
Newton插值多项式
一次Newton插值多项式 N1(x)= f(x0)+f(x0,x1)(x-x0)
二次Newton插值多项式
存在一点(a, b) （依赖于x）使
R(x) f (x) Ln (x)
f ( (n1) )
(n 1)! (x x0 )( x x1) (x xn )
记Nn(x)= f(x0)+f(x0,x1)(x-x0)+f(x0,x1,x2)(x-x0)(x-x1) +…+ f(x0,x1,…,xn)(x-x0)(x-x1)…(x-xn-1)
R(x)=f(x)-Nn(x)=f(x0,x1,…,xn,x)(x-x0)(x-x1)…(x-xn) R(xi)=0 (i=0,1,…n)
L2(x0)= y0 ，L2(x1)= y1 ，L2(x2)= y2. 二次Lagrange插值多项式为
L２(x)= y0l0(x) + y1l1(x) + y2l2(x)
其中
l0 (x)
(x ( x0
x1)( x x2 ) x1)( x0 x2 )
l1 ( x)
(x ( x1
f (n) ( )
从而f(x0,x1,…,xn)＝ n! ， (a, b)
比较Ln(x)与Nn(x)中xn的系数有f(x0,x1,…,xn)=
n
i0
f
(xi ) (xi )
Newton插值多项式
一次Newton插值多项式 N1(x)= f(x0)+f(x0,x1)(x-x0)
二次Newton插值多项式
第一讲 插值法
值计算中，经常要用到一些专用 表册，如：航海表、吃水差表等等，这
些表册都是按一定的函数关系编排的，
如：
根据已知的x值，查表可求得y值，但是表内不 可能一一列出全部y值，当所求的函数值y正好 在两表列数值之间，利用表列数据间的引数求 y值的方法称为内插法。 内插法： 利用函数表册，根据任意居间引数查取相应函
5.0
2. 比例反内插 (inverse proportional interpolation) 内插的逆运算，，已知求？ 比例内插公式
比例反内插公式
二. 比例双内插 (proportional double interpolation) 当函数有两个自变量时，用比例双内插求近 似解。
比例双内插是比例单内插的自然推广。
1．比例正内插 已知 求 。
引数
x0 x1 …
函数值
yo y1 …
y
比例内插公式：
y1 y
f(x ) c
d
y0
a x0
e x
b
x
O
x1
y y1 y y0 d
f(x 比例内插的几何意义： )
c
用表列引数两点的直线代替 曲线进行内插，即以弦代替 曲线进行内插。
f
a e
b
结论： 1）f(x)为线性函数，求得的y
（1） 用比例内插 y＝5.5 （2） 用x＝2变率内插 y＝4＋4（2.3－2）＝5.2 （3） 用x＝3变率内插 y＝9＋6（2.3－3）＝4.8 （4） 用y＝x2直接计算 y＝5.29
x
y
dy dx
2 3 4
4 9 16
4 6 8
分析：
① 比例内插误差大；
② x＝2的变率内插较准。 结论：
些表册都是按一定的函数关系编排的，
如：
根据已知的x值，查表可求得y值，但是表内不 可能一一列出全部y值，当所求的函数值y正好 在两表列数值之间，利用表列数据间的引数求 y值的方法称为内插法。 内插法： 利用函数表册，根据任意居间引数查取相应函
5.0
2. 比例反内插 (inverse proportional interpolation) 内插的逆运算，，已知求？ 比例内插公式
比例反内插公式
二. 比例双内插 (proportional double interpolation) 当函数有两个自变量时，用比例双内插求近 似解。
比例双内插是比例单内插的自然推广。
1．比例正内插 已知 求 。
引数
x0 x1 …
函数值
yo y1 …
y
比例内插公式：
y1 y
f(x ) c
d
y0
a x0
e x
b
x
O
x1
y y1 y y0 d
f(x 比例内插的几何意义： )
c
用表列引数两点的直线代替 曲线进行内插，即以弦代替 曲线进行内插。
f
a e
b
结论： 1）f(x)为线性函数，求得的y
（1） 用比例内插 y＝5.5 （2） 用x＝2变率内插 y＝4＋4（2.3－2）＝5.2 （3） 用x＝3变率内插 y＝9＋6（2.3－3）＝4.8 （4） 用y＝x2直接计算 y＝5.29
x
y
dy dx
2 3 4
4 9 16
4 6 8
分析：
① 比例内插误差大；
② x＝2的变率内插较准。 结论：
插值方法（精品）
第四章插值方法§4.0 引言§4.1 多项式插值问题的一般提法§4.2 拉格朗日(Lagrange)插值§4.3 差商与差分及其性质§4.4 牛顿插值公式§4.5 分段插值法§4.6 三次样条插值§4.7 曲线拟合的最小二乘法引言1 插值法是广泛应用于理论研究和生产实践的重要数值方法，它是用简单函数(特别是多项式或分段多项式)为各种离散数组建立连续模型；为各种非有理函数提供好的逼近方法。
众所周知，反映自然规律的数量关系的函数有三种表示方法：A 解析表达式。
(1865年，瓦里斯Walis ；1690年，Raphson 拉夫逊；1669年，牛顿Newton ；历史悠久的方程)。
，(开普勒(Kepler)方程)。
悬链线方程；。
52)(3−−=x x x f y y x sin ε−=)/cos(λλx y =B图像法C表格法2 事实上，许多数据都是用表格法给出的(如观测和实验而得到的函数数据表格)，可是，从一个只提供离散的函数值去进行理论分析和进行设计，是极不方便的甚至是不可能的。
因此需要设法去寻找与已知函数值相符，并且形式简单的插值函数(或近似函数)。
3 另外一种情况是，函数表达式完全给定，但其形式不适宜计算机使用，因为计算机只能执行算术和逻辑操作，因此涉及连续变量问题的计算都需要经过离散化以后才能进行。
如数值积分方法、数值微分方法、差分方程以及有限元法等，都必须直接或间接地应用到插值理论和方法。
1 插值法的概念假设函数y=f (x )是[a , b ]上的实值函数，x 0,x 1,…,x n 是[a ,b ]上n +1个互异的点，f (x )在这些点上的取值分别为y 0,y 1,…,y n 。
求一个确定的函数P (x )，使之满足：P (x i )=y i(i =0,1,2,…,n ) (1)称x 0,x 1,…,x n 为插值节点，关系式(1)称为插值原则,函数P (x )称为函数y=f (x )的插值函数，区间[a , b ]称为插值区间。
计算方法—插值法 (课堂PPT)
7
1 1
2 5
4 25
8 125
aa32
4
35
则，
解方程组得a0=10,a1=5,a2=-10,a3=2 即P3(x)=10+5x-10x2+2x3
当n=20,在109次/秒的计算机上计算需几万年！
.
2020/4/2
12
2.2 拉格朗日插值
2-2 线性插值与抛物插值
Chapter2 插值法
第二章 插 值 法
（ Interpolation） 2.1 引言
2.2 拉格朗日插值
2.3 均差与牛顿插值公式
Chapter2 插值法
2.4 埃尔米特插值
2.5 分段低次插值
2.6 三次样条插值
.
2020/4/2
1
2.1 引言
Chapter2 插值法
表示两个变量x,y内在关系一般由函数式 y=f(x)表达。但在实际问题中的函数是多种多 样的,有下面两种情况：
几何意义:L2(x)为过三点(x0,y0), (x1,y1), (x2,y2)的抛物线。
方法：基函数法，构造基函数l0(x), l1(x), l2(x) (三个二次式)
使L2(x)= y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)满足插值条件。 6 4 4 4 4 4 4 7 4 4 4 4 4 48
.
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15
2.2 拉格朗日插值
Chapter2 插值法
问题的提法： 已知y=f(x)的函数表，x0, x1, x2为互异节
x x0 x1 x2 y y0 y1 y2
点，求一个次数不超过2的多项式 L2(x)=a0+a1x+a2x2 ：L2(x0)=y0, L2(x1)=y1, L2(x2)=y2
第一章 插值方法
数值分析
第二章 插值方法
电子科学系
2.1 插值问题的提法
表示两个变量x、y的内在关系，一般由函数y=f(x)表达。
但在实际问题中，常遇到以下两种情况：
1 由试验观测而得的一组离散数据（函数表），显然这种 函数关系式y=f(x)存在且连续，但未知。
2 函数解析表达式已知，但计算复杂，不便使用。通常也 用函数表。 有时要求不在表上的函数值，怎么办？
如果用 l0 ( x ), l1 ( x ), l2 ( x ), , ln ( x ) 作 y f ( x )的插值基函数 而 Pn ( x ) 为f ( x )的插值多项式 , 则
Pn ( x ) a0l0 ( x ) a1l1 ( x ) anln ( x )
其中 a0、 a1、 、 an为待定参数
0 ( x0 ) 1
0 ( x1 ) 0
y y0 0 ( x ) y11 ( x )
例 已知lg2.71=0.4330,lg2.72=0.4364.求y=lg2.718 分析：对y=lgx,给出了两点 2.71,0.4330 x 0 , y 0
2.72,0.4364 x1 , y1 ，为求lg2.718构造简单的插值
令
即
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Pn ( xi ) f ( xi ) yi
i 0 ,1 , 2 , , n i 0 ,1 , 2 , , n
a l (x )
j j i j 0
n
yi
ai yi
i 0 ,1 , 2 , , n
于是 , y f ( x )在节点 xi ( i 0 ,1 , , n )上 , 以 l j ( x ) ( i 0 ,1 , , n ) 为插值基函数的插值多 项式 ( 记为 Ln ( x ))为
第二章 插值方法
电子科学系
2.1 插值问题的提法
表示两个变量x、y的内在关系，一般由函数y=f(x)表达。
但在实际问题中，常遇到以下两种情况：
1 由试验观测而得的一组离散数据（函数表），显然这种 函数关系式y=f(x)存在且连续，但未知。
2 函数解析表达式已知，但计算复杂，不便使用。通常也 用函数表。 有时要求不在表上的函数值，怎么办？
如果用 l0 ( x ), l1 ( x ), l2 ( x ), , ln ( x ) 作 y f ( x )的插值基函数 而 Pn ( x ) 为f ( x )的插值多项式 , 则
Pn ( x ) a0l0 ( x ) a1l1 ( x ) anln ( x )
其中 a0、 a1、 、 an为待定参数
0 ( x0 ) 1
0 ( x1 ) 0
y y0 0 ( x ) y11 ( x )
例 已知lg2.71=0.4330,lg2.72=0.4364.求y=lg2.718 分析：对y=lgx,给出了两点 2.71,0.4330 x 0 , y 0
2.72,0.4364 x1 , y1 ，为求lg2.718构造简单的插值
令
即
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Pn ( xi ) f ( xi ) yi
i 0 ,1 , 2 , , n i 0 ,1 , 2 , , n
a l (x )
j j i j 0
n
yi
ai yi
i 0 ,1 , 2 , , n
于是 , y f ( x )在节点 xi ( i 0 ,1 , , n )上 , 以 l j ( x ) ( i 0 ,1 , , n ) 为插值基函数的插值多 项式 ( 记为 Ln ( x ))为
插值法数学计算方法
插值法数学计算方法插值法是一种数学计算方法，用于在已知数据点的基础上，通过构建一条插值曲线来估计未知数据点的值。
插值法可以应用于各种数学问题中，例如逼近函数、插值多项式、差值等。
本文将详细介绍插值法的原理和常见的插值方法。
一、插值法的原理插值法的基本思想是通过已知数据点的函数值来构建一个函数表达式，该函数可以通过插值曲线来估计任意点的函数值。
根据已知数据点的数量和分布，插值法可以采用不同的插值方法来构建插值函数。
插值法的原理可以用以下几个步骤来描述：1.收集已知数据点：首先，需要收集一组已知的数据点。
这些数据点可以是实际测量得到的，也可以是其他方式获得的。
2.选择插值方法：根据问题的特性和数据点的分布，选择适合的插值方法。
常见的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法、埃尔米特插值法等。
3.构建插值函数：通过已知数据点，利用选择的插值方法构建插值函数。
这个函数可以拟合已知数据点，并通过插值曲线来估计未知数据点。
4.估计未知数据点：利用构建的插值函数，可以估计任意点的函数值。
通过插值曲线，可以对未知数据点进行预测，获得相应的数值结果。
二、常见的插值方法1.拉格朗日插值法：拉格朗日插值法基于拉格朗日多项式，通过构建一个具有多项式形式的插值函数来逼近已知数据点。
插值函数可以通过拉格朗日基函数计算得到，式子如下：P(x) = ∑[f(xi) * l(x)], i=0 to n其中，P(x)表示插值函数，f(xi)表示已知数据点的函数值，l(x)表示拉格朗日基函数。
2.牛顿插值法：牛顿插值法基于牛顿差商公式，通过构建一个递归的差商表来逼近已知数据点。
插值函数可以通过牛顿插值多项式计算得到，式子如下：P(x) = f(x0) + ∑[(f[x0, x1, ..., xi] * (x - x0) * (x - x1)* ... * (x - xi-1)] , i=1 to n其中，P(x)表示插值函数，f[x0, x1, ..., xi]表示xi对应的差商。
1插值法
1 x1
2 x1
1 xn
2 xn
n x0
n x1
n xn
( xi x j )
i 1 j 0
n
i 1
§1.1 引言
（预备知识3 ）泰勒(Taylor)公式
设f ( x)在包含x0的(a, b)内具有直到n阶导数， 当x (a, b)时有： f ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) f ' ( x0 ) ( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! f ( n ) ( x0 ) ( x x0 ) n Rn ( x) n!
§1.1 引言
一. 问题提出：
表示两个变量x,
y内在关系，一般由函数式 y = f(x) 表
达。但在实际问题中，有两种情况： 1. 由实验观测而得的一组离散数据(函数表) , 显然这 种函数关系式 y = f(x) 存在且连续, 但未知。 2. 函数解析表达式已知, 但计算复杂, 不便使用。通常
2点L公式
§1.2 Lagrange 插值
容易验证，过点 (x0, y0) 与 (x1, y1) 直线方程就是上 式 ，如下图所示。
y
误差
y (x ) f (x )
f (x ) y (x )
x0
x1
x
§1.2 Lagrange 插值
二. 抛物线插值(三点插值)
已知三个插值节点及其函数值：
§1.1 引言
插值公式
y i yi
n
(1)
(2)
近似关系式 f ( x)
i 0
i 0 n
i
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sin 0.36 0.3522787 ，用线性插值及抛物插值 计算 sin( 0.3367 )
解 由题意取
x0 0.32, y0 0.314567 , x1 0.34, y1 0.333487 , x2 0.36, y 2 0.352274 .
用线性插值计算，取 x0=0.32、x1=0.34
* 处的插值 y . xi )
x0 x1 xn b),
这些点可视为由 y=f(x)产生，但f表 达式复杂，或根 本无法提供
18
x (
y1 y0
2017/5/9
y
*
x0 x1 x*
xn
求解插值问题的基本思路
构造一个相对简单的函数
y g ( x ), 通过全部点，即
插值基函数满足条件 k ( xk ) 1, k ( x j ) 0
k 1 ( x )
1
j k 1, k 1
基 函 数 的 图 形
k ( x )
k 1 ( x ) k 1
2017/5/9
26
n >2时，插值多项式
pn ( x) k ( x) f ( xk )
该多项式满足：
p ( x0 ) f
(i ) n
(i )
( x0 )
i 0,1, , n
Taylor插值的特点：原理简单，但要求插值函数p(x)与所逼
近的函数f(x)在展开点x0处具有相同的直到n阶的导数值
2017/5/9 23
Lagrange 插值
线性插值(n=1)：假定给定区间[xk,xk+1]及端点的函数值
i 0
7
定义1：称近似关系式
f ( x) i yi 具有m阶
i 0
n
精度，如果它对于次数≤m的多项式均能准确成 立 特别地，当y＝1时，
n
i 0
i
1。所以，插值方法
是平均化的过程，故称为插值平均
2017/5/9
8
插值的几何意义
2017/5/9
9
2. Lagrange（拉格朗日）插值公式
两点插值：
y 0 y0 1 y1 x x0 x x1 y0 y1 插值公式 y x0 x1 x1 x0 三点插值：
形式
y 0 y0 1 y1 2 y2 形式 插值公式
( x x0 )(x x2 ) ( x x0 )(x x1 ) ( x x1 )(x x2 ) y y0 y1 y2 ( x0 x1 )(x0 x2 ) ( x1 x0 )(x1 x2 ) ( x2 x0 )(x2 x1 )
1
k 1 ( x)
k ( xk 1 ) 0; k 1 xk 1 1.
k ( x)
0
xk
x k 1
25
同理，当 n=2 时，即利用二次插值基函数立即得到二次 插值多项式
p 2 ( x ) k （ 1 x） f ( x k 1 ) k ( x ) f ( x k ) k 1 ( x ) f ( x k 1 )
如果插值函数为分段多项式，就称为分段插值，如
果为三角多项式，就称为三角插值
本章只讨论代数插值和分段插值
我们的问题是如何确定
p n ( x ) 0 1 x 2 x ... n x
2
n
?
进而求得
2017/5/9
y pn ( x )
* *
21
事实上，方程组的解λ0, λ1, …, λn存在且唯一。解出λi (i=0, 1, 2, …, n)， pn(x)就可构造出来了。但遗憾的是
x0 x1 x2 x3 x4
y0 y1 y2 y3 y4
•••
y01 y12 y23 y34
•••
y02 y13 y24
•••
y03 y14
•••
y04
•••
•••
•••
xn yn
yn-1,n yn-2,n yn-3,n yn-4,n
y0,n
n+1点插值 n点插值 n-1点插值
2017/5/9
… 1点插值
16
小结：
Aitken 算法和 Neville 算法是逐步插值的两种 基本形式 共同特点：都是将高阶插值逐步归结为线性
插值（最简单、最基本）的重复
2017/5/9
17
4. 插值逼近
问题的提出
已知 n+1个点
*
互不相同，不妨设 a 求任一插值点
( xi , yi ) (i 0,1, n, 其中 xi
2017/5/9 11
例：利用100、121和144开平方值计算 115
解： 令 y x ，利用三点Lagrange公式
y 0 y0 1 y1 2 y2
( x x0 )(x x2 ) ( x x0 )(x x1 ) ( x x1 )(x x2 ) y y0 y1 y2 ( x0 x1 )(x0 x2 ) ( x1 x0 )(x1 x2 ) ( x2 x0 )(x2 x1 )
得
sin 0.3367 p1 (0.3367 )
y1 y0 y0 (0.3367 x0 ) x1 x0
0.01892 0.314567 0.0167 0.330365 0.02
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用抛物插值计算sin 0.3367时，
( x x1 )( x x2 ) sin 0.3367 y0 ( x0 x1 )( x0 x2 )
插值公式
x x0 x x1 y01 y0 y1 x0 x1 x1 x0 x x0 x x2 y02 y0 y2 x0 x2 x2 x0
以(x1, y01), (x2, y02)作为节点构造两点插值公式：
x x2 x x1 y12 y01 y02 x1 x2 x2 x1
插值方法是逼近方法的一种
如果要求逼近函数 g(x) 与其所逼近的函数 f(x) 在
若干节点上取相同的离散信息（函数值、导数
值），这种逼近方法称为插值方法，逼近函数
g(x)称为插值函数
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如果限定插值函数为代数多项式 pn(x)。这类插值方
法称为代数插值，相应的插值函数称为插值多项式
k 0
n
插值基函数
k ( x)
j 0 j k
n
x xj xk x j
k 0,1,, n
优点: 结构紧凑,
理论分析方便
缺点 : 改变一个节点则全 部的插值基函数都改变， 即节点增加，基函数失效
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27
例
已给 sin 0.32 0.314567 ， sin 0.34 0.333487 ,
g ( xi ) yi (i 0,1, n )
再用 g ( x) 计算插值，即
y g ( x ).
* *
y1 y0
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y
*
x0 x1 x*
xn
19
插值与逼近
上述过程就是逼近过程，上述方法就称为逼近 方法，即构造一个简单函数 g(x) 作为 f(x) 的近似 ，然后通过处理g(x)获得关于f(x)所要的结果
( x x0 )( x x2 ) ( x x0 )( x x1 ) y1 y2 ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x2 x0 )( x2 x1 )
p 2 (0.3367 ) 0.330374
这个结果与六位有效数字的正弦函数表完全一样， 这说明查表时用二次插值精度已相当高了。
2017/5/9
13
Aitken逐步插值算法：
x0 x1 x2 x3 x4
y0 y1 y2 y3 y4
•••
y01 y02 y03 y04
y12 y13 y14 y1n
•••
y23 y24 y2n
•••
y34
y3n
•••
xn yn
y0n
•••
•••
•••
yn-1,n
n+1点插值 n点插值 n-1点插值
有足够精度的插值结果y
xi 称为插值节点，所要插值的点x称为插值点
现在的考虑：能否通过对表中数据进行适当的加权
平均来得到想要的插值结果？即用y来近似f(x)
f ( x) y ，其中 y i yi i f ( xi )
可以，关键在于λi的选取
2017/5/9
n
n
i 0
研究科学问题的求解方法和过程设计
科学问题 模型建立
计算方法和算法设计
程序语言 结论展示或集成系统 研究内容
主要内容
1 插值平均 3
2 Lagrange插值公式
3 Aitken逐步插值算法
4 插值逼近
5 分段插值 3 6
2017/5/9
样条插值
7 曲线拟合的最小二乘法 3
4
实例1
查 函 数 表
sinx
第一讲
插值方法
讲者介绍:袁玉波
1997-2000在 兰州大学，学 士和硕士。 2000-2003在 西安交通大学 ，博士。
2003-2011电子 科技大学，数学 学院教学
2012至今 华东理工 大学。
1976年出生 于云南宣威 ，乌蒙山。
计算方法的研究目标：
信息安全； 云计算； 大数据； 物联网； 决策支持等
解 由题意取
x0 0.32, y0 0.314567 , x1 0.34, y1 0.333487 , x2 0.36, y 2 0.352274 .
用线性插值计算，取 x0=0.32、x1=0.34
* 处的插值 y . xi )
x0 x1 xn b),
这些点可视为由 y=f(x)产生，但f表 达式复杂，或根 本无法提供
18
x (
y1 y0
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y
*
x0 x1 x*
xn
求解插值问题的基本思路
构造一个相对简单的函数
y g ( x ), 通过全部点，即
插值基函数满足条件 k ( xk ) 1, k ( x j ) 0
k 1 ( x )
1
j k 1, k 1
基 函 数 的 图 形
k ( x )
k 1 ( x ) k 1
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n >2时，插值多项式
pn ( x) k ( x) f ( xk )
该多项式满足：
p ( x0 ) f
(i ) n
(i )
( x0 )
i 0,1, , n
Taylor插值的特点：原理简单，但要求插值函数p(x)与所逼
近的函数f(x)在展开点x0处具有相同的直到n阶的导数值
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Lagrange 插值
线性插值(n=1)：假定给定区间[xk,xk+1]及端点的函数值
i 0
7
定义1：称近似关系式
f ( x) i yi 具有m阶
i 0
n
精度，如果它对于次数≤m的多项式均能准确成 立 特别地，当y＝1时，
n
i 0
i
1。所以，插值方法
是平均化的过程，故称为插值平均
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8
插值的几何意义
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9
2. Lagrange（拉格朗日）插值公式
两点插值：
y 0 y0 1 y1 x x0 x x1 y0 y1 插值公式 y x0 x1 x1 x0 三点插值：
形式
y 0 y0 1 y1 2 y2 形式 插值公式
( x x0 )(x x2 ) ( x x0 )(x x1 ) ( x x1 )(x x2 ) y y0 y1 y2 ( x0 x1 )(x0 x2 ) ( x1 x0 )(x1 x2 ) ( x2 x0 )(x2 x1 )
1
k 1 ( x)
k ( xk 1 ) 0; k 1 xk 1 1.
k ( x)
0
xk
x k 1
25
同理，当 n=2 时，即利用二次插值基函数立即得到二次 插值多项式
p 2 ( x ) k （ 1 x） f ( x k 1 ) k ( x ) f ( x k ) k 1 ( x ) f ( x k 1 )
如果插值函数为分段多项式，就称为分段插值，如
果为三角多项式，就称为三角插值
本章只讨论代数插值和分段插值
我们的问题是如何确定
p n ( x ) 0 1 x 2 x ... n x
2
n
?
进而求得
2017/5/9
y pn ( x )
* *
21
事实上，方程组的解λ0, λ1, …, λn存在且唯一。解出λi (i=0, 1, 2, …, n)， pn(x)就可构造出来了。但遗憾的是
x0 x1 x2 x3 x4
y0 y1 y2 y3 y4
•••
y01 y12 y23 y34
•••
y02 y13 y24
•••
y03 y14
•••
y04
•••
•••
•••
xn yn
yn-1,n yn-2,n yn-3,n yn-4,n
y0,n
n+1点插值 n点插值 n-1点插值
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… 1点插值
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小结：
Aitken 算法和 Neville 算法是逐步插值的两种 基本形式 共同特点：都是将高阶插值逐步归结为线性
插值（最简单、最基本）的重复
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17
4. 插值逼近
问题的提出
已知 n+1个点
*
互不相同，不妨设 a 求任一插值点
( xi , yi ) (i 0,1, n, 其中 xi
2017/5/9 11
例：利用100、121和144开平方值计算 115
解： 令 y x ，利用三点Lagrange公式
y 0 y0 1 y1 2 y2
( x x0 )(x x2 ) ( x x0 )(x x1 ) ( x x1 )(x x2 ) y y0 y1 y2 ( x0 x1 )(x0 x2 ) ( x1 x0 )(x1 x2 ) ( x2 x0 )(x2 x1 )
得
sin 0.3367 p1 (0.3367 )
y1 y0 y0 (0.3367 x0 ) x1 x0
0.01892 0.314567 0.0167 0.330365 0.02
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用抛物插值计算sin 0.3367时，
( x x1 )( x x2 ) sin 0.3367 y0 ( x0 x1 )( x0 x2 )
插值公式
x x0 x x1 y01 y0 y1 x0 x1 x1 x0 x x0 x x2 y02 y0 y2 x0 x2 x2 x0
以(x1, y01), (x2, y02)作为节点构造两点插值公式：
x x2 x x1 y12 y01 y02 x1 x2 x2 x1
插值方法是逼近方法的一种
如果要求逼近函数 g(x) 与其所逼近的函数 f(x) 在
若干节点上取相同的离散信息（函数值、导数
值），这种逼近方法称为插值方法，逼近函数
g(x)称为插值函数
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如果限定插值函数为代数多项式 pn(x)。这类插值方
法称为代数插值，相应的插值函数称为插值多项式
k 0
n
插值基函数
k ( x)
j 0 j k
n
x xj xk x j
k 0,1,, n
优点: 结构紧凑,
理论分析方便
缺点 : 改变一个节点则全 部的插值基函数都改变， 即节点增加，基函数失效
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例
已给 sin 0.32 0.314567 ， sin 0.34 0.333487 ,
g ( xi ) yi (i 0,1, n )
再用 g ( x) 计算插值，即
y g ( x ).
* *
y1 y0
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y
*
x0 x1 x*
xn
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插值与逼近
上述过程就是逼近过程，上述方法就称为逼近 方法，即构造一个简单函数 g(x) 作为 f(x) 的近似 ，然后通过处理g(x)获得关于f(x)所要的结果
( x x0 )( x x2 ) ( x x0 )( x x1 ) y1 y2 ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x2 x0 )( x2 x1 )
p 2 (0.3367 ) 0.330374
这个结果与六位有效数字的正弦函数表完全一样， 这说明查表时用二次插值精度已相当高了。
2017/5/9
13
Aitken逐步插值算法：
x0 x1 x2 x3 x4
y0 y1 y2 y3 y4
•••
y01 y02 y03 y04
y12 y13 y14 y1n
•••
y23 y24 y2n
•••
y34
y3n
•••
xn yn
y0n
•••
•••
•••
yn-1,n
n+1点插值 n点插值 n-1点插值
有足够精度的插值结果y
xi 称为插值节点，所要插值的点x称为插值点
现在的考虑：能否通过对表中数据进行适当的加权
平均来得到想要的插值结果？即用y来近似f(x)
f ( x) y ，其中 y i yi i f ( xi )
可以，关键在于λi的选取
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n
n
i 0
研究科学问题的求解方法和过程设计
科学问题 模型建立
计算方法和算法设计
程序语言 结论展示或集成系统 研究内容
主要内容
1 插值平均 3
2 Lagrange插值公式
3 Aitken逐步插值算法
4 插值逼近
5 分段插值 3 6
2017/5/9
样条插值
7 曲线拟合的最小二乘法 3
4
实例1
查 函 数 表
sinx
第一讲
插值方法
讲者介绍:袁玉波
1997-2000在 兰州大学，学 士和硕士。 2000-2003在 西安交通大学 ，博士。
2003-2011电子 科技大学，数学 学院教学
2012至今 华东理工 大学。
1976年出生 于云南宣威 ，乌蒙山。
计算方法的研究目标：
信息安全； 云计算； 大数据； 物联网； 决策支持等