插值型求积公式及其之间的比较

摘要在实际应用中,常常会遇到积分制的计算,插值法是常见的求积分方法.牛顿-柯特斯与高斯型求积公式是两种不同的插值法.前者是等距节点下的求积公式,后者是非等距节点下的积分公式.牛顿-柯特斯求积公式是计算低阶积分的方法,而高斯型求积公式是计算高阶积分的方法.梯形求积公式,辛普森求积公式,柯特斯求积公式是最简单的牛顿-柯特斯求积公式.公式的导出及其分类,余项,代数精度,收敛性与稳定性,及其几何意义,这些都是本课题重点介绍的内容.而高斯型求积公式中主要介绍常用的高斯型求积公式,不同的区间,不同的权函数导致高斯点和高斯系数的不同,从而形成不同的公式,其中重点讲解了高斯-勒让德求积公式.关键词余项;梯形求积公式;辛普森求积公式;流程图;代数精度目录引言 (1)第一章牛顿-柯特斯公式 (2)§1.1 牛顿-柯特斯公式的相关概念 (2)§1.2 N-C公式 (4)§1.2.1 公式的导出 (4)§1.2.2 梯形求积公式 (5)§1.2.3 辛普森求积公式 (5)§1.2.4 柯特斯求积公式 (7)第二章高斯型求积公式 (10)§2.1 高斯型求积公式的有关定义 (10)§2.2 利用正交多项式构造高斯求积公式 (12)§2.3 高斯-勒让德公式的详细总结 (13)§2.4 插值型求积公式之间的比较 (11)参考文献 (16)附录A (17)附录B (18)附录C (19)引言在工程上的实际计算中想利用求原函数的方法来求定积分常会遇到困难.这是因为工程上的被积函数)f有时比较复杂,求原函数十分困难或者根本找不到可用初(x等函数表示的原函数,有时我们甚至还无法知道被积函数)f的解析表达式,而只知(x道一组对应的离散数据.因此就要利用计算机进行数值计算,以确定定积分的值,这就是数值积分.数值积分最有效的算法是插值型求积公式.插值型求积公式分为两类,一类是等距节点下的求积公式;另一类是非等距节点下的求积公式.前者包括梯形求积公式,普森求积公式,柯特斯求积公式;后者包括高斯型求积公式.插值理论是解决数值计算定积分的有效途径之一.梯形求积公式对所有次数不超过1 的多项式是准确成立的;辛普森求积公式对所有次数不超过3 的多项式是准确成立的;柯特斯求积公式对所有次数不超过 5 多项式是准确成立的.此牛顿-柯特斯求积公式在求积系数不为负数时是数值稳定的.由于龙格现象存在,不难得知,牛顿-柯特斯求积公式不一定具有收敛性.稳定性和收敛性可知,数值计算中应主张使用低阶的牛顿-柯特斯求积公式.而高斯型求积公式是最高代数精度的插值型求积公式.使用高斯型求算例中积分,数值实验结果要体现出随高斯点的增加误差的变化.本课题最要介绍插值型求积公式的区别,即等距节点下牛顿-柯特斯公式与非等距节点下的高斯型求积公式的比较,包括余项,代数精度的比较,收敛性与稳定性的对比.第一章介绍牛顿-柯特斯的相关知识,而第二章介绍高斯型求积公式的有关知识.第三章详细讲述等距节点下的公式与非等距公式的比较.第一章 牛顿-柯特斯公式借助插值函数来构造的求积公式称为插值型求积公式.一般选用不同的插值公式就可以得到不同的插值型求积公式.本章主要介绍等距节点下的插值型求积公式,即低阶N C -公式.低阶N C -公式是很有代表性的插值型求积公式.公式的导出,余项的计算,代数精度的证明都将是本章要求掌握的知识.§1.1 牛顿-柯特斯公式的相关概念定义1.1 依据积分中值定理,()()()ba f x dxb a f ξ=-⎰,就是说,低为b a -而高为ξ的矩形面积恰恰等于所求曲边梯形的面积.取[,]a b 内若干个节点k x 处的高度()k f x ,通过加权平均的方法射年工程平均高度()f ξ,这类求积公式称机械求积公式()()nbk k ak f x dx A f x =≈∑⎰式中k x 称为求积节点,k A 称为求积系数.定义1.2 由插值理论可知,任意函数()f x 给定一组节点01n a x x x b =<<<= 后,可用一n 次多项式()n P x 对其插值,即()()()n n f x P x R x =+,因此()()()bb bn n aaaf x dx P x dx R x dx =+⎰⎰⎰.当()n P x 为拉格朗日插值多项式时,即0()()()nn k k k P x l x f x ==∑,则(1)111()()()()()(1)!(())()[]()[]n nbb bkkaaak nb k k n ak nk k n k f f x dx l x f x dx x dxn l x dx f x R f A f x R f ξω+====++=+=+∑⎰⎰⎰∑⎰∑其中011011()()()()()()()()()bb k k n k k a ak k k k k k n x x x x x x x x A l x dx dxx x x x x x x x -+-+----==----⎰⎰(1)()[]()(1)!n bn af R f x dx n ξω+=+⎰通常称为插值型求积公式.定义 1.3 如果求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确成立.但对于1m +的多项式不能准确成立,则称该公式具有m 次代数精度说明：)a 若机械求积公式的代数精度0,m ≥则有0ni i A b a ==-∑.)b 若机械求积公式的代数精度为m ,即当()1,,,m f x x x = 时有()()nbi i ai f x dx A f x ==∑⎰则对任意次数不超过m 的k 次多项式(),k P x k m ≤有()()nbk i k i ai P x dx A P x ==∑⎰)c 代数精度的高低,从一侧面反应求积公式的精度高低.定义1.4 在求积公式0()()nbk k ak f x dx A f x =≈∑⎰中,若00lim ()()nbk k an k h A f x f x dx →∞=→=∑⎰其中11max()i i i nh x x -≤≤=-,则称求积公式是收敛的.定义1.5对任给0ξ>,若0,δ∃>只要|()|(0,1,,),k k f x f k n δ-≤=就有|()|nnk k k k k k A f x A f ξ==-≤∑∑则称求积公式是稳定的.注：由于计算()k f x 可能有误差,实际得到k f ,即.()k k k f x f δ=+§1.2 N-C 公式§1.2.1 公式的导出设区间[,]a b n 等分,步长b ah n-=,取等分点k x 够造出的插值型求积公式（其中,0,1,,k x a kh k n =+= ）()0()()nn n k k k I b a C f x ==-∑称作n 阶牛顿-柯特斯公式. 其中()n k C 为柯特斯系数()00(1)()*!()!i kn kn n n ki Ct i dt n k n k ≠-=-=--∏⎰ ()011011000()()()()()()()()()()((1))((1))()((1))((1))()()(1)()*!()!i kbn k k abk k n ak k k k k k n x a thnn k nni b a C l x dxx x x x x x x x dxx x x x x x x x t t k t k t n b adt k k k k k k n nb a t i dtn k n k ≠-+-+=+-=-=----=-------+--=---+---=--⎰⎰⎰∏⎰表1-1 柯特斯公式的系数n ()n k C1 12 12 2 16 23 16 3183838 184 790 1645 215 1645 790 5 19288 2596 25144 25144 2596 19288 6 41840 945 9280 34105 9280 935 41840 7 75117280 357717280 132317280 298917280 298917280 132317280 357717280 75117280 898928350 588828350 92828350- 1049628350 454028350- 1049628350 92828350- 588828350 98928350§1.2.2 梯形求积公式当1n =时,由表1-1柯特斯系数表第一行知11(1)(1)010011(1),22C t dt C tdt =--===⎰⎰故得梯形公式()[()()]2b a b a T f x dx f a f b -==+⎰.梯形公式的余项3''()()()12b a R f f η-=-梯形公式的几何意义是用一条过两点的直线近似代替被积函数的曲线,从而用一个梯形的面积来近似代替一个曲边梯形的面积.xy0A B y=P(x)y=f(x)f 0f 1x 0=ax 1=b图1.1 梯形公式的几何意义梯形求积公式分类及其截断误差见表1-1 流程图如下所示：图1.2 梯形公式流程图表1-2 梯形求积公式分类及其截断误差名称公式 余项 代数精度左矩形 2()()()()()2b ab a f x dx b a f a f η-'=-+⎰ 2()()2f R b a η'=- 代数精度为 0 右矩形 2()()()()()2b a b a f x dx b a f b f η-'=-+⎰ 2()()2f R b a η'=-代数精度0 中矩形3()()()()()224b a b a b a f x dx b a f f η--''=-+⎰3()()24f R b a η''=- 代数精度 1 §1.2.3辛普森求积公式当2n =时,由表1-1柯特斯系数表第二行知(2)(2)(2)02114,.66C C C ===故得辛普森公式输入a 和b计算步长h=b-aT=（h/2）[f(a)+f(b)]输出T定义函数f(x)[()4()()]62b a a bS f a f f b -+=++. 辛普森求积公式的几何意义是用一条过三点的抛物线近似代替被积函数的曲线,从而用一个二次抛物线所围成的容易计算的曲边梯形面积来近似代替原来的曲边梯形的面积.xyx 0x 2x 1y=P (x )y=f (x )图1.3 辛普森求积公式的几何意义辛普森求积公式余项及其代数精度见表1-2 流程图如下：图1.4 辛普森求积公式流程图表1-3 辛普森求积公式余项及其代数精度名称公式余项 代数精度输入a 和b计算步长h=b-aS=（h/6）[F(a)+4f(a+h/2)+f(b)]输出结果S定义函数f(x)辛普森求积公式[()4()()]62b a a b S f a f f b -+=++ 5(4)()()2880S b a R f η-=- 代数精度是3 §1.2.4柯特斯求积公式当3n =时,由表1-1柯特斯系数表第三行知(4)(4)(4)(4)(4)0413273212,,.909090C C C C C =====故得柯特斯求积公式33[7()32()12()32()7()]90424b a a b a b a b C f a f f f f b -+++=++++柯特斯求积公式余项及其代数精度见表1-3 流程图如下所示：图1.5 柯特斯求积公式的流程图表1-4 柯特斯求积公式余项及其代数精度名称 公式余项代数精度 柯特斯求积公式3[7()32()12()9042332()7()]4b a a b a b C f a f f a b f f b -++=+++++ 6(6)()()1935360C b a R f η-=- 代数精度是5 例1.1 分别用梯形求积公式,辛普森求积公式,柯特斯求积公式计算积分12041dx x +⎰输入a 和b计算步长h=b-aC=（h/90）[7f(a)+32f(a+h/4)+12f(a+h/2)+32f(a+3h/4)+7f(b)]输出结果C定义函数f(x)由：1()[()()](42)322ba b a T f x dx f a f b -==+=+=⎰.1[()4()()](412.82) 3.13333626b a a b S f a f f b -+=++=++=.33[7()32()12()32()7()]904241(28120.47058938.481.9214)90282.790589903.1421176555b a a b a b a b C f a f f f f b -+++=++++=++++==在例1-1中,我们根据梯形求积公式,辛普森求积公式,柯特斯求积公式和它们的流程图编写出它的程序,见附录A,B,C.将程序输入到C++里进行测试,经过反复的修正和改错,得到了便于计算且实用的程序.上机实现的运行结果见附录A,B,C.程序运行结果：梯形求积公式结果是：3.000000 辛普森求积公式结果是：3.13333 柯特斯求积公式结果是：3.142118上机计算的结果为,与例题1-1中的算数结果是一致的.说明这个梯形求积公式的程序是正确无误的,可以应用到复杂的数值计算中.第二章 高斯型求积公式牛顿-柯特斯型求积公式是封闭的（区间[,]a b 的两端点,a b 均是求积节点）而且要求求积节点是等距的,受此限制,牛顿-柯特斯求积公式的代数精度只能是n （n 为奇数）或1n +（n 为偶数）.而如果对求积节点也适当的选取,即在求积公式中不仅k A 而且k x 也加以选取,这就可以增加自由度,从而可提高求积公式的代数精度.§2.1 高斯型求积公式的有关定义定义2.1 求积公式0()()nbk k ak f x dx A f x =≈∑⎰含有22n +待定参数,(0,1,),k k x A k n = 适当选择这些参数使其具有21n +次代数精度.这类求积公式称为高斯型求积公式.Guass 求积公式的节点(0,1)k x k n = 是高斯点,系数k A 称为Guass 系数.对于任意次数不超过21n +的多项式均能准确成立()()()nbk k ak x f x dx A f x ρ=≈∑⎰（2-1）称其为带权的高斯公式.定义2.2 若求积公式0()()()nbk k ak x f x dx A f x ρ=≈∑⎰对一切不高于m 次的多项式()p x 都等号成立,即()0R p =;而对于某个1m +次多项式等号不成立,则称次求积公式的代数精度为m .因为Guass 求积公式也是插值型求积公式,故有结论：1n +个节点的插值型求积公式的代数精度d 满足：21n d n ≤≤+.定理2.1 插值型求积公式0()()nbk k ak f x dx A f x =≈∑⎰其节点(0,1,)k x k n = 是高斯点的充分必要条件是以这些点为零点的多项式0()()nk k x x x ω==-∏与任意次数不超过n 的多项式()P x 均正交：()()0baP x x dx ω=⎰定理2.2 设()[,],f x C a b ∈则高斯求积公式是收敛的.即lim ()()().nbk k an k A f x f x x dx ρ→∞==∑⎰定理2.3 高斯求积公式总是稳定的,即0,0,1,.k A k n >= 定理2.4 设节点01,,,[,],n x x x a b ∈ 则求积公式()()()nbk k ak x f x dx A f x ρ=≈∑⎰的代数精度最高为21n +次.高斯公式的分类及其余项见表2-1表2-1常用的高斯求积公式名称高斯-勒让德 高斯-切比雪夫 高斯-拉盖尔高斯-埃尔米特积分区间 [1,1]-[1,1]-[0,]+∞[,]-∞+∞权函数 ()1x ρ=21()1x xρ=-()x x e ρ-=2()x x e ρ-=公式11()()nkk k f x dx Af x -=≈⎰∑121()1()nkkk f x dx x A f x -=≈-⎰∑00()()xnkk k e f x Af x +∞-=≈⎰∑2()()x nkk k ef x Af x +∞--∞=≈⎰∑余项 2343(22)2[(1)!]*(23)[(22)!]()n n n R n n f η+++=++2(2)2*2(2)!()n n R n f πη= 2(22)[(1)!]*[2(1)!]()n n R n f ξ++=+1(22)(1)!*2(22)!()n n n R n f πξ+++=+零点 01,,n x x x 21cos(),220,1,,k k x n k n π+=+= 01,,n x x x 01,,n x x x求积系数见表2-21k A n π=+221[(1)!][()]k k n k n x A L x ++=1212(1)!*[()]n k nk A n H x π++=+'图2.1 高斯型求积公式流程图§2.2利用正交多项式构造高斯求积公式设(),0,1,2,,n P x n = 为正交多项式序列,()n P x 具有如下性质： 1.对每一个,()n n P x 是n 次多项式.0,1,n =求解高斯型求积公式若求积公式代数精度为n ，则分别将21,,,n x x x 准确代入积分公式中，从而得到方程组.以1n +次正交多项式的零点01,,n x x x 作为高斯点构造高斯点解方程组求得高斯点k x及高斯系数k A求得高斯点k x利用正交多项式待定系数法求得高斯系数()()bk k aA x l x dx ρ=⎰2.（正交性）()()()0,()bi j ax P x P x dx i j ρ=≠⎰3.对任意一个次数1n ≤-的多项式()P x ,有()()()0,1bn ax P x P x dx n ρ=≥⎰4.()n P x 在(,)a b 内有n 个互异零点.利用正交多项式构造高斯求积公式的步骤：Step 1 以1n +次正交多项式的零点01,,,n x x x 作为积分点（高斯点）。