插值方法比较

其中 f[xk , xk+1] =
f (xk+1) − f(xk ) 为一阶均差； xk +1 − xk
f[xk , xk+1,, xk+ j ] =
f [xk+1,, xk+ j ] − f[xk ,, xk+ j−1] 为 j 阶均差。 xk + j − xk
根据 Lagrange 插值多项式的唯一性，Newton 插值公式其实和 Lagrange 插值是一致的！
ⅲ）Hermite 插值是专门针对要求插值函数和原函数的导数值相等的情况而提出的概念，
构造方法上既可以采用 Lagrange，也可采用 Newton 的构造方法。
ⅳ）Hermite 插值由于插值条件变为 2（n+1）个，因此需要 2n+1 次多项式。
ⅴ）Lagrange，Newton 和 Hermite 都是将所有插值节点看做一个整体，而得出的高次多
(x
j
)
=
m
j
，
j = 0,1, , n 。
Hermite 插值多项式既可以使用 Lagrange 插值多项式的方式来构造，也可以采用 Newton
插值的方式来构造。
ⅰ）Lagrange 形式的 Hermite 插值多项式
先构造 2n+1 次插值基函数α j (x) 和 β j (x) ， j = 0,1,, n ，满足：
以上共有待定系数 4n 个，参数方程 4n 个（内点条件+边界条件+插值条件）。总的来说，
三次样条插值函数，共 4n 个系数，需 4n 个条件，可达到 2 阶连续可导。
4) 总结：分段线性插值、分段三次 Hermite 插值与三次样条插值函数的对比
ⅰ）分段线性插值简单来讲，就是相邻两节点用直线段连接起来，节点处没有光滑性。
= ϕ (x)
x − xk+1 xk − xk +1
f
(x k
)+
x − xk xk +1 − xk
f (xk+1) ，
k = 0,1, , n
2) 分段三次 Hermite 插值 分段线性插值多项式在节点处导数是间断的，为使分段插值多项式在整个区间上导数连
续，考虑在每个小区间[xk , xk+1] 值：
设给定 n+1 个不同的插值节点，不妨设 a ≤ x0 ≤ ≤ xn ≤ b ，且
f (x j ) = y j ，
f ' (x j ) = mj ，
j = 0,1, , n
要求一个 2n+1 次插值多项式 H2n+1 使得：
H 2n+1(x j ) = y j
H
' 2 n +1
(x)
=
(x− x0 )(x− (xk − x0 )(xk −
xk−1)(x− xk+1)(x− xn ) xk−1)(xk − xk+1)(xk − xn
)
，
1, k = j; 显然它满= 足： l j (xk ) = 0, k ≠ j.(j, k 0,1,..., n) ，
称这 n+1 个 n 次多项式 l0 (x), l1(x),..., ln (x) 为 n 次插值基函数。
ⅱ）分段三次 Hermite 插值解决了分段线性插值节点处不光滑的缺点，整条插值曲线可
以一次连续可微（ϕ(x) ∈ C1[a, b] ），缺陷是分段多项式只有 3 次，只能保证整个区间上插
值多项式有连续的一阶导数，而且构造的插值公式需要用到被插值函数在节点处的导数值的 信息，而实际中导数值比较难给出，仅给出函数值较为一般。
1) Lagrange 插值
已知： n+1 个不同的插值节点，不妨设 a ≤ x0 ≤ ≤ xn ≤ b ，以及节点处的函数值
f
(x
j)
，
j
=
0,1, , n
Lagrange 插值多项式的形式为：
n
∑ Ln (x) = f (xk )lk (x) ， k =0
其中
lk
(x)
为
n
次多项式：
lk
而实际中导数值比较难给出。 针对分段三次 Hermite 插值多项式的缺陷，可采用三次样条插值函数。
3) 三次样条插值函数
设在区间[a,b]上给定一个剖分 ∆ ： a ≤ x0 ≤ ≤ xn ≤ b ，ϕ(x) 为[a,b]上满足下面条件
的函数：
ⅰ）ϕ(x) ∈ C2[a, b] ；
ⅱ）在每个小区间 [x k
,
xk+1] （
k
=
0,1, ,
n
）上 ϕ (x)
为三次线性多项式。
那么称ϕ(x) 为关于剖分 ∆ 的一个三次样条函数。如果再给定函数 f (x) 在剖分 ∆ 的节点上的
函数值 f(x0 ),, f(xk ),, f(xn ) ，并满足插值条件：ϕ(xk ) = f(xk ) ， k = 0,1,, n 那么称ϕ(x) 为函数 f (x) 在[a,b]上关于剖分 ∆ 的一个三次样条插值函数。
3 分段低次插值多项式
1) 分段线性插值 所谓分段线性插值就是通过插值点用折线连接起来逼近原函数。
设在区间[a,b]上取 n+1 个节点： a ≤ x0 ≤ ≤ xn ≤ b ，在节点上给定函数值： f(x0 ),, f(xk ),, f(xn )
若ϕ(x) 满足： ⅰ）ϕ(x) ∈ C[a, b] ； ⅱ）ϕ(xk ) = f(xk ) ， k = 0,1,, n ⅲ）在每个小区间[xk , xk+1]（ k = 0,1,, n ）上ϕ(x) 为一次线性多项式，即：
设在区间[a,b]上取 n+1 个节点：a ≤ x0 ≤ ≤ xn ≤ b ，在节点上给定函数值以及一阶导
数值：
f(x
0
),
,
f(x
k
),
,
f(x
n
)
及
f
'
(x
0
),
,
f
'
(x
k
),
,
f
'
(x
n
)
若ϕ(x) 满足：
ⅰ）ϕ(x) ∈ C1[a, b] ；
ⅱ）ϕ(xk ) = f(xk ) ，ϕ ' (xk ) = f ' (xk ) ，
其中，
f[x0 ,
x0
]
=
limf[x
x → x0
0
,
x]
f[x0 ,
x0,
x1 ]
=
f[x 0
,
x1 ] x1
− −
f[x0 , x0
x0
]
4) 总结：Lagrange、Newton 及 Hermite 插值多项式的比较
对于给定 n+1 个不同插值节点的插值问题，三者关系如下：
ⅰ）Lagrange 和 Newton 多项式插值是基本的多项式插值构造方法。给定 n+1 个不同插
ⅱ）Newton 形式的 Hermite 插值多项式
N 2 n +1 (x=)
f(x 0
)
+
f[x0 ,
x0 ](x−
x0
)
+
f[x0 ,
x0
,
x1 ](x −
x0
)2
+
+
f[x0 , x0 , x1, x1,, xn , xn ](x− x0 )2 (x− x1)2 (x− xn−1)2 (x− xn )
对任意的 x ∈[a, b] ，ϕ(x) 作为 f (x) 的近似值。通常称 f (x) 为被插值函数；
x0,..., xn 为插值节点；ϕ(x) 为插值函数；ϕ(xi ) = f (xi ) 为插值条件。用代数多项 式作为插值函数的插值法成为多项式插值，相应的多项式称为插值多项式。 2 多项式插值
插值方法
1 插值的定义 设函数 f (x) 在区间[a,b]上有定义，并在 n+1 的不同节点 xi ∈[a, b] 上已知函
数= 值 yi f= (xi )(i 0,1,...., n) 。插值法就是用一个便于计算的简单函数 ϕ(x) 代替
f (x) ，并使得：
ϕ(xi ) = f (xi ) ， i = 0,1,...., n
a j (x=)
(ax
+
b)l
2 j
(x)
，
β
j
(x=)
(cx
+
d
)l
2 j
(x)
根据基函数的条件，可确定系数为：
∑ ∑ n
a = −2
1
，
=i 0,i≠ j x j − xi
b=
1+ 2xj
=i
n 0,i≠ j
xj
1 −
xi
c =1， d = −xj
在应用中较多使用三次 Hernmit 插值多项式，即当 n=1 时，取插值节点 xk , xk+1] ，三
j "(x−jj ) =
"(x
+ j
)
0,1,, n −1
以及边界条件 （（ ΙΙΙ型型边边界界条= 条件件））ϕϕ' ("x(0x)0 = ) f 'f(= x"(0x)，0 )，ϕ 'ϕ(x"n()x= n )f ' (xf 'n")(xn ) （ 自然边界条件= ）ϕ "(x0 ) 0= ，ϕ "(xn ) 0
= α j (xk ) δ= jk ,α ' j (xk ) 0