几种常用的插值方法
几种常用的插值方法
几种常用的插值方法常用的插值方法包括线性插值、多项式插值、样条插值和径向基函数插值等，下面将依次介绍这些方法。
1.线性插值：线性插值是最简单的插值方法之一，它假设函数在两个已知点之间的变化是线性的。
对于给定的两个点(x0,y0)和(x1,y1)，线性插值公式为：y=y0+(x-x0)*(y1-y0)/(x1-x0)其中，y是需要插值的点对应的函数值，x是插值点的横坐标。
2.多项式插值：多项式插值方法通过在给定的一组点上构建一个多项式函数来进行插值。
常用的多项式插值方法包括拉格朗日插值和牛顿插值。
- 拉格朗日插值通过构建一个n次多项式来插值n+1个给定的点。
具体来说，对于给定的n+1个点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，拉格朗日插值公式为：y = Σ(yk * lk(x))其中，lk(x)是拉格朗日基函数，计算公式为：lk(x) = Π((x - xj) / (xi - xj))，(j ≠ i)- 牛顿插值通过构建一个n次插值多项式来插值n+1个给定的点。
具体来说，对于给定的n+1个点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，牛顿插值公式为：y = Σ(Π(x - xj) / Π(xi - xj) * finDiff(yj))其中，finDiff(yj)是每个节点的差商，计算公式为：finDiff(yj) = (ΣΠ(xj - xi) * yj) / ΣΠ(xi - xj)，(i ≠ j) 3.样条插值：样条插值方法通过使用分段函数来逼近给定的一组点。
常用的样条插值方法有线性样条插值和三次样条插值。
-线性样条插值在每两个相邻点之间使用线性函数进行插值，保证了插值函数的一阶导数是连续的。
-三次样条插值在每两个相邻点之间使用三次多项式进行插值，保证了插值函数的一阶和二阶导数都是连续的。
三次样条插值具有良好的平滑性和精度。
4.径向基函数插值：径向基函数插值是一种基于局部函数的插值方法，它假设函数值仅取决于与插值点的距离。
好的时域插值方法
好的时域插值方法
时域插值是一种在信号处理中常用的技术，用于估计一个信号在某些未被测量或记录的时刻的值。
以下是一些常用的时域插值方法：
1. 线性插值：这是最简单的一种插值方法。
假设我们有两个已知的点 (x0, y0) 和 (x1, y1)，并且我们想要估计在 x 位于 x0 和 x1 之间的某个点处的 y 值。
线性插值通过连接这两个点来估计 y 值。
2. 多项式插值：对于更复杂的插值需求，可以使用多项式插值。
这种方法使用一个多项式来拟合已知的数据点。
常用的多项式插值方法包括拉格朗日插值和牛顿插值。
3. 样条插值：样条插值是一种更高级的插值方法，它使用分段低次多项式（通常是二次或三次）来拟合数据点。
这种方法的好处是它可以自动处理数据的弯曲，并且可以提供比其他方法更平滑的插值结果。
4. 立方插值：立方插值是一种更高级的插值方法，它使用立方函数来拟合数据点。
这种方法可以提供比其他方法更精确的插值结果，但计算也更复杂。
以上就是一些常用的时域插值方法。
选择哪种方法取决于你的具体需求和数据的性质。
常见几种插值方法
1、距离倒数乘方法距离倒数乘方格网化方法是一个加权平均插值法，可以进行确切的或者圆滑的方式插值。
方次参数控制着权系数如何随着离开一个格网结点距离的增加而下降。
对于一个较大的方次，较近的数据点被给定一个较高的权重份额，对于一个较小的方次，权重比较均匀地分配给各数据点。
计算一个格网结点时给予一个特定数据点的权值与指定方次的从结点到观测点的该结点被赋予距离倒数成比例。
当计算一个格网结点时，配给的权重是一个分数，所有权重的总和等于1.0。
当一个观测点与一个格网结点重合时，该观测点被给予一个实际为 1.0 的权重，所有其它观测点被给予一个几乎为0.0 的权重。
换言之，该结点被赋给与观测点一致的值。
这就是一个准确插值。
距离倒数法的特征之一是要在格网区域内产生围绕观测点位置的"牛眼"。
用距离倒数格网化时可以指定一个圆滑参数。
大于零的圆滑参数保证，对于一个特定的结点，没有哪个观测点被赋予全部的权值，即使观测点与该结点重合也是如此。
圆滑参数通过修匀已被插值的格网来降低"牛眼"影响。
2、克里金法克里金法是一种在许多领域都很有用的地质统计格网化方法。
克里金法试图那样表示隐含在你的数据中的趋势，例如，高点会是沿一个脊连接，而不是被牛眼形等值线所孤立。
克里金法中包含了几个因子：变化图模型，漂移类型和矿块效应。
3、最小曲率法最小曲率法广泛用于地球科学。
用最小曲率法生成的插值面类似于一个通过各个数据值的，具有最小弯曲量的长条形薄弹性片。
最小曲率法，试图在尽可能严格地尊重数据的同时，生成尽可能圆滑的曲面。
使用最小曲率法时要涉及到两个参数：最大残差参数和最大循环次数参数来控制最小曲率的收敛标准。
4、多元回归法多元回归被用来确定你的数据的大规模的趋势和图案。
你可以用几个选项来确定你需要的趋势面类型。
多元回归实际上不是插值器，因为它并不试图预测未知的Z 值。
它实际上是一个趋势面分析作图程序。
使用多元回归法时要涉及到曲面定义和指定XY的最高方次设置，曲面定义是选择采用的数据的多项式类型，这些类型分别是简单平面、双线性鞍、二次曲面、三次曲面和用户定义的多项式。
各种插值法的对比研究
各种插值法的对比研究插值法是一种利用已知数据点推算缺失数据点的方法，常用于信号处理、图像处理和数据分析等领域。
在实际应用中，选择合适的插值方法非常重要，因为它直接影响到结果的准确性和可靠性。
本文将对常见的插值方法进行对比研究。
线性插值是最简单和最常用的插值方法之一、它假设数据点之间的变化是线性的，根据已知数据点之间的斜率和距离，可以推算出缺失数据点的值。
线性插值的优点是计算简单，适用于等间距的数据点。
然而，线性插值可能会导致插值曲线不光滑，并且在非等间距数据点或缺失数据点较多的情况下效果不佳。
拉格朗日插值是一种基于多项式插值的方法。
它通过构造一个满足已知数据点的多项式函数，然后根据该函数求解出缺失数据点的值。
拉格朗日插值的优点是可以精确地通过所有已知数据点，适用于非等间距和较稀疏的数据。
然而，拉格朗日插值存在“龙格现象”，即在数据点较多或高次插值时，插值函数会出现大幅度振荡。
牛顿插值与拉格朗日插值相似，也是基于多项式插值的方法。
不同之处在于，牛顿插值使用被称为“差商”的系数来构建插值多项式。
牛顿插值的优点是计算简单，可以实时更新插值多项式以适应新的数据点。
然而，牛顿插值也存在“龙格现象”。
样条插值是通过连接已知数据点来构建平滑的插值曲线的方法。
它通过选择适当的插值函数和控制点，保持插值曲线在已知数据点间的连续、光滑性。
样条插值的优点是可以抑制龙格现象，产生更平滑的插值曲线，并且适用于非线性变化的数据。
然而，样条插值的缺点是计算复杂度较高，可能导致过度拟合和过度平滑的问题。
Kriging 插值是一种基于地理空间的插值方法，它利用已知数据点的空间关联性来推算未知数据点的值。
Kriging 插值的优点是可以利用数据点之间的空间自相关性，适用于地理信息系统和地质学等领域的数据插值。
然而，Kriging 插值的缺点是计算复杂度高，并且对数据点的空间分布和空间自相关性的假设要求较高。
总的来说，选择合适的插值方法需要综合考虑数据的特点、插值精度和计算复杂度等因素。
常见插值方法和其介绍
常见插值方法及其介绍Inverse Distance to a Power（反距离加权插值法）”、“Kriging（克里金插值法）”、“Minimum Curvature（最小曲率)”、“Modified Shepard's Method（改进谢别德法）”、“Natural Neighbor（自然邻点插值法）”、“Nearest Neighbor（最近邻点插值法）”、“Polynomial Regression（多元回归法）”、“Radial Basis Function（径向基函数法）”、“Triangulation with Linear Interpolation（线性插值三角网法）”、“Moving Average（移动平均法）”、“Local Polynomial（局部多项式法）”1、距离倒数乘方法距离倒数乘方格网化方法是一个加权平均插值法，可以进行确切的或者圆滑的方式插值。
方次参数控制着权系数如何随着离开一个格网结点距离的增加而下降。
对于一个较大的方次，较近的数据点被给定一个较高的权重份额，对于一个较小的方次，权重比较均匀地分配给各数据点。
计算一个格网结点时给予一个特定数据点的权值和指定方次的从结点到观测点的该结点被赋予距离倒数成比例。
当计算一个格网结点时，配给的权重是一个分数，所有权重的总和等于1.0。
当一个观测点和一个格网结点重合时，该观测点被给予一个实际为 1.0 的权重，所有其它观测点被给予一个几乎为0.0 的权重。
换言之，该结点被赋给和观测点一致的值。
这就是一个准确插值。
距离倒数法的特征之一是要在格网区域内产生围绕观测点位置的"牛眼"。
用距离倒数格网化时可以指定一个圆滑参数。
大于零的圆滑参数保证，对于一个特定的结点，没有哪个观测点被赋予全部的权值，即使观测点和该结点重合也是如此。
圆滑参数通过修匀已被插值的格网来降低"牛眼"影响。
常见插值方法及其介绍
常见插值方法及其介绍常见插值方法及其介绍Inverse Distance to a Power（反距离加权插值法）”、“Kriging（克里金插值法）”、“Minimum Curvature（最小曲率)”、“Modified Shepard's Method（改进谢别德法）”、“Natural Neighbor（自然邻点插值法）”、“Nearest Neighbor（最近邻点插值法）”、“Polynomial Regression（多元回归法）”、“Radial Basis Function（径向基函数法）”、“Triangulation with Linear Interpolation （线性插值三角网法）”、“Moving Average（移动平均法）”、“Local Polynomial（局部多项式法）”1、距离倒数乘方法距离倒数乘方格网化方法是一个加权平均插值法，可以进行确切的或者圆滑的方式插值。
方次参数控制着权系数如何随着离开一个格网结点距离的增加而下降。
对于一个较大的方次，较近的数据点被给定一个较高的权重份额，对于一个较小的方次，权重比较均匀地分配给各数据点。
计算一个格网结点时给予一个特定数据点的权值与指定方次的从结点到观测点的该结点被赋予距离倒数成比例。
当计算一个格网结点时，配给的权重是一个分数，所有权重的总和等于1.0。
当一个观测点与一个格网结点重合时，该观测点被给予一个实际为 1.0 的权重，所有其它观测点被给予一个几乎为 0.0 的权重。
换言之，该结点被赋给与观测点一致的值。
这就是一个准确插值。
距离倒数法的特征之一是要在格网区域内产生围绕观测点位置的"牛眼"。
用距离倒数格网化时可以指定一个圆滑参数。
大于零的圆滑参数保证，对于一个特定的结点，没有哪个观测点被赋予全部的权值，即使观测点与该结点重合也是如此。
圆滑参数通过修匀已被插值的格网来降低"牛眼"影响。
数字图像处理中常用的插值方法
分类： 算法 数字图像处理中常用的插值方法
2010-11-15 14:05 在做数字图像处理时，经常会碰到小数象素坐标的取值问题，这时就需要依据邻近象如：做地图投影转换，对目标图像的一个象素进行坐标变换到源图像上对应的点时，数，再比如做图像的几何校正，也会碰到同样的问题。
以下是对常用的三种数字图像
1、最邻近元法
这是最简单的一种插值方法，不需要计算，在待求象素的四邻象素中，将距离待求象
对于 (i, j+v)，f(i, j) 到 f(i, j+1) 的灰度变化为线性关系，则有：
f(i, j+v) = [f(i, j+1) - f(i, j)] * v + f(i, j)
同理对于 (i+1, j+v) 则有：
f(i+1, j+v) = [f(i+1, j+1) - f(i+1, j)] * v + f(i+1, j)
从f(i, j+v) 到 f(i+1, j+v) 的灰度变化也为线性关系，由此可推导出待求象素灰度的计算 f(i+u, j+v) = (1-u) * (1-v) * f(i, j) + (1-u) * v * f(i, j+1) + u * (1-v) * f(i+1, j) 双线性内插法的计算比最邻近点法复杂，计算量较大，但没有灰度不连续的缺点，结性质，使高频分量受损，图像轮廓可能会有一点模糊。
3、三次内插法
该方法利用三次多项式S(x)求逼近理论上最佳插值函数sin(x)/x, 其数学表达式为：
待求像素(x, y)的灰度值由其周围16个灰度值加权内插得到，如下图：
待求像素的灰度计算式如下：f(x, y) = f(i+u, j+v) = ABC
其中:
三次曲线插值方法计算量较大，但插值后的图像效果最好。
常见插值方法及其介绍
常见插值方法及其介绍常见的插值方法有最邻近插值、双线性插值、双三次插值和基于样条的插值方法。
下面将对这些方法进行介绍。
1.最邻近插值：最邻近插值是最简单也是最直观的插值方法之一、该方法的原理是将待插值点附近最近的一个已知像素的灰度值赋给待插值点。
这种插值方法的优点是计算简单且实时性好，但缺点是结果较为粗糙，会出现明显的锯齿状边缘。
2.双线性插值：双线性插值是一种基于线性插值的方法，它考虑了待插值点附近四个已知像素的灰度值来生成新的像素值。
具体而言，对于一个待插值点，首先在水平方向上计算它上下两个已知像素的插值，然后在竖直方向上计算其左右两个已知像素的插值，最后再在这两次插值的基础上进行一次线性插值。
这种插值方法的优点是计算相对简单，效果较好，但仍然会存在锯齿状边缘。
3.双三次插值：双三次插值是一种更为复杂的插值方法，它通过分析待插值点周围的16个已知像素的灰度值来生成新的像素值。
具体而言，双三次插值首先根据已知像素的位置与待插值点的距离计算出一个权重系数矩阵，然后将这个系数矩阵与对应的已知像素灰度值相乘并相加。
这种插值方法的优点是结果较为平滑，点缺失问题较少，但计算量较大。
4.基于样条的插值方法：基于样条的插值方法主要包括线性样条插值、三次样条插值和B样条插值。
这些方法是基于插值函数的一种改进，通过选取合适的插值函数形式来拟合已知像素点，从而实现待插值点的灰度值推测。
这些方法计算量较大，但插值效果相对较好，具有高度灵活性。
总结：常见的插值方法包括最邻近插值、双线性插值、双三次插值和基于样条的插值方法。
最邻近插值计算简单且实时性好，但结果较为粗糙；双线性插值效果较好，但仍然存在锯齿状边缘；双三次插值平滑度较高，但计算量较大；基于样条的插值方法具有高度灵活性，但计算量较大。
选择适合的插值方法需根据具体需求考虑。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
几种常用的插值方法数学系 信息与计算科学1班 李平指导老师：唐振先摘要:插值在诸如机械加工等工程技术和数据处理等科学研究中有许多直接的应用,在很多领域都要用插值的办法找出表格和中间值,插值还是数值积分微分方程数值解等数值计算的基础。
本文归纳了几种常用的插值方法,并简单分析了其各自的优缺点。
关键词:任意阶多项式插值,分段多项式插值。
引言:所谓插值,通俗地说就是在若干以知的函数值之间插入一些未知函数值,而插值函数的类型最简单的选取是代数多项式。
用多项式建立插值函数的方法主要用两种：一种是任意阶的插值多项式,它主要有三种基本的插值公式：单项式,拉格朗日和牛顿插值；另一种是分段多项式插值,它有Hermite 和spine 插值和分段线性插值。
一．任意阶多项式插值：1.用单项式基本插值公式进行多项式插值：多项式插值是求通过几个已知数据点的那个n-1阶多项式,即P n-1(X)=A 1+A 2X+…A n X n-1,它是一个单项式基本函数X 0,X 1…X n-1的集合来定义多项式,由已知n 个点（X,Y ）构成的集合,可以使多项式通过没数据点,并为n 个未知系数Ai 写出n 个方程,这n 个方程组成的方程组的系数矩阵为Vandermonde 矩阵。
虽然这个过程直观易懂,但它都不是建立插值多项式最好的办法,因为Vandermonde 方程组有可能是病态的,这样会导致单项式系数不确定。
另外,单项式中的各项可能在大小上有很大的差异,这就导致了多项式计算中的舍入误差。
2.拉格朗日基本插值公式进行插值： 先构造一组插值函数L i （x ）=011011()()()()()()()()i i n i i i i i i n x x x x x x x x x x x x x x x x -+-+--------，其中i=0，…n.容易看出n 次多项式L i （x ）满足L i （x ）=1，（i=j ）；L i （x ）=0，（i ≠j ），其中i=0，1…n ，令L i （x ）=0()ni i i y l x =∑这就是拉格朗日插值多项式。
与单项式基本函数插值多项式相比,拉格朗日插值有2个重要优点:首先,建立插值多项式不需要求解方程组；其次,它的估计值受舍入误差要小得多。
拉格朗日插值公式结构紧凑,在理论分析中很方便,但是,当插值节点增加、减少或其位置变化时全部插值函数均要随之变化,从而整个插值公式的结构也将发生变化,这在实际计算是非常不利的。
3.使用牛顿均差插值公式进行多项式进行插值：首先,定义均差,f 在xi,xj 上的一阶均差()()[,]j i i j j if x f x f x x x x -=-，其中(i ≠j)。
f 在x i ，x j ，x k 的二阶均差f[x i ，x j ，x k ]=[,][,]i j j k j kf x x f x x x x --，k 阶均f[x i …x k ]=10[][]k ik kf x x f x x x x ---。
由此得出牛顿均值插值多项式的公式为Pn(x)=f[x 0]+f[x 0-x 1](x-x 0)+…+f[x 0，x n ](x-x 0)…(x-x n-1)。
实际计算中经常利用下表给出的均差表直接构造牛顿插值公式, ，… …凡是拉格朗日插值解决的问题牛顿插值多项式都可以解决,不仅如此,更重要的是牛顿均值克服了拉格朗日插值多项式的缺点,当需要提高近似值的精确度而增加结点时,它不必重新计算,只要在后面再计算一项均插即可,减少了计算量,不用计算全部系数,节约了大量人力,物力,财力。
增加插值多项式的阶数并不一定能增加插值的精度,据定义,插值式,F(x)可以与结点(xi ，yi)，i=1，…，n 处的实际函数匹配,但却不能保证支点之间求F(x),还能很好的逼近产生(xi ，yi)数据的实际函数F(x)。
例如,如果F(x)为一个已知的解析函数,而且定义F(x)的节点集合中数据点的数目可以增加（多项式F(x)的阶数也增加）,但是,由于F(x)的起伏增加,那么插值式就可能在节点见振带,基于当实际函数F(x)平滑时,这种多项式摆动也可能发生,这种振荡不是由多项式摆动引起的,而是由多项式的项相加来求插值多项式时发生舍入误差造成的。
有时多项式摆动可通过谨慎选择基础函数的取样来成为,但如果数据是由不容易重复实验取得的,就不能这么做了,这会司会用下面介绍分段插值法。
二、分段插值多项式1、分段线性插值：分段线性插值最简单的插值方案,只要将每个相邻的节点用直线接起来,如此形成的一条新的折线就是分段线性插值函数,记作I n (x j )=y i 而且I n (x)在每个区间[x jx j+1]上是线性函数（j=0,1…n-1）I n (X)可以定义为I n (x j )= 0()ni i i y l x =∑其中l 0(x)=101x x xx --，[0,1]x x x ∈其他，l 0(x)=0 l j (x)=11j j j x x x x ----，1[,]j j x x x -∈；n l ()x =11j j j x x x x ++--1,[,];j j x x x +∈其他，l j (x)=0l n (x)=11n n n x x x x ----1,[,];n n x x x -∈其他，l n (x)=0I n (x j )具有很好的收敛性,即对于x ∈[a,b]有：当n 趋向于无穷大时,I n (x )=g(x)成立。
用I n (x )计算x 点的插值时,只用到x 左右的两个节点,计算量与节点个数n 无关,但n 越大分段越多,插值误差就越小,但是,该方法折线在节点处显然不光滑,即I n (X)在节点处导数不存在着影响它在需要光滑插值曲线的（如机械插值等领域中的应用）。
2分段三次Hermite 插值为清楚起见,先用三次Hermite 插值的构造方法加以解释,三次Hermite 插值的做法是,在[x k x k+1]上寻找一个次数不超过3的多项式H 3(x) 它满足插值条件 H 3(x k )=f(x k ),H 3(x k+1)=f(x k+1)'3()k H x =m k , '31()k H x +=m k+1相应的插值基函数为211121111()12,()12,k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x x αα+++++++⎧⎛⎫⎛⎫--⎪=+ ⎪⎪--⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪--=+ ⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎩2112111()(),()().k k k kk k k k k k x x x x x x x x x x x x x x ββ+++++⎧⎛⎫-⎪=- ⎪-⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-=- ⎪⎪-⎝⎭⎩于是有H 3(x)=αk （x ）f(x k ) +αk+1（x ）f(x k+1)＋m k βk (x) ＋m k+1βk+1(x)。
如果函数Ψ满足条件： （1） Ψ∈C 1[a,b]（2） 满足插值条件：Ψ（x k ）=f(x k ), ''()()k k x f x ϕ=,k=0,1,2,…,n. （3） 在每个小区间[x k-1, x k ],k=1,2, …,n 上Ψ是三次多项式。
则称Ψ为f 的分段三次Hermite 插值多项式。
根据分段线性插值和三次Hermite 插值公式可得到Ψ的表达式 Ψ(x)= '[()()()()]nkkk k k f x x f x x αβ=+∑ 其中20101010010112,[,]()0,[,]x x x x x x x x x x x x x x x α⎧⎛⎫⎛⎫--⎪+∈ ⎪⎪=--⎨⎝⎭⎝⎭⎪∉⎩21111211111112,[,]()12,[,]0,[,]k k k k k k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x α----++++-+⎧⎛⎫⎛⎫--⎪+∈ ⎪⎪--⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎛⎫⎛⎫--⎪=+∈⎨ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎪⎪∉⎪⎪⎩21111112,[,]()0,[,]k k n n n k k k k n n x x x x x x x x x x x x x x x α-----⎧⎛⎫⎛⎫--⎪+∈ ⎪⎪=--⎨⎝⎭⎝⎭⎪∉⎩2100100101(),[,]()0,[,]x x x x x x x x x x x x x β⎧⎛⎫-⎪-∈ ⎪=-⎨⎝⎭⎪∉⎩2111211111(),[,]()(),[,]0,[,]k k k k kk k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x β---+++-+⎧⎛⎫-⎪-∈ ⎪-⎪⎝⎭⎪⎛⎫-⎪=-∈⎨ ⎪-⎝⎭⎪⎪∉⎪⎪⎩21111(),[,]()0,[,]n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x β----⎧⎛⎫-⎪-∈ ⎪=-⎨⎝⎭⎪∉⎩αk ，βk ， k=0,1,2,…,n ，称为以节点x 0，x 1,…, x n 的分段三次Hermite 插值基函数，对于给定n 个插值点x 1＜x 2＜…＜x n 和其相应函数值 f(x k )和一阶函数值f '(x k ),k=0,1,2,…,n.显然,分段三次Hermite 插值可以产生平滑变化的插值式,但它有一个明显的缺点,就是在每个界点处的函数斜率必须已知,而从实验中获得的数据,这个斜率就不存在。
下面要介绍的三次样条插值可以解决这个问题,同时能得到插值式所期望的光滑度。
3、三次样条插值 1. 样条函数在[a,b]上取n+1个插值结点a=x 0<x 1<…<x n =b 已知函数f(x)在这n+1个点的函数值为y k =f(x k )则在[a,b]上函数y=f(x)的m 次样条插值函数S(x)满足: (1)S(x)在(a,b)上直到m-1阶导数连续; (2)S(x k )=y k ,(k=0 1…n);(3)在区间[x k ,x k+1](k=0 1 …n-1)上,S(x)是m 次多项式。
2.三次样条函数在[a,b]上函数y=f(x)的三次样条插值函数S(x)满足: (1)在(a,b)上0、1、2阶导数连续,即:s '(x k -0)=s '(x k +0)，s ″(x k -0)=s ″(x k +0) (k=0 1…n-1) (2)S(x k )=y k (k=0，1，…n);(3)在区间[x k x k+1](k=0，1…n-1)上S(x)是三次多项式。