达朗贝尔原理(动静法)
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达朗贝尔原理动静法课件
静力学分析
动力学分析
振动分析
通过动静法的应用，可以将动力学问题转化为静态问题，例如求物体的加速度、速度等。
动静法也可以用于研究物体的振动问题，例如求物体的固有频率、振型等。
03
02
01
03
达朗贝尔原理在动静法中的应用
总结词：达朗贝尔原理在动力学中用于描述物体运动规律，特别是对于复杂系统或非线性系统的运动分析。
达朗贝尔原理动静法课件
目录
contents
达朗贝尔原理概述动静法的基本概念达朗贝尔原理在动静法中的应用动静法的实际应用案例动静法的优缺点及未来发展
01
达朗贝尔原理概述
达朗贝尔原理是经典力学中的一个基本原理，它指出一个完整的保守系统在平衡点附近的小振动可以用线性弹簧模型来描述。
达朗贝尔原理具有普适性，适用于各种保守系统，如单摆、弹簧振荡器等。它提供了一种将复杂的非线性振动问题简化为线性问题的有效方法。
详细描述
建筑结构的动静法分析包括对建筑物在地震、风载、雪载等动态载荷和静载荷作用下的响应进行分析。通过模拟和分析建筑物的动力和静力行为，可以评估建筑物的安全性和稳定性，并预测其在各种载荷下的性能。这对于建筑物的设计和维护具有重要的意义。
VS
机械设备的动静法分析利用达朗贝尔原理对机械设备进行动力学和静力学的分析，以确保机械设备的正常运行和安全性。
结合虚拟现实技术
利用人工智能技术，为学生提供个性化的学习指点和反馈。
智能化辅助教学
将动静法应用于其他学科，如化学、生物等，促进跨学科的学习和整合。
跨学科整合
随着教育理念和技术的不断更新，动静法也需要不断改进和完善，以适应时代发展的需求。
持续改进教学方法
THANKS
动力学分析
振动分析
通过动静法的应用，可以将动力学问题转化为静态问题，例如求物体的加速度、速度等。
动静法也可以用于研究物体的振动问题，例如求物体的固有频率、振型等。
03
02
01
03
达朗贝尔原理在动静法中的应用
总结词：达朗贝尔原理在动力学中用于描述物体运动规律，特别是对于复杂系统或非线性系统的运动分析。
达朗贝尔原理动静法课件
目录
contents
达朗贝尔原理概述动静法的基本概念达朗贝尔原理在动静法中的应用动静法的实际应用案例动静法的优缺点及未来发展
01
达朗贝尔原理概述
达朗贝尔原理是经典力学中的一个基本原理，它指出一个完整的保守系统在平衡点附近的小振动可以用线性弹簧模型来描述。
达朗贝尔原理具有普适性，适用于各种保守系统，如单摆、弹簧振荡器等。它提供了一种将复杂的非线性振动问题简化为线性问题的有效方法。
详细描述
建筑结构的动静法分析包括对建筑物在地震、风载、雪载等动态载荷和静载荷作用下的响应进行分析。通过模拟和分析建筑物的动力和静力行为，可以评估建筑物的安全性和稳定性，并预测其在各种载荷下的性能。这对于建筑物的设计和维护具有重要的意义。
VS
机械设备的动静法分析利用达朗贝尔原理对机械设备进行动力学和静力学的分析，以确保机械设备的正常运行和安全性。
结合虚拟现实技术
利用人工智能技术，为学生提供个性化的学习指点和反馈。
智能化辅助教学
将动静法应用于其他学科，如化学、生物等，促进跨学科的学习和整合。
跨学科整合
随着教育理念和技术的不断更新，动静法也需要不断改进和完善，以适应时代发展的需求。
持续改进教学方法
THANKS
13达朗贝尔原理
∑ m ar = (∑ m )ar = mar
例13-3飞轮质量为m，半径为Ｒ，以匀角速度 ω 定轴转动，设轮辐质量不计，质量均布在较薄的轮缘 上，不考虑重力的影响。 求：轮缘横载面的张力。
解：(1)受力分析 (2)加速度分析，写出 FI ,i m n FIi = mi ai = R∆θ iω 2 R 2πR (3)建立动静法平衡方程
达朗贝尔原理
惯性力· 质点的达朗贝尔原理 质点系的达朗贝尔原理 刚体惯性力系的简化 绕定轴转动刚体的轴承动约束力
13.2 13. 质点系的达朗贝尔原理
Fi + FN i + FI i = 0 i = 1,2, L , n
质点系的达朗贝尔原理：质点系中每个质点上作用 的主动力、约束力和惯性力在形式上组成平衡力系。 记
解 ： F = ma I
( )
( )
= ∑ mi riα cosθ i zi + ∑ (−mi riω 2 sin θ i zi )
M Ix = ∑ mi riα cos θ i zi + ∑ (−mi riω sin θ i zi )
2
由
xi yi cos θi = , sinθi = ri ri
有 MI x =α
∑m x z −ω ∑m y z
M = m2 ge sin ωt + m 2 eω 2 h sin ωt
Fx = − m2 eω ⋅ sin ωt
例13-6 电动绞车安装在梁上，梁的两端搁在支座 上，绞车与梁共重为P。绞盘半径为R，与电机转子 固结在一起，转动惯量为J，质心位于O处。绞车以加 速度a提升质量为m的重物，其它尺寸如图。 已知: P, R, J , a, m. 求：支座A，B受到的附加约束力。
达朗贝尔原理(动静法)
§ 14-1
惯性力· 质点的达朗贝尔原理
ma F FN
F FN ma 0 惯性力 令 F ma I
有
F FN FI 0
质点的达朗贝尔原理:作用在质点的主动力、
约束力和虚加的惯性力在形式上组成平衡力系.
例14-1 已知:
这就是钢球在任一位置 时所受的法向反力, 显然当钢球脱离筒壁 时, FN＝0 , 由此可求出其脱离角a为
rw 2 a arccos( ) g
§ 14-2
质点系的达朗贝尔原理
i 1,2,, n
Fi FNi FIi 0
质点系的达朗贝尔原理:质点系中每个质点上作用的主动
x
M A (F ) 0 :
代入FI 的数值, 有
l FI d cos P sin 0 2
Pl 2l 2 sin ( w cos 1) 0 2 3g 3g 故有＝0或 arccos( ) 2 2lw
§ 14-3
刚体惯性力系的简化
用质点系的达朗贝尔原理求解质点系的动力学问 题，需要对质点内每个质点加上各自的惯性力，这些 惯性力也形成一个力系，称为惯性力系。下面用静力 学力系简化理论，求出惯性力系的主矢和主矩。 以FIR表示惯性力系的主矢。由质心运动定理及质 点系的达朗贝尔原理
m 0.1kg, l 0.3m, 60
求: 用达朗贝尔原理求解
v , FT .
v 解: F ma m I n l sin
mg FT FI 0
b
2
F
0, FT cos mg 0
F
解得
n
0, FT sin FI 0
理论力学第十一章 达朗贝尔原理(动静法)
讨论：1）脱离角α与滚筒的角速度和滚筒半径有关，而与钢球质量无关。
2）
筒壁。此时转筒
的转速称为临界转速，对球磨机而言，要求n小于nL，否则球磨机就不能工作。
§11－2 刚体惯性力系的简化
刚体平移时惯性力系的简化
当刚体平移时,任一瞬时体内各点的加速度相等。若记某瞬 时刚体质心加速度为aC，则该瞬时体内任一质量为m的质点 的加速度ai=aC，虚加在该点上的惯性力Fgi=-miai=-miaC 。 刚体内每一点都加上相应的惯性力，由静力学知,该空间平 行力系可简化为过质心的合力，即
式中，Fgτ=-maτ，称为切向惯性力 Fgn=-man称为法向惯性力（也称离心力）
负号表示它们分别与切向加速度和法向加速度的方向相反。
§11－1 惯性力与质点的达朗贝尔原理
质点系的动静法
对由n个质点组成的非自由质点系,设其中任一质点的质量 为mi,某瞬时加速度为ai，作用其上的主动力F，约束反力 Fni，假想在该质点上加上惯性力Fgi=-mai，由质点达朗贝 尔原理，则
=－ maC
该力偶的力偶矩等于惯性力系对刚体惯性力系的简化
结论 当刚体有质量对称面，且绕垂直于质量对称面的定轴 转动时，惯性力系可以简化为对称面内的一个力和一个力偶。 该力等于刚体的质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速 度方向相反，且力的作用线通过转轴；
该力偶的力偶矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘 积，其转向与角加速度转向相反。惯性力系向点O简化的结 果如图b)所示。
Fg=-m a
质点的达朗伯原理:质点在运动的每一瞬时，作用 于质点上的主动力、约束反力与假想地在质点上 的惯性力，在形式上构成一平衡力系。
§11－1 惯性力与质点的达朗贝尔原理
达朗贝尔原理(动静法)
工程力学--达朗贝尔原理（动静法）
问题的引出
问题的引出
达朗贝尔原理
§6-1 惯性力•质点的达朗贝尔原理
§6-2 质点系的达朗贝尔原理
§6-3 刚体惯性力系的简化 §6-4 绕定轴转动刚体的动约束力 结论与讨论 习题
质点的达朗贝尔原理
矢量FI具有力的量纲，称为质点的惯性力。
FI = -ma
定义：惯性力的大小等于质量与加速度的乘积， 方向与加速度方向相反。
质点系达朗贝尔原理/动静法
列平衡方程
应用动静法研究动力学的基本步骤 1、受力分析 2、运动分析 3、添加惯性力 4、建立平衡方程
5、求解平衡方程
ma = F ＋ FN
主动力 约束力
F ＋ FN － ma = 0 F ＋ FN ＋ FI = 0
☆其余过程与静力学完全相同。应当注意，质点实际上是加速运动着 质点的达朗贝尔原理 ☆应用上述方程时，除了要分析主动力、约束力外，还必须分析惯性 的，并非真正处于平衡状态。这里所说的“平衡”只是就数学形式上 作用在质点上的主动力、约束力与质点的惯性力构成一个平衡力系。 力，并假想地加在质点上。 的平衡。
质点的达朗贝尔原理
例一 小球作匀速圆周运动，质量m=0.1kg，l =0.3m，=600 。 求:绳的拉力及小球的速度。 解：取小球为研究对象
受力分析、加惯性力列平衡方程
l T
b
n
mg
质点系达朗贝尔原理/动静法
质点系运动的每一瞬时 力系平衡条件：
主矢： 主矩：
质点系的达朗贝尔原理：
作用在质点系上的外力与虚加在每个质点上的惯性力在形式上组成平衡力系。
问题的引出
问题的引出
达朗贝尔原理
§6-1 惯性力•质点的达朗贝尔原理
§6-2 质点系的达朗贝尔原理
§6-3 刚体惯性力系的简化 §6-4 绕定轴转动刚体的动约束力 结论与讨论 习题
质点的达朗贝尔原理
矢量FI具有力的量纲，称为质点的惯性力。
FI = -ma
定义：惯性力的大小等于质量与加速度的乘积， 方向与加速度方向相反。
质点系达朗贝尔原理/动静法
列平衡方程
应用动静法研究动力学的基本步骤 1、受力分析 2、运动分析 3、添加惯性力 4、建立平衡方程
5、求解平衡方程
ma = F ＋ FN
主动力 约束力
F ＋ FN － ma = 0 F ＋ FN ＋ FI = 0
☆其余过程与静力学完全相同。应当注意，质点实际上是加速运动着 质点的达朗贝尔原理 ☆应用上述方程时，除了要分析主动力、约束力外，还必须分析惯性 的，并非真正处于平衡状态。这里所说的“平衡”只是就数学形式上 作用在质点上的主动力、约束力与质点的惯性力构成一个平衡力系。 力，并假想地加在质点上。 的平衡。
质点的达朗贝尔原理
例一 小球作匀速圆周运动，质量m=0.1kg，l =0.3m，=600 。 求:绳的拉力及小球的速度。 解：取小球为研究对象
受力分析、加惯性力列平衡方程
l T
b
n
mg
质点系达朗贝尔原理/动静法
质点系运动的每一瞬时 力系平衡条件：
主矢： 主矩：
质点系的达朗贝尔原理：
作用在质点系上的外力与虚加在每个质点上的惯性力在形式上组成平衡力系。
达朗贝尔原理
FI mac
结论：平动刚体的惯性力系合成为一个 作用在质心的惯性力
二、刚体定轴转动
(一） 刚体有与转轴 垂直的对称面 结论：可将空 间惯性力系简 化为在对称平 面内的力系（ 相当于将刚体 压扁到对称平 面内）
l
FIjn
j
z
FIjt
z
FIin
i
FIit
ω α ω α
l
O
O
0 C α 45 A
O FIy
aC acx acy a A aCA
acx 2 2 l 2 acy 2 2 2 2
aA
aCA
a cx a cy
B
FIx macx FIy macy
l a cx a cy 2
mi ai FRi FIi mi ai FRi FIi 0
在每一个质点上加上惯性力后，此质点平衡。
显然，系统的任意部分（包括整体）也是平衡的。
O
例：质量m、长度l的均 质杆，以匀角速度ω绕z 轴转动，试求θ角。
z
θ
dFI
A mg η
ω d 2 dFI m sin l l l M zi mg 2 sin cosdFI 0 0
达朗贝尔原理
在惯性系中
ma FR
a
非惯性系中的妙招
mar FR mae mac FR FIe FIc
惯性
0 FR ma FR FI
§9-1达朗贝尔原理（动静法） 一、质点的达朗贝尔原理 牛顿定律
α C A
a cx
a cy
结论：平动刚体的惯性力系合成为一个 作用在质心的惯性力
二、刚体定轴转动
(一） 刚体有与转轴 垂直的对称面 结论：可将空 间惯性力系简 化为在对称平 面内的力系（ 相当于将刚体 压扁到对称平 面内）
l
FIjn
j
z
FIjt
z
FIin
i
FIit
ω α ω α
l
O
O
0 C α 45 A
O FIy
aC acx acy a A aCA
acx 2 2 l 2 acy 2 2 2 2
aA
aCA
a cx a cy
B
FIx macx FIy macy
l a cx a cy 2
mi ai FRi FIi mi ai FRi FIi 0
在每一个质点上加上惯性力后，此质点平衡。
显然，系统的任意部分（包括整体）也是平衡的。
O
例：质量m、长度l的均 质杆，以匀角速度ω绕z 轴转动，试求θ角。
z
θ
dFI
A mg η
ω d 2 dFI m sin l l l M zi mg 2 sin cosdFI 0 0
达朗贝尔原理
在惯性系中
ma FR
a
非惯性系中的妙招
mar FR mae mac FR FIe FIc
惯性
0 FR ma FR FI
§9-1达朗贝尔原理（动静法） 一、质点的达朗贝尔原理 牛顿定律
α C A
a cx
a cy
达朗贝尔定理
Fg2
m2 Fg1
m1
FgR
FgR = ∑ Fgi = −∑ mi aC = −maC
位置： 位置：
Fgn
a2 C aC m an
n
a1
M O ( FgR ) = ∑ M O ( Fgi ) = ∑ − ri × mi aC
= −(∑ mi ri )× ac = −mrc × ac = rc × (− mac ) = rc × FgR
∑MB = 0 ,
∑ MA = 0 ,
a
A
FNA
Fgh − mgc + FNA(b + c) = 0 (1)
Fgh + mgb − FNB (b + c) = 0 (2)
m(gc − ah) FNA = b+c m(gb + ah) FNB = b +c
例题 如图 所示，匀 质滑轮的半径为r，质量 为m，可绕水平轴转动。 轮缘上跨过的软绳的两端 各挂质量为m1 （A）和m2 （B）的重物,且m1 >m2 。 绳的重量不计，绳与滑轮 之间无相对滑动，轴承摩 擦忽略不计。求重物的加 速度和轴承反力。
惯性力
任何物体都将给予企图改变它运 动状态的任何其他物体以阻力.
F Fg F a
Fg
F′ = Fg
F = ma
动力学问题
F + (− ma) = F + Fg = 0
形式上的静力平衡
Fg = −ma —惯性力作用在使物体（小车）产
生加速度的施力物体（推车人）
例：电机护环直径D，环截面面积A，材料密度 ρ （kg/m3），转子角速度=常数。求：护环截面张力。 求 解：研究对象：四分之一护环 解：
理论力学第十四章达朗贝尔原理(动静法)课件
动静法的物理意义
物理背景
实际应用
达朗贝尔原理反映了牛顿第二定律在 静力学中的应用，通过引入惯性力， 将动力学因素考虑到平衡问题中。
在工程实际中，达朗贝尔原理广泛应 用于分析高速旋转的机械、振动系统 以及瞬态动力学问题。
意义阐述
通过动静法，我们可以分析在某一瞬 时，运动系统由于惯性作用而产生的 力，从而更准确地描述系统的平衡条 件。
03
在应用动静法时，要确 保惯性力与主动力相平 衡，避免出现误差。
04
在求解方程时，要注意 解的物理意义和实际情 况是否相符。
04
CATALOGUE
达朗贝尔原理的应用实例
简单实例解析
总结词
通过一个简单的实例，介绍达朗 贝尔原理的基本应用。
详细描述
以一个单摆为例，运用达朗贝尔 原理分析其运动状态，通过对比 理论计算和实验结果，验证达朗 贝尔原理的正确性。
具体推导过程
在受力分析的基础上，列出系统的平 衡方程。
解出未知数，得到系统的运动状态。
将动静法应用于平衡方程，将惯性力 与主动力相平衡。具体来说，就是在 平衡方程中加入惯性力项，使得该力 与主动力相平衡。
推导过程中的注意事项
01
确定研究对象和系统时 要明确，避免出现混淆 。
02
在建立平衡方程时，要 确保所有力的方向和大 小都正确。
理论力学第十四章 达朗贝尔原理(动静 法)课件
contents
目录
• 达朗贝尔原理概述 • 达朗贝尔原理的基本概念 • 达朗贝尔原理的推导过程 • 达朗贝尔原理的应用实例 • 达朗贝尔原理的扩展与深化
01
CATALOGUE
达朗贝尔原理概述
达朗贝尔原理的定义
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a g tg .
Solving it we get
The angle changes with the acceleration a, when a does not change, the angle does not change, too. If we know the angle the acceleration a of the train can be calculated . This is the theory of a pendulum accelerometer.
Ai
a i ain
Bi
FIi
n
FIi FIi FIi
n
FIi mi ai n FIi mi ain
n 2
FIi FIi
FIi mi ri FIi mi ri
类似地，将其它直线 的惯性力系也都简化质量对称 平面合惯性力。—— 变成一平面的惯性力系。 （2） 将平面的惯性力系 ——向轴与对称平面的交点O 简化： 主矢： FIR
FI
W
第十三章 达朗贝尔原理
§13-2
质点的动静法
[Example 3] A train is running along a horizontal railway, and a
single pendulum is hanging in the carriage. When the carriage
—— 加在对称平面内
（2） 刚体作匀速转动，则
n FIR maC maC
0
M IO 0 FIR me
2
惯性力系合成为一合力：
( FIR me )
2
（3） 刚体作匀速转动，且转轴通过刚体的质心，则
FIR 0
M IO
—— 惯性力系自成平衡 0 称这种平衡为动平衡。
y
a W O
平衡位置
y
O FN m a
平衡位置
FI
W
第十三章 达朗贝尔原理
§13-2
质点的动静法
解：通过分析受力、分析运动并施加惯性力，确定 颗粒脱离台面的位置和条件。 应用动静法 y FN m
y
FI＝mA 2sin t
2
FI
FN－W＋mA sin t＝0
颗粒脱离台面的条件 FN＝0， sin t＝1时， 最小。
离心调速器
已知： m1－球A、B 的质量； m2－重锤C 的质量； l－杆件的长度； － O1 y1轴的旋转角速度。 求：
l
B
－ 的关系。
y1
第十三章 达朗贝尔原理
§13-2
质点的动静法
O1
l l A l C
x1
l
B
解： 1、分析受力：以球 B(或A)和重锤C 为研究对象，分析所受的主动力和 约束力 FT3 F´T1 FT2 B FT1 FI C m1 g m2 g
第十三章 达朗贝尔原理
§13-3 质点系的动静法
第十三章 达朗贝尔原理
§13-3 质点系的动静法
F1 m1 a1 FN2 FI2 m2 FIi
质点系的主动力系
FI1
FN1 FNi mi Fi ai
F1 , F2 , , Fi , , Fn
质点系的约束力系 质点系的惯性力系
FN1 , FN 2 , , FNi , , FNn FI1 , FI 2 , , FIi , , FIn
M IO J z
结论2：
FIR
刚体定轴转动时，其惯性力系过转动中心 O 的 一个力 Fii 和质量对称平面内的一力偶 MIO 。
FIR maC M IO J z
—— 加在轴与对称平面的交点O 上； —— 质量对称平面内。
结论2： 刚体定轴转动时，其惯性力系简化为过转动中心 O 的一个力 FIR 和质量对称平面内的一力偶 MIO 。
3. 刚体作平面运动 限于研究具有质量对称平面，且在平行于该平面运动的情形。 与前面定轴转动类似，第一步：将惯性力系 向对称平面简化；第二步：向质心 C 简化。
aM i aC aiC aiC
n
a iC
mi aC
Mi
mi a
n iC
Mi
a iC
Mi
n
mi aiC
n
ri a n aC mi aC iC mi aiC FIR
FT2
cos m1 m2 m1l
2
FT3
B
F′T1
FI
C
g
FT1
m1 g
m2 g
第十三章 达朗贝尔原理
§13-2
质点的动静法
例 题2
y
振动筛
y
O
平衡位置
y＝A sin t 求：颗粒脱离台面的 最小振动频率
第十三章 达朗贝尔原理
§13-2
质点的动静法
解：通过分析受力、分析运动并施加惯性力，确定 颗粒脱离台面的位置和条件。 y y FI FN m
平衡位置
a W O
＝
g A
第十三章 达朗贝尔原理
§13-2
质点的动静法
解：通过分析受力、分析运动并施加惯性力，确定 颗粒脱离台面的位置和条件。 y 应用动静法
FN W ma sin t＝0
2
y
O FN m a
平衡位置
FN＝W＋ma sin t 0
2
颗粒在平衡位置以下时不会 脱离台面。
轴承C、D 的距离均为 b 。杆 AB 与铅垂轴 Oz 所成的 角度保持为常数α。不计杆的重量与重物的大小，求当 杆在平面 Oyz 内时，轴承 C 与 D 处的反力。
FCy
FCx
aB
P
n
FIB
解： 整体 —— 研究对象；
受力分析； 分析运动，加惯性力；
P
FIA FIB P g l sin
M IO
FIR maC
—— 加在轴与对称平面的交点O 上；
FIR
M IO J z —— 质量对称平面内。
几种特殊情形：
（1） 转轴通过刚体的质心，则 aC 0
惯性力系合成为一合力偶：
FIR 0
M IO M IC J C
M IO J z J zC
2. 刚体作定轴转动
仅限于具有垂直于转轴 z 的质量对称平面的情形。 （1） 将空间的惯性力系 —— 简化为一平面的惯性力系：
取直线 AiBi // z 轴，与质量对称平面的交点 Mi， 直线 AiBi 作平动，惯性力系简化为其质心 Mi 的一 合力FIi， 设直线 AiBi 的质量为 mi ，则
工程力学多媒体课件
第三篇 动力学
第十三章
达朗贝尔原理
D’Alembert’s principle
Inertial-force method Dynamic-static method
第十三章 达朗贝尔原理
§13-1惯性力的概念 §13-2质点的动静法 §13-3质点系的动静法 §13-4刚体惯性力系的简化
C
moves to the right with an uniform acceleration, the single pendulum will turn to the left by an angle , and does not move
relative to the carriage. Determine the acceleration of the carriage a.
动力学普遍定理的另外一类方法。
动静法一方面广泛应用于刚体动力学 求解动约束力；另
一方面又普遍应用于弹性杆件求解动应力。
第十三章 达朗贝尔原理
§13-2
质点的动静法
第十三章 达朗贝尔原理
§13-2
质点的动静法
z
非自由质点 A
F
m A a FN FR
m —— 质量；
F —— 主动力； FN —— 约束力； S —— 运动轨迹。
Solution Investigate the single pendulum, add the virtual inertial forces.
Q ma
According to the dynamic-static method
we have
X 0,
mg sin Q cos 0.
§13-1刚体定轴转动时轴承的动反力
第十三章 达朗贝尔原理
§13-1惯性力的概念
Inertial Force
第十三章 达朗贝尔原理
§13-1 惯性力的概念
引进惯性力的概念，将动力学系统的二阶运动量表
示为惯性力，进而应用静力学方法研究动力学问题 —— 动 静法(达朗贝尔原理)。
动静法为解决非自由质点系的动力学问题提供了有别于
i i
C
二、几种刚体运动中惯性力系的简化
1. 刚体作平行移动 将惯性力系向质心 C 简化
FI2
i i
m2 FI1
m1
主矩： M IC
r ( m a )
i
mrC a 0
FIR
a2 C m aC mn an FIn
a1
0 主矢： F ma IR C
a
结论1： 刚体平动时，其惯性力系合成为质心 C 点的一合力，此力的大小等 于刚体的质量与加速度的乘积，方向与加速度的方向相反。
第十三章 达朗贝尔原理
§13-2
质点的动静法
动静法
应用达朗贝尔原理求解非自由质点动约束力的方法 F + FN ＋ FI ＝0 FI ＝－ m a
Solving it we get
The angle changes with the acceleration a, when a does not change, the angle does not change, too. If we know the angle the acceleration a of the train can be calculated . This is the theory of a pendulum accelerometer.
Ai
a i ain
Bi
FIi
n
FIi FIi FIi
n
FIi mi ai n FIi mi ain
n 2
FIi FIi
FIi mi ri FIi mi ri
类似地，将其它直线 的惯性力系也都简化质量对称 平面合惯性力。—— 变成一平面的惯性力系。 （2） 将平面的惯性力系 ——向轴与对称平面的交点O 简化： 主矢： FIR
FI
W
第十三章 达朗贝尔原理
§13-2
质点的动静法
[Example 3] A train is running along a horizontal railway, and a
single pendulum is hanging in the carriage. When the carriage
—— 加在对称平面内
（2） 刚体作匀速转动，则
n FIR maC maC
0
M IO 0 FIR me
2
惯性力系合成为一合力：
( FIR me )
2
（3） 刚体作匀速转动，且转轴通过刚体的质心，则
FIR 0
M IO
—— 惯性力系自成平衡 0 称这种平衡为动平衡。
y
a W O
平衡位置
y
O FN m a
平衡位置
FI
W
第十三章 达朗贝尔原理
§13-2
质点的动静法
解：通过分析受力、分析运动并施加惯性力，确定 颗粒脱离台面的位置和条件。 应用动静法 y FN m
y
FI＝mA 2sin t
2
FI
FN－W＋mA sin t＝0
颗粒脱离台面的条件 FN＝0， sin t＝1时， 最小。
离心调速器
已知： m1－球A、B 的质量； m2－重锤C 的质量； l－杆件的长度； － O1 y1轴的旋转角速度。 求：
l
B
－ 的关系。
y1
第十三章 达朗贝尔原理
§13-2
质点的动静法
O1
l l A l C
x1
l
B
解： 1、分析受力：以球 B(或A)和重锤C 为研究对象，分析所受的主动力和 约束力 FT3 F´T1 FT2 B FT1 FI C m1 g m2 g
第十三章 达朗贝尔原理
§13-3 质点系的动静法
第十三章 达朗贝尔原理
§13-3 质点系的动静法
F1 m1 a1 FN2 FI2 m2 FIi
质点系的主动力系
FI1
FN1 FNi mi Fi ai
F1 , F2 , , Fi , , Fn
质点系的约束力系 质点系的惯性力系
FN1 , FN 2 , , FNi , , FNn FI1 , FI 2 , , FIi , , FIn
M IO J z
结论2：
FIR
刚体定轴转动时，其惯性力系过转动中心 O 的 一个力 Fii 和质量对称平面内的一力偶 MIO 。
FIR maC M IO J z
—— 加在轴与对称平面的交点O 上； —— 质量对称平面内。
结论2： 刚体定轴转动时，其惯性力系简化为过转动中心 O 的一个力 FIR 和质量对称平面内的一力偶 MIO 。
3. 刚体作平面运动 限于研究具有质量对称平面，且在平行于该平面运动的情形。 与前面定轴转动类似，第一步：将惯性力系 向对称平面简化；第二步：向质心 C 简化。
aM i aC aiC aiC
n
a iC
mi aC
Mi
mi a
n iC
Mi
a iC
Mi
n
mi aiC
n
ri a n aC mi aC iC mi aiC FIR
FT2
cos m1 m2 m1l
2
FT3
B
F′T1
FI
C
g
FT1
m1 g
m2 g
第十三章 达朗贝尔原理
§13-2
质点的动静法
例 题2
y
振动筛
y
O
平衡位置
y＝A sin t 求：颗粒脱离台面的 最小振动频率
第十三章 达朗贝尔原理
§13-2
质点的动静法
解：通过分析受力、分析运动并施加惯性力，确定 颗粒脱离台面的位置和条件。 y y FI FN m
平衡位置
a W O
＝
g A
第十三章 达朗贝尔原理
§13-2
质点的动静法
解：通过分析受力、分析运动并施加惯性力，确定 颗粒脱离台面的位置和条件。 y 应用动静法
FN W ma sin t＝0
2
y
O FN m a
平衡位置
FN＝W＋ma sin t 0
2
颗粒在平衡位置以下时不会 脱离台面。
轴承C、D 的距离均为 b 。杆 AB 与铅垂轴 Oz 所成的 角度保持为常数α。不计杆的重量与重物的大小，求当 杆在平面 Oyz 内时，轴承 C 与 D 处的反力。
FCy
FCx
aB
P
n
FIB
解： 整体 —— 研究对象；
受力分析； 分析运动，加惯性力；
P
FIA FIB P g l sin
M IO
FIR maC
—— 加在轴与对称平面的交点O 上；
FIR
M IO J z —— 质量对称平面内。
几种特殊情形：
（1） 转轴通过刚体的质心，则 aC 0
惯性力系合成为一合力偶：
FIR 0
M IO M IC J C
M IO J z J zC
2. 刚体作定轴转动
仅限于具有垂直于转轴 z 的质量对称平面的情形。 （1） 将空间的惯性力系 —— 简化为一平面的惯性力系：
取直线 AiBi // z 轴，与质量对称平面的交点 Mi， 直线 AiBi 作平动，惯性力系简化为其质心 Mi 的一 合力FIi， 设直线 AiBi 的质量为 mi ，则
工程力学多媒体课件
第三篇 动力学
第十三章
达朗贝尔原理
D’Alembert’s principle
Inertial-force method Dynamic-static method
第十三章 达朗贝尔原理
§13-1惯性力的概念 §13-2质点的动静法 §13-3质点系的动静法 §13-4刚体惯性力系的简化
C
moves to the right with an uniform acceleration, the single pendulum will turn to the left by an angle , and does not move
relative to the carriage. Determine the acceleration of the carriage a.
动力学普遍定理的另外一类方法。
动静法一方面广泛应用于刚体动力学 求解动约束力；另
一方面又普遍应用于弹性杆件求解动应力。
第十三章 达朗贝尔原理
§13-2
质点的动静法
第十三章 达朗贝尔原理
§13-2
质点的动静法
z
非自由质点 A
F
m A a FN FR
m —— 质量；
F —— 主动力； FN —— 约束力； S —— 运动轨迹。
Solution Investigate the single pendulum, add the virtual inertial forces.
Q ma
According to the dynamic-static method
we have
X 0,
mg sin Q cos 0.
§13-1刚体定轴转动时轴承的动反力
第十三章 达朗贝尔原理
§13-1惯性力的概念
Inertial Force
第十三章 达朗贝尔原理
§13-1 惯性力的概念
引进惯性力的概念，将动力学系统的二阶运动量表
示为惯性力，进而应用静力学方法研究动力学问题 —— 动 静法(达朗贝尔原理)。
动静法为解决非自由质点系的动力学问题提供了有别于
i i
C
二、几种刚体运动中惯性力系的简化
1. 刚体作平行移动 将惯性力系向质心 C 简化
FI2
i i
m2 FI1
m1
主矩： M IC
r ( m a )
i
mrC a 0
FIR
a2 C m aC mn an FIn
a1
0 主矢： F ma IR C
a
结论1： 刚体平动时，其惯性力系合成为质心 C 点的一合力，此力的大小等 于刚体的质量与加速度的乘积，方向与加速度的方向相反。
第十三章 达朗贝尔原理
§13-2
质点的动静法
动静法
应用达朗贝尔原理求解非自由质点动约束力的方法 F + FN ＋ FI ＝0 FI ＝－ m a