达朗贝尔原理(动静法)
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达朗贝尔原理动静法课件
静力学分析
动力学分析
振动分析
通过动静法的应用，可以将动力学问题转化为静态问题，例如求物体的加速度、速度等。
动静法也可以用于研究物体的振动问题，例如求物体的固有频率、振型等。
03
02
01
03
达朗贝尔原理在动静法中的应用
总结词：达朗贝尔原理在动力学中用于描述物体运动规律，特别是对于复杂系统或非线性系统的运动分析。
达朗贝尔原理动静法课件
目录
contents
达朗贝尔原理概述动静法的基本概念达朗贝尔原理在动静法中的应用动静法的实际应用案例动静法的优缺点及未来发展
01
达朗贝尔原理概述
达朗贝尔原理是经典力学中的一个基本原理，它指出一个完整的保守系统在平衡点附近的小振动可以用线性弹簧模型来描述。
达朗贝尔原理具有普适性，适用于各种保守系统，如单摆、弹簧振荡器等。它提供了一种将复杂的非线性振动问题简化为线性问题的有效方法。
详细描述
建筑结构的动静法分析包括对建筑物在地震、风载、雪载等动态载荷和静载荷作用下的响应进行分析。通过模拟和分析建筑物的动力和静力行为，可以评估建筑物的安全性和稳定性，并预测其在各种载荷下的性能。这对于建筑物的设计和维护具有重要的意义。
VS
机械设备的动静法分析利用达朗贝尔原理对机械设备进行动力学和静力学的分析，以确保机械设备的正常运行和安全性。
结合虚拟现实技术
利用人工智能技术，为学生提供个性化的学习指点和反馈。
智能化辅助教学
将动静法应用于其他学科，如化学、生物等，促进跨学科的学习和整合。
跨学科整合
随着教育理念和技术的不断更新，动静法也需要不断改进和完善，以适应时代发展的需求。
持续改进教学方法
THANKS
动力学分析
振动分析
通过动静法的应用，可以将动力学问题转化为静态问题，例如求物体的加速度、速度等。
动静法也可以用于研究物体的振动问题，例如求物体的固有频率、振型等。
03
02
01
03
达朗贝尔原理在动静法中的应用
总结词：达朗贝尔原理在动力学中用于描述物体运动规律，特别是对于复杂系统或非线性系统的运动分析。
达朗贝尔原理动静法课件
目录
contents
达朗贝尔原理概述动静法的基本概念达朗贝尔原理在动静法中的应用动静法的实际应用案例动静法的优缺点及未来发展
01
达朗贝尔原理概述
达朗贝尔原理是经典力学中的一个基本原理，它指出一个完整的保守系统在平衡点附近的小振动可以用线性弹簧模型来描述。
达朗贝尔原理具有普适性，适用于各种保守系统，如单摆、弹簧振荡器等。它提供了一种将复杂的非线性振动问题简化为线性问题的有效方法。
详细描述
建筑结构的动静法分析包括对建筑物在地震、风载、雪载等动态载荷和静载荷作用下的响应进行分析。通过模拟和分析建筑物的动力和静力行为，可以评估建筑物的安全性和稳定性，并预测其在各种载荷下的性能。这对于建筑物的设计和维护具有重要的意义。
VS
机械设备的动静法分析利用达朗贝尔原理对机械设备进行动力学和静力学的分析，以确保机械设备的正常运行和安全性。
结合虚拟现实技术
利用人工智能技术，为学生提供个性化的学习指点和反馈。
智能化辅助教学
将动静法应用于其他学科，如化学、生物等，促进跨学科的学习和整合。
跨学科整合
随着教育理念和技术的不断更新，动静法也需要不断改进和完善，以适应时代发展的需求。
持续改进教学方法
THANKS
13达朗贝尔原理
∑ m ar = (∑ m )ar = mar
例13-3飞轮质量为m，半径为Ｒ，以匀角速度 ω 定轴转动，设轮辐质量不计，质量均布在较薄的轮缘 上，不考虑重力的影响。 求：轮缘横载面的张力。
解：(1)受力分析 (2)加速度分析，写出 FI ,i m n FIi = mi ai = R∆θ iω 2 R 2πR (3)建立动静法平衡方程
达朗贝尔原理
惯性力· 质点的达朗贝尔原理 质点系的达朗贝尔原理 刚体惯性力系的简化 绕定轴转动刚体的轴承动约束力
13.2 13. 质点系的达朗贝尔原理
Fi + FN i + FI i = 0 i = 1,2, L , n
质点系的达朗贝尔原理：质点系中每个质点上作用 的主动力、约束力和惯性力在形式上组成平衡力系。 记
解 ： F = ma I
( )
( )
= ∑ mi riα cosθ i zi + ∑ (−mi riω 2 sin θ i zi )
M Ix = ∑ mi riα cos θ i zi + ∑ (−mi riω sin θ i zi )
2
由
xi yi cos θi = , sinθi = ri ri
有 MI x =α
∑m x z −ω ∑m y z
M = m2 ge sin ωt + m 2 eω 2 h sin ωt
Fx = − m2 eω ⋅ sin ωt
例13-6 电动绞车安装在梁上，梁的两端搁在支座 上，绞车与梁共重为P。绞盘半径为R，与电机转子 固结在一起，转动惯量为J，质心位于O处。绞车以加 速度a提升质量为m的重物，其它尺寸如图。 已知: P, R, J , a, m. 求：支座A，B受到的附加约束力。
达朗贝尔原理(动静法)
§ 14-1
惯性力· 质点的达朗贝尔原理
ma F FN
F FN ma 0 惯性力 令 F ma I
有
F FN FI 0
质点的达朗贝尔原理:作用在质点的主动力、
约束力和虚加的惯性力在形式上组成平衡力系.
例14-1 已知:
这就是钢球在任一位置 时所受的法向反力, 显然当钢球脱离筒壁 时, FN＝0 , 由此可求出其脱离角a为
rw 2 a arccos( ) g
§ 14-2
质点系的达朗贝尔原理
i 1,2,, n
Fi FNi FIi 0
质点系的达朗贝尔原理:质点系中每个质点上作用的主动
x
M A (F ) 0 :
代入FI 的数值, 有
l FI d cos P sin 0 2
Pl 2l 2 sin ( w cos 1) 0 2 3g 3g 故有＝0或 arccos( ) 2 2lw
§ 14-3
刚体惯性力系的简化
用质点系的达朗贝尔原理求解质点系的动力学问 题，需要对质点内每个质点加上各自的惯性力，这些 惯性力也形成一个力系，称为惯性力系。下面用静力 学力系简化理论，求出惯性力系的主矢和主矩。 以FIR表示惯性力系的主矢。由质心运动定理及质 点系的达朗贝尔原理
m 0.1kg, l 0.3m, 60
求: 用达朗贝尔原理求解
v , FT .
v 解: F ma m I n l sin
mg FT FI 0
b
2
F
0, FT cos mg 0
F
解得
n
0, FT sin FI 0
理论力学第十一章 达朗贝尔原理(动静法)
讨论：1）脱离角α与滚筒的角速度和滚筒半径有关，而与钢球质量无关。
2）
筒壁。此时转筒
的转速称为临界转速，对球磨机而言，要求n小于nL，否则球磨机就不能工作。
§11－2 刚体惯性力系的简化
刚体平移时惯性力系的简化
当刚体平移时,任一瞬时体内各点的加速度相等。若记某瞬 时刚体质心加速度为aC，则该瞬时体内任一质量为m的质点 的加速度ai=aC，虚加在该点上的惯性力Fgi=-miai=-miaC 。 刚体内每一点都加上相应的惯性力，由静力学知,该空间平 行力系可简化为过质心的合力，即
式中，Fgτ=-maτ，称为切向惯性力 Fgn=-man称为法向惯性力（也称离心力）
负号表示它们分别与切向加速度和法向加速度的方向相反。
§11－1 惯性力与质点的达朗贝尔原理
质点系的动静法
对由n个质点组成的非自由质点系,设其中任一质点的质量 为mi,某瞬时加速度为ai，作用其上的主动力F，约束反力 Fni，假想在该质点上加上惯性力Fgi=-mai，由质点达朗贝 尔原理，则
=－ maC
该力偶的力偶矩等于惯性力系对刚体惯性力系的简化
结论 当刚体有质量对称面，且绕垂直于质量对称面的定轴 转动时，惯性力系可以简化为对称面内的一个力和一个力偶。 该力等于刚体的质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速 度方向相反，且力的作用线通过转轴；
该力偶的力偶矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘 积，其转向与角加速度转向相反。惯性力系向点O简化的结 果如图b)所示。
Fg=-m a
质点的达朗伯原理:质点在运动的每一瞬时，作用 于质点上的主动力、约束反力与假想地在质点上 的惯性力，在形式上构成一平衡力系。
§11－1 惯性力与质点的达朗贝尔原理
达朗贝尔原理(动静法)
工程力学--达朗贝尔原理（动静法）
问题的引出
问题的引出
达朗贝尔原理
§6-1 惯性力•质点的达朗贝尔原理
§6-2 质点系的达朗贝尔原理
§6-3 刚体惯性力系的简化 §6-4 绕定轴转动刚体的动约束力 结论与讨论 习题
质点的达朗贝尔原理
矢量FI具有力的量纲，称为质点的惯性力。
FI = -ma
定义：惯性力的大小等于质量与加速度的乘积， 方向与加速度方向相反。
质点系达朗贝尔原理/动静法
列平衡方程
应用动静法研究动力学的基本步骤 1、受力分析 2、运动分析 3、添加惯性力 4、建立平衡方程
5、求解平衡方程
ma = F ＋ FN
主动力 约束力
F ＋ FN － ma = 0 F ＋ FN ＋ FI = 0
☆其余过程与静力学完全相同。应当注意，质点实际上是加速运动着 质点的达朗贝尔原理 ☆应用上述方程时，除了要分析主动力、约束力外，还必须分析惯性 的，并非真正处于平衡状态。这里所说的“平衡”只是就数学形式上 作用在质点上的主动力、约束力与质点的惯性力构成一个平衡力系。 力，并假想地加在质点上。 的平衡。
质点的达朗贝尔原理
例一 小球作匀速圆周运动，质量m=0.1kg，l =0.3m，=600 。 求:绳的拉力及小球的速度。 解：取小球为研究对象
受力分析、加惯性力列平衡方程
l T
b
n
mg
质点系达朗贝尔原理/动静法
质点系运动的每一瞬时 力系平衡条件：
主矢： 主矩：
质点系的达朗贝尔原理：
作用在质点系上的外力与虚加在每个质点上的惯性力在形式上组成平衡力系。
问题的引出
问题的引出
达朗贝尔原理
§6-1 惯性力•质点的达朗贝尔原理
§6-2 质点系的达朗贝尔原理
§6-3 刚体惯性力系的简化 §6-4 绕定轴转动刚体的动约束力 结论与讨论 习题
质点的达朗贝尔原理
矢量FI具有力的量纲，称为质点的惯性力。
FI = -ma
定义：惯性力的大小等于质量与加速度的乘积， 方向与加速度方向相反。
质点系达朗贝尔原理/动静法
列平衡方程
应用动静法研究动力学的基本步骤 1、受力分析 2、运动分析 3、添加惯性力 4、建立平衡方程
5、求解平衡方程
ma = F ＋ FN
主动力 约束力
F ＋ FN － ma = 0 F ＋ FN ＋ FI = 0
☆其余过程与静力学完全相同。应当注意，质点实际上是加速运动着 质点的达朗贝尔原理 ☆应用上述方程时，除了要分析主动力、约束力外，还必须分析惯性 的，并非真正处于平衡状态。这里所说的“平衡”只是就数学形式上 作用在质点上的主动力、约束力与质点的惯性力构成一个平衡力系。 力，并假想地加在质点上。 的平衡。
质点的达朗贝尔原理
例一 小球作匀速圆周运动，质量m=0.1kg，l =0.3m，=600 。 求:绳的拉力及小球的速度。 解：取小球为研究对象
受力分析、加惯性力列平衡方程
l T
b
n
mg
质点系达朗贝尔原理/动静法
质点系运动的每一瞬时 力系平衡条件：
主矢： 主矩：
质点系的达朗贝尔原理：
作用在质点系上的外力与虚加在每个质点上的惯性力在形式上组成平衡力系。
达朗贝尔原理
FI mac
结论：平动刚体的惯性力系合成为一个 作用在质心的惯性力
二、刚体定轴转动
(一） 刚体有与转轴 垂直的对称面 结论：可将空 间惯性力系简 化为在对称平 面内的力系（ 相当于将刚体 压扁到对称平 面内）
l
FIjn
j
z
FIjt
z
FIin
i
FIit
ω α ω α
l
O
O
0 C α 45 A
O FIy
aC acx acy a A aCA
acx 2 2 l 2 acy 2 2 2 2
aA
aCA
a cx a cy
B
FIx macx FIy macy
l a cx a cy 2
mi ai FRi FIi mi ai FRi FIi 0
在每一个质点上加上惯性力后，此质点平衡。
显然，系统的任意部分（包括整体）也是平衡的。
O
例：质量m、长度l的均 质杆，以匀角速度ω绕z 轴转动，试求θ角。
z
θ
dFI
A mg η
ω d 2 dFI m sin l l l M zi mg 2 sin cosdFI 0 0
达朗贝尔原理
在惯性系中
ma FR
a
非惯性系中的妙招
mar FR mae mac FR FIe FIc
惯性
0 FR ma FR FI
§9-1达朗贝尔原理（动静法） 一、质点的达朗贝尔原理 牛顿定律
α C A
a cx
a cy
结论：平动刚体的惯性力系合成为一个 作用在质心的惯性力
二、刚体定轴转动
(一） 刚体有与转轴 垂直的对称面 结论：可将空 间惯性力系简 化为在对称平 面内的力系（ 相当于将刚体 压扁到对称平 面内）
l
FIjn
j
z
FIjt
z
FIin
i
FIit
ω α ω α
l
O
O
0 C α 45 A
O FIy
aC acx acy a A aCA
acx 2 2 l 2 acy 2 2 2 2
aA
aCA
a cx a cy
B
FIx macx FIy macy
l a cx a cy 2
mi ai FRi FIi mi ai FRi FIi 0
在每一个质点上加上惯性力后，此质点平衡。
显然，系统的任意部分（包括整体）也是平衡的。
O
例：质量m、长度l的均 质杆，以匀角速度ω绕z 轴转动，试求θ角。
z
θ
dFI
A mg η
ω d 2 dFI m sin l l l M zi mg 2 sin cosdFI 0 0
达朗贝尔原理
在惯性系中
ma FR
a
非惯性系中的妙招
mar FR mae mac FR FIe FIc
惯性
0 FR ma FR FI
§9-1达朗贝尔原理（动静法） 一、质点的达朗贝尔原理 牛顿定律
α C A
a cx
a cy
理论力学第十四章达朗贝尔原理(动静法)课件
动静法的物理意义
物理背景
实际应用
达朗贝尔原理反映了牛顿第二定律在 静力学中的应用，通过引入惯性力， 将动力学因素考虑到平衡问题中。
在工程实际中，达朗贝尔原理广泛应 用于分析高速旋转的机械、振动系统 以及瞬态动力学问题。
意义阐述
通过动静法，我们可以分析在某一瞬 时，运动系统由于惯性作用而产生的 力，从而更准确地描述系统的平衡条 件。
03
在应用动静法时，要确 保惯性力与主动力相平 衡，避免出现误差。
04
在求解方程时，要注意 解的物理意义和实际情 况是否相符。
04
CATALOGUE
达朗贝尔原理的应用实例
简单实例解析
总结词
通过一个简单的实例，介绍达朗 贝尔原理的基本应用。
详细描述
以一个单摆为例，运用达朗贝尔 原理分析其运动状态，通过对比 理论计算和实验结果，验证达朗 贝尔原理的正确性。
具体推导过程
在受力分析的基础上，列出系统的平 衡方程。
解出未知数，得到系统的运动状态。
将动静法应用于平衡方程，将惯性力 与主动力相平衡。具体来说，就是在 平衡方程中加入惯性力项，使得该力 与主动力相平衡。
推导过程中的注意事项
01
确定研究对象和系统时 要明确，避免出现混淆 。
02
在建立平衡方程时，要 确保所有力的方向和大 小都正确。
理论力学第十四章 达朗贝尔原理(动静 法)课件
contents
目录
• 达朗贝尔原理概述 • 达朗贝尔原理的基本概念 • 达朗贝尔原理的推导过程 • 达朗贝尔原理的应用实例 • 达朗贝尔原理的扩展与深化
01
CATALOGUE
达朗贝尔原理概述
达朗贝尔原理的定义
第14章 达朗贝尔原理(动静法)
3、刚体作定轴转动
任一质点的惯性力为：
F m a mi ri
t Ii t i i
FIin mi ain mi ri 2
机械电子工程学院 22/65
在转轴上任选一点O作为简 化中心，计算惯性力系主矩。 惯性力系对x轴的矩：
M Ix M x FIi
M x FIii M x FIin
4、刚体作平面运动 （平行于质量对称面）
M Ic J C FIR maC
有质量对称面的刚体，平行于此平面运动时，刚体的 惯性力系简化为此平面内的一个力和一个力偶。这个力通 过质心，其大小等于刚体质量与质心加速度的乘积，方向 与质心加速度的方向相反；这个力偶的矩等于刚体对过质 心且垂直于质量对称面的轴的转动惯量与角加速度的乘积， 转向与角加速度相反。
机械电子工程学院
20/65
以刚体的质心为简化中心
主矢： FIR maC
z
z
ρi
C ari ac
ai
aei
主矩：过质心C作平动 坐标系，将刚体运动分解 为平动及转动，则有
i mi aC i mi a ri
x
O x
y
y 刚体运动的惯性力
M IC i mi ai i mi aei ari
dLC d mi i aC i mi vri dt dt dLC 主矩： M IC dt
机械电子工程学院 21/65
2、刚体作平动 因为LC=0，所以MIc=0。 刚体作平动时，其惯性力系简化为通过质心的合力， 大小等于刚体的质量与加速度的乘积，方向与加速度的 方向相反。
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达朗贝尔原理(动静法)
例15-1 用达朗贝尔原理求解
已知: m 0.1kg, l 0.3m,
60
求:
v, FT .
O θ l
达朗贝尔原理(动静法)
解: 先分析小球的受力和加速度，如图
FIn
v2
m an mlsin
mg FT FI 0
Fb 0, FT cos mg 0
Fn 0, FT sin FIn 0
解得
FT
mg
cos
1.96N
v
达朗贝尔原理(动静法)
FT l sin 2
m
2.1m s
§15-2 质点系的达朗贝尔原理
Fi FNi FIi 0
i 1,2,, n
记 Fi(e) 为作用于第i个质点上外力的合力.
F (i) i
为作用于第i个质点上内力的合力.
则有
Fie
FIR
Fie
miai maC
１ 刚体平移
惯性力系向质心简化.
由
M IC
d dt
LC
0
只简化为一个力 FIR maC
2 刚体定轴转动
大小为:
Ft Ii
mi ait
mi ri
Fn Ii
mi ain
mi ri 2
MIx
M x FIi
Mx
Fi Ii
Mx
Fn Ii
性力在形式上组成平衡力系。
达朗贝尔原理(动静法)
例15-2 如图所示,定滑轮 的半径为r,质量为m均匀分
布在轮缘上,绕水平轴Ｏ转
动.垮过滑轮的无重绳的两 端挂有质量为m1和m2的重 物(m１>m2),绳与轮间不打 滑,轴承摩擦忽略不计,求 重物的加速度.
达朗贝尔原理(动静法)
r B
A
解: 以系统为研究对象，加速度和受力分析如图。
MO 0, m1g m1a m2g m2ar miar 0
由 miar mi ar mar
FI1 m1a, FI 2 m2a
FIti mir mia ,
FIin
mi
v2 r
解得 a m1 m2 g m1 m2 m
y FN
r
F1* mg
B A
a m2g
a m1g
F2*
F* mg
设合力 F *的作用线与杆 AB 的交点是 D ，并以 b 代表 D 到A 的距离，则
FAx
FAz
ξ
d
F* mg
(a)
(b)
达朗贝尔原理(动静法)
解：取杆 AB 作为研究对象。受力如图( b )。显然当θ不变时， 杆上各点只有向心加速度an ，方向都为水平并指向转轴；这 样，杆的惯性力是同向平行分布力，如图( b )所示。
沿杆 AB 取任一微小段 dξ 考虑，它的质量是mg dξ/ gl， 加速度是ω2ξsinθ。
达朗贝尔原理(动静法)
例15-3
球磨机是一种破碎机械，在鼓室中装进物料和钢球，如图所示。 当鼓室绕水平轴转动时，钢球被鼓室携带到一定高度，此后脱 离壳壁而沿抛物线轨迹落下，最后与物料碰撞以达到破碎的目 的。如已知鼓室的转速为n rpm，直径为D。设钢球与壳壁间 无滑动，试求最外层钢球的脱离角α 。
Fii FIi 0
M 0 Fie M 0 Fii
M 0 FIi 0
达朗贝尔原理(动静法)
因
Fii 0,
M0 Fii 0,
有
Fie
FIi
0
M0 Fie M0 FIi 0
质点系的达朗贝尔原理：质点系中每个质点上作用的 主动力，约束力和它的惯性力在形式上组成平衡力系. 另一表述 ：作用在质点系上的外力与虚加在每个质点上的惯
FAx
FAz
ξ
d
因而惯性力的元素是
F* mg
dF* (m d )(2 sin )
l
(a)
(b)
达朗贝尔原理(动静法)
dF* (m d )(2 sin )
l
全杆惯性力合力的大小可用积分求出
FAx
FAz
ξ
d
F* dF* l m d 2 sin
(l)
0l
m l2 sin
(1)
2
m r cos z 达朗贝尔原理(动静法)
ii
ii
(miri 2 sin i zi )
由
cos
i
xi ri
,
sin i
yi ri
有 MI x m ix iz i2 m i y iz i
记 J yz m i y iz i, Jxz m i x iz i
为对于z 轴的惯性积.
M Ix J xz J yz 2
同理 M Iy J yz J xz 2
M Iz
M F M F t z Ii
达朗贝尔原理(动静法n) z Ii
因
M z FIin 0, 有源自M Iz M z FIti miri ri
miri2
J z M IO M Ixi M Iy j Mizk
如果刚体有质量对称面且该面与转动轴垂直,简化中
α ω
达朗贝尔原理(动静法)
F* α F
ω FN
mg
解：设钢球的质量为m。钢球脱离壳壁的瞬时，
壳壁对钢球的约束力FN=0。
鼓室以匀角速度ω转动，钢球尚未脱离 壳壁时，其加速度为：
an
D 2
2,
因此惯性力的大小为
F* m D2 2
应用质点动静法
at 0
Fn 0, FN mg cos F* 0
达朗贝尔原理(动静法)
αF
ω FN
mg
求得
FN
mg(
D 2
2g
cos
)
这就是钢球在任一位置θ时所受的法向 动约束力，显然当钢球脱离壳壁时，FN=0， 由此可求出其脱离角α为
cos D2 Dπ2n2
2g 2900g
即脱离角α与鼓室转速n有关。
达朗贝尔原理(动静法)
§15-3 刚体惯性力系的简化
心取此平面与转轴的交点,则
Jxz mi xizi 0, J yz mi yi zi 0
有 M IO M Iz J z
３ 刚体作平面运动 （平行于质量对称面）
M Ic JC
F ma 达朗贝尔原理(动静法)
IR
C
例15-4 质量为 m ，长 l 的匀质细直杆 AB ，其 A 端铰接在铅直 轴 Az 上，并以匀角速度ω 绕该轴转动。求当 AB 与转轴间的 夹角θ = 常量(图 a )时ω与θ的关系，以及铰链 A 的约束力。
§15-1 惯性力·质点的达朗贝尔原理
ma F FN
F FN ma 0
令 FI ma 惯性力
有
F FN
FI
0
在任意瞬时，质点的惯性力的大 小等于质点的 质量与其加速度的 乘积，方向与加速度的方向相反，
作用在使质点获得加速度的施力
质点的达朗贝尔原理:作物用体在上。质点的主动力、
约束力和虚加的惯性在形式上组成平衡力系。