指数与对数的意义详解

指数与对数

先复习国中学过的指数概念和指数律，包括 1. 0a >, n 是正整数，n a 的意义。 2. n m n m a a a +⋅=.

3. n

n m m a a a

-=, 0n m >>. 4. 赋予01a =, 以符合3. 5. 赋予1

k k

a a -=

, k 为正整数，以符合3. 6. 更广的指数律： ()n m nm a a =. ()n n n a b ab ⋅=.

7. n 是正整数，1n

a 的意义。 例如 :

2n =时，12

a ==.

3n =时，13a =

一般正整数，1n

a =8. n 是正整数，1n

a -的意义。

例如 : 12

a

-=

13

a

-

=

师(T) : 今天我们要上指数函数，在读指数之前，同学们可能听过马尔蕯斯(1766~1834)主张的人口学原理，他认为人口是以等比数列的方式增加的。

比方说，一年以后人口变成2倍，二年以后人口变成4倍，三年以后人口

变成8倍。

生(S) : 这不太可能吧！像台湾，就以2300万人口来说好了。一年后变成2倍就是4600万，二年后变成4倍就是9200万，三年后变成8倍就是18400

万。3年后有几乎2亿的人口，可能吗？

T : 这里说的变成2倍、4倍、8倍，只是强调人口的增加是一个等比数列的形式，倒没有说一定是一年变成2倍，这里要说的是在某一个时段(例如: 10年) 变成2倍，再过一个时段(10年) 又从2倍变成4倍。也就是说三个时段(30年) 之后，就会变成8倍。当然就历史来看人口的变化，马尔蕯斯的论点是不对的。不过我们不妨假想有某一种以等比数列的方式繁殖的细菌，这种细菌繁殖力超强，每一小时的“细菌口”会变成2倍。因此3小时后，就会变成8倍。

S : 那，半小时以后，会变成几倍呢?

T : 这个问题很好，如果我先告诉你的是: 细菌数在3小时以后会变成8倍，那么你觉得1小时以后会变成几倍呢?

S : 当然是2倍！

T : 对，如果用指数来表示，是不是说328

=, 或是说，人家问你: 38

x=, x是多少? 你的回答是2

x=. 是不是这样？

S : 了解！如果把半小时后细菌数目的倍数设成x, 那么因为已知1小时之后，细菌数会变成2倍，而1小时代表两个半小时的时段，所以22

x=. 这样想，

对吗？那x, 倍。

T : 没错，我们可以将半小时设为一个时段，而经过这一个时段，细菌数增加为

倍，因此一小时之后，也就是两个时段之后，2

=倍。如此说来，3小时以后，用刚才半小时的时段来看，会变成几倍呢？

S : 让我想想，三小时相当于6个半小时，因此细菌数应该变成6相乘，

2228

=⋅⋅=，三小时以后仍然变成8倍。

T : 我们应该记成

1

663

2

(2)28 ===。

S : 所以无论是想成1小时后变成2倍，倍，3小时后都是变成8倍。前者是计算三个时段，每一个时段2倍，328

=; 后者是计算6

倍，68=。

T : 那我再问你 : 如果一小时变成2倍，那么20分钟，也就是1

3小时，应该变

成几倍呢 ？

S : 1小时是3个20分钟，如果经过20分钟，细菌数变成x 倍，就代表1小时后变成32x =倍。解x , 1/32x =。

T : ，近似值是1.414。请问，1/3

2的近似值是多少 ？

S : 1/32当然比1/22小，我觉得1/32至少大于1.2, 因为3(1.2) 1.728=, 不足2, 而

3(1.3) 2.197=, 超过2。所以1/32应该介于1.2和1.3之间，亦即

1/31.22 1.3<<.

T : 如果把15分钟看成一个时段，细菌数又应该变成几倍呢？

S : 1小时是4个15分钟，如果每15分钟，细菌数变成x 倍，4个15分钟后，细菌数应该变成4x 倍，方程式是

42x =,

亦即

1/42x =.

T : 你能估计1/42吗 ？

S : 1/2

2

1.414=≈, 12

1/2

4(2)2=, 142是12

2的平方根，所以我相当确定

1

4

1.12 1.2<<, 因为2(1.1) 1.21=, 而2(1.2) 1.44=. 后者大于

.

T : 你看，121.42<, 131.32 1.2>>, 14

2 1.2<，从这里也可以看出

1110342

21222=<<<. 时段越短，倍数越小，但是都大于1.

S : 老师，如果继续下去，比方说，如果分别把10分钟、5分钟、2分钟、1分钟各看成一个时段，那每个时段细菌数的增长倍数是几倍？

比方说，以1分钟为一个增长时段来看，如果细菌数增长为x 倍，则因一小时是60分钟，所以602x =，亦即1/602x =。在上面的表中，你可以发现最右边这一行增长倍数之间的关系。你可以用任何时段作基准，例如你如果用5分钟作基准，并且假设每经过5分钟，细菌数变成u 倍，则10分钟之后会变成2

u 倍，而1分钟之后会变成15

u 倍。上面这个表是以60分钟或1小时为基准作的。因此，如果左边的时数以小时为单位计是h 小时的话，最右边这一行的增长倍数就是2h ，读作2的h 次方，h 可以是2, 3也可以是1/2, 1/3。h 甚至可以是负数或0. h 如果是0, 就代表开始的那一刻，细菌数是1倍，亦即

0221h ==.