鲁棒性

1鲁棒性的基本概念“鲁棒”是一个音译词，其英文为robust ，意思是“强壮的”、“健壮的”。

在控制理论中，鲁棒性表示当一个控制系统中的参数或外部环境发生变化（摄动）时，系统能否保持正常工作的一种特性或属性。

鲁棒概念可以描述为：假定对象的数学模型属于一集合，考察反馈系统的某些特性，如内部稳定性，给定一控制器Ｋ，如果集合中的每一个对象都能保持这种特性成立，则称该控制器对此特性是鲁棒的。

因此谈及鲁棒性必有一个控制器、一个对象的集合和某些系统特性。

由于一个具有良好鲁棒性的控制系统能够保证，当控制参数发生变化（或在一定范围内发生了变化）时系统仍能具有良好的控制性能。

因此，我们在设计控制器时就要考虑使得控制系统具有好的鲁棒性，即设计具有鲁棒性的控制器——鲁棒控制器。

所以，鲁棒控制就是设计这样一种控制器，它能保证控制对象在自身参数或外部环境在某种范围内发生变化时，仍能正常工作。

这种控制器的特点是当上述变化发生时，控制器自身的结构和参数都不改变。

2 鲁棒控制系统我们总是假设已经知道了受控对象的模型，但由于在实际问题中，系统特性或参数的变化常常是不可避免的，在实际中存在种种不确定因素，如： 1）参数变化；2）未建模动态特性； 3）平衡点的变化； 4）传感器噪声；5）不可预测的干扰输入； 等等。

产生变化的原因主要有两个方面，一个是由于测量的不精确使特性或参数的实际值偏离它的设计值；另一个是系统运行过程中受环境因素的影响而引起特性或参数的缓慢变化。

因此，如何使所设计的控制系统在系统参数发生摄动的情况下，仍具有期望的性能便成为控制理论中的一个重要研究课题。

所以我们所建立的对象模型只能是实际物理系统的不精确的表示。

鲁棒系统设计的目标就是要在模型不精确和存在其他变化因素的条件下，使系统仍能保持预期的性能。

如果模型的变化和模型的不精确不影响系统的稳定性和其它动态性能，这样的系统我们称它为鲁棒控制系统。

2.1系统的不确定性 2.1.1参数不确定性 如二阶系统：()[]+-∈++=a a a as s s G ,,112可以代表带阻尼的弹簧装置，RLC 电路等。

这种不确定性通常不会改变系统的结构和阶次。

2.2.2动态不确定性也称未建模动态 ，我们通常并不知道它的结构、阶次，但可以通过频响实验测出其幅值界限：()()jw W jw D ≥，R w ∈，()jw W 为确定函数加性不确定性：乘性不确定性： 鲁棒控制理论是分析和处理具有不确定性系统的控制理论，包括两大类问题：鲁棒性分析及鲁棒性综合问题。

鲁棒性分析是根据给定的标称系统和不确定性集合，找出保证系统鲁棒性所需的条件；而鲁棒性综合（鲁棒控制器设计问题）就是根据给定的标称模型和不确定性集合，基于鲁棒性分析得到的结果来设计一个控制器，使得闭环系统满足期望的性能要求。

3鲁棒控制理论3.1 Kharitonov 定理对于具有不确定参数的系统 假设系统的特征多项式为其系数满足+-≤≤i i i a a a ，i=0,1,2,···n我们称(1)为区间多项式，为了判定系统的稳定性，应该研究所有可能的参数组合，这是个无穷检验问题。

前苏联数学家 Kharitonov 于1978年给出了关于判断区间多项式族鲁棒稳定性的四多项式定理，为研究参数不确定系统的鲁棒性分析奠定了基础。

Kharitonov 定理：(1)中的每一个多项式均稳定当且仅当下面的四个多项式稳定注：定理中的四个多项式通常被称作Kharitonov 顶点多项式。

Kharitonov 定理的意义在于它将区间多项式中无穷多个多项式的稳定性与四个定点的稳定性等价起来，将无穷检验变为有限检验（顶点检验）。

3.2 H ∞控制理论3.2.1 H ∞控制理论提出的背景现代控制理论的许多成果在理论上很漂亮，但实际应用并不成功。

主要原因是忽略了对象的不确定性，并对系统所存在的干扰信号作了苛刻的要求。

加拿大学者Zames 在1981年提出了著名的H ∞控制思想，考虑如下一个单输入单输出系统的设计问题：对于属于一个有限能量的干扰信号，设计一个控制器使得闭环系统稳定且干扰对系统期望输出影响最小。

由于传递函数的H ∞范数可描述有限输入能量到输出能量的最大增益，所以用表示上述影响的传递函数的H ∞范数作为目标函数对系统进行优化设计，就可使具有有限功率谱的干扰对系统期望输出的影响最小。

()s D 0(,)()()G s G s s D =+D 0(,)(())()G s I s G s D =+D 23451012345234520123452345301234523454012345()()()()P s a a s a s a s a s a s P s a a s a s a s a s a s P s a a s a s a s a s a s P s a a s a s a s a s a s ++--++-++--++--++---++--=++++++=++++++=++++++=++++++L L LL 1110() (1)n n n n f s a s a s a s a --=++++L3.2.2 H ∞控制 对于反馈系统其中K(s)为控制器，w 为干扰信号，r 为参考输入，u 为控制输入，e 为控制误差信号，y 为输出信号。

系统的开环和闭环频率特性为如果P(s)具有误差，那么相应地开环和闭环频率特性也具有误差 其中分别为开环和闭环频率特性的标称函数，简单的推导可得而传递函数体现了开环特性的相对偏差到闭环频率特性 的增益，因此，如果我们在设计控制器K 时，能够使S 的增益足够小，即那么闭环特性的偏差将会抑制在工程允许的范围内。

传递函数S(s)称为系统的灵敏度函数。

实际上S(s)还等于干扰w 到输出的闭环传递函数，因此减小S(s)的增益就等价于减小干扰对控制误差的影响。

引入定义()()[]jw S s s S Rw ∈∞=sup其中 表示最大奇异值，即()()()()(), 1()()K B P j K j G j P j K j G P j K j w w w w w w w ==+0()()()P s P s P s =+D 00()()()()()()K K K B B B G j G j G j G j G j G j w w w w w w D =-D =-00000()()()()(), 1()()K B P j K j G j P j K j G P j K j w w w w w w w ==+0()()1 =()1()()()B K B K G j G j G j P j K j G j w w w w w w D D +01() =1()()S s P s K s +K K G G D B B G D () <,S j w e e 为充分小正数(.)s 1*2max (){()},A A A s l =*maxA A l 为的共轭转置阵，为最大特征值。

H ∞控制问题即为对于给定的ε> 0，设计控制器K 使得闭环系统稳定且满足()∞s S <eH ∞理论中考虑干扰信号是不确定的，而是属于一个可描述集()(){}0022<=⎰∞dt t w t w LL2中包含的是能量有限的信号。

考虑抑制干扰w ∈L2对系统性能的影响，为此引入表示干扰抑制水准的标量γ，求控制器K 使得满足z 为输出信号。

定义 其中Tzw(s)为由w 至z 的闭环传递函数，则(1)等价于求使γ最小的控制器K 就是H ∞最优设计问题。

3.2.3传递函数的H ∞范数 对于系统的传递函数G (s),若其在右半平面无极点，定义下面的范数为H ∞范数其中：4控制系统的鲁棒控制设计控制系统的稳定性分析在设计反馈补偿矩阵时起着十分重要的作用。

传统的设计方法是基于SISO 系统的频率域描述，旨在减小灵敏度并提高稳定裕度。

使用幅值／相位裕度实际上是从频率响应数据的角度对这种处理方法进行了标准的定量描述。

从传统的设计方法的经验可知，由于非结构模型不确定性所造成的相位误差在系统的性能指标和稳定裕度中起着十分重要的作用，特别是相位误差对与系统性能有本质关联的增益和带宽会带来限制条件。

对于 MIMO 系统的设计问题，不存在这样一个简单的稳定裕度的概念来衡量由模型的相位误差所引起的稳定性的变化。

对于MIMO 系统的实际设计方法是着重于通过使用特殊矩阵范数将增益裕度的概念自然推广到多环情况。

相对于标准系统模型G (s)，模型不确定性有两种描述方法，一种参考绝对误差的概念，即前面所讲的附加摄动()()()a G s G s s ?D ；另一种是参考相对误差的概念，即相乘摄动()()()()m G s I s G s ?D 。

模型误差通过一个适当范数的有界函数来描述：()()()()22a a m m j I j j I j w w w w D ?D ?这种模型误差的量测方法是很粗糙的，它将模型不确定性限定为多环系统增益的一种保守性量测。

在相对于不确定性模型来设计系统和分析闭环系统稳定性时，我们所关心的是反馈矩阵在什么条件下能满足上述约束条件的所有可能的系统都稳定。

考虑下面相对于非结构模型不确定性的设计方法。

设如下图所示反馈系统，该系统的标称模型为G (s)，稳定控制器为K (s)，则闭环系统是稳定的，222222, (1)z w w L g <"?202()sup zw w z T j w w ¥¹=2222()sup ,1()2Gu G s u u u j d w w p¥¥-?==ò()sup [()]R G s G j w s w ¥Î=其传递函数为()()()()1H s G s I GK s -=+反馈系统如果我们所设计的闭环系统具有一定的鲁棒性，那么K （s ）同样可以稳定()()()m I s G s +D 。

系统鲁棒稳定的充分条件是：（1）()m s D是稳定的传递函数； （2）()()m 21,0I 1m K G j I w w w ＃?对于，〉。

现在假设系统干扰具有如下形式： ()()()()-1s =L s s r s f D通过应用小增益原理可获得相对于选定的不确定性模型所产生的各种鲁棒闭环稳定的充分条件。

典型的模型不确定性及相应的频率相关充分条件如表１所列。

在实际设计过程中，可能会将各种模型不确定性综合起来，并且在某些环节中模型不确定性会起主导作用。

对于这种形式的结构不确定性，Doyle 进行了研究。

他指出，系统模型不确定性可表达为更一般的形式：将模型不确定性独立出来成为附加外部反馈环，如下图所示：这样，模型不确定性就可视为从特定误差输出ｅ到特定干扰输入ｗ的寄生反馈矩阵。