《鲁棒控制》-8-参数摄动系统鲁棒性分析
控制系统鲁棒控制
控制系统鲁棒控制鲁棒控制是一种在控制系统中应用的重要技术，旨在实现对误差、干扰和不确定性的抵抗能力。
该技术的核心思想是通过设计控制器，以使系统对于各种不确定因素的影响具有一定的容忍性，从而保证系统的性能和稳定性。
本文将介绍控制系统鲁棒控制的概念、应用、设计方法以及鲁棒性分析等内容。
一、概述控制系统鲁棒控制是指在设计控制器时考虑到系统参数的不确定性、外界干扰以及测量误差等因素，以保证系统的稳定性和性能。
鲁棒控制的目标是使系统对于这些不确定因素具有一定的容忍性，从而实现了对不稳定因素的抵抗，提高了系统的可靠性和性能。
二、鲁棒控制的应用鲁棒控制广泛应用于各个领域，例如飞行器、机器人、汽车等。
在这些领域中，系统的参数往往难以准确获取，外界环境也存在不确定性因素，因此采用鲁棒控制可以提高系统的稳定性和性能。
三、鲁棒控制的设计方法鲁棒控制的设计方法有很多种，其中比较常用的是H∞控制和μ合成控制。
1. H∞控制H∞控制是一种常用的鲁棒控制设计方法，其主要基于H∞优化理论。
通过给定性能权重函数，设计一个状态反馈控制器，使系统的传递函数具有一定的鲁棒稳定性和性能。
2. μ合成控制μ合成控制是一种另类的鲁棒控制设计方法，其基于多项式算法和复杂函数理论。
通过对系统的不确定因素进行建模，并对控制器进行优化设计，实现对系统的鲁棒性能的最优化。
四、鲁棒性分析在控制系统中，鲁棒性分析是非常重要的一步，可以评估控制系统对于不确定性和干扰的容忍程度。
常用的鲁棒性分析方法有小增益辨识、相合性和鲁棒稳定裕度等。
1. 小增益辨识小增益辨识是通过对系统的稳定性和性能进行评估，以确定系统参数的变化范围。
通过小增益辨识可以分析系统对于参数变化的容忍能力，从而指导控制器的设计。
2. 相合性相合性是通过分析系统的输入和输出关系，以确定系统的稳定性和性能。
在鲁棒性分析中，相合性是评估系统对于不确定因素的鲁棒性能的一种重要指标。
3. 鲁棒稳定裕度鲁棒稳定裕度是指系统在设计的控制器下的稳定性边界。
控制系统的鲁棒性分析与优化
控制系统的鲁棒性分析与优化为什么要关注控制系统的鲁棒性？控制系统的鲁棒性是指系统对于各种不确定性因素的响应能力，例如参数变化、噪声干扰、外部扰动等。
在实际工程应用中，不可避免地存在各种不确定性因素，因此控制系统的鲁棒性成为了一个至关重要的问题。
一个具备良好鲁棒性的控制系统可以更加稳定、精准地执行控制任务，避免系统失控或产生较大的误差，保证了安全稳定的工程运行。
常见的鲁棒性分析与控制方法鲁棒性分析主要是通过数学模型对系统的不确定性因素进行建模和分析，从而确定系统的稳定性、稳定域和敏感度等指标。
常见的鲁棒性分析方法包括Bode图法、根轨迹法、小波分析法等。
这些方法主要是通过对系统的传递函数进行分析，得出系统的稳定性和鲁棒性大小等指标，从而指导系统的控制方法选择和优化。
控制方法主要包括模型预测控制、自适应控制、滑模控制等。
这些方法是通过对控制器的设计和调整来实现对系统鲁棒性的优化和抑制不确定性的影响。
以滑模控制为例，滑模控制是一种适用于非线性、多变量、复杂和不确定的系统的控制方法，它通过建立“滑域”来实现对系统的控制。
滑模控制可以根据系统的鲁棒性要求，灵活调节控制参数、扰动抑制参数等，从而实现对系统的鲁棒性优化。
如何优化控制系统的鲁棒性？优化控制系统的鲁棒性需要针对不同系统情况和鲁棒性要求进行分析和选择适合的方法。
一般而言，可以从以下几个方面进行优化：1. 建立系统模型：在进行鲁棒性分析和控制优化之前，首先需要建立系统的数学模型。
建立准确的系统模型可以更好地反映实际系统的动态特性和不确定性因素，为鲁棒性分析提供重要的依据。
2. 分析系统的稳定性和鲁棒性：通过Bode图、根轨迹等方法，分析系统的稳定性和鲁棒性情况，评估系统对不确定性因素的响应能力并找出系统弱点。
3. 选择合适的控制方法：根据系统的鲁棒性要求和分析结果，选择合适的控制方法进行鲁棒性优化。
例如，在需要对非线性等复杂系统进行鲁棒性优化时，可采用非线性控制方法或者滑模控制等方法。
机器人的误差鲁棒性分析与控制
机器人的误差鲁棒性分析与控制一直是机器人研究中的一个重要领域。
随着机器人技术的不断发展，人们对机器人系统的性能要求也越来越高。
在实际应用中，机器人系统可能会遇到各种干扰和噪声，这会导致机器人系统产生误差。
因此，研究机器人的误差鲁棒性分析与控制对于提高机器人系统的稳定性和鲁棒性具有重要意义。
机器人的误差主要包括建模误差、环境干扰和参数摄动等。
建模误差是由于对机器人系统进行建模时所做的近似和简化导致的误差。
环境干扰是由于外部环境的变化或不确定性引起的误差。
参数摄动是由于机器人系统参数的不确定性或变化导致的误差。
这些误差会对机器人系统的性能产生不利影响，因此需要进行误差鲁棒性分析与控制。
误差鲁棒性分析是指通过对机器人系统进行建模和分析，确定系统受到误差影响时的响应特性。
在误差鲁棒性分析中，一般会考虑系统的稳定性、收敛性、抗干扰能力和鲁棒性等性能指标。
通过对机器人系统误差的分析，可以评估系统对误差的敏感性，从而确定系统的误差鲁棒性。
误差鲁棒性控制是指通过设计合适的控制策略和算法，降低机器人系统对误差的敏感性，提高系统的鲁棒性和稳定性。
常用的误差鲁棒性控制方法包括鲁棒控制、自适应控制、滑模控制和神经网络控制等。
这些控制方法可以有效地抑制系统误差，提高系统对干扰和摄动的抵抗能力。
在机器人的误差鲁棒性分析与控制中，建模是一个极为关键的环节。
准确的模型可以帮助我们更好地理解系统的特性，设计更有效的控制策略。
建模误差和参数摄动是误差鲁棒性分析的主要难点之一。
如何准确地建立系统模型，如何有效地估计参数摄动，是需要认真研究和解决的问题。
另外，环境干扰也是机器人系统误差的重要来源。
环境干扰可能包括风力、摩擦力、重力等外部因素对机器人系统的影响。
针对不同类型的环境干扰，我们需要设计相应的控制策略来降低系统误差。
例如，可以采用自适应控制算法来对抗环境干扰，提高系统的鲁棒性。
在实际应用中，机器人系统常常需要在复杂和多变的环境下进行操作。
控制系统中的鲁棒性与鲁棒优化控制
控制系统中的鲁棒性与鲁棒优化控制一、引言鲁棒性与鲁棒优化控制在控制系统中起着重要的作用。
鲁棒性是指控制系统对于外部扰动和系统参数变化的稳定性。
鲁棒优化控制是在保持鲁棒性的前提下，通过调整控制器参数实现最优控制。
本文将从鲁棒性的定义与评估、鲁棒控制设计基础、鲁棒优化控制等方面进行探讨。
二、鲁棒性的定义与评估在控制系统中，外部扰动和系统参数变化是难以避免的。
因此，控制系统的鲁棒性成为了一个关键的性能指标。
鲁棒性的定义是指控制系统在外部扰动和系统参数变化的条件下仍然能够保持稳定的能力。
评估鲁棒性通常可以通过鲁棒稳定边界来实现。
鲁棒稳定边界是指控制系统在外部扰动和系统参数变化的范围内仍然能够保持稳定的区域。
三、鲁棒控制设计基础为了提高控制系统的鲁棒性，可以采用鲁棒控制设计基础方法。
鲁棒控制设计基础方法包括鲁棒稳定性分析和鲁棒控制器设计两个主要步骤。
1.鲁棒稳定性分析鲁棒稳定性分析是控制系统鲁棒性设计的第一步。
它通过分析系统的传递函数，确定系统存在哪些参数的变化和外部扰动的范围是导致系统不稳定的原因。
常用的鲁棒稳定性分析方法有小增益鲁棒分析、大增益鲁棒分析等。
2.鲁棒控制器设计鲁棒控制器设计是控制系统鲁棒性设计的关键步骤。
通过选取合适的鲁棒控制器结构和调整控制器参数，可以实现对系统的鲁棒性能的改善。
常用的鲁棒控制器设计方法有H∞控制、μ合成控制等。
四、鲁棒优化控制鲁棒优化控制是在保持系统鲁棒性的前提下，通过调整控制器参数实现最优控制性能的方法。
在实际控制系统中，鲁棒优化控制能够有效地提高系统的鲁棒性和控制性能。
1.鲁棒优化控制基本原理鲁棒优化控制的基本原理是在目标函数中同时考虑系统控制性能和鲁棒性能，并通过调整控制器参数来实现最优化。
常用的鲁棒优化控制方法有线性二次调节器（LQR）和H∞最优控制。
2.鲁棒优化控制实践实际应用中，鲁棒优化控制可以通过离线和在线两种方式实现。
离线方式包括离线参数调整和离线优化方法，通过对控制系统的模型进行分析和优化来获取最优的控制器参数。
控制系统中的鲁棒性分析与设计
控制系统中的鲁棒性分析与设计在控制系统中，鲁棒性是指控制系统对于参数变化、外部干扰、测量噪声等不确定性因素的稳定性和性能表现。
鲁棒性分析与设计主要目的是提高控制系统的稳定性、鲁棒性和性能，以适应实际工程环境中的不确定性。
1. 鲁棒性分析鲁棒性分析是控制系统设计的重要环节。
它可以帮助工程师评估以及量化控制系统对于参数变化、干扰和噪声的容忍程度。
以下是一些常用的鲁棒性分析方法：1.1 系统感度函数分析系统感度函数是用来描述控制系统输出对于参数变化的敏感程度。
通过分析系统感度函数，可以确定系统的脆弱性和稳定性。
系统感度函数分析常用于评估系统的稳定性边界、参数不确定性边界和鲁棒性边界。
1.2 线性矩阵不等式(LMI)方法线性矩阵不等式方法是一种基于数学理论的鲁棒性分析方法。
它通过建立一系列矩阵不等式，来刻画控制系统的稳定性和性能。
LMI方法在控制系统设计中被广泛应用，它不仅可以评估系统的鲁棒性，还可以用于设计鲁棒控制器。
1.3 干扰分析干扰是控制系统中常见的不确定因素，对系统的性能和稳定性产生重要影响。
干扰分析可以帮助工程师了解系统对于不同干扰的响应，并根据需要采取相应的措施来改进系统鲁棒性。
常用的干扰分析方法包括频域分析、时域分析和能量分析等。
2. 鲁棒性设计鲁棒性设计旨在采取控制策略和控制器结构，使得控制系统对于不确定性因素具有较好的稳定性和性能。
以下是一些常见的鲁棒性设计方法：2.1 鲁棒控制器设计鲁棒控制器设计是指根据鲁棒性需求，设计出满足控制系统鲁棒性要求的控制器。
常用的鲁棒控制器设计方法包括H∞控制、μ合成、鲁棒PID控制等。
这些方法都是基于数学理论，可用于设计满足鲁棒性和性能要求的控制器。
2.2 鲁棒优化设计鲁棒优化设计是指结合鲁棒控制与优化方法，兼顾控制系统的稳定性和性能。
通过优化设计，可以在满足鲁棒性要求的前提下，使系统的性能指标达到最优。
鲁棒优化设计方法包括H∞优化、线性二次调节器和状态反馈等。
控制系统的鲁棒性分析
控制系统的鲁棒性分析
鲁棒性分析是控制系统设计中的重要步骤，在系统设计过程中
起到了至关重要的作用。
本文将介绍控制系统的鲁棒性分析的定义、目的、方法和应用。
1. 定义
控制系统的鲁棒性是指系统对于不确定性、干扰和参数变化的
容忍程度。
即使面对这些外部因素的变化，系统仍能保持稳定的性
能和可靠的控制。
2. 目的
鲁棒性分析的目的是评估控制系统设计在不确定性和干扰下的
性能表现。
通过鲁棒性分析，可以确定系统设计的合理性，并对系
统进行进一步的优化和改进。
3. 方法
控制系统的鲁棒性分析可以采用以下几种方法：
- 系统优化：通过系统参数的调整和优化，提高系统的鲁棒性
能力。
- 稳定性分析：通过对系统的稳定性进行分析，评估系统在不
确定性因素下的性能表现。
- 敏感性分析：通过对系统输入和参数的敏感性分析，评估系
统对不确定性的容忍程度。
- 频域分析：通过频域分析方法，评估系统的频率响应和抗干
扰能力。
4. 应用
控制系统的鲁棒性分析广泛应用于各个领域，包括工业自动化、航空航天、机器人控制等。
通过鲁棒性分析，可以为控制系统的设
计和优化提供有效的指导和支持。
结论
在控制系统设计中，鲁棒性分析是不可或缺的一环，它可以帮
助评估系统的性能和可靠性，并为系统的优化和改进提供有效的方
法和策略。
掌握鲁棒性分析的方法和技巧对于控制系统设计的成功
非常重要。
以上是对控制系统的鲁棒性分析的简要介绍，希望对您有所帮助。
控制理论中的系统鲁棒性分析
控制理论中的系统鲁棒性分析控制理论是研究系统如何稳定的一门学科。
系统的鲁棒性则是指在外部环境变化或内部参数变化的情况下，系统仍能保持稳定并满足要求的能力。
因此，系统的鲁棒性分析是控制理论必不可少的一部分。
控制系统的建模和分析是控制理论的核心内容。
对于一个系统的鲁棒性分析，首先需要建立系统的数学模型并分析其稳定性，然后考虑系统的可控性和可观测性，并进一步分析系统的稳健性问题。
例如，一个飞机的自动控制系统，其鲁棒性分析的目标是保证飞机在各种外部干扰和内部参数变化情况下，仍然能够保持平衡和稳定飞行。
在建立数学模型时，需要考虑飞机的动力学和控制变量，将其表示为一个动态系统，并通过分析系统的极点位置来判断系统的稳定性。
接着，需要考虑系统的可控性和可观测性，通过选择合适的控制输入和观测输出变量来保证系统能被控制和观测。
最后，需要分析系统的稳健性，即在外部干扰和内部参数变化时，系统的稳定性是否受到影响。
在这个例子中，外部干扰可以包括气流和风力，内部参数变化可以包括机舱内人员和货物的变化。
对于非线性系统的鲁棒性分析，由于非线性系统的行为很难用解析方法来分析，因此需要采用数值模拟的方法。
例如，通过将非线性系统的状态空间划分为多个区域，可以用线性化方法来分析每个区域的系统行为，并确定系统的鲁棒性。
控制理论中的系统鲁棒性分析在工业生产和现代科技中具有广泛应用。
例如，在半导体芯片生产过程中，功率电路的控制系统需要对外部干扰和内部参数变化进行稳健性分析，以确保芯片可以在各种环境下稳定工作。
在医学工程中，一些设备需要对人体的生理变化进行鲁棒性分析，以确保设备在各种情况下都能准确地测量和监测生理信号。
总之，控制理论中的系统鲁棒性分析是一门重要的技术，它可以确保控制系统在各种外部环境和内部因素的变化下仍能保持稳定性和准确性。
这一技术在现代工业生产和科技中应用广泛，为人类的发展和进步做出了不可替代的贡献。
动力学控制系统中的鲁棒性研究
动力学控制系统中的鲁棒性研究1. 引言动力学控制系统广泛应用于机器人、飞机、汽车等自动化系统中。
这类系统具有参数变化和扰动等不确定性，对系统的控制产生了挑战。
因此，在动力学控制系统中鲁棒性研究是一个重要的研究领域。
本文将介绍动力学控制系统中的鲁棒性研究。
2. 动力学控制系统动力学控制系统是由动力学方程描述的系统，其基本形式为：$$\dot{x} = f(x,u)$$其中，$x$表示系统状态变量，$u$表示控制输入，$f(x,u)$表示状态变化率。
动力学控制系统具有高度的非线性性和复杂性，例如：机器人、汽车、飞行器等。
3. 鲁棒性概述鲁棒性是指系统对于未知扰动和参数变化具有稳定性和可控性。
鲁棒性的研究是一个重要的和实用的工程问题。
在动力学控制系统中，鲁棒性是在模型不确定性下对系统进行控制的能力。
4. 鲁棒控制方法4.1 鲁棒控制定义鲁棒控制是一种保持系统稳定和满足性能要求的控制方法，即使在不确定和随机环境下也能确保系统的可控性和可观性。
4.2 鲁棒控制常见方法(1) $H_\infty$ 控制：是一种常用的鲁棒控制方法，可处理具有有限频率和无限频率不确定性的系统。
(2) $μ$ 合成控制：该方法将控制器设计与系统不确定性和性能要求明确联系起来，使得控制器能够提供所需要的鲁棒性和性能。
(3) 自适应鲁棒控制：是一种能够应对不确定性的变化来保持系统稳定的控制方法。
5. 鲁棒控制在动力学控制系统中的应用动力学控制系统是复杂的、非线性的，具有较大的不确定性和非线性因素。
在该系统中，鲁棒控制方法是一种重要的研究方向。
5.1 $H_\infty$ 鲁棒控制在动力学控制系统中的应用$H_\infty$ 鲁棒控制方法广泛应用于动力学控制系统中，其目的在于设计一个控制器，使得系统的输出稳定，且被控制器产生的鲁棒性最大化。
5.2 自适应鲁棒控制在动力学控制系统中的应用自适应鲁棒控制是另一种在动力学控制系统中广泛应用的方法。
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问题：如何检验 Δ (s, H) 的鲁棒稳定性？
猜测： （1） 扩展为区间多项式族，应用 Kharitonov 定理? （2） 判断所有顶点多项式的稳定性?
例：考虑下图所示系统的鲁棒稳定性。
Nc (s)
Dc (s)
K
其中
Nc (s) =1+ s − s2 Dc ( s) = 1+ 2s + 4s2 + s3 k ∈[1,3] = K
Δ (s, K ) = Dc (s) + KNc (s) = conv (Δ (s, 0.1), Δ (s,1))
Δ ( s, 0.1) = 10s3 + s2 + 6s + 0.57 Δ ( s,1) = 10s3 +1.9s2 + 7.8s +1.47
Δ (s, 0.1) ——稳定 Δ (s,1) ——稳定 Δ (s, 0.5) ——不稳定
●
K1 ( jω )
●
K4 ( jω )
Re
注意：此平行四边形的边永远平行于实轴或 jω 轴。
因已假设 Ki ( s) （ i = 1, 2,3, 4 ）稳定，由排零原理知，如果： 0 ∉P ( jω,Q)
则P (s,Q) 鲁棒稳定。
现反设：存在某ω0 ∈ R ，
0 ∈ P ( jω0,Q) 因 Ki (s) （ i = 1, 2,3, 4 ）均是稳定的，由 Mikhainov 引理知，随着 ω : 0 → ∞ ，
则 Δ (s, K ) = (1+ K ) + (2 + K ) s + (4 − K ) s2 + s3 扩展为区间多项式族：
Δ (s,Q) = [2, 4] + [3,5] s + [1,3] s2 + s3
其中 4 + 3s + s2 + s3 ——不稳定。
但对应于 Δ (s, K ) 的 Routh 表为：
(
s
)
=
K
∏
i =1
(
s
−
zi
)
,
K∈R,源自Rezi<0,
则
n
arg P ( jω ) = arg K + ∑ arg ( jω − zi ) i =1
● Pathwise 连通：集合 X ∈ Rn 称为 Pathwise 连通， if 对 ∀x0x1 ∈ X ， ∃ 连续函
数φ :[0,1] → X, s.t. φ (0) = x0,φ (1) = x1
1
2+K
1
4−K 1+K
[1, 3]
7 + K − K2 0 ⇒ [1, 7] > 0
1+ K
[2, 4]
∴ Δ (s, K ) 鲁棒稳定。
• 扩展为区间多项式族 + Kharitonov 定理 ⇓
保守，仅能作为充分条件
Δ (s,K ) = conv(Δ (s,1), Δ (s,3))
( ) = conv 2 + 3s + 3s2 + s3, 4 + 5s + s2 + s3
证：（1）必要性显然，因 Ki (s) ∈P (s,Q) ， i = 1, 2,3, 4 。
（2）充分性：
设ω ≥ 0 ，则
max q∈Q
Re
P
(
jω,
q)
=
q0
−
q2ω 2
+
q4ω 4
−
q6ω 6
+
= Re K3 ( jω ) = Re K4 ( jω )
max q∈Q
Im
P
(
jω ,
q)
=
q1ω
p0T
⎞ ⎟ ⎟
h
+
⎛ ⎜ ⎜
a00
⎞ ⎟ ⎟
=
Ph
+
a0
⎜⎝ an (h) ⎟⎠ ⎜⎝ pnT ⎟⎠ ⎜⎝ an0 ⎟⎠
∴ a :h → a(h)
H → a(H)
立方体 ⇒ 凸多面体
(box )
(convexpolytope)
●凸组合：
∑ ∑ conv(ti ,i = 1,
), k
=
⎧ ⎨ ⎩
k i =1
∴P ( jω,Q) = conv ( K1 ( jω ), K2 ( jω ), K3 ( jω ), K4 ( jω ))
= Rectangle( Ki ( jω ),i = 1, 2, 4)
《鲁棒控制》课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生
Im K2 ( jω ) ●
K3 ( jω ) ●
P ( jω,Q)
K1 ( s) = 11+ 9s + 8s2 + 6s3 + 3s4 + s5 K2 ( s) = 11+10s + 8s2 + 5s3 + 3s4 + 2s5 K3 ( s) = 12 +10s + 7s2 + 5s3 + 4s4 + 2s5 K4 ( s) = 12 + 9s + 7s2 + 6s3 + 4s4 + s5
λiti
,
k i =1
λi
= 1,
1 ≥ λi
≥
0⎫⎬ ⎭
( ) 设 Η 的顶点为 Hi i = 1, 2, , 2L ，则
( ) Η = conv Hi ,i = 1, 2, , 2L
《鲁棒控制》课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生
a (H) = conv (a ( Hi ),i = 1, 2, ) , 2L ( ) Δ (s, H) = conv Δ (s, Hi ),i = 1, 2, , 2L
= (s + 1) ⎡⎣s2 + h2s + h3 ⎤⎦ + 2( s + h1 )
= s3 + (1 + h2 )s2 + (2 + h2 + h3 )s + 2h1 + h3
例：考虑
C
(s)
=
Nc Dc
(s) (s)
=
2 s+1
G
(
s,
H
)
=
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
f g
( s, ( s,
h) h)
h
∈
H
⎫⎪ ⎬ ⎪⎭
=
⎪⎧ ⎨ ⎩⎪
s2
s + 3h1 + 5h2
+ (2 + h1 + 4h2 ) s + 2h2
h ∈ H⎪⎬⎫ ⎭⎪
则闭环系统特征多项式为：
Δ (s, h) = Dc (s) g (s, h) + Nc (s) f (s, h)
= (s +1) ⎡⎣s2 + (2 + h1 + 4h2 )s + 2h2 ⎤⎦ + 2 ( s + 3h1 + 5h2 )
10 ai (q) 是参数（向量） q 的连续函数；
20 q 在有界的 Pathwise 连通集 Q 上取值；
30 an (q) ≠ 0,∀q ∈Q ；
( ) 40 ∃q0 ∈ Q, s.t. P s, q0 为稳定的。
则多项式族P (s,Q) = {P (s, q) q ∈Q}为鲁棒稳定的，即对 ∀ q ∈Q ， P (s, q) 均为
K1 ( jω1 ) − K4 ( jω1 ) 边上。
Im
K2 ( jω1 ) ●
K3 ( jω1 ) ●
P ( jω1,Q)
●
K1 ( jω1 ) 0
Re
●
K4 ( jω1 )
但因 K1 ( s) 和 K4 ( s) 均为稳定的，由 Mikhainov 引理知，当ω 从ω1 增加时， K1 ( jω ) 应进入第三象限，而 K4 ( jω ) 应进入第一象限，这使得 K1 ( jω ) − K4 ( jω ) 边不平行于实轴了，这与 Im K1 ( jω ) = Im K4 ( jω ) 相矛盾。故，
《鲁棒控制》课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生
例：考虑
C (s)
=
Nc Dc
(s) (s)
=
2 s+1
G
(
s,
H
)
=
⎪⎧ ⎨ ⎪⎩
f g
( s, ( s,
h) h)
h
∈
H ⎫⎪⎬ ⎪⎭
=
⎪⎧ ⎨ ⎩⎪
s2
s + h1 + h2 s + h3
h ∈ H⎪⎬⎫ ⎭⎪
则闭环系统特征多项式为：
Δ (s, h) = Dc (s) g (s, h) + Nc (s) f (s, h)
−
q3ω 3
+
q5ω 5
−
q7ω 7
+
= Im K2 ( jω ) = Im K3 ( jω )
min
q∈Q
Re
P
(
jω ,
q)
=
q0
−
q2ω
2
+
q4ω
4
−
q6ω
6
+
= Re K1 ( jω ) = Re K2 ( jω )
min
q∈Q
Im
P
(
jω ,
q)
=
q1ω
−
q3ω 3
+
q5ω