函数模型及其应用复习讲义

函数模型及其应用
要点梳理
1．几类函数模型及其增长差异
(2)三种增长型函数之间增长速度的比较
①指数函数y＝a x (a>1)与幂函数y＝x n (n>0)
在区间(0，＋∞)，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内a x会小于x n，但由于y＝a x的增长速度快于y＝x n的增长速度，因而总存在一个x0，当x>x0时有____________．
②对数函数y＝log a x (a>1)与幂函数y＝x n (n>0)
对数函数y＝log a x (a>1)的增长速度，不论a与n值的大小如何总会慢于y＝x n的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数x0，使x>x0时有____________．由①②可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0，＋∞)上，总会存在一个x0，使x>x0时有______________．2．解函数应用问题的步骤(四步八字)
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．
以上过程用框图表示如下：
注意：
解决函数应用问题重点解决以下问题
(1)阅读理解、整理数据：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；
(2)建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函数的定义域；
(3)求解函数模型：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)值，计算函数的特殊值等，注意发挥函数图像的作用；
(4)回答实际问题结果：将函数问题的结论还原成实际问题，结果明确表述出来．
基础自测
1．某物体一天中的温度T(单位：℃)是时间t(单位：h)的函数：T(t)＝t3－3t＋60，t＝0表示中午12∶00，其后t取正值，则下午3时的温度为________．2．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加
10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－1
20
Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元．
3．(课本改编题)某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，存期是x，本利和(本金加利息)为y元，则本利和y随存期x变化的函数关系式是______________．
4．某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处
建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站
( )
A．5千米处B．4千米处 C．3千米处D．2千米处
5．某企业第三年的产量比第一年的产量增长44%，若每年的平均增长率相同(设为x)，则以下结论正确的是
( )
A．x>22% B．x<22% C．x＝22% D．x的大小由第一年的产量确定题型分类
题型一一次函数、二次函数模型
例
1某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润和投资单位：万元)．
(1)分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产.
①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润
②问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润其最大利润约为多少万元
探究提高(1)在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)，构建一次函数模型，利用一次函数的图像与单调性求解．
(2)有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等．构建二次函数模型，利用二次函数图像与单调性解决．
(3)在解决二次函数的应用问题时，一定要注意定义域．
变式训练1用一根长为12 m的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架(不计损耗)，要使这个窗户通过的阳光最充足，则框架的高与宽应各为多少
题型二分段函数模型
例
2 为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为
y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 13x 3－80x 2＋5 040x ，x ∈[120，144，
12x 2－200x ＋80 000，x ∈[144，500]，且每处理一吨二氧化碳得到可利
用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，国家将给予补偿．
(1)当x ∈[200,300]时，判断该项目能否获利如果获利，求出最大利润；如果不获利，
则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损
(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低
探究提高本题的难点是函数模型是一个分段函数，由于月处理量在不同范围内，处理的成本对应的函数解析式也不同，故此类最值的求解必须先求出每个区间内的最值，然后将这些区间内的最值进行比较确定最值．
变式训练2某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为元，当用水超过4吨时，超过部分每吨元．某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x(吨)．
(1)求y关于x的函数；
(2)若甲、乙两户该月共交水费元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．
题型三指数函数、幂函数模型
例
3某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为%，试解答以下问题：
(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；
(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到万人)；
(3)计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万人(精确到1年)；
(4)如果20年后该城市人口总数不超过120万人，年自然增长率应该控制在多少
(参考数据：≈,≈，lg ≈，lg 2≈ 0，lg ≈，lg ≈ 9)
探究提高此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y＝N(1＋p)x(其中N是基础数，p为增长率，x为时间)和幂函数模型y＝a(1＋x)n(其中a为基础数，x为增长率，n为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解．
变式训练3 已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律是：θ＝m·2t＋21－t(t≥0，并且m>0)．
(1)如果m＝2，求经过多少时间，物体的温度为5摄氏度；
(2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围．
函数建模及函数应用问题的一般程序：
第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；
第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；
第三步：求模——求解数学模型，得到数学结论；
第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义．
第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学解，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．
方法与技巧
解答数学应用题关键有两点：一是认真审题，读懂题意，理解问题的实际背景，将实际问题转化为数学问题；二是灵活运用数学知识和方法解答问题，得到数学问题中的解，再把结论转译成实际问题的答案．。