数字信号处理_DSP_第一章_时域离散信号与系统
数字信号处理答案(第三版)清华大学
数字信号处理教程课后习题答案目录第一章离散时间信号与系统第二章Z变换第三章离散傅立叶变换第四章快速傅立叶变换第五章数字滤波器的基本结构第六章无限长单位冲激响应（IIR）数字滤波器的设计方法第七章有限长单位冲激响应（FIR）数字滤波器的设计方法第八章数字信号处理中有限字长效应第一章 离散时间信号与系统1 .直接计算下面两个序列的卷积和)n (h *)n (x )n (y =请用公式表示。
分析：①注意卷积和公式中求和式中是哑变量m （ n 看作参量）， 结果)(n y 中变量是 n ,; )()()()()(∑∑∞-∞=∞-∞=-=-=m m m n x m h m n h m x n y ②分为四步 （1）翻褶（ -m ），（2）移位（ n ）,（3）相乘，; )( )( 4n y n n y n 值的，如此可求得所有值的）相加，求得一个（③ 围的不同的不同时间段上求和范一定要注意某些题中在 n00 , 01()0 , ,()0,n n n a n N h n n n n x n n n β-⎧≤≤-=⎨⎩⎧≤⎪=⎨<⎪⎩其他如此题所示，因而要分段求解。
)(5.0)(,)1(2 )()4()(5.0)(,)2( )()3()()(,)( )()2()()(,)( )()1(3435n u n h n u n x n R n h n n x n R n h n R n x n R n h n n x n n n =--==-=====δδ2 .已知线性移不变系统的输入为)n (x ,系统的单位抽样响应 为)n (h ,试求系统的输出)n (y ,并画图。
分析：①如果是因果序列)(n y 可表示成)(n y ={)0(y ，)1(y ，)2(y ……}，例如小题（2）为)(n y ={1，2，3，3，2，1} ;②)()(*)( , )()(*)(m n x n x m n n x n x n -=-=δδ ;③卷积和求解时，n 的分段处理。
数字信号处理 第一章
x(n + N) = Asin[ω0 (n + N) +ϕ]
k N = (2π / ω0 ) K
13
具体正弦序列有以下三种情况： （1） 当2π/ω0为整数时，k=1，正弦序列是以 2π/ω0为周期的周期序列。
2π π π 例如, sin( n) ， ω 0 = ， = 16 ， 该正弦序列 ω0 8 8
δ ( n)
1, δ (n) = 0,
n=0 n≠0
-2 -1 0
1
1 2
n
6
时域离散信号与系统 几种常见的序列 2.单位阶跃序列 2.单位阶跃序列 u (n) u(n)
1, u(n) = 0,
∞
n≥0 n<0
...
-1 0 1 2 3 n
δ (n) = ∇u(n) = u(n) − u(n −1)
38
时域离散信号与系统
[例]：已知两线性时不变系统级联，其单位抽样响应 已知两线性时不变系统级联， 分别为h (n)=δ(n)-δ(n-4)； 分别为h1(n)=δ(n)-δ(n-4)；h2(n)=an u(n), |a|<1, x(n)=u(n)时 求输出y(n) y(n)。 当输入 x(n)=u(n)时，求输出y(n)。 [解 ]： x(n) w(n)
？？？？
33
时域离散信号与系统
二：时不变系统
若系统响应与激励加于系统的时刻无关， 若系统响应与激励加于系统的时刻无关，则为时不变 系统，又称移不变系统。 系统，又称移不变系统。
T [ x ( n )] = y ( n ) T [ x ( n − m )] = y ( n − m )
例:判断y(n)=ax(n)+b所的系统是否为时不变系统？ 判断y(n)=ax(n)+b所的系统是否为时不变系统？ y(n)=ax(n)+b所的系统是否为时不变系统
数字信号处理第一章离散时间信号和离散时间
离散卷积的计算
计算它们的卷积的步骤如下： (1)折叠：先在哑变量坐标轴k上画出x(k)和h(k)，将h(k)以纵坐标为对称轴折 叠成 h(-k)。 (2)移位：将h(-k)移位n，得h(n-k)。当n为正数时，右移n；当n为负数时，左 移n。 (3)相乘：将h(n-k)和x(k)的 对应取样值相乘。 (4)相加：把所有的乘积累加 起来，即得y(n)。
第一章 时域离散信号和时域离散系统
内容提要
离散时间信号和离散时间系统的基本概念 –序列的表示法和基本类型 –用卷积和表示的线性非移变系统 –讨论系统的稳定性和因果性问题 –线性常系数差分方程 –介绍描述系统的几个重要方式
离散时间信号的傅里叶变换和系统的频率响应 模拟信号的离散化
–讨论了模拟信号、取样信号和离散时间信号(数字 序列)的频谱之间的关系
根据线性系统的叠加性质 y(n) x(m)T[ (n m)] m
根据时不变性质:T[ (n m)] h(n m)
y(n) x(m)h(n m) x(n) h(n) m=-
(1.3.7)
通常把式(1.3.7)称为离散卷积或线性卷积。这一关系常用符 号“*”表示，即：
y(n n0 ) T[kx(n n0 )], 是移不变系统 (2) y(n) nx(n), 即y(n n0 ) (n n0 )x(n n0 ) 而T[x(n n0 )] nx(n n0 ) y(n n0 ),不是移不变系统
1.3.3 线性时不变系统及输入与输出的关系 既满足叠加原理，又满足非移变条件的系统，被称为线性 非移变系统。这类系统的一个重要特性，是它的输入与输 出序列之间存在着线性卷积关系。
§1. 2 时域离散信号
数字信号处理第三版课后答案 第一章
数字信号处理第三版课后答案第一章数字信号处理第三版课后答案第一章第一章时域离散信号和时域离散系统练习和计算机问题解决1单位脉冲序列δ（n）及其加权和表示图1所示的序列。
题1图第一章时域离散信号和时域离散系统解决方案：x(n)=δ(n+4)+2δ(n+2)-δ(n+1)+2δ(n)+δ(n-1)+2δ(n-2)+4δ(n-3)+0.5δ(n-4)+2δ(n-6)2.给定信号：2n+5(x(n)=60-4≤n≤-10≤n≤4其它（1）绘制X（n）序列的波形，并标记每个序列的值；（2）用延迟单位脉冲序列及其加权和表示X（n）序列；第1章时域离散信号与时域离散系统(3)令x1(n)=2x(n-2),试画出x1(n)波形；(4)令x2(n)=2x(n+2),试画出x2(n)波形；（5）让X3（n）=x（2-n），尝试绘制X3（n）波形。
（1）x（n）序列的波形如问题2的图（I）所示。
(2)x(n)=-3δ(n+4)-δ(n+3)+δ(n+2)+3δ(n+1)+6δ(n)+6δ(n-1)+6δ(n-2)+6δ(n-3)+6δ(n-4)m4(2m5)(nm)6(nm)m0一4第一章时域离散信号和时域离散系统（3） X1（n）的波形是X（n）的波形，它向右移位2位，乘以2，然后绘制出图形如题2解图(二)所示。
(4)x2(n)的波形是x(n)的波形左移2位，再乘以2,画出该图如问题2的图（III）所示。
（5）绘制X3（n）时，首先绘制X（-n）的波形（即，将X（n）的波形绕纵轴旋转180°，然后向右移动2位。
X3（n）的波形如溶液2的图（IV）所示。
第1章时域离散信号与时域离散系统题2解图(一)第一章时域离散信号和时域离散系统问题2解决方案图（二）第1章时域离散信号与时域离散系统题2解图(三)第一章时域离散信号和时域离散系统问题2解决方案图（四）第1章时域离散信号与时域离散系统3.判断下面的序列是否是周期的;若是周期的，确定其周期。
数字信号处理第四版(高西全)第1章
本章作为全书的基础，主要学习时域离散信号的表示 方法和典型信号、时域离散线性时不变系统的时域分析方
第1章 时域离散信号和时域离散系统
1.2 时域离散信号
实际中遇到的信号一般是模拟信号，对它进行等间
假设模拟信号为xa (t)，以采样间隔T对它进行等间隔 采样，得到：
x(n) xa (t) tnT＝xa (nT ) - n （1.2.1）
x(n) x(m) (n m) m
（1.2.12）
这种任意序列的表示方法，在信号分析中是一个很有用的
第1章 时域离散信号和时域离散系统
例如， x(n)＝{－0.0000 ，－0.5878 ，－0.9511，
－0.9511，－0.5878，0.0000，0.5878， 0.9511，0.9511，
0.5878，0.0000}，相应的 n=－5, －4, －3,
序列x(n)的MATLAB表示如下:
in (π 8
n)
0
π 8
第1章 时域离散信号和时域离散系统
（2） 2π/ω0不是整数，是一个有理数时，设 2π/ω0=P/Q，式中P、Q是互为素数的整数，取k=Q，那么 N=P，则该正弦序列是以P为周期的周期序列。例如, sin(4πn/5), 2π/ω0=5/2, k=2, 该正弦序列是以5为周期的周
axis(［－5, 6, －1.2, 1.2］); xlabel('n'); ylabel('x(n)')
数字信号处理习题及答案解析
==============================绪论==============================1. A/D 8bit 5V 00000000 0V 00000001 20mV 00000010 40mV 00011101 29mV==================第一章 时域离散时间信号与系统==================1.①写出图示序列的表达式答：3)1.5δ(n 2)2δ(n 1)δ(n 2δ(n)1)δ(n x(n)-+---+++= ②用δ(n) 表示y (n )={2,7,19,28,29,15}2. ①求下列周期)54sin()8sin()4()51cos()3()54sin()2()8sin()1(n n n n n ππππ-②判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 确定其周期。
（1）A是常数 8ππn 73Acos x(n)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= （2）)81(j e )(π-=n n x 解： （1） 因为ω=73π, 所以314π2=ω, 这是有理数， 因此是周期序列， 周期T =14。
（2） 因为ω=81, 所以ωπ2=16π, 这是无理数， 因此是非周期序列。
③序列)Acos(nw x(n)0ϕ+=是周期序列的条件是是有理数2π/w 0。
3.加法乘法序列{2，3，2，1}与序列{2，3，5，2，1}相加为__{4，6，7，3，1}__，相乘为___{4，9，10，2} 。
移位翻转：①已知x(n)波形，画出x(-n)的波形图。
②尺度变换：已知x(n)波形，画出x(2n)及x(n/2)波形图。
卷积和：①h(n)*求x(n)，其他02n 0n 3，h(n)其他03n 0n/2设x(n) 例、⎩⎨⎧≤≤-=⎩⎨⎧≤≤= }23,4,7,4，23{0,h(n)*答案：x(n)=②已知x (n )={1,2,4,3},h (n )={2,3,5}, 求y (n )=x (n )*h (n )x (m )={1,2,4,3},h (m )={2,3,5}，则h (-m )={5,3,2}(Step1:翻转)解得y (n )={2,7,19,28,29,15}③(n)x *(n)x 3)，求x(n)u(n u(n)x 2),2δ(n 1)3δ(n δ(n)2、已知x 2121=--=-+-+=}{1,4,6,5,2答案：x(n)=4.如果输入信号为，求下述系统的输出信号。
数字信号处理基础pptDSP第01章
例1-10 h(n)= anu(n) 该系统是因果系统，当0< |a| < 1时系统稳定
§1.4 N阶线性常系数差分方程
无限脉冲响应系统（IIR, Infinite Impulse Response）
M
N
y(n) bm x(n m) ak y(n k)，ak、bm是常数
m0
k 1
ak有非零值
n的有效
有效
n的有效
区间范围 数据长度 区间范围
有效 数据长度
x(n) [0, M1]
M
h(n) [0, N1]
N
y(n) [0, MN2] MN1
[nxl, nxu]
[nhl, nhu]
[nxl nhl, nxu nhu]
nxunxl1
nhunhl1
nxu nhu nxlnhl1
x(n)={1, 2, 3}，0 n 2， M = 3 h(n)={1, 2, 2, 1}，0 n 3， N = 4 y(n)={1, 4, 9, 11, 8, 3}，0 n 5，M N 1 = ulse Response）
M
y(n) bm x(n m)
m0
差分方程的求解方法 ➢时域方法
例1-8 T[ x1(n)] nx1(n) x1(n 1) 3 T[ x2 (n)] nx2 (n) x2 (n 1) 3 T[ax1(n) bx2 (n)] n[ax1(n) bx2 (n)] ax1(n 1) bx2 (n 1) 3
≠ aT[ x1(n)] bT[ x2 (n)] n[ax1(n) bx2(n)] ax1(n 1) bx2(n 1) 3(a b)
T[ax1(n) bx2 (n)] aT[ x1(n)] bT[ x2(n)]
(完整版)数字信号处理-原理实现及应用(高西全—第3版)第1章时域离散信号和系统
·1·第1章 时域离散信号和系统1.1 引 言本章内容是全书的基础。
学生从学习模拟信号分析与处理到学习数字信号处理，要建立许多新的概念，数字信号和数字系统与原来的模拟信号和模拟系统不同，尤其是处理方法上有本质的区别。
模拟系统用许多模拟器件完成，数字系统用运算方法完成。
如果对本章中关于数字信号与系统的若干基本概念不清楚，那么在学习数字滤波器时，会感到不好掌握，因此学好本章是很重要的。
1.2 本章学习要点(1) 关于信号● 模拟信号、时域离散信号、数字信号三者之间的区别。
● 如何由模拟信号产生时域离散信号。
● 常用的时域离散信号。
● 如何判断信号是周期性的，其周期如何计算。
(2) 关于系统● 什么是系统的线性、时不变性，以及因果性、稳定性；如何判断。
● 线性、时不变系统输入和输出之间的关系；求解线性卷积的图解法、列表法、解析法，以及用MA TLAB 工具箱函数求解。
● 线性常系数差分方程的递推解法。
● 用MA TLAB 求解差分方程。
● 什么是滑动平均滤波器，它的单位脉冲响应是什么。
1.3 习题与上机题解答1.1 用单位脉冲序列及其加权和表示图P1.1所示的序列。
解：()(2)(1)2()(1)2(2)3(3)(4)2(6)x n n n n n n n n n δδδδδδδδ=+-+++-+-+-+-+-1.2 给定信号24,4≤≤1()4,0≤≤40,n n x n n +--⎧⎪=⎨⎪⎩其他(1) 画出x (n )的波形，标上各序列值；(2) 试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示x (n )序列； (3) 令1()2(2)x n x n =-，画出1()x n 的波形； (4) 令2()(2)x n x n =-，画出2()x n 的波形。
·2·解：(1) 画出x (n )的波形，如图S1.2.1所示。
图P1.1 图S1.2.1(2) ()4(4)2(3)2(1)4()4(1)4(2)4(3)4(4)x n n n n n n n n n δδδδδδδδ=+-+++++-+-+-+--。
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卷积运算的图解法
图解法 简单明了
（1）画出x(m)和h(m)的波形；
（2）反转平移：x(m)反转→ x(-m),右移n → x(n – m)
（3）乘积： x(m) h(n – m) （4）求和： m 从–∞到∞ 对应乘积项求和。
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例：用图解法求解下面两个函数的卷积和
1, 0 n 5 x[n] 0, otherwise
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1.3.2 线性时不变系统输出和输入间关系
如果令h(n)为系统对单位脉冲序列的响应， 单位脉冲响应 h(n)=T[δ (n)] 任一序列都可表示成各延时单位脉冲序列的加权 和，对任意输入的信号x(n)，有
x ( n)
m
x(m) (n m)
则系统输出可以表示为： y(n) T [ x(n)] T x(m) (n m) m
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1.2 模拟信号、时域离散信号和数字信号
1.2.1 时域离散信号和数字信号 1.2.2 时域离散信号的表示方法 1.2.3 常用的时域离散信号
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1.2.1
时域离散信号和数字信号
对幅度进行有限位的 二进制编码、量化
时域离散信号
数字信号
随着二进制编码的位数的增加，时域离散信号和 数字信号的数值差别越来越小。在计算机上，精 度很高，可达32或者64位，差别可忽略不计，但 是在用硬件实现的时候，由于二进制编码位数直 接影响到设备的复杂性和成本，所以位数不是很 高，如8位通用单片机，这样的误差是要考虑的。
带下划线的元素 表示n=0点的序 列值
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③用图像表示序列 例如：时域离散信号 x(n) (1)n ，它的图形表示如下 图所示。这是一种很直观的表示方法。 为了醒目，常常 在每一条竖线的 顶端加一个小黑 点
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举例：模拟信号
时域离散信号
数字信号，
例1.1：已知模拟信号是一个正弦波即 xa (t ) 0.9 sin 50t,试 将它转换成时域离散信号和数字信号。 解： xa (t ) 0.9 sin 50t 模拟信号 频率为25Hz 周期为0.04s 等间隔采样，将得到的t=nT, 代入到 xa (t ) 0.9 sin 50t中 去， 得到：
u(n)可以用单位脉冲序列表示为
u ( n)
m
( n m)
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n
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矩形序列
1 0≤ n≤ N 1 RN (n) 其他 0
下标N称为矩形序列的长度
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实指数序列
x(n) a nu (n)
式中，a取实数，u(n)起着使x(n)在n<0时幅度值为零的作用。
采样频率Fs=200Hz 采样间隔T=1/Fs=0.005s
等间隔采样， 采样频率必须 是模拟信号最 高频率的2倍 以上
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x(n) xa (t ) t nT 0.9 sin 50nT
式中n={…,0,1,2,3,…} 将n代入到式子中去，得到： x(n)={…,0,0.9sin50π T,0.9sin100π t,0.9sin150π t,…} 时域离散信号 这里的n就是第n个采样点，只能取整数。 按照上式算出来的 序列值一般有无限位小数，如果我们采用四位二进制数表示 x(n)的幅度，第一位为符号位，且信号用x[n]表示，那么有 x[n]={…,0.000,0.101,0.111,0.101,0.000,0.101,0,111,0. 101} 数字信号
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1.3 时域离散系统
1.3.1 线性时不变时域离散系统 1.3.2 线性时不变系统输出和输入之间的关系 1.3.3 系统的因果性和稳定性
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1.3.1 线性时不变时域离散系统
线性性质 线性性质表现在系统满足线性叠加原理。 即y1(n)=T[x1(n)]; y2(n)=T[x2(n)] T[ax1(n)+bx2(n)]=aT[x1(n)]+bT[x2(n)] =ay1 （n)+by2(n) 非线性系统不服从线性叠加原理。
第一章 时域离散信号与系统
Discrete-Time Signals and Systems in the Time-Domain
1.1 引言 1.2 模拟信号、时域离散信号和数字信号 1.3 时域离散系统 1.4 时域离散系统的输入输出描述法——线性常系数差分方程
1.1
引 言
信号：模拟信号、时域离散信号、数字信号 数字信号处理：用数值计算的方法对数字信号进行处理 信号处理系统：模拟系统、时域离散系统、数字系统 （处理对象分别对应上面的三种信号）以及数字和模 拟的混合系统。实际使用的系统是模拟系统、数字系 统和数模混合系统。
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卷积运算服从交换律、结合律和分配律：
交换律
y(n) x(n) * h(n) h(n) * x(n)
结合律
x(n) *[h1 (n) * h2 (n)] [ x(n) * h1 (n)]* h2 (n)
分配律
x(n) *[h1 (n) h2 (n)] x(n) * h1 (n) x(n) * h2 (n)
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时不变特性 如果系统对输入信号的运算关系T[·]在整个过 程中不随时间变化，则称该系统是时不变系统 即 如果 T[x(n)]=y(n)， T[x(n-n0)]=y(n-n0)（ n0为任意整数） 上式说明时不变吸系统的输出随出入信号移位 而移位，且波形保持不变。 如果运算关系[·]在整个运算过程中随时间变 化，则时变系统。
1.8 0.3n, 0 n 5 h[n] 0, otherwise
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用Matlab计算卷积和
序列从0开始 xn=[2,1,-2]; hn=[1,2,-1]; yn=conv(xn,hn); n=0:length(yn)-1; subplot(1,1,1); stem(n,yn,‘.’); line([0,5],[0,0]) xlabel(‘n’); ylabel(‘y(n)’); grid on;axis([0,5,-6,6])
x(n) cos n jsin n
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用欧拉公式将上式展开，得到
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周期序列
x(n) x(n N )
n
规定周期序列的周期为满足上式的最小的正整数N。
如果n一定，ω作为变量时，它是以2为周期的函数。但 当ω一定，n作为变量时，正弦序列却不一定是周期序列！ 如果是周期序列，则要求正弦序列的频率满足一定条件： 2 M 是一个正整数
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• 考虑连续时间信号
对应的离散时间信号
x(t ) A cos( 2 fot ) A cos(ot )
2 o x[n] A cos(o nT ) A cos( n ) T
A cos(o n )
其中
o 2 o / T oT
h=ones(1,5); nh=-2:2; x=h;nx=nh; nys=nh(1)+nx(1); nyf=nh(end)+nx(end); y=conv(h,x); ny=nys:nyf; stem(ny,y,‘.’); line([-4,4],[0,0]) xlabel(‘n’); ylabel(‘y(n)’); grid on;axis([-4,4,-6,6])
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y(n)
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解析法求解卷积和
例1.3：已知 x1 (n) (n) 3 (n 1) 2 (n 2) , x2 (n) u(n) u(n 3) ,试求信号x(n)，它满足 x(n) x1 (n) x2 (n)，并画出x(n)的波形。 解：这是一个典型的解线性卷积的题目。
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1.2.2
时域离散信号的表示方法
时域离散信号（序列）的来源 ①对模拟信号采样：
x(n) xa (t ) t nT xa (nT)
n
②通过实验测试得到：不同时刻的血压测量值 时域离散信号的表示方法 ①用集合符号表示序列 例如：x(n)={…,0,0.636,0.000,0.57,0.78,…} 式中，n={…,-1,0,1,2,…} ②用公式表示序列 例如： x(n) a n 0<a<1,-∞<n<∞
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卷积运算方法： 图解法或者列表法 用MATLAB计算两个有限长序列的卷积 解析法 卷积运算的重要性质
x(n) x(n) * (n)
任意序列与单位脉冲序列的卷积等于该序列本身
x(n n0 ) x(n) (n n0 )
如果卷积一个移位n0的单位脉冲序列，即将该序 列移位n0
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1.2.3 常用的时域离散信号
单位脉冲序列
1 n 0 ( n) 0 n 0
单位脉冲序列也称为单位采样序列。特点是仅在n=0处 取值为1，其他均为零。
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单位阶跃序列
1 n≥ 0 u ( n) 0 n 0
单位阶跃序列的特点是只有在n≥0时，它才取非零值1， 当n<0时，均取零值。
思考： 有限长序列卷积和 的长度？
5
y(n)