数字信号处理 第一章知识总结

数字信号处理第一章总结
1.1 引言 (3)
1.2 时域离散信号 (3)
1）离散信号： (3)
2）常用序列： .................................................................... 错误！未定义书签。

3）正弦序列： (3)
4）周期序列： (4)
1.3 时域离散系统 (4)
1.3.1 线性系统 (4)
1.3.2 时不变系统 (5)
1.3.3 线性时不变系统输入与输出之间的关系 (5)
1.3.4 系统的因果性和稳定性 (5)
1.4 时域离散系统的输入输出描述法——线性常系数差分方程 (6)
1.4.1线性常系数差分方程： (6)
1.4.2线性常系数差分方程的求解 (6)
1.5 模拟信号数字处理方法 (7)
摘要：信号通常是一个自变量或几个自变量的函数。

如果仅有一个自变量，则称为以维信号；如果有两个以上的自变量，则称为多维信号。

通常把信号看做时间的函数。

实际中遇到的信号一般是模拟信号，对它进行等间隔采样便可以得到时域离散信号。

关键词：模拟信号；等间隔采样；时域离散信号
1.1 引言
信号分为三类：1）模拟信号：自变量和函数值都是连续的。

2）时域离散信号：自变量离散，函数值连续。

它来源于对数字信号的采样。

3）数字信号：自变量和函数值都是离散的。

它是幅度化的时域离散信号。

1.2 时域离散信号
离散信号：模拟信号（时域连续）经过“采样”变成时域离散信号，公式是：
x(n)=x a (nT)，-∞＜n ＜∞
这里，x(n)称为时域离散信号，式中的n 取整数，显然，x （n ）是一串有序的数字的集合，因此时域离散信号也可以称为序列。

时域离散信号有三种表示方法：
（1）用集合符号表示序列
（2）用图形表示序列
（3）用公式表示序列
常用典型序列（时域离散信号）：
1）单位采样信号：0
001n ≠=⎩⎨⎧=n n ）（δ 2）单位阶跃信号：0001n u <≥⎩
⎨⎧=n n ）（
3)(n R N =u )(n -u )(N n -：（N 是矩形序列的长度）
实指数序列：a n x =)(n )(n u ，a 为实数。

3正弦序列：)s i n ()(n n x ω=，ω是“数字域频率”
如果正弦序列是由模拟信号)sin()(t t x a Ω=对比 两个)(n x 的表达式，可得
s s s F f F f F T ππω22==Ω=Ω=
（ω表示数字域频率，Ω和f 表示模拟角频率和模拟频率，s F 是采样频率） 由此公式得到以下结论：（进一步理解）
①上式表示数字域频率是模拟角频率对采样频率的归一化频率。

②数字域频率无绝对意义，因其与采样频率有关，采样频率变大时，数字域频率变小。

③因为采样频率s F ≥2倍的模拟频率f ，所以数字域ω不会超过π。

4） 周期序列：
如果对所有n 存在一个最小的正整数N ，是下面等式成立：
则称序列x(n)为周期性序列，周期为N 。

一般正弦序列的周期性：
， 要求
k
N 02ωπ=。

式中，k 与N 均取整数，且k 取值只要保证N 是最小的正
整数，满足这些条件，正弦序列才是以N 为周期的周期序列。

具体正弦序列有以下三种情况：
(1)当2π/ω0为整数时，k=1，正弦序列是以2π/ω0为周期的周期序列。

例：sin(π/8)n ， ω0 =π/8，2π/ ω0 =16，该正弦序列周期为16。

(2) 2π/ ω0不是整数，是一个有理数时，设2π/ ω0 =P/Q ，式中P 、Q 是互为素数的整数，取k=Q,那么N=P ，则正弦序列是以P 为周期的周期序列。

例：（此例考的可能性很大）sin(4/5)πn ，ω0 = (4/5)π，2π/ω0 = 5/2，k = 2，该正弦序列是以5为周期的周期序列。

（注意周期不是5/2，而是5，因为要保证周期N 为整数）
(3)2π/ω0是无理数，任何整数k 都不能使N 为正整数，因此，此时的正弦序列不是周期序列。

例：ω0 =1/4，sin(ω0n)，即不是周期序列。

1.3 时域离散系统
1.3.1 线性系统
系统的输入，输出之间满足线性叠加原理的系统称为线性系统。

线性系统要满足的条件：
（1） 可加性（2）比例性（齐次性）
证明是线性的时，要证明两个条件都满足才可以；
证明不是线性的时，只要一条不满足即可否定。

1.线性系统：满足叠加原理的系统。

[()()][()][()]T ax n by n aT x n bT y n +=+ =n x )()(n x
2.时不变系统：若[()]()T x n Y n =，则[()]()T x n k Y n k -=-
3.线性时不变系统
可由冲激响应来描述（系统的输出相应是输入与单位冲激响应的线性卷积）
()()*()y n x n h n =，()()()Y j X j H j ωωω=，()()()Y z X z H z =
4.因果系统：0n 时刻的输出0()y n 只由0n 时刻之前的输入0(),x n n n ≤决定
线性移不变系统是因果系统的充要条件：()0,0h n n =<
或：其系统函数H(z)的收敛域在某园外部：即：|z|>Rx
5.稳定因果系统：同时满足上述两个条件的系统。

线性移不变系统是因果稳定系统的充要条件：|()|n h n ∞
=-∞<∞∑，
()0,0h n n =< 或：H(z)的极点在单位园内
H(z)的收敛域满足：||,1x x z R R --><
1.3.2 时不变系统
判定步骤：
（1）看x(n)的输出 T[x(n)]
（2）看x(n-n0)的输出T[x(n-n0)]
（3）将y(n-n0)写出来
（4）判定T[x(n-n0)]是否等于y(n-n0)，如果等于就是时不变系统，不等于是时变系统。

1.3.3 线性时不变系统输入与输出之间的关系
掌握下图：
理解：系统输出等于输入与单位取样响应h(n)的卷积。

1.3.4 系统的因果性和稳定性
如果系统n 时刻的输出只取决于n 时刻以及n 时刻以前的输入序列，而和n 时刻以后的输入序列无关，则称该系统具有因果性质，或称该系统为因果系统。

因果性充分必要条件：单位取样响应h(n)=0 (n<0) x (n )y (n )＝x (n ) h (n )
*
稳定性充分必要条件：单单位取样响应绝对可和：
或：其系统函数H(z)的收敛域包含单位圆 |z|=1 所谓稳定系统，是指对有界输入，系统输出也是有界的。

1.4 时域离散系统的输入输出描述法——线性常系数差分方程
1.4.1线性常系数差分方程：
x(n)和y(n)分别是系统的输入序列和输出序列，ai 和bi 均为常数，式中y(n-i)和x(n-i)项只有一次幂，也没有相互交叉项。

1.4.2线性常系数差分方程的求解
重点掌握“递推解法”，看书上课后题第11题。

答案如下：
设系统由下面差分方程描述：
11()(1)()(1)22
y n y n x n x n =-++-； 设系统是因果的，利用递推法求系统的单位取样响应。

解： 令：()()x n n δ=
11()(1)()(1)22
h n h n n n δδ=-++- 2
110,(0)(1)(0)(1)122
111,(1)(0)(1)(0)122112,(2)(1)22
113,(3)(2)()22n h h n h h n h h n h h δδδδ==
-++-===++======= 归纳起来，结果为
11()()(1)()2
n h n u n n δ-=-+ ()n h n ∞=-∞
<∞∑01
()()()M N i i i i y n b x n i a y n i ===---∑∑
1.5 ：模拟信号数字处理方法
时域抽样定理
一个限带模拟信号()a x t ，若其频谱的最高频率为0F ，对它进行等间隔抽样而得()x n ，抽样周期为T ，或抽样频率为1/s F T =；
只有在抽样频率02s F F ≥时，才可由()a x t 准确恢复()x n 。

主要内容是：模拟信号的采样与恢复
主要掌握两个公式：
这是关于采样定理的重要共识，根据该公式要求对采样信号的采样频率要大于等于该信号的最高频率的两倍以上，才能得到不失真的采样信号。

这是由时域离散信号理想恢复模拟信号的差值公式。