三角函数诱导公式及记忆方法

三角函数诱导公式

目录诱导公式的本质常用的诱导公式其他三角函数知识公式推导过程诱导公式的本质常用的诱导公式其他三角函数知识公式推导过程

Sin ￠1 COSCI

诱导公式的本质

所谓三角函数诱导公式，就是将角n ?( π/2)的α角函数转化为角α的三角函数。

常用的诱导公式

公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：Sin (2k∏ +α =Sin OC ∈z

COS (2k∏ +O =COS a k∈z

tan (2k∏ +O =tan α ∈z

cot (2k ∏ +O =cot α ∈z

SeC (2k∏ +O =SeC a ∈z

CSC ( 2k ∏ +O =CSC a ∈z

公式二：设α为任意角，π+a的三角函数值与a的三角函数值之间的

关系：

Sin (∏ +0 = —Sin a

COS( ∏ +a = —COS a

tan ( ∏ +a =tan a

COt ( ∏ +α=COt α

sec( ∏ + α )=ec α

CsC( π +α -)=CsCα

公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：

Sin (—α) = —Sin α

COS (—α) =COS α

tan (—α) = —tan α

Cθt ( —Ca = —Cθt α

SeC(-α )=SeC α

CSC(- α )=-CSCα

公式四：利用公式二和公式三可以得到π-a与a的三角函数值之间的关系：

Sin ( ∏—α) =Sin α

COS ( π— a) = —COS α

tan (n—a) = —tan a

COt ( ∏— a) = —COt a

SeC( π- a )=-SeC a

CSC( π- a )=CSC a

公式五：利用公式一和公式三可以得到 2 π- a与a的三角函数值之间的关系：

Sin ((2π- a)=—Sin a

CO S (2n-a)=COS a

tan((2n—a)=—tan a

CO t((2n—a)= —COt

a

SeC(2 π-a )=SeC a

CSC(2 π-a )=-CSC a

公式六：π/2 ±?a的三角函数值之间的关系:

Sin (π /2+ a)=COS a

CO S (π /2+ a)=—Sin a

tan(π /2+ a)= —

COt a

CO t(π /2+ a)= —tan a

SeC( π /2+ a-)C=SC a CSC( π /2+a)=SeC a Sin(π /2—a) =COS a COS(π /2—a) =Sin a tan(π

/2—a) =COt a COt(π /2—a)

=tan a

SeC( π /-2a )=CSC a

csc( ∏ /2α )=sec α

推算公式：3 π /2 ± 与α的三角函数值之间的关系：

Sin (3π /2+ α = —COS α

COS (3π /2+ α =Sin α

tan (3π /2+ ) =—COt α

cot (3∏ /2+ α =—tan α

sec(3 ∏ /2+ α )=csc α

cSc(3 π /2+ α -)S=ec α

Sin (3∏ /2- α) = —cos α

cos (3∏ /2- α) = —Sin α

tan (3∏ /2- α) =cot α

cot (3∏ /2- α) =tan α

sec(3 ∏ /2a )=CSC α csc(3 ∏/2a )=sec』1]

诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。

奇、偶”指的是π /2的倍数的奇偶，变与不变”指的是三角函数的名称

的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。 (反之亦然成立) “符号看象限”的含义是：把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看n?( π /2)是第几

象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。

符号判断口诀：“一全正；二正弦；三两切；四余弦”。这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”；第二象限内只有正弦是“+，”其余全部是“—”；第三象限内只有正切和余切是“+，”其余全部是“—”；第四象限内只有余弦是“+”，其余全部是“—”。

“ASCT反乙意即为“all全部)”、“Sin、” “cos、“tan按照将字母Z反

过来写所占的象限对应的三角函数为正值。

其他三角函数知识

同角三角函数的基本关系式

倒数关系

tan α ? cot α =1

Sin α ? CSC α =1

cos α ? SeC α =1

商的关系

Sin α /cos α =tan α =SeC a /CSC α

Cos a /sin a =Cot a =CSC a /sec a

平方关系

sin^2( α)+cos^2( α)=1

1+tan^2( α)=sec^2( α)

1+cot^2( α)=csc^2( α)

同角三角函数关系六角形记忆法

构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型。

倒数关系

对角线上两个函数互为倒数；

商数关系六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积，下面4 个也存在这种关系。）。由此，可得商数关系式。

平方关系在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。

两角和差公式

Sin (α+ β=Sin αCOS β+cos αSin β

Sin ( α- β) =Sin αcos? cos αSin β

COS ( α +β =COS α COS —Sin α Sin β

COS ( α- β) =COS α COS β +Sin α Sin β tan (α +β =(tan α +tan β )/—tan α ? tan β ) tan ( α- β) =(tan —tan β )∕(1+tan α ? tan β )

二倍角的正弦、余弦和正切公式

sin2 α =2S in α COSα

COS2α=COS^2(α-)Sin^2( α)=2COS^2(α-)1=1-2Sin^2( α) tan2 α =2tan α /-(1

tan^2( α))

半角的正弦、余弦和正切公式

Sin^2( α /2)=C- cosα )/2

COS^2( α ∕2)=(1+cos α )/2

tan^2( α /2)=(—COS α )/(1+COS α )

tan( α /2)=(1 —COS α )∕sin α =Sin α /1+COS α

万能公式

Sin α =2tan( α ∕2)∕(1+tan^2( α /2))

COS α =(1- tan^2( α ∕2))∕(1+tan^2( α /2))

tan α =(2tan( α /2))/(1 tan^2( α /2))

三倍角的正弦、余弦和正切公式

Sin3 α=3Sin -α4Sin^3( α)

COS3α =4COS^3( α-)3COS α

tan3 α =(3tan — tan^3( α ))/(— 3tan^2( α ))

三角函数的和差化积公式

Sin α +sin β =2sin(( α + β )/2) ?cOS(2)α

Sin — Sin β =2cos(( α + β )/2) ? ?sir β()∕2α

COS α +COS β =2COS(( α + β )/2) COS α- COS β = 2sin(( α +β )/2) 三角函数的积化和差公式

Sin /? COS β =0.5[sin( / + β )+si βO] /

COS /? Sin β =0.5[sin( /+β()/ β )]

公式推导过程

万能公式推导

sin2 / =2sin / COS a =2sin / COS a /(cos^2( / )+sin^2( , )) ............... *

(因为 cos^2( a )+sin^2( a ))1

再把 * 分式上下同除 cos^2( / ,可得 Sin2 a =2tan a /(1+tan^2( a )) 然后用a /2代替a 即可。

同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。 三倍角公式推导

tan3 a =sin3 a ∕cos3 a

=(sin2 a cOs a +cOs2a sin a )/(cOs2 a -sicnO2s a sin a )

=(2sin a cos^2( a )+cos^2( a )—nsin^3( a ))∕(cos^3( —a cOs a sin^2(—)

2sin^2( α)cos α)

上下同除以COS^3( a)得：

tan3 a =(3tan — tan^3( a ))/(13tan^2( a ))

sin3 a =sin(2 a +a )=sin2 a cos a +cos2 a Sin a

=2sin α cos^2( α )+(4 2sin^2( α ))sin α

? CO β()∕2)

? sin(β )/2)

COS / COS β=0.5[COS( /+β)+CO βS()/]

Sin /? Sin 予=.5[cos( / + β)cos( /- β)]