应用数学基础分章习题答案第二章

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初中七年级数学上册第二章知识点及习题

初中七年级数学上册第二章知识点及习题第二章整式的加减一、单项式、多项式、整式的概念单项式：由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式。

单独的一个数或一个字母也是单项式。

多项式：几个单项式的和叫做多项式。

整式：单项式与多项式统称整式。

二、单项式的系数和次数1、单项式的系数：单项式中的数字因数及性质符号叫做单项式的系数。

如果一个单项式，只含有数字因数，是正数的单项式系数为1，是负数的单项式系数为—1。

2、单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

3、单项式的表示形式：（1）数与字母的乘积这样的代数式叫做单项式（2）单个字母也是单项式。

（3）单个的数是单项式（4）字母与字母相乘成为单项式（5）数与数相乘称为单项式三、多项式的项、常数项、次数在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫常数项，多项式中次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。

一个多项式有几项就叫做几项式。

多项式中的符号，看作各项的性质符号。

一元N 次多项式最多N+1项。

四、多项式的排列：1、把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列。

2、把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。

由于多项式是几个单项式的和，所以可以用加法的运算定律，来交换各项的位置，而保持原多项式的值不变。

为了便于多项式的计算，通常总是把一个多项式，按照一定的顺序，整理成整洁简单的形式，这就是多项式的排列。

※在做多项式的排列的题时注意：(1) 由于单项式的项，包括它前面的性质符号，因此在排列时，仍需把每一项的性质符号看作是这一项的一部分，一起移动。

(2) 有两个或两个以上字母的多项式，排列时，要注意： a 、先确认按照哪个字母的指数来排列。

b 、确定按这个字母向里排列，还是向外排列。

五、同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，所有常数项都是同类项。

应用数学基础第二章-矩阵的相似标准形

记 f(x)= x n+ a1 x n-1 + + an-1 x + an，则 f(A)= A n+ a1 A n-1 + + an-1 A + an E
若 f()为的特征多项式，则 f(A)=0 .
( p60 Th2.11, Hamilton-Cayley定理 )
函数矩阵：元素是函数的矩阵多项式矩阵或-矩阵：元素是的多项式的矩阵如：方阵的A特征矩阵 E – A Note：多项式矩阵可以写成以矩阵为系数的多项式
Hint: 初等因子为 – 2，( + 1)2
cf. Mathematica示例 cf. Mathematica
例2.9 求矩阵A的Jö rdan标准形，其中
Hint: A1, A2初等因子分别为 i和 – 2，( – 1)2
示例
19
§2.3 三、有理标准形
对任意的ni 次多项式 ()= 它的相伴矩阵Ci 定义为
特征值： f()= 0的根，即使 E – A为退化矩阵的数特征向量：( E – A)X = 0的非零解 (为特征值) 谱：全部特征值的集合，记作(A)
有关特征值与特征向量的几个结论
2
§2.1－1
方阵的特征矩阵
矩阵多项式：以方阵 A代入一个多项式 f(x)的值，或者说是 f(x)在 x = A处的值
15
§2.3 矩阵的相似标准形
一、矩阵相似的充分必要条件定义2.8 设A, BCnn ，若存在可逆矩阵P Cnn ，使 P -1 A P = B , 则称A与B相似, 记作AB. 称 AB= P -1AP为相似变换，称P为相似变换矩阵. 定理2.7 A, BCnn, A ~ B E – A E – B. Key

微积分及其应用第二章习题解答

则由介值定理可知至少存在使得
（4）已知函数连续，求参数a,b.
解(1)要使在处连续，则
又由于
从而
(2)由于是个分段函数，要使连续，只需证明在处连续，即
又由于
故
(3)由于是个分段函数，要使连续，只需证明在处连续，即
又由于
故
(4)由于是个分段函数，要使连续，只需证明在处连续，即
又由于
故
2寻找下列函数的可去间断点，并修改或补充间断点处函数值使其连续.
证明，令易见在区间上连续，且
则由根值存在定理可知存在使得即证方程有非零根
5证明方程至少有一个正根.
证明令易见在区间上连续，且
则由根值存在定理可知存在使得即证方程至少有一个正根.
复习题二
1已知，证明 .
证明：由于，即对任给的当时，有
则对上面给定的当时，有
即证 .
2设，在极限过程下，当a,b为何值时为无穷小？a,b为何值时为无穷大？
(3)由于，函数仅在处没有定义，且
故只需令即可使函数在处连续.
(4)由于，函数仅在处没有定义，且
故只需令即可使函数在处连续.
3计算下列极限：
（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5）；（6）；
（7）；
解(1)
(2)令则则
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
4证明方程有非零根.
（3）
解：（1）易见故或时，函数为无穷小.
故时，函数为无穷大.
（2）易见故，时函数为无穷小.
（3）故时函数为无穷小.

高等数学课后习题答案第二章

1
=
1 4
1 tan
x 2
sec 2
x 2
5、设、 y =
1 2π D 1 2π D
e
−
( x−a)2 2D
，其中 a, D 是常数，求出使导数 y ′( x ) = 0 的 x 值
( x −a ) 2 2D
解： y ′ =
e
−
( x − a )2 2D
3、证明：（1）、可导的偶（奇）函数的导数是奇函数（偶）（2）、可导的周期函数的导数是具有相同周期的函数证明：设 f ( x ) 是偶函数，且可导则
f ( x) = f ( − x ) f (− x + ∆x ) − f (− x ) f ( x − ∆x ) − f ( x ) = lim = − f ′( x ) ∆x → 0 ∆x ∆x
[1 − ( x + ∆x ) 2 ] − (1 − x 2 ) − 2 x∆x − (∆x) 2 = lim = −2 x ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x ∆x −b ) 2a
：
3、设函数 f ( x) = ax 2 + bx + c ，其中 a, b, c 是常数，求 f ′( x) ， f ′(0) ， f ′( −1) ， f ′( 解
f ′(− x ) = lim
∆x →0
表明 f ′( x) 是奇函数。设 f ( x) = f ( x + T )
f ′( x + T ) = lim
∆x →0
f ( x + T + ∆x ) − f ( x + T ) f ( x + ∆x ) − f ( x ) = lim = f ′( x) ∆ x → 0 ∆x ∆x

应用组合数学第二章答案

7! 2!(7−2)!
=
7! 2!5!
and C (7, 5) =
7! 5!(7−5)!
=
7! 5!2! ;
8 7(b). C (6, 4) =
6! 4!(6−4)!
Answers to Selected Exercises =
6! 4!2!
and C (6, 2) =
6! 2!(6−2)!
=
6! 2!4! ;
n+1 2
× 3 × 10−9 . × 3 × 10−11 .
8(a). n × 3 × 10−11 . 8(b).
n+1 2
Section 2.5 . 1(a). 3 · 2; 1(b). 5 · 4 · 3; 1(c). 8 · 7 · 6 · 5 · 4; 1(d). 0; 2(a). 63 ; 2(b). 6 · 5 · 4; 2(c). 1 · 6 · 6; 2(d). 1 · 5 · 4; 3(a). 84 ; 3(b). 8 · 7 · 6 · 5; 3(c). 1 · 8 · 8 · 8;
8. 1 7 21 35 35 21 7 1; 9. C (5, 3) =
5! 3!2!
= 10, C (4, 2) =
4! 2!2!
= 6, C (4, 3) =
4! 3!1!
= 4, and 10 = 6 + 4; = 6, and 21 = 15 + 6;
10. C (7, 5) =
7! 5!2!
4
Answers to Selected Exercises
Applied Combinatorics
by Fred S. Roberts and Barry Tesman

经济数学基础微积分第二章习题解答

1 ex x0 15.设有函数f ( x) a x x 0
解： e 0 lim
x 0 1 x x 0
问常数a为何值时， f ( x)存在？ lim
x0
lim (a x) a
当a 0时， f ( x)存在. lim
x0
16.求下列极限： tan 2 x 2 arctan 5 x 3x sin 3 x (2) lim (3) lim 5 (1) lim lim 6 x 0 sin 5 x x 0 arcsin x x 0 x 0 x x 5 sin 2 2 1 x2 sin x2 (5) lim 1 lim 4 x 1 x 0 (4) lim x sin lim 2 x x 0 x 2 sin ( ) x ( ) x x 1 2 2 x tan 2 x sin x tan 2 x sin x 2 1 1 (6) lim lim lim x 0 x 0 x 0 x x x
e 4
x x x 1 2 3 lim (17 ) lim ln(1 x x x ) x 0 x 0 x x
2
3
1
1
1 n 2 n 3 n n n n n n (18) lim(1 2 3 4 ) lim 4 [1 ( ) ( ) ( ) ] 4 x x 4 4 4 17.求下列极限：
x 1 x 1
1 或 lim 2 0 n x
y
解：lim f ( x) lim f ( x) 2 f (1)
x 2是第一类可去间断点
0
x
若f (1) 2, 则为连续 .
(2) x 0第二类无穷间断点 (3) x 0第一类跳跃间断点 (4) x 0第一类可去间断点 x 1第二类无穷间断点 (5) x 0第一类跳跃间断点 (6) x 0第一类可去间断点

微积分(大学数学基础教程答案)大学数学基础教程(二)多元函数微积分王宝富钮海第二章习题解答(下)

习题2-1 1、解：在任意一个面积微元σd 上的压力微元σρg x d dF =，所以，该平面薄片一侧所受的水压力⎰⎰=Dgxd F σρ2、解：在任意一个面积微元σd 上的电荷微元σμd y x dF ),(=，所以，该平面薄片的电荷总量⎰⎰=Dd y x Q σμ),(3、解：因为10,10≤≤≤≤y x ，所以1122++≤++y x y x ，又u ln 为单调递增函数，所以()()1ln 1ln 22++≤++y x y x ，由二重积分的保序性得()()⎰⎰⎰⎰≤≤≤≤≤≤≤≤++≤++10101010221ln 1ln y x y x d y x d y x σσ4、解：积分区域D 如图2-1-1所示，所以该物体的质量34)384438()()(1032122222=-+-=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰-dy y y y dx y x dy d y x M y yDσ 5、解：（1）积分区域如图2-1-2所示，所以⎰⎰⎰⎰=1101),(),(xy dy y x f dx dx y x f dy（2）积分区域如图2-1-3所示，所以⎰⎰⎰⎰=xx y ydy y x f dx dx y x f dy 2/4022),(),(2（3）积分区域如图2-1-4所示，所以⎰⎰⎰⎰+----=1121222122),(),(y yx x xdx y x f dy dy y x f dx（4）积分区域如图2-1-5所示，所以⎰⎰⎰⎰=eexey dx y x f dy dy y x f dx ),(),(10ln 06、解：（1）积分区域如图2-1-6所示，所以()⎰⎰⎰⎰⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==101054/1134/3105565111432322x x dx x x x dy y x dx d y xxxDσ （2）积分区域如图2-1-7所示，所以1564)4(2122224022222=-==⎰⎰⎰⎰⎰--dy y y dx xy dy d xy y Dσ （3）积分区域如图2-1-8所示，所以11021011211011111101101)()()()(----+-----+-+-++--+-+-=-+-=-+-=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰e e dx e e e dx e ee dxe e e dx e e e dy e dx dy e dx d e x x x x x x x x xxy x x xy x Dyx σ（4）积分区域如图2-1-9所示，所以613832419)()(20232/22222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+=-+⎰⎰⎰⎰⎰dy y y dx x y x dy d x y x yy Dσ 7、解：（1）积分区域如图2-1-10所示，令θθsin ,cos r y r x ==，所以ar ≤≤≤≤-0,22πθπ，故()⎰⎰⎰⎰⋅=-aDdr r r f r d d y x f 022sin)cos,(,ππθσ（2）积分区域如图2-1-11所示，令θθsin ,cos r y r x ==，所以θπθsin 20,0≤≤≤≤r ，故⎰⎰⎰⎰⋅=θπθθθσsin 20)sin ,cos (),(dr r r f r d d y x f D8、解：（1）积分区域如图2-1-12所示，令θθsin ,cos r y r x ==，所以θθπθ2cos sin 0,40≤≤≤≤r ，故[]12sec tan sec )(4040cos sin 014021221022-===⋅=+⎰⎰⎰⎰⎰--ππθθπθθθθθd dr r r d dy y x dx xx（2）积分区域如图2-1-13所示，令θθsin ,cos r y r x ==，所以θπθsin 20,0≤≤≤≤r ，故8)(432022022a dr r d dx y x dy ay a aπθπ==+⎰⎰⎰⎰-9、解：（1）积分区域如图2-1-14所示，故49)(12131221222=+-==⎰⎰⎰⎰⎰dx x x dy y dx x d yx x x D σ （2）积分区域如图2-1-15所示，令θθsin ,cos r y r x ==，所以10,20≤≤≤≤r πθ，故()28)1(21a r c2121)1(41121211211************21010444210143410421022202222-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=--=⋅+-=++--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ππππππθσπr rr r d r dr dr r r dr r rrdr rr rdr r r d d y x y x D（3）积分区域如图2-1-16所示，故433222232214)32()()(a dy a y a ay dx y x dy d y xaayay a aD=+-=+=+⎰⎰⎰⎰⎰-σ（4）积分区域如图2-1-17所示，令θθsin ,cos r y r x ==，所以b r a ≤≤≤≤,20πθ，故()33220212232)(a b dr r d d y xbaD-==+⎰⎰⎰⎰πθσπ10、解：积分区域如图2-1-18所示，由图形的对称性得：⎰⎰==1441D d S S σ，所以24024022sin 0402cos 2sin 24a a d a rdr d S a =-===⎰⎰⎰ππθπθθθθ图2-1-1 图2-1-2 图2-1-3 图2-1-4图2-1-5 图2-1-6 图2-1-7 图2-1-8图2-1-9 图2-1-10 图2-1-11 图2-1-12图2-1-13 图2-1-14 图2-1-15 图2-1-16图2-1-17 图2-1-18习题2-21、解：⎰⎰⎰Ω=dv z y x Q ),,(μ2、化三重积分为直角坐标中的累次积分解：（1）因为积分区域Ω的上曲面为开口向上的旋转抛物面22y x z +=，下曲面为0=z ，积分区域Ω在xoy 坐标面上的投影区域x y x D xy -≤≤≤≤10;10:，所以()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+Ω=101022,,,,xy x dz z y x f dy dx dv z y x f（2）因为积分区域Ω的上曲面为开口向下的抛物柱面22x z -=与下曲面为开口向上的旋转抛物面222y x z +=围成，二曲面的交线在x o y平面上的投影为圆122=+y x ，即⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤+-≤≤--≤≤-Ω22222221111:x z y x x y x x ，所以()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰-----+Ω=11112222222,,,,x x x y x dz z y x f dy dx dv z y x f（3）因为积分区域Ω的上曲面为开口向上的旋转抛物面22y x z +=，下曲面为0=z ，积分区域Ω在xoy 坐标面上的投影区域1;11:2≤≤≤≤-y x x D xy ，所以()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+Ω=111222,,,,xy x dz z y x f dy dx dv z y x f3、解：积分区域Ω如图2-2-1所示0)1(61211161211111022=-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--Ω-dx x x dy y xdx zdz dy xdx xzdxdydz xxy 另解：因为积分区域Ω关于坐标面yoz 对称，又xz z y x f =),,(关于第一坐标是奇函数，所以0=⎰⎰⎰Ωxzdxdydz 。

(数学分析习题答案)第二章

第二章数列极限P.27 习题2．按N -ε定义证明：（1）11lim=+∞→n nn证明因为 n n n n 11111<+=-+，所以0>∀ε，取ε1=N ，N n >∀，必有ε<<-+n n n 111. 故11lim =+∞→n n n（2）23123lim 22=-+∞→n n n n 证明因为 n n n n n n n n n n n n n 32525)1(232)12(23223123222222<=<-++<-+=--+ )1(>n ，于是0>∀ε，取}3,1max{ε=N ，N n >∀，有 ε<<--+n n n n 32312322. 所以23123lim 22=-+∞→n n n n（3）0!lim =∞→n n n n证明因为n n n n n n n n n n n n n n nn 11211)1(!0!≤⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅-==- ，于是0>∀ε，取ε1=N ，N n >∀，必有ε<≤-n n n n10!. 所以0!lim =∞→n n n n（4）sinlim =∞→nn π证明因为n nnπππ≤=-s in0s in，于是0>∀ε，取επ=N ，N n >∀，必有εππ<≤-nn0s in. 所以sinlim =∞→nn π（5）)1(0lim>=∞→a a nnn证明因为1>a ，设)0(1>+=h h a ，于是222)1(2)1(1)1(h n n h h n n nh h a n n n -≥++-++=+= ，从而22)1(22)1(0h n hn n n a n a n n n -=-≤=-，所以0>∀ε，取122+=h N ε，N n >∀，有ε<-≤-2)1(20h n a n n . 故0lim =∞→n n a n3．根据例2，例4和例5的结果求出下列极限，并指出哪些是无穷小数列：（1）n n 1lim∞→；（2）n n 3lim ∞→；（3）31limn n ∞→（4）n n 31lim ∞→；（5）n n 21lim ∞→；（6）n n 10lim ∞→；（7）n n 21lim ∞→ 解（1）01lim 1lim 21==∞→∞→n nn n （用例2的结果，21=a ），无穷小数列.（2）13lim =∞→n n ，（用例5的结果，3=a ）（3）01lim3=∞→n n ，（用例2的结果，3=a ），无穷小数列.（4）031lim 31lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛=∞→∞→nn n n ，（用例4的结果，31=q ），无穷小数列.（5）021lim 21lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛=∞→∞→nn n n ，（用例4的结果，21=q ），无穷小数列. （6）110lim =∞→n n ，（用例5的结果，10=a ）.（7）121lim 21lim==∞→∞→nn nn ,（用例5的结果，21=a ）. 4．证明：若a a n n =∞→lim ，则对任一正整数 k ，有a a k n k =+∞→lim证明因为aa n n =∞→lim ，所以εε<->∀>∃>∀||,,0,0a a N n N n ，于是，当Nk >时，必有N k n >+，从而有ε<-+||a a k n ，因此a a k n k =+∞→lim .5．试用定义1证明：（1）数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1不以1为极限；（2）数列}{)1(n n -发散.证明（用定义1证明）数列}{n a 不以 a 为极限（即a a n n ≠∞→lim ）的定义是：00>∃ε，0>∀N ，N n >∃0，0||0ε≥-a a n（1）取210=ε，0>∀N ，取N N n >+=20，有0021)1(212112111ε==++≥++=-+=-N N N N N n ，故数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1不以1为极限.另证（用定义1’证明）取210=ε，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1中满足2>n 的项（有无穷多个）显然都落在1的邻域)23,21();1(0=εU 之外，故数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1不以1为极限.（2）数列}{)1(n n -=},6,51,4,31,2,1{ ，对任何R a ∈，取10=ε，则数列}{)1(n n -中所有满足“n 为偶数，且1+>a n ”的项（有无穷多个），都落在 a 的邻域)1,1();(0+-=a a a U ε之外，故数列}{)1(nn -不以任何数 a 为极限，即数列}{)1(nn -发散.6．证明定理2.1，并应用它证明数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+n n )1(1的极限是1. 定理2.1 数列}{n a 收敛于 a 充要条件是：}{a a n -为无穷小数列. （即a a n n =∞→lim 的充要条件是0)(lim =-∞→a a n n ）证明（必要性）设aa n n =∞→lim ，由数列极限的定义，,0,0>∃>∀N εN n >∀，有ε<--=-|0)(|||a a a a n n ，所以 0)(lim =-∞→a a n n .（充分性）设0)(lim =-∞→a a n n ，由数列极限的定义，,0,0>∃>∀N εN n >∀，有ε<-=--|||0)(|a a a a n n ，所以a a n n =∞→lim .下面证明：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+n n )1(1的极限是1. 因为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--+n n n n )1(1)1(1是无穷小数列，所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+n n )1(1的极限是1.7．证明：若a a n n =∞→lim ，则||||lim a a n n =∞→. 当且仅当 a 为何值时反之也成立？证明设aa n n =∞→lim ，由数列极限的定义，,0,0>∃>∀N εN n >∀，ε<-≤-||||||a a a a n n ，所以也有||||lim a a n n =∞→. 但此结论反之不一定成立，例如数列})1{(n -.当且仅当 a = 0 时反之也成立. 设0||lim =∞→n n a ，于是,0,0>∃>∀N εN n >∀，ε<=||||n n a a ，所以aa n n =∞→lim .8．按N -ε定义证明：（1）0)1(lim =-+∞→n n n ；（2）0321lim3=++++∞→n nn（3）1lim =∞→n n a ，其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=为奇数为偶数n n n n n nn a n 2,1证明（1）因为n nn n n 111|1|<++=-+. 于是0>∀ε，取21ε=N ，N n >∀，必有ε<<-+nn n 1|1|，从而0)1(lim =-+∞→n n n .（2）因为n n n n n n n n n n n 12212)1(3212233=+<+=+=++++ ，于是0>∀ε，取ε1=N ，N n >∀，必有ε<<-++++n n n 103213 ，所以0321lim 3=++++∞→n n n（3）因为当 n 为偶数时，n n n a n 111|1|=--=-当 n 为奇数时，nnn n nnn n n nn a n 111|1|222<++=-+=-+=-，故不管n 为偶数还是奇数，都有n a n 1|1|<-. 于是0>∀ε，取ε1=N ，N n >∀，必有ε<<-n a n 1|1|，所以 1lim =∞→n n a .P.33 习题1．求下列极限：⑴ 根据P.24例2 01lim=∞→an n ，0>a ，可得4131241131lim 32413lim 323323=++++=++++∞→∞→n n n n n n n n n n⑵ 0)21(lim 21lim 22=+=+∞→∞→n n n n n n⑶根据P.25例4 0lim =∞→n n q ，1||<q ，可得313)32(31)32(lim 3)2(3)2(lim 111=+-⋅+-=+-+-+∞→++∞→n nn n n nnn⑷ 211111lim lim )(lim 22=++=++=-+∞→∞→∞→n n n n n n n n n n n这是因为由P.29例1若aa n n =∞→lim ，则aa n n =∞→lim . 于是由1)11(lim =+∞→n n ，得1111lim ==+∞→n n .⑸ 10)1021(lim =+++∞→n n n n ，因为1lim =∞→n n a （0>a ）⑹ 23113113121121121lim 313131212121lim 22=--⋅--⋅=++++++∞→∞→nn n n n n2．设a a n n =∞→lim ，b b n n =∞→lim ，且b a <. 证明：存在正数N ，使得当N n >时，有n n b a <.证明由b a <，有b b a a <+<2. 因为2lim ba a a n n +<=∞→，由P.24保号性定理2.4，存在01>N ，使得当1N n >时有2b a a n +<. 又因为2lim b a b b n n +>=∞→，所以，又存在02>N ，使得当2N n >时有2b a b n +>. 于是取},m ax {21N N N =，当N n >时，有nn b b a a <+<2. 3．设}{n a 为无穷小数列，}{n b 为有界数列，证明：}{n n b a 为无穷小数列.证明因为}{n b 为有界数列，所以存在0>M ，使得 ,2,1,||=≤n M b n. 由}{n a 为无穷小数列，知,0,0>∃>∀N εN n >∀，M a n ε<||. 从而当N n >时，有εε=⋅<⋅=M Mb a b a n n n n ||||||，所以0lim =∞→n n n b a ，即}{n n b a 为无穷小数列.4．求下列极限（1）1111lim 11131212111lim )1(1321211lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋅+⋅∞→∞→∞→n n n n n n n n（2）因为nnn n212112181412128422222222===-+++ ，而)(12221121∞→→=<<n nnn，于是12lim 21=∞→nn ，从而222lim2222lim 21284==∞→∞→nnn n（3）32323lim 23221229272725253lim 2122321lim 13222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++-+-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++∞→-∞→∞→n n n n n n n n n n n（4）当2>n 时，11121<-<n ，n n n n 11121<-<，而11lim 21lim ==∞→∞→n n n n ，所以111lim =-∞→n n n .（5）因为)(,0111)2(1)1(11022222∞→→+=+≤++++<n n n n n n n n ，所以 0)2(1)1(11lim 222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++∞→n n n n（6）因为1112111222222=≤+≤++++++≤+nn n n n n n n nn n ，且1111limlim2=+=+∞→∞→nnn n n n ，所以112111lim 222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n 5．设}{n a 与}{n b 中一个是收敛数列，另一个是发散数列，证明}{n nb a ±是发散数列. 又问}{n n b a 和)0(≠⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n n b b a 是否必为发散数列.证明（用反证法证明）不妨设}{n a 是收敛数列，}{n b 是发散数列. 假设数列}{n nb a +收敛，则n n n n a b a b -+=)(收敛，这与}{n b 是发散数列矛盾，所以，数列}{n n b a +发散.同理可得数列}{n n b a -发散.}{n n b a 和)0(≠⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n n b b a 不一定是发散数列. 例如，若}{n a 是无穷小数列，}{n b 是有界的发散数列. 则}{n n b a 和)0(≠⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n n b b a 是无穷小数列，当然收敛.但是，有下列结果：如果0lim ≠=∞→a a n n ，}{n b 是发散数列，则}{n n b a 和)0(≠⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n n a a b 一定是发散数列.6．证明以下数列发散：（1）⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-1)1(n n n证明设1)1(+-=n n a nn ，则)(,11222∞→→+=n n n a n ，而121212-→--=-n n a n ，由P.33，定理2.8 知⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-1)1(n n n 发散. （2）{}nn )1(-证明{}nn )1(- 的偶数项组成的数列n a n 22=，发散，所以{}nn)1(-发散.（3）⎭⎬⎫⎩⎨⎧4cos πn 证明设4cosπn a n =，则子列 )(,118∞→→=n a n ，子列 )(,1148∞→-→-=+n a n ，故⎭⎬⎫⎩⎨⎧4cos πn 发散. 7．判断以下结论是否成立（若成立，说明理由；若不成立，举出反例）：（1）若}{12-k a 和}{2k a 都收敛，则}{n a 收敛.解结论不一定成立. 例如，设nn a )1(-=，则12=ka ，112-=-k a 都收敛，但n n a )1(-=发散.注若}{12-k a 和}{2k a 都收敛，且极限相等（即kk k k a a 212lim lim ∞→-∞→=），则}{n a 收敛.（2）若}{23-k a ，}{13-k a 和}{3k a 都收敛，且有相同的极限，则}{n a 收敛.证明设aa a a k k k k k k ===∞→-∞→-∞→31323lim lim lim ，则由数列极限的定义，知0>∀ε，01>∃K ，1K k >∀，ε<--||23a a k ；同样也有02>∃K ，2K k >∀，ε<--||13a a k ；03>∃K ，3K k >∀，ε<-||3a a k . 取}3,3,3m ax {321K K K N =，当N n >时，对任意的自然数 n ，若23-=k n ，则必有1K k >，从而ε<-||a a n；同样若13-=k n ，则必有2K k >，从而也有ε<-||a a n；若k n 3=，则必有3K k >，从而ε<-||a a n . 所以aa n k =∞→lim ，即}{n a 收敛.8．求下列极限：（1）n n k 2124321lim-∞→解因为n n 2126543210-<121)12)(12(12)12)(32(32755533311+=+-----⋅⋅⋅<n n n n n n n而0121lim =+∞→n k ，所以 02124321lim =-∞→n n k 另解因为12254322124321+<-n n n n ，设n n S n 2124321-=，1225432+=n n T n ，则n n T S <. 于是121+=⋅<n S T S S n n n n ，所以121+<n S n .（2）答案见教材P.312提示. （3）10],)1[(lim <<-+∞→αααn n k解 ]1)11[(]1)11[()1(0-+<-+=-+<n n n n n n ααααα)(,011∞→→==-n n n n αα所以，0])1[(lim =-+∞→ααn n k另解因为01<-α，所以11)1(--<+ααn n ，于是11)1()1(--+=+<+ααααn n n n n ，从而)(,0)1(01∞→→<-+<-n nn n ααα. （4）答案见教材P.312提示.9．设m a a a ,,21为 m 个正数，证明：},,max {lim 2121m n nn n n n a a a a a a =+++∞→证明因为 },,max{},,max{212121m n n nn n n m a a a n a a a a a a ≤+++≤而1lim =∞→n n n ，所以},,max {lim 2121m n nn n n n a a a a a a =+++∞→10．设aa n n =∞→lim ，证明：（1）a n na n n =∞→][lim；（2）若0,0>>n a a ，则1lim =∞→n n n a .证明（1）因为1][][+<≤n n n na na na ，所以nn n a n na n na ≤<-][1. 由于a n a n na n n n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∞→∞→1lim 1lim ，且a a n n =∞→lim ，从而a n na n n =∞→][lim .（2）因为 0lim >=∞→a a n n ，由P.29 定理 2.4，存在0>N ，使得当N n >时，有a a a n 232<<. 于是 n n n na a a 232<<，并且123lim 2lim ==∞→∞→n n n n a a ，所以1lim =∞→n n n a .P.38 习题1．利用e n nn =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim 求下列极限：（1）e n n n n n n n nn nn 11111111lim 1lim 11lim 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--∞→∞→∞→（2）e n n n nn n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→+∞→1111lim 11lim 1（3）e n n n n n nn =⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→∞→111111lim 111lim 1（4）en n n nn n n nn =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→⋅∞→∞→2212211lim 211lim 211lim注：此题的求解用到事实（P.29例1）：若aa n n =∞→lim ，且,2,1,0=≥n a n ，则aa n n =∞→lim .（5）nn n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→211lim 解因为数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+nn 11单调增加，且有上界 3，于是 )(,1311111222∞→→<⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+<n n n n n n n，所以111lim 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→nn n2．试问下面的解题方法是否正确：求nn 2lim ∞→解不正确. 因为极限nn 2lim ∞→是否存在还不知道（事实上极限nn 2lim ∞→不存在），所以设an n =∞→2lim 是错误的.3．证明下列数列极限存在并求其值：（1）设,2,1,2,211===+n a a a n n证明先证数列}{n a 的有界性，用数学归纳法证明：2是}{n a 的一个上界.221<=a ，假设2<n a ，则22221=⋅<=+n n a a ，所以}{n a 有上界2.其次证明}{n a 单调增加.2)2(21>+-=-=-+nn n n n n n n a a a a a a a a ，所以n n a a >+1，即}{n a 单调增加. 从而}{n a 极限存在，设a a n n =∞→lim ，在n n a a 221=+的两端取极限，得a a 22=，解之得 a = 0 (舍去) 和 2，所以2lim =∞→n n a .注：}{n a 的单调增加也可以如下证明：122221=>==+n n n n n a a a a a ，所以n n a a >+1.还可以如下得到：121214121214121122++++++++=<=+n na a n n n（2）设,2,1,),0(11=+=>=+n a c a c c a n n证明先证数列}{n a 的有界性，用数学归纳法证明：}{n a 的一个上界是 1 + c .c c a +<=11，假设c a n +<1，则c c c c a c a n n +=++<+<+=+1121221，所以}{n a 有上界1 + c .其次证明}{n a 单调增加（用数学归纳法证明）. 21a c c c a =+<=，假设n n a a <-1，于是n n a c a c +<+-1，从而n n a c a c +<+-1，即1+<n n a a . 故}{n a 单调增加. 所以}{n a 极限存在，设a a n n =∞→lim ，在n n a c a +=+21的两端取极限，得a c a +=2，解之得 2411ca +±=. 由于a n > 0 ，所以 a > 0 . 故 2lim =∞→n n a . （3）,2,1),0(!=>=n c n c a nn 证明先证}{n a 从某一项以后单调减少. 取自然数 N 使得 N > c ，于是当N n >时，nn n n n n a a N ca n c n c n c n c a <+<+=+=+=++11!1)!1(11，即从第N 项开始}{n a 单调减少.由于}{n a 的各项都大于零，所以}{n a 有下界0. 从而}{n a 极限存在. 设a a n n =∞→lim ，在n n a n c a 11+=+的两端取极限，得a a ⋅=0，故0=a ，即0lim =∞→n n a .4．利用⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n 11为递增数列的结论，证明⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛++nn 111为递增数列. 证明设nn n n n n a ⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=12111，要证： ,3,2,1=≤-n a a n n ，即因为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+nn 11为递增数列，所以有111111+⎪⎭⎫ ⎝⎛++<⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n n n ，即1121+⎪⎭⎫⎝⎛++<⎪⎭⎫ ⎝⎛+n nn n n n ，于是nnn n n n a n n n n n n n n n n n n n n a =⎪⎭⎫⎝⎛++<+⋅++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+⎪⎭⎫⎝⎛++<⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+--12112121121111.其中用到事实：1)1()2(1122≤++=+⋅++⋅n n n n n n n .5．应用柯西收敛准则，证明以下数列}{n a 收敛：（1）n n na 2sin 22sin 21sin 2+++=证明不妨设m n >，则有n m m m n nm m a a 2sin 2)2sin(2)1sin(||21+++++=-++n m m n m m n m m 2121212sin 2)2sin(2)1sin(2121+++≤+++++≤++++ ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++<⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=---+--+ m n m n m m n m 21212112121211211111 m m m 1212211<=⋅=+ 所以，0>∀ε，取ε1=N ，N m n >∀,，有ε<-||m n a a ，由柯西收敛准则，}{n a 收敛. （2）222131211n a n ++++= 证明不妨设m n >，则有2221)2(1)1(1||n m m a a m n +++++=- n n m m m m )1(1)2)(1(1)1(1-++++++≤ m n m n n m m m m 1111112111111<-=--+++-+++-=所以，0>∀ε，取ε1=N ，N m n >∀,，有ε<-||m n a a ，由柯西收敛准则，}{n a 收敛.6．证明：若单调数列}{n a 含有一个收敛子列，则}{n a 收敛.证明不妨设}{n a 是单调增加数列，}{k n a 是其收敛子列. 于是}{k n a 有界，即存在0>M ，使得 ,2,1,=≤k M a kn . 对单调增加数列}{n a 中的任一项m a 必有M a a km m ≤≤，即}{n a 单调增加有上界，从而收敛.7．证明：若0>n a ，且1lim1>=+∞→l a a n nn ，则0lim =∞→n n a证明因为1lim 1>=+∞→l a a n n n ，所以存在 r 使得1lim 1>>=+∞→r l a a n n n . 于是由数列极限的保号性定理（P.29），存在0>N ，当N n >时，ra a n n>+1，1+>n nra a . 从而有n N n N N N a r a r ra a 13221--+++>>>> ，因此，)(,0011∞→→<<--+n r a a N n N n ，故lim =∞→n n a .8．证明：若}{n a 为递增有界数列，则}sup{lim n n n a a =∞→；若}{n a 为递减有界数列，则}inf{lim n n n a a =∞→. 又问逆命题成立否？证明证明过程参考教材P.35，定理2.9（单调有界定理）.逆命题不一定成立. 例如数列⎪⎩⎪⎨⎧-=为偶数为奇数n n n a n 111，1}sup{lim ==∞→nn n a a ，但}{n a 不单调.9．利用不等式 0),()1(11>>-+>-++a b a b a n a bn n n ，证明：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛++111n n 为递减数列，并由此推出⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+nn 11为有界数列.证明设111+⎪⎭⎫⎝⎛+=n n n a ，由不等式 )()1(11a b a n a bn n n -+>-++，有1111++++-+->-n n n n n n a b a na b na a b ，于是b a na b na b n n n n +->++11，b na a na b n n n n 1+-+>.在上式中令1111,111-=-+=+=+=n n n b n n n a ，a b >，得 nnn n n n a ⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-11111nn nnn n n n n n n n n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+>11111nn nna n n n n n n n =⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+11111即n n a a >-1，故⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛++111n n 为递减数列.而4111111111=⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⎪⎭⎫⎝⎛+<⎪⎭⎫ ⎝⎛++n nn n ，所以⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+nn 11为有界数列. 10．证明：n n e n 3)11(<+- 证由上题知⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛++111n n 为递减数列，于是对任何n m >有， 111111++⎪⎭⎫ ⎝⎛+>⎪⎭⎫⎝⎛+m n n n ，令∞→m ，取极限得，en n >⎪⎭⎫ ⎝⎛++111 ①又因为nnnn n n n n n n ⎪⎭⎫⎝⎛++⋅<⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛++113111111111②由①、②得nn n n n e ⎪⎭⎫⎝⎛++<⎪⎭⎫ ⎝⎛+<+113111，从而 n n e n e n n 3)11()11(<+-=+-11．给定两正数 a 1 与 b 1 ( a 1 > b 1 )，作出其等差中项2112b a a +=与等比中项112b a b =，一般地令21nn n b a a +=+， ,2,1,1==+n b a b n n n证明：nn a ∞→lim 与nn b ∞→lim 皆存在且相等.证明因为11b a >，所以有nnn n n n a a a b a a =+<+=+221，即}{n a 单调减少. 同样可得}{n b 单调增加. 于是有11112b b b a b a a a n n n n n n ≥=≥+=≥++，即}{n a 单调减少有下界，}{n b 单调增加有上界，故n n a ∞→lim 与n n b ∞→lim 皆存在.在n n n b a a +=+12的两端取极限，可得n n n n b a ∞→∞→=lim lim12．设}{n a 为有界数列，记},,sup{1 +=n n n a a a ，},,inf{1 +=n n n a a a证明：⑴ 对任何正整数n ，n n a a ≥；⑵}{n a 为递减有界数列，}{n a 为递增有界数列，且对任何正整数n ，m 有m n a a ≥；⑶ 设a 和a 分别是}{n a 和}{n a 的极限，则a a ≥；⑷ }{n a 收敛的充要条件是a a =证 ⑴ 对任何正整数n ，n n n n n n n a a a a a a a =≥≥=++},,inf{},,sup{11⑵ 因为1211},,sup{},,sup{++++=≥=n n n n n na a a a a a ， ,2,1=n ，所以}{na 为递减有界数列.由1211},,inf{},,inf{++++=≤=n n n n n n a a a a a a ，知}{n a 为递增有界数列.对任何正整数n ，m ，因为}{n a 为递减有界数列，}{n a 为递增有界数列，所以有m m n m n n a a a a ≥≥≥++.⑶ 因为对任何正整数n ，m 有m n a a ≥，令∞→n 得，mn n a a a ≥=∞→lim ，即m a a ≥，令∞→m 得aa a m m =≥∞→lim ，故a a ≥.⑷ 设}{n a 收敛，a a n n =∞→lim . 则0>∀ε，0>∃N ，N n >∀，ε<-||a a n，εε+<<-a a a n . 于是有εε+≤<-a a a n ，从而a a a n n ==∞→l i m . 同理可得a a a n n ==∞→lim ，所以aa =反之，设a a =. 由a a n n =∞→lim ， a a a n n ==∞→lim ，得0>∀ε，0>∃N ，N n >∀，有εε+<<-a a a n 及εε+<<-a a a n ，从而εε+<≤≤<-a a a a a n n nP.40 总练习题1．求下列数列的极限：（1）n nn n 3lim 3+∞→解当3>n 时，有nn 33<，于是)(,323323333∞→→⋅=⋅<+<=n n n n n n n n n ，所以33lim 3=+∞→n n n n（2）nn e n 5lim∞→解设h e +=1，则当6>n 时，62!6)5()1(!2)1(1)1(hn n n h h n n nh h e n n n --≥++-++=+= ，于是)(,0)5)(4)(3)(2)(1(!60655∞→→-----⋅<<n h n n n n n n n e n n ，所以0lim 5=∞→n n e n解法2 用P.39 习题7的结论. 设n n e n a 5=，1)1(lim lim 5151>=+=+∞→+∞→e n e e n a a n n n n n n ，从而0lim lim 5==∞→∞→n n n n a e n .解法3 用P.27 习题2⑸的结果0))((lim lim 5515==∞→∞→n n n n e ne n解法4 用单调有界定理. 令nn e n a 5=，则51)11(1n e a a n n +=+. 因为e n n <=+∞→1)11(lim 5，所以存在0>N ，当N n >时，e n <+5)11(，从而当N n >时，1)11(151<+=+n e a a n n . 于是从N n >起数列}{n a 递减，且有下界0，因此}{n a 收敛. 设a a n n =∞→lim ，在等式nn a n e a ⋅+=+51)11(1的两端取极限，得a e a ⋅=1，所以0=a .（3）)122(lim n n n n ++-+∞→解 )]1()12[(lim )122(lim +-++-+=++-+∞→∞→n n n n n n n n n011121lim =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-++++=∞→n n n n n2．证明：（1）)1|(|0lim 2<=∞→q q n n n证明当0=q 时，结论成立.当1||0<<q 时，有1||1>q ，令0,1||1>+=h h q ，于是有nn h q )1(1+=，而由牛顿二项式定理，当3>n 时有3!3)2)(1()1(hn n n h n --≥+，从而)(0!3)2)(1()1(03222∞→→--≤+=<n h n n n n h n q n nn，所以lim 2=∞→n n q n另解用P.27 习题2⑸的结果)(sgn ))||1((lim lim 22==∞→∞→n nn n n q q n q n（2）)1(,0lg lim≥=∞→ααn nn证明因为0,lg ><x x x ，于是)(,022lg 2lg 021∞→→=<=<-n n n n n n n n αααα，所以0lg lim =∞→αn n n .（3）0!1lim =∞→n n n 证明先证明不等式：nn n ⎪⎭⎫⎝⎛>3!. 用数学归纳法证明，当1=n 时，显然不等式成立；假设nn n ⎪⎭⎫⎝⎛>3!成立，当 n + 1 时 nn n n n n n n n n n n ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+>⋅+=+131)1(3)1(!)1()!1(113111331++⎪⎭⎫ ⎝⎛+>⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+=n nn n n n故不等式nn n ⎪⎭⎫⎝⎛>3!成立. 由此可得)(,03!10∞→→<<n n n n ，所以0!1lim =∞→n n n另解用数学归纳法证明不等式：n n n≥!3．设aa n n =∞→lim ，证明：（1）a n a a a nn =+++∞→ 21lim（又问由此等式能否反过来推出a a n n =∞→lim ）证明因为aa n n =∞→lim ，于是有11,0,0N n N >∀>∃>∀ε，2||ε<-a a n . 从而当1N n >时，有n naa a a a n a a a n n -+++=-+++ 212122||||||||||||12121111εε+≤⋅-+≤-++-+-+-++-+-≤++n A n N n n A na a a a a a n a a a a a a n N N N其中||||||121a a a a a a A N -++-+-= 是一个定数. 再由0lim =∞→n A n ，知存在02>N ，使得当2N n >时，2ε<n A . 因此取},m ax {21N N N =，当N n >时，有εεεε=+<+≤-+++22221n A a n a a a n .反过来不一定成立. 例如nn a )1(-=不收敛，但0lim21=+++∞→n a a a nn .练习：设+∞=∞→n n a lim ，证明：+∞=+++∞→n a a a n n 21lim(2) 若),2,1(0 =>n a n ，则a a a a n n n =∞→ 21lim证明先证算术平均值—几何平均值—调和平均值不等式：na a a a a a a a a nnn n n+++≤≤+++ 212121111算术平均值—几何平均值不等式：n a a a a a a nnn +++≤2121对任何非负实数1a ，2a 有2)(212121a a a a +≤，其中等号当且仅当21a a =时成立. 由此推出，对4个非负实数1a ，2a ，3a ，4a 有2143212121432121414321)22(])()[()(a a a a a a a a a a a a +⋅+≤=422243214321a a a a a a a a +++=+++≤按此方法继续下去，可推出不等式n a a a a a a nn n +++≤ 2121对一切kn 2=（,2,1,0=k ）都成立，为证其对一切正整数n 都成立，下面采用所谓的反向归纳法，即证明：若不等式对某个)2(≥n 成立，则它对1-n 也成立.设非负实数121,,,-n a a a ，令)(11121-+++-=n n a a a n a ，则有)1(1)1()(12112111211121-+++++++≤-+++⋅----n a a a a a a n n a a a a a a n n n n nn整理后得)(11)(12111121---+++-≤n n n a a a n a a a ，即不等式对1-n 成立，从而对一切正整数n 都成立.几何平均值—调和平均值不等式n nna a a a a a n2121111≤+++的证明，可令i i x y 1=，再对i y （n i ,,2,1 =）应用平均值不等式.由),2,1(0 =>n a n ，知0lim ≥=∞→a a n n . 若0≠a ，则a a n n 11lim=∞→. 由上一小题的结论，有)(,111212121∞→→+++≤≤+++n a na a a a a a a a a nnn n n而a an a a a a a a n n n n n ==+++=+++∞→∞→111111lim 111lim 2121 ，所以aa a a n n n =∞→ 21lim .若0=a ，即0lim =∞→n n a ，则11,0,0N n N >∀>∃>∀ε，ε<na . 从而当1N n >时，有n N n n N n n N N nn a a a a a a a a a a a 11112112121-+⋅≤⋅=εεεεε⋅=⋅=⋅=--n n N N nN n n N A a a a a a a 11112121其中1121N N a a a A -=ε ，是定数，故21lim <=∞→nn A ，于是存在02>N ，使得当2N n >时，2<n A . 因此取},m ax {21N N N =，当N n >时，有εε221<⋅≤n nn A a a a ，故0lim 21=∞→n n n a a a4．应用上题的结论证明下列各题：（1）0131211lim=++++∞→n n n证明令n a n 1=，则01lim lim ==∞→∞→n a n n n ，所以0131211lim =++++∞→n n n .（2）)0(1lim >=∞→a a n n证明令a a =1， ,3,2,1==n a n ，则1lim =∞→n n a ，从而1lim lim lim 21===∞→∞→∞→n n n n n n n a a a a a（3）1lim =∞→n n n证明令11=a ， ,3,2,1=-=n n na n ，则1lim =∞→n n a ，于是1lim lim 13423121lim lim 21===-⋅⋅⋅⋅⋅=∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n a a a a n nn .（4）!1lim=∞→nn n证明令,2,1,1==n n a n ，则0lim =∞→n n a ，所以1lim 1211lim 3211lim !1lim==⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n n n（5）e n n n n =∞→!lim 证明令,3,2,111111=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--n n n n a n n n ，则ea n n =∞→lim ，所以en n n n n n n n n n n n n n nn n n =⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅==-∞→-∞→∞→∞→114321lim 14534232lim !lim !lim另证令 ,2,1,!==n n n a nn ，则en a a n n n n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-∞→-∞→11111lim lim . 于是e a a a a a a a a a n nn n n n n n n n n n n n ==⋅⋅⋅==-∞→-∞→∞→∞→112312lim lim lim !lim .（6）1321lim 3=++++∞→n nn n证明因为1lim =∞→n n n ，所以1lim 321lim 3==++++∞→∞→n n nn n n n（7）若)0(lim 1>=+∞→n n n n b a b b，则a b n n n =∞→lim证明n n n n n n n nn n n n n n b b b b bb b b b b b b b b b 112312112312lim lim lim lim ∞→+∞→+∞→∞→⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=ab b n n n =⋅=+∞→1lim1（8）若d a a n n n =--∞→)(lim 1，则d n a nn =∞→lim证明设10=a⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-+=-∞→∞→n a a a a a a n an a n n n n n )()()(lim lim11201d a a n a a a a a a n a n n n n n n n =-+=-++-+-+=-∞→-∞→∞→)(lim 0)()()(lim lim11120105．证明：若}{n a 为递增数列，}{n b 为递减数列，且 0)(lim =-∞→n n n b a ，则n n a ∞→lim 与nn b ∞→lim 都存在且相等.证明因为)(lim =-∞→n n n b a ，所以}{n n b a -有界，于是存在0>M ，使得M b a M n n ≤-≤-. 从而有1b M b M a n n +≤+≤， M a M a b n n -≥-≥1，因此}{n a 为递增有上界数列，}{n b 为递减有下界数列，故n n a ∞→lim 与nn b ∞→lim 都存在. 又因为0)(lim lim lim =-=-∞→∞→∞→n n n n n n n b a b a ，所以 nn n n b a ∞→∞→=lim lim .6．设数列}{n a 满足：存在正数M ，对一切 n 有M a a a a a a A n n n ≤-+-+-=-||||||12312证明：数列}{n a 与}{n A 都收敛.证明数列}{n A 单调增加有界，故收敛. 由柯西收敛准则，0,0>∃>∀N ε，当N n m >>时，ε<-||n m A A . 于是ε<-=-++-+-≤-+---n m n n m m m m n m A A a a a a a a a a ||||||||1211所以由柯西收敛准则，知数列}{n a 收敛.7．设⎪⎭⎫ ⎝⎛+=>>a a a a σσ21,0,01，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+n n n a a a σ211, ,2,1=n ，证明：数列}{n a 收敛，且其极限为σ证明因为σσσ=⋅≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+n n n n n a a a a a 211，故数列}{n a 有下界σ.112112121=⎪⎭⎫⎝⎛+≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+σσσn n n a a a ，于是n n a a ≤+1，即数列}{n a 单调减少，从而数列}{n a 收敛. 设A a n n =∞→lim ，由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+n n n a a a σ211，得σ+=+212n n n a a a ，两端取极限得，σ+=222A A ，解得σ=A ，所以σ=∞→n n a lim .8．设011>>b a ，记211--+=n n n b a a ，11112----+⋅=n n n n n b a b a b ， ,3,2=n . 证明：数列}{n a 与}{n b 的极限都存在且等于11b a .证因为 111121111212111112)(2--------------+⋅-+=++≤+⋅=n n n n n n n n n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b n n n n n n n n n b b a b a b a b a -+=+⋅-+=--------111111112，所以nn n n a b a b =+≤--211， ,3,2=n数列}{n a 是递减的：nnn n n n a a a b a a =+≤+=+221， ,2,1=n数列}{n a 有下界：0211≥+=--n n n b a a ， ,2,1=n ，所以}{n a 收敛，设a a n n =∞→lim .数列}{n b 是递增的：11111111122---------=+⋅≥+⋅=n n n n n n n n n n b a a ba b a b a b ， ,3,2=n数列}{n b 有上界：1a a b n n ≤≤， ,2,1=n ，所以}{n b 收敛，设b b n n =∞→lim .令∞→n 在211--+=n n n b a a 的两端取极限，得b a =.211--+=n n n b a a 与11112----+⋅=n n n n n b a b a b 两端分别相乘，得11--=n n n n b a b a ， ,3,2=n 所以有11b a b a n n=， ,3,2=n ，令∞→n 取极限得11b a ab =，从而11b a a =。

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第二章
一、判断
1. 正规矩阵的最小多项式无重零点. ( )
2. 酉矩阵的最小多项式无重零点. ( )
3. 若 A În ´n 可对角化, 则其特征多项式必无重零点. ( )
4. 设A 是4阶正规矩阵, A 的特征值是1, 1, 2, 2。

则A 的最小多项式
()(1)(2)ϕλλλ=--. ( )
5. 设A 是3阶正规矩阵, A 的特征值是3, 2, 2。

则A 的第3个不变因子
23)2)(3()(--=λλλd . ( )
6. 设A 是4阶正规矩阵, A 的特征值是1, 1, 2, 2。

则A 的第3个不变因子
3()(1)(2)d λλλ=--. ( )
7. 若 A Î
m ´n ，则 A H A 的特征值必为非负实数. ( ) 8. 设 A În ´n ，若 A H =A ,则对任意的 x În ,x H Ax 均为实数. ( )
9. 若满足02=+E A ，则A 可对角化. ( )
10. 若满足E A A 22=+，则A 可对角化. ( )
11. 正规矩阵n n C A ⨯∈是酉矩阵的充要条件是A 的特征值都是实数. ( )
12. 若A A H =，则R A ∈)(σ. ( )
13. 若A 为正规矩阵，则其对应于不同特征值的特征向量是正交的. ( )
二、填空
1．设 A Î4´4, 且
d 4(l )=(l -1)(l -2), 则 A 3-4A 2+5A -2E = . 2. 设 A =[a ij ]5´5为酉矩阵， B =A -1，记 B =[b ij ]n ´n ，则 b ij 2
=i ,j =15å . 3．设 A Î4´4为正规矩阵，其特征值为1、1、2、4，则 A 的最小多项式为 .
4．设A 为正规矩阵，其特征值为1、3、3. 若B A ~，则B E -λ的最后一个不变因子为 .
5. 设⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=200120002A ，则A 的最小多项式为 . 三计算
1．已知方阵55⨯∈C A 的特征矩阵A E -λ的初等因子组为
22)1(,)1(,1+--λλλ.
求（1）A E -λ的Smith 标准型)(λS ；
（2）A 的Jordan 标准型J ；
（3）A 的有理标准型C.
2.已知方阵55⨯∈C A 的特征矩阵A E -λ的初等因子组为)1(),1(,)2(,12++--λλλλ.
求（1）A E -λ的Smith 标准型)(λS ；（2）A 的Jordan 标准型J ；（3）A 的有理标准型C.
3. 设
A =-110-430102éëêêêùûúúú，求 l E -A 的Smith 标准形、 A 的Jordan 标准形和 A 的有理标准形.
四、证明题
1．设矩阵
22212A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，212122B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，2222222C ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
（1）证明下列矩阵中的任何两个都不能相似；
（2）求出它们各自的最小多项式.
2．证明下列矩阵
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=b b b b A ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=b b b b B 11，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=b b b b C 111
中的任何两个都不能相似。

3．设矩阵
1a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，22a a B a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，333a a C a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
（0a ≠）
（1）证明下列矩阵中的任何两个都不能相似；
（2）求出它们各自的最小多项式.
4. 设矩阵
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=313313A ，⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=331313B ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡=3131313
C （1）证明上列矩阵中的任何两个都不能相似；
（2）求出它们各自的最小多项式.
5. 设
.200011001 ,011101110⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
=B A
证明B A ,不相似.
6. 设⎪⎪⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a a B a a a a A 000000100
010 ,100010000000，
（1）判断B A ,是否相似；
（2）分别写出B A ,的最小多项式.。