克里格插值法的应用

克里金(克里格)(Corigine)算法

克里格，或者说克里金插值Kriging。

法国krige名字来的。

特点是线性，无偏，方差小，适用于空间分析。

所以很适合地质学、气象学、地理学、制图学等。

相对于其他插值方法。

主要缺点：由于他要依次考虑（这也是克里格插值的一般顺序）计算影响范围，考虑各向异性否，选择变异函数模型，计算变异函数值，求解权重系数矩阵，拟合待估计点值，所以反映速度很慢。

（当然也看你算法设计和电脑反应速度了呵呵）。

而那些趋势面法，样条函数法等。

虽然较快，但是毕竟程度和适合用范围都大受限制。

具体对比如下：方法外推能力逼近程度运算能力适用范围距离反比加权法分布均匀时好差快分布均匀最近邻点插值法不高强很快分布均匀三角网线性插值高差慢分布均匀样条函数高强快分布密集时候克里金插值高强慢均可克里格插值又分为：简单，普通，块，对数，指示性，泛，离析克里金插值等。

克里金插值的变异函数球形模型，指数模型，高斯模型，纯块金模型，幂函数模型，迪维生模型等。

以下结合我的绘制等值线（等高线）的程序和高斯迭代解矩阵方程方法以及多元线性回归方法（此两方法实现另补充）说明克里格方法的实现：注：选择变异函数模型为球形模型，选择插值方法为普通克里金，我为了简化问题，考虑为各向同性，变差距离为固定。

int i,j,i0,i1,j0,j1,k,l,m,n,p,h;//循环变量double *r1Matrix;//系数矩阵double *r0Matrix;//已知向量double *langtaMatrix;//待求解向量double *x0;//已知点横坐标double *y0;//已知点纵坐标double * densgridz;//存储每次小方格内的已知值。

double densgridz0;//待求值int N1=0;//统计有多少个已知值double r[71],r0[71];int N[70];for(i=0;i<100;i++){for(j=0;j<100;j++){if(bdataprotected[i*100+j]) continue;//原值点不需要插值//1.遍历所有非保护网格。

克里格插值

克里格插值什么是克里格插值？距离权重倒数插值和样条法插值被归类为确定性的插值方法，因为它们是直接基于周围已知点的值进行计算或是用指定的数学公式来决定输出表面的平滑度的插值方法。

而第二个插值方法家族包括的是一些地统计学的插值方法（如克里格插值），这些方法基于一定的包括诸如自相关（已知点间的统计关系）之类的统计模型。

因此，这些方法不仅有能力生成一个预测表面，而且还可以给出预测结果的精度或确定性的度量。

克里格插值与距离权重倒数插值相似之处在于给已知的样本点赋权重来派生出未知点的预测值。

这两种内插方法的通用公式如下，表达为数据的权重总和。

其中， Z(Si)是已测得的第i个位置的值；λi是在第i个位置上测得值的未知的权重；S0是预测的位置；N 是已知点（已测得值的点）的数目。

在距离权重倒数插值中，权重λi仅取决于距预测位置的距离。

然而，在克里格插值中，权重不仅建立在已知点和预测点位置间的距离的基础上，而且还要依据已知点的位置和已知点的值的整体的空间分布和排列。

应用权重的空间排列，空间自相关必须量化。

因此，运用普通克里格插值（Ordinary Kriging），权重λi取决于已知点的拟合模型、距预测位置的距离和预测点周围的已知点间的空间关系。

利用克里格方法进行预测，必须完成以下两个任务：（1）揭示相关性规则。

（2）进行预测。

要完成这两项任务，克里格插值方法通过以下两个步骤完成：（1）生成变异函数和协方差函数，用于估算单元值间的统计相关（也叫空间自相关），而变异函数和协方差函数也取决于自相关模型（拟合模型）。

（2）预测未知点的值。

因为前面已经说过的两个明确的任务，因此要用克里格方法对数据进行两次运算：第一次是估算这些数据的空间自相关而第二次是做出预测。

变异估计（Variography）变异估计就是拟合一个数学模型或空间模型，象已知的结构分析。

在已测点结构的空间建模中，首先得出经验半变异函数的曲线图，计算如下：半变异函数（距离h）＝ 0.5*均值[ (在i 位置的值－在j 位置的值)2 ]用于计算被距离h分隔的每一点对相对应的位置。

地球物理计算常用的插值方法-克里格法

克里格法（Kriging）是地统计学的主要内容之一，从统计意义上说，是从变量相关性和变异性出发，在有限区域内对区域化变量的取值进行无偏、最优估计的一种方法；从插值角度讲是对空间分布的数据求线性最优、无偏内插估计一种方法。

克里格法的适用条件是区域化变量存在空间相关性。

克里格法，基本包括普通克里格方法（对点估计的点克里格法和对块估计的块段克里格法）、泛克里格法、协同克里格法、对数正态克里格法、指示克里格法、折取克里格法等等。

随着克里格法与其它学科的渗透，形成了一些边缘学科，发展了一些新的克里金方法。

如与分形的结合，发展了分形克里金法；与三角函数的结合，发展了三角克里金法；与模糊理论的结合，发展了模糊克里金法等等。

应用克里格法首先要明确三个重要的概念。

一是区域化变量；二是协方差函数，三是变异函数一、区域化变量当一个变量呈空间分布时，就称之为区域化变量。

这种变量反映了空间某种属性的分布特征。

矿产、地质、海洋、土壤、气象、水文、生态、温度、浓度等领域都具有某种空间属性。

区域化变量具有双重性，在观测前区域化变量Z(X)是一个随机场，观测后是一个确定的空间点函数值。

区域化变量具有两个重要的特征。

一是区域化变量Z(X)是一个随机函数，它具有局部的、随机的、异常的特征；其次是区域化变量具有一般的或平均的结构性质，即变量在点X与偏离空间距离为h的点X＋h处的随机量Z(X)与Z(X+h)具有某种程度的自相关，而且这种自相关性依赖于两点间的距离h与变量特征。

在某种意义上说这就是区域化变量的结构性特征。

二、协方差函数协方差又称半方差，是用来描述区域化随机变量之间的差异的参数。

在概率理论中，随机向量X与Y 的协方差被定义为：区域化变量在空间点x和x+h处的两个随机变量Z(x)和Z(x+h)的二阶混合中心矩定义为Z(x)的自协方差函数，即区域化变量Z(x) 的自协方差函数也简称为协方差函数。

一般来说，它是一个依赖于空间点x 和向量h 的函数。

克里格插值

0x 克里格（Kringing ）插值法是建立在统计学理论基础上，实际上是利用区域化变量的原始数据和半方差数据的结构特征，对位采样点的区域化变量的取值进行线性最优无偏估计的一种方法，也就是根据待估样点有限领域内若干已经择定的测定的样点数据，在认真考虑了阳电的形状、大小和相互空间位置之间的关系，以及他们与待估样点见相互位置关系和编译函数提供的结构信息之后，对待估样点间相互位置关系的编译函数提供的结构信息之后，对待估样点值进行的一种线性最优无偏估计。

下图为运用克里格法计算未知点的值的一般步骤：其插值原理如下：设在某一研究内未知点0x 的属性为)(0x Z ，其周围相关范围内有n 个已知已测点),,2,1(n i x i ⋯=。

通过n 个测定值的线性组合求其估计值)(0x Z ：)()(10i n i i x Z x Z ∑==λ式中i λ为)(i x Z 位置有关的加权系数，并且∑==ni i 11λ克里格插值法是根据无偏估计和方差最小的要求来确定上式中的系数i λ。

1.构造半变异系数：设j x 和i x 的距离问为h 。

设n 个样点中mh 对样点的距离为h ，以他们的含量差)(-)(i j x Z x Z 构造的半变异函数为：2))()((21)(∑=--=h x x i j i j x Z x Z m h a 2.拟合得出变异系数：将n 个样点的含量带入公式，使用直线函数进行拟合3.构造矩阵和向量：求出任意两个已知点的半变异函数值，构造矩阵A:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=011110101021221112n n n n a a a a a a A 取任意一个已知点i x ，求出与未知点0x 的距离并代入求出该点与未知点0x 的半变异函数值0i a ，得到向量B:)1,,,,(02010n a a a B ⋯=方程AX=B 的姐的前n 个分量即为公式（）的权重系数i λ。

克里格估值方法(一)

克里格估值方法(一)克里格估值方法详解什么是克里格估值法？克里格估值法（Kriging）是一种通过插值方法对未知地点进行估值的统计技术。

它将已知地点上的观测值用于预测未知地点上的数值，常用于地质、地理、环境等领域的研究。

克里格估值法通过建立空间相关性模型，可以提供对未知地点上现象的可信度估计。

克里格估值法的基本原理克里格估值法的基本原理是空间相关性。

其假设对空间上相邻点之间的值存在一定的相关性，且该相关性可通过距离进行量化。

基于该假设，克里格估值法可以通过已知点与未知点之间的空间距离进行权重的计算，进而进行预测。

克里格估值法的步骤1.数据获取：克里格估值法需要已知点的观测值作为输入，可以通过采集现有数据或者实地测量获得。

2.空间相关性分析：通过观测值之间的空间相关性判断模型类型，常用的模型包括球型模型、指数模型和高斯模型等。

3.参数估计：使用已知观测值中的半方差数据，通过最小二乘法或最大似然法对模型的空间相关参数进行估计。

4.半方差图绘制：通过绘制半方差图，可以了解观测值之间的空间相关性和变化趋势。

5.克里格估值：根据已知点的观测值和模型的参数，计算未知点上的估值。

常用的克里格估值方法包括简单克里格法、普通克里格法和泛克里格法等。

6.估值验证：通过验证估值和实际值之间的误差，评估克里格估值方法的精度和可靠性。

克里格估值法的优缺点克里格估值法作为一种插值方法具有以下优点： - 利用空间相关性进行预测，能够充分利用已知数据的信息； - 通过建立空间模型，可以对估值进行可靠的分析和解释； - 适用于各种数据类型和标度水平，可用于多种研究领域。

然而，克里格估值法也存在一些缺点： - 对观测值的空间相关性要求较高，如果空间相关性较弱，克里格估值的精度可能较低； - 克里格估值法对异常值敏感，对异常值进行处理是很重要的一步； - 克里格估值法无法考虑其他外部因素的影响，如地形、土壤等因素。

克里格估值法的应用领域克里格估值法广泛应用于地理信息系统（GIS）、环境调查和资源评价等领域，常见的应用包括： - 土壤污染程度评估； - 水资源管理及水质预测； - 土地利用规划和生态环境研究； - 地质勘探和矿产资源评估。

克里金插值

克里金(Kriging)插值克里金(Kriging)插值法又称空间自协方差最佳插值法，它是以南非矿业工程师D．G．Krige的名字命名的一种最优内插法。

克里金法广泛地应用于地下水模拟、土壤制图等领域，是一种很有用的地质统计格网化方法它首先考虑的是空间属性在空间位置上的变异分布．确定对一个待插点值有影响的距离范围，然后用此范围内的采样点来估计待插点的属性值。

该方法在数学上可对所研究的对象提供一种最佳线性无偏估计(某点处的确定值)的方法。

它是考虑了信息样品的形状、大小及与待估计块段相互间的空间位置等几何特征以及品位的空间结构之后，为达到线性、无偏和最小估计方差的估计，而对每一个样品赋与一定的系数，最后进行加权平均来估计块段品位的方法。

但它仍是一种光滑的内插方法在数据点多时，其内插的结果可信度较高。

克里金法类型分常规克里金插值(常规克里金模型／克里金点模型)和块克里金插值。

常规克里金插值其内插值与原始样本的容量有关，当样本数量较少的情况下，采用简单的常规克里金模型内插的结果图会出现明显的凹凸现象；块克里金插值是通过修改克里金方程以估计子块B内的平均值来克服克里金点模型的缺点，对估算给定面积实验小区的平均值或对给定格网大小的规则格网进行插值比较适用。

块克里金插值估算的方差结果常小于常规克里金插值，所以，生成的平滑插值表面不会发生常规克里金模型的凹凸现象。

按照空间场是否存在漂移(drift)可将克里金插值分为普通克里金和泛克里金，其中普通克里金(Ordinary Kriging简称OK法)常称作局部最优线性无偏估计．所谓线性是指估计值是样本值的线性组合，即加权线性平均，无偏是指理论上估计值的平均值等于实际样本值的平均值，即估计的平均误差为0，最优是指估计的误差方差最小。

在科学计算领域中，空间插值是一类常用的重要算法，很多相关软件都内置该算法，其中GodenSoftware 公司的Surfer软件具有很强的代表性，内置有比较全面的空间插值算法，主要包括：Inverse Distance to a Power（反距离加权插值法）Kriging（克里金插值法）Minimum Curvature（最小曲率）Modified Shepard's Method（改进谢别德法）Natural Neighbor（自然邻点插值法）Nearest Neighbor（最近邻点插值法）Polynomial Regression（多元回归法）Radial Basis Function（径向基函数法）Triangulation with Linear Interpolation（线性插值三角网法）Moving Average（移动平均法）Local Polynomial（局部多项式法）下面简单说明不同算法的特点。

克里格插值法的应用

克里格插值法的应用
克里格插值法[14]（Kriging）是用协方差函数和变异函数来确定高程变量随空间距离而变化的规律,以距离为自变量的变异函数,计算相邻高程值关系权值,在有限区域内对区域化变量进行无偏最优估计的一种方法，是地统计学的主要方法之一。

ArcGIS9.3中的克里格插值方法主要有以下几种类型：普通克里格（Ordinary Kriging）、简单克里格（Simple Kriging）、泛克里格（Universal Kriging）、指示克里格（Indicator Kriging）、概率克里格（Probability Kriging）、析取克里格（Disjunctive Kriging）和协同克里格（Co-Kriging）。

不同的插值方法的适用的条件不同，普通克里格法、简单克里格法和泛克里格法前提条件是样本数据符合正态分布。

当假设高程值的期望值是未知时，选用普通克里格；当假设高程值的期望值为某一已知常数时，选用简单克里格；当只需了解属性值是否超过某一阈值时，选用指示克里格；当数据存在主导趋势时，选用泛克里格；若不服从正态分布时，选用析取克里格；当同一事物的两种属性存在相关关系，且一种属性不易获取时，可选用协同克里格方法，借助另一属性实现该属性的空间内插。

使用克里格首先要进行数据分析的，看它是否满足条件，如果不满足要进行数据变换。

克里格插值法很复杂的,计算时间也慢，一般情况下用反距离权重和自然邻近差值(voronoi) 若数据，不服从正太分布？但是还想用克里金方法进行差值，该怎么调整数据？
探索性数据分析工具在，直方图，倒U型为正态分布。

克里金插值方法介绍

特殊地，当h=0时，上式变为 Var[Z(u)]=C(0), 即方差存在且为常数。
u+h u
本征假设 intrinsic hypothese
（比二阶平稳更弱的平稳假设）
当区域化变量Z(u)的增量[Z(u)-Z(u+h)]满足下列二条件时，称其为满足本征假设或内蕴假设。
①在整个研究区内有 E[Z(u)-Z(u+h)] = 0
半变差函数(或半变异函数)
在二阶平稳假设，或作本征假设，此时：
E[Z(x)-Z(x+h)] = 0 h
则：
(x,h) =
1
2 Var[Z(x)-Z(x+h)]
=
1 2
E[Z(x)-Z(x+h)]2-{E[Z(x)-Z(x+h)]}2
(x,h)
=
1 2
E[Z(x)-Z(x+h)]2
地质统计学中最常用的基本公式之一。
min
应用拉格朗日乘数法求条件极值
j
E
Z *x0 Zx0 2
2
n
j
0,
i1
j 1,, n
Z*(x0)
进一步推导，可得到n+1阶的线性方程组, 即克里金方程组
n
i 1
C
xi
xj
i
C
x0
n
xj
i 1
i 1
j 1,, n
当随机函数不满足二阶平稳,而满足内蕴（本征）假设时, 可用变差函数来表示克里金方程组如下:
•在实际变程处，变差函数为0.95c。
•模型在原点处为抛物线。
幂函数模型：
h c.h
幂函数模型为一种无基
台值的变差函数模型。这