3.4岩石的流变性质解析

3.4岩石的流变性质在上节中所讨论的岩石变形特性都是在加载后瞬时的变形特性，这些变形特性与时间是无关。

但实际上，种类岩土工程的变形都不同程度上与时间有关。

例如，在中硬以下岩石及软岩中开掘的隧道、矿山巷道等地下工程，经常出现顶板下沉、边墙挤进和底板隆起等工程使用空间缩小现象。

这就是岩石流变性质的显现。

研究岩石流变性质，对解决岩土工程的维护设计和长期稳定性问题有十分重要的意义。

其中，蠕变现象是岩土工程中显现最明显，对工程稳定性影响最大的流变现象，是岩石流变理论研究中的常规内容。

3.4.1典型蠕变曲线特征以应变ε为纵座标，时间t为横座标，作应变与时间的关系曲线（如图3.24所示），该曲线就是蠕变曲线。

它的形状和特性与岩石性质、加载水平等多种因素有关，各种蠕变曲线的形状和特性不尽相同。

图3.24是一条典型的蠕变曲线。

从曲线形态上看，可将该曲线分成三个阶段：Ⅰ.AB阶段，称作为瞬态蠕变阶段（或称初始蠕变阶段）。

加载：首先岩石特产生瞬时的弹性应变，这一应变是与时间无关的，如图中所示的OA 段。

当外荷载维持一定的时间后，岩石将产生一部分随时间而增大的应变，此时的应变速率将随时间的增长远渐减小，曲线呈下凹型，并向直线状态过渡。

卸载：岩石的瞬时弹性应变最先恢复，如图中的PQ段。

之后，随着时间的增加，其剩余应变亦能逐渐地恢复，如图中的QR段。

QR段曲线的存在，说明岩石具有随时间的增长应变逐渐恢复的特性，这一特性被称作为弹性后效。

Ⅱ.BC阶段，被称作为稳定蠕变阶段（或称等速蠕变阶段）。

加载：在这一阶段最明显的特点是应变与时间的关系近似地呈直线变化，应变速率为一常数，该应变率与作用的外荷载的大小和介质的粘滞系数η有关。

卸载：出现与第一阶段卸载时一样的特性，弹性后效仍然存在，但是这时的应变已无法全部恢复，存在着部分不能恢复的永久变形。

Ⅲ.C点以后阶段，为非稳态蠕变（或称加速蠕变阶段）。

加载：当应变达到C点后，岩石将进入非稳态蠕变阶段。

这时岩石的应变速率剧烈增加，整个曲线至上凹型，经过短暂的时间后试件特发生破坏。

C点往往被称作为蠕变极限应力，其意义类似于屈服应力。

图3.24岩石典型的蠕变曲线3.4.2岩石蠕变的影响因素（1）岩性岩石本身性质是影响其蠕变性质的内在因素。

图3.25为花岗岩等三种性质不同的岩石在室温和10MPa压应力下的蠕变曲线，由图可知，像花岗岩一类坚硬岩石，其蠕变相对很小，加荷后在很短时间内变形就趋于稳定，这种蠕变常常可忽略不计；而像页岩、泥岩一类软弱岩石，其蠕变就很明显，变形以常速率持续增长直至破坏。

此外，岩石的结构构造、孔隙串及含水性等对岩石蠕变性质也有明显的影响。

图3.25 常温下几种岩石的典型蠕变曲线（2）应力对同一种岩石来说，应力大小不同，蠕变曲线的形状及各阶段的持续时间也不同。

图3.26为雪花石膏在不同应力下的蠕变曲线，由图可知：在低应力(小于12．5MPa)下，曲线不出现加速蠕变阶段；在高应力(大于25MPa)下，则几乎不出现等速蠕变阶段，由瞬时变形很快过渡到加速蠕变阶段，直至破坏；而在中等应力条件下，曲线呈反“s”型，蠕变可明显分为三个阶段，但其等速阶段所持续的时间随应力增大而缩短。

图3.26雪花石膏在不同压应力下的蠕变曲线（3）温度、湿度温度和湿度对岩石蠕变有较大的影响。

图3.27为人造盐岩在围压3102Mpaσ=和不同温度下的蠕变曲线。

由图可见，随着温度的提高，岩石的总应变与等速阶段的应变速率都明显增加了。

另外，试验研究表明岩性不同，岩石的总应变及蠕变速率随温度增加的幅度也不相同。

湿度对岩块蠕变也有类似的影响，如Griggs(1940)将雪花石霄浸到不同溶液中进行单轴蠕变试验，发现其总应变及蠕变速率比干燥的大，且随溶液性质不同而不同。

图3.27人造盐岩在围压3102Mpaσ=和不同温度下的蠕变曲线3.4.3 岩石的流变力学模型要研究岩石的流变现象，必须首先建立其考虑时间因素的应力－应变关系称之为流变力学方程，常用的流变力学方程中最重要的是蠕变方程。

它是在试验的基础上建立的，通常包括微分模型、经验模型和积分模型等三类。

其中微分力学模型是由多个能够表征不同力学性质的元件组成的物理模型推导出来的，不仅直观、易懂，而且各种元件可以任意组合，以满足不同特性的岩石流变性质的表征需要，因此，在国内外应用广泛。

经验模型来自于对实际工程的长期连续测试数据的统计分析。

下面对这两类模型进行分别介绍。

3.4.3.1.微分流变模型这里将岩石的变形性质分解成刚性、弹性、塑性和粘性的四种基本形式，并用相应的基本元件来表征。

若干个不同元件组合成的模型又可用于表征复杂的岩石流变性质。

这里先基本建立元件的应力－应变关系，再推出组合元件的应力－应变关系。

前三种性质和时间无关，在以往的。

由粘性体流动所代表的材料变形性质和变形（运动）的速率有关。

根据试验资料，常可直观地大致判断所涉及的基本元件及组合形式。

这是模型方法的基本特点。

正是这种直观性和可组合性，现今的流变模型理论在国内外获得广泛应用。

一、基本元件上述提及的刚性、弹性、塑性和粘性的四种基本元件，其中前3种都与时间无关，曾经学习过。

下面仅介绍粘性元件，并将四种基本元件的力学特性列于表3.8。

粘性通常用牛顿体来表征，如图3.28所示，粘缸内装牛顿液体，设有一带孔活塞。

该元件不论何种加载方式，都没有瞬时应变。

但由于活塞中的小孔沟通两侧的液体，在恒定力作用下，随后活塞将发生缓慢移动，其应力与应变率成正比，即（牛顿体的本构关系）：σηε=g d d εεη=g （3.12） 式中εg—应变率；η—粘性系数（粘性模数），单位为泊（poise ）；1 poise=0.1N ·s/㎜。

式（3.12）为线性关系，故牛顿液体又称为线粘性液体。

与其相应，理想液体的η＝0，而非牛顿液体的η≠const 。

图3.28 粘性体（牛顿体）示意图 1、线粘性液体；2、带孔活塞表3.8微分流变模型基本元件二、二元件模型常用的二元件模型有，马克斯韦尔模型、开尔文模型、宾厄姆模型等三个，其中前两个属于粘弹模型，后一个属于粘塑模型。

1、马克斯韦尔模型（Maxwell,1868）马克斯韦尔模型由虎克体（弹簧）和牛顿体（阻尼器）串联而成，简称M体，如图3.29=-。

其中，H表示虎克体，N表示顿液体，“－”（a）所示。

用等式表示为：M H N表示串联，“︱”表示并联（下同）。

（a）物理模型(b)蠕变曲线(c)M 体松弛曲线图3.29 马克斯韦尔模型（1）M 体的本构关系静力平衡条件：12σσσ== （1）变形协调条件：12εεε=+ （2）式中，σ，ε分别表示模型的总应力和总应变；11,σε分别表示元件1的应力和应变；22,σε分别表示元件2的应力和应变。

已知元件1的本构关系：11Kσε=，对t 求导得：11KKσσε==ggg（3）又知元件2的本构关系：222d dt εσεη==& （4） 式（2）对t 求导得：12εεε=+ggg，并将式（3）和式（4）代入得M 体本构关系：Kσσεη=+gg（3.13） （2）M 体蠕变方程根据蠕变的定义设：0const σσ==；由M 体的原模型可知其初始条件：当0t =时，0Kσεε==(弹簧有瞬时应变)。

将0const σσ==代入本构方程（3.22）得：0K σσσεηη=+=&&，即 0d dt σεη=, 0t C σεη=+ （5）代入初始条件确定积分常数0C Kσ=,得M 体蠕变方程00t Kσσεη=+ （3.14） （d ）M 体的弹性后效和粘性流动由式（3.14）作蠕变曲线，如图3.29(b)所示。

可见M 体有瞬时应变，属于线性蠕变模型。

（3）M 体松弛方程根据松弛的定义设：0const εε==；由M 体的原模型可知其初始条件：当0t =时，设0σσ=将0const εε==代入本构方程：00K σσεεη==+=&&&, 为线性齐次方程。

分离变量，d Kdt σση=-，积分得：ln σ=K t C η-+。

由初始条件确定积分常数：0ln C σ=，代入上式得M 体松弛方程：00exp()K tKet ησσση-==-（3.15）由式（3.15）作M 体松弛曲线（图3.29 C ），可见，当,0t σ→∞→。

通常把应力下降为初始应力的e 分之一（10.37e ≈）所经历的时间称为松弛时间，记为：r τ，由松弛方程得：00exp()r Keσσστη==-， 1rK eeτη--=，由此得M 体的松弛时间：r Kητ=。

（4）M 体弹性后效与粘性流动弹性后效与粘性流动是固体卸载过程中变形特征，因此，设加载至1t 时刻卸载，即，当,0const ==σσ经历1t 时段，在1t t =时刻，由蠕变方程（3.14）得，其应变为：K t 0101σησε+=；在此基础上卸载，即，,0==•σσ则弹簧应变瞬时恢复00=Kσ，而阻尼器变形则不可恢复，把不可恢复的变形称为粘性流动，其值为：const t ==10ησε （3.16） 式（3.16）就是M 体的卸载方程，卸载后应变瞬时变成常量，如图3.29 (d),可见M M 体无弹后，但有粘流。

（5）M 体的流变特征总结2、开尔文模型（Kelvin 体或沃伊特（V oigt ）体，1890）开尔文模型由弹簧阻和尼器并联而成，简称K 体，如图3.30（a ）所示。

用等式表示为：/M H N =。

（1）K 体的本构关系静力平衡条件： 12σσσ=+ （1）变形协调条件： 12εεε== （2）同上理，将元件1和元件2的本构关系代入上两式，得到K 的本构方程：1212K K K σσσεεεηε=+=+=+&&（3.17）(a) 物理模型 (b) K 体蠕变曲线与延迟时间（2）K 体的蠕变方程 设应力为常量：0const σσ==；由K 体物理模型得初始条件:0,t = 0ε=(阻尼器无瞬时应变)。

将0const σσ==代入本构方程（3.17）得：0K ηεεσσ+==&。

先求齐次方程解：0K ηεε+=&,d K dt εεη=-， ln ln Kt C εη=-+ 齐次解为 exp()KtKCeC t ηεη-==-可以看出，特解为一常数 0K σε=利用初始条件确定积分常数0C Kσ=-,得K 体蠕变方程[1exp()]Kt Kσεη=--（3.18）由此方程作K 体蠕变曲线如图3.30(b)。

(c) K 体松弛曲线 (d) K 体弹性后和粘性流动 图3.30 开尔文模型由图3.30(b)可以看出0t =时，0ε=，无瞬时应变；t →∞时，0Kσε=；最终最大应变仅等于弹性元件的瞬时应变，想当于推迟弹性应变的出现。