最优控制论文..docx
控制论论文
最优控制理论简单研究姓名：学号：内容摘要最优控制理论（optimal control theory），是现代控制理论的一个主要分支，着重于研究使控制系统的性能指标实现最优化的基本条件和综合方法。
最优控制理论是研究和解决从一切可能的控制方案中寻找最优解的一门学科。
它是现代控制理论的重要组成部分。
其所研究的问题可以概括为：对一个受控的动力学系统或运动过程，从一类允许的控制方案中找出一个最优的控制方案，使系统的运动在由某个初始状态转移到指定的目标状态的同时，其性能指标值为最优。
这类问题广泛存在于技术领域或社会问题中。
这类问题广泛存在于技术领域或社会问题中。
例如，确定一个最优控制方式使空间飞行器由一个轨道转换到另一轨道过程中燃料消耗最少，选择一个温度的调节规律和相应的原料配比使化工反应过程的产量最多。
因此最优控制理论对于解决实际问题和促进科学的发展具有重要的意义和作用。
关键字：最优控制；状态方程；稳定性引言控制工程领域早期的经典控制方法和技术早已被工程师们所熟知并进行广泛的应用。
一般而言经典控制非常适合解决单输入单输出线性定长系统的控制器设计问题。
然而对于高阶系统或多输入多输出系统，采用经典控制方法很难获得令人满意的控制性能。
在这种情况下，控制学者于20世纪60年代初开始研究状态空间方法，并依此发展出现代控制的理论框架。
其中最优控制则是现代控制理论的主要分支，解决最优控制问题的主要方法有变分法、极值原理和动态规划。
从数学的观点来看，最优控制研究的问题是求解一类带有约束条件的泛函极值问题，属于变分学的范畴，但它只能解决一类简单的最优控制问题，因为它只对无约束或开集性约束是有效的，而无法解决工程实际中经常碰到的容许控制属于闭集的一类最优控制问题。
这就促使了控制学者们开辟求解最优控制问题的新途径。
苏联学者Л.С.庞特里亚金1958年提出的极大值原理和美国学者R.贝尔曼1956年提出的动态规划，对最优控制理论的形成和发展起了重要的作用，而这两种理论则被称作是最优控制理论的两大基石，它们对现代控制理论的发展起了重要的推动作用。
最优控制理论在自动化系统中的应用研究
最优控制理论在自动化系统中的应用研究一、前言随着自动化技术的不断发展，自动控制系统的应用已经越来越广泛。
然而，在实际应用过程中，如何对系统进行合理有效的控制，依然是一个亟待解决的问题。
作为自动控制系统的核心理论之一，最优控制理论的应用已经成为了自动化领域的前沿研究。
本文将从最优控制理论的基本原理入手，探讨其在自动化系统中的应用研究。
二、最优控制理论概述最优控制理论是模拟人工智能系统的核心理论之一，也是控制工程领域中的一门重要学科。
其目的是通过优化控制方法，使得控制过程中的能耗、成本或质量等指标达到最优。
最优控制理论优化问题是寻找使得某个目标函数在某些限制条件下取得最优值的控制参数，来达到一个最优性能。
为了实现这个目标，最优控制理论通常采用牛顿迭代法、梯度下降法等优化算法来进行参数调整。
三、最优控制理论应用于自动化系统中的核心技术1. 动态规划动态规划是最优控制理论的一种重要方法。
在自动化系统中，动态规划被广泛应用于路径规划、机器人控制、智能交通等领域。
动态规划可以解决系统的一系列控制问题，使其具有最优性能。
2. 非线性优化非线性优化在自动化系统中也是最优控制理论的重要应用。
通过非线性优化，可以得到最优控制参数，从而实现控制系统的优化。
非线性优化的一大优势是可以对系统的非线性动态进行建模，使其能够适用于各种复杂的控制问题，如机器人运动控制、飞行器控制等。
3. 回归分析回归分析是自动化系统中最优控制理论的又一种重要应用。
该方法可以用于寻找系统中的最优控制策略。
通过回归分析，可以建立一个最优控制模型，实现对自动化系统中的关键参数进行监控和控制。
四、最优控制理论在自动化系统中的应用案例1. 机器人运动规划在机器人运动控制中，最优控制理论有着广泛的应用。
例如，通过非线性优化算法求解机器人路径规划问题，可以使机器人的运动路径更加平稳、时间更短。
2. 航空控制在飞行器控制技术中，最优控制理论也是一个重要的研究领域。
最优控制小论文.
题目：城市交叉路口交通灯控制优化研究学院：信息工程与自动化姓名：邓志华专业：控制工程学号： 20152204073指导老师：张寿明摘要随着我国经济发展迅猛，人均收入逐年增加，为了改善生活水平，基本上每个上班族都购置了一部车，有的家庭甚至不至一辆，加上我国人口基数大，交通道路还不很完善，必然导致我国各个城市交叉路口车辆通行面临着很严峻的问题。
这样更不利于城市交通道路的管理，给我们每一个居民来了很多不便。
本文利用最优控制理论，研究了城市交叉路口信号灯控制方式与通过路段历年车辆交通通行疏密情况并进行计算，由计算结果可以看出，经最优控制理论优化后交通信号灯，其城市交叉路口人、车通畅路况效果明显得到改善以及发生交通事故可能性大幅度的降低，可以作为城市交叉路口人、车辆通行优化控制的一种有效手段[1]。
关键词：最优控制；控制；优化；城市交叉路口交通灯AbstractAlong with the fast development of economy in China, the per capital income increased year by year,in order to improve the living standards, basically every office worker bought a car, some families even not a car, combined with China's large population base, the traffic is not very perfect, bound to lead to each city intersection traffic in our country is facing a serious problem.It is not conducive to the management of the urban traffic road, to each of our residents to a lot of inconvenience. Using optimal control theory, this paper studies the urban intersection signal control way and by road vehicle traffic density and calculated the calendar year, by the calculation results can be seen that after the optimal control theory to optimize the traffic lights, the city inter —section, car unobstructed road effect is obviously improved and greatly reduce the traffic accident probability and can be used as an urban intersection, traffic optimization is an effective means of control.Key words: Optimal control；Control；OptimizingCity intersection traffic lights前言 (3)第一章概述 (4)1.1 城市交通控制系统的组成部分 (4)1.2 城市交通信号优化控制子系统——中心控制子系统 (5)第二章最优控制策略 (6)2. 1 最优控制理论的基本内容 (6)2.2最优控制问题的基本求解方法 (7)2.2.1解析法 (7)2.2.2数值解法(直接法).. (7)2.2.3 解析与数值相结合的寻优方法 (7)2.2.4 网络最优化方法 (7)第三章城市交通信号优化控制子系统模型 (7)3.1 目标与约束条件的关系集合 (7)第四章总结 (8)第五章致谢 (9)参考文献 (11)近三十年来，城市交通控制的研究和应用都有了很大发展，现在世界上很多城市的交通均采用计算机协调控制。
数学建模论文_最优控制设计
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：西安理工大学参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期： 2011年 7 月 26日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：最优控制设计摘要本文主要关于在计算机控制，对计算机指令控制计算机部件的问题作了具体的分析，对于使得所有部件得到控制的最少指令集合和所有部件得到控制的总长度最小的指令集合，我们建立了如下的模型。
模型一主要利用整数线性规划模型，列出所求优化问题式子，并列出约束条件，确保一个部件至少有1条指令控制，同时利用Lingo算出所有部件得到控制的最少指令的集合为13和所有部件得到控制的总长度最小长度为360。
模型二主要利用图论的思想，采用二分覆盖，指令为一个顶点集(n),部件为一个顶点集(m：在n选取最少的顶点使m通过边的关系全部被选中,第二问则转化为：当将n的点全部赋权后,在n中找出权数总和最小的顶点集,使m全部被选中。
利用这种思想,采用c编程可以很容易的求出结果，所求结果与模型一相同。
控制方案案例论文
控制方案案例论文引言在工程领域中，控制方案是非常重要的一环。
在实际项目中，不同项目需要采用不同的控制方案来确保项目的顺利完成。
在本文中，我们将介绍两个不同的项目的控制方案。
控制方案一：机械加工生产线背景机械加工生产线是一种典型的自动化生产设备，其通过多个机械设备的组合完成对工件的加工。
在该生产线中，由于涉及到多个机械设备的同时运行，因此需要制定一套完善的控制方案来保证生产线的稳定运行。
硬件配置该生产线由多个机械设备组成，每个机械设备都配备有自己的控制器。
此外，各机械设备之间还连接有传感器、执行器等硬件设备。
软件设计该生产线的软件控制系统由上位机和下位机组成。
上位机负责整个系统的监控和控制，下位机则负责机械设备的控制。
在该生产线的软件设计过程中，我们采用了控制器发号模式。
即每个机械设备都有一个独立的控制器，上位机向下位机发送指令，下位机收到指令后，控制器按照指令进行对机械设备的控制。
此外，为了避免在机械设备控制过程中出现故障，我们还设置了多级故障检测和恢复机制。
当某一机械设备出现问题时，控制系统会自动关闭该机械设备，并发出故障报警。
同时，系统还会自动开启备用设备进行生产。
实验结果经过实验验证，该控制方案能够保证机械加工生产线的稳定运行。
在整个生产过程中，每个机械设备都能够按照指令进行控制，同时系统还能够及时发现并处理故障，从而确保了生产线的正常运行。
控制方案二：工业自动化生产线背景工业自动化生产线是一种自动化程度非常高的生产设备。
在该生产线中，生产过程中需要进行多个物料、零部件的加工和组装。
为了确保生产线的正常运行，需要设计一种完善的控制方案。
硬件配置该生产线由多个工艺站台以及多个机械设备组成。
各机械设备之间通过传送带相互连接，工艺站台负责物料组装、零部件加工等工作。
软件设计该生产线的软件控制系统由上位机和下位机组成。
上位机负责整个系统的监控和控制，下位机则负责工艺站台和机械设备的控制。
在该生产线的软件设计过程中，我们采用了生产线平衡模式。
企业内部控制论文8篇.docx
第一篇环保企业内部控制探析摘要随着经济不断发展，社会不断进步，国家对环境问题也越来越重视。
因此，国家对环保企业的内部控制也提出了更高的要求。
要想让企业持续稳定的发展下去，那么企业的内部控制一定要建立在控制环境的基础上。
在既要金山银山，也要绿水青山的口号下，环保企业应结合自身企业情况，认真分析企业现状，加强对企业的内部管理，并且对企业的内部控制进行完善。
本文就环保企业内部控制进行探析。
关键词环保企业;内部控制;企业文化对于环保企业来说，企业内部控制对企业的发展尤为重要，内部控制的目的包括以下几项为了高效、经济的实现组织的目标；保障资产的完整性与信息的及时性；预防企业存在的舞弊与错误；保证财务报告的质量和保证提供及时可靠的财务信息。
中国的企业要想持续发展，必须在经济发展的同时兼顾环境保护，这对环保企业也提出了更高的要求。
环保企业必须优化自身内部控制机制，完善公司管理制度，形成企业自身文化，只有这样才能在激烈的市场竞争中脱颖而出。
本文就环保企业内部控制存在的问题及需要采取的优化措施进行阐述。
一、环保企业内部控制存在的问题拿北京碧水源科技股份有限公司来举例，该企业符合从事环境保护、节能节水的所得，从该企业第一笔生产经营收入所属纳税年度起，第一年至第三年免征企业所得税，第四年到第六年减半征收，这一政策在很大程度上减轻了企业的赋税，维护了新兴企业的发展。
以下从几个角度来分析大部分企业存在的问题组织机构不完善。
一个具有较强竞争力的公司内部一定会形成庞大的组织体系，而组织保证又是内部控制的前提。
环保公司在经营过程中很少会将内部控制部门独立出来，这使得整个公司组织机构不能进行合理分工，并且内部审计也严重缺乏独立性。
一些单位在经营的流程中缺乏监督和管理，这使得企业在一定程度上存在舞弊和一些错误，最终使得内部控制的目标不能如期达到。
单位管理层面内部控制意识薄弱。
管理者是一个企业的灵魂，然而一部分企业中的管理者的内部控制意识仍然只停留在内部财务控制，认为内部控制与其他部门没有太大关系。
最优控制结课论文
最优控制结课论文题目：基于最优控制的倒立摆系统建模及仿真学院：自动化学院专业：控制科学与工程姓名：常勇学号：133122332教师：陈鹏摘要作为一个典型的不稳定的非线性系统，倒立摆具有成本低，结构简单，便于用各种方法进行控制的特点，因而倒立摆系统常被人们用来检验各种控制方法的优劣。
倒立摆难点在控制，当前关于控制的研究已经很多。
首先建立了控制对象的数学模型，应用牛顿力学定律的方法实现对系统模型的建立。
牛顿力学定律法主要是对系统进行受力分析，通过其水平和竖直方向的受力情况列写方程，经过拉普拉斯变换计算出其状态空间表达式，这一过程也可直接用MATLAB软件编程得到。
然后，对系统进行最优控制的分析，并设计出最优控制器。
关键词：倒立摆，数学模型，最优控制AbstractAs a typical unstable nonlinear system, inverted pendulum system has the characteristics of low cost and simple structure. It can be controlled by many kinds of methods, so people use it to test the various control methods to know whether they are good or not. The difficulty of it is control. There are many research achievements about it now.This article firstly establishes the mathematical model of the controlled object. Then it uses application law of Newtonian mechanics to achieve the establishment of system model. The Law of Newtonian mechanics method is mainly on stress analysis of the system. Then it shows the equation by anglicizing the force in the direction of horizontal and vertical. Calculating its state space after Laplace transform, this process can also be directly programmed by MATLAB software. Secondly, analyzes the controllability and observability of system, and to the design of optimal controller.Keywords：Inverted pendulum, Mathematical model, Optimal control第一章绪论1.1 倒立摆系统的研究意义倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。
现代控制论文
最优控制方法及其应用摘要最优控制是现代控制理论的核心，它研究的主要问题是：在满足一定约束条件下，寻求最优控制策略，使得性能指标取极大值或极小值，使控制系统的性能指标实现最优化的基本条件和综合方法。
可概括为：对一个受控的动力学系统或运动过程，从一类允许的控制方案中找出一个最优的控制方案，使系统的运动在由某个初始状态转移到指定的目标状态的同时，其性能指标值为最优。
从数学上看，确定最优控制问题可以表述为：在运动方程和允许控制范围的约束下，对以控制函数和运动状态为变量的性能指标函数（称为泛函）求取极值（极大值或极小值）。
解决最优控制问题的主要方法有古典变分法（对泛函求极值的一种数学方法）、极大值原理和动态规划。
最优控制已被应用于综合和设计最速控制系统、最省燃料控制系统、最小能耗控制系统、线性调节器等。
研究最优控制问题有力的数学工具是变分理论，而经典变分理论只能够解决控制无约束的问题，但是工程实践中的问题大多是控制有约束的问题，因此出现了现代变分理论。
现代变分理论中最常用的有两种方法。
一种是动态规划法，另一种是极小值原理。
它们都能够很好的解决控制有闭集约束的变分问题。
值得指出的是，动态规划法和极小值原理实质上都属于解析法。
此外，变分法、线性二次型控制法也属于解决最优控制问题的解析法。
最优控制问题的研究方法除了解析法外，还包括数值计算法和梯度型法。
1目录摘要 (1)第一章古典变分法 (3)1.1 古典变分法的定义 (3)1.2 古典变分法的应用 (3)第二章最大值原理 (6)2.1 最大值原理概述 (6)2.2 最大值原理应用举例 (7)第三章动态规划 (8)3.1动态规划的概述 (8)3.2动态规划的应用 (10)第四章线性二次型 (13)结束语 (15)参考文献 (16)23第一章 古典变分法1.1 古典变分法的定义古典变分法是研究对泛函求极值的一种数学方法。
直接来说，求泛函的极大值或者极小值问题成为变分问题，而求泛函极值的方法就成为变分法。
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最优控制方法的分析和综合摘要：主要阐述了关于最优控制问题的基本概念，最优控制是最优化方法的一个应用。
最优化一般可以分为最优设计、最优计划、最优管理和最优控制四个方面。
而最优控制理论是研究和解决从一切可能的控制方案中寻找最优解的一门学科，解决最优控制问题的主要方法有古典变分法、极大值原理和动态规划。
通过以上知识的讲解使初学者能够快速掌握最优控制的问题。
最优控制是最优化方法的一个应用，如果想了解最优控制必须知道什么是最优化方法。
所谓最优化方法为了达到最优化目的所提出的各种求解方法。
第一章最优控制的一般概念1.1背景知识在现代科学技术的众多领域中，自动控制技术起着越来越重要的作用。
所谓的自动控制，是指在没有人直接参与的情况下，利用外加的设备和装置，是机器、设备或生产过程的某个工作状态或参数自动按照预定的规律运行。
近几十年来，随着电子计算机技术的发展和应用，在宇宙航行、机器人控制、导弹制导以及核动力等高新技术的领域中，自动控制技术更具有特别重要的作用。
自动控制理论是研究自动控制共同规律的技术科学。
它的发展初期，是以反馈理论为基础的自动调节原理，主要用于工业控制。
第二次世界大战期间，为了设计和制造飞机及船用自动驾驶仪、火炮定位系统、雷达跟踪系统以及其它基于反馈原理的军用装备，进一步促进并完善了自动控制理论的发展。
到战后，已形成完整的自动控制理论体系，这就是以传递函数为基础的经典控制理论，它主要研究单输入—单输出、线性定常系统的分析和设计问题。
随着现代应用数学新成果的推出和电子计算机技术的应用，为适应宇航技术的发展，自动控制理论跨入了一个新阶段——现代控制理论。
它主要研究具有高性能、高精度的多变量变参数系统的最忧控制问题，主要采用的方法是以状态为基础的状态空间法。
从数学意义上说，最优化方法是一种求极值的方法，即在一组约束为等式或不等式的条件下，使系统的目标函数达到极值，即最大值或最小值。
从经济意义上说，是在一定的人力、物力和财力资源条件下，使经济效果达到最大（如产值、利润），或者在完成规定的生产或经济任务下，使投入的人力、物力和财力等资源为最少。
最优化一般可以分为最优设计、最优计划、最优管理和最优控制四个方面。
（ 1 ）最优设计: 世界各国工程技术界,尤其是飞机、造船、机械、建筑等部门都已广泛应用最优化方法于设计中，从各种设计参数的优选到最佳结构形状的选取等，结合有限元方法已使许多设计优化问题得到解决。
一个新的发展动向是最优设计和计算机辅助设计相结合。
电子线路的最优设计是另一个应用最优化方法的重要领域，它存在着巨大的开发潜力，尤其是对于学电工学的学生来说。
配方配比的优选方面在化工、橡胶、塑料等工业部门都得到成功的应用,并向计算机辅助搜索最佳配方、配比方向发展。
（ 2）最优计划 :现代国民经济或部门经济的计划，直至企业的发展规划和年度生产计划，尤其是农业规划、种植计划、能源规划和其他资源、环境和生态规划的制订 ,都已开始应用最优化方法。
一个重要的发展趋势是帮助领导部门进行各种优化决策，使工作结构简单，工作效率最高化，节省了很多时间。
（3）最优管理：一般在日常生产计划的制订、调度和运行中都可应用最优化方法。
随着管理信息系统和决策支持系统的建立和使用，使最优管理得到迅速的发展。
（4）最优控制：主要用于对各种控制系统的优化。
最优控制理论是研究和解决从一切可能的控制方案中寻找最优解的一门学科。
它是现代控制理论的重要组成部分。
这方面的开创性工作主要是由贝尔曼提出的动态规划和庞特里亚金等人提出的最大值原理。
这方面的先期工作应该追溯到维纳等人奠基的控制论。
1948年维纳发表了题为《控制论——关于动物和机器中控制与通讯的科学》的论文，第一次科学的提出了信息、反馈和控制的概念，为最优控制理论的诞生和发展奠定了基础。
钱学森1954年所著的《工程控制论》直接促进了最优控制理论的发展和形成1.2 最优控制的概念在经典控制理论中，设计控制系统的各种方法大多建立在试凑的基础上，设计结果与设计人员的经验有很大的关系。
对于多输入—多输出系统，或者要求高控制精度的复杂系统，经典方法显得无能为力，迫切需要探索新的设计方法。
20 年代 60 年代初，由于空间技术的迅猛发展和计算机的广泛应用，动态系统的优化理论得到了迅速的发展，形成了最优控制这一重要的学科分支，并在控制工程、经济管理与决策以及人口控制等领域得到了成功的应用，取得了显著地成效。
最优控制在被控对象参数已知的情况下，已经成为设计复杂系统的有效方法之一。
最优控制是现代控制理论的核心。
所谓最优控制，就是在一定的条件下，在完成所要求的控制任务时，使系统的某种性能指标具有最优值。
最优控制系统的设计，就是选择最优控制，以使某一种性能指标为最小。
为了解决最优控制问题，必须建立描述受控运动过程的运动方程，即系统的数学模型，给出控制变量的允许取值范围，指定运动过程的初始状态和目标状态，并且规定一个评价运动过程品质优劣的性能指标。
通常，性能指标的好坏取决于所选择的控制函数和相应的运动状态。
系统的运动状态受到运动方程的约束，而控制函数只能在允许的范围内选取。
最优控制研究的主要问题是：根据已建立的被控对象的数学模型，选择一个容许的控制律，使得被控对象按预定要求运行，并使给定的某一性能指标达到极限值。
从数学的观点来看，最优控制研究的问题是求解一类带有约束条件的泛函极值问题，属于变分学的范畴。
然而，经典变分理论只能解决控制无约束，即容许控制属于开集的一类最优控制问题，为了满足工程实践的需要，出现了现代变分理论，其中最常用的方法是动态规划和极小值原理。
第二章经典变分法2.1函数与变分2.1.1泛函的概念如果变量 J 对于某一函数类中的每一个函数x(t)，都有一个确定的值与之对应，那么就称变量 J 为依赖于函数x( t)的泛函，记为： J=J[ x(t)] 。
例 2.1.1函数的定积分1. 连续时间系统：1Jx( t)dt是泛函。
因为变量J 的值是由函数的选取而确定的。
所以最简单的一类泛函可表示为：t fJ[ x(t )]&t0连续泛函如果满足下列条件：（1） J[x1(t)+ x2(t)]= J[x1(t)]+ J[x2(t)]（2） J[cx(t)]= cJ[x(t)]其中， c 是任意常数，就称为线性泛函。
例如t2J [ x(t )]&t1t2J [ x(t )]&t 1J [ x( t)]x (t ) t 2都满足上述两个条件，故均为线性泛函。
连续泛函如果满足下列条件：（1） J[x1(t)]+ J[x2(t)]=1/2[ J[x1(t)+x2(t)]+ J[x1(t)-x2(t)]]（2） J[cx(t)]= c2J[x( t)]就称为 *****二次型泛函*****。
例如1x T (t f )Fx ( t f )t fJ1x T (t )Qx (t)dt22t0是关于 x(t) 的二次型泛函，其中 F 、 Q 均为对称矩阵。
2.1.2 泛函的变分变分法（ calculus of variations ）是处理函数的函数的数学领域，和处理数的函数的普通微积分相对。
譬如，这样的泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。
变分法最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。
如果连续泛函J[x(t)]的增量可以表示为：J [ x( t)]J[ x(t )x(t )]J[ x(t )]L[ x( t),x( t)]r[ x( t),x( t )]（ 2.1.1）其中， L[x(t)， x(t)] 是关于x(t)的线性连续泛函，而r [x(t)， x(t)] 是关于x(t)的高阶无穷小。
L[x(t)，x(t)]称为泛函的变分，记为J L[ x(t ),x(t )]也就是说，泛函的变分是泛函增量的线性主部。
当一个泛函具有变分时，即泛函的增量可以用式（ 2.1.1）来表示时，称该泛函是可微的。
例如，泛函 J [ x(t )]1x2 (t )dt 的增量为：J1x(t )]2 dt1[ x(t )x 2 (t )dt100x 2 (t )]dt[2 x(t ) x(t )112 x(t ) x(t )dt x 2 (t )dt00于是，其变分为： J1x( t)dt2 x(t)可以证明，泛函的变分是唯一的。
因为，若泛函的变分不是唯一的，则泛函的增量可以写为：J L1 [ x(t ), x(t )]r1[ x(t ),x(t )]L2 [ x(t ), x(t)]r2 [ x(t ), x(t )]L1[ x( t), x( t)] L2 [ x(t ), x(t )]L[ x(t ), x( t)]泛函 J[x( t)] 的变分为：J J [ x( t)x( t)]例 2.1.41求泛函x 2( t)dt的变分。
该泛函的变分为：J J [ x( t)x( t)]1x( t )] 2 dt[ x (t )1[ x (t)x (t )] 2dt12[ x (t )x( t)] x (t )0dt12 x( t) x(t )dt2.1.3 泛函的极值如果泛函 J[x(t)] 在函数空间中点x=x0(t) 的邻域内，其增量为：J J[ x( t )] J[ x0 (t )] 0就称泛函 J[x(t)] 在点 x0(t)处达到极小值；如果泛函 J[x(t)] 在函数空间中点x=x0(t) 的邻域内，其增量为：J J[ x( t )] J[ x0 (t )] 0就称泛函 J[x(t)] 在点 x0(t)处达到极大值；x0(t)的邻域包含满足条件： d[ x(t ), x0 ( t )]的所有点 x( t)的球（即以 x0(t) 为圆心，以为半径的球）。
定理（必要条件）若泛函 J[x(t)] 是连续可微的，并且在点x0(t)处达到极值，则泛函在点x0(t)处的变分等于零，即J[ x0 ( t ), x( t )] 02.2 欧拉方程2.2.1 三类基本问题最优控制问题中，根据性能指标的类型（积分型性能指标、终值型性能指标、复合型性能指标）的不同，分别对应了古典变分法中的三类基本问题。
拉格朗日（ Lagrange）问题—基本问题t fJ[ x(t)]L[ x(t ), x(t), t] dt(2.2.1)t0麦耶耳 (Mayer) 问题J[ x(t )][ x(t f), t f](2.2.2)波尔扎（ Bolza）问题J[ x(t )][ x(t f), t f]t f L[ x(t ), x(t), t ]dt(2.2.3)t0固定端点的 Lagrange 问题问题描述：假定点A( t0,x0)和 B(tf , xf)是所要寻求的泛函（ 1.2.1）的极值曲线x(t)的两个固定端点，如图 1-5 所示，其坐标为：x( t0 )x0(2.2.4)x( t f )x ft f问题：从满足边界条件的二阶可微的函数中，选择使泛函 J[ x(t)]L[ x(t ), x(t), t ]dt 达到t0极小值的函数 x(t)解:设 x*(t) 是使泛函达到极小值且满足边界条件的极值曲线。