襄阳市第五中学2020届高考数学全真模拟密押卷含解析【含高考模拟卷15套】
2020届湖北省襄阳五中高考第五次适应性考试数学(理)试卷(有答案)(加精)
普通高等学校招生全国统一考试（模拟五）数学（理科）试题本试题卷共4页，23题（含选考题），全卷满分150分，考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2、选择题的作答，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答，用签字笔直接答在答题卡上对应答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内。
答在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的。
1、若集合A={y|y=32x }，B={x|y=ln(x+1)}，则(∁R A)∩B= A ．(－1,+∞) B ．(－1,0) C ．Φ D ．[0,+∞)2、已知z=(i i -+11)1902+(ii +-11)2017，其中i 为虚数单位，1902是襄阳五中元年，2017是襄阳五中学生的好运年！！！则复数z 的共轭复数z 的虚部是A ．1B ．－iC ．－1D ．i 3、“所有9的倍数的数都是3的倍数，5不是9的倍数，故5不是3的倍数．”上述推理A ．不是三段论推理，且结论不正确B ．不是三段论推理，但结论正确C ．是三段论推理，但小前提错D ．是三段论推理，但大前提错 4、下列关于命题的说法错误的是 A ．“a =2”是“函数f (x)=log a x 在区间(0,+∞)上为增函数”的充分不必要条件 B ．命题“若随机变量X~N(1,4)，P(X ≤0)=m ，则P(0<X<2)=1－2m ”为真命题 C ．命题“若x 2－3x+2=0，则x=2”的逆否命题为“若x ≠2，则x 2－3x+2≠0” D ．若命题P ：∃n ∈N ，2n >1000，则⌝P ：∀n ∈N ，2n >1000 5、从区域[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…， (x n ，y n )，其中两个数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率p 的近似值为 A ．nm2 B ．nm4 C ．mn 2 D ．mn 4 6、某几何体的三视图如图所示，其体积为 A ．32 B ．34 C ．310 D ．387、运行如图所示的算法框图，则输出的结果S 为 A ．－23 B ．0 C ．－1D ．21 8、已知函数f (x)=sin(ωx+6π)+ω (ω>0)的部分图象如图所示，则下列选项判断错误的是 A ．()()33f x f x ππ-=+ B ．()()13f x f x π+--=C ．7()23f π=D ．||MN π= 9、我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接收雨水。
2020年高考数学仿真押题试卷(Word版,含答案解析)
高考数学仿真押题试卷注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)2i z i -=，则下列关于复数z 说法正确的是( ) A ．1z i =--B ．||2z =C ．2z z =D ．22z =【解析】解：由(1)2i z i -=，得，故A 错；||z =B 错；2||2z z z ==，故C 正确；，故D 错误．【答案】C ．2．命题“x R ∀∈，210x x -+…”的否定是( ) A ．x R ∀∈，210x x -+<B ．0x R ∃∈，C ．0x R ∃∈，2010x x -+… D ．0x R ∃∈，2010x x -+… 【解析】解：根据全称命题的否定是特称命题， 则命题的否定是：0x R ∃∈，【答案】B ．3．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是( )A ．171B ．342C ．683D ．341【解析】解：根据程序框图可知：1i =1S =；2i =2S =；3i =3S =；4i =6S =；5i =，11S =；6i =22S =；7i =，43S =；8i =，86S =；9i =171S =；10i =，342S =；11i =683S =，1110i =>满足条件． 输出683S =， 【答案】C ．4．设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且，则( )A ．4παβ-=B ．2παβ+=C ．22παβ-=D ．22παβ+=【解析】解：由，可得，，即，又(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，则，．故，即22παβ+=．【答案】D ．5．已知实数x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为()A B C．2 D．4【解析】解：作出可行域，的几何意义表示可行域中点(,)x y与定点(1,0)D-的距离的平方，可知当1y=时，目标函数取到最小值，x=，0最小值为，【答案】D．6．某一简单几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是()A．27 B．24 C．18 D．12【解析】解：由三视图可知，该几何体是一个长方体，其长、宽、高分别为3，其体积为．【答案】B ．7．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若1x ，2x R ∈，则“120x x +=”是“”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】解：函数()f x 是奇函数，∴若120x x +=，则12x x =-， 则，即成立，即充分性成立，若()0f x =，满足()f x 是奇函数，当122x x ==时， 满足，此时满足，但，即必要性不成立，故“120x x +=”是“”的充分不必要条件，【答案】A ． 8．已知函数，0ω>，||)2πϕ<的部分图象如图所示，点3(0,)2-，(3π，0)，7(,0)3π在图象上，若1x ，27(,)33x ππ∈，12x x ≠，且，则12()(f x x += )A ．3B ．32C ．0D ．32-【解析】解：由条件知函数的周期满足，即24ππω=，则12ω=， 由五点对应法得03πωϕ+=，即1032πϕ⨯+=，得6πϕ=-， 则，则，得3A =，即，在7(,)33ππ内的对称轴为，若1x ，27(,)33x ππ∈，12x x ≠，且，则1x ，2x 关于43x π=对称， 则，则，【答案】D ． 9．若直线与圆相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则m 的取值范围是( ) A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(1,0)-D ．(2,0)-【解析】解：根据题意，圆的圆心为(1,0)，半径1r =，与x 轴的交点为(0,0)，(2,0)，设B 为(2,0)； 直线即，恒过经过点(0,1)，设(0,1)A ；当直线经过点A 、B 时，即2m =-，若直线与圆相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限， 必有20m -<<，即m 的取值范围为(2,0)-；【答案】D ．10．在空间直角坐标系O xyz -中，四面体ABCD 各顶点坐标分别为(2A ，2，1)，(2B ，2，1)-，(0C ，2，1)，(0D ，0，1)，则该四面体外接球的表面积是( )A ．16πB ．12πC ．D ．6π【解析】解：通过各点的坐标可知，A ，B ，C ，D 四点恰为棱长为2的正方体的四个顶点，故此四面体与对应正方体由共同的外接球，故其表面积为：12π， 【答案】B ．11．设P 是抛物线2:4C y x =上的动点，Q 是C 的准线上的动点，直线l 过Q 且与(OQ O 为坐标原点）垂直，则P 到l 的距离的最小值的取值范围是( ) A ．(0,1)B ．(0，1]C ．[0，1]D ．(0，2]【解析】解：抛物线24y x =上的准线方程是1x =-设点Q 的坐标为(1,)t -，(0)t ≠． 则直线l 的方程为．设与直线l 平行的直线方程为0x ty m -+=．代入抛物线方程可得，由△，可得2m t =．故与直线l 平行且与抛物线相切的直线方程为20x ty t -+=．∴则P 到l 的距离的最小值．【答案】B ． 12．已知函数．若不等式()0f x >的解集中整数的个数为3，则a 的取值范围是( ) A ．(13ln -，0]B ．(13ln -，22]lnC ．(13ln -，12]ln -D ．[0，12]ln -【解析】解：，当10a -…时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增，不满足条件，舍去．当10a -<时，，可得11x a=-时取得极大值即最大值．．而f （1）10a =->，f （2）20ln =>，∴必须f （3），f （4）．解得：．a ∴的取值范围是(13ln -，12]ln -．【答案】C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．已知向量a 与b 的夹角为3π，||||1a b ==，且()a a b λ⊥-，则实数λ= 2 ． 【解析】解：向量a 与b 的夹角为3π，||||1a b ==，且()a a b λ⊥-；∴；2λ∴=． 【答案】2．14．若21(2)n x x -展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是 60 ．【解析】解：若21(2)n x x-展开式的二项式系数之和为64，则264n =，6n ∴=．则展开式中的通项公式为，令1230r -=，求得4r =，可得常数项为426260C =， 【答案】60．15．在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边交单位圆O 于点(,)P a b ，且75a b +=，则cos(2)2πα+的值是 2425- ． 【解析】解：在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边交单位圆O 于点(,)P a b ，∴由任意角的三角函数的定义得，sin b α=，cos a α=．75a b +=，可得：，∴两边平方可得：，可得：，解得：，∴．【答案】2425-． 16．图（1）为陕西博物馆收藏的国宝--唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯型几何体的主体部分可近似看作是双曲线的右支与直线0x =，4y =，2y =-围成的曲边四边形MABQ 绕y 轴旋转一周得到的几何体，如图（2）．N ，P 分别为C 的渐近线与4y =，2y =-的交点，曲边五边形MNOPQ 绕y 轴旋转一周得到的几何体的体积可由祖恒原理（祖恒原理：幂势既同，则积不容异）．意思是：两登高的几何体在同高处被截得的两截面面积均相等，那么这两个几何体的体积相等．那么这两个几何体的体积相等）据此求得该金杯的容积是 18π ．（杯壁厚度忽略不计）【解析】解：由双曲线，得a =3b =，则渐近线方程为y =．设y h =在y 轴右侧与渐近线的交点N 的横坐标x ，与双曲线第一象限的交点M 的横坐标x =，∴金杯的容积是．【答案】18π．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若点D 为BC 中点，且AD =4a =，求ABC ∆的面积．【解析】解：（1），，，1cos 2C ∴=-，0C π<<， 23C π∴=；（2）ADC ∆中，AD =4a =， 由余弦定理可得，，，，解可得4AC =，6AC =-（舍)，．18．如图，在三棱柱中，四边形11AA C C 是边长为2的菱形，平面ABC ⊥平面11AA C C ，160A AC ∠=︒，90BCA ∠=︒．（Ⅰ）求证：11A B AC ⊥；（Ⅱ）已知点E 是AB 的中点，BC AC =，求直线1EC 与平面11ABB A 所成的角的正弦值．【解析】（Ⅰ）证明：取AC 的中点O ，连接1A O ， 由于平面ABC ⊥平面11AA C C ，1AO AC ⊥， 所以：1A O ⊥平面ABC ， 所以：1AO BC ⊥， 又BC AC ⊥，所以：BC ⊥平面1A AC ，又11AC AC ⊥，1A C 为1A B 的射影， 所以：11A B AC ⊥．（Ⅱ）以O 为坐标原点建立空间直角坐标系O xyz -，(0A ，1-，0)，(2B ，1，0)，(0C ，1，0)，1(0C ，2，则：(2,2,0)AB =，，设(m x =，y ，)z 是平面11ABB A 的法向量， 所以：100m AB m BB ⎧=⎪⎨=⎪⎩，2200x y y +=⎧⎪⎨=⎪⎩求得：，由(1E ，0，0) 求得：，直线1EC 与平面11ABB A 所成的角的正弦值．19．一家大型超市委托某机构调查该超市的顾客使用移动支付的情况．调查人员从年龄在20至60的顾客中，随机抽取了200人，调查结果如图：（Ⅰ）为推广移动支付，超市准备对使用移动支付的每位顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有10000人购物，试根据上述数据估计，该超市当天应准备多少个环保购物袋？（Ⅱ）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99.9%的把握认为使用移动支付与年龄有关？（Ⅲ）现从该超市这200位顾客年龄在[55，60]的人中，随机抽取2人，记这两人中使用移支付的顾客为X 人，求X的分布列．附：【解析】解：（Ⅰ）根据图中数据，由频率估计概率，根据已知可预计该超市顾客使用移动支付的概率为：，所以超市当天应准备的环保购物袋个数为：．（Ⅱ）由（1）知列联表为：假设移动支付与年龄无关，则，，所以有99.9%的把握认为使用移动支付与年龄有关．（Ⅲ）X可能取值为0，1，2，，，，所以X的分布列为：20．已知两点(2,0)A -、(2,0)B ，动点P 与A 、B 两点连线的斜率PA k ，PB k 满足14PA PB k k =-．（Ⅰ）求动点P 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）若H 是曲线E 与y 轴正半轴的交点，则曲线E 上是否存在两点M ，N ，使得HMN ∆是以H 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请说明满足条件的点M 、N 有几对；若不存在，请说明理由． 【解析】解：（1）设动点P 的坐标为(,)x y ，因为斜率PA k ，PB k 存在，故2x ≠±， 则2PA y k x =+，2PB yk x =-， 又动点P 与A 、B 两点连线的斜率PA k ，PB k 满足14PA PB k k =-，所以，化简得，动点P 的轨迹E 的方程为：2214x y +=，(2)x ≠±（2）设能构成等腰直角三角形HMN ，其中H 为(0,1)，由题意可知，直角边HM ，HN 不可能垂直或平行于x 轴，故可设HM 所在直线的方程为1y kx =+，（不妨设0)k >则HN 所在直线的方程为11y x k =-+，由求得交点28(14kM k -+，2281)14k k -++，（另一交点(0,1))H ，，用1k-代替上式中的k ，得，由||||HM HN =，得，，解得：1k =或k ．当HM 斜率1k =时，HN 斜率1-；当HM 斜率k =时，HN ；当HM 斜率k =时，HN ．21．设函数，实数[0a ∈，)+∞，是自然对数的底数，．（Ⅰ）若()0f x …在x R ∈上恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若x e lnx m +…对任意0x >恒成立，求证：实数m 的最大值大于2.3． 【解析】解：（Ⅰ），()0f x …在x R ∈上恒成立，12x e a x ∴+…，设()12x e h x x =+，，令()0h x '=，解得12x =， 当12x >，即()0h x '>，函数单调递增， 当12x <，即()0h x '<，函数单调递减， ，0a ∴<…故a的取值范围为；（Ⅱ）设，∴，()0g x '>，可得x >；()0g x '<，可得0x <．()g x ∴在，)+∞上单调递增；在上单调递减．， ，∴ 1.6>，() 2.3g x ∴>．由（Ⅰ）可得，x e lnx ∴-的最小值大于2.3，故若x e lnx m +…对任意0x >恒成立，则m 的最大值一定大于2.3． 请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[极坐标与参数方程]22．已知直线l 的参数方程为，点(1,2)P 在直线1上．（1）求m 的值；（2）以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线1:4C ρ=与直线l 交于两点A 、B ，求||||PA PB 的值．【解析】解：（1）由于点(1,2)P 在直线1上．直线l 的参数方程为，故代入直线的参数方程得到：2m =+． （2）曲线1:4C ρ=，转换为直角坐标方程为：2216x y +=， 由于圆与直线l 交于两点A 、B ， 把直线的参数方程代入圆的方程得到：，故：12111(t t t =-和2t 为A 、B 对应的参数）． 故：．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数．（Ⅰ）若对(0,)…恒成立，求实数m的取值范围；f x ma∀∈+∞，()（Ⅱ）若f（2）1a<+，求a的取值范围．【解析】解：（Ⅰ）0a>，a=时取等号，a>时，，当且仅当1，()…恒成立，f x m∴…，2m（Ⅱ）f（2），，等价于或，a…或，解得2故a的取值范围为，)+∞．。
2020年湖北省襄阳五中高考数学模拟试卷(理科)(4月份)(含答案解析)
2020年湖北省襄阳五中高考数学模拟试卷(理科)(4月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合P={−1,−2,1，2}，则满足{−1,−2}⊆Q⊆P的集合Q的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 42.已知i是虚数单位，则2−ii=()A. 1+2iB. 1−2iC. −1−2iD. −1+2i3.某公司有包括甲、乙在内的4名员工参加2018年上海进博会的服务，这4名员工中2人被分配到食品展区，另2人被分配到汽车展区，若分配是随机的，则甲、乙两人被分配到同一展区的概率为()A. 16B. 14C. 13D. 124.函数f(x)=ln(x2+4)−e x−1的图象大致是()A. B. C. D.5.若a<0，(x−2y)(ax+y)5展开式中，x4y2的系数为−20，则a的值为()A. −1B. −32C. −2 D. −526.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的侧棱与底面所成线面角的最小角的正弦值()A. 12B. √63C. √147D. √1057.设ω>0，函数f(x)=sinωxcosωx在区间[−π6,π3]单调递增，则ω的最大值为()A. 32B. 54C. 43D. 348. 若向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,3)分别表示向量a ⃗ 与b ⃗ ，则|a ⃗ +b ⃗ |=( )．A. √26B. 25C. 2√2D. 269. 若函数f(x)=2sin ωx(0<ω<1)在区间[0,π3]上的最大值为1，则ω= ( )A. 14B. 13C. 12D. √3210. 下列命题为真命题的是( )①1nπ>√π1n2②π>e√πe ③sin3<sin4④sin1>32sin 12A. ①④B. ②④C. ②③D. ①②④11. 若x,y 满足约束条件{−3≤x −y ≤1,−9≤3x +y ≤3,则z =x +y 的最小值为( )A. 1B. −3C. −5D. −612. 若f(x)=e x −ax 2+(a −e)x 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是A. (0,+∞)B. (0,e)C. [1,e)D. (e,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. △ABC 的内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，且满足sin A ：sin B ：sinC =2：3：4，则a+bb+c = ______ ． 14. 若等比数列{a n }满足a n a n+1=9n ，则此等比数列的公比为______ ．15. 已知双曲线C ：x 2a 2−y2b 2=1(a >0,b >0)的左顶点为A ，右焦点为F ，点B(0,b)，且BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则双曲线C 的离心率为______．16. 在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，底面为等腰直角三角形，AB =BC =2，AA 1=1，若E 、F 、D别是棱AB 、CB 、A 1C 1的中点，则下列四个命题： ①B 1E ⊥FD ；②三棱锥A −BCC 1的外接球的表面积为9π； ③三棱锥B 1−DEF 的体积为13； ④直线C 1E 与平面ABC 所成角为π3其中正确的命题有__________.(把所有正确命题的序号填上)三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知数列{a n}是递增的等差数列，a2=3，若a1，a3−a1，a8+a1成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=4，数列{b n}的前n项和S n，证明：S n<1．a n+1218.如图，四棱锥P−ABCD的侧面PAD是正三角形，底面ABCD为菱形，点E为AD的中点，若BE=PE.(1)求证：PB⊥BC；(2)若∠PEB=120∘，求二面角A−PB−C的余弦值．19.如图：A，B，C是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的顶点，点F(c,0)为椭圆的右焦点，原点O到直线CF的距离为12c，且椭圆过点(2√3,1)．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若P是椭圆上除顶点外的任意一点，直线CP交x轴于点E，直线BC与AP相交于点D，连结DE.设直线AP的斜率为k，直线DE的斜率为k1，问是否存在实数λ，使得λk1=k+12成立，若存在求出λ的值，若不存在，请说明理由．20.编号为1，2，3的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求E(ξ)和D(ξ)．21.已知a≥0，函数f(x)=lnx−ax2+x．(1)讨论函数f(x)的单调区间；(2)求证：f(x)≤xe x−ax2−1．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是{x=14+12cosα,y=√34+12sinα(α是参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)在曲线C上取一点M，直线OM绕原点O逆时针旋转π3，交曲线C于点N，求|OM|·|ON|的最大值．23.已知函数f(x)=x2−x+1，且a，b，c∈R．(Ⅰ)若a+b+c=1，求f(a)+f(b)+f(c)的最小值；(Ⅱ)若|x−a|<1，求证：|f(x)−f(a)|<2(|a|+1)．【答案与解析】1.答案：D解析：本题考查列举法的定义，子集的定义，属于基础题．根据条件可知，集合Q必须含有元素−1，−2，可能含有1，2，从而得出集合Q的可能情况为：{−1,−2}，{−1,−2,1}，{−1,−2,2}，{−1,−2,1，2}，共4个．解：∵P={−1,−2,1，2}，且{−1,−2}⊆Q⊆P；∴满足条件的集合Q可为：{−1,−2}，{−1,−2,1}，{−1,−2,2}，{−1,−2,1，2}，共4个．故选：D．2.答案：C解析：本题考查复数的运算，属于基础题．利用复数的除法运算即可解答．解：2−ii =(2−i)(−i)i×(−i)=−1−2i．故选C．3.答案：C解析：本题主要考查了古典概型的计算与应用，解答本题的关键在于求出基本事件总数与事件A的数量，再求出其概率即可．解：甲、乙分配到同一展区有2个可能，同在食品展区与同在汽车展区；事件总数：C42·C22=6．P(A)=26=13．故选C．4.答案：A解析：解：函数的定义域为(−∞,+∞)，排除B，f(0)=ln4−1e>0.排除C，当x→+∞，f(x)→0，排除D，故选：A．结合函数的定义域，f(0)的符号以及极限思想进行排除即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的定义域，特殊值的符号以及极限思想，利用排除法是解决本题的关键．5.答案：A解析：本题考查了二项式定理的应用问题，是基础题．根据(x−2y)(ax+y)5展开式中x4y2的系数列方程，把A、B、C、D中的数值代入验证可得a的值．解：(x−2y)(ax+y)5展开式中，x4y2的系数为xC52(ax)3y2−2yC51(ax)4y=10a3(1−a)x4y2，则10a3(1−a)=−20，分别把A、B、C、D中的数值代入验证得a=−1满足方程．故选A．6.答案：C解析：本题考查空间几何体的三视图，考查线面角，属于基础题．解题方法是通过三视图还原空间几何体的形状，从而求解．解：由题意，可还原该三棱锥的形状，如图所示：CD⊥平面ABD，E是BD中点，AE⊥平面BCD．且AE=√2，BE=ED=1，CD=2，AB=AD=√3，EC=√5，AC=√7．则∠ABD为AB与平面BCD所成的角，sin∠ABD=AEAB =√2√3=√63．∠ADB为AD与平面BCD所成的角，sin∠ADB=AEAD =√2√3=√63．∠ACE为AC与平面BCD所成的角，sin∠ACE=AEAC =√2√7=√147．因为√63>√147．故侧棱与底面所成线面角的最小角的正弦值为√147．故选C．7.答案：D解析：本题主要考查二倍角公式的应用，正弦函数的单调性，属于基础题．由条件利用二倍角公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得ω的最大值．解：∵函数f(x)=sin ωxcos ωx=12sin2ωx(ω>0)在区间[−π6,π3]内单调递增，，且，∴0<ω≤34，故选D．8.答案：A解析：根据向量的坐标运算得出a ⃗ +b ⃗ =(−1,5)，利用向量的模的公式求解即可． 本题考查了向量的坐标运算，属于基础题，计算准确即可． 解：∵向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,3)分别表示向量a ⃗ 与b ⃗ ， ∴a ⃗ +b ⃗ =(−1,5)，∴|a ⃗ +b ⃗ |=√1+25=√26， 故选：A ．9.答案：C解析：根据已知判断出ωx ≤π6，再根据已知得到ωx ∈[0,ωπ3]，结合不等式的性质可以得ωπ3=π6，结果可求． 解：∵函数f(x)在区间上的最大值为1，∴sinωx ≤12，∴ωx ≤π6，∵x ∈[0,π3]，∴ωx ∈[0,ωπ3]，∴ωπ3=π6， ∴ω=12． 故选C ．10.答案：B解析：解：(1)令f(x)=lnx −√x ⋅ln2，则f′(x)=1x 2√x=2−√xln22x，∴当0<x <4时，f′(x)>0，故f(x)在(0,4)上单调递增，∴f(π)<f(4)，即lnπ−√πln2<0，故lnπ<√πln2，故①错误； (2)令f(x)=lnx −√xe ，则f′(x)=1x −2√ex=√e−√x2√ex，∴当0<x <4e 时，f′(x)>0，故f(x)在(0,4e)上单调递增，∴f(π)>f(e)，即lnπ−√πe >0，即lnπ>√πe ，故π>e √πe ，故②正确；(3)令f(x)=sinx ，则f(x)在(π2,3π2)上单调递减，又π2<3<4<3π2，∴sin3>sin4，故③错误；(4)sin1−32sin 12=sin 12(2cos 12−32)，∵y =cosx 在(0,π2)上是减函数， ∴cos 12>cos π6=√32>34，∴2cos 12−32>0，又sin 12>0，∴sin1−32sin 12>0，即sin1>32sin 12，故④正确． 故选：B ．构造函数f(x)=lnx −√xln2，根据函数单调性判断①，构造函数f(x)=lnx −√xe ，根据函数单调性判断②，根据正弦函数单调性判断③，作差，提公因式，再根据余弦函数单调性判断④． 本题考查了函数单调性的应用，根据要比较的式子构造函数是解题的关键所在，属于中档题．11.答案：C解析：【试题解析】解：作出x ，y 满足约束条件{−3≤x −y ≤1−9≤3x +y ≤3，表示的平面区域，如图所示的阴影部分：由z =x +y 可得y =−x +z ，则z 表示直线y =−x +z 在y 轴上的截距，截距越小，z 越小，由题意可得，{1=x −y−9=3x +y ，解得A(−2,−3)，当y =−x +z 经过点A 时，z 最小， 由A(−2,−3)，此时z =x +y =−5． 故选：C ．作出不等式组表示的平面区域，由z =x +y 可得y =−x +z ，则z 表示直线y =−x +z 在y 轴上的截距，截距越小，z越小，结合图象可求z的最小值．本题主要考查了线性目标函数在线性约束条件下的最值的求解，解题的关键是明确z的几何意义．12.答案：A解析：本题考查函数零点个数问题的解法，注意运用转化思想和数形结合的思想方法，构造函数和运用导数判断单调性，画出图象是解题的关键，属于难题．解：函数f(x)=e x−ax2+(a−e)x，可得f(1)=e−a+a−e=0，即有x=1为f(x)的一个零点，则e x−ax2+(a−e)x=0，即为a=e x−exx2−x有两个不同的实数根．设g(x)=e x−exx2−x，由y=e x−ex的导数为y′=e x−e，当x>1时，y′>0，y=e x−ex递增；当x<1时，y′<0，y=e x−ex递减．即有x=1处，y=e x−ex取得最小值，且为0，即e x−ex≥0，当x<0时，x2−x>0，g(x)>0；当0<x<1时，g(x)<0；当x>1时，g(x)>0．由g(x)的导数为g′(x)=x 2e x−3xe x+ex2(x2−x)2，可设ℎ(x)=x2e x−3xe x+e x+ex2，显然当x<0时，ℎ(x)>0，即g′(x)>0，g(x)在(−∞,0)递增；又ℎ(x)=xe x(x+1x −3+exe)，再令m(x)=x+1x −3+exe x，m′(x)=1−1x2+e(1−x)e x=(x−1)(1x2+e x−exxe x)，即0<x<1时，m(x)递减；x>1时，m(x)递增．则m(x)>m(1)=0，ℎ(x)>0在(0,1)∪(1,+∞)恒成立，即有g′(x)>0在(0,1)∪(1,+∞)恒成立，则g(x)在(0,1)，(1,+∞)递增，画出函数y=g(x)的图象，可得a>0时，函数y=g(x)的图象和直线y=a有两个交点．综上可得，a>0时，f(x)=e x−ax2+(a−e)x有三个不同的零点．故选A．13.答案：57解析：利用正弦定理即可得出．本题考查了正弦定理的应用，属于基础题．解：∵sinA：sin B：sinC=2：3：4，由正弦定理可得：a：b：c=2：3：4，∴a+bb+c =2+33+4=57，故答案为57．14.答案：3解析：解：当n =1时，可得a 1a 2=9，当n =2时，a 2a 3=81，相除可得a3a 1=q 2=9，q =±3．当q =−3时，由等比数列的定义可得a 1a 2<0，故舍去． ∴公比q =3， 故答案为：3．令n =1，得到第1项与第2项的积为9，记作①，令n =2，得到第2项与第3项的积为81，记作②，然后利用②÷①，求出q 的值，然后把q 的值代入经过检验得到满足题意的q 的值即可． 此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用等比数列的通项公式化简求值，是一道中档题．15.答案：√5+12解析：本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用向量的数量积的坐标表示，考查双曲线的渐近线方程和离心率公式，考查运算能力，属于中档题．设出A ，F 的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，结合a ，b ，c 的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．解：由题意可得A(−a,0)，F(c,0)，B(0,b)， 可得BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a,−b)，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(c,−b)， 由BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得−ac +b 2=0， 即有b 2=c 2−a 2=ac ， 由e =ca ，可得e 2−e −1=0， 解得e =1+√52(负的舍去)． 故答案为：√5+12．16.答案：①②③解析：本题考查空间线面位置关系和线面角的求法，考查三棱锥的体积和外接球的表面积的求法，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题．运用勾股定理和线面垂直的性质可得三棱锥B1−DEF为正四面体，由对棱相互垂直可判断①；由三棱锥的体积公式计算可判断③；连接CE，可得∠C1EC为直线C1E与平面ABC所成角，计算可判断④；取AC的中点O，设O′为三棱锥A−BCC1的外接球的球心，连接OC，OC1，运用勾股定理和求得半径，计算可得球的表面积，可判断②．解：根据题意画出如图所示的直三棱柱ABC−A1B1C1：其中，底面为等腰直角三角形，AB=BC=2，AA1=1，E、F、D别是棱AB、CB、A1C1的中点．对于①，取A1B1中点G，连接EG，BG交B1E于点O，连接DG．∵E为AB中点，AB=2，AA1=1，∴四边形BEGB1为正方形，则BG⊥B1E．B1C1．在△A1B1C1中，D，G分别为A1B1，A1C1的中点，则DG//B1C1，且DG=12∵F为BC的中点，且BC//B1C1，∴BF//DG且BF=DG，∴四边形DFBG为平行四边形，∴DF//BG，∴B1E⊥FD，故正确；对于②，易得BC1=√5，则AB2+BC12=4+5=9．∵AC12=AC2+CC12=8+1=9，∴AB2+BC12=AC12，即∠ABC1=π2，∵∠ACC1=π2，∴三棱锥A−BCC1的外接球的球心在线段AC1的中点处，则外接球的半径为32，∴三棱锥A−BCC1的外接球的表面积为4π×(32)2=9π，故正确；对于③，易得B1D=√2，EF=√2．在中，DG=12B1C1=1，EG=AA1=1，DE=√DG2+GE2=√2，同理可得DF=√2，则三棱锥B1−DEF为正四面体，其体积为V=13×12×√2×√2×√32×√63×√2=13，故正确；对于④，直线C1E在平面ABC上的投影为直线CE，则∠CEC1为直线C1E与平面ABC所成的角，在中，tan∠CEC1=CC1CE =√BC2+BE2=√55≠√3，故不正确．故答案为①②③．17.答案：解：(1)设等差数列{a n}的公差为d(d>0)，因为a2=3，若a1，a3−a1，a8+a1成等比数列，可得{a1+d=3a1(2a1+7d)=(2d)2 d>0,解得a1=1,d=2，所以通项公式为a n=1+(n−1)×2=2n−1．(2)证明：由(1)知a n+1=2n+1，所以b n=44n2+4n+1<1n(n+1)=1n−1n+1，所以S n<1−1n+1<1．解析：本题考查等差数列的通项公式、等比数列的性质、裂项相消数列求和，考查数列与不等式相结合，属于中档题．(1)由已知可得a 1=1,d =2，故可得通项公式为a n =1+(n −1)×2=2n −1； (2)借助(1)的结论可得b n <1n −1n+1，故可得S n <1−1n+1<1．18.答案：略解析：(1)证明：由BE =PE ，AB =PA ，AE =AE ，得ΔAEP ≅ΔAEB ，从而∠EAB =60∘，且AD ⊥BE ，又∵AD ⊥PE ，∴AD ⊥平面PBE ，而PB ⊂平面PBE ，得AD ⊥PB ，又∵AD//BC ，∴PB ⊥BC.(2)如图，作PO ⊥平面ABCD ，PA =PD ，所以OA =OD ，则OE ⊥AD ，即O,E,B 三点共线，以O 为坐标原点建立空间直角坐标系，x 轴平行于DA ，∠PEB =120∘，则∠PEO =600，设AB =2，则PE =BE =√3，OE =√32,PO =32，P(0,0,32),B(0,3√32,0)，PB 的中点G(0,3√34,34)，连结AG ，又知A(1,√32,0),C(−2,3√32,0)，由此得到：GA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−√34,−34)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3√32,−32)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,0)，有GA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴GA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∵GA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ等于所求二面角的平面角，∴cosθ=GA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |GA⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=−2√77.所以二面角A −PB −C 的余弦值为−2√77． 19.答案：解：(Ⅰ)由题意，得C(0,b)，∴直线CF 的方程为y =−bc x +b ，即bx +cy −bc =0， 又原点O 到CF 的距离为12c ， ∴√b 2+c2=12c ，由b 2+c 2=a 2整理，得a =2b ， 又椭圆过点(2√3,1)，∴124b 2+1b 2=1， 解得a 2=16，b 2=4， ∴椭圆方程为x 216+y 24=1．(Ⅱ)由(Ⅰ)知B(−4,0)，C(0,2)， 故直线BC 的方程为y =12x +2，∵直线AP 的斜率为k ，点A(4,0)，∴直线AP 的方程为：y =k(x −4)，联立{y =k(x −4)x 216+y 24=1，得(4k 2+1)x 2−32k 2x +64k 2−16=0，又点P(x P ,y p )在椭圆上，故有：4⋅x P =64k 2−164k 2+1，∴x P =16k 2−44k 2+1，y p =k(16k 2−44k 2+1−4)=−8k4k 2+1，∴P(16k 2−44k 2+1,−8k4k 2+1)， 故直线CP 的方程为y =2+8k 4k 2+10−16k 2−44k 2+1x +2，即y =1+2k2(1−2k)x +2，又点E 为直线CP 与x 轴交点，令y =0得x =8k−42k+1， ∴E(8k−42k+1,0)，将直线BC 与直线AP 联立，得：{y =12x +2y =k(x −4)，解得{x =8k+42k−1y =8k 2k−1，∴D(8k+42k−1,8k 2k−1)， 故直线DE 的斜率为： k 1=8k2k−1−08k+42k−1−8k−42k+1=2k(2k+1)8k=14(2k +1)=12(k +12)，∴2k 1=k +12， ∴λ=2．解析：(Ⅰ)推导出直线CF 的方程为bx +cy −bc =0，由原点O 到CF 的距离为12c ，椭圆过点(2√3,1)，求出a ，b ，由此能求出椭圆方程．(Ⅱ)求出直线BC 的方程为y =12x +2，直线AP 的方程为：y =k(x −4)，代入椭圆方程，得(4k 2+1)x 2−32k 2x +64k 2−16=0，求出直线CP 的方程为y =1+2k2(1−2k)x +2，从而得到E(8k−42k+1,0)，将直线BC 与直线AP 联立，得D(8k+42k−1,8k2k−1)，由此能求出λ．本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件实数值是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．20.答案：解：ξ的所有可能取值为0，1，3，ξ=0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1，2，3的座位上分别坐了编号为2，3，1或3，1，2的学生， 则P(ξ=0)=2A 33=13；ξ=1表示三位同学只有1位同学坐对了， 则P(ξ=1)=C 31A 33=12；ξ=3表示三位同学全坐对了，即对号入座， 则P(ξ=3)=1A 33=16．所以ξ的分布列为E(ξ)=0×13+1×12+3×16=1．D(ξ)=13×(0−1)2+12×(1−1)2+16×(3−1)2=1．解析：本题考查了离散型随机变量的分布列、数学期望和方差的计算问题，是中档题．由题意知ξ的可能取值，计算对应的概率值，写出概率分布列；利用期望公式和方差公式计算即可．21.答案：解：(1)由f(x)=lnx −ax 2+x ，得：f′(x)=−2ax 2+x+1x，x >0，当a =0时，f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增； 当a >0时，令f′(x)=0，则−2ax 2+x +1=0，得x 1=1−√8a+14a，x 2=1+√8a+14a，∵x 1x 2=−12a<0，∴x 1<0<x 2，∴令f′(x)>0得x ∈(0,x 2)，令f′(x)<0得x ∈(x 2,+∞)， ∴f(x)在(0,1+√8a+14a)上单调递增，在(1+√8a+14a,+∞)上单调递减．综上，a =0时，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增； 当a >0时，f(x)在(0,1+√8a+14a)上单调递增，在(1+√8a+14a,+∞)上单调递减．(2)要证f(x)≤xe x −ax 2−1，即证lnx −ax 2+x ≤xe x −ax 2−1，即证xe x ≥lnx +x +1， 即证e lnx e x ≥lnx +x +1，即证e lnx+x ≥lnx +x +1， 令t =x +lnx ，即证e t ≥t +1，令g(t)=e t −(t +1)，则g′(t)=e t −1，易知g(t)在(−∞,0)递减，在(0,+∞)递增， ∴g(t)≥g(t)min =g(0)=0，∴e t ≥t +1， 故f(x)≤xe x −ax 2−1．解析：【试题解析】(1)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；(2)问题转化为证明e lnx e x ≥lnx +x +1，令t =x +lnx ，即证e t ≥t +1，令g(t)=e t −(t +1)，结合函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22.答案：解：(1)由曲线C 的参数方程是{x =14+12cosα,y =√34+12sinα(α是参数)， 消去α得曲线C 的普通方程为x 2+y 2−12x −√32y =0，所以C 的极坐标方程为ρ=√32sinθ+12cosθ，即ρ=sin(θ+π6)．(2)不妨设M(ρ1,θ)，N(ρ2,θ+π3)，θ∈[0,2π]， 则|OM|⋅|ON|=sin(θ+π6)sin(θ+π6+π3)=cosθ(√32sinθ+12cosθ)=√34sin2θ+14cos2θ+14=12sin(2θ+π6)+14，当，即当θ=π6时，取得最大值，最大值为34．解析：本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． (1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换． (2)利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数性质的应用求出结果．23.答案：解：(Ⅰ)由柯西不等式可得(a2+b2+c2)(12+12+12)≥(a+b+c)2=1，当且仅当a=b=c=13时取等号，即a2+b2+c2≥13；所以f(a)+f(b)+f(c)=(a2+b2+c2)−(a+b+c)+3≥13−1+2=73，即f(a)+f(b)+f(c)的最小值为73．证明：(Ⅱ)因为|x−a|<1，所以|f(x)−f(a)|=|(x2−a2)−(x−a)|=|x−a|⋅|x+a−1|<|x+a−1|=|(x−a)+(2a−1)|⩽|x−a|+|2a−1|<1+(2|a|+1)=2(|a|+1)故结论成立．解析：(Ⅰ)利用柯西不等式进行证明；(Ⅱ)利用绝对值不等式的性质进行证明．。
湖北省襄阳市第五中学2025届高考压轴卷数学试卷含解析
湖北省襄阳市第五中学2025届高考压轴卷数学试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设a 、b R +∈，数列{}n a 满足12a =，21n n a a a b +=⋅+，n *∈N ，则（ ）A ．对于任意a ，都存在实数M ，使得n a M <恒成立B ．对于任意b ，都存在实数M ，使得n a M <恒成立C ．对于任意()24,b a ∈-+∞，都存在实数M ，使得n a M <恒成立D ．对于任意()0,24b a ∈-，都存在实数M ，使得n a M <恒成立2．已知集合{}{}2|1,|31xA x xB x ==<，则()RAB =（ ）A ．{|0}x x <B ．{|01}x xC ．{|10}x x -<D ．{|1}x x -3．已知()()()sin cos sin cos k k A k παπααα++=+∈Z ，则A 的值构成的集合是（ ）A ．{1,1,2,2}--B ．{1,1}-C ．{2,2}-D ．{}1,1,0,2,2--4．设α，β是方程210x x --=的两个不等实数根，记nnn a αβ=+（n *∈N ）.下列两个命题（ ） ①数列{}n a 的任意一项都是正整数； ②数列{}n a 存在某一项是5的倍数. A ．①正确，②错误 B ．①错误，②正确 C ．①②都正确 D ．①②都错误5．已知复数(2)1ai iz i+=-是纯虚数，其中a 是实数，则z 等于（ ）A ．2iB ．2i -C ．iD ．i -6．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且443S a =+，则2a =( ) A ．2-B ．1-C ．1D ．27．设全集U =R ，集合{|(1)(3)0}A x x x =--≥，11|24xB x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭.则集合()U A B 等于（ ）A ．(1,2)B ．(2,3]C ．(1,3)D ．(2,3)8．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升(注：一斗为十升).问，米几何？”下图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S =15(单位：升)，则输入的k 的值为（ ） A ．45B ．60C ．75D ．1009．若双曲线22214x y b -=的离心率72e =，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ） A ．23B ．2C ．3D ．110．定义,,a a b a b b a b ≥⎧⊗=⎨<⎩，已知函数21()2sin f x x =-，21()2cos g x x =-，则函数()()()F x f x g x =⊗的最小值为（ ） A ．23B ．1C ．43D ．211．若命题：从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为三分之一；命题：在边长为4的正方形内任取一点，则的概率为，则下列命题是真命题的是（ ）A ．B ．C ．D ．12．山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：mm ）服从正态分布()280,5N ，则直径在(]75,90内的概率为（ ）附：若()2~,X N μσ，则()0.6826P Xμσμσ-<+=，()220.9544P X μσμσ-<+=.A ．0.6826B ．0.8413C ．0.8185D ．0.9544二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖北省襄樊市(新版)2024高考数学人教版模拟(押题卷)完整试卷
湖北省襄樊市（新版）2024高考数学人教版模拟(押题卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题瑞士数学家贝努利提出了一个重要的不等式：设实数，则，该不等式被称为“贝努利不等式”．当比较接近于0时，，常被用于估值问题，则方程的根的近似值为（）（结果保留四位小数）A．1.0003B．1.0006C．1.0008D．1.0050第(2)题函数y=x2㏑x的单调递减区间为A．（1,1]B．（0,1]C．[1，+∞）D．（0，+∞）第(3)题在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（）．A．B．C．D．第(4)题函数的图象恒过点，函数的定义域为，，则函数的值域为（）A．B．C．D．第(5)题已知为奇函数，则（）A．B．2C．1D．第(6)题乒乓球被誉为我国的“国球”，一个标准尺寸乒乓球的直径是，其表面积约为（）A．B．C．D．第(7)题从3，5，7，11这四个质数中，每次取出两个不同的数分别为，共可得到的不同值的个数是（）A．6B．8C．12D．16第(8)题现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（）A．120B．60C．30D．20二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题在正方体中，点P满足，则（）A．若，则AP与BD所成角为B．若，则C．平面D．第(2)题已知正数a，b，c满足，，且，记，，则下列说法正确的是（）A．若，则，都有B．若，则，都有C．若，则，都有D．若，则，都有第(3)题给出下列说法，其中正确的是（）A．若数据的方差为0，则此组数据的众数唯一B．已知一组数据3，4，7，9，10，11，11，13，则该组数据的第40百分位数为8C．一组样本数据的频率分布直方图是单峰的且形状是对称的，则该组数据的平均数和中位数应该大体上差不多D．经验回归直线恒过样本点的中心，且在回归直线上的样本点越多，拟合效果越好三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题设集合中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两个不同元素之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值______．第(2)题已知首项为1的数列的前项和为，且，则数列的通项公式为___________.第(3)题已知等差数列的前n项和为，公差d为奇数，且同时满足：①存在最大值；②；③．则数列的一个通项公式可以为______．（写出满足题意的一个通项公式）四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题一机械制造加工厂的某条生产线设备在正常运行的情况下，生产的零件尺寸z（单位：）服从正态分布，且.(1)求的概率；(2)若从该条生产线上随机选取2个零件，设X表示零件尺寸小于的零件个数，求X的分布列与数学期望.第(2)题在中，分别是角的对边.设，已知(1)求角的大小；(2)设，当时，求函数的最小值.第(3)题在中，已知，D为的中点.(1)求A；(2)当时，求的最大值.第(4)题随着现代社会的发展，我国对于环境保护越来越重视，企业的环保意识也越来越强.现某大型企业为此建立了5套环境监测系统，并制定如下方案：每年企业的环境监测费用预算定为1200万元，日常全天候开启3套环境监测系统，若至少有2套系统监测出排放超标，则立即检查污染源处理系统；若有且只有1套系统监测出排放超标，则立即同时启动另外2套系统进行1小时的监测，且后启动的这2套监测系统中只要有1套系统监测出排放超标，也立即检查污染源处理系统.设每个时间段（以1小时为计量单位）被每套系统监测出排放超标的概率均为，且各个时间段每套系统监测出排放超标情况相互独立.（1）当时，求某个时间段需要检查污染源处理系统的概率；（2）若每套环境监测系统运行成本为300元/小时（不启动则不产生运行费用），除运行费用外，所有的环境监测系统每年的维修和保养费用需要100万元.现以此方案实施，问该企业的环境监测费用是否会超过预算(全年按9000小时计算)？并说明理由.第(5)题已知为等差数列，为等比数列，且满足．（1）求和的通项公式；（2）对任意的正整数n，设，求数列的前n项和．。
湖北省襄樊市2019-2020学年高考数学五模试卷含解析
湖北省襄樊市2019-2020学年高考数学五模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的左支交于不同的两点A ，B ，若2AF FB =u u u r u u u r ，则该双曲线的离心率为（ ）．AB．CD【答案】A【解析】【分析】直线l 的方程为b x y c a =-，令1a =和双曲线方程联立，再由2AF FB =u u u r u u u r 得到两交点坐标纵坐标关系进行求解即可.【详解】由题意可知直线l 的方程为b x y c a=-,不妨设1a =. 则x by c =-，且221b c =- 将x by c =-代入双曲线方程2221y x b -=中，得到()4234120b y b cy b +--= 设()()1122,,,A x y B x y 则341212442,11b c b y y y y b b +=⋅=-- 由2AF FB =u u u r u u u r ，可得122y y =-，故32442242121b c y b by b ⎧-=⎪⎪-⎨⎪-=⎪-⎩则22481b c b =-，解得219=b则c ==所以双曲线离心率c e a == 故选：A【点睛】此题考查双曲线和直线相交问题，联立直线和双曲线方程得到两交点坐标关系和已知条件即可求解，属于一般性题目.2．如图，在ABC ∆中，23AN NC =u u u v u u u v ，P 是BN 上一点，若13AP t AB AC =+u u u v u u u v u u u v ，则实数t 的值为（ ）A ．23B ．25C ．16D ．34【答案】C【解析】【分析】由题意，可根据向量运算法则得到25AP mAC =+u u u r u u u r （1﹣m ）AB u u u r ，从而由向量分解的唯一性得出关于t 的方程，求出t 的值.【详解】由题意及图，()()1AP AB BP AB mBN AB m AN AB mAN m AB =+=+=+-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 又，23AN NC =u u u r u u u r ，所以25AN AC =u u u r u u u r ，∴25AP mAC =+u u u r u u u r （1﹣m ）AB u u u r ， 又AP =u u u r t 13AB AC +u u u r u u u r ，所以12153m t m -=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得m 56=，t 16=， 故选C ．【点睛】 本题考查平面向量基本定理，根据分解的唯一性得到所求参数的方程是解答本题的关键，本题属于基础题.3．二项式732x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中，1x 项的系数为（ ） A ．94516- B ．18932- C ．2164- D ．28358【答案】D【解析】【分析】写出二项式的通项公式,再分析x 的系数求解即可.【详解】二项式732x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为777217731(3)22r r r r r r r r x T C C x x ---+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,令721r -=-,得4r =,故1x 项的系数为7444712835(3)28C -⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 故选：D【点睛】 本题主要考查了二项式定理的运算,属于基础题.4．已知函数()x a f x x e -=+，()()ln 24a x g x x e -=+-，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x ，使()()003f x g x -=成立，则实数a 的值为（ ）A ．ln21--B ．1ln2-+C ．ln 2-D ．ln 2 【答案】A【解析】令f （x ）﹣g （x ）=x+e x ﹣a ﹣1n （x+1）+4e a ﹣x ，令y=x ﹣ln （x+1），y′=1﹣12x +=12x x ++， 故y=x ﹣ln （x+1）在（﹣1，﹣1）上是减函数，（﹣1，+∞）上是增函数，故当x=﹣1时，y 有最小值﹣1﹣0=﹣1，而e x ﹣a +4e a ﹣x ≥4，（当且仅当e x ﹣a =4e a ﹣x ，即x=a+ln1时，等号成立）；故f （x ）﹣g （x ）≥3（当且仅当等号同时成立时，等号成立）；故x=a+ln1=﹣1，即a=﹣1﹣ln1．故选：A ．5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．83π33B ．4π1633C ．33π3D ．3π1633【答案】D【解析】【分析】 结合三视图可知,该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,分别求出体积即可.【详解】由三视图可知该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,则上半部分的半个圆锥的体积11143π4π2323V =⨯⨯⨯=,下半部分的正三棱柱的体积2142342V =⨯⨯⨯=163,故该几何体的体积1243π1633V V V =+=+. 故选:D. 【点睛】 本题考查三视图,考查空间几何体的体积,考查空间想象能力与运算求解能力,属于中档题.6．函数的定义域为（ ）A ．[，3）∪（3，+∞）B ．（-∞，3）∪（3，+∞）C ．[，+∞）D ．（3，+∞）【答案】A【解析】【分析】根据幂函数的定义域与分母不为零列不等式组求解即可.【详解】因为函数，解得且；函数的定义域为, 故选A ．【点睛】 定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出. 7．将函数2()322cos f x x x =-图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移8π个单位长度，则所得函数图象的一个对称中心为（ ） A ．3,08π⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．3,18⎛⎫-- ⎪⎝⎭π C ．3,08⎛⎫- ⎪⎝⎭π D ．3,18⎛⎫- ⎪⎝⎭π 【答案】D【解析】【分析】先化简函数解析式,再根据函数()y Asin x ωϕ=+的图象变换规律,可得所求函数的解析式为22sin 134y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,再由正弦函数的对称性得解. 【详解】222cos y x x =-Q()21cos 2x x =-+2sin 216x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭, ∴将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍,所得函数的解析式为22sin 136y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭, 再向右平移8π个单位长度,所得函数的解析式为 22sin 1386y x ππ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 22sin 134x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭, 233,3428x k x k k Z ππππ-=⇒=+∈， 0k =可得函数图象的一个对称中心为3,18⎛⎫- ⎪⎝⎭π，故选D. 【点睛】三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，经常考查定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、最值等，其中公式运用及其变形能力、运算能力、方程思想等可以在这些问题中进行体现，在复习时要注意基础知识的理解与落实．三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解．8．某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务，要求是：任务A 必须排在前三项执行，且执行任务A 之后需立即执行任务E ，任务B 、任务C 不能相邻，则不同的执行方案共有（ ）A．36种B．44种C．48种D．54种【答案】B【解析】【分析】分三种情况，任务A排在第一位时，E排在第二位；任务A排在第二位时，E排在第三位；任务A排在第三位时，E排在第四位，结合任务B和C不能相邻，分别求出三种情况的排列方法，即可得到答案．【详解】六项不同的任务分别为A、B、C、D、E、F，如果任务A排在第一位时，E排在第二位，剩下四个位置，先排好D、F，再在D、F之间的3个空位中插入B、C，此时共有排列方法：222312A A=；如果任务A排在第二位时，E排在第三位，则B，C可能分别在A、E的两侧，排列方法有122322=12C A A，可能都在A、E的右侧，排列方法有2222=4A A；如果任务A排在第三位时，E排在第四位，则B，C分别在A、E的两侧11222222=16C C A A；所以不同的执行方案共有121241644+++=种．【点睛】本题考查了排列组合问题，考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题．9．设2,(10)()[(6)],(10)x xf xf f x x-≥⎧=⎨+<⎩,则(5)f=( )A．10 B．11 C．12 D．13【答案】B【解析】【分析】根据题中给出的分段函数，只要将问题转化为求x≥10内的函数值，代入即可求出其值．【详解】∵f（x）()()()210610x xf f x x⎧-≥⎪=⎨⎡⎤+⎪⎣⎦⎩＜，∴f（5）＝f[f（1）]＝f（9）＝f[f（15）]＝f（13）＝1．故选：B．【点睛】本题主要考查了分段函数中求函数的值，属于基础题．10．若直线20x y m ++=与圆222230x x y y ++--=相交所得弦长为25，则m =（ ） A ．1B ．2C ．5D ．3【答案】A【解析】【分析】将圆的方程化简成标准方程,再根据垂径定理求解即可.【详解】圆222230x x y y ++--=的标准方程22(1)(1)5x y ++-=,圆心坐标为(1,1)-,半径为5,因为直线20x y m ++=与圆222230x x y y ++--=相交所得弦长为25,所以直线20x y m ++=过圆心,得2(1)10m ⨯-++=,即1m =.故选：A【点睛】本题考查了根据垂径定理求解直线中参数的方法,属于基础题.11．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）为（ ）A ．163B ．6C ．203D ．223【答案】D【解析】【分析】根据几何体的三视图，该几何体是由正方体去掉三棱锥得到，根据正方体和三棱锥的体积公式可求解.【详解】如图,该几何体为正方体去掉三棱锥111B A C E -,所以该几何体的体积为：11111111122222221323B AC E ABCD A B C D V V V --=-=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=, 故选：D【点睛】 本题主要考查了空间几何体的三视图以及体积的求法，考查了空间想象力，属于中档题.12．已知实数x 、y 满足不等式组2102100x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则3z x y =-+的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．32-D ．2-【答案】A【解析】【分析】画出不等式组所表示的平面区域，结合图形确定目标函数的最优解，代入即可求解，得到答案．【详解】 画出不等式组2102100x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩所表示平面区域，如图所示，由目标函数3z x y =-+，化为直线3y x z =+，当直线3y x z =+过点A 时，此时直线3y x z =+在y 轴上的截距最大，目标函数取得最大值，又由2100x y y -+=⎧⎨=⎩，解得(1,0)A -， 所以目标函数的最大值为3(1)03z =-⨯-+=，故选A ．本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年湖北省襄阳五中、夷陵中学、钟祥一中三校高考数学适应性试卷(理科)(6月份)-解析版
2020年湖北省襄阳五中、夷陵中学、钟祥一中三校高考数学适应性试卷（理科）（6月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 设z =1−i1+i +2i ，则|z|=( )A. 0B. 12C. 1D. √22. 已知集合A ={x|x 2<2},B ={x|x−2x+1≤0}，则A ∩B =( )A. (−∞,−√2)∪[−1，+∞)B. (−1,√2)C. [−1,√2)D. (√2,2]3. 对于平面α、β、γ和直线a 、b 、m 、n ，下列命题中真命题是( )A. 若a ⊥m ，a ⊥n ，m ⊂α，n ⊂α，则a ⊥αB. 若a//b ，b ⊂a ，则a//αC. 若α//β，α∩γ=a ，β∩γ=b ，则a//bD. 若a ⊂β，b ⊂β，a//α，b//a ，则β//α 4. 给出下列结论：在回归分析中(1)可用相关指数R 2的值判断模型的拟合效果，R 2越大，模型的拟合效果越好； (2)可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越大，模型的拟合效果越好； (3)可用相关系数r 的值判断模型的拟合效果，r 越大，模型的拟合效果越好； (4)可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高． 以上结论中，不正确的是( )A. (1)(3)B. (2)(3)C. (1)(4)D. (3)(4)5. 已知a =ln0.5，b =e ，c 满足1e c =lnc ，则实数a ，b ，c 满足( )A. a <b <cB. a <c <bC. b <a <cD. c <a <b6. 在(3x +1x )n 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64：1，则展开式中常数项为( ) A. 540 B. 480 C. 320 D. 1607. 设{a n }为等比数列，{b n }为等差数列，且S n 为数列{b n }的前n 项和．若a 2=1，a 10=16且a 6=b 6，则S 11=( ) A. 20 B. 30 C. 44 D. 88 8. 已知实数x ，y 满足{x −y +6≥0x +y ≥0x ≤3.，若z =ax +y 的最大值为3a +9，最小值为3a −3，则实数a 的取值范围为( )A. [−1,1]B. [−1,2]C. [2,3]D. [−1,3]9. 已知P 是双曲线E ：y 24−x 2m =1上任意一点，M ，N 是双曲线上关于坐标原点对称的两点，且直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2(k 1k 2≠0)，若|k 1|+|k 2|的最小值为1，则实数m 的值为( ) A. 16 B. 2 C. 1或16 D. 2或810. 已知函数f(x)=Acos(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)，将函数f(x)的图象向左平移3π4个单位长度，得到函数g(x)的部分图象如图所示，则g(x2+π12)=√33是f(x)=13的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件11. 某中学高三年级在返校复学后，为了做好疫情防护工作，一位防疫督察员要将2盒完全相同的N 95口罩和3盒完全相同的普通医用口罩全部分配给3个不同的班，每个班至少分得一盒，则不同的分法种数是( ) A. 21 B. 24 C. 27 D. 3012. 锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且a =1，bcosA −cosB =1，若A ，B 变化时，sinB −2λsin 2A 存在最大值，则正数λ的取值范围是( )A. (0,√33)B. (0,12)C. (√33,√22)D. (12,1)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设函数f(x)={2−x −1,x ≤0log 2x,x >0，则f(f(12))=______．14. 学校艺术节对A ，B ，C ，D 四件参赛作品只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲，乙，丙，丁四位同学对这四件参赛作品预测如下：甲说：“是C 或D 作品获得一等奖”；乙说：“B 作品获得一等奖”；丙说：“A ，D 两件作品未获得一等奖”；丁说：“是C 作品获得一等奖”.评奖揭晓后，发现这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是______．15. 已知抛物线C ：x 2=2py(p >0)的焦点为F ，点A(1,0)，直线FA 与抛物线C 在第一象限内交于点P ，直线FA 与抛物线C 的准线l 交于点Q ，若PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2FP⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点P 到y 轴的距离为______．16. 已知半径为√7的球面上有三点A 、B 、C ，AB =2√3，球心为O ，二面角C −AB −O 的大小为60°，当直线OC 与平面OAB 所成角最大时，三棱锥O −ABC 的体积为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. 已知数列{a n }满足a 1=14，2a n −a n−1=a n ⋅a n−1(n ≥2,n ∈N ∗)，a n ≠0．(1)证明数列{1a n−1}(n ∈N ∗)为等比数列，求出{a n }的通项公式；(2)数列{a n }的前n 项和为T n ，求证：对任意n ∈N ∗，T n <23．18. 在四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是正方形，且BC =BB 1=√2，∠A 1AB =∠A 1AD =60°． (1)求证：BD ⊥CC 1；(2)若动点E 在棱C 1D 1上，试确定点E 的位置，使得直线DE 与平面BDB 1所成角的正弦值为√714．19. 过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左顶点A 作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为B ，与y 轴的交点为C ，已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗=613BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． (Ⅰ)求椭圆的离心率；(Ⅱ)设动直线y =kx +m 与椭圆有且只有一个公共点P ，且与直线x =4相交于点Q ，若x 轴上存在一定点M(1,0)，使得PM ⊥QM ，求椭圆的方程．20. 某地区在一次考试后，从全体考生中随机抽取44名，获取他们本次考试的数学成绩(x)和物理成绩(y)，绘制成如图散点图：根据散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，但图中有两个异常点A ，B.经调查得知，A 考生由于感冒导致物理考试发挥失常，B 考生因故未能参加物理考试．为13814.5,∑(42i=1y i −y −)2=5250，其中x i ，y i 分别表示这42名同学的数学成绩、物理成绩，i =1，2，…，42，y 与x 的相关系数r =0.82．(1)若不剔除A ，B 两名考生的数据，用44组数据作回归分析，设此时y 与x 的相关系数为r 0.试判断r 0与r 的大小关系，并说明理由； (2)求y 关于x 的线性回归方程(系数精确到0.01)，并估计如果B 考生加了这次物理考试(已知B 考生的数学成绩为125分)，物理成绩是多少？(精确到个位)；(3)从概率统计规律看，本次考试该地区的物理成绩ξ服从正态分布N(μ,σ2).以剔除后的物理成绩作为样本，用样本平均数y −作为μ的估计值，用样本方差s 2作为σ2的估计值．试求该地区5000名考生中，物理成绩位于区间(62.8,85.2)的人数Z 的数学期望．附：①回归方程y ̂=a ̂+b ̂x 中，b ̂=i −x )ni=1i −y )∑(x −x )2n ，a ̂=y −b ̂x ， ②若ξ～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<ξ<μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<ξ<μ+2σ)=0.9544．③√125=11.221. 已知函数f(x)=xsinx +cosx ，g(x)=cosx x．(1)判断函数f(x)在区间(0,3π)上零点的个数；(2)设函数g(x)在区间(0,3π)上的极值点从小到大分别为x 1，x 2，…，x n ，证明g(x 1)+g(x 2)+⋯+g(x n )<0成立．22. 已知点A 为圆C ：(x −1)2+y 2=1上的动点，O 为坐标原点，过P(0,4)作直线OA的垂线(当A 、O 重合时，直线OA 约定为y 轴)，垂足为M ，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求点M 的轨迹的极坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程为ρsin(θ+π3)=4，连接OA 并延长交l 于B ，求|OA||OB|的最大值．23.已知函数f(x)=|x+1|．(1)求不等式f(x)≤4−|2x−3|的解集；(2)若正数m、n满足m+2n=mn，求证：f(m)+f(−2n)≥8．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查复数的四则运算，复数的模的求法，考查计算能力，属于基础题．利用复数的四则运算法则化简后，然后求解复数的模．【解析】+2i，解：∵z=1−i1+i+2i=−i+2i=i，∴z=(1−i)(1−i)(1−i)(1+i)则|z|=1．故选C．2.【答案】B【解析】解：∵A={x|−√2<x<√2},B={x|−1<x≤2}，∴A∩B=(−1,√2)．故选：B．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式和分式不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：A.根据线面垂直的垂直的判定定理可知，m，n必须是相交直线，所以A 错误．B.根据直线和平面平行的判定定理可知，a必须在平面α外，所以B错误．C.根据面面平行的性质定理可知，两个平行平面同时和第三个平面相交，则交线平行，所以C正确．D.根据面面平行的判定定理可知，直线a，b必须是相交直线，才能得到面面平行．所以D错误．故选：C．A.利用线面垂直的定义和判定定理判断．B.利用线面平行的判定定理判断．C.利用面面平行的性质判断．D.利用线面平行的性质和面面平行的判定定理判断．本题主要考查空间直线，平面间的位置关系的判断，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理的应用．4.【答案】B【解析】解：对于(1)，用相关指数R2的值判断模型的拟合效果时，R2越大，模型的拟合效果越好，所以(1)正确；对于(2)，用残差平方和判断模型的拟合效果时，残差平方和越小，模型的拟合效果越好；所以(2)错误；(3)用相关系数r的值判断模型的拟合效果时，|r|越大，模型的拟合效果越好，不是r 越大，模型的拟合效果越好，所以(3)错误；(4)用残差图判断模型的拟合效果时，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明综上知，不正确的命题序号是(2)(3)．故选：B．(1)在回归分析中，根据R2越大，模型的拟合效果就越好；(2)用残差平方和判断模型的拟合效果时，残差平方和越小，模型的拟合效果就越好；(3)用相关系数r的值判断模型的拟合效果时，|r|越大，模型的拟合效果越好；(4)用残差图判断模型的拟合效果时，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适；带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．本题考查了回归分析模型的应用问题，解题的关键是理解对于拟合效果好坏的几个量的大小反映拟合效果的问题，是基础题．5.【答案】A【解析】解：∵ln0.5<ln1=0，∴a<0，∵√e>1，∴0<1√e<1，即0<b<1，函数y=(1e)x与函数y=lnx的图象，如图所示：，由图象可知，c>1，∴c>b>a，故选：A．利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．6.【答案】A【解析】解：(3x+1x)n的展开式中，令x=1，可得各项系数的和为4n，各项二项式系数的和为2n，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为4n2n=64，∴n=6，∴(3x+1x)n的展开式的通项公式为：T r+1=∁6r⋅36−r⋅x6−2r．令6−2r=0，求得r=3，可得展开式中的常数项等于∁63⋅33=540．故选：A．根据各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，求得n的值，再利用展开式的通项公式求出常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式的系数和常用的方法是赋值法，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2=1，a 10=16，得q 8=a 10a 2=16，得q 2=2．∴a 6=a 2q 4=4，即a 6=b 6=4， 又S n 为等差数列{b n }的前n 项和， ∴S 11=(b 1+b 11)×112=11b 6=44．故选：C ．设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2=1，a 10=16列式求得q 2，进一步求出a 6，可得b 6，再由等差数列的前n 项和公式求解S 11．本题考查等差数列与等比数列的通项公式及性质，训练了等差数列前n 项和的求法，是中档题． 8.【答案】A【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z =ax +y 得y =−ax +z ， ∵z =ax +y 的最大值为3a +9，最小值为3a −3，∴当直线y =−ax +z 经过点B(3,9)时直线截距最大，当经过点A(3,−3)时，直线截距最小． 则直线y =−ax +z 的斜率−a 满足， −1≤−a ≤1， 即−1≤a ≤1， 故选：A ．作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，确定过B 点取得最大值，故A 点取得最小值，利用数形结合确定目标函数斜率的范围，即可得到结论． 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键． 9.【答案】A【解析】解：设P(x,y)，M(s,t)，则N(−s,−t)，所以{y 24−x 2m =1t 24−s 2m =1两式相减可得：y 2−t 24=x 2−s 2m， 所以y 2−t 2x 2−s 2=4m ，所以k 1k 2=y−tx−s ⋅y+tx+s =y 2−t 2x 2−s 2=4m ，在双曲线的方程中，m >0，所以|k 1|+|k 2|≥2√|k 1|⋅|k 2|=2√4m =√m，由题意可得4√m =1，解得m =16，y2−t2 x2−s2=4m，求出PM，PN的斜率之积恰好为4m，由均值不等式可得|k1|+|k2|的最小值，再由椭圆可得m的值．本题考查双曲线的性质及均值不等式的应用，属于中档题．10.【答案】D【解析】解：根据函数的图象得到：A=1，3T4=π6−(−7π12)=3π4，解得T=π，所以ω=2．当x=π6时，2×π6+φ=kπ，解得φ=kπ−π3，由于|φ|<π2，所以φ=−π3．故g(x)=sin(2x−π3).把函数g(x)的图象向右平移3π4个单位得到f(x)=sin(2x−3π2−π3)=cos(2x−π3).所以g(x2+π12)=cos(x−π6)，当cos(x−π6)=√33时，解得cos(2x−π3)=2cos2(x−π6)−1=−13当f(x)=13，所以cos(2x−π3)=13，所以2cos2(x−π6)−1=13，所以cos(x−π6)=±√33．则g(x2+π12)=√33是f(x)=13的既不充分也不必要条件．故选：D．首先利用函数的图象求出函数g(x)的关系式，进一步求出函数f(x)的关系式，最后利用四个条件的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的平移变换的应用，四个条件的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．11.【答案】C【解析】解：根据题意，假设N95口罩用a表示，普通医用口罩用b表示，分情况讨论如下：①5盒口罩分为a、a、3b的三组，有C31=3种分法，②5盒口罩分为2a、b、2b的三组，有A33=6种分法，③5盒口罩分为a+b、a+b、b的三组，有C31=3种分法，④5盒口罩分为2a+b、b、b的三组，有C31=3种分法，⑤5盒口罩分为a+2b、a、b的三组，有A33=6种分法，⑥5盒口罩分为a+b、a、2b的三组，有A33=6种分法，根据题意，假设N 95口罩用a 表示，普通医用口罩用b 表示，按口罩的不同分组方法分6种情况进行讨论，求出每种情况下的分配方法数目，由加法原理计算可得答案． 本题考查排列组合的应用，涉及分类讨论，属于基础题． 12.【答案】A【解析】解：因为a =1，bcosA −cosB =1，由正弦定理得：sinBcosA −cosBsinA =sinA ，即：sin(B −A)=sinA ，故B −A =A ，或B −A +A =π(舍)，故B =2A ． 因为△ABC 为锐角三角形，所以{0<A <π20<2A <π2A +2A >π2，解得π6<A <π4．因为sinB −2λsin 2A =sin2A −λ(1−cos2A)=sin2A +λcos2A −λ=√1+λ2sin(2A +α)−λ，(tanα=λ)．因为π3<2A <π2，要使sinB −2λsin 2A 取得最大值，只需{α>0π3+α<π2，解得：0<α<π6． 所以tan0<λ<tan π6，即0<λ<√33．故选：A ．先利用正弦定理，由a =1，bcosA −cosB =1得：sin(B −A)=sinA ，从而得B =2A ，再结合△ABC 为锐角三角形，得到A 的范围，然后根据sinB −2λsin 2A 存在最大值，求出λ的范围即可．本题考查解三角形问题的基本思路，利用正弦定理得到A ，B 的关系是本题的突破口．属于中档题． 13.【答案】1【解析】解：∵12>0，∴f(12)=log 212=−1， ∵−1<0，∴f(−1)=2−(−1)−1=2−1=1． ∴f(f(12))=f(−1)=1．故答案为1．利用分段函数在不同的区间内的解析式不同即可求出其相应的函数值． 正确理解分段函数的意义是解题的关键． 14.【答案】B【解析】 【分析】本题考查了合情推理的问题，属于基础题．假设A ，B ，C ，D 分别为一等奖，判断甲、乙、丙、丁的说法的正确性，即可判断． 【解答】解：若A 为一等奖，则甲，乙，丙，丁的说法均错误，故不满足题意， 若B 为一等奖，则乙，丙说法正确，甲，丁的说法错误，故满足题意， 若C 为一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不满足题意， 若D 为一等奖，则只有甲的说法正确，故不满足题意，故若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B ． 故答案为B ．【解析】解：抛物线C ：x 2=2py(p >0)的焦点为F(0,p2)，其准线方程为y =−p2， ∵A(1,0)，∴直线AF 的方程为y =−p2(x −1)， 由{y =−p2(x −1)y =−p2，解得x =2，y =−p2，则Q(2,−p2)，∵PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2FP⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴(2−x P ,−p2−y p )=√2(x P ,y p −1)，∴2−x P =√2x P ， ∴x P =2√2−2．故点P 到y 轴距离为2√2−2．故答案为：2√2−2．先求出直线AF 的方程，再求出点Q 的坐标，根据若PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可求出答案． 本题考查了抛物线的性质，直线方程，向量的运算，属于基础题．16.【答案】3【解析】解：如图，球O 的半径OA =OB =√7，AB =2√3，要使直线OC 与平面OAB 所成角最大，则AC =BC ，取AB 中点D ，连接OD ，CD ，可得OD ⊥AB ，CD ⊥AB ， 则∠ODC =60°．在△OAB 中，由已知求得OD =2，过O 作OH ⊥CD ，则OH ⊥平面ABC ，可得DH =1，OH =√3．延长OH 交球于M ，N 两点，则NC 2=NH ⋅MN =(√7+√3)⋅2√7=14+2√21， 则CH =√14+2√21−(√7+√3)2=2，则DC =3． ∴三棱锥O −ABC 的体积为V =13×12×2√3×3×√3=3．故答案为：3．由题意画出图形，分析可知，当AC =BC 时，直线OC 与平面OAB 所成角最大，求解三角形得到O 到平面ABC 的距离，再由射影定理求解CH ，则三棱锥O −ABC 的体积可求．本题考查多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：(1)由2a n −a n−1=a n ⋅a n−1，又a n ≠0，可得2a n−1−1a n =1，∴1a n−1=2(1a n−1−1)，∴数列{1a n−1}是首项为1a 1−1=3，公比为2的等比数列．∴1a n−1=3⋅2n−1, ∴a n =13×2n−1+1，n ∈N ∗．(2)a n =13×2n−1+1，∴T n =13+1+13×2+1+13×22+1+⋯+13×2n−1+1<13+13×2+13×22+⋯+13×2n−1=13[1+(12)1+(12)2+⋯+12n−1] =13⋅1−12n1−12=23(1−12n)<23．因此对任意n ∈N ∗，T n <23．【解析】本题考查了数列递推关系，等比数列的通项公式、求和公式，以及利用放缩法证明不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． (1)由2a n −a n−1=a n ⋅a n−1，可得2an−1−1a n=1，变形1a n−1=2(1an−1−1)，即可得出．(2)通过放缩，利用等比数列的求和公式即可证明结论． 18.【答案】解：(1)连接A 1B ，A 1D ，AC ，因为AB =AA 1=AD ，∠A 1AB =∠A 1AD =60°， 所以△A 1AB 和△A 1AD 均为正三角形， 于是A 1B =A 1D .设AC 与BD 的交点为O ，连接A 1O ，则A 1O ⊥BD ， 又四边形ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD ， 而A 1O ∩AC =O ，所以BD ⊥平面A 1AC ． 又AA 1⊂平面A 1AC ，所以BD ⊥AA 1， 又CC 1//AA 1，所以BD ⊥CC 1．(2)由A 1B =A 1D =√2，及BD =√2AB =2，知A 1B ⊥A 1D ， 于是AO =A 1O =12BD =√22AA 1，从而A 1O ⊥AO ，结合A 1O ⊥BD ，AO ∩AC =O ，得A 1O ⊥底面ABCD ，所以OA 、OB 、OA 1两两垂直． 如图，以点O 为坐标原点，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系O −xyz ， 则A(1,0，0)，B(0,1，0)，D(0,−1,0)，A 1(0,0，1)，C(−1,0，0)，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)，BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,1)，D 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,0)，由DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,1)，得D 1(−1,−1,1)．设D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λD 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈[0,1])，则(x E +1,y E +1,z E −1)=λ(−1,1，0)，即E(−λ−1,λ−1,1)，所以DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−λ−1,λ,1)． 设平面B 1BD 的一个法向量为n⃗ =(x,y,z)， 由{n ⃗ ⋅DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0得{y =0−x +z =0令x =1，得n⃗ =(1,0,1)， 设直线DE 与平面BDB 1所成角为θ，则sinθ=|cos <DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=√2×√λ2+(−1−λ)2+1=√714， 解得λ=12或λ=−13(舍去)，所以当E 为D 1C 1的中点时，直线DE 与平面BDB 1所成角的正弦值为√714．【解析】(1)连接A 1B ，A 1D ，AC ，则△A 1AB 和△A 1AD 均为正三角形，设AC 与BD 的交点为O ，连接A 1O ，则A 1O ⊥BD ，由四边形ABCD 是正方形，得AC ⊥BD ，从而BD ⊥平面A 1AC.进而BD ⊥AA 1，由此能证明BD ⊥CC 1．(2)推导出A 1B ⊥A 1D ，A 1O ⊥AO ，A 1O ⊥BD ，从而A 1O ⊥底面ABCD ，以点O 为坐标原点，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系O −xyz ，利用向量法能求出当E 为D 1C 1的中点时，直线DE 与平面BDB 1所成角的正弦值为√714．本题考查线线垂直的证明，考查满足线面角的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)∵A(−a ，0)，设直线方程为y =2(x +a)，B(x 1,y 1) 令x =0，则y =2a ，∴C(0,2a)，-------------------(1分) ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+a,y 1),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x 1,2a −y 1) ∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =613BC ⃗⃗⃗⃗⃗∴x 1+a =613(−x 1),y 1=613(2a −y 1)，整理得x 1=−1319a,y 1=1219a ------------(2分)∵B 点在椭圆上，∴(1319)2+(1219)2⋅a 2b 2=1，∴b 2a 2=34，∴a 2−c 2a 2=34，即1−e 2=34，∴e =12-------------------(4分)(Ⅱ)∵b 2a 2=34，可设b 2=3t.a 2=4t ，∴椭圆的方程为3x 2+4y 2−12t =0由{3x 2+4y 2−12t =0y =kx +m 得(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−12t =0-------------------(5分) ∵动直线y =kx +m 与椭圆有且只有一个公共点P ∴△=0，即64k 2m 2−4(3+4k 2)(4m 2−12t)=0整理得m 2=3t +4k 2t ------------------(8分) 设P(x 1,y 1)则有x 1=−8km2(3+4k 2)=−4km3+4k 2，y 1=kx 1+m =3m3+4k 2 ∴P(−4km3+4k 2,3m3+4k 2)又M(1,0)，Q(4,4k +m)若x 轴上存在一定点M(1,0)，使得PM ⊥QM ， ∴(1+4km3+4k 2,−3m3+4k 2)⋅(−3,−(4k +m))=0恒成立整理得3+4k 2=m 2，------------------(10分) ∴3+4k 2=3t +4k 2t 恒成立，故t =1 所求椭圆方程为x 24+y 23=1------------------(12分)【解析】(Ⅰ)设直线AB ：y =2(x +a)，A(−a,0)，C(0,2a)，利用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =613BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出B 的坐标，代入椭圆方程，求解离心率．(Ⅱ)设椭圆方程为3x 2+4y 2−12t =0，联立y =kx +m ，利用y =kx +m 与椭圆有且只有一个公共点，△=0，通过PM ⊥QM 数量积为0，得到方程．求解可得椭圆方程． 本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力，知识综合性强．20.【答案】解：(1)r 0<r ．理由如下：由图可知，y 与x 成正相关关系，①异常点A ，B 会降低变量之间的线性相关程度．②44个数据点与其回归直线的总偏差更大，回归效果更差，所以相关系数更小． ③42个数据点与其回归直线的总偏差更小，回归效果更好，所以相关系数更大． ④42个数据点更贴近其回归直线．(2)由题中数据可得：x −=142∑x i 42i=1=110.5，y −=142∑y i 42i=1=74，所以∑(42i=1x i −x −)(y i −y −)=∑x i 42i=1y i −42x −y −=350350−42×110.5×74=6916．又因为∑(42i=1x i −x −)2=13814.5， 所以b ̂=∑(42i=1x i −x −)(y i −y −)∑(42i=1x i −x −)2=691613814.5≈0.50， â=y −b ̂x =74−691613814.5×110.5≈18.68．所以ŷ=0.50x +18.68． 将x =125代入，得ŷ=0.50×125+18.68=62.5+18.68≈81， 所以估计B 同学的物理成绩为81分; (3)y −=142∑y i 42i=1=74，s 2=142∑(42i=1y i −y −)2=142×5250=125，所以ξ～N(74,125)，又因为√125≈11.2，所以P(62.8<ξ<85.2)=P(74−11.2<ξ<74+11.2)=0.6826， 因为Z ～B(5000,0.6826)，所以E(Z)=5000×0.6826=3413，即该地区本次考试物理成绩位于区间(62.8,85.2)的人数的数学期望为3413．【解析】本题主要考查回归直线方程，考查正态分布等相关知识，属于中档题． (1)结合散点图以及相关系数的概念，可得出结论．(2)根据题中所给数据写出回归直线方程，再令x =125，即可算出答案．(3)算出y −，s 2，得到ξ～N(74,125)，√125≈11.2，所以P(62.8<ξ<85.2)=P(74−11.2<ξ<74+11.2)=0.6826，因为Z ～B(5000,0.6826)，即可算出期望． 21.【答案】解：(1)f′(x)=sinx +xcosx −sinx =xcosx ，当x ∈(0,π2)时，f′(x)>0，函数单调递增，f(x)>f(0)=1，f(x)无零点； 当x ∈(π2,3π2)时，f′(x)<0，函数单调递减，f(12π)>0，f(3π2)=−3π2<0，故f(x)有唯一零点；当x ∈(3π2,52π)时，f′(x)>0，函数单调递增， 又f(3π2)=−3π2<0，f(52π)=52π>0，f(x)有唯一零点；当x ∈(5π2,3π)时，f′(x)<0，函数单调递减， 又f(52π)=52π，f(3π)=−1，f(x)有唯一零点； 综上所述f(x)在(0,3π)有3个零点； (2)(i)g′(x)=−xsinx+cosxx 2=−f(x)x 2，由(1)知g(x)在(0,12π)无极值点；在(12π,3π2)有极小值点，即为x 1，在(3π2,5π2)有极大值点即为x 2，在(5π2,3π)有极小值点x 3，又f(12π)=1>0，f(π)=−1<0，f(3π2)=−3π2<0，f(2π)=1>0，f(52π)=52π，f(3π)=−1，所以x 1∈(12π,π)，x 2∈(3π2,2π)，x 3∈(5π2,3π)， 由x n sinx n +cosx n =0可得−sinx n =cosx n x n，即tanx n =−1x n，因为0<x 1<x 2，所以−1x 1<−1x 2，tan(x 1+π)=tanx 1<tanx 2，而x 1+π∈(3π2,2π)，x 2∈(3π2,2π)，故有x 1+π<x 2， 所以g(x 1)+g(x 2)=cosx 1x 1+cosx 2x 2=−sinx 1−sinx 2=sin(x 1+π)−sinx 2，因为y =sinx 在(3π2,2π)是增函数，sin(x 1+π)−sinx 2<0， 即证明g(x 1)+g(x 2)<0，因为x 3∈(5π2,3π)，所以g(x 3)=−sinx 3<0，所以g(x 1)+g(x 2)+⋯+g(x 3)<0．【解析】(1)先对函数求导，然后结合导数可求函数的单调性，利用函数零点判定定理可求；(2)先对函数求导数，然后结合函数极值存在的条件，利用函数的性质可证． 本题主要考查了函数与导数性质的综合应用，属于中档试题．22.【答案】解：(1)设点M 的极坐标为(ρ,θ)，所以根据题意，在△OPM 中，有ρ=4sinθ， 所以点M 的极坐标方程为：ρ=4sinθ．(2)设射线OA ：θ=α，(α∈(−π2,π2))，圆C 的极坐标方程为ρ=2cosθ． 由{ρ=2cosθθ=α得到|OA|=ρ1=2cosα．由{ρsin(θ+π3)=4θ=α得：|OB|=ρ2=4sin(α+π3)，所以|OA||OB|=2cosα4sin(α+π3)=12⋅cosα⋅sin(α+π3)=14sinαcosα+√34cos 2α=14sin(2α+π3)+√38．由于α∈(−π2,π2)， 所以−2π3<2α+π3<3π4，当2α+π3=π2，即α=π12， 故(|OA||OB|)max =2+√38．【解析】(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果．(2)利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：(1)f(x)≤4−|2x −3|等价于{x <−1−(x +1)−(2x −3)≤4或{−1≤x ≤32x +1−(2x −3)≤4或{x >32x +1+2x −3≤4， 解得{x <−1x ≥−23或{−1≤x ≤32x ≥0或{x >32x ≤2， 综上，不等式的解集为{x|0≤x ≤2}；(2)证明：∵m >0，n >0，m +2n =mn ， ∴m +2n =12(m ⋅2n)≤12×(m+2n)24，∴m +2n ≥8，当且仅当m =4，n =2时取等号，∴f(m)+f(−2n)=|m +1|+|−2n +1|≥|m +2n|≥8，当且仅当−2n +1≤0时取等号，∴f(m)+f(−2n)≥8．【解析】(1)将所求不等式转化为不等式组求解即可；(2)利用基本不等式可知m +2n ≥8，再利用绝对值不等式的性质即可得证．本题考查绝对值不等式的解法及基本不等式绝对值不等式的运用，考查推理论证能力，属于基础题．。
【附加15套高考模拟试卷】湖北省襄阳五中2020届高三年级五月模拟考试(二)理科数学试卷含答案
湖北省襄阳五中2020届高三年级五月模拟考试（二）理科数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数2(1),0()43,0x e x f x x x x +⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩，函数()y f x a =-有四个不同的零点，从小到大依次为1234,,,x x x x 则1234x x x x ++的取值范围为（ ） A ．(]5,3+e B ．[4,4)e + C ．[)4+∞， D ．(4,4)e +2．已知函数()cos 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦a π上有最小值1-，则a 的最大值（ ） A ．2π-B ．3π-C ．4π-D ．6π-3．已知定义在R 上的函数()f x ，()g x 满足()()1g x f x =-，则函数()y g x =的图象关于（ ）A ．直线1x =-对称B ．直线1x =对称C ．原点对称D ．y 轴对称4．若函数()()2ln 1f x x ax x =++-的图象不经过第四象限，则正实数a 的取值范围为( )A ．[)1,+∞B ．1,e 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 5．某校在“数学联赛”考试后选取了6名教师参加阅卷，试卷共4道解答题，要求将这6名教师分成4组，每组改一道解答题，其中2组各有2名教师，另外2组各有1名教师，则不同的分配方案的种数是（ ） A ．216 B ．420 C ．720 D ．10806．下列函数中，即是奇函数又是增函数的为（ ） A ．3ln y x = B ．2y x =-C ．y x x= D ．1y x -=7．(,0)F c -为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，圆222:O x y c +=与双曲线的两条渐进线在第一、二象限分别交于,A B 两a 点，若AF OB ⊥，则双曲线的离心率为（ ）AB ．12C ．2 D．38．已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=,24699a a a ++=,以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（ ） A ．21B ．20C ．19D ．189．已知数列{}n a 中，11a =，且对任意的*,m n N ∈，都有m n m n a a a mn +=++，则201911i ia ==∑（ ）A ．20192020 B ．20182019 C ．20181010D ．2019101010．已知是双曲线的左焦点，过点且倾斜角为30°的直线与曲线的两条渐近线依次交于，两点，若是线段的中点，且是线段的中点，则直线的斜率为（ ）A ．B ．C ．D ．11．直线l 交24y x =于A ，B 两点，若四边形OAMB （O 为原点）是矩形，则直线OM 的斜率的最大值为（ ）A ．14B ．24 C ．12 D ．2212．将函数cos 2y x =的图象向左平移4π个单位长度，所得函数的解析式是（ ） A ．cos 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．cos 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．sin 2y x =-D ．sin 2y x =二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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襄阳市第五中学2020届高考数学全真模拟密押卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．2．设12,F F 分别为离心率5e =的双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点，12,A A 分别为双曲线C 的左、右顶点，以12,F F 为直径的圆交双曲线的渐近线l 于,M N 两点，若四边形21MA NA 的面积为4，则b =（ ）A ．2B ．22C ．4D ．423．已知棱长为a 的正四面体A BCD -，则其外接球的表面积为（ ）A ．232a πB ．23a πC ．22a πD ．26a π 4．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化、相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被3sin 6y x π=的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A ．136B ．118C ．112D ．195．过抛物线24y x =的焦点作两条互相垂直的弦AB ，CD ，则四边形ABCD 面积的最小值为（ ）A ．8B ．16C ．32D ．646．函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是A ．(,2)-∞-B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞7．已知集合A ＝3|,2x x Z Z x 且⎧⎫∈∈⎨⎬-⎩⎭，则集合A 中的元素个数为( ) A ．2B ．3C ．4D ．5 8．某四棱锥的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为 （ ）A ．2B ．22C ．83D ．439．已知曲线C 的方程为22121x y m m+=-，现给出下列两个命题：p ：102m <<是曲线C 为双曲线的充要条件，q ：12m >是曲线C 为椭圆的充要条件，则下列命题中真命题的是（ ） A ．()()p q ⌝∧⌝B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．p q ∧10．函数的部分图象大致为（ ） A ． B ． C ．D ．11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，已知其俯视图是正三角形，则该几何体的外接球的体积是（ ）A ．1957πB ．2266πC ．193πD ．223π12．设样本数据1210,,,x x x L 的均值和方差分别为1和4，若(i i y x a a =+为非零常数，1,2,,10)i =L ，则1210,,,y y y L 的均值和方差分别为（ ）A ．1,4a +B ．1,4a a ++C ．1,4D ．1,4a +二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数22,0(),0x x x f x e x ⎧=⎨>⎩…若方程()f x m =有两个不相等的实根1x ，2x ，则12x x +的最大值为__________.14．已知菱形ABCD 的边长为2，60BAD ∠=︒，点M 是BD 上靠近D 的三等分点，则AM AB =u u u u r u u u r g __________．15．已知l 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的一条渐近线，l 与圆()222x c y a -+=（其中222c a b =+）相交于,A B 两点，若AB a =，则C 的离心率为__________．16．已知直线:1l y x =+与抛物线2:C x y =交于,A B 两点，点()0,1P ，()1,0Q -，且(),PQ QA QB R λμλμ==∈u u u v u u u v u u u v ，则λμ+=__________．三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD =，四边形ABCD 为平行四边形，45,2ABC AB AC ∠=︒==，M 为线段AD 的中点，点N 满足2PN ND =u u u r u u u r .求证：直线PB P 平面MNC ；求证：平面MNC ⊥平面PAD ；若平面PAB ⊥平面PCD ，求直线BP 与平面PCD 所成角的正弦值.18．（12分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是12cos (2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数)，直线l 的参数方程是cos (sin x t t y t ββ=⎧⎨=⎩为参数，0π).l β≤<与C 相交于点A 、.B 以直角坐标系xOy 的原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．求曲线C 的普通方程和极坐标方程；若13AB =，求β．19．（12分）已知函数f （x ）＝x 2lnx ．求f （x ）的单调区间；证明：213ln 4x x e x >-．20．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，棱PA ⊥底面ABCD ，且AB BC ⊥，AD BC ∕∕，22PA AB BC AD ====，E 是PC 的中点．求证：DE ⊥平面PBC ；求三棱锥A PDE -的体积．21．（12分）设a R ∈，命题q ：x R ∀∈，210x ax ++>，命题p ：[1,2]x ∃∈，满足(1)10a x -->.若命题p q ∧是真命题，求a 的范围；()p q ⌝∧为假，()p q ⌝∨为真，求a 的取值范围.22．（10分）已知双曲线22:14x C y -=的左右两个顶点是1A ， 2A ，曲线C 上的动点,P Q 关于x 轴对称，直线1A P 与2A Q 交于点M ，求动点M 的轨迹D 的方程；点()0,2E ，轨迹D 上的点,A B 满足EA EB λ=u u u r u u u r ，求实数λ的取值范围.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D2、A3、A4、B5、C6、D7、C8、D9、C10、D11、A12、A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、3ln 22-14、8315、16、-3三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1)见证明；(2)见证明；【解析】【分析】（Ⅰ）连接BD ，交MC 于点O ，利用平几知识得线线平行，再根据线面平行判定定理得结论，（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量垂直进行论证线线垂直，再根据线面垂直判定定理以及面面垂直垂直判定定理得结果，（Ⅲ）建立空间直角坐标系，根据面面垂直得两平面法向量垂直，进而得P 点坐标，最后利用空间向量数量积求线面角.【详解】（Ⅰ）证明：连接BD ，交MC 于点O ，连接NO在平行四边形ABCD 中，因为12MD BC =，所以12OD OB =， 又因为2PN ND =u u u v u u u v ，即12ND PN =， 所以ON PB P ，又因为ON ⊂平面MNC ，PB ⊄平面MNC ，所以直线PB P 平面MNC .（Ⅱ）证明：因为PA PD =，M 为线段AD 的中点，所以PM AD ⊥，又因为平面PAD ⊥平面ABCD 于AD ，PM ⊂平面PAD ，所以PM ⊥平面ABCD在平行四边形ABCD 中，因为45,2ABC AB AC ∠=︒==，所以AB AC ⊥以A 为原点，分别以,AB AC 所在直线为x 轴，y 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()2,0,0,0,2,0,2,2,0,1,1,0B C D M --因为PM ⊥平面,ABCD 所以设()()1,1,0P t t ->，则()()()1,1,,1,1,0,2,2,0AP t CM AD =-=--=-u u u v u u u u v u u u v所以2200,1100CM AD CM AP ⋅=-+=⋅=-+=u u u u v u u u v u u u u v u u u v所以,CM AD CM AP ⊥⊥，又因为AP AD A ⋂=所以CM ⊥平面PAD ，又因为CM ⊂平面MNC所以平面MNC ⊥平面PAD .（Ⅲ）解：因为()()2,0,0,1,1,AB AP t ==-u u u v u u u v设(),,m x y z =为平面ABP 的一个法向量则00x x y tz =⎧⎨-++=⎩不妨设()0,,1m t =- 因为()()2,0,0,1,1,DC DP t ==-u u u v u u u v设(),,n x y z =为平面DCP 的一个法向量则00x x y tz =⎧⎨-+=⎩不妨设()0,,1n t = 因为平面PAB ⊥平面PCD ，所以m n ⊥，所以210m n t ⋅=-=因为0t >所以1t =所以()()3,1,1,0,1,1BP n =-=u u u v ， 所以22sin cos ,112BP n θ===u u u v所以直线BP 与平面PCD 所成角的正弦值为11. 【点睛】 本题考查线面平行判定定理、利用空间向量证明面面垂直以及求线面角，考查综合分析论证求解能力，属中档题.18、（1）22(1)4x y -+=，22cos 30ρρθ--=；（2）3πβ=或23π 【解析】【分析】()1直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换；()2利用极径和一元二次方程根和系数的关系和三角函数的值求出结果．【详解】解：()1曲线C 的参数方程是{12cos 2sin .(x y ααα=+=为参数)，转换为直角坐标方程为：22(1)4x y -+=．整理得：22230x y x +--=，转换为极坐标方程为：22cos 30ρρθ--=． ()2直线l 的参数方程是cos sin .(x t y t t ββ=⎧=⎨⎩为参数，0)βπ≤<． 转换为极坐标方程为：θβ=，极径为：1ρ和2ρ，故：22cos 30θβρρθ=⎧⎨--=⎩， 转换为：22cos 30ρρβ--=，所以：122cos ρρβ+=，123ρρ⋅=-，所以：12AB ρρ=-=， 则：24cos 1213β+=， 解得：1cos 2β=±， 由于：0βπ≤< 所以：233ππβ=或． 【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，极径的应用，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．19、（1）在12(0,)e -上单调递减，在12(,)e -+∞上单调递增； （2）见解析.【解析】【分析】 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）设h （x ）＝234x e -（x ＞0），根据函数的单调性求出f （x ）min ＞h （x ）max ，从而证明结论．【详解】（1）f′（x ）＝x （2lnx+1），令f′（x ）＝0，解得：x ＝， 令f′（x ）＞0，解得：x ＞， 令f′（x ）＜0，解得：0＜x ＜， 故f （x ）在（0，）递减，在（，+∞）递增；（2）证明：由（1）知当x ＝时，f （x ）的最小值是﹣， 设h （x ）＝﹣（x ＞0），则h′（x ）＝﹣，h （x ）在（0，2）递增，在（2，+∞）递减，故h （x ）max ＝h （2）＝﹣， ∵﹣﹣（﹣）＝＞0，∴f （x ）min ＞h （x ）max ，故lnx ＞﹣． 【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数. 20、 (1) 见解析(2)13 【解析】试题分析：(1)取PB 中点H ,连接,AH EH ,利用线面垂直的性质，得到BC AH ⊥，进而得到AH ⊥平面PBC ,又根据三角形的性质，证得//AH DE ，即可证明DE ⊥平面PBC ；(2)解:由(1)知,PH 是三棱锥P ADE -的高,再利用三棱锥的体积公式，即可求解几何体的体积.试题解析：(1)证明:取PB 中点H ,连接,AH EH ,∵PA ⊥底面ABCD ,BC ⊂底面ABCD ,PA BC ⊥ BC AB ⊥,且PA AB A ⋂= BC ⊥平面PAB ,又AH ⊂平面PAB ,所以BC AH ⊥.又∵PA AB =,H 为PB 的中点,AH PB ∴⊥ ,又BC PB B ⋂=,AH ⊥平面PBC ,在PBC V 中,,H E 分别为,PB PC 中点,12HE BC = ,又2BC AD =Q ,//AD BC , //AD HE ∴，AD HE =∴四边形ADEH 是平行四边形,∴//AH DE 、DE ⊥ 平面PBC .(2)解:由(1)知,BC PB ⊥，∴AD PB ⊥,又PB AH ∴⊥,且AH AD A ⋂=,PB ∴⊥平面ADEH ,PH ∴是三棱锥P ADE -的高,又可知四边形ADEH 为矩形,且1AD =,2AH = ,所以13A PDE P ADE ADE V V S AH --==⨯⨯=V 11121232323ADEH S AH 矩形⨯⨯=⋅⋅=. 另解:E 是PC 的中点,∴E 到平面PAD 的距离是B 到平面PAD 的距离的一半，所以111121323B PAD V -=⋅⋅⋅⋅=. 21、 (1)322a <<. (2) 2a ≤-或322a <<. 【解析】分析：（1）根据题意，求解p 真：32a >；q 真：22a -<<，即可求解p q ∧； （2）根据()p q ⌝∧为假，()p q ⌝∨为真，得到,p q 同时为假或同时为真，分类讨论即可求解实数a 的取值范围．详解：（1）p 真，则或得；q 真，则a 2﹣4＜0，得﹣2＜a ＜2，∴p ∧q 真，． （2）由（￢p ）∧q 为假，（￢p ）∨q 为真⇒p 、q 同时为假或同时为真，若p 假q 假，则，⇒a≤﹣2，若p 真q 真，则，⇒综上a≤﹣2或．点睛：本题主要考查了逻辑联结词的应用，解答简易逻辑联结词相关问题，关键是要首先明确各命题的真假，利用或、且、非真值表，进一步作出判断，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力．22、（1）2214x y +=；（2）1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】【试题分析】（1）借助题设条件运用两个等式相乘建立等式；（2）依据题设条件运用直线与椭圆的位置关系建立二次方程，运用判别式及根与系数的关系建立不等式分析求解：（1）由已知()()122,0,2,0A A -，设,.,22P t Q t ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则直线)1:2A P y x =+ ， 直线)2:2A Q y x =-， 两式相乘得()22144y x -=-，化简得2214x y +=， 即动点M 的轨迹D 的方程为2214x y +=； （2）过()0,2E 的直线若斜率不存在则13λ=或3， 设直线斜率k 存在， ()()1122,,,A x y B x y()22222{1416120440y kx k x kx x y =+⇒+++=+-= ， 则()()()()122122120116214{123144k x x k x x k x x λ∆≥+=-+=+= 由（2）（4）解得12,x x 代入（3）式得()2222161214141k k k λλ-⎛⎫⋅= ⎪++⎝⎭+ ， 化简得()22314641k λλ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+ ， 由（1）0∆≥解得234k ≥代入上式右端得， ()2311641λλ<≤+ , 解得133λ<<,综上实数的取值范围是1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.2019-2020高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。