人教版高一数学必修2第三章《直线方程与两直线的关系》学案

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人教版高中数学必修2第三章《直线的方程》导学案(无答案)

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1 ( 1)
kPB=
=1，
20
由图可观察出：直线 l 的倾斜角 α的范围是 [135 °， 180°）∪ [0 °， 45°] ；直线 l 的斜率 k 的范, y 满足 y x 2 2x 2( 1 x 1) ，试求 x 2 的最大值和最小值。
（ 2）若 x1≠x2，且 y1＝ y2 时，直线垂直于 y 轴，方程为 y＝ y1；
（ 3）若 x1＝ x2＝ 0，且 y1≠y2 时，直线即为 y 轴，方程为 x＝ 0；
（ 4）若 x1≠x2，且 y1＝ y2＝ 0 时，直线即为 x 轴，方程为 y＝ 0。
【典例精析】
例题 1 求适合下列条件的直线方程：
故有
S△
ABO
＝
(a
－
3)2
＋6(a－ a－ 3
3)
＋
9
＝（ a－ 3）＋ a－9 3＋ 6≥２ (a－3) ·a－9 3＋ 6＝ 12，当且仅当
a－3＝
9 a－
3，
即 a＝ 6 时，（ S△ABO ） min＝ 12，此时 b＝62－×63＝ 4。
∴直线 l 的方程为 x＋ y＝ 1， 64
即 2x＋ 3y－ 12＝ 0。
【总结提升】
1. 斜率是反映直线相对于 x轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线上任意不同的两点所确定的斜率相等，这就是利用斜率可证三点共线的原因。
2. 要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式：
k
＝
y2－ x2 －
y1 x1
，该公
式与两点顺序无关，已知两点坐标（ x1≠ｘ2）时，根据该公式可求出经过两点的直线的斜率。

人教A版2019必修二第3章《直线与方程》导学案设计(含答案)3.3.1~3.3.2

人教版高中数学必修精品教学资料3.3.1 两条直线的交点坐标3.3.2 两点间的距离[学习目标] 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系.3.掌握两点间距离公式并会应用.知识点一两条直线的交点坐标 1.两条直线的交点已知两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 1,B 1不同时为0),l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 2,B 2不同时为0). (1)基本知识——点与坐标的一一对应关系(2)两条直线的交点一般地,将两条直线的方程联立,得方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0. 若方程组有惟一解,则两条直线相交,此解就是交点的坐标；若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平行. 2.过定点的直线系方程已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交于点P (x 0,y 0),则方程A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0表示过点P 的直线系,不包括直线l 2.思考若两直线的方程组成的二元一次方程组有解,则两直线是否相交于一点？答不一定.两条直线是否相交,取决于联立两直线方程所得的方程组是否有惟一解.若方程组有无穷多个解,则两直线重合. 知识点二两点间的距离公式 1.两点间的距离平面上的两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)间的距离公式|P 1P 2|2.两点间距离的特殊情况(1)原点O (0,0)与任一点P (x ,y )的距离|OP |(2)当P 1P 2∥x 轴(y 1＝y 2)时,|P 1P 2|＝|x 2－x 1|. (3)当P 1P 2∥y 轴(x 1＝x 2)时,|P 1P 2|＝|y 2－y 1|.思考当两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)都在同一坐标轴上时,两点间距离公式还适用吗？答适用.当两点都在x 轴上时,|AB |＝|x 1－x 2|；当两点都在y 轴上时,|AB |＝|y 1－y 2|.题型一两直线的交点问题例1 求经过两直线l 1：3x ＋4y －2＝0和l 2：2x ＋y ＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l 的方程.解方法一由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，即l 1与l 2的交点坐标为(－2,2).∵直线过坐标原点, ∴其斜率k ＝2－2＝－1.故直线方程为y ＝－x ,即x ＋y ＝0.方法二 ∵l 2不过原点,∴可设l 的方程为3x ＋4y －2＋λ(2x ＋y ＋2)＝0(λ∈R ),即(3＋2λ)x ＋(4＋λ)y ＋2λ－2＝0.将原点坐标(0,0)代入上式,得λ＝1,∴直线l 的方程为5x ＋5y ＝0,即x ＋y ＝0. 反思与感悟过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0,l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系有两种：①λ1(A 1x ＋B 1y ＋C 1)＋λ2(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0可表示过l 1、l 2交点的所有直线；②A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0不能表示直线l 2.跟踪训练1 求经过两条直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ,且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程.解把直线l 1和直线l 2的方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，所以交点P 的坐标是(0,2).由题意知直线l 3的斜率为34,且直线l 与直线l 3垂直, 所以直线l 的斜率为－43,所以直线l 的方程为y －2＝－43(x －0),即4x ＋3y －6＝0.题型二两点间距离公式的应用例2 已知△ABC 三顶点坐标A (－3,1)、B (3,－3)、C (1,7),试判断△ABC 的形状. 解方法一 ∵|AB |＝(3＋3)2＋(－3－1)2＝213, |AC |＝(1＋3)2＋(7－1)2＝213, 又|BC |＝(1－3)2＋(7＋3)2＝226, ∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2, 且|AB |＝|AC |,∴△ABC 是等腰直角三角形.方法二 ∵k AC ＝7－11－(－3)＝32,k AB ＝－3－13－(－3)＝－23,则k AC ·k AB ＝－1,∴AC ⊥AB . 又|AC |＝(1＋3)2＋(7－1)2＝213, |AB |＝(3＋3)2＋(－3－1)2＝213, ∴|AC |＝|AB |.∴△ABC 是等腰直角三角形.反思与感悟 1.判断三角形的形状,要采用数形结合的方法,大致明确三角形的形状,以确定证明的方向.2.在分析三角形的形状时,要从两方面考虑：一是要考虑角的特征,主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形边的长度特征,主要考察边是否相等或是否满足勾股定理. 跟踪训练2 已知点A (3,6),在x 轴上的点P 与点A 的距离等于10,求点P 的坐标.解设点P 的坐标为(x,0),由|P A |＝10,得(x －3)2＋(0－6)2＝10,解得：x ＝11或x ＝－5. 所以点P 的坐标为(－5,0)或(11,0). 题型三坐标法的应用例3 求证：三角形的中位线长度等于底边长度的一半.证明如图,以A 为原点,边AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系,其中D ,E 分别为边AC 和BC 的中点. 设A (0,0),B (c,0),C (m ,n ), 则|AB |＝|c |.又由中点坐标公式,得D (m 2,n2),E (c ＋m 2,n 2),∴|DE |＝⎪⎪⎪⎪c ＋m 2－m 2＝|c 2|,∴|DE |＝12|AB |. 即三角形的中位线长度等于底边长度的一半.反思与感悟利用坐标法解决平面几何问题按以下步骤进行：第一步：建立适当的直角坐标系,用坐标表示有关的量；第二步：进行有关代数运算；第三步：把代数运算关系“翻译”成几何关系.跟踪训练3 已知：等腰梯形ABCD 中,AB ∥DC ,对角线为AC 和BD . 求证：|AC |＝|BD |.证明如图所示,建立直角坐标系,设A (0,0),B (a,0),C (b ,c ),则点D 的坐标是(a －b ,c ).∴|AC |＝(b －0)2＋(c －0)2＝b 2＋c 2, |BD |＝(a －b －a )2＋(c －0)2＝b 2＋c 2. 故|AC |＝|BD |.数形结合思想例4 已知两点A (2,3),B (4,1),直线l ：x ＋2y －2＝0,在直线l 上求一点P , (1)使|P A |＋|PB |最小； (2)使|P A |－|PB |最大.分析作出几何图形,借助三角形的几何性质可求|P A |＋|PB |取最小值与|P A |－|PB |取最大值时的点P 的坐标.解 (1)如图,可判断A ,B 在直线l 的同侧,设点A 关于l 的对称点A ′的坐标为(x 1,y 1).则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋22＋2·y 1＋32－2＝0，y 1－3x 1－2·⎝⎛⎭⎫－12＝－1，解得⎩⎨⎧x 1＝－25，y 1＝－95.由两点式求得直线A ′B 的方程为y ＝711(x －4)＋1,由平面几何知识可知,当点P 为直线A ′B与直线l 的交点时,|P A |＋|PB |最小,此时|P A |＋|PB |＝|P A ′|＋|PB |＝|A ′B |,若P 不在此点时,|P A |＋|PB |＝|P A ′|＋|PB |＞|A ′B |,即直线A ′B 与l 的交点为P ⎝⎛⎭⎫5625，－325. (2)由两点式求得直线AB 的方程为y －1＝－(x －4),即x ＋y －5＝0.由平面几何知识可知,当点P 为直线AB 与l 的交点时,|P A |－|PB |最大,此时|P A |－|PB |＝|AB |. 直线AB 与l 的交点为所求点P (8,－3).解后反思本题通过对称问题的转换,将求距离的最值问题转化为共线问题,这是一种常用的解题思路.另外通过图形探求问题也是一种常用方法.利用函数的几何意义求最值例5 已知函数y ＝x 2＋1＋x 2－4x ＋8,求函数的最小值.分析被开方数可以写成两个数的平方和的形式,联想到距离公式的结构特征和几何意义,从而求解.解 y ＝x 2＋1＋x 2－4x ＋8＝(x －0)2＋(0－1)2＋(x －2)2＋(0＋2)2,上式表示：在x 轴上的一点P (x,0)到A (0,1),B (2,－2)两点距离之和,如图,|P A |＋|PB |≥|AB |,当且仅当点P 与P 0重合时,|P A |＋|PB |有最小值,最小值为|AB |＝22＋(－3)2＝13,解得此时直线AB 与x 轴的交点为P 0⎝⎛⎭⎫23，0.所以当x ＝23时,函数y ＝x 2＋1＋x 2－4x ＋8的最小值是13.解后反思因为x 2＋1＝(x －0)2＋(0－1)2表示点P (x,0)到点A (0,1)的距离,x 2－4x ＋8＝(x －2)2＋(0＋2)2表示点P (x,0)到点B (2,－2)的距离,所以函数y ＝x 2＋1＋x 2－4x ＋8的最小值问题就可以转化为几何问题：在x 轴上求一点P (x,0),使其到A (0,1),B (2,－2)两点距离之和最小.这类利用几何意义转化问题的技巧在今后的学习中经常用到,注意掌握.1.经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点,且垂直于直线x －2y ＝0的直线的方程是( )A.2x ＋y －8＝0B.2x －y －8＝0C.2x ＋y ＋8＝0D.2x －y ＋8＝0答案 A解析联立⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋4＝0，x －y ＋5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝6.∴交点坐标为(1,6).由垂直关系,得所求直线的斜率为－2,则所求直线方程为y －6＝－2(x －1),即2x ＋y －8＝0.2.直线ax ＋2y ＋8＝0,4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10相交于一点,则a 的值为( ) A.1 B.－1 C.2 D.－2 答案 B解析联立⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋3y ＝10，2x －y ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2.∴交点坐标为(4,－2),代入方程ax ＋2y ＋8＝0,解得a ＝－1.3.两条直线l 1：2x ＋3y －m ＝0与l 2：x －my ＋12＝0的交点在y 轴上,那么m 的值为( ) A.－24 B.6C.±6 D.以上答案均不对答案 C解析直线2x ＋3y －m ＝0在y 轴上的截距为m 3,直线x －my ＋12＝0在y 轴上的截距为12m .∵两直线的交点在y 轴上,∴12m ＝m3,解得m ＝±6.4.直线l 与两直线y ＝1和x －y －7＝0分别交于A ,B 两点,若线段AB 的中点为M (1,－1),则直线l 的斜率为( ) A.32 B.23 C.－32 D.－23 答案 D解析设直线l 与直线y ＝1的交点为A (x 1,1),与直线x －y －7＝0的交点为B (x 2,y 2).∵M (1,－1)为AB 的中点,∴－1＝1＋y 22,则y 2＝－3.代入直线x －y －7＝0,得x 2＝4,则点B 坐标为(4,－3).∵点B ,M 都在直线l 上,∴k l ＝－3＋14－1＝－23.5.设点A 在x 轴上,点B 在y 轴上,AB 的中点是P (2,－1),则|AB |＝________. 答案 2 5解析设A (x,0),B (0,y ),∵AB 中点P (2,－1), ∴x 2＝2,y2＝－1, ∴x ＝4,y ＝－2,即A (4,0),B (0,－2), ∴|AB |＝42＋22＝2 5.1.方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有惟一解的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.亦即两条直线相交的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )是过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线(不含l 2).2.解析法又称为坐标法,它就是通过建立直角坐标系,用坐标代替点、用方程代替曲线、用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法.3.两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2与两点的先后顺序无关,其反映了把几何问题代数化的思想.一、选择题1.直线x ＋2y －2＝0与直线2x ＋y －3＝0的交点坐标是( ) A.(4,1) B.(1,4)C.⎝⎛⎭⎫43，13 D.⎝⎛⎭⎫13，43 答案 C解析由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，2x ＋y －3＝0，解得⎩⎨⎧x ＝43，y ＝13，即交点坐标是⎝⎛⎭⎫43，132.经过两点A (－2,5),B (1,－4)的直线l 与x 轴的交点坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫－13，0 B.(－3,0)C.⎝⎛⎭⎫13，0 D.()3，0 答案 A解析由两点式得过A ,B 两点的直线方程为y ＋45＋4＝x －1－2－1,即3x ＋y ＋1＝0.令y ＝0,得x ＝－13.故直线l 与x 轴的交点坐标为⎝⎛⎭⎫－13，0 3.过两直线3x ＋y －1＝0与x ＋2y －7＝0的交点,且与第一条直线垂直的直线方程是( ) A.x －3y ＋7＝0 B.x －3y ＋13＝0 C.3x －y ＋7＝0 D.3x －y －5＝0答案 B解析由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y －1＝0，x ＋2y －7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4，即交点坐标为(－1,4).因为第一条直线的斜率为－3,所以所求直线的斜率为13.由点斜式,得y －4＝13(x ＋1),即x －3y ＋13＝0.4.若两条直线2x －my ＋4＝0和2mx ＋3y －6＝0的交点在第二象限,则m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫32，2 B.⎝⎛⎭⎫－23，0C.⎝⎛⎭⎫－32，2 D.(2,＋∞) 答案 C解析解出两直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3m －63＋m 2，6＋4m 3＋m 2.由交点在第二象限,得⎩⎪⎨⎪⎧3m －63＋m 2＜0，6＋4m 3＋m 2＞0.解得m ∈⎝⎛⎭⎫－32，2. 5.设集合A ＝{(x ,y )|4x ＋y ＝6},B ＝{(x ,y )|3x ＋2y ＝7},则满足C ⊆(A ∩B )的集合C 的个数是( )A.0B.1C.2D.3 答案 C解析 A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋y ＝6，3x ＋2y ＝7＝{(1,2)},则集合C 是{(1,2)}的子集.又因为集合{(1,2)}的子集有∅,{(1,2)},共2个,所以集合C 有2个. 6.以A (5,5),B (1,4),C (4,1)为顶点的三角形是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形答案 B解析 ∵|AB |＝17,|AC |＝17,|BC |＝32, ∴三角形为等腰三角形.故选B.7.两直线3ax －y －2＝0和(2a －1)x ＋5ay －1＝0分别过定点A ,B ,则|AB |的值为( ) A.895 B.175C.135 D.115答案 C解析直线3ax －y －2＝0过定点A (0,－2),直线(2a －1)x ＋5ay －1＝0,过定点B ⎝⎛⎭⎫－1，25,由两点间的距离公式,得|AB |＝135. 二、填空题8.点P (2,5)关于直线x ＋y ＝1的对称点的坐标是________. 答案 (－4,－1)解析设对称点的坐标为(x 0,y 0), 则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－5x 0－2·(－1)＝－1，x 0＋22＋y 0＋52＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－4，y 0＝－1.所以所求对称点的坐标为(－4,－1).9.若三条直线2x ＋3y ＋8＝0,x －y －1＝0和x ＋ky ＝0相交于一点,则k ＝_______. 答案－12解析解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.又因为点(－1,－2)也在直线x ＋ky ＝0上, 所以－1－2k ＝0,k ＝－12.10.若动点P 的坐标为(x,1－x ),x ∈R ,则动点P 到原点的最小值是________. 答案22解析由距离公式得x 2＋(1－x )2＝2x 2－2x ＋1＝2⎝⎛⎭⎫x －122＋12,∴最小值为12＝22. 11.若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限,则k 的取值范围是________. 答案 ⎝⎛⎭⎫33，＋∞解析由⎩⎨⎧y ＝kx －3，2x ＋3y －6＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝33＋62＋3k ，y ＝6k －232＋3k .由于交点在第一象限,故x >0,y >0,解得k >33. 三、解答题12.已知直线l 的斜率为6,且被两坐标轴所截得的线段长为37,求直线l 的方程. 解设直线l 的方程为y ＝6x ＋b . 令x ＝0,得y ＝b ；令y ＝0,得x ＝－b6.所以直线l 与x 轴,y 轴的交点分别为⎝⎛⎭⎫－b6，0,(0,b ). 这两点间的距离为⎝⎛⎭⎫－b 6－02＋(0－b )2＝3736b 2＝376|b |. 由题意,得376|b |＝37.所以b ＝±6. 所以所求直线l 的方程为y ＝6x ＋6或y ＝6x －6, 即6x －y ＋6＝0或6x －y －6＝0.13.为了绿化城市,拟在矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪(如图),另外△AEF 内部有一文物保护区不能占用,经测量AB ＝100 m,BC ＝80 m,AE ＝30 m,AF ＝20 m,应如何设计才能使草坪面积最大？解如图建立平面直角坐标系,则E (30,0),F (0,20).所以线段EF 的方程是x 30＋y20＝1(0≤x ≤30).在线段EF 上取点P (m ,n ),作PQ ⊥BC 于点Q ,作PR ⊥CD 于点R ,设矩形PQCR 的面积为S ,则S ＝|PQ |·|PR |＝(100－m )(80－n ). 又因为m 30＋n20＝1(0≤m ≤30),所以n ＝20⎝⎛⎭⎫1－m 30, 所以S ＝(100－m )⎝⎛⎭⎫80－20＋23m＝－23(m －5)2＋18 0503(0≤m ≤30). 于是当m ＝5时,S 有最大值.这时|EP ||PF |＝30－55＝51. 故当矩形草坪的两边在BC ,CD 上,一个顶点在线段EF 上,且|EP ||PF |＝5时,草坪的面积最大.。

高中数学 3.2.2直线的方程学案新人教版必修2-新人教版高一必修2数学学案

3．2.2 & 3.2.3 直线的两点式方程、直线的一般式方程[提出问题]某区商业中心O有通往东、西、南、北的四条大街，某公园位于东大街北侧、北大街东P处，如图所示．公园到东大街、北大街的垂直距离分别为1 km和4 km.现在要在公园前修建一条直线大道分别与东大街、北大街交汇于A、B两处，并使区商业中心O到A、B两处的距离之和最短．问题1：在上述问题中，实际上解题关键是确定直线AB，那么直线AB的方程确定后，点A、B能否确定？提示：可以确定．问题2：根据上图知建立平面坐标系后，A、B两点的坐标值相当于在x轴、y轴上的什么量？提示：在x轴、y轴上的截距．问题3：那么若已知直线在坐标轴的截距可以确定直线方程吗？提示：可以．[导入新知]直线的两点式与截距式方程两点式截距式条件P1(x1，y1)和P2(x2，y2) 其中x1≠x2，y1≠y2在x轴上截距a，在y轴上截距b 图形方程y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1xa＋yb＝1适用范围不表示垂直于坐标轴的直线不表示垂直于坐标轴的直线及过原点的直线[化解疑难]1．要注意方程y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1和方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)形式不同，适用范围也不同．前者为分式形式方程，形式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线．后者为整式形式方程，适用于过任何两点的直线方程．2．直线方程的截距式为x a ＋y b＝1，x 项对应的分母是直线在x 轴上的截距，y 项对应的分母是直线在y 轴上的截距，中间以“＋”相连，等式的另一端是1，由方程可以直接读出直线在两轴上的截距，如：x 3－y 4＝1，x 3＋y4＝－1就不是直线的截距式方程.[提出问题] 观察下列直线方程直线l 1：y －2＝3(x －1) 直线l 2：y ＝3x ＋2直线l 3：y －23－2＝x －14－1直线l 4：x 4＋y3＝1问题1：上述直线方程的形式分别是什么？提示：点斜式、斜截式、两点式、截距式．问题2：上述形式的直线方程能化成二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0的形式吗？提示：能．问题3：二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0都能表示直线吗？提示：能． [导入新知]1．直线与二元一次方程的关系(1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x ，y 的二元一次方程表示．(2)每个关于x ，y 的二元一次方程都表示一条直线． 2．直线的一般式方程的定义我们把关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．[化解疑难]1．求直线的一般式方程的策略(1)当A ≠0时，方程可化为x ＋B A y ＋C A ＝0，只需求B A ，C A 的值；若B ≠0，则方程化为A Bx ＋y ＋C B ＝0，只需确定A B ，C B的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程．(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．2．直线的一般式转化为其他形式的步骤 (1)一般式化为斜截式的步骤 ①移项得By ＝－Ax －C ；②当B ≠0时，得斜截式：y ＝－A B x －C B. (2)一般式化为截距式的步骤①把常数项移到方程右边，得Ax ＋By ＝－C ； ②当C ≠0时，方程两边同除以－C ，得Ax －C ＋By－C ＝1；③化为截距式：x －C A ＋y－C B＝1.由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式．[例1] 三角形的三个顶点是A (－1,0)，B (3，－1)，C (1,3)，求三角形三边所在直线的方程．[解] 由两点式，直线AB 所在直线方程为：y －－10－－1＝x －3－1－3，即x ＋4y ＋1＝0.同理，直线BC 所在直线方程为：y －3－1－3＝x －13－1，即2x ＋y －5＝0. 直线AC 所在直线方程为：y －30－3＝x －1－1－1，即3x －2y ＋3＝0. [类题通法]求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．[活学活用]1．(1)若直线l 经过点A (2，－1)，B (2,7)，则直线l 的方程为________． (2)若点P (3，m )在过点A (2，－1)，B (－3,4)的直线上，则m ＝________.解析：(1)由于点A 与点B 的横坐标相等，所以直线l 没有两点式方程，所求的直线方程为x ＝2.(2)由两点式方程得，过A ，B 两点的直线方程为y －－14－－1＝x －2－3－2，即x ＋y －1＝0.又点P (3，m )在直线AB 上，所以3＋m －1＝0，得m ＝－2.答案：(1)x ＝2 (2)－2[例2] 直线l 过点P (43，2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点．(1)当△AOB 的周长为12时，求直线l 的方程． (2)当△AOB 的面积为6时，求直线l 的方程．[解] (1)设直线l 的方程为x a ＋yb＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意知，a ＋b ＋a 2＋b 2＝12. 又因为直线l 过点P (43，2)，所以43a ＋2b＝1，即5a 2－32a ＋48＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，b 1＝3，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝125，b 2＝92，所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0 或15x ＋8y －36＝0.(2)设直线l 的方程为x a ＋yb＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意知，ab ＝12，43a ＋2b ＝1，消去b ，得a 2－6a ＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，b 1＝3，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝6，所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或3x ＋y －6＝0. [类题通法]用截距式方程解决问题的优点及注意事项(1)由截距式方程可直接确定直线与x 轴和y 轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便．(2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式．(3)但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论．[活学活用]2．求经过点A (－2,2)，并且和两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程．解：设直线在x 轴、y 轴上的截距分别是a 、b ，则有S ＝12|a ·b |＝1.∴ab ＝±2.设直线的方程是x a ＋yb＝1.∵直线过点(－2,2)，代入直线方程得－2a ＋2b ＝1，即b ＝2aa ＋2.∴ab ＝2a 2a ＋2＝±2.当2a 2a ＋2＝－2时，化简得a 2＋a ＋2＝0，方程无解；当2a 2a ＋2＝2时，化简得a 2－a －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴直线方程是x－1＋y －2＝1或x 2＋y1＝1，即2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.[例3] (1)已知直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，求m 的值；(2)当a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？[解] (1)法一：由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0.l 2：mx ＋3y －2＝0.①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行． ②当m ≠0时，l 1∥l 2，需2m ＝m ＋13≠4－2. 解得m ＝2或m ＝－3.∴m 的值为2或－3. 法二：令2×3＝m (m ＋1)，解得m ＝－3或m ＝2. 当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0，显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0，l 1与l 2不重合，l 1∥l 2，∴m 的值为2或－3.(2)法一：由题意，直线l 1⊥l 2，①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0，显然垂直． ②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直．③若1－a ≠0，且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3，当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即(－a ＋21－a )·(－a －12a ＋3)＝－1，所以a ＝－1.综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2. 法二：由直线l 1⊥l 2，所以(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，解得a ＝±1.将a ＝±1代入方程，均满足题意．故当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.[类题通法]1．直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0， (1)若l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)． (2)若l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.2．与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m ＝0，(m ≠C )，与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋m ＝0.[活学活用]3．(1)求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l 的方程； (2)求经过点A (2,1)且与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线l 的方程．解：(1)法一：设直线l 的斜率为k ， ∵l 与直线3x ＋4y ＋1＝0平行，∴k ＝－34.又∵l 经过点(1,2)，可得所求直线方程为y －2＝－34(x －1)，即3x ＋4y －11＝0. 法二：设与直线3x ＋4y ＋1＝0平行的直线l 的方程为3x ＋4y ＋m ＝0. ∵l 经过点(1,2)，∴3×1＋4×2＋m ＝0，解得m ＝－11. ∴所求直线方程为3x ＋4y －11＝0. (2)法一：设直线l 的斜率为k . ∵直线l 与直线2x ＋y －10＝0垂直， ∴k ·(－2)＝－1， ∴k ＝12.又∵l 经过点A (2,1)，∴所求直线l 的方程为y －1＝12(x －2)，即x －2y ＝0.法二：设与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线方程为x －2y ＋m ＝0. ∵直线l 经过点A (2,1)， ∴2－2×1＋m ＝0， ∴m ＝0.∴所求直线l 的方程为x －2y ＝0.3.探究直线在坐标轴上的截距问题[典例] 求过点A (4,2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l 的方程． [解] 当直线过原点时，它在x 轴、y 轴上的截距都是0，满足题意．此时，直线的斜率为12，所以直线方程为y ＝12x .当直线不过原点时，由题意可设直线方程为x a ＋y b＝1，又过点A ，所以4a ＋2b＝1(1)．因为直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，所以|a |＝|b |(2)．由(1)(2)联立方程组，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝6，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2.所以所求直线的方程为x 6＋y 6＝1或x 2＋y－2＝1，化简得直线l 的方程为x ＋y ＝6或x －y ＝2. 综上，直线l 的方程为y ＝12x 或x ＋y ＝6或x －y ＝2.[多维探究] 1．截距相等问题求过点A (4,2)且在两坐标轴上截距相等的直线l 的方程．解：(1)当直线过原点时，它在x 轴、y 轴上截距都是0，满足题意，此时直线斜率为12，所以直线方程为y ＝12x .(2)当直线不过原点时，由题意可设直线方程为x a ＋y a＝1，又过A (4,2)， ∴a ＝6，∴方程为x ＋y －6＝0，综上，直线方程为y ＝12x 或x ＋y －6＝0.2．截距和为零问题求过点A (4,2)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l 的方程．解：(1)同上(2)当直线不过原点时，由题意可设直线方程为x a －y a＝1.又过A (4,2)， ∴4－2a＝1，即a ＝2，∴x －y ＝2.综上，直线l 的方程为y ＝12x 或x －y ＝2.3．截距成倍数问题求过点A (4,2)且在x 轴上截距是在y 轴上截距的3倍，求直线l 的方程．解：(1)同上(2)当直线不过原点时，由题意可设直线方程为x 3a ＋ya ＝1，又直线过A (4,2)，所以43a ＋2a ＝1，解得a ＝103，方程为x ＋3y －10＝0.综上，所求直线方程为y ＝12x 或x ＋3y －10＝0.4．截距和是定数问题求过点A (4,2)且在两坐标轴上截距之和为12的直线l 的方程．解：设直线l 的方程为x a ＋yb＝1，由题意⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b＝1，a ＋b ＝12.∴4b ＋2a ＝ab ，即4(12－a )＋2a ＝a (12－a )， ∴a 2－14a ＋48＝0，解得a ＝6或a ＝8.因此⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝6，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝4.∴所求直线l 的方程为x ＋y －6＝0或x ＋2y －8＝0.[方法感悟]如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”、“截距的绝对值相等”、“截距互为相反数”、“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m 倍(m ＞0)”等条件时，可采用截距式求直线方程，但一定要注意考虑“零截距”的情况．[随堂即时演练]1．直线x 3－y4＝1在两坐标轴上的截距之和为( )A ．1B ．－1C ．7D ．－7解析：选B 直线在x 轴上截距为3，在y 轴上截距为－4，因此截距之和为－1. 2．直线3x －2y ＝4的截距式方程是( ) A.3x 4－y2＝1 B.x 13－y12＝4 C.3x 4－y－2＝1 D.x 43＋y－2＝1 解析：选D 求直线方程的截距式，必须把方程化为x a ＋y b＝1的形式，即右边为1，左边是和的形式．3．直线l 过点(－1,2)和点(2,5)，则直线l 的方程为________．解析：由题意直线过两点，由直线的两点式方程可得：y －25－2＝x －－12－－1，整理得x －y ＋3＝0.答案：x －y ＋3＝04．斜率为2，且经过点A (1,3)的直线的一般式方程为________．解析：由直线点斜式方程可得y －3＝2(x －1)，化成一般式为2x －y ＋1＝0.答案：2x －y ＋1＝05．三角形的顶点坐标为A (0，－5)，B (－3,3)，C (2,0)，求直线AB 和直线AC 的方程．解：∵直线AB 过点A (0，－5)，B (－3,3)两点，由两点式方程，得y ＋53＋5＝x －0－3－0.整理，得8x ＋3y ＋15＝0.∴直线AB 的方程为8x ＋3y ＋15＝0. 又∵直线AC 过A (0，－5)，C (2,0)两点，由截距式得x 2＋y－5＝1，整理得5x －2y －10＝0，∴直线AC 的方程为5x －2y －10＝0.[课时达标检测]一、选择题1．平面直角坐标系中，直线x ＋3y ＋2＝0的斜率为( ) A.33B ．－33C. 3 D ．－ 3答案：B2．如果ax ＋by ＋c ＝0表示的直线是y 轴，则系数a ，b ，c 满足条件( ) A ．bc ＝0 B ．a ≠0C ．bc ＝0且a ≠0D ．a ≠0且b ＝c ＝0解析：选D y 轴方程表示为x ＝0，所以a ，b ，c 满足条件为a ≠0且b ＝c ＝0. 3.已知直线ax ＋by ＋c ＝0的图象如图，则( ) A ．若c ＞0，则a ＞0，b ＞0 B ．若c ＞0，则a <0，b ＞0 C ．若c ＜0，则a >0，b <0 D ．若c <0，则a >0，b ＞0解析：选D 由ax ＋by ＋c ＝0，得斜率k ＝－a b ，直线在x 、y 轴上的截距分别为－c a、－c b.如题图，k <0，即－a b＜0，∴ab >0. ∵－c a ＞0，－c b＞0，∴ac ＜0，bc ＜0. 若c <0，则a >0，b >0；若c >0，则a ＜0，b ＜0.4．直线(m ＋2)x ＋(m 2－2m －3)y ＝2m 在x 轴上的截距为3，则实数m 的值为( )A.65 B ．－6C ．－65D ．6解析：选B 令y ＝0，则直线在x 轴上的截距是x ＝2m m ＋2，∴2m m ＋2＝3，∴m ＝－6. 5．若直线x ＋2ay －1＝0与(a －1)x －ay ＋1＝0平行，则a 的值为( ) A.12 B.12或0 C ．0D ．－2解析：选A 法一：当a ＝0时，两直线重合，不合题意；当a ≠0时，a －1a ＝－12a ，解之得a ＝12，经检验a ＝12时，两直线平行．法二：∵直线x ＋2ay －1＝0与(a －1)x －ay ＋1＝0平行， ∴1×(－a )－(a －1)×2a ＝0.即2a 2－a ＝0.∴a ＝0或a ＝12.验证：当a ＝0时，两直线重合，故a ＝12.二、填空题6．已知直线l 的倾斜角为60°，在y 轴上的截距为－4，则直线l 的点斜式方程为________________；截距式方程为________________；斜截式方程为________________；一般式方程为________________．解析：点斜式方程：y ＋4＝3(x －0)，截距式方程：x 433＋y－4＝1，斜截式方程：y ＝3x －4，一般式方程：3x －y －4＝0. 答案：y ＋4＝3(x －0)x 433＋y－4＝1 y ＝3x －4 3x －y －4＝07．若直线l 1：ax ＋(1－a )y ＝3与l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＝2互相垂直，则实数a ＝________.解析：因为两直线垂直，所以a (a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，即a 2＋2a －3＝0，解得a ＝1，或a ＝－3.答案：1或－38．垂直于直线3x －4y －7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x 轴上的截距是________．解析：设直线方程是4x ＋3y ＋d ＝0，分别令x ＝0和y ＝0，得直线在两坐标轴上的截距分别是－d 3，－d4，∴6＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－d 3×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－d 4＝d 224.∴d ＝±12，则直线在x 轴上截距为3或－3. 答案：3或－3 三、解答题9．已知在△ABC 中，A ，B 的坐标分别为(－1,2)，(4,3)，AC 的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上．(1)求点C 的坐标； (2)求直线MN 的方程．解：(1)设点C (m ，n )，AC 中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上，由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧m －12＝0，n ＋32＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝－3.∴C 点的坐标为(1，－3)．(2)由(1)知：点M 、N 的坐标分别为M (0，－12)、N (52，0)，由直线方程的截距式，得直线MN 的方程是x 52＋y －12＝1，即y ＝15x －12.10．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝－1时，直线l 的方程为y ＋3＝0，不符合题意；当a ≠－1时，直线l 在x 轴上的截距为a －2a ＋1，在y 轴上的截距为a －2，因为l 在两坐标轴上的截距相等，所以a －2a ＋1＝a －2，解得a ＝2或a ＝0，所以直线l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.(2)将直线l的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋1＞0a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋1＝0a －2≤0，解得a ≤－1.综上所述，a ≤－1.。

【人教A版】高中数学必修二：第3章《直线与方程》导学案设计(含答案) 第三章 3.1.2

3.1.2 两条直线平行与垂直的判定[学习目标] 1.能根据两条直线的斜率判定两条直线是否平行或垂直.2.能根据两条直线平行或垂直的关系确定两条直线斜率的关系.知识点一两条直线平行与斜率的关系1.如图①，设两条不重合的直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，若l 1∥l 2，则k 1＝k 2；反之，若k 1＝k 2，则l 1∥l2.2.如图②，若两条不重合的直线的斜率不存在，则这两条直线也平行.思考如果两条直线平行，那么这两条直线的斜率一定相等吗？答不一定.只有在两条直线的斜率都存在的情况下，斜率才相等. 知识点二两条直线垂直与斜率的关系1.如图①，如果两条直线都有斜率且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直.即k 1k 2＝－1⇒l 1⊥l 2，l 1⊥l 2⇒k 1k 2＝－1.2.如图②，若l 1与l 2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l 1与l 2的位置关系是垂直.思考如果两条直线垂直，则它们的斜率的积一定等于－1吗？答不一定.若两条直线的斜率都存在，它们垂直时斜率之积是－1，但若两条直线垂直时还可能它们的斜率一个是0，另一个不存在.题型一两条直线平行关系的判定与应用例1 根据下列给定的条件，判断直线l 1与直线l 2是否平行： (1)l 1经过点A (2,3)，B (－4,0)；l 2经过点M (－3,1)，N (－2,2)； (2)l 1的斜率为－12，l 2经过点A (4,2)，B (2,3)；(3)l 1平行于y 轴，l 2经过点P (0，－2)，Q (0,5)；(4)l 1经过点E (0,1)，F (－2，－1)，l 2经过点G (3,4)，H (2,3). 解 (1)k AB ＝3－02－(－4)＝12，k MN ＝2－1－2－(－3)＝1，k AB ≠k MN ，所以l 1与l 2不平行.(2)l 1的斜率k 1＝－12，l 2的斜率k 2＝3－22－4＝－12，即k 1＝k 2，所以l 1与l 2平行或重合.(3)由题意，知l 1的斜率不存在，且不是y 轴，l 2的斜率也不存在，恰好是y 轴，所以l 1∥l 2. (4)由题意，知k EF ＝－1－1－2－0＝1，k GH ＝3－42－3＝1，所以l 1与l 2平行或重合.需进一步研究E ，F ，G ，H 四点是否共线， k FG ＝4－(－1)3－(－2)＝1.所以E ，F ，G ，H 四点共线. 所以l 1与l 2重合.反思与感悟 1.判断两条直线平行，应首先看两条直线的斜率是否存在，即先看两点的横坐标是否相等.2.判断斜率是否相等，实际是看倾斜角是否相等，归根结底是充分利用两条直线平行的条件：同位角相等，则两条直线平行.3.在两条直线斜率都存在，且相等的情况下，应注意两条直线是否重合.跟踪训练1 已知▱ABCD 的三个顶点的坐标分别是A (0,1)，B (1,0)，C (4,3)，求顶点D 的坐标.解设D (m ，n )，由题意，得AB ∥DC ，AD ∥BC ，则有k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC . 所以⎩⎪⎨⎪⎧0－11－0＝3－n4－m ，n －1m －0＝3－04－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝4.所以点D 的坐标为(3,4).题型二两条直线垂直关系的判定与应用例2 判断下列各组中的直线l 1与l 2是否垂直：(1)l 1经过点A (－1，－2)，B (1,2)，l 2经过点M (－2，－1)，N (2,1)； (2)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10,2)，B (20,3)；(3)l 1经过点A (3,4)，B (3,100)，l 2经过点M (－10,40)，N (10,40).解 (1)直线l 1的斜率k 1＝2－(－2)1－(－1)＝2，直线l 2的斜率k 2＝1－(－1)2－(－2)＝12，k 1k 2＝1，故l 1与l 2不垂直.(2)直线l 1的斜率k 1＝－10，直线l 2的斜率k 2＝3－220－10＝110，k 1k 2＝－1，故l 1⊥l 2.(3)l 1的倾斜角为90°，则l 1⊥x 轴.直线l 2的斜率k 2＝40－4010－(－10)＝0，则l 2∥x 轴.故l 1⊥l 2.反思与感悟使用斜率公式判定两直线垂直的步骤：(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；(2)二用：就是将点的坐标代入斜率公式；(3)三求值：计算斜率的值，进行判断.尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论.跟踪训练2 已知△ABC 的顶点坐标为A (5，－1)，B (1,1)，C (2，m )，若△ABC 为直角三角形，试求m 的值.解 ∵A (5，－1)，B (1,1)，C (2，m )，∴k AB ＝－1－15－1＝－12，k AC ＝－1－m 5－2＝－m ＋13，k BC ＝m －12－1＝m －1. 当AB ⊥BC 时，有k AB ·k BC ＝－1，即－12·(m －1)＝－1，解得m ＝3；当AB ⊥AC 时，有k AB ·k AC ＝－1，即－12·⎝⎛⎭⎫－m ＋13＝－1，解得m ＝－7；当AC ⊥BC 时，有k AC ·k BC ＝－1，即⎝⎛⎭⎫－m ＋13·(m －1)＝－1，解得m ＝±2.综上所述，若△ABC 为直角三角形，则m 的值为3或－7或±2. 题型三平行与垂直关系的综合应用例3 已知A (－4,3)，B (2,5)，C (6,3)，D (－3,0)四点，若顺次连接ABCD 四点，试判定图形ABCD 的形状.解由题意知A ，B ，C ，D 四点在坐标平面内的位置，如图，由斜率公式可得 k AB ＝5－32－(－4)＝13，k CD ＝0－3－3－6＝13，k AD ＝0－3－3－(－4)＝－3，k BC ＝3－56－2＝－12.所以k AB ＝k CD ，由图可知AB 与CD 不重合，所以AB ∥CD ，又k AD ≠k BC ，所以AD 与BC 不平行. 又因为k AB ·k AD ＝13×(－3)＝－1，所以AB ⊥AD ，故四边形ABCD 为直角梯形.反思与感悟 1.利用直线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法，先由图形作出猜测，然后利用直线的斜率关系进行判定.2.由几何图形的形状求参数(一般是点的坐标)时，要根据图形的特征确定斜率之间的关系，既要考虑斜率是否存在，又要考虑到图形可能出现的各种情形.跟踪训练3 已知点A (0,3)，B (－1,0)，C (3,0)，求点D 的坐标，使四边形ABCD 为直角梯形(A ，B ，C ，D 按逆时针方向排列).解设所求点D 的坐标为(x ，y )，如图所示， ∵k AB ＝3，k BC ＝0，∴k AB ·k BC ＝0≠－1，即AB 与BC 不垂直，故AB ，BC 都不可作为直角梯形的直角边.①若CD 是直角梯形的直角边，则BC ⊥CD ，AD ⊥CD ，∵k BC ＝0，∴CD 的斜率不存在，从而有x ＝3. 又k AD ＝k BC ，∴y －3x＝0，即y ＝3，此时AB 与CD 不平行，故所求点D 的坐标为(3,3). ②若AD 是直角梯形的直角边，则AD ⊥AB ，AD ⊥CD ， ∵k AD ＝y －3x ，k CD ＝yx －3， ∴y －3x ×3＝－1，y －3x ·yx －3＝－1，即y －3x ＝－13，－13·y x －3＝－1.解得x ＝185，y ＝95，∴D 点坐标为⎝⎛⎭⎫185，95.综上可知，D 点坐标为(3,3)或⎝⎛⎭⎫185，95.忽略斜率不存在的情况而致误例4 已知A (－m －3,2)，B (－2m －4,4)，C (－m ，m )，D (3,3m ＋2)，若直线AB ⊥CD ，求m 的值.分析由于A ，B 两点的纵坐标为确定的数，故AB 与x 轴不平行，因而CD 与x 轴不垂直，在求解时要对直线AB 分与x 轴垂直和不垂直两种情况讨论求解. 解因为A ，B 两点的纵坐标不相等，所以AB 与x 轴不平行.因为AB ⊥CD ，所以CD 与x 轴不垂直，所以－m ≠3，即m ≠－3.当AB 与x 轴垂直时，－m －3＝－2m －4，解得m ＝－1.当m ＝－1时，C ，D 两点的纵坐标均为－1，则CD ∥x 轴，此时AB ⊥CD ，满足题意. 当AB 与x 轴不垂直时，由斜率公式，得 k AB ＝4－2－2m －4－(－m －3)＝2－(m ＋1)，k CD ＝3m ＋2－m 3－(－m )＝2(m ＋1)m ＋3.因为AB ⊥CD ，所以k AB ·k CD ＝－1，即2－(m ＋1)·2(m ＋1)m ＋3＝－1，解得m ＝1.综上，m 的值为1或－1.解后反思本题常见的错误是不分情况讨论，直接利用k AB ·k CD ＝－1求解.由于斜率是倾斜角的正切值，故倾斜角为90°的这种情况一定不要遗漏，这类失误是常犯的错误，一定要注意.1.已知A (1,2)，B (m,1)，直线AB 与直线y ＝0垂直，则m 的值( ) A.2 B.1 C.0 D.－1 答案 B解析直线AB 与x 轴垂直，则点A ，B 横坐标相同，即m ＝1.2.已知直线l 1：(3＋m )x ＋4y ＝5－3m ，l 2：2x ＋(5＋m )y ＝8平行，则实数m 的值为( ) A.－7 B.－1 C.－1或－7 D.133答案 A解析 l 1的斜率为－3＋m 4，纵截距为5－3m4，l 2的斜率为－25＋m ，纵截距为85＋m.又∵l 1∥l 2，由－3＋m 4＝－25＋m 得，m 2＋8m ＋7＝0，得m ＝－1或－7.m ＝－1时，5－3m 4＝85＋m ＝2，l 1与l 2重合，故不符合题意；m ＝－7时，5－3m 4＝132≠85＋m＝－4，符合题意.3.若直线l 1，l 2的倾斜角分别为α1，α2，且l 1⊥l 2，则有( ) A.α1－α2＝90° B.α2－α1＝90° C.|α2－α1|＝90° D.α1＋α2＝180°答案 C解析两直线垂直则它们的倾斜角的绝对值相差90°.4.过点(3，6)，(0,3)的直线与过点(6，2)，(2,0)的直线的位置关系为( ) A.垂直 B.平行 C.重合 D.以上都不正确答案 A解析过点(3，6)，(0,3)的直线的斜率k 1＝6－33－0＝2－3；过点(6，2)，(2,0)的直线的斜率k 2＝2－06－2＝3＋ 2.因为k 1·k 2＝－1，所以两条直线垂直. 5.直线l 1的斜率为2，直线l 2上有三点M (3,5)，N (x,7)，P (－1，y )，若l 1⊥l 2，则x ＝，y ＝ . 答案－1 7解析 ∵l 1⊥l 2，且l 1的斜率为2，则l 2的斜率为－12，∴7－5x －3＝y －5－1－3＝－12，∴x ＝－1，y ＝7.1.两直线平行或垂直的判定方法.2.一、选择题1.已知过点P (3,2m )和点Q (m,2)的直线与过点M (2，－1)和点N (－3,4)的直线平行，则m 的值是( )A.1B.－1C.2D.－2 答案 B解析因为k MN ＝4－(－1)－3－2＝－1，所以若直线PQ 与直线MN 平行，则2m －23－m ＝－1，解得m＝－1.2.直线l 1，l 2的斜率是方程x 2－3x －1＝0的两根，则l 1与l 2的位置关系是( ) A.平行 B.重合 C.相交但不垂直 D.垂直答案 D解析方程x 2－3x －1＝0有两个不同实根，且两根之积为－1，即直线l 1，l 2的斜率之积为－1，所以l 1与l 2垂直.3.若直线l 经过点(a －2，－1)和(－a －2,1)，且与斜率为－23的直线垂直，则实数a 的值是( )A.－23B.－32C.23D.32答案 A解析因为直线l 与斜率为－23的直线垂直，所以直线l 的斜率为32.所以1－(－1)－a －2－(a －2)＝32，解得a ＝－23.4.已知A (m,3)，B (2m ，m ＋4)，C (m ＋1,2)，D (1,0)，且直线AB 与直线CD 平行，则m 的值为( )A.1B.0C.0或2D.0或1 答案 D解析当AB 与CD 斜率均不存在时，m ＝0，此时AB ∥CD ，当k AB ＝k CD 时，m ＝1，此时AB ∥CD .5.若点P (a ，b )与Q (b －1，a ＋1)关于直线l 对称，则l 的倾斜角为( ) A.135° B.45° C.30° D.60° 答案 B 解析 k PQ ＝a ＋1－bb －1－a＝－1，k PQ ·k l ＝－1，∴l 的斜率为1，倾斜角为45°.6.将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为( ) A.y ＝－13x ＋13B.y ＝－13x ＋1C.y ＝3x －3D.y ＝13x ＋1答案 A解析将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°后所得直线为y ＝－13x ，再向右平移1个单位，得y ＝－13(x －1)，即y ＝－13x ＋13.二、填空题7.已知直线l 1：y ＝x ，若直线l 2⊥l 1，则直线l 2的倾斜角为 . 答案 135°解析因为直线y ＝x 的斜率k 1＝1，所以若直线l 2⊥l 1，则直线l 2的斜率k ＝－1.所以直线l 2的倾斜角为135°.8.已知l 1的斜率是2，l 2过点A (－1，－2)，B (x,6)，且l 1∥l 2，则log 91x ＝ .答案－12解析因为l 1∥l 2，所以6＋2x ＋1＝2，解得x ＝3.所以log 913＝－12.9.已知点A (1,2)和点B (0,0)，点P 在y 轴上，若∠BAP 为直角，则点P 的坐标为 .答案 (0，52)解析设P (0，y )，则有2－01－0×y －20－1＝－1.所以y ＝52.所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，52. 10.已知△ABC 的顶点B (2,1)，C (－6,3)，其垂心为H (－3,2)，则其顶点A 的坐标为 . 答案 (－19，－62)解析设A (x ，y ).∵AC ⊥BH ，AB ⊥CH ，∴k AC ·k BH ＝－1，k AB ·k CH ＝－1.又∵k BH ＝1－22－(－3)＝－15，k CH＝3－2－6－(－3)＝－13，∴⎩⎪⎨⎪⎧k AC＝y －3x ＋6＝5，kAB ＝y －1x －2＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－19，y ＝－62.即点A 的坐标为(－19，－62). 三、解答题11.已知△ABC 三个顶点坐标分别为A (－2，－4)，B (6,6)，C (0,6)，求此三角形三边的高所在直线的斜率.解由斜率公式可得k AB ＝6－(－4)6－(－2)＝54，k BC ＝6－66－0＝0，k AC ＝6－(－4)0－(－2)＝5. 由k BC ＝0知直线BC ∥x 轴，∴BC 边上的高线与x 轴垂直，其斜率不存在. 设AB 、AC 边上高线的斜率分别为k 1、k 2，由k 1·k AB ＝－1，k 2·k AC ＝－1，即k 1·54＝－1，k 2·5＝－1，解得k 1＝－45，k 2＝－15.∴BC 边上的高所在直线的斜率不存在； AB 边上的高所在直线的斜率为－45；AC 边上的高所在直线的斜率为－15.12.已知直线l 1经过点A (3，m )，B (m －1,2)，直线l 2经过点C (1,2)，D (－2，m ＋2). (1)若l 1∥l 2，求m 的值； (2)若l 1⊥l 2，求m 的值.解由题意知直线l 2的斜率存在且k 2＝2－(m ＋2)1－(－2)＝－m3.(1)若l 1∥l 2，则直线l 1的斜率也存在，由k 1＝k 2，得2－m m －4＝－m 3，解得m ＝1或m ＝6，经检验，当m ＝1或m ＝6时，l 1∥l 2. (2)若l 1⊥l 2.当k 2＝0时，此时m ＝0，l 1斜率存在，不符合题意；当k 2≠0时，直线l 2的斜率存在且不为0，则直线l 1的斜率也存在，则k 1·k 2＝－1，即－m 3·2－mm －4＝－1，解得m ＝3或m ＝－4，所以当m ＝3或m ＝－4时，l 1⊥l 2.。

高一数学直线的两点式方程教案

必修2第3章3.2.2 直线的两点式方程一、教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学2》（人教版）第三章直线方程第二节的第二课时。

直线的两点式方程是高中数学重要内容之一，有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。

一方面, 与直线的点斜式密不可分；另一方面,学习直线的两点式方程也为进一步学习直线方程的一般式做好准备。

二、学生学习情况分析本节课学生很容易在以下两个地方产生错误：1. 直线的两点式方程的适用范围;2. 直线的截距式的适用范围.三、教学目标知识与技能1.掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围；2.了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。

过程与方法让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点。

情感与价值观1.认识事物之间的普遍联系与相互转化；2.培养学生用联系的观点看问题。

四、教学重点，难点重点：直线方程两点式;难点：两点式推导过程的理解．五、教学过程(一)．复习旧知问题1: 确定一条直线的方法有几种?(二).问题情境问题2: 已知直线l 经过111222(,),(,)p x y p x y (其中1212,x x y y ≠≠)两点,如何求直线的点斜式方程?(三).探索研究已知直线l 经过111222(,),(,)p x y p x y (其中1212,x x y y ≠≠)两点,直线的点斜式方程为211121()y y y y x x x x --=-- (四).归纳总结两点式方程:由上述知, 经过111222(,),(,)p x y p x y (其中1212,x x y y ≠≠)两点的直线方程为112121y y x x y y x x --=-- ⑴, 我们称⑴为直线的两点式方程,简称两点式. 问题3:若点),(),,(222211y x P x x P 中有21x x =，或21y y =，此时这两点的直线方程是什么？问题4: 在斜率满足什么条件时,能用两点式方程?(五).应用举例例1:求过(2,1),(3,3)A B -两点的直线的两点式方程,并转化成点斜式.例2：已知直线l 与x 轴的交点为A （a ，0），与y 轴的交点为B （0，b ），其中a ≠0，b ≠0求l 的方程结论:当直线l 不经过原点时,其方程可以化为1x y a b+= ⑵, 方程⑵称为直线的截距式方程,其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b . 中点:线段AB 的两端点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ,则AB 的中点(,)M x y ,其中212122x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩例3.已知∆ABC 的三个顶点是A(0,7) B(5,3) C(5,-3)，求（1）三边所在直线的方程；（2）中线AD 所在直线的方程；（3）高AE 所在直线的方程。

【人教A版】高中数学必修二：第3章《直线与方程》导学案设计(含答案) 第三章 3.2.3

3.2.3 直线的一般式方程[学习目标] 1.掌握直线的一般式方程.2.了解关于x 、y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为0)都表示直线，且直线方程都可以化为Ax ＋By ＋C ＝0的形式.3.会进行直线方程不同形式的转化.知识点直线的一般式方程1.在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x ，y 的二元一次方程；任何关于x ，y 的二元一次方程都表示一条直线.方程Ax ＋By ＋C ＝0(其中A 、B 不同时为0)叫做直线方程的一般式.2.对于直线Ax ＋By ＋C ＝0，当B ≠0时，其斜率为－A B ，在y 轴上的截距为－C B ；当B ＝0时，在x 轴上的截距为－C A ；当AB ≠0时，在两轴上的截距分别为－C A ，－CB .3.直线一般式方程的结构特征 (1)方程是关于x ，y 的二元一次方程.(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x ，y ，常数的先后顺序排列. (3)x 的系数一般不为分数和负数.(4)虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程. 思考 (1)当A ，B 同时为零时，方程Ax ＋By ＋C ＝0表示什么？ (2)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化吗？答 (1)当C ＝0时，方程对任意的x ，y 都成立，故方程表示整个坐标平面；当C ≠0时，方程无解，方程不表示任何图象.故方程Ax ＋By ＋C ＝0，不一定代表直线，只有当A ，B 不同时为零时，即A 2＋B 2≠0时才代表直线.(2)不是.当一般式方程中的B ＝0时，直线的斜率不存在，不能化成其他形式；当C ＝0时，直线过原点，不能化为截距式.但其他四种形式都可以化为一般式.题型一直线的一般形式与其他形式的转化例1 (1)下列直线中，斜率为－43，且不经过第一象限的是( )A.3x ＋4y ＋7＝0B.4x ＋3y ＋7＝0C.4x ＋3y －42＝0D.3x ＋4y －42＝0(2)直线3x －5y ＋9＝0在x 轴上的截距等于( ) A. 3 B.－5 C.95 D.－33答案 (1)B (2)D解析 (1)将一般式化为斜截式，斜率为－43的有：B 、C 两项.又y ＝－43x ＋14过点(0,14)即直线过第一象限，所以只有B 项正确. (2)令y ＝0则x ＝－3 3.反思与感悟 1.一般式化为斜截式的步骤： ①移项得By ＝－Ax －C ；②当B ≠0时，得斜截式：y ＝－A B x －CB .2.一般式化为截距式的步骤：方法一：①把常数项移到方程右边，得Ax ＋By ＝－C ；②当C ≠0时，方程两边同除以－C ，得Ax －C ＋By－C ＝1；③化为截距式：x －C A ＋y－C B ＝1.方法二：①令x ＝0求直线在y 轴上的截距b ； ②令y ＝0求直线在x 轴上的截距a ； ③代入截距式方程x a ＋yb＝1.由于直线方程的斜截式和截距式是惟一的，而两点式和点斜式不惟一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式.跟踪训练1 一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求此直线方程.解设所求直线方程为x a ＋yb ＝1，∵点A (－2,2)在直线上，∴－2a ＋2b ＝1.①又∵直线与坐标轴围成的三角形面积为1， ∴12|a |·|b |＝1.②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝1，ab ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，ab ＝－2. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.第二个方程组无解.故所求直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y－2＝1，即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0. 题型二直线方程的应用例2 已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求满足下列条件的直线l ′的方程： (1)过点(－1,3)，且与l 平行； (2)过点(－1,3)，且与l 垂直.解方法一 l 的方程可化为y ＝－34x ＋3，∴l 的斜率为－34.(1)∵l ′与l 平行，∴l ′的斜率为－34.又∵l ′过点(－1,3)，由点斜式知方程为y －3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y －9＝0.(2)∵l ′与l 垂直，∴l ′的斜率为43，又l ′过点(－1,3)，由点斜式可得方程为y －3＝43(x ＋1)，即4x －3y ＋13＝0.方法二 (1)由l ′与l 平行，可设l ′的方程为3x ＋4y ＋m ＝0.将点(－1,3)代入上式得m ＝－9.∴所求直线的方程为3x ＋4y －9＝0.(2)由l ′与l 垂直，可设l ′的方程为4x －3y ＋n ＝0. 将(－1,3)代入上式得n ＝13. ∴所求直线的方程为4x －3y ＋13＝0.反思与感悟一般地，直线Ax ＋By ＋C ＝0中系数A 、B 确定直线的斜率，因此，与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m ＝0，与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋n ＝0.这是经常采用的解题技巧.跟踪训练2 a 为何值时，直线(a －1)x －2y ＋4＝0与x －ay －1＝0. (1)平行；(2)垂直.解当a ＝0或1时，两直线既不平行，也不垂直；当a ≠0且a ≠1时，直线(a －1)x －2y ＋4＝0的斜率为k 1＝－1＋a2，b 1＝2；直线x －ay －1＝0的斜率为k 2＝1a ，b 2＝－1a .(1)当两直线平行时，由k 1＝k 2，b 1≠b 2，得1a ＝－1＋a 2，a ≠－12，解得a ＝－1或a ＝2.所以当a ＝－1或2时，两直线平行. (2)当两直线垂直时，由k 1·k 2＝－1，即1a ·(－1＋a )2＝－1，解得a ＝13. 所以当a ＝13时，两直线垂直.题型三由含参一般式方程求参数的值或取值范围例3 (1)若方程(m 2＋5m ＋6)x ＋(m 2＋3m )y ＋1＝0表示一条直线，则实数m 满足______. (2)当实数m 为何值时，直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1. ①倾斜角为45°；②在x 轴上的截距为1. (1)答案 m ≠－3解析若方程不能表示直线，则m 2＋5m ＋6＝0且m 2＋3m ＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝0，m 2＋3m ＝0，得m ＝－3，所以m ≠－3时，方程表示一条直线. (2)解 ①因为已知直线的倾斜角为45°，所以此直线的斜率是1，所以－2m 2＋m －3m 2－m＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m ≠0，2m 2＋m －3＝－(m 2－m )，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0且m ≠1，m ＝－1或m ＝1.所以m ＝－1.②因为已知直线在x 轴上的截距为1，令y ＝0得x ＝4m －12m 2＋m －3，所以4m －12m 2＋m －3＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3≠0，4m －1＝2m 2＋m －3，解得⎩⎨⎧m ≠1且m ≠－32，m ＝－12或m ＝2.所以m ＝－12或m ＝2.反思与感悟已知含参的直线的一般式方程求参数的值或范围的步骤跟踪训练3 已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0. (1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)为使直线l 不经过第二象限，求a 的取值范围. (1)证明直线方程变形为y －35＝a ⎝⎛⎭⎫x －15，它表示经过点A ⎝⎛⎭⎫15，35，斜率为a 的直线. ∵点A ⎝⎛⎭⎫15，35在第一象限， ∴直线l 必过第一象限.(2)解如图所示，直线OA 的斜率k ＝35－015－0＝3.∵直线不过第二象限， ∴直线的斜率a ≥3. ∴a 的取值范围为[3，＋∞).一般式求斜率考虑不全致误例4 设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y －(2m －6)＝0，若此直线的斜率为1，试确定实数m 的值.分析由直线方程的一般式，可转化为斜截式，利用斜率为1，建立方程求解，但要注意分母不为0.解由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，①2m 2＋m －1≠0. ② 由①，得m ＝－1或m ＝43.当m ＝－1时，②式不成立，不符合题意，故应舍去；当m ＝43时，②式成立，符合题意.故m ＝43.解后反思本题易出现的错误是在由一般式转化为斜截式后，直接得到①式，而忽略了②式.因为本例中斜率已存在且为1，故①式应有意义，所以分母应不为0.1.若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A 、B 应满足的条件为( ) A.A ≠0 B.B ≠0 C.A ·B ≠0 D.A 2＋B 2≠0答案 D解析方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线的条件为A 、B 不能同时为0，即A 2＋B 2≠0. 2.已知ab <0，bc <0，则直线ax ＋by ＝c 通过( ) A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限答案 C解析由ax ＋by ＝c ，得y ＝－a b x ＋c b ，∵ab <0，∴直线的斜率k ＝－ab >0，直线在y 轴上的截距cb<0.由此可知直线通过第一、三、四象限.3.过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A.x －2y －1＝0 B.x －2y ＋1＝0 C.2x ＋y －2＝0D.x ＋2y －1＝0答案 A解析由题意，得所求直线斜率为12，且过点(1,0).故所求直线方程为y ＝12(x －1)，即x －2y －1＝0.4.若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m 等于( ) A.－1 B.1 C.12 D.－12答案 B解析由两直线垂直，得12×⎝⎛⎭⎫－2m ＝－1，解得m ＝1. 5.已知两条直线y ＝ax －2和3x －(a ＋2)y ＋1＝0互相平行，则a ＝________. 答案－3或1解析两条直线y ＝ax －2和3x －(a ＋2)y ＋1＝0互相平行，所以a 3＝1a ＋2≠－21，解得a ＝－3或a ＝1.1.根据两直线的一般式方程判定两直线平行的方法(1)判定斜率是否存在，若存在，化成斜截式后，则k 1＝k 2且b 1≠b 2；若都不存在，则还要判定不重合.(2)可直接采用如下方法：一般地，设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0，或A 1C 2－A 2C 1≠0.这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论，可以减小因考虑不周而造成失误的可能性.2.根据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法(1)若一个斜率为零，另一个不存在，则垂直；若两个都存在斜率，化成斜截式后，则k 1k 2＝－1.(2)一般地，设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0. 第二种方法可避免讨论，减小失误.一、选择题1.直线x ＋y －3＝0的倾斜角的大小是( ) A.45° B.135° C.1 D.－1 答案 B解析直线x ＋y －3＝0，即y ＝－x ＋3，它的斜率等于－1，故它的倾斜角为135°，故选B.2.直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角为45°，则m 的值为( ) A.－2 B.2 C.－3 D.3 答案 D解析由已知得m 2－4≠0，且2m 2－5m ＋2m 2－4＝1，解得：m ＝3.3.直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，若直线l 过原点和二、四象限，则( ) A.C ＝0，B >0 B.A >0，B >0，C ＝0 C.AB <0，C ＝0 D.AB >0，C ＝0答案 D解析通过直线的斜率和截距进行判断.4.直线ax ＋3my ＋2a ＝0(m ≠0)过点(1，－1)，则直线的斜率k 等于( ) A.－3 B.3 C.13 D.－13答案 D解析由点(1，－1)在直线上可得a －3m ＋2a ＝0(m ≠0)，解得m ＝a ，故直线方程为ax ＋3ay ＋2a ＝0(a ≠0)，即x ＋3y ＋2＝0，其斜率k ＝－13.5.直线y ＝mx －3m ＋2(m ∈R )必过定点( ) A.(3,2) B.(－3,2) C.(－3，－2) D.(3，－2) 答案 A解析由y ＝mx －3m ＋2，得y －2＝m (x －3).所以直线必过点(3,2).6.若三条直线x ＋y ＝0，x －y ＝0，x ＋ay ＝3构成三角形，则a 的取值范围是( ) A.a ≠±1 B.a ≠1，a ≠2 C.a ≠－1 D.a ≠±1，a ≠2 答案 A解析因为直线x ＋ay ＝3恒过点(3,0)，所以此直线只需不和x ＋y ＝0，x －y ＝0两直线平行就能构成三角形.所以a ≠±1.7.直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx －y ＋a ＝0(a ≠0，b ≠0，a ≠b )在同一坐标系中的图形大致是( )答案 C解析将l 1与l 2的方程化为斜截式得：y ＝ax ＋b ，y ＝bx ＋a ，根据斜率和截距的符号可得选C. 二、填空题8.已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0与直线l 2：2x ＋(a －1)y ＋1＝0垂直，则实数a ＝_______. 答案 35解析由两直线垂直的条件，得2a ＋3(a －1)＝0，解得a ＝35.9.若直线mx ＋3y －5＝0经过连接点A (－1，－2)，B (3,4)的线段的中点，则m ＝______. 答案 2解析线段AB 的中点为(1,1)，则m ＋3－5＝0，即m ＝2.10.直线l ：ax ＋(a ＋1)y ＋2＝0的倾斜角大于45°，则a 的取值范围是______________. 答案 (－∞，－12)∪(0，＋∞)解析当a ＝－1时，直线l 的倾斜角为90°，符合要求；当a ≠－1时，直线l 的斜率为－aa ＋1，只要－a a ＋1>1或者－aa ＋1<0即可，解得－1<a <－12或者a <－1或者a >0.综上可知，实数a 的取值范围是 (－∞，－12)∪(0，＋∞).11.已知两条直线a 1x ＋b 1y ＋4＝0和a 2x ＋b 2y ＋4＝0都过点A (2,3)，则过两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)的直线方程为________________. 答案 2x ＋3y ＋4＝0解析由条件知⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3b 1＋4＝0，2a 2＋3b 2＋4＝0，易知两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)都在直线2x ＋3y ＋4＝0上，即2x ＋3y ＋4＝0为所求. 三、解答题12.设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R ). (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围.解 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距都为0，当然相等，所以a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当a ≠2时，截距存在且均不为0，所以a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1.所以a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0. (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －(a ＋1)＞0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0，所以a ≤－1.综上，a 的取值范围是a ≤－1.13.(1)已知直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，求m 的值. (2)当a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？解方法一 (1)由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0， l 2：mx ＋3y －2＝0知：①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行. ②当m ≠0时，l 1∥l 2，需2m ＝m ＋13≠4－2.解得m ＝2或m ＝－3，∴m 的值为2或－3. (2)由题意知，直线l 1⊥l 2.①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0显然垂直. ②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直.③若1－a ≠0，且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3.当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即(－a ＋21－a )·(－a －12a ＋3)＝－1，∴a ＝－1.综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2. 方法二 (1)令2×3＝m (m ＋1)，解得m ＝－3或m ＝2.当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0，显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0，显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2. ∴m 的值为2或－3. (2)由题意知直线l 1⊥l 2，∴(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1，将a＝±1代入方程，均满足题意.故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.第11页共11页。

必修2第三章直线与方程两条直线的交点坐标教案

3.3.1两条直线的交点坐标一、教学目标(一)知识教学点知道两条直线的相交、平行和重合三种位置关系,对应于相应的二元一次方程组有唯一解、无解和无穷多组解,会应用这种对应关系通过方程判断两直线的位置关系,以及由已知两直线的位置关系求它们方程的系数所应满足的条件.(二)能力训练点通过研究两直线的位置关系与它们对应方程组的解,培养学生的数形结合能力；通过对方程组解的讨论培养学生的分类思想；求出x后直接分析出y的表达式,培养学生的抽象思维能力与类比思维能力.(三)学科渗透点通过学习两直线的位置关系与它们所对应的方程组的解的对应关系,培养学生的转化思想.二、教材分析1.重点:两条直线的位置关系与它们所对应的方程组的解的个数的对应关系,本节是从交点个数为特征对两直线位置关系的进一步讨论.2.难点:对方程组系数中含有未知数的两直线的位置关系的讨论.3.疑点:当方程组中有一个未知数的系数为零时两直线位置关系的简要说明.三、活动设计分析、启发、诱导、讲练结合.四、教学过程(一)两直线交点与方程组解的关系设两直线的方程是l1: A1x+B1y+c1=0, l2: A2x+B2y+C2=0.如果两条直线相交,由于交点同时在两条直线上,交点的坐标一定是这两个方程的公共解；反之,如果这两个二元一次方程只有一个公共解,那么以这个解为坐标的点必是直线l1和l2的交点.因此,两条直线是否相交,就要看这两条直线的方程所组成的方程组是否有唯一解.(二)对方程组的解的讨论若A1、A2、B1、B2中有一个或两个为零,则两直线中至少有一条与坐标轴平行,很容易得到两直线的位置关系.下面设A1、A2、B1、B2全不为零.解这个方程组:(1)×B2得 A1B2x+B1B2y+B2C1=0,(3)(2)×B1得 A2B1x+B1B2y+B1C2=0.(4)(3)-(4)得(A1B2-A2B1)x+B2C1-B1C2=0.下面分两种情况讨论:将上面表达式中右边的A1、A2分别用B1、B2代入即可得上面得到y可把方程组写成即将x用y换,A1、A2分别与B1、B2对换后上面的方程组还原成原方程组.综上所述,方程组有唯一解:这时l1与l2相交,上面x和y的值就是交点的坐标.(2)当A1B2-A2B1=0时:①当B1C2-B2C1≠0时,这时C1、C2不能全为零(为什么？).设C2②如果B1C2-B2C1=0,这时C1、C2或全为零或全不为零(当C1、(三)统一通过解方程组研究两直线的位置关系与通过斜率研究两直线位置关系的结论说明:在平面几何中,我们研究两直线的位置关系时,不考虑两条直线重合的情况,而在解析几何中,由于两个不同的方程可以表示同一条直线,我们把重合也作为两直线的一种位置关系来研究.(四)例题例1 求下列两条直线的交点:l1:3x+4y-2=0, l2: 2x+y+2=0.解:解方程组∴l1与l2的交点是M(-2,2).例2已知下列各对直线的位置关系,如果相交,求出交点的坐标:(1)l: x-y=0, l: 3x+3y-10 ;(2)l: 3x-y+4=0 l: 6x-2y=0 ;(3)l: 3x+4y-5=0, l: 6x+8y-10=0解:(1)解方程组, 得所以,l与l相交,交点是M(, )(2)解方程组(1)×2-(2)得 9=0, 矛盾,方程组无解,所以量直线无公共点,l∥ l.(3)解方程组(1)×2得 6x+8y-10=0因此,(1)和(2)可以化成同一个方程,即(1)和(2)表示同一条直线,l与l重合(五)课堂练习:由学生完成,教师讲评课后小结(1)两直线的位置关系与它们对应的方程的解的个数的对应关系.(2)求两条直线交点的一般方法..五、布置作业1.教材第116页,习题3.3A组第1题六、板书设计1.判断下列各对直线的位置关系,如果相交,则求出交点的坐标:2. A和C取什么值时,直线Ax-2y-1=0和直线6x-4y+c=0(1)平行；(2)重合；(3)相交.解:(1)A=3,C≠-2；(2)A=3,C=-2；(3)A≠3.3.已知两条直线:l1:(3+m)x+4y=5-3m,l2:2x+(5+m)y=8.m为何值时,l1与l2:(1)相交；(2)平行；(3)重合.解:(1)m≠1且m≠-7；(2)m=-7；(3)m=-1.。

人教版高一数学必修二第三章直线与方程教案

教学课题人教版必修二第三章直线与方程一、知识框架3.1 直线的倾斜角与斜率1. 倾斜角与斜率（1）倾斜角（2）斜率定义当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．规定当直线l 与x 轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为︒0 记法 α图示范围0°≤α<180° 作用(1)用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度。

(2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可。

定义α≠90°一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率 α＝90° 斜率不存在③当直线l 1∥直线l 2时，可能它们的斜率都存在且相等，也可能斜率都不存在．④对于不重合的直线l 1，l 2，其倾斜角分别为α，β，有l 1∥l 2⇔α＝β.（2）垂直如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于-1；如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直．有12121-=⋅⇔⊥k k l l①当直线l 1⊥直线l 2时，可能它们的斜率都存在且乘积为定值－1，也可能一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0；②较大的倾斜角总是等于较小倾斜角与直角的和．3.2 直线的方程1. 直线的点斜式方程（1）直线的点斜式方程①定义：如下图所示，直线l 过定点P (x 0，y 0)，斜率为k ，则把方程)(00x x k y y -=-叫做直线l 的点斜式方程，简称点斜式．特别地，当倾斜角为︒0时，有0=k ，此时直线与x 轴平行或重合，方程为00=-y y 或者0y y =。

②说明：如下图所示，过定点P (x 0，y 0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为x －x 0＝0，或0x x =（2）直线的斜截式方程 ①定义：如下图所示，直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为(0，b )，则方程b kx y +=叫做直线l 的斜截式方程，简称斜截式．②说明：左端y 的系数恒为1，一条直线与y 轴的交点(0，b )的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的截距．倾斜角是︒90的直线没有斜截式方程．2. 直线的两点式方程（1）直线的两点式方程①定义：如图所示，直线l 经过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2，y 1≠y 2)，则方程y －y 1y 2－y 1＝121x x x x --叫做直线l 的两点式方程，简称两点式．②说明：与坐标轴垂直的直线没有两点式方程，当x 1＝x 2时，直线方程为x ＝x 1；当y 1＝y 2时，直线方程为y ＝y 1.（2）直线的截距式方程①定义：如图所示，直线l 与两坐标轴的交点分别是P 1(a,0)，P 2(0，b )(其中a ≠0，b ≠0)，则方程为1=+by a x 叫做直线l 的截距式方程，简称截距式．2. 利用三种直线方程求直线方程时，要注意这三种直线方程都有适用范围，利用它们都不能求出垂直于x 轴的直线方程。

【人教A版】高中数学必修二：第3章《直线与方程》导学案设计(含答案) 第三章 3.2.1

3.2.1直线的点斜式方程[学习目标] 1.掌握直线的点斜式方程和直线的斜截式方程.2.结合具体实例理解直线的方程和方程的直线概念及直线在y轴上的截距的含义.3.会根据斜截式方程判断两直线的位置关系.知识点一直线的点斜式方程思考直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？答不能.有斜率的直线才能写成点斜式方程，凡是垂直于x轴的直线，其方程都不能用点斜式表示.知识点二直线的斜截式方程1.直线l在坐标轴上的截距(1)直线在y轴上的截距：直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b.(2)直线在x轴上的截距：直线l与x轴的交点(a,0)的横坐标a.2.直线的斜截式方程思考直线在y轴上的截距和直线与y轴交点到原点的距离是一回事吗？答直线在y 轴上的截距是它与y 轴交点的纵坐标，截距是一个实数，可正、可负、可为0.当截距非负时，它等于直线与y 轴交点到原点的距离；当截距为负时，它等于直线与y 轴交点到原点距离的相反数.题型一直线的点斜式方程例1 求满足下列条件的直线的点斜式方程. (1)过点P (－4,3)，斜率k ＝－3； (2)过点P (3，－4)，且与x 轴平行； (3)过P (－2,3)，Q (5，－4)两点.解 (1)∵直线过点P (－4,3)，斜率k ＝－3，由直线方程的点斜式得直线方程为y －3＝－3(x ＋4).(2)与x 轴平行的直线，其斜率k ＝0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y －(－4)＝0×(x －3)，即y ＋4＝0.(3)过点P (－2,3)，Q (5，－4)的直线的斜率 k PQ ＝－4－35－(－2)＝－77＝－1.又∵直线过点P (－2,3).∴直线的点斜式方程为y －3＝－(x ＋2).反思与感悟 1.求直线的点斜式方程的步骤：定点(x 0，y 0)→定斜率k →写出方程y －y 0＝k (x －x 0).2.点斜式方程y －y 0＝k ·(x －x 0)可表示过点P (x 0，y 0)的所有直线，但x ＝x 0除外. 跟踪训练1 (1)过点(－1,2)，且倾斜角为135°的直线方程为 .(2)已知直线l 过点A (2,1)且与直线y －1＝4x －3垂直，则直线l 的方程为 . 答案 (1)x ＋y －1＝0 (2)x ＋4y －6＝0 解析 (1)k ＝tan 135°＝－1，由直线的点斜式方程得 y －2＝－(x ＋1)，即x ＋y －1＝0.(2)方程y －1＝4x －3可化为y －1＝4⎝⎛⎭⎫x －34，由点斜式方程知其斜率k ＝4.又因为l 与直线y －1＝4x －3垂直，所以直线l 的斜率为－14.又因为l 过点A (2,1)，所以直线l 的方程为y －1＝－14(x －2)，即x ＋4y －6＝0.题型二直线的斜截式方程例2 根据条件写出下列直线的斜截式方程. (1)斜率为2，在y 轴上的截距是5； (2)倾斜角为150°，在y 轴上的截距是－2；(3)倾斜角为60°，与y 轴的交点到坐标原点的距离为3. 解 (1)由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为y ＝2x ＋5.(2)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k ＝tan 150°＝－33. 由斜截式可得方程为y ＝－33x －2. (3)∵直线的倾斜角为60°，∴其斜率k ＝tan 60°＝3， ∵直线与y 轴的交点到原点的距离为3， ∴直线在y 轴上的截距b ＝3或b ＝－3. ∴所求直线方程为y ＝3x ＋3或y ＝3x －3.反思与感悟 1.本例(3)在求解过程中，常因混淆截距与距离的概念，而漏掉解“y ＝3x x －3”.2.截距是直线与x 轴(或y 轴)交点的横(或纵)坐标，它是个数值，可正、可负、可为零. 跟踪训练2 已知直线l 1的方程为y ＝－2x ＋3，l 2的方程为y ＝4x －2，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，求直线l 的斜截式方程. 解由斜截式方程，知直线l 1的斜率k 1＝－2，又因为l ∥l 1，所以l 的斜率k ＝k 1＝－2. 由题意，知l 2在y 轴上的截距为－2，所以l 在y 轴上的截距b ＝－2，由斜截式，得直线l 的方程为y ＝－2x －2. 题型三直线过定点问题例3 求证：不论m 为何值，直线l ：y ＝(m －1)x ＋2m ＋1总过第二象限. 证明方法一直线l 的方程可化为y －3＝(m －1)(x ＋2)， ∴直线l 过定点(－2,3)，由于点(－2,3)在第二象限，故直线l 总过第二象限. 方法二直线l 的方程可化为m (x ＋2)－(x ＋y －1)＝0.令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝0，x ＋y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3.∴无论m 取何值，直线l 总经过点(－2,3). ∵点(－2,3)在第二象限，∴直线l 总过第二象限.反思与感悟证明直线过定点的基本方法：方法一点斜式的应用，方法二代数方法处理恒成立问题的基本思想.跟踪训练3 已知直线y ＝(3－2k )x －6不经过第一象限，求k 的取值范围.解由题意知，需满足它在y 轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则⎩⎪⎨⎪⎧－6≤0，3－2k ≤0，得k ≥32. 所以，k 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫k ⎪⎪k ≥32.函数与方程思想例4 已知直线y ＝kx ＋b ，当－3≤x ≤4时，－8≤y ≤13.求此直线方程.分析利用直线y ＝kx ＋b 与一次函数的关系，并借助一次函数的图象和性质解题. 解记f (x )＝kx ＋b (k ≠0).当k ＞0时，f (x )在[－3,4]上单调递增，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (－3)＝－8，f (4)＝13，即⎩⎪⎨⎪⎧ －3k ＋b ＝－8，4k ＋b ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝3，b ＝1. 此时直线方程为y ＝3x ＋1.当k ＜0时，f (x )在[－3,4]上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (－3)＝13，f (4)＝－8，即⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋b ＝13，4k ＋b ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－3，b ＝4. 此时直线方程为y ＝－3x ＋4.综上所述，所求直线方程为y ＝3x ＋1或y ＝－3x ＋4.解后反思初中学习的一次函数y ＝kx ＋b 的图象是一条直线，其中常数k 是直线的斜率，常数b 是直线在y 轴上的截距，这恰是直线方程的斜截式，因此可以把直线方程转化为一次函数，利用函数的单调性求解.忽略点斜式使用范围致错例5 已知直线l 过点(1,2)和(a ，b )，求其方程.分析本题可利用点斜式求直线方程，注意对字母a 进行讨论. 解当a ＝1时，直线l 与x 轴垂直，直线l 的方程为x ＝1；当a ≠1时，斜率k ＝b －2a －1，由点斜式，得直线l 的方程为y －2＝b －2a －1(x －1).解后反思本题常见的错误是没有对a 进行分类讨论，而是直接利用斜率公式求斜率，然后套用点斜式写直线方程.在利用点斜式或斜截式求直线方程时，要注意直线方程的点斜式y －y 0＝k (x －x 0)的斜截式y ＝kx ＋b 都是在斜率k 存在的前提下才能使用的，要认真分析，避免漏解.1.已知直线l 的方程为2x －5y ＋10＝0，且在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则|a ＋b |等于( ) A.3 B.7 C.10 D.5 答案 A解析直线l 的方程为2x －5y ＋10＝0，令y ＝0，得a ＝－5，令x ＝0，得b ＝2，所以|a ＋b |＝|－5＋2|＝3.2.过点(－1,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( ) A.2x ＋y －1＝0 B.2x ＋y －5＝0 C.x ＋2y －5＝0 D.x －2y ＋7＝0答案 A解析所求直线与已知直线垂直，因此其斜率为－2，故方程为y －3＝－2(x ＋1)，即2x ＋y －1＝0.3.过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A.x －2y －1＝0 B.x －2y ＋1＝0 C.2x ＋y －2＝0 D.x ＋2y －1＝0 答案 A解析所求直线与已知直线平行，因此其斜率为12，故方程为y ＝12(x －1)，即x －2y －1＝0.4.直线(2m 2－m ＋3)x ＋(m 2＋2m )y ＝4m ＋1在x 轴上的截距为1，则m 的值是( ) A.2或12B.2或－12C.－2或－12D.－2或12答案 A解析令y ＝0，解得x ＝4m ＋12m 2－m ＋3.由已知得4m＋12m2－m＋3＝1，则4m＋1＝2m 2－m＋3，即2m2－5m＋2＝0.解得m＝2或12(符合题意).故选A.5.已知直线l的倾斜角是直线y＝x＋1的倾斜角的2倍，且过定点P(3,3)，则直线l的方程为.答案x＝3解析直线y＝x＋1的斜率为1，所以倾斜角为45°，又所求直线的倾斜角是已知直线倾斜角的2倍，所以所求直线的倾斜角为90°，其斜率不存在.又直线过定点P(3,3)，所以直线l 的方程为x＝3.1.建立点斜式方程的依据是：直线上任一点与这条直线上一个定点的连线的斜率相同，故有y－y1x－x1＝k，此式是不含点P1(x1，y1)的两条反向射线的方程，必须化为y－y1＝k(x－x1)才是整条直线的方程.当直线的斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x＝x1.2.斜截式方程可看作点斜式的特殊情况，表示过(0，b)点、斜率为k的直线y－b＝k(x－0)，即y＝kx＋b，其特征是方程等号的一端只是一个y，其系数是1；等号的另一端是x的一次式，而不一定是x的一次函数.如y＝c是直线的斜截式方程，而2y＝3x＋4不是直线的斜截式方程.一、选择题1.直线方程可表示成点斜式方程的条件是()A.直线的斜率存在B.直线的斜率不存在C.直线不过原点D.直线过原点答案A解析直线的点斜式方程中，斜率必须存在.2.直线y＝x－1的斜率和在y轴上的截距分别是()A.－1,1B.1,1C.－1，－1D.1，－1答案D解析直线y＝x－1为斜截式方程，其中斜率为1，在y轴上的截距为－1.3.斜率为4，经过点(2，－3)的直线方程是()A.y＋3＝4(x－2)B.y－3＝4(x－2)C.y－3＝4(x＋2)D.y＋3＝4(x＋2)答案 A解析由直线的点斜式方程，知所求直线方程为y ＋3＝4(x －2).4.已知直线方程y －3＝3(x －4)，则这条直线经过的定点和倾斜角分别是( ) A.(4,3)，60° B.(－3，－4)，30° C.(4,3)，30° D.(－4，－3)，60°答案 A解析 y －3＝3(x －4)，得直线过定点(4,3).因为斜率k ＝3，所以倾斜角为60°. 5.与直线y ＝2x ＋1垂直，且在y 轴上的截距为4的直线的斜截式方程是( ) A.y ＝12x ＋4B.y ＝2x ＋4C.y ＝－2x ＋4D.y ＝－12x ＋4答案 D解析 ∵直线y ＝2x ＋1的斜率为2， ∴与其垂直的直线的斜率是－12，∴直线的斜截式方程为y ＝－12x ＋4，故选D.6.若经过原点的直线l 与直线y ＝33x ＋1的夹角为30°，则直线l 的倾斜角是( ) A.0° B.60° C.0°或60° D.60°或90° 答案 C7.方程y ＝ax ＋1a表示的直线可能是图中的( )答案 B解析直线y ＝ax ＋1a 的斜率是a ，在y 轴上的截距1a .当a >0时，斜率a >0，在y 轴上的截距1a >0，则直线y ＝ax ＋1a 过第一、二、三象限，四个选项都不符合；当a <0时，斜率a <0，在y 轴上的截距1a <0，则直线y ＝ax ＋1a 过第二、三、四象限，仅有选项B 符合.故正确答案为B.二、填空题8.直线y ＝kx ＋2(k ∈R )不过第三象限，则斜率k 的取值范围是 . 答案 (－∞，0]解析当k ＝0时，直线y ＝2不过第三象限；当k >0时，直线过第三象限；当k <0时，直线不过第三象限.9.和直线y ＝－34x ＋74垂直，且经过点(－2,0)的直线方程是 .答案 y ＝43x ＋83解析因为y ＝－34x ＋74的斜率为－34，所以与其垂直的直线的斜率为43.故所求直线方程为y＝43(x ＋2)，即y ＝43x ＋83. 10.设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是 . 答案 [－2,2]解析 b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时b 分别取得最小值和最大值.∴b 的取值范围是[－2,2].11.已知直线y ＝12x x ＋k 与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k 的取值范围是 .答案 k ≥1或k ≤－1解析令y ＝0，则x ＝－2k .令x ＝0，则y ＝k ，则直线与两坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12|k |·|－2k |＝k 2. 由题意知，三角形的面积不小于1，可得k 2≥1，所以k 的取值范围是k ≥1或k ≤－1. 三、解答题12.是否存在过点(－5，－4)的直线l ，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5? 解假设存在过点(－5，－4)的直线l ，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5. 由题意可知直线l 的斜率一定存在且不为零，设直线的斜率为k (k ≠0)，则直线方程为y ＋4＝k (x ＋5)，则分别令y ＝0，x ＝0，可得直线l 与x 轴的交点为(－5k ＋4k ，0)，与y 轴的交点为(0,5k －4).因为直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为5，所以12|－5k ＋4k|·|5k －4|＝5，所以－5k ＋4k·(5k －4)＝±10，即25k 2－30k ＋16＝0(无解)或25k 2－50k ＋16＝0，所以k ＝85或k ＝25，所以存在直线l 满足题意，直线l 的方程为y ＋4＝85(x ＋5)或y ＋4＝25(x ＋5)，即8x －5y ＋20＝0或2x －5y －10＝0.13.已知直线l ：y ＝kx ＋2k ＋1. (1)求证：直线l 恒过一个定点；(2)当－3<x <3时，直线上的点都在x 轴上方，求实数k 的取值范围. (1)证明由y ＝kx ＋2k ＋1，得y －1＝k (x ＋2). 由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(－2,1).(2)解设函数f (x )＝kx ＋2k ＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)，若使当－3<x <3时，直线上的点都在x 轴上方，需满足⎩⎪⎨⎪⎧f (－3)≥0，f (3)≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋2k ＋1≥0，3k ＋2k ＋1≥0. 解得－15≤k ≤1.所以，实数k 的取值范围是－15≤k ≤1.。

人教版高中数学必修2第三章直线与方程-《3.1.2两条直线平行与垂直的判定》教案

3.1.2 两条直线平行与垂直的判定整体设计教学分析直线的平行和垂直是两条直线的重要位置关系，它们的判定，又都是由相应的斜率之间的关系来确定的，并且研究讨论的手段和方法也相类似，因此，在教学时采用对比方法，以便弄清平行与垂直之间的联系与区别.值得注意的是，当两条直线中有一条不存在斜率时，容易得到两条直线垂直的充要条件，这也值得略加说明.三维目标1.掌握两条直线平行的充要条件，并会判断两条直线是否平行.掌握两条直线垂直的充要条件，并会判断两条直线是否垂直.培养和提高学生联系、对应、转化等辩证思维能力.2.通过教学，提倡学生用旧知识解决新问题，注意解析几何思想方法的渗透，同时注意思考要严密，表述要规范，培养学生探索、概括能力.重点难点教学重点:掌握两条直线平行、垂直的充要条件，并会判断两条直线是否平行、垂直.教学难点:是斜率不存在时两直线垂直情况的讨论（公式适用的前提条件）.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.设问（1)平面内不重合的两条直线的位置关系有哪几种？(2)两条直线的倾斜角相等，这两条直线是否平行？反过来是否成立？(3)“α=β”是“tanα=tanβ”的什么条件？根据倾斜角和斜率的关系,能否利用斜率来判定两条直线平行呢?思路2.上节课我们学习的是什么知识？想一想倾斜角具备什么条件时两条直线会平行、垂直呢?你认为能否用斜率来判断.这节课我们就来专门来研究这个问题.推进新课新知探究提出问题①平面内不重合的两条直线的位置关系有几种？②两条直线的倾斜角相等，这两条直线是否平行？反过来是否成立？③“α=β”是“tanα=tanβ”的什么条件？④两条直线的斜率相等，这两条直线是否平行？反过来是否成立？⑤l 1∥l 2时，k 1与k 2满足什么关系？⑥l 1⊥l 2时，k 1与k 2满足什么关系？活动:①教师引导得出平面内不重合的两条直线的位置关系有平行和相交，其中垂直是相交的特例.②数形结合容易得出结论.③注意到倾斜角是90°的直线没有斜率,即tan90°不存在.④注意到倾斜角是90°的直线没有斜率.⑤必要性：如果l 1∥l 2，如图1所示，它们的倾斜角相等,即α1=α2，tanα1=tanα2,即k 1=k 2.图1充分性：如果k 1=k 2,即tanα1=tanα2,∵0°≤α1＜180°，0°≤α2＜180°，∴α1=α2.于是l 1∥l 2.⑥学生讨论，采取类比方法得出两条直线垂直的充要条件.讨论结果：①平面内不重合的两条直线的位置关系有平行和相交，其中垂直是相交的特例. ②两条直线的倾斜角相等，这两条直线平行，反过来成立.③“α=β”是“tanα=tanβ”的充要条件.④两条直线的斜率相等，这两条直线平行，反过来成立.⑤l 1∥l 2⇔k 1=k 2.⑥l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1.应用示例例1 已知A （2，3），B （－4，0），P （－3，１），Q （－1，2），判断直线BA 与P Ｑ的位置关系，并证明你的结论.解:直线BA 的斜率k BA =)4(203---=0.5,直线PQ 的斜率k PQ =)3(112----=0.5, 因为k BA =k PQ .所以直线BA ∥PQ.变式训练若A(-2,3),B(3,-2),C(21,m)三点共线，则m 的值为( ) A.21 B.-21 C.-2 D.2 分析：k AB =k BC ,32122332-+=+--m ,m=21. 答案：A例2 已知四边形ABCD 的四个顶点分别为A （0，0），B （2，-1），C(4,2),D(2,3),试判断四边形ABCD 的形状，并给出证明.解：AB 边所在直线的斜率k AB =-21, CD 边所在直线的斜率k CD =-21, BC 边所在直线的斜率k BC =23, DA 边所在直线的斜率k DA =23. 因为k AB =k CD ,k BC =k DA ,所以AB ∥CD,BC ∥DA.因此四边形ABCD 是平行四边形.变式训练直线l 1：ax+3y+1=0，l 2：x+(a-2)y+a=0，它们的倾斜角及斜率依次分别为α1，α2，k 1，k 2.（1）a=_____________时，α1=150°；（2）a=_____________时，l 2⊥x 轴；（3）a=_____________时，l 1∥l 2；（4）a=_____________时，l 1、l 2重合；（5）a=_____________时，l 1⊥l 2.答案：（1）3 （2）2 （3）3 （4）-1 （5）1.5知能训练习题3.1 A 组6、7.拓展提升问题：已知P （－3，2），Q （3，4）及直线ax+y+3=0.若此直线分别与PQ 的延长线、QP 的延长线相交，试分别求出a 的取值范围.（图2）图2解：直线l ：ax+y+3=0是过定点A （0，-3）的直线系，斜率为参变数-a ，易知PQ 、AQ 、AP 、l 的斜率分别为：k PQ =31，k AQ =37，k AP =35 ，k 1=-a. 若l 与PQ 延长线相交，由图,可知k PQ ＜k 1＜k AQ ，解得-37＜a ＜-31；若l 与PQ 相交，则k 1＞k AQ 或k 1＜k AP ，解得a ＜-37或a ＞35；若l 与QP 的延长线相交，则k PQ ＞k 1＞k AP ，解得-31＜a ＜35. 课堂小结通过本节学习，要求大家：1.掌握两条直线平行的充要条件，并会判断两条直线是否平行.2.掌握两条直线垂直的充要条件，并会判断两条直线是否垂直.3.注意解析几何思想方法的渗透，同时注意思考要严密，表述要规范，培养学生探索、概括能力.4.认识事物之间的相互联系，用联系的观点看问题.作业习题3.1 A 组4、5.。

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§3.2.3 直线的一般式方程高一（）班：姓名：学号：学习目标：1. 明确直线方程一般式的形式特征；2. 会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式.学习重点：直线方程的一般式学习难点：对直线方程一般式的理解与应用. 学习过程：一、预习1.质疑（1）：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于y x ,的二元一次方程表示吗？2.质疑（2）任意一个关于y x ,的二元一次方程0=++C By Ax （B A ,不同时为0）线吗？交流展示②：对于任意一个二元一次方程0=++C By Ax （B A ,不同时为0）当：１．直线方程的一般式方程定义：关于y x ,的二元一次方程，它都表示____________.我们把y x ,的二元一次方程（其中B A ,不同时为0）叫做直线的_______式方程，简称_______式.２．探究并交流展示③：一般式方程0=++C By Ax （B A ,不同时为0）表示特殊的直线时，系数C B A ,,的值应怎样？试一试1 根据下列条件，写出直线的方程，并把它化成一般式：（1）经过点)2,8(-A ，斜率是21-；（2）经过点)2,4(B ，平行于x 轴；（3）经过点)4,5(),2,3(21--P P ；（4）在x 轴、y 轴上的截距分别是23，-3.试一试2 把直线l 的一般式方程062=+-y x .化成斜截式，求出直线l 的斜率以及它在x 轴与y 轴上的截距，并画出图形.能力提高1 已知直线:l 0355=+--a y ax .（1）求证：不论a 为何值.直线l 总经过第一象限；（2）为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围.四、基础训练1.求满足下列条件的直线的方程：（1）经过点)2,3(A ，且与直线024=-+y x 平行；（2）经过点)3,2(-C ，且平行于过点)2,1(M 和)5,-1(-N 的直线；（3）经过点)0,3(B ，且与直线052=-+y x 垂直.x2.选择填空题（1）若直线04)9()35(222=+----y m x m m 的倾斜角为45度，则m 的值是（）（A ）3 （B ） 2 （C ）-2 （D ）2与3 （2）直线Ax+By+C=0通过第一、二、三象限，则（）(A) A ·B>0,A ·C>0 (B) A ·B>0,A ·C<0 (C) A ·B<0,A ·C>0 (D) A ·B<0,A ·C<0 （3）若直线(m+2)x+(2-m)y=2m 在x 轴上的截距为3，则m 的值是________ 3．直线l 在y 轴上的截距为2，且与直线023:1=-+y x l 平行，求l 的直线方程.4．一根铁棒在C o40时长m 506.12，在C o80时长m 512.12.已知长度)(m l 与温度)(C t o 的关系可以用直线方程来表示，试用两点式表示这个方程；并根据方程，求铁棒在C o100时的长度.5．已知直线1l ：x-a y-1=0和2l :2a x+y+2=0，若1l ⊥2l ，求a 的值.六、拓展与提高6．选择题（1）设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且│PA │=│PB │，若直线PA 的方程为x-y+1=0，则直线PB 的方程是 ( ) A.2y-x-4=0 B.2x-y -1=0 C.x+y-5=0 D.2x+y-7=0（2）已知点),(b a P 与点)1,1(-+a b Q 关于直线l 对称，则直线l 的方程为（）02.=--y x A 02.=+-y x B 03.=+-y x C 01.=--y x D7．已知直线023)2(:,06:21=++-=++m y x m l my x l ，当直线21//l l 时，求m 的取值范围.8．已知直线21,l l 的方程分别是111111,(0:B A C y B x A l =++不同时为0），0:2222=++C y B x A l 22,(B A 不同时为0），且02121=+B B A A ，求证：21l l ⊥.七、纠错﹒归纳﹒整理1. 在前面的练习中进行纠错（特别是拓展与提高中的第7、8题）；2.§3.3.1 两条直线的交点高一（）班：姓名：学号：学习目标：1. 理解两条直线的交点坐标就是它们的方程组成的二元一次方程组的唯一解，会求两条相交直线的交点坐标2．掌握直线坐标平面内两条直线的三种位置关系，并会用相应方程组解的情况作出判断。

学习重点：根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点. 学习难点：对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解学习过程：一、回顾 1.回顾：（1）在平面内两条直线如果没有交点，则两直线_______；如果只有一个交点，则两直线_______；如果有无数交点，则两直线_______.（2）前面我们已经学习过了，任一条直线可以用_________________方程来表示.2.质疑：如果已知两条直线0:,0:22221111=++=++C y Bx A l C y B x A l 相交，如何求这两条直线的交点？二、探索新知1.预习：预习教材P102至P103的例题1以前的内容.2.交流展示①：（1）．先从点与直线的位置关系入手，填写右表：（2）一般地解由1l 与2l 组成的方程组：⎩⎨⎧=++=++.0,0222111C y B x A C B x A 若方程组有_______解,两条直线_______，此解就是交点的______；若方程组有_______解,两条直线_______，此时两条直线______；若方程组有_______解,两条直线_______，此时两条直线3．应用巩固问题1 求两直线的022:,02-43:21=++=+y x l y x l .试一试1：判断下列各对直线的位置关系。

如果相交，求出交点坐标.（1）01033:,0:21=-+=-y x l y x l ；（2）026:,03:21=-=-y x l y x l（3）01086:,05-43:21=-+=+y x l y x l .4.小组探究交流展示②：当λ变化时，方程 3x+4y-2+λ（2x+y+2）=0表示什么图形？图形有何特点？5．归纳整理：已知两条直线0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 相交，则直线)(0)(222111R C y B x A C y B x A ∈=+++++λλ表示过1l 与2l _________________.（是可以证明的，有兴趣的同学课后可以证明）三、综合应用巩固：能力提高1：求经过两直线2x-3y+10=0与3x+4y-2=0的交点，且和直线3x-2y+4=0四、基础训练3．已知两条直线8)5(2:,354)(3:21=++-=++y m x l m y x m l .当m 为何值时，1l 与2l ：（1）相交；（2）平行；（3）垂直.4．三条直线1034,082=+=++y x y ax 与02=-y x 相交于一点，求a 的值.六、拓展与提高6．无论k 为何值，直线(k+2)x+(1-k)y-4k-5=0都过一个定点，则定点坐标为( )7. 已知ABC ∆的顶点)1,5(A ，AB 边上的中线CM 所在直线方程为052=--y x ，AC 边上的高DH 所在直线为052=--y x .求：（1）顶点C 的坐标；（2）直线BC 的方程.8．三条直线1l :ax+y+1=0,2l :x+ay+1=0,3l :x+y+a=0构成三角形的条件是什么？七、纠错﹒归纳﹒整理1.在前面的练习中进行纠错；2.3.§3.3.2 两点间的距离高一（）班：姓名：学号：学习目标：1. 会推导坐标平面内两点间的距离公式；2．会用两点间的距离公式求任意两点间的距离和解决相关的问题. 学习重点：用两点间的距离公式求任意两点间的距离和解决相关的问题. 学习难点：两点间的距离公式的推导. 学习过程：一、回顾、预习1. 回顾：怎样求数轴上两点间的距离？已知数轴上两点A 、B 的坐标为,,21x x 则=AB 。

2.质疑：已知平面上两点),(),,(222111y x P y x P ，如何求21,P P 的距离21P P ？ 3．预习：教材P104页至P105例题3以前的内容. 二、探索新知：两点间的距离公式推导 1．两点间的距离公式推导交流展示①：两点间的距离公式：=21P P ．特别地，原点)0,0(O 与任一点),(y x P 的距离为：=OP ．三、应用巩固１．简单应用问题试一试1：已知点)5,(-a A 与)10,0(B 间的距离是17，求a 的值.四、综合应用巩固１．判断三角形形状能力提高1 已知ABC ∆中，)7,1(),3,3(),1,3(C B A --，试判断ABC ∆的形状。

２．证明简单几何问题能力提高1 证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。

归纳整理：用“坐标法”证明相关的几何问题的基本步骤可以概括形吗？为什么？2. 已知点),1,1(),3,2(),2,(M Q a P --且PM PQ =，求a 的值.3．（1）求在x 轴上与点)12,5(A 的距离为13的点的坐标；（2）已知P 的横坐标是7，点P 与点)5,1(-N 间的距离等于10，求点P 的坐标.4．在直线01-3:=+y x l 上求一点P ，使点P 到两点)0,2(),1,1(B A -的距离相等.5．证明：直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等六、拓展与提高6．在直线x-3y-2=0上求两点，使它与（-2，2）构成一个等边三角形。

7．求证：圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则连接对角线交点与一边中点的线段长等于圆心到该边对边的中点的距离.七、纠错﹒归纳﹒整理1.在前面的练习中进行纠错；2.归纳本节课学习了那些内容：3.整理本节课的学习的一些公式：§3.3.3 点到直线的距离、§3.3.4 两条平行直线的距离高一（）班：姓名：学号：学习目标：1. 理解点到直线距离公式的推导；2．熟练掌握点到直线的距离公式和两平行直线间的距离公式.学习重点：点到直线的距离公式.学习难点：点到直线距离公式的推导.学习过程：一、回顾、1.回顾：什么叫做点到直线的距离？2.质疑：如右图，已知点),(000y x P ，直线0:=++C By Ax l ，如何求点0P 的距离？二、探索新知：1. 点到直线的距离（1）预习教材P106至P107例题4以前的内容.（2）点到直线的距离公式：（3）简单应用巩固：试一试1：求点P （-1，2）到直线 3x=2的距离.解法一：解法二：问题1：已知点A （1，3），B （3，1），C （-1，0），求三角形ABC 的面积.２．两条平行直线间的距离（1）回顾：什么叫做两条平行线间的距离？两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间线段的长.（2）探索推导并交流展示：两条平行直线间的距离公式已知两条平行线直线方程为01=++C By Ax 与02=++C By Ax（3）简单应用问题2：已知直线1l ：0872=--y x ，2l ：01216=--y x 的方程，1l 与2l求1l 与2l 间的距离.三、基础训练3．4．求两条平行直线01243=-+y x 与0118a =++y x 间的距离.5．在x 轴上求一点P ，使以点)4,3(),2,1(B A 和P 为顶点的三角形的面积为10.6．求平行于直线02-=-y x ，且与它的距离为22的直线的方程.六、拓展与提高7．已知点)3,6(),4,3(B A --到直线01:=++y ax l 的距离相等，求a 的值.8．已知两条平行直线0623=-+y x 与0346=-+y x ，求与它们等距离的平行线的方程.9．已知一直线被两平行线3x+4y-7=0与3x+4y+8=0所截线段长为3。