2016届高考数学(理)一轮复习单元检测第7单元三角恒等变换(解析版)
山东高考数学一轮总复习教学案设计参考-简单三角恒等变换含答案解析
Word File山东高考数学一轮总复习教学案设计参考-简单三角恒等变换含答案解析撰写人：XXX第 2 课时简单的三角恒等变换题型一三角函数式的化简 1.化简tanα＋1tan π4 ＋α2＝( ) A.cosα B．sinα C.1cosα D.1sinα 答案 C 解析原式＝2tan α21－tan 2 α2＋1－tan α21＋tan α2 ＝2tan α2 ＋1－tan α221－ta n 2 α2＝1＋tan 2 α21－tan 2 α2 ＝cos 2 α2 ＋sin2 α2cos 2 α2 －sin2 α2＝1co sα . 2.化简：1＋sinθ＋cosθsin θ2 －cosθ22＋2cosθ(00，∴ 2＋2cosθ＝4cos 2 θ2 ＝2cosθ2 . 又(1＋sinθ＋cosθ) sin θ2 －cosθ2 ＝2sin θ2 cosθ2 ＋2cos2 θ2 sin θ2 －cosθ2 ＝2cos θ2sin 2 θ2 －cos2 θ2＝－2cos θ2 cosθ，故原式＝－2cos θ2 cosθ2cos θ2＝－cosθ. 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则 2.三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次. 1. 2＋2cos8＋2 1－sin8的化简结果为________．答案－2sin4 解析原式＝ 4cos 2 4＋2 sin4－cos4 2 ＝2|cos4|＋2|sin4－cos4|，因为5π40，θ∈ 0，π2，所以 02)的两根分别为tanα，tanβ，且α，β∈－π2 ，π2，则α＋β＝________. 答案－3π4 解析由根与系数的关系且 a>2 得，tanα＋tanβ＝－3a0.所以tanα0)在区间－π4 ，3π4上是增函数，且在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，则ω 的取值范围是( ) A.12 ，23 B. 13 ，23 C.13 ，23 D. 12 ，23 答案 D 解析 f(x)＝2sinωx ·1－cos ωx＋π22－sin 2 ωx＝sinωx(1＋sinωx)－sin 2 ωx＝sinωx. 所以区间－π2ω ，π2ω(ω>0)是函数 f(x)含原点的递增区间．又因为函数 f(x)在－π4 ，3π4上单调递增，所以－π4 ，3π4⊆－π2ω ，π2ω，所以－π2ω ≤－π4 ，π2ω ≥3π4，又ω>0，所以 00)个单位长度，平移后的图象关于 y 轴对称，则 a 的值可能为( ) A. π6 B. π3 C. π2 D. 2π3 答案 B 解析 f(x)＝2 3sinx·cosx－2cos 2 x＋1＝3sin2x－cos2x＝2sin 2x－π6.将其图象向左平移 a 个单位长度，所得图象对应的解析式为 y＝2sin 2x＋a－π6＝2sin 2x＋2a－π6，因为平移后的图象关于 y 轴对称，所以2a－π6 ＝kπ＋π2 ，k∈Z.即a＝kπ2＋π3 ，k∈Z.当 k＝0 时，a＝π3 . 2.(2020·石家庄模拟)设函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ) ω>0，|φ|b>c B．b>a>c C.c>a>b D．a>c>b 答案 D 解析 a＝cos50°cos127°＋cos40°cos37°＝cos50°cos127°＋sin50°sin127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos77°＝si n13°. b＝22(sin56°－cos56°)＝22sin56°－22cos56°＝sin(56°－45°)＝sin11°.c＝1－tan 2 39°1＋tan2 39°＝1－sin2 39°cos 2 39°1＋sin2 39°cos 2 39°＝cos 2 39°－sin 2 39°＝cos78°＝sin12°.因为函数y＝sinx，x∈0，π2为增函数．所以sin13°>sin12°>sin11°，即a>c>b. 2.化简cos 2 x－π12＋sin 2 x＋π12＝( ) A.1＋ 12 cos2x B．1＋ 12 sin2x C.1＋cos2x D．1＋sin2x答案 B 解析原式＝1＋cos 2x－π62＋1－cos 2x＋π62＝1＋ 12cos 2x －π6－cos 2x＋π6＝1＋12 ·2sin2xsinπ6 ＝1＋12 sin2x. 3.(2020·湖北重点中学联考)已知 A(x A ，y A )是单位圆(圆心在坐标原点 O)上任意一点，将射线 OA 绕 O 点逆时针旋转30°到 OB，交单位圆于点 B(x B ，y B )，则 x A －y B 的最大值为( ) A. 2 B.32 C．1 D. 12 答案 C 解析设 x 轴正方向逆时针转到射线 OA 的角为α，根据三角函数定义 x A ＝cosα，y B ＝sin(α＋30°)，所以 x A －y B ＝cosα－sin(α＋30°)＝－32sinα＋12 cosα＝sin(α＋150°)，故其最大值为 1.故选 C. 4.(2020·济南一模)公元前 6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin18°.若 m 2 ＋n＝4，则m n2cos 2 27°－1 ＝( ) A.8 B．4 C．2 D．1 答案 C 解析由题意得 n ＝4－m 2 ＝4－4sin 2 18°＝4cos 2 18°，则m n2cos 2 27°－1 ＝2sin18° 4cos 2 18°cos54°＝2sin18°×2cos18°cos54°＝2sin36°sin36° ＝2，故选 C. 5.已知α 为第四象限角，sinα＋cosα＝ 15 ，则tanα2 的值为( ) A.－ 12 B. 12C．－ 13 D. 13 答案 C 解析将sinα＋cosα＝ 15 的等号两边同时平方，得 1＋2sinαcosα＝125 ，得2sinαcosα＝－2425 ，所以(sinα－cosα)2 ＝1－2sinαcosα＝ 4925 .因为α 为第四象限角，所以sinα0，所以sinα－cosα＝－ 75 ，结合sinα＋cosα＝15 ，解得sinα＝－35 ，cosα＝ 45 .所以 tanα2 ＝sin α2cos α2＝2sin α2 cosα22cos 2 α2＝sinα1＋cosα ＝－13 .故选C. 6.(2021·福州外国语学校适应性考试)已知 A，B 均为钝角，sin 2 A2 ＋cos A＋π3＝5－ 1510，且 sinB ＝1010，则 A＋B＝( ) A. 3π4 B.5π4 C. 7π4 D. 7π6 答案 C 解析因为 sin 2 A2 ＋cos A＋π3＝ 1－cosA2＋ 12 cosA－32sinA＝ 12 －32sinA＝5－ 1510，所以 sinA＝55，因为 A，B 均为钝角，所以 A＋B∈(π，2π)，由 sinA＝55得 cosA ＝－ 2 55，由 sinB＝1010得 cosB＝－ 3 1010，所以 cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝22，所以 A＋B＝7π4. 7.(2020·洛阳三模)函数 y＝log 12sin2xcos π4 －cos2x·sinπ4的单调递减区间是( ) A. kπ＋π8 ，kπ＋5π8，k∈ZB. kπ＋π8 ，kπ＋3π8，k∈ZC. kπ－π8 ，kπ＋3π8，k∈ZD.kπ＋3π8，kπ＋5π8，k∈Z 答案 B 解析 y＝log 12sin2xcos π4 －cos2xsinπ4 ＝log 12 sin2x－π4.令 t＝sin 2x－π4，则 y ＝log 12 t.因为 y＝log12 t 在(0，＋∞)上是减函数，所以要求函数 y＝log 12 sin 2x－π4的单调递减区间，只要求出 t＝sin 2x－π4的单调递增区间，同时注意 t＝sin 2x－π4>0.由2kπ0，∴2sinα＝3cosα，又sin 2 α＋cos 2 α＝1，∴cosα＝213 ，sinα＝313 ，∴sin α＋π4sin2α＋cos2α＋1 ＝22sinα＋cosαsinα＋cosα 2 ＋cos 2 α－sin 2 α＝24cosα ＝268. 5.设函数 f(x)＝22cos 2x＋π4＋sin 2 x. (1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)设函数 g(x)对任意x∈R，有 g x＋π2＝g(x)，且当x∈ 0，π2时，g(x)＝ 12 －f(x)．求函数 g(x)在[－π，0]上的解析式．解 (1)函数f(x)＝22cos 2x＋π4＋sin 2 x ＝22 cos2xcos π4 －sin2xsinπ4＋sin 2 x ＝ 12 cos2x －12 sin2x＋12 －12 cos2x＝12 －12 sin2x，所以函数 f(x)的最小正周期 T＝2π2＝π. (2)当x∈ 0，π2时，g(x)＝ 12 －f(x)，即 g(x)＝ 12 －12 －12 sin2x ＝12 sin2x. 当x∈ －π2 ，0 时，x＋π2 ∈ 0，π2，因为 g x＋π2＝g(x)，所以 g(x)＝g x＋π2＝ 12 sin 2 x＋π2 ＝－ 12 sin2x. 当x∈ －π，－π2时，x＋π∈ 0，π2，可得 g(x)＝g(x＋π)＝ 12 sin[2(x＋π)]＝12 sin2x. 所以函数 g(x)在[－π，0]上的解析式为g(x)＝－ 12 sin2x －π2 <x≤0 ，12 sin2x －π≤x≤－π2.山东高考数学一轮总复习教学案设计参考-直接证明与间接证明含答案解析中考化学《第十一单元,盐,化肥》巩固复习题精编（含详细答案解析）中考化学《第一单元,走进化学世界》巩固复习题精编（含详细答案解析）中考化学《第三单元,物质构成奥秘》巩固复习题精编（含详细答案解析）最新人教版三年级数学上册第一学期期末总复习教案教学设计全册Best work give best you最好的资料给最好的你。
2016届(新课标)高考数学(理)一轮复习课时跟踪检测23简单的三角恒等变换
课时跟踪检测(二十三) 简单的三角恒等变换(分A 、B 卷，共2页) A 卷：夯基保分一、选择题1．(2015·洛阳统考)已知sin 2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A ．－13B ．－23C.13D.232．(2015·青岛二模)设tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝14，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A ．－2 B ．2 C ．－4D ．43．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，若它的终边经过点P (2,3)，则tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝( ) A ．－125B.512C.177D ．－7174．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( ) A.118 B ．－118C.1718D ．－17185．cos π9·cos 2π9·cos ⎝⎛⎭⎫－23π9＝( ) A ．－18B ．－116C.116D.186．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc .若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β等于( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π3 二、填空题7．(2014·山东高考)函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________． 8．若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________. 9.tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α的值为________．10.3tan 12°－3(4cos 212°－2)sin 12°＝________. 三、解答题11．已知函数f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ，x ∈R . (1)求f ⎝⎛⎭⎫π6的值；(2)若sin α＝35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求f ⎝⎛⎭⎫α2＋π24.12．已知，0<α<π2<β<π，cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝13，sin(α＋β)＝45. (1)求sin 2β的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值．B 卷：增分提能1．已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210.(1)求sin α的值； (2)求β的值．2．已知向量a ＝(sin ωx ，cos ωx )，b ＝(cos φ，sin φ)，函数f (x )＝a ·b ⎝⎛⎭⎫ω＞0，π3＜φ＜π的最小正周期为2π，其图象经过点M ⎝⎛⎭⎫π6，32.(1)求函数f (x )的解析式；(2)已知α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且f (α)＝35，f (β)＝1213，求f (2α－β)的值．3．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P (－3，3)． (1)求sin 2α－tan α的值；(2)若函数f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α，求函数g (x )＝3f ⎝⎛⎭⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的取值范围．答案A 卷：夯基保分1．选D ∵cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α－π22＝1＋sin 2α2，∴cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝23. 2．选C 因为tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝14，所以tan α＝53，故tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝－4.故选C.3．选D 依题意，角α的终边经过点P (2,3)， 则tan α＝32，tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－125， 于是tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝1＋tan 2α1－tan 2α＝－717. 4．选D cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－α ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α 代入原式，得6sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α， ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝16， ∴sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1＝－1718. 5．选A cos π9·cos 2π9·cos ⎝⎛⎭⎫－23π9 ＝cos 20°·cos 40°·cos 100° ＝－cos 20°·cos 40°·cos 80° ＝－sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°sin 20°＝－12sin 40°·cos 40°·cos 80°sin 20°＝－14sin 80°·cos 80°sin 20°＝－18sin 160°sin 20°＝－18sin 20°sin 20°＝－18.6．选D 依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314，又0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，故cos(α－β)＝1－sin 2α－β＝1314，而cos α＝17，∴sin α＝437，于是sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝437×1314－17×3314＝32. 故β＝π3.7．解析：y ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12，所以其最小正周期为2π2＝π. 答案：π8．解析：由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4， 可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3.又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π3.答案：π39．解析：原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos 2αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝cos 2αcos 2α＝1. 答案：110．解析：原式＝3·sin 12°cos 12°－32(2cos 212°－1)sin 12°＝23⎝⎛⎭⎫12sin 12°－32cos 12°cos 12°2cos 24°sin 12°＝23sin (－48°)2cos 24°sin 12°cos 12°＝－23sin 48°sin 24°cos 24°＝－23sin 48°12sin 48°＝－4 3.答案：－4 311．解：(1)f ⎝⎛⎭⎫π6＝cos 2π6＋sin π6cos π6＝⎝⎛⎭⎫322＋12×32＝3＋34. (2)因为f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ＝1＋cos 2x 2＋12sin 2x＝12＋12(sin 2x ＋cos 2x ) ＝12＋22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 所以f ⎝⎛⎭⎫α2＋π24＝12＋22sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＋π4 ＝12＋22sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝12＋22sin ⎝⎛⎭⎫12sin α＋32cos α. 又因为 sin α＝35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以cos α＝－45，所以f ⎝⎛⎭⎫α2＋π24＝12＋22⎝⎛⎭⎫12×35－32×45 ＝10＋32－4620.12．解：(1)法一：∵cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝cos π4cos β＋sin π4sin β ＝22cos β＋22sin β＝13， ∴cos β＋sin β＝23，∴1＋sin 2β＝29，∴sin 2β＝－79. 法二：sin 2β＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2β＝2cos 2⎝⎛⎭⎫β－π4－1＝－79. (2)∵0<α<π2<β<π，∴π4<β－π4<34π，π2<α＋β<3π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫β－π4>0，cos(α＋β)<0. ∵cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝13，sin(α＋β)＝45， ∴sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝223，cos(α＋β)＝－35. ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝cos(α＋β)·cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝－35×13＋45×223＝82－315.B 卷：增分提能 1．解：(1)∵tan α2＝12，∴tan α＝2tanα21－tan 2α2＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43，由⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝43，sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝45⎝⎛⎭⎫sin α＝－45舍去. (2)由(1)知cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35，又0<α<π2<β<π，∴β－α∈(0，π)，而cos(β－α)＝210， ∴sin(β－α)＝1－cos 2(β－α)＝ 1－⎝⎛⎭⎫2102＝7210， 于是sin β＝sin[α＋(β－α)] ＝sin αcos(β－α)＋cos αsin(β－α) ＝45×210＋35×7210＝22. 又β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴β＝3π4. 2．解：(1)依题意有f (x )＝a·b ＝sin ωx cos φ＋cos ωx sin φ＝sin(ωx ＋φ)． ∵函数f (x )的最小正周期为2π， ∴2π＝T ＝2πω，解得ω＝1.将点M ⎝⎛⎭⎫π6，32代入函数f (x )的解析式，得sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝32. ∵π3＜φ＜π，∴π2＜π6＋φ＜7π6， ∴π6＋φ＝2π3，∴φ＝π2. 故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x . (2)依题意有cos α＝35，cos β＝1213，而α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin α＝1－⎝⎛⎭⎫352 ＝45，sin β＝1－⎝⎛⎭⎫12132＝513，∴sin 2α＝2sin αcos α＝2425，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝925－1625＝－725，∴f (2α－β)＝cos(2α－β) ＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β ＝⎝⎛⎭⎫－725×1213＋2425×513＝36325. 3．解：(1)∵角α的终边经过点P (－3，3)， ∴sin α＝12，cos α＝－32，tan α＝－33.∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－32＋33＝－36. (2)∵f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α＝cos x ，x ∈R ，∴g (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x －2cos 2x ＝3sin 2x －1－cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1， ∵0≤x ≤2π3，∴－π6≤2x －π6≤7π6.∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤1，∴－2≤2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1≤1， 故函数g (x )＝3f ⎝⎛⎭⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的取值范围是[－2,1]．。
最新浙江卷高考真题汇编-三角恒等变换及解三角形(含答案)
浙江卷高考真题汇编三角恒等变换及解三角形1、【2016高考浙江卷理第16题】（本题满分14分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2cos b c a B +=（Ⅰ）证明：2A B =（Ⅱ）若ABC ∆的面积24a S =，求角A 的大小. 答案：（I ）由正弦定理得sin sinC 2sin cos B+=A B ，故()2sin cos sin sin sin sin cos cos sin A B =B+A+B =B+A B+A B ，于是()sin sin B =A-B ．又A ，()0,πB∈，故0π<A-B <，所以()πB =-A-B 或B =A-B ，因此πA =（舍去）或2A =B ，所以，2A =B ．（II ）由24a S =得21sin C 24a ab =，学.科.网故有 1sin sin C sin 2sin cos 2B =B =B B ， 因sin 0B ≠，得sinC cos =B ．又B ，()C 0,π∈，所以C 2π=±B ．当C 2πB +=时，2πA =； 当C 2π-B =时，4πA =． 综上，2πA =或4πA =．2、【2016高考浙江卷文第16题】（本题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b +c =2a cos B ．（Ⅰ）证明：A =2B ；（Ⅱ）若cos B =，求cos C 的值． 答案：（1）由正弦定理得，故，于是，，又，故，所以或，因此，（舍去）或，所以，.（2）由，得，， 故，， 23sin sin 2sin cos B C A B +=2sin cos sin sin()sin sin cos cos sin A B B A B B A B A B =++=++sin sin()B A B =-,(0,)A B π∈0A B π<-<()B A B π=--B A B =-A π=2A B =2A B =2cos 3B=sin B =21cos 22cos 19B B =-=-1cos 9A =-sin A =.3、【2015高考浙江卷理第16题】（本题满分14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A=4π，22b a -=122c . 1、求tanC 的值； 2、若ABC ∆的面积为7，求b 的值。
高考数学一轮总复习课件：三角恒等变换
5．(2021·衡水中学调研卷)已知sin(θ＋20°)＝
2＋ 4
6，
cos105°＝
2－ 4
6 ，tan105°＝－2－
3 .(也可由105°＝60°＋45
°求得)
(2)求值： ①sin2π12－sin251π2 ；
②1－tatna2n222°2°303′0′；
③sin105°·sin15°； ④sin110°－cos130°.
π 【思路】 通过适当变形，创造适合公式的条件．①由sin2 12
π ∴cos(α＋ 4 )＝－
1－sin2（α＋π4 ）＝－35.
ππ ∴cosα＝cos[(α＋ 4 )－ 4 ]
ππ
ππ
＝cos(α＋ 4 )cos 4 ＋sin(α＋ 4 )sin 4
＝－35× 22＋45× 22＝102.
(6)∵cos(75°－α)＝sin(15°＋α)＝13， ∴cos(30°＋2α)＝1－2sin2(15°＋α)＝1－2×19＝79.
【答案】
①
3 3
②4
③2－ 3
④14
(4)①(2016·课标全国Ⅱ)若cos(π4 －α)＝35，则sin2α＝( D )
7 A.25
1 B.5
C．－15
D．－275
②设α为锐角，若cos(α＋ 17 2
π 6
)＝
4 5
，则sin(2α＋
三角函数恒等变换含答案及高考题
三角函数恒等变形的 【2 】根本策略.（1）常值代换：特别是用“1”的代换,如1=cos 2θ+sin 2θ=tanx ·cotx=tan45°等.（2）项的分拆与角的配凑.如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2x;配凑角：α=（α+β）－β,β=2βα+－2βα-等.（3）降次与升次.（4）化弦（切）法.（4）引入帮助角.asin θ+bcos θ=22b a +sin(θ+ϕ),这里帮助角ϕ地点象限由a.b 的符号肯定,ϕ角的值由tan ϕ=ab 肯定.1．已知tan x =2,求sin x ,cos x 的值． 解：因为2cos sin tan ==xxx ,又sin 2x ＋cos 2x =1, 联立得⎩⎨⎧=+=，1cos sin cos 2sin 22x x xx 解这个方程组得.55cos 552sin ,55cos 552sin ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==x x x x 2．求)330cos()150sin()690tan()480sin()210cos()120tan(----的值．解：原式)30360cos()150sin()30720tan()120360sin()30180cos()180120tan(o --+---++-=.3330cos )150sin (30tan )120sin )(30cos (60tan -=---=3．若,2cos sin cos sin =+-xx xx ,求sin x cos x 的值．解：法一：因为,2cos sin cos sin =+-xx xx所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x ),得到sin x =－3cos x ,又sin 2x ＋cos 2x =1,联立方程组,解得，，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==1010cos 10103sin 1010cos 10103sin x x x x所以⋅-=103cos sin x x 法二：因为,2cos sin cos sin =+-xx xx所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x ), 所以(sin x －cos x )2=4(sin x ＋cos x )2, 所以1－2sin x cos x =4＋8sin x cos x , 所以有⋅-=103cos sin x x 4．求证：tan 2x ·sin 2x =tan 2x －sin 2x ．证实：法一：右边＝tan 2x －sin 2x =tan 2x －(tan 2x ·cos 2x )=tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x ·sin 2x ,问题得证． 法二：左边=tan 2x ·sin 2x =tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x －tan 2x ·cos 2x =tan 2x －sin 2x ,问题得证． 5．求函数)6π2sin(2+=xy 在区间[0,2π ]上的值域． 解：因为0≤x ≤2π,所以,6π76π26π,π20≤+≤≤≤x x 由正弦函数的图象, 得到],1,21[)6π2sin(-∈+x所以y ∈[－1,2]． 6．求下列函数的值域．(1)y ＝sin 2x －cos x +2;(2)y ＝2sin x cos x －(sin x ＋cos x )．解：(1)y =sin 2x －cos x ＋2＝1－cos 2x －cos x ＋2=－(cos 2x ＋cos x )＋3, 令t =cos x ,则,413)21(413)21(3)(],1,1[222++-=++-=++-=-∈t t t t y t应用二次函数的图象得到].413,1[∈y (2)y ＝2sin x cos x －(sin x ＋cos x )=(sin x ＋cos x )2－1－(sin x ＋cos x ),令t =sin x ＋cos x 2=,)4πsin(+x ,则]2,2[-∈t 则,,12--=t t y 应用二次函数的图象得到].21,45[+-∈y7．若函数y =A sin(ωx +φ)(ω＞0,φ＞0)的图象的一个最高点为)2,2(,它到其相邻的最低点之间的图象与x 轴交于(6,0),求这个函数的一个解析式．解：由最高点为)2,2(,得到2=A ,最高点和最低点距离是半个周期,从而与x 轴交点的距离是41个周期,如许求得44=T ,T =16,所以⋅=8πω又由)28πsin(22ϕ+⨯=,得到可以取).4π8πsin(2.4π+=∴=x y ϕ8．已知函数f (x )=cos 4x －2sin x cos x －sin 4x ．(Ⅰ)求f (x )的最小正周期;(Ⅱ)若],2π,0[∈x 求f (x )的最大值.最小值． 数xxy cos 3sin 1--=的值域．解：(Ⅰ)因为f (x )=cos 4x －2sin x cos x －sin4x ＝(cos 2x －sin 2x )(cos 2x ＋sin 2x )－sin2x)4π2sin(2)24πsin(22sin 2cos 2sin )sin (cos 22--=-=-=--=x x x x x x x所以最小正周期为π．(Ⅱ)若]2π,0[∈x ,则]4π3,4π[)4π2(-∈-x ,所以当x =0时,f (x )取最大值为;1)4πsin(2=--当8π3=x 时,f (x )取最小值为.2-1． 已知2tan =θ,求（1）θθθθsin cos sin cos -+;（2）θθθθ22cos 2cos .sin sin +-的值.解：（1）2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-+=++θθθθθθθθθθ; (2) θ+θθ+θθ-θ=θ+θθ-θ222222cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin324122221cos sin 2cos sin cos sin 2222-=++-=+θθ+θθ-θθ=.解释：应用齐次式的构造特色（假如不具备,经由过程构造的方法得到）,进行弦.切互化,就会使解题进程简化.2． 求函数21sin cos (sin cos )y x x x x =++++的值域.解：设sin cos )[4πt x x x =+=+∈,则原函数可化为22131()24y t t t =++=++,因为[t ∈,所以当t =时,max 3y =当12t =-时,min 34y =,所以,函数的值域为3[34y ∈，.3．已知函数2()4sin 2sin 22f x x x x R =+-∈，.（1）求()f x 的最小正周期.()f x 的最大值及此时x 的聚集; （2）证实：函数()f x 的图像关于直线8πx =-对称. 解：22()4sin 2sin 222sin 2(12sin )f x x x x x =+-=--2sin 22cos 2)4πx x x =-=-(1)所以()f x 的最小正周期T π=,因为x R ∈,所以,当2242ππx k π-=+,即38πx k π=+时,()f x 最大值为(2)证实：欲证实函数()f x 的图像关于直线8πx =-对称,只要证实对随意率性x R ∈,有()()88ππf x f x --=-+成立,因为())]2)28842ππππf x x x x --=---=--=-,())]2)28842ππππf x x x x -+=-+-=-+=-,所以()()88ππf x f x --=-+成立,从而函数()f x 的图像关于直线8πx =-对称.4． 已知函数y=21cos 2x+23sinx ·cosx+1 （x ∈R ）,（1）当函数y 取得最大值时,求自变量x 的聚集;（2）该函数的图像可由y=sinx(x ∈R)的图像经由如何的平移和伸缩变换得到？ 解：（1）y=21cos 2x+23sinx ·cosx+1=41 (2cos 2x －1)+ 41+43（2sinx ·cosx ）+1=41cos2x+43sin2x+45=21(cos2x ·sin 6π+sin2x ·cos 6π)+45=21sin(2x+6π)+45所以y 取最大值时,只需2x+6π=2π+2k π,（k ∈Z ）,即 x=6π+k π,（k ∈Z ）.所以当函数y 取最大值时,自变量x 的聚集为{x|x=6π+k π,k ∈Z}（2）将函数y=sinx 依次进行如下变换：（i ）把函数y=sinx 的图像向左平移6π,得到函数y=sin(x+6π)的图像; （ii ）把得到的图像上各点横坐标缩短到本来的21倍（纵坐标不变）,得到函数y=sin(2x+6π)的图像;（iii ）把得到的图像上各点纵坐标缩短到本来的21倍（横坐标不变）,得到函数y=21sin(2x+6π)的图像;（iv ）把得到的图像向上平移45个单位长度,得到函数y=21sin(2x+6π)+45的图像. 综上得到y=21cos 2x+23sinxcosx+1的图像.积年高考分解题一,选择题1.（08全国一6）2(sin cos )1y x x =--是（ ）A ．最小正周期为2π的偶函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数2.（08全国一9）为得到函数πcos 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象,只需将函数sin y x =的图像（ ） A ．向左平移π6个长度单位B ．向右平移π6个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位 3.(08全国二1)若sin 0α<且tan 0α>是,则α是 （ ） A ．第一象限角 B ． 第二象限角C ． 第三象限角D ． 第四象限角4.（08全国二10）．函数x x x f cos sin )(-=的最大值为（ ）A ．1B ． 2C ．3D ．2 5.（08安徽卷8）函数sin(2)3y x π=+图像的对称轴方程可能是 （ ）A ．6x π=-B ．12x π=-C ．6x π=D ．12x π=6.（08福建卷7）函数y =cos x (x ∈R)的图象向左平移2π个单位后,得到函数y=g(x )的图象,则g(x )的解析式为 ( ) A.-sin x B.sin x C.-cos x D.cos x7.（08广东卷5）已知函数2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈,则()f x 是 （ ）A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为2π的奇函数 C.最小正周期为π的偶函数 D.最小正周期为2π的偶函数8.（08海南卷11）函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分离为 （ ）A. －3,1B. －2,2C. －3,32D.－2,329.（08湖北卷7）将函数sin()y x θ=-的图象F 向右平移3π个单位长度得到图象F ′,若F ′的一条对称轴是直线,1x π=则θ的一个可能取值是 （ ） A.512π B.512π- C.1112π D.1112π-10.（08江西卷6）函数sin ()sin 2sin2xf x xx =+是 （ ）A ．认为4π周期的偶函数B ．认为2π周期的奇函数C ．认为2π周期的偶函数D ．认为4π周期的奇函数11.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分离交于M N ，两点,则MN 的最大值为 （ ）A ．1BCD ．212.（08山东卷10）已知πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭则7πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（ ） A． BC ．45-D ．4513.（08陕西卷1）sin330︒等于 （ ） A．-B ．12-C ．12D14.（08四川卷4）()2tan cot cos x x x += ( ) Ａ.tan x Ｂ.sin x Ｃ.cos x Ｄ.cot x 15.（08天津卷6）把函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标缩短到本来的12倍（纵坐标不变）,得到的图象所表示的函数是 （ ）A ．sin 23y x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R ，B ．sin 26x y x π⎛⎫=+∈⎪⎝⎭R ， C ．sin 23y x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ， D ．sin 23y x x 2π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ， 16.（08天津卷9）设5sin 7a π=,2cos 7b π=,2tan 7c π=,则 （ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<17.（08浙江卷2）函数2(sin cos )1y x x =++的最小正周期是 （ ）A.2π B .π C.32πD.2π 18.（08浙江卷7）在同一平面直角坐标系中,函数])20[)(232cos(ππ，∈+=x x y 的图象和直线21=y 的交点个数是 （ ）A.0B.1C.2D.4 二,填空题19.（08北京卷9）若角α的终边经由点(12)P -，,则tan 2α的值为 ． 20.（08江苏卷1）()cos 6f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为5π,个中0ω>,则ω=． 21.（08辽宁卷16）设02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,则函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为．22.（08浙江卷12）若3sin()25πθ+=,则cos2θ=_________. 23.（08上海卷6）函数f (x )＝3sin x +sin(π2+x )的最大值是三,解答题24. （08四川卷17）求函数2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-的最大值与最小值.25. （08北京卷15）已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=++⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值;（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值规模．26. （08天津卷17）已知函数22s (in cos s 1)2co f x x x x ωωω++=（,0x R ω∈>）的最小值正周期是2π． （Ⅰ）求ω的值; （Ⅱ）求函数()f x 的最大值,并且求使()f x 取得最大值的x 的聚集．27. （08安徽卷17）已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122ππ-上的值域28. （08陕西卷17）已知函数2()2sin cos 444x x x f x =-． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及最值;（Ⅱ）令π()3g x f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭,断定函数()g x 的奇偶性,并解释来由． 1.D 2.C 3.C 4.B 5.B 6.A 7.D 8.C 9.A 10.A 11.B 12.C 13.B 14.D 15.C 16.D 17.B 18.C 19.34 20. 10 21.3 22.257- 23.2 24.解：2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-()2272sin 24cos 1cos x x x =-+-2272sin 24cos sin x x x =-+ 272sin 2sin 2x x =-+()21sin 26x =-+因为函数()216z u =-+在[]11-，中的最大值为()2max 11610z =--+=最小值为()2min 1166z =-+=故当sin 21x =-时y 取得最大值10,当sin 21x =时y 取得最小值6【点评】：此题重点考核三角函数根本公式的变形,配方法,相符函数的值域及最值;【冲破】：应用倍角公式降幂,应用配方变为复合函数,看重复合函数中央变量的规模是症结;25.解：（Ⅰ）1cos 2()22x f x x ωω-=+112cos 222x x ωω=-+π1sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因为函数()f x 的最小正周期为π,且0ω>, 所以2ππ2ω=,解得1ω=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 因为2π03x ≤≤, 所以ππ7π2666x --≤≤,所以1πsin 2126x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤≤, 是以π130sin 2622x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤,即()f x 的取值规模为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． 26. 解：()242sin 224sin 2cos 4cos 2sin 222cos 2sin 12sin 22cos 12+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=+++⋅=πωπωπωωωωωx x x x x x xx f 由题设,函数()x f 的最小正周期是2π,可得222πωπ=,所以2=ω． （Ⅱ）由（Ⅰ）知,()244sin 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx x f ．当πππk x 2244+=+,即()Z k k x ∈+=216ππ时,⎪⎭⎫ ⎝⎛+44sin πx 取得最大值1,所以函数()x f 的最大值是22+,此时x 的聚集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,216|ππ 27. 解：（1）()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+1cos 22(sin cos )(sin cos )22x x x x x x =++-+221cos 22sin cos 22x x x x =++-1cos 22cos 222x x x =+- sin(2)6x π=-2T 2ππ==周期∴（2）5[,],2[,]122636x x πππππ∈-∴-∈- 因为()sin(2)6f x x π=-在区间[,]123ππ-上单调递增,在区间[,]32ππ上单调递减,所以 当3xπ=时,()f x 取最大值 1又1()()1222f f ππ-=<=,∴当12x π=-时,()f x 取最小值所以 函数 ()f x 在区间[,]122ππ-上的值域为[2- 28.解：（Ⅰ）()f x sin 22x x =+π2sin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．()f x ∴的最小正周期2π4π12T ==． 当πsin 123x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭时,()f x 取得最小值2-;当πsin 123x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时,()f x 取得最大值2． （Ⅱ）由（Ⅰ）知π()2sin 23x f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭．又π()3g x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．∴1ππ()2sin 233g x x ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π2sin 22x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2cos 2x =．()2cos 2cos ()22x x g x g x ⎛⎫-=-== ⎪⎝⎭．∴函数()g x 是偶函数．常用三角恒等变换技能1 “角变换”技能角变换的根本思惟是,不雅察发明问题中消失的角之间的数目关系,把“未知角”分化成“已知角”的“和.差.倍.半角”,然后应用响应的公式求解.例1 已知534cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πx ,4743ππ<<x ,求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值. 【剖析】斟酌到“已知角”是4π+x ,而“未知角”是x 和x 2,留意到44ππ-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x ,可直接应用相干公式求出x sin 和x cos . 【简解】因为ππ4743<<x ,所以πππ24<+<x , 又因为0534cos >=⎪⎭⎫⎝⎛+πx ,所以πππ2423<+<x ,544sin -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πx 10274sin 4cos 4cos 4sin 44sin sin -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππππππx x x x , 从而102cos -=x ,7tan =x . 原式=7528tan 1sin 2cos sin 22-=-+x x x x . 【反思】（1）若先盘算出102cos -=x ,则在盘算x sin 时,要留意符号的拔取;（2）本题的另一种天然的思绪是,从已知动身,用和角公式睁开,联合“平方关系”经由过程解二元二次方程组求出x sin 和x cos . 但很繁琐,易消失盘算错误;（3）本题也可由2422ππ-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x ,应用引诱公式和倍角公式求出x 2sin .例2 已知)tan()tan(βαλβα-=+,个中1≠λ,求证：112sin 2sin -+=λλβα【剖析】所给前提中消失的“已知角”是βα+与βα-,涉及的“未知角”是α2与β2,将三个角比较剖析发明)()(2βαβαα-++=,)()(2βαβαβ--+=,把“未知”角转化为两个“已知”角的代数和,然后用相干公式求解.【简证】()()[]()()[]βαβαβαβαβα--+-++=sin sin 2sin 2sin )sin()cos()cos()sin()sin()cos()cos()sin(βαβαβαβαβαβαβαβα-+--+-++-+=)tan()tan()tan()tan(βαβαβαβα--+-++=11)tan()tan()tan()tan(-+=----+-=λλβαβαλβαβαλ【反思】（1）以上除了用到了症结的角变换技能以外,还用到了“弦化切”技能.;（2）本题也可由已知直接求出αtan 与βtan 的关系,但与目的相差甚远,一是函数名称不同,二是角不同,所以较为艰苦;（3）擅长发明所求的三角函数的角与已知前提的角的接洽,是有效进行角变换的前提.常用的角变换关系还有：()ββαα-+=,()ββαα+-=,()ββαβα-+=+22,()ββαβα+-=-22,)4(24αππαπ--=+,︒+︒=︒304575等.2 “名变换”技能名变换是为了削减函数名称或同一函数而实行的变换,须要进行名变换的问题常常有显著的特点,如已知前提中弦.切交互呈现时,最常见的做法是“切弦互化”,但现实上,引诱公式.倍角公式和全能置换公式,平方关系也能进行名变换.例3 已知向量)1,tan 1(x a -=,)0,2cos 2sin 1(x x b ++=,求b a x f ⋅=)(的界说域和值域; 【剖析】易知)2cos 2sin 1)(tan 1()(x x x x f ++-=,这是一个“切弦共存”且“单.倍角共在”的式子,是以既要经由过程“切化弦”削减函数名称,又要用倍角公式来同一角,使函数式更简明.【简解】)2cos 2sin 1)(tan 1()(x x x x f ++-=()1cos 2cos sin 21cos sin 12-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x x x ()()x x x x sin cos sin cos 2+-=x 2cos 2=由0cos ≠x 得,Z k k x ∈+≠,2ππ,22cos 2-≠x所以,x x f 2cos 2)(=.的界说域是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,2ππ,值域是(]2,2-. 【反思】本题也可以应用全能置换公式先辈行“弦化切”,变形后再进行“切化弦”求解. 例4 已知βα,都是锐角,且ααααβcos sin cos sin tan +-=,求ααβcos sin sin -的值.【剖析】已知前提中,等式的右边是分式,相符和差解的正切公式特点,可斟酌“弦化切”,另一方面,若是“切化弦”,则很快消失待求式,与目的很近.【简解1】显然0cos ≠α时,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=+-=4tan 4tan tan 14tantan 1cos sin 1cos sin tan παπαπαααααβ,因为βα,都是锐角,所以4παβ-=,所以,224sin 2sin cos sin sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-παβααβ. 【简解2】由ααααββcos sin cos sin cos sin +-=得,ααβααβcos sin cos cos sin sin +=-, 设A =+=-ααβααβcos sin cos cos sin sin ,则()()[]22222cos sin cos sin cos sin ααααββ++-=+A ,所以,122=A ,22=A ,即22cos sin sin =-ααβ.【反思】简解1解释当分子分母都是同角的正弦.余弦的齐次式时,很轻易“弦化切”;简解2很奇妙,其根本思惟是整体换元后应用平方关系消元. 3 “常数变换”技能在三角恒等变形进程中,有时需将问题中的常数写成某个三角函数值或式,以利于完美式子构造,应用相干公式求解,如x x 22cos sin 1+=,︒=45tan 1,3tan3π=等.例5（1）求证: 23cos sin 1cos sin 14466=----x x x x ;（2）化简：x x 2cos 32sin +.【剖析】第（1）小题应用()322cos sin 1x x +=和()222cos sin 1x x +=把分子.分母都变成齐次式落后行转化;第（2）小题现实上是把同一个角的正弦.余弦的代数和化为熟习的()ϕω+=x A y sin 的情势,有利于体系研讨函数的图象与性质. 【简解】（1）左边=xx x x xx x x 4422266322cos sin )cos (sin cos sin )cos (sin --+--+ 23cos sin 2)cos (sin cos sin 3222222=+=x x x x x x . （2）原式=x x 2cos 3tan2sin π+x x 2cos 3cos 3sin2sin ⋅+=ππ3cos3sin2cos 3cos2sin πππx x +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin 2πx【反思】“1”的变换应用是许多的,如全能置换公式的推导,现实上是应用了x x 22cos sin 1+=把整式化成分式落后行的,又如例4中,也是应用了︒=45tan 1,把分式变成了整式. 4 “边角互化”技能解三角形时,边角交互呈现,用正.余弦定理把庞杂的边角关系或同一成边,应用代数运算方法求解,或同一成角,应用三角变换求解.例6在ABC ∆中,a b c 、、分离为角A B C 、、的对边,且2a sin A = (2b +c ) sin B + (2c +b ) sin C , （1）求角A 的大小;（2）若sin sin 1B C +=,证实ABC ∆是等腰三角形.【剖析】本题的前提集三角形的六元素于一身,看似庞杂,但等式是关于三边长和三个角的正弦的齐次式,所以可用正弦定理把“角”化为边或把边化为“角”来求解. 【简解】（1）（角化边）由正弦定理CcB b A a sin sin sin ==得, c b c b c b a )2()2(22+++=,整顿得,bc c b a ++=222,所以212cos 222-=-+=bc a c b A ,因为π<<A 0,所以32π=A .（2）法一：（边化角）由已知和正弦定理得,C B C B C B A sin )sin sin 2(sin )sin sin 2(sin 22+++=即C B C B A sin sin 2)sin (sin 2sin 222-+=,从而41sin sin =C B , 又sin sin 1B C +=,所以21sin sin ==C B . 所以C B =,ABC ∆是等腰三角形. 法二：由（1）知3π=+C B ,B C -=3π,代入sin sin 1B C +=得,1sin 21cos 23sin =-+B B B ,所以13sin =⎪⎭⎫⎝⎛+B π,23ππ=+B , 所以6π=B ,6π=C ,ABC ∆是等腰三角形.【反思】第（1）小题“化角为边”后,把已知前提转化为边的二次齐次式,相符余弦定理的构造,第（2）小题的法一之所以“化边为角”,是因为不易把前提sin sin 1B C +=化为边的关系,而把前提2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++转化为边的关系却很轻易;法二的根本思绪是消元后同一角,再应用“化一公式”简化方程. 5 “起落幂变换”技能当所给前提消失根式时,常用升幂公式去根号,当所给前提消失正.余弦的平方时,常用“降幂”技能,常见的公式有：22cos 2sin sin 1⎪⎭⎫ ⎝⎛±=±x x x ,2cos2cos 12xx =+,2sin 2cos 12xx =-,可以看出,从左至右是“幂升角变半”,而从右至左则是“幂降角变倍”. 例7 化简：6sin 16sin 1-++ 【剖析】含有根号,需“升幂”去根号.【简解】原式=+++3cos 3sin 23cos 3sin 223cos 3sin 23cos 3sin 22-+=3cos 3sin 3cos 3sin -++因为ππ<<343,所以043sin 23cos 3sin <⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+π,03cos 3sin >-,所以,原式3cos 2)3cos 3(sin )3cos 2(sin -=-++-=.例8 求函数2π()2sin 24f x x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭,ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，的最大值与最小值． 【剖析】函数式中第一项是正弦的平方,若“降幂”后“角变倍”,与第二项的角一致..【简解】π()1cos 221sin 222f x x x x x ⎡⎤⎛⎫=-+=+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∵ π12sin 23x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．又ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵,ππ2π2633x -∴≤≤,即π212sin 233x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≤≤,max min ()3()2f x f x ==，∴．【反思】以上两例表明,“起落幂技能”仅仅是解题进程中的一个症结步骤,只有有效地整合各类技能与方法才能顺遂地解题.如例7顶用到了常数“变换技能”,例8顶用到了“帮助角”变换技能.6 “公式变用”技能几乎所有公式都能变形用或逆向用,如αααcos 22sin sin =,αααsin 22sin cos =,()()βαβαβαtan tan 1tan tan tan ±=±等,现实上,“常数变换”技能与“起落幂”技能等也是一种公式变用或逆用技能.例9 求值：（1）︒︒︒︒80cos 60cos 40cos 20cos ; （2）︒︒-︒-︒10tan 70tan 310tan 70tan .【剖析】第（1）小题中,除︒60是特别角外,其他角成倍角,于是斟酌应用倍角公式;第（2）小题中两角差为︒60,而3是两角差的正切值,所以与两角差的正切公式有关. 【简解】（1）原式＝16120sin 16160sin 80sin 2160sin 60cos 40sin 280sin 20sin 240sin =︒︒=︒︒︒︒︒︒︒.（2）原式＝︒︒-︒︒+︒-︒10tan 70tan 3)10tan 70tan 1)(1070tan(＝3.【反思】第（1）小题的一般性结论是：()*1sin 22sin 2cos 2cos cos N n n n n ∈=-ααααα .例10 求证：[]n xnxnx x n x x x x -=-+++tan tan tan )1(tan 3tan 2tan 2tan tan . 【剖析】左边通项是两角正切的积,且两角差为定值,而在正切的和.差角公式中消失了两角正切的积,可尝试.【简证】因为()[]xk kx xk kx x k kx x )1tan(tan 1)1tan(tan 1tan tan -+--=--=,n k ,,4,3,2 =所以1tan )1tan(tan tan )1tan(---=-xxk kx kx x k ,左边=x x x tan tan 2tan -x x x tan 2tan 3tan -+x x x tan 3tan 4tan -+n xx n nx ---++tan )1tan(tan=n xnx -tan tan 【反思】这里经由过程“角变换”和公式变形得出裂项公式,然后累加消项,这也是数列乞降的一种常见技能. 7 “帮助角变换”技能 平日把)sin(cos sin 22ϕ++=+x b a x b x a 叫做帮助角公式（也叫化一公式）,其感化是把同角的正弦.余弦的代数和化为()ϕω+=x A y sin 的情势,来研讨其图象与性质. 尤其是当1±=b a ,3±,33±时,要熟记其变换式,如⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+4(sin 2cos sin πx x x ,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-6(sin 2cos sin 3πx x x 等.例11 求函数xxy cos 3sin 1++=的值域.【剖析】初看此题,似无从下手,若把分式变成整式,就消失了x b x a cos sin +,然后应用三角函数的有界性树立关于y 的不等式. 【简解】由xxy cos 3sin 1++=得x x y y sin 1cos 3+=+,所以13cos sin -=-y x y x ,从而13)sin(12-=++y x y ϕ, 个中帮助角ϕ由21sin yy +-=ϕ,211cos y+=ϕ决议.所以,由()1113sin 2≤+-=+y y x ϕ解得430≤≤y . 【反思】（1）解答本题的方法许多,比较多用的方法是类比斜率盘算公式,把问题转化为直线斜率问题,也有效全能置换后,转化为分式函数求解的.（2）帮助角公式的形成,也可以算作是“常数变换”的成果. 事实上,x b x a cos sin +=⎪⎭⎫⎝⎛+x a b x a cos sin ,可设ϕtan =a b ,再进行“切化弦”变换,就得到了“化一公式”.. 8 “换元变换”技能有些函数,式子里同时消失x x cos sin +（或x x cos sin -）与x x cos sin ,这时,可设x x t cos sin +=（或x x t cos sin -=）,则21cos sin 2-=t x x （或21cos sin 2t x x -=）,把三角函数转化为熟习的函数来求解. 例12 求函数⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∈++⋅=2,0cos sin 1cos sin πx x x x x y 的值域． 【剖析】同时消失x x cos sin +与x x cos sin 时,可用()x x x x cos sin 21cos sin 2+=+. 【简解】设t x x =+cos sin ,因为20π≤≤x ,⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4(sin 2πx t ,所以]2,1(∈t ,又由()x x x x cos sin 21cos sin 2+=+得,21cos sin 2-=t x x ,所以,21121cos sin 1cos sin 2-=+-=++⋅=t t t x x x x y , 由]2,1(∈t 得,2120-≤<y . 【反思】（1）本题若不换元,则须要用到“添.凑.配”技能,而如何进行“添.凑.配”,则是因题而异,无显著特点.;（2）引进“新元”后,必定要解释“新元”的取值规模;（3）平方关系的变式()x x x x cos sin 21cos sin 2+=+应用普遍,如在解答命题“已知θsin ,θcos 是方程012=++-k kx x 的两根,求k 的值．”时,症结步骤是在应用韦达定理后,应用变式消元后求解.例13 求证：zxx z yz z y xy y x zx x z yz z y xy y x +-⋅+-⋅+-=+-++-++-111111. 【剖析】所证等式中每个分式与两角差的正切类似,而所证等式与三角形中的结论 C B A C B A tan tan tan tan tan tan =++类似,从而尝试换元,应用三角常识证代数问题.【简解】设z y x ===γβαtan ,tan ,tan ,因为()()γαγββα-=-+-,所以()()[]()γαγββα-=-+-tan tan ,()()()()()γαγββαγββα-=----+-tan tan tan 1tan tan , 变形整顿得()()()=-+-+-αγγββαtan tan tan ()()()αγγββα---tan tan tan 所以,αγαγγβγββαβαtan tan 1tan tan tan tan 1tan tan tan tan 1tan tan +-++-++- αγαγγβγββαβαtan tan 1tan tan tan tan 1tan tan tan tan 1tan tan +-⋅+-⋅+-= 即,zx x z yz z y xy y x zx x z yz z y xy y x +-⋅+-⋅+-=+-++-++-111111 【反思】本题解法也表现了类比思维的感化,若用常规方法处理,则运算十分繁琐. 9 “全能置换”技能“全能置换”技能,现实从属于“名变换”技能,其特点是用半角的正切值表示原角的正弦.余弦与正切.例14 评论辩论函数212xx y +=的最大值与最小值. 【剖析】本题可经由过程求导或应用根本不等式求解. 但类比函数式的构造与全能置换公式2tan 12tan2sin 2x xx +=雷同,于是问题得到转化. 【简解】设()ππ<<-=t t x 2tan ,则212x x y +=t t tsin 2tan 12tan22=+=,当且仅当2π=t 也就是14tan ==πx 时,1max =y , 当且仅当2π-=t 也就是14tan -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πx 时,1min -=y . 【反思】（1）当问题前提中消失单角的正切与倍角三角函数问题时,可斟酌应用全能置换公式;（2）应用全能置换技能既可以把代数问题转化成三角函数问题,也可以把三角问题转化为代数问题,如例11中,可设2tan x t =,则42tan 212tan 22tan cos 3sin 122+++=++=x x x x x y ,即 421222+++=t t t y ,然后可用判别式法求解.。
【走向高考】2016届高三数学一轮阶段性测试题4 三角函数、三角恒等变形、解三角形(含解析)新人教B
阶段性测试题四(三角函数、三角恒等变形、解三角形)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．(2015·某某大学附中月考)已知角θ的终边过点P(－4k,3k)(k<0)，则2sinθ＋cosθ的值是( ) A.25B ．－25C.25或－25 D ．随着k 的取值不同其值不同 [答案] B[解析] ∵k<0，∴|OP|＝－5k ，∴sinθ＝－35，cosθ＝45，∴2sinθ＋cosθ＝－25.2．(文)(2015·某某莱芜期中)为了得到函数y ＝sin(2x －π6)的图象，只需把函数y ＝sin2x 的图象( )A ．向左平移π6个单位B ．向右平移π6个单位 C ．向左平移π12个单位 D ．向右平移π12个单位 [答案] D[解析] ∵y ＝sin(2x －π6)＝sin2(x －π12)，∴选D.(理)(2014·某某省某某市期中)要得到y ＝sin(2x －2π3)的图象，只要将函数y ＝sin(2x ＋π3)的图象向右平移( )个单位即可( ) A.π3 B ．π C.2π3 D ．π2 [答案] D[解析] ∵sin[2(x －π2)＋π3]＝sin(2x －2π3)，∴只需将y ＝sin(2x ＋π3)的图象向右平移π2个单位可得到y ＝sin(2x －2π3)的图象．3．(文)(2014·威海期中)角α的终边经过点P(sin10°，－cos10°)，则α的可能取值为( ) A ．10° B ．80° C ．－10° D ．－80° [答案] D[解析] 由条件知tanα＝－cos10°sin10°＝－tan80°＝tan(－80°)，故选D. (理)(2014·海淀期中)在△ABC 中，若tanA ＝－2，则cosA ＝( )A.55 B ．－55 C.255D ．－255[答案] B[解析] 在△ABC 中，若tanA ＝－2，则A ∈(π2，π)， cosA ＝－11＋tan2A＝－15＝－55，故选B.4．(2015·某某滕州一中月考)化简 cos π＋αcosπ2＋αcos11π2－αcos π－αsin －π－αsin 9π2＋α的结果是( )A ．－1B ．1C ．tanαD ．－tanα [答案] C [解析] 原式＝－cosα·－sinα·－sinα－cosα·sinα·cosα＝tanα.5．(2015·某某省三县联考)在△ABC 中，若sinA sinB sinC ＝345，则cosA 的值为( )A.35 B ．45C ．0D ．1 [答案] B[解析] 由正弦定理得a b c ＝sinA sinB sinC ＝345，∴设a ＝3k ，b ＝4k ，c ＝5k(k>0)，∴cosA ＝b2＋c2－a22bc ＝16k2＋25k2－9k22×4k×5k＝45. 6．(2015·某某百所重点中学联考)已知α为第三象限角，且sinα＋cosα＝2m ，sin2α＝m2，则m 的值为( ) A.33B ．－33C ．－13D ．－23[答案] B[解析] 把sinα＋cosα＝2m 两边平方可得1＋sin2α＝4m2，又sin2α＝m2，∴3m2＝1，解得m ＝±33，又α为第三象限角，∴m ＝－33.7．(2015·某某某某期中)已知方程|sinx|x ＝k 在(0，＋∞)有两个不同的解α，β(α<β)，则下面结论正确的是( )A ．tan(α＋π4)＝1＋α1－αB ．tan(α＋π4)＝1－α1＋αC ．tan(β＋π4)＝1＋β1－βD ．tan(β＋π4)＝1－β1＋β[答案] C[解析] ∵方程|sinx|x ＝k 在(0，＋∞)内有两个不同解α、β(α<β)，∴函数y ＝|sinx|与y ＝kx 的图象在(0，＋∞)内有两不同交点，交点的横坐标为α、β， ∴直线y ＝kx 与y ＝－sinx(π<x<2π)相切，且切点横坐标为β， 从而有k ＝－cosβ，且kβ＝－sinβ，∴β＝tanβ， ∴tan(β＋π4)＝tanβ＋11－tanβ＝1＋β1－β，故选C.8．(2014·某某市七校联考)在△ABC 中，AC ＝7，∠B ＝2π3，△ABC 的面积S ＝1534，则AB ＝( ) A ．5或3 B ．5 C ．3 D ．5或6 [答案] A[解析] 设AB ＝x ，BC ＝y ，则x>0，y>0，由条件得，⎩⎪⎨⎪⎧72＝x2＋y2－2xycos 2π3，12xysin 2π3＝1534，即⎩⎪⎨⎪⎧x2＋y2＋xy ＝49，xy ＝15， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝5，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3，∴AB ＝3或5. 9．(2014·某某程集中学期中)在△ABC 中，“sin(A －B)cosB ＋cos(A －B)sinB≥1”是“△ABC 是直角三角形”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 由条件式得sinA≥1，∴sinA ＝1，∴A 为直角，但△ABC 为直角三角形时，不一定A 为直角，故选A. 10．(2015·某某某某四校联考)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且BC 边上的高为36a ，则c b ＋bc 的最大值是( ) A ．8B ．6C ．3 2D ．4 [答案] D[解析] b c ＋c b ＝c2＋b2bc ，这个形式很容易联想到余弦定理：cosA ＝c2＋b2－a22bc，①而条件中的“高”容易联想到面积，a·36a ＝12bcsinA ，即a2＝23bcsinA ，② 将②代入①得：b2＋c2＝2bc(cosA ＋3sinA)， ∴b c ＋c b ＝2(cosA ＋3sinA)＝4sin(A ＋π6)，当A ＝π3时取得最大值4，故选D.11．(文)(2015·某某市东北育才学校一模)下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x ＝π3对称的是( )A ．y ＝sin(2x ＋π6)B ．y ＝sin(2x ＋π3)C ．y ＝sin(2x －π3)D ．y ＝sin(2x －π6) [答案] D[解析] 最小正周期为π，不起作用，把x ＝π3代入解析式，函数取到最值，经检验D 符合． (理)(2015·某某市期中)若f(x)＝2cos(ωx ＋φ)＋m ，对任意实数t 都有f(t ＋π4)＝f(－t)，且f(π8)＝－1，则实数m 的值等于( ) A ．±1 B ．－3或1 C ．±3 D ．－1或3 [答案] B[解析] 由f(t ＋π4)＝f(－t)得，f(π8＋t)＝f(π8－t)，∴f(x)的图象关于直线x ＝π8对称，又f(π8)＝－1， ∴m±2＝－1，∴m ＝1或－3.12．(2014·某某市八县联考)已知ω>0，函数f(x)＝sin(ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值X 围是( ) A ．[12，54] B ．[12，34] C ．(0，12] D ．(0,2][答案] A[解析] 由2kπ＋π2≤ωx ＋π4≤2kπ＋3π2及ω>0得， 2kπω＋π4ω≤x≤2kπω＋5π4ω，k ∈Z. ∵f(x)在(π2，π)上单调递减， ∴(π2，π)⊆[2kπω＋π4ω，2kπω＋5π4ω]，∴k ＝0，⎩⎨⎧π4ω≤π2，5π4ω≥π.∴12≤ω≤54，故选A.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．) 13．(2015·某某市十校联考)在△ABC 中，sinC ＝513，cosB ＝－45，则角cosA ＝________. [答案] 6365[解析] ∵cosB ＝－45，0<B<π，∴sinB ＝35，且B 为钝角，∴C 为锐角，∵sinC ＝513，∴cosC ＝1213， ∴cosA ＝cos[π－(B ＋C)]＝－cos(B ＋C) ＝sinBsinC －cosBcosC ＝35×513－(－45)×1213＝6365.14．(2014·某某延边州质检)设△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的三边分别为a 、b 、c ，若△ABC的面积为S ＝a2－(b －c)2，则sinA1－cosA ＝________.[答案] 4[解析] ∵S ＝12bcsinA ，a2－(b －c)2＝2bc －(b2＋c2－a2)＝2bc －2bccosA ，S ＝a2－(b －c)2， ∴12bcsinA ＝2bc －2bccosA ，∴sinA 1－cosA＝4.15．(2015·某某师大附中、某某一中联考)函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则将y ＝f(x)的图象向左至少平移________个单位后，得到的图象解析式为y ＝Acosωx.[答案] π6[解析] 由函数的图象可得A ＝1，34T ＝34·2πω＝1112π－π6＝3π4，∴ω＝2. 再根据五点法作图可得2×π6＋φ＝π2，∴φ＝π6， ∴函数f(x)＝sin(2x ＋π6)．把函数f(x)＝sin(2x ＋π6)的图象向左平移π6个单位，可得y ＝sin[2(x ＋π6)＋π6]，即y ＝cos2x 的图象．16．(文)(2015·某某师大附中月考)已知函数f(x)＝sin(2x ＋φ)(其中φ为实数)，若f(x)≤|f(π6)|对x ∈R 恒成立，且sinφ<0，则f(x)的单调递增区间是________． [答案] [kπ＋π6，kπ＋2π3](k ∈Z)[解析] 由条件知|f(π6)|＝|sin(π3＋φ)|＝1， ∴π3＋φ＝kπ＋π2，k ∈Z.∴φ＝kπ＋π6，∵sinφ<0，∴取k ＝1，φ＝7π6， ∴f(x)＝sin(2x ＋7π6)．由2kπ－π2≤2x ＋7π6≤2kπ＋π2得， kπ－5π6≤x≤kπ－π3.(理)(2014·某某某某中学期中)函数f(x)＝3sin(2x －π3)的图象为C ，则如下结论中正确的序号是________．①图象C 关于直线x ＝1112π对称； ②图象C 关于点(2π3，0)对称；③函数f(x)在区间(－π12，5π12)内是增函数；④由y ＝3sin2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C. [答案] ①②③[解析] ①当x ＝11π12时，f(11π12)＝3sin 3π2＝－3，∴正确；②当x ＝2π3时，f(2π3)＝0，∴正确；③由2kπ－π2≤2x －π3≤2kπ＋π2可得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k ∈Z ，∴f(x)的单调递增区间为[kπ－π12，kπ＋5π12](k ∈Z)，∴正确；④y ＝3sin2x 的图象向右平移π3个单位长度得到y ＝3sin2(x －π3)，∴④错误．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分12分)(2015·某某市十校联考)已知函数f(x)＝3sin2x －2sin2x. (1)若点P(1，－3)在角α的终边上，求f(α)的值；(2)若x ∈[－π6，π3]，求f(x)的值域．[解析] (1)因为点P(1，－3)在角α的终边上， 所以sinα＝－32，cosα＝12，所以f(α)＝3sin2α－2sin2α＝23sinαcosα－2sin2α ＝23×(－32)×12－2×(－32)2＝－3.(2)f(x)＝3sin2x －2sin2x ＝3sin2x ＋cos2x －1＝2sin(2x ＋π6)－1，因为x ∈[－π6，π3]，所以－π6≤2x ＋π6≤5π6， 所以－12≤sin(2x ＋π6≤1，所以f(x)的值域是[－2,1]．18．(本小题满分12分)(文)(2014·某某师大附中期中)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且cosB ＝45，b ＝2.(1)当A ＝30°时，求a 的值；(2)当△ABC 的面积为3时，求a ＋c 的值． [解析] (1)∵cosB ＝45，∴sinB ＝35.由正弦定理a sinA ＝b sinB ，可得a sin30°＝103.∴a ＝53. (2)∵△ABC 的面积S ＝12acsinB ，sinB ＝35， S ＝3，∴ac ＝10.由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB 得， 4＝a2＋c2－85ac ＝a2＋c2－16，即a2＋c2＝20. ∴(a ＋c)2－2ac ＝20，(a ＋c)2＝40， ∴a ＋c ＝210.(理)(2015·某某会宁二中模拟)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a3cosA＝c sinC .(1)求A 的大小；(2)若a ＝6，求b ＋c 的取值X 围． [解析] (1)由条件结合正弦定理得， a 3cosA＝c sinC ＝asinA ， 从而sinA ＝3cosA ，tanA ＝3，∵0<A<π，∴A ＝π3.(2)解法一：由已知：b>0，c>0，b ＋c>a ＝6，由余弦定理得：36＝b2＋c2－2bccos π3＝(b ＋c)2－3bc≥(b ＋c)2－34(b ＋c)2＝14(b ＋c)2， (当且仅当b ＝c 时等号成立)，∴b ＋c≤12，又b ＋c>6，∴6<b ＋c≤12，从而b ＋c 的取值X 围是(6,12]．解法二：由正弦定理得：b sinB ＝c sinC ＝6sin π3＝4 3.∴b ＝43sinB ，c ＝43sinC ，∴b ＋c ＝43(sinB ＋sinC)＝43[sinB ＋sin(2π3－B)] ＝43(32sinB ＋32cosB)＝12(32sinB ＋12cosB) ＝12sin(B ＋π6)．∵π6<B ＋π6<5π6，∴6<12sin(B ＋π6)≤12， 即6<b ＋c≤12(当且仅当B ＝π3时等号成立)，从而b ＋c 的取值X 围是(6,12]． 19．(本小题满分12分)(文)(2014·马某某二中期中)已知A ，B ，C 的坐标分别为A(3,0)，B(0,3)，C(cosα，sinα)，α∈(π2，3π2)． (1)若|AC →|＝|BC →|，求角α的值； (2)若AC →·BC →＝－1，求2sin2α＋sin2α1＋tanα的值．[解析] (1)∵AC →＝(cosα－3，sinα)，BC →＝(cosα，sinα－3)， ∴AC →2＝(cosα－3)2＋sin2α＝10－6cosα， BC →2＝cos2α＋(sinα－3)2＝10－6sinα， 由|AC →|＝|BC →|，可得AC →2＝BC →2， 即10－6cosα＝10－6sinα，得sinα＝cosα. 又∵α∈(π2，3π2)，∴α＝5π4.(2)由AC →·BC →＝－1，得(cosα－3)cosα＋sinα(sinα－3)＝－1，∴sinα＋cosα＝23.① 又2sin2α＋sin2α1＋tanα＝2sin2α＋2sinαcosα1＋sinαcosα＝2sinαcosα. 由①式两边分别平方，得1＋2sinαcosα＝49， ∴2sinαcosα＝－59.∴2sin2α＋sin2α1＋tanα＝－59.(理)(2014·某某师大附中期中)已知向量a ＝(2sinx ，sinx －cosx)，b ＝(cosx ，3(cosx ＋sinx))，函数f(x)＝a·b ＋1. (1)当x ∈[π4，π2]时，求f(x)的最大值和最小值； (2)求f(x)的单调区间．[解析] (1)f(x)＝sin2x －3cos2x ＋1＝2sin(2x －π3)＋1. ∵π4≤x≤π2，∴π2≤2x≤π，∴π6≤2x －π3≤2π3， ∴12≤sin(2x －π3)≤1，∴1≤2sin(2x －π3)≤2， 于是2≤2sin(2x －π3)＋1≤3， ∴f(x)的最大值是3，最小值是2.(2)由2kπ－π2≤2x －π3≤2kπ＋π2，k ∈Z 得2kπ－π6≤2x≤2kπ＋5π6，k ∈Z ， ∴k π－π12≤x≤kπ＋5π12，k ∈Z ，即f(x)的单调递增区间为[kπ－π12，kπ＋5π12]，k ∈Z ， 同理由2kπ＋π2≤2x －π3≤2kπ＋3π2，k ∈Z 得， f(x)的单调递减区间为[kπ＋5π12，kπ＋11π12]，k ∈Z.20．(本小题满分12分)(2014·马某某二中期中)如图A 、B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)n mile 的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203n mile 的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30n mile/h ，该救援船到达D 点需要多长时间？[解析] 由题意知AB ＝5(3＋3)n mile ，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°， ∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°， 在△DAB 中，由正弦定理得， DB sin ∠DAB ＝ABsin ∠ADB∴DB ＝AB·sin ∠DABsin ∠ADB＝53＋3·sin45°sin105° ＝53＋3·sin45°sin45°·cos60°＋sin60°·cos45°＝533＋13＋12＝103(n mile)．又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°， BC ＝203(n mile)，在△DBC 中，由余弦定理得， CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos ∠DBC ＝300＋1200－2×103×203×12＝900， ∴CD ＝30(n mile)，则需要的时间t ＝3030＝1(h)． 答：救援船到达D 点需要1h.21．(本小题满分12分)(文)(2015·某某市五校联考)已知f(x)＝3sin(π＋ωx)sin(3π2－ωx)－cos2ωx(ω>0)的最小正周期为T ＝π. (1)求f(2π3)的值；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若有(2a －c)cosB ＝bcosC ，则求角B 的大小以及f(A)的取值X 围．[解析] (1)f(x)＝3sinωxcosωx －cos2ωx ＝32sin2ωx －12cos2ωx －12＝sin(2ωx －π6)－12. ∵y ＝f(x)的最小正周期T ＝π，∴2π2ω＝π，∴ω＝1， ∴f(x)＝sin(2x －π6)－12，∴f(2π3)＝sin(2×2π3－π6)－12＝sin 7π6－12＝－1. (2)∵(2a －c)cosB ＝bcosC ，∴由正弦定理可得：(2sinA －sinC)cosB ＝sinBcosC ， ∴2sinAcosB ＝sinBcosC ＋cosBsinC ＝sin(B ＋C) ＝sin(π－A)＝sinA ，∵sinA>0，∴cosB ＝12，∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3. ∵A ＋C ＝π－B ＝23π，∴A ∈(0，2π3)，∴2A －π6∈(－π6，7π6)，∴sin(2A －π6)∈(－12，1]， ∴f(A)＝sin(2A －π6)－12∈(－1，12]．(理)(2014·某某省五校联考)已知函数f(x)＝(3sinωx ＋cosωx)cosωx －12，其中ω>0，f(x)的最小正周期为4π.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足(2a －c)cosB ＝bcosC ，求函数f(A)的取值X 围．[解析] f(x)＝3sinωx·cosωx ＋cos2ωx －12 ＝32sin2ωx ＋12cos2ωx ＝sin(2ωx ＋π6)． ∵2π2ω＝4π，∴ω＝14，f(x)＝sin(x 2＋π6)．(1)由2kπ－π2≤x 2＋π6≤2kπ＋π2(k ∈Z)得：4kπ－4π3≤x≤4kπ＋2π3(k ∈Z)．∴f(x)的单调递增区间是[4kπ－4π3，4kπ＋2π3](k ∈Z)．(2)由正弦定理得，(2sinA －sinC)cosB ＝sinB·cosC ，∴2sinAcosB ＝sin(B ＋C)，∵sin(B ＋C)＝sin(π－A)＝sinA>0，∴cosB ＝12，∵0<B<π，∴B ＝π3，∴0<A<2π3，π6<A 2＋π6<π2，∴f(A)∈(12，1)．22．(本小题满分14分)(文)(2015·某某某某市诊断)设函数f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin2x. (1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；(2)设A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，若cosB ＝13，f(C 2)＝－14，且C 为锐角，求sinA 的值．[解析] (1)f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin2x ＝cos2xcos π3－sin2xsin π3＋1－cos2x 2＝12－32sin2x ， 所以函数f(x)的最大值为1＋32，最小正周期为π.(2)f(C 2)＝12－32sinC ＝－14，所以sinC ＝32， 因为C 为锐角，所以C ＝π3， 在△ABC 中，cosB ＝13，所以sinB ＝223，所以sinA ＝sin(B ＋C)＝sinBcosC ＋cosBsinC＝223×12＋13×32＝22＋36. (理)(2015·濉溪县月考)已知向量a ＝(cosωx －sinωx ，sinωx)，b ＝(－cosωx －sinωx,23cosωx)，设函数f(x)＝a·b ＋λ(λ∈R)的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数且ω∈(12，1)．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若y ＝f(x)的图象经过点(π4，0)，求函数y ＝f(x)在区间[0，3π5]上的取值X 围．[解析] (1)∵f(x)＝a·b ＋λ＝(cosωx －sinωx)·(－cosωx －sinωx)＋sinωx· 23cosωx ＋λ＝sin2ωx －cos2ωx ＋23sinωx·cosωx ＋λ ＝3sin(2ωx)－cos(2ωx)＋λ＝2sin(2ωx －π6)＋λ.由直线x ＝π是y ＝f(x)图象的一条对称轴，可得sin(2ωπ－π6)＝±1，∴2ωπ－π6＝kπ＋π2(k ∈Z)，即ω＝k 2＋13(k ∈Z)，又ω∈(12，1)，k ∈Z ，所以k ＝1，ω＝56.∴f(x)＝2sin(53x －π6)＋λ，∴f(x)的最小正周期为65π.(2)∵函数y ＝f(x)的图象过点(π4，0)，∴f(π4)＝2sin(53×π4－π6)＋λ＝0，故λ＝－2sin π4＝－ 2.故f(x)＝2sin(53x －π6)－2，∵0≤x≤3π5，∴－π6≤53x －π6≤5π6，∴－12≤sin(53x －π6)≤1，∴－1－2≤2sin(53x －π6)－2≤2－2，故函数f(x)在[0，3π5]上的取值X 围为[－1－2，2－2]．。
高考数学理科一轮复习简单的三角恒等变换学案附答案
高考数学理科一轮复习简单的三角恒等变换学案（附答案）学案22 简单的三角恒等变换导学目标： 1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用.2.能运用两角和与差的三角公式进行简单的恒等变换．自主梳理1．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝________________；(2)cos 2α＝______________＝________________－1＝1－________________；(3)tan 2α＝________________________ (α≠kπ2＋π4且α≠kπ＋π2)．2．公式的逆向变换及有关变形(1)sin αcos α＝____________________⇒cos α＝sin 2α2sin α；(2)降幂公式：sin2α＝________________，cos2α＝________________；升幂公式：1＋cos α＝________________，1－cos α＝_____________；变形：1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcosα＝________________________.自我检测1．(2010陕西)函数f(x)＝2sin xcos x是 ( ) A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为2π的偶函数C．最小正周期为π的奇函数D．最小正周期为π的偶函数2．函数f(x)＝cos 2x－2sin x的最小值和最大值分别为 ( )A．－3,1B．－2,2C．－3，32D．－2，323．函数f(x)＝sin xcos x的最小值是 ( )A．－1B．－12C.12D．14．(2011清远月考)已知A、B为直角三角形的两个锐角，则sin Asin B ( )A．有最大值12，最小值0B．有最小值12，无最大值C．既无最大值也无最小值D．有最大值12，无最小值探究点一三角函数式的化简例1 求函数y＝7－4sin xcos x＋4cos2x－4cos4x 的最大值和最小值．变式迁移1 (2011泰安模拟)已知函数f(x)＝4cos4x－2cos 2x－1sinπ4＋xsinπ4－x.(1)求f－11π12的值；(2)当x∈0，π4时，求g(x)＝12f(x)＋sin 2x的最大值和最小值．探究点二三角函数式的求值例2 已知sin(π4＋2α)sin(π4－2α)＝14，α∈(π4，π2)，求2sin2α＋tan α－1tan α－1的值．变式迁移2 (1)已知α是第一象限角，且cos α＝513，求sinα＋π4cos2α＋4π的值．(2)已知cos(α＋π4)＝35，π2≤α3π2，求cos(2α＋π4)的值．探究点三三角恒等式的证明例3 (2011苏北四市模拟)已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x，tan β＝y，记y＝f(x)．(1)求证：tan(α＋β)＝2tan α；(2)求f(x)的解析表达式；(3)若角α是一个三角形的最小内角，试求函数f(x)的值域．变式迁移3 求证：sin 2xsin x＋cos x－1sin x－cos x＋1＝1＋cos xsin x.转化与化归思想的应用例(12分)(2010江西)已知函数f(x)＝1＋1tan xsin2x＋msinx＋π4sinx－π4.(1)当m＝0时，求f(x)在区间π8，3π4上的取值范围；(2)当tan α＝2时，f(α)＝35，求m的值．【答题模板】解(1)当m＝0时，f(x)＝1＋cos xsin xsin2x＝sin2x＋sin xcos x＝1－cos 2x＋sin 2x2＝122sin2x－π4＋1，[3分]由已知x∈π8，3π4，得2x－π4∈0，5π4，[4分] 所以sin2x－π4∈－22，1，[5分]从而得f(x)的值域为0，1＋22.[6分](2)f(x)＝sin2x＋sin xcos x－m2cos 2x＝1－cos 2x2＋12sin 2x－m2cos 2x＝12[sin 2x－(1＋m)cos 2x]＋12，[8分]由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin2α＋cos2α＝2tan α1＋tan2α＝45，2α＝cos2α－sin2αcos2α＋sin2α＝1－tan2α1＋tan2α＝－35.[10分]所以35＝1245＋351＋m＋12，[11分]解得m＝－2.[12分]【突破思维障碍】三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍角公式等，将较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果．化简三角函数式的基本要求是：(1)能求出数值的要求出数值；(2)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少；(3)分式中的分母尽量不含根式等．1．求值中主要有三类求值问题：(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．2．三角恒等变换的常用方法、技巧和原则：(1)在化简求值和证明时常用如下方法：切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助元素法，“1”的代换法等．(2)常用的拆角、拼角技巧如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，α＝(α－β)＋β，α＋β2＝α－β2＋β－α2，α2是α4的二倍角等．(3)化繁为简：变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为低次，化多项式为单项式，化无理式为有理式．消除差异：消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构等方面的差异．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2011平顶山月考)已知0απ，3sin 2α＝sin α，则cos(α－π)等于 ( )A.13B．－13C.16D．－162．已知tan(α＋β)＝25，tanβ－π4＝14，那么tanα＋π4等于 ( )A.1318B.1322C.322D．(2011石家庄模拟)已知cos2α＝12 (其中α∈－π4，0)，则sin α的值为 ( ) A.12B．－12C.32D．－324．若f(x)＝2tan x－2sin2x2－1sin x2cos x2，则fπ12的值为 ( )A．－433B．8C．43D．－．(2010福建厦门外国语学校高三第二次月考)在△ABC中，若cos 2B＋3cos(A＋C)＋2＝0，则sin B的值是 ( )A.12B.22C.32D．1题号12答案二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2010全国Ⅰ)已知α为第二象限的角，且sin α＝35，则tan 2α＝________.7．函数y＝2cos2x＋sin 2x的最小值是________． 8．若cos 2αsinα－π4＝－22，则cos α＋sin α的值为________．三、解答题(共38分)9．(12分)化简：(1)cos 20°cos 40°cos 60°cos 80°；(2)3－4cos 2α＋cos 4α3＋4cos 2α＋cos4α0．(12分)(2011南京模拟)设函数f(x)＝3sin xcos x －cos xsinπ2＋x－12.(1)求f(x)的最小正周期；(2)当∈0，π2时，求函数f(x)的最大值和最小值．．(14分)(2010北京)已知函数f(x)＝2cos 2x＋sin2x－4cos x.(1)求f(π3)的值；(2)求f(x)的最大值和最小值．答案自主梳理1．(1)2sin αcos α(2)cos2α－sin2α2cos2α2sin2α(3)2tan α1－tan2α 2.(1)12sin 2α(2)1－cos 2α2 1＋cos 2α2 2cos2α2 2sin2α2 (sinα±cos α)2自我检测1．C 2.C 3.B 4.D课堂活动区例1 解题导引化简的原则是形式简单，三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值．本题要充分利用倍角公式进行降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键．解y＝7－4sin xcos x＋4cos2x－4cos4x＝7－2sin 2x＋4cos2x(1－cos2x)＝7－2sin 2x＋4cos2xsin2x＝7－2sin 2x＋sin22x＝(1－sin 2x)2＋6，由于函数z＝(u－1)2＋6在[－1,1]中的最大值为zmax＝(－1－1)2＋6＝10，最小值为zmin＝(1－1)2＋6＝6，故当sin 2x＝－1时，y取得最大值10，当sin 2x＝1时，y取得最小值6.变式迁移1 解(1)f(x)＝1＋cos 2x2－2cos 2x－1sinπ4＋xsinπ4－x＝cos22xsinπ4＋xcosπ4＋x＝2cos22xsinπ2＋2x＝2cos22xcos 2x＝2cos 2x，∴f－11π12＝2cos－11π6＝2cos π6＝3.(2)g(x)＝cos 2x＋sin 2x＝2sin2x＋π4.∵x∈0，π4，∴2x＋π4∈π4，3π4，∴当x＝π8时，g(x)max＝2，当x＝0时，g(x)min＝1.例2 解题导引(1)这类问题一般是先化简再求值；化简后目标更明确；(2)如果能从已知条件中求出特殊值，应转化为特殊角，可简化运算，对切函数通常化为弦函数．解由sin(π4＋2α)sin(π4－2α)＝sin(π4＋2α)cos(π4＋2α)＝12sin(π2＋4α)＝12cos 4α＝14，∴cos 4α＝12，又α∈(π4，π2)，故α＝5π12，∴2sin2α＋tan α－1tan α－1＝－cos 2α＋sin2α－cos2αsin αcos α＝－cos 2α＋－2cos 2αsin 2α＝－cos5π6－2cos5π6sin5π6＝532.变式迁移2 解(1)∵α是第一象限角，cos α＝513，∴sin α＝12∴sinα＋π4cos2α＋4π＝22sin α＋cos αcos 2α＝22sin α＋cos αcos2α－sin2α＝22cos α－sin α＝22513－1213＝－132(2)cos(2α＋π4)＝cos 2αcosπ4－sin 2αsinπ4 ＝22(cos 2α－sin 2α)，∵π2≤α32π，∴3π4≤α＋π474π.又cos(α＋π4)＝350，故可知32πα＋π474π，∴sin(α＋π4)＝－45，从而cos 2α＝sin(2α＋π2)＝2sin(α＋π4)cos(α＋π4)＝2×(－45)×35＝－2422α＝－cos(2α＋π2)＝1－2cos2(α＋π4)＝1－2×(35)2＝725.∴cos(2α＋π4)＝22(cos 2α－sin 2α)＝22×(－2425－725)＝－31250.例3 解题导引本题的关键是第(1)小题的恒等式证明，对于三角恒等式的证明，我们要注意观察、分析条件恒等式与目标恒等式的异同，特别是分析已知和要求的角之间的关系，再分析函数名之间的关系，则容易找到思路．证明三角恒等式的实质就是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，左右归一或变更论证．对于第(2)小题同样要从角的关系入手，利用两角和的正切公式可得关系．第(3)小题则利用基本不等式求解即可． (1)证明由sin(2α＋β)＝3sin β，得sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]，即sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α，∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α，∴ta n(α＋β)＝2tan α.(2)解由(1)得tan α＋tan β1－tan αtan β＝2tan α，即x＋y1－xy＝2x，∴y＝x1＋2x2，即f(x)＝x1＋2x2.(3)解∵角α是一个三角形的最小内角，∴0α≤π3，0x≤3，设g(x)＝2x＋1x，则g(x)＝2x＋1x≥22(当且仅当x ＝22时取“＝”)．故函数f(x)的值域为(0，24]．变式迁移3 证明因为左边＝2sin xcos x[sin x＋cos x－1][sin x－cos x－1] ＝2sin xcos xsin2x－cos x－12 ＝2sin xcos xsin2x－cos2x＋2cos x－1＝2sin xcos x－2cos2x＋2cos x＝sin x1－cos x ＝sin x1＋cos x1－cos x1＋cos x＝sin x1＋cos xsin2x＝1＋cos xsin x＝右边．所以原等式成立．课后练习区1．D [∵0απ，3sin 2α＝sin α，∴6sin αcos α＝sin α，又∵sin α≠0，∴cos α＝16，(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－16.] 2．C [因为α＋π4＋β－π4＝α＋β，所以α＋π4＝(α＋β)－β－π4.所以tanα＋π4＝tanα＋β－β－π4＝tanα＋β－tanβ－π41＋tanα＋βtanβ－π4＝322.]3．B [∵12＝cos 2α＝1－2sin2α，∴sin2α＝14.又∵α∈－π4，0，∴sin α＝－12.]4．B [f(x)＝2tan x＋1－2sin2x212sin x＝2tan x ＋2cos xsin x＝2sin xcos x＝4sin 2x∴fπ12＝4sin π6＝8.]5．C [由cos 2B＋3cos(A＋C)＋2＝0化简变形，得2cos2B－3cos B＋1＝0，∴cos B＝12或cos B＝1(舍)．∴sin B＝32.]6．－247解析因为α为第二象限的角，又sin α＝35，所以cos α＝－45，tan α＝sin αcos α＝－34，所以tan 2α＝2tan α1－tan2α＝－2．1－2解析∵y＝2cos2x＋sin 2x＝sin 2x＋1＋cos 2x ＝sin 2x＋cos 2x＋1＝2sin2x＋π4＋1，∴当sin(2x＋π4)＝－1时，函数取得最小值1－22 解析∵cos 2αsinα－π4＝cos2α－sin2α22sin α－cos α＝－2(sin α＋cos α)＝－22，∴cos α＋sin α＝12.9．解(1)∵sin 2α＝2sin αcos α，∴cos α＝sin 2α2sin α，…………………………………………………………………………(2分)∴原式＝sin 40°2sin 20°sin 80°2sin 40°12sin 160°2sin 80°＝sin180°－20°16sin 20°＝116.……………………………………………………………………(6分)(2)原式＝3－4cos 2α＋2cos22α－13＋4cos 2α＋2cos22α－1………………………………………………………(9分) ＝1－cos 2α21＋cos2α2＝2sin2α22cos2α2＝tan4α.………………………………………………………(12分)10．解f(x)＝3sin xcos x－cos xsinπ2＋x－12 ＝32sin 2x－12cos 2x－1＝sin2x－π6－1.…………………………………………………………………………(4分)(1)T＝2π2＝π，故f(x)的最小正周期为π.…………………………………………………(6分)(2)因为0≤x≤π2，所以－π6≤2x－π6≤5π6.所以当2x－π6＝π2，即x＝π3时，f(x)有最大值0，……………………………………………………………………………………………(10分)当2x－π6＝－π6，即x＝0时，f(x)有最小值－32.……………………………………………………………………………………………(12分)11．解(1)f(π3)＝2cos2π3＋sin2π3－4cosπ3 ＝－1＋34－2＝－94.………………………………………………………………………(4分)(2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)－4cos x＝3cos2x－4cos x－1＝3(cos x－23)2－73，x∈R.………………………………………………………………(10分)因为cos x∈[－1,1]，所以，当cos x＝－1时，f(x)取得最大值6；当cos x＝23时，f(x)取得最小值－73.…………………………………………………(14分)。
年高考数学一轮总复习三角恒等变换的证明与综合运用题解析
年高考数学一轮总复习三角恒等变换的证明与综合运用题解析三角恒等变换是高中数学学科中的重要内容，它是通过对三角函数中等式关系的变换和推导，来解决问题和证明定理的方法之一。
在高考数学中，三角恒等变换经常被用来解决各种类型的综合运用题。
本文将对三角恒等变换的证明与综合运用题进行解析。
一、三角恒等变换的基本形式三角恒等变换是指将一个三角函数的表达式转化为另一个等价的三角函数的表达式，或者将一个三角函数的等式变换为另一个等价的三角函数的等式。
根据等式的关系，三角恒等变换可以分为以下几种基本形式：1. 三角函数的平方和差恒等变换：\[ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \]\[ \sin^2 \theta - \cos^2 \theta = \sin^2 \theta - (1 - \sin^2 \theta) = 2\sin^2 \theta - 1 \]\[ \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = \cos^2 \theta - (1 - \cos^2 \theta) =2\cos^2 \theta - 1 \]2. 三角函数的倍角恒等变换：\[ \sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta \]\[ \cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \]\[ \tan 2\theta = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta} \]3. 三角函数的半角恒等变换：\[ \sin \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}} \]\[ \cos \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}} \]\[ \tan \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}} \]二、三角恒等变换的证明三角恒等变换的证明通常需要运用基本的三角函数定义和三角函数的性质，以及一些代数化简的方法。
2016届高考数学理命题猜想专题09三角恒等变换与解三角形(解析版)
命题猜想九 三角恒等变换与解三角形【考向解读】正弦定理和余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，1.和差角公式、二倍角公式是高考的热点，常与三角函数式的求值、化简交汇命题．既有选择题、填空题，又有解答题，难度适中，主要考查公式的灵活运用及三角恒等变换能力．2.预测2016年高考仍将以和差角公式及二倍角公式为主要考点，复习时应引起足够的重视．3.边和角的计算；4.三角形形状的判断；5.面积的计算；6.有关的范围问题．【命题热点突破一】三角恒等变换 例1、(1)已知tan α＝－35，则sin 2α＝( ) A.1517 B ．－1517 C ．－817 D.817(2)若cos(π3－2x)＝－78，则sin(x ＋π3)的值为( ) A.14 B.78 C ．±14 D ．±78 【答案】（1）B （2）C 【解析】【感悟提升】 解决三角函数问题的基本思想是“变换”，通过适当的变换达到由此及彼的目的．在三角函数问题中变换的基本方向有两个：一个是变换函数名称，一个是变换角的形式．变换函数名称可以使用诱导公式、同角三角函数的基本关系等；变换角的形式可以使用两角和、差的三角函数公式、倍角公式，对角进行代数形式的变换等．【变式探究】(1)已知sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝14，那么cos 2α＝________． (2)已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin α＝－4 35，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3等于( ) A ．－45 B ．－35 C.45 D.35 【答案】（1）－78 （2）A【解析】 （1）依题意得cosα＝14，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝⎛⎭⎫142－1＝－78.（2）由sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin α＝－4 35，得3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－4 35，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45，于是cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6－π2＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45.【命题热点突破二】 正、余弦定理例2、(1)△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且asin A ＋csin C －2asin C ＝bsin B ，则角B ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．135°(2)已知在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且c ＝2bsin C ，a 2＝b 2＋c 2－3bc ，则角C ＝( )A.π6B.π3C.π2D.2π3 【答案】（1）B （2）D 【解析】【感悟提升】 关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．求三角形中的角，关键是利用正弦定理或余弦定理求出某角的正弦值或余弦值，再根据角的范围求出对应的角的大小．解题时要注意利用三角形内角和定理，即A ＋B ＋C ＝π.【答案】 23π【解析】 ∵cos B cos C ＋2a c ＋bc ＝0， ∴ccos B ＋2acos C ＋bcos C ＝0，由正弦定理得sin Ccos B ＋2sin Acos C ＋sin Bcos C ＝0， ∴sin （B ＋C ）＋2sin Acos C ＝sin A ＋2sin Acos C ＝0， ∵sin A≠0，∴cos C ＝－12，∴C ＝23π.【变式探究】在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且csin B ＝bcos C ＝3. (1)求b ；(2)若△ABC 的面积为212，求c. 【解析】【感悟提升】 求解三角形的边和面积的关键是利用正、余弦定理求出相关角度和边长．正弦定理揭示了三角形三边和其对角的正弦的比例关系，余弦定理揭示了三角形的三边和其中一个内角的余弦之间的关系．正弦定理可以使各边的比值和各个内角的正弦的比值相互转化．只要知道了三角形三边之间的比例关系即可利用余弦定理求出三角形的内角．【命题热点突破三】 正、余弦定理的实际应用例3、已知一块四边形园地ABCD 中，A ＝45°，B ＝60°，C ＝105°.若AB ＝2 m ，BC ＝1 m ，则该四边形园地ABCD 的面积等于________m 2.【答案】6－34【解析】 如图所示，连接AC.根据余弦定理可得AC ＝ 3 m ，易知△ABC 为直角三角形，且∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，所以∠DAC ＝15°，∠DCA ＝15°，故△ADC 为等腰三角形.设AD ＝DC ＝x m ，根据余弦定理得x 2＋x 2＋3x 2＝3，即x 2＝32＋3＝3（2－3）. 所以四边形园地ABCD 的面积为12×1×3＋12×3×（2－3）×12＝2 3＋6－3 34＝6－34 m 2.【感悟提升】使用正、余弦定理解三角形的关键是把求解目标归入到可解三角形中(可解三角形指符合正弦定理、余弦定理的应用条件，能够求出三角形各个元素的三角形)，在一些复杂的问题中，需要把求解目标分解到两个或者更多个可解三角形之中．【变式探究】如图所示，一学生在河岸紧靠河边笔直行走，在A处时，经观察，在河对岸有一参照物C与学生前进方向成30°角，学生前进200 m后，测得该参照物与前进方向成75°角，则河的宽度为()A．50(3＋1)m B．100(3＋1)mC．50 2 m D．100 2 m【答案】A【解析】【命题热点突破四】正、余弦定理解具有空间结构的三角形综合问题例4、[2015·湖北卷]如图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30 °的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75 °的方向上，仰角为30 °，则此山的高度CD＝________m.【答案】100 6【解析】依题意，在△ABC中，AB＝600，∠BAC＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°.由正弦定理得BCsin∠BAC＝ABsin∠ACB，即BCsin 30°＝600sin 45°，所以BC＝300 2.在△BCD中，∠CBD＝30°，CD＝BCtan ∠CBD ＝300 2·tan 30°＝100 6.【感悟提升】解三角形与三角函数的综合题，要优先考虑角的范围和角之间的关系；对最值或范围问题，可以转化为三角函数的值域来求．【变式探究】如图所示，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°，以及∠MAC ＝75°，从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m.【答案】150【解析】【易错分析】 对于求解有空间结构的三角形问题，有两个易错点：一是方位角的确定；二是选择合适的三角形，并在相关三角形中进行边和角的转换．【高考真题解读】1.【2015高考四川，理12】=+75sin 15sin .【解析】法一、6sin15sin 75sin15cos152sin(1545)+=+=+=法二、6sin15sin 75sin(4530)sin(4530)2sin 45cos30+=-++==.法三、6sin15sin 75-+=+=.2.【2015高考浙江，理11】函数2()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，单调递减区间是 ．【答案】π，]87,83[ππππk k ++，Z k ∈.【解析】3.【2015高考天津，理15】（本小题满分13分）已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，R x ∈(I)求()f x 最小正周期；(II)求()f x 在区间[,]34p p-上的最大值和最小值.【答案】(I)π; (II)max ()f x =,min 1()2f x =-.【解析】(I) 由已知，有1cos 21cos21113()cos22cos222222x x f x x x xπ⎛⎫-- ⎪⎛⎫-⎝⎭=-=+- ⎪⎝⎭112cos2sin 2426x x x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.所以()f x 的最小正周期22T ππ==.(II)因为()f x 在区间[,]36p p --上是减函数，在区间[,]64p p -上是增函数，11(),(),()34624f f f πππ-=--=-=，所以()f x 在区间[,]34p p -，最小值为12-.4.【2015高考重庆，理18】已知函数()2sin sin2f x x x xπ⎛⎫=--⎪⎝⎭（1）求()f x的最小正周期和最大值；（2）讨论()f x在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性.【答案】（1）最小正周期为p，；（2）()f x在5[,]612ππ上单调递增；()f x在52[,]123ππ上单调递减.【解析】5.【2015高考上海，理14】在锐角三角形CAB中，1tan2A=，D为边CB上的点，D∆AB与CD ∆A 的面积分别为2和4．过D 作D E ⊥AB 于E ，DF C ⊥A 于F ，则D DFE ⋅= ．【答案】1615-【解析】6.【2015高考广东，理11】设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =1sin 2B =，6C =π，则b = .【答案】1．【解析】因为1sin 2B =且()0,B π∈，所以6B π=或56B π=，又6C π=，所以6B π=，23A B C ππ=--=，又a =由正弦定理得sin sin a b A B =即sin36bπ=解得1b =，故应填入1．7.【2015高考湖北，理12】函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为 ．【答案】2 【解析】因为2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+|)1ln(|sin 2sin )cos 1(2+--+=x x x x |)1ln(|2sin +-=x x所以函数)(x f 的零点个数为函数x y 2sin =与|)1ln(|+=x y 图象的交点的个数， 函数x y 2sin =与|)1ln(|+=x y 图象如图，由图知，两函数图象有2个交点， 所以函数)(x f 有2个零点.8.【2015高考重庆，理13】在ABC 中，B =120o，AB，A 的角平分线AD,则AC =_______.【解析】9.【2015高考福建，理12】若锐角ABC ∆的面积为，且5,8AB AC == ，则BC 等于________．【答案】7【解析】由已知得ABC ∆的面积为1sin 20sin 2AB AC A A⋅==sin A =，(0,)2A π∈，所以3A π=．由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅=49，7BC =．10.【2015高考新课标2，理17】（本题满分12分）ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍．(Ⅰ) 求sin sin B C ∠∠；(Ⅱ)若1AD =，DC =BD 和AC 的长．【答案】(Ⅰ)12；(Ⅱ)1．【解析】(Ⅰ)1sin 2ABD S AB AD BAD ∆=⋅∠，1sin 2ADC S AC AD CAD ∆=⋅∠，因为2ABDADC S S ∆∆=，BAD CAD ∠=∠，所以2AB AC =．由正弦定理可得sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠．。
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高考总复习高 中 数 学 高 考 总 复习 简 单 的 三 角 恒 等 变 换 习 题 及 详 解一、选择题π π ，x ∈ R ，则函数 f(x) 是()1． (文 )(2010 山·师大附中模考 )设函数 f(x)＝ cos 2(x ＋ )－ sin 2(x ＋ )44A ．最小正周期为 π的奇函数B ．最小正周期为 π的偶函数πC ．最小正周期为 2的奇函数πD ．最小正周期为 2的偶函数 [ 答案 ] Aπ2π[ 解析 ] f(x)＝ cos(2x ＋ 2)＝－ sin2x 为奇函数，周期 T ＝ 2 ＝ π. ( 理)(2010 辽·宁锦州 )函数 y ＝ sin 2x ＋ sinxcosx 的最小正周期 T ＝ ()π π A ． 2π B ． πC.2D.3[ 答案 ] B[ 解析 ] y ＝ sin 2x ＋ sinxcosx ＝ 1－ cos2x 12＋ sin2x2 ＝ 1＋ 2π，∴最小正周期 T ＝ π.2 2 sin 2x － 4232． (2010 重·庆一中 )设向量 a ＝ (cos α， 2 )的模为 2 ，则 cos2α＝ ()111 3 A ．－ 4 B ．－ 2C.2D. 2[ 答案 ] B[ 解析 ] ∵ |a|2＝ cos 2α＋ 2 2＝ cos 2α＋ 1＝ 3，2 2 4∴ cos 2α＝1，∴ cos2α＝ 2cos 2α－ 1＝－ 1.42α3．已知 tan 2＝ 3，则 cos α＝ ()444 3A. 5 B ．－ 5C.15D ．－ 5[ 答案 ] Bαααα cos2－ sin2222含详解答案高考总复习1－ tan 2α＝ 2 ＝1－ 9＝－ 4，故选 B. 1＋ tan 2α 1＋ 9522C4．在△ABC 中，若 sinAsinB ＝ cos 2 ，则△ABC 是 ()A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角的三角形 [ 答案 ] B[ 解析 ] ∵ sinAsinB ＝ cos 2C，211∴ 2[cos(A － B)－ cos(A ＋ B)] ＝ 2(1＋ cosC)， ∴ cos(A － B)－cos( π－C)＝ 1＋ cosC ，∴ cos(A － B)＝1，∵－ π<A －B<π，∴ A － B ＝ 0，∴△ ABC 为等腰三角形．π5． (2010 ·阳市诊断绵 )函数 f(x)＝ 2sin(x － 2) ＋|cosx|的最小正周期为( )πA. 2B ．πC ． 2πD ． 4π[ 答案 ] C[ 解析 ] f(x)＝－ 2cosx ＋ |cosx|－ cosx cosx ≥ 0＝，画出图象可知周期为2π.－ 3cosx cosx<016． (2010 揭·阳市模考 )若 sinx ＋ cosx ＝ 3， x ∈ (0， π)，则 sinx － cosx 的值为 ()17171 17 A ． ± 3 B ．－ 3C.3D. 3[ 答案 ] D[ 解析 ]11 ，∴ sin2x ＝－ 8π 由 sinx ＋ cosx ＝ 两边平方得， 1＋ 2sinxcosx ＝ <0，∴ x ∈ ， π，3 99 2∴ (sinx － cosx)2＝ 1－ sin2x ＝17且sinx>cosx ， 9∴ sinx －cosx ＝17，故选 D.3高考总复习7． (文 )在锐角△ABC 中，设 x ＝ sinA ·sinB ， y ＝ cosA ·cosB ，则 x ， y 的大小关系是 ( )A ． x ≤yB ． x ＜ yC ． x ≥ yD ． x ＞y[ 答案 ] Dπ[ 解析 ] ∵ π>A ＋ B ＞ ，∴ cos(A ＋ B)＜0，即 cosAcosB － sinAsinB ＜ 0，∴ x ＞ y ，故应选 D.2( 理)(2010 皖·南八校 )在△ABC 中，角 A 、B 、 C 的对边分别为 a 、b 、 c ，如果 cos(2B ＋ C)＋ 2sinAsinB<0，那么 a 、 b 、 c 满足的关系是 ()A ． 2ab>c 2B ． a 2＋ b 2<c 2C ． 2bc>a 2D ． b 2＋ c 2<a 2[ 答案 ] B[ 解析 ] ∵ cos(2B ＋C)＋ 2sinAsinB<0，且 A ＋B ＋ C ＝ π，∴ cos( π－ A ＋B)＋ 2sinA ·sinB<0，∴ cos( π－ A)cosB － sin( π－ A)sinB ＋ 2sinAsinB<0，∴－ cosAcosB ＋ sinAsinB<0 ，即 cos(A ＋ B)>0，π π∴ 0<A ＋ B< ，∴ C> ，22a 2＋b 2－c 2由余弦定理得，cosC ＝<0，2ab∴ a 2＋ b 2－ c 2<0，故应选 B.8． (2010 ·林省调研吉 )已知 a ＝ (cosx ，sinx)，b ＝ (sinx ，cosx)，记 f(x)＝a ·b ，要得到函数 y ＝ sin 4x － cos 4x 的图象，只需将函数 y ＝ f( x)的图象 ()πA ．向左平移 2个单位长度πB ．向左平移 4个单位长度πC ．向右平移 2个单位长度πD ．向右平移 4个单位长度[ 答案 ] D[ 解析 ] y ＝ sin 4x － cos 4 x ＝(sin 2x ＋ cos 2x)(sin 2x － cos 2x)＝－ cos2x ，π π π π将 f( x)＝ a ·b ＝ 2sinxcosx ＝ sin2x ，向右平移 4 个单位得， sin2 x －4 ＝ sin 2x －2 ＝－ sin － 2x＝－ cos2x ，故2 选 D.高考总复习π 29． (2010 浙·江金华十校模考 )已知向量 a ＝ (cos2α， sin α)， b ＝ (1,2sin α－ 1)， α∈ 4， π，若 a ·b ＝5，π 则 tan α＋4 的值为 ( )12 1 2 A.3 B.7C.7D.3[ 答案 ] C[ 解析 ]a ·b ＝ cos2α＋ 2sin 2α－sin α＝ 1－ 2sin 2α＋ 2sin 2α－ sin α＝ 1－ sin α＝ 2，∴ sin α＝ 3，5 5 π∵ <α<π，∴ cos α＝－ 4，∴ tan α＝－ 3，454π 1＋ tan α 1 .∴ tan α＋ ＝ ＝4 1－ tan α 75π 7π10． (2010 湖·北黄冈模拟 )若 2 ≤ α≤ 2 ，则 1＋ sin α＋ 1－ sin α等于 ()α α A ．－ 2cos 2 B ． 2cos 2α α C ．－ 2sin 2 D ． 2sin 2[ 答案 ]C5π7π 5π α 7π[ 解析 ] ≤ α≤，∴4≤ ≤4.∵ 2 2 2∴ 1＋ sin α＋ 1－ sin α＝1＋ 2sin α α 1－ 2sin α α2 cos ＋ cos22 2 ＝α α α α2sin ＋ cos2 ＋sin － cos2 2 22αα α α＝－ (sin ＋ cos )－ (sin － cos )2222α＝－ 2sin 2. 二、填空题π 311． (2010 广·东罗湖区调研 )若 sin 2＋ θ＝5，则 cos2θ＝ ________. [ 答案 ] 7 － 25π 3，∴ cos θ＝ 3，[ 解析 ] ∵ sin ＋ θ＝2 5 5∴ cos2θ＝ 2cos2θ－ 1＝－ 257.高考总复习tanx－ tan3 x12． (2010 江·苏无锡市调研 )函数 y＝的最大值与最小值的积是 ________．1＋ 2tan 2x＋tan4x[ 答案 ]1 －16[ 解析 ] y＝tanx－ tan3x tanx 1－ tan2x2 4＝2 21＋ 2tan x＋ tan x 1＋ tan x＝tanx 1－ tan2x＝sinxcosx cos2x－ sin2x2 · 2 2 2 ＋ 2 2 1＋ tan x 1＋ tan x cos x＋ sin x cos x＋ sin x 1 1＝2sin2x·cos2x＝4sin4x，1所以最大与最小值的积为－16.13． (2010 ·江杭州质检浙)函数 y＝ sin(x＋ 10°)＋ cos(x＋ 40°)，( x∈R )的最大值是 ________．[ 答案 ] 1[ 解析 ]y＝ sinxcos10 °＋ cosxsin10 ＋°cosxcos40 °－ sinxsin40 ＝°(cos10 －°sin40 )sinx°＋ (sin10 ＋°cos40 °)cosx，其最大值为＝2＋ 2 sin10 °cos40°－ cos10°sin40 °＝2＋ 2sin － 30°＝ 1.θ14．(文 )如图， AB 是半圆 O 的直径，点 C 在半圆上， CD⊥ AB 于点 D ，且 AD＝ 3DB ，设∠COD ＝θ，则 tan22＝________.[ 答案 ] 1 3[ 解析 ]3r，∴ OD＝r，∴ CD ＝ 3 CD ＝3，设 OC＝ r，∵ AD ＝ 3DB，且 AD＋ DB＝2r，∴ AD ＝2 2 2 r ，∴ tanθ＝OD θ∵ tanθ＝2tan2 θ3，∴ tan ＝1－ tan2θ 2 3 (负值舍去 )，2θ1∴tan22＝3.( 理)3tan12 －°3＝ ________. 4cos212 °－ 2 sin12 °[ 答案 ] － 4 3[ 解析 ]3tan12 －°3 ＝ 3 sin12 －°3cos12 °4cos212°－2 sin12 ° 2cos24 sin12°cos12° °2 3sin 12 °－ 60°3. ＝ 1 ＝－ 4三、解答题15． (文 )(2010 北·京理 )已知函数f(x)＝2cos2x ＋ sin 2x － 4cosx.π(1) 求 f(3)的值；(2) 求 f(x)的最大值和最小值．[ 解析 ] π 2π π π 3 9 (1) f( )＝ 2cos＋ sin2－ 4cos ＝－ 1＋－2＝－ .3 33344(2) f(x)＝2(2cos 2 x － 1)＋(1 －cos 2x)－ 4cosx＝ 3cos 2x － 4cosx － 1＝ 3(cosx －23)2－73， x ∈ R因为 cosx ∈ [ － 1,1] ，所以当 cosx ＝－ 1 时， f(x)取最大值 6；当 cosx ＝2时， f(x)取最小值－733.( 理)(2010 广·东罗湖区调研 )已知 a ＝(cosx ＋sinx ， sinx)， b ＝ (cosx － sinx,2cosx)，设 f(x)＝ a ·b. (1) 求函数 f(x)的最小正周期；(2) 当 x ∈ 0，π时，求函数 f(x)的最大值及最小值．2[ 解析 ] (1) f(x)＝ a ·b ＝ (cosx ＋ sinx) ·(cosx － sinx)＋ sinx ·2cosx ＝ cos 2x －sin 2x ＋ 2sinxcosx＝ cos2x ＋ sin2x ＝ 2222 cos2x ＋ 2 sin2xπ ＝ 2sin 2x ＋4 .∴ f(x)的最小正周期 T ＝ π.πππ 5π(2) ∵ 0≤ x ≤ ，∴ ≤ 2x ＋ ≤ 4 ，2 4 4π π ππ 5π π∴当 2x ＋4＝ 2，即 x ＝8时， f(x)有最大值 2；当 2x ＋ 4＝ 4 ，即 x ＝2 时， f(x)有最小值－ 1.π16． (文 )设函数 f(x)＝ cos 2x ＋ 3 ＋ sin 2x.(1) 求函数 f(x)的最大值和最小正周期；1C1(2) 设 A 、 B 、 C 为△ABC 的三个内角，若 cosB ＝3， f(2 )＝－4，且 C 为锐角，求 sinA 的值． [ 解析 ] (1) f(x)＝ cos 2x ＋ π π π 1－ cos2x 1 － 3 ＋ sin 2x ＝ cos2xcos － sin2xsin ＋ ＝ 2 sin2x ，3 3 3 2 2所以函数 f(x)的最大值为1＋ 3，最小正周期为π.2(2) f(C )＝ 1－ 3sinC ＝－ 1，所以 sinC ＝ 3π因为 C 为锐角，所以C ＝ 3，在△ ABC 中， cosB ＝13，所以 sinB ＝2 3 2，所以 sinA ＝ sin(B ＋ C)＝ sinBcosC ＋ cosBsinC＝ 2 2 1 1 × 3 ＝ 22＋ 33 × ＋ 26 .2 3→ → → →( 理)已知角 A 、B 、 C 为△ABC 的三个内角， OM ＝ (sinB ＋ cosB ， cosC)， ON ＝ (sinC ， sinB － cosB)， OM ·ON ＝1－ 5.(1) 求 tan2A 的值；2A(2) 2cos 2－ 3sinA － 1 的值．求π2sin A ＋4[ 解析 ]→ →(1) ∵OM ·ON ＝ (sinB ＋ cosB)sinC ＋1cosC(sinB － cosB)＝ sin(B ＋ C)－ cos(B ＋ C) ＝－ 5，∴ sinA ＋ cosA ＝－ 1①5两边平方并整理得： 2sinAcosA ＝－ 24，25∵－24π， π ，25<0，∴ A ∈ 2∴ sinA － cosA ＝ 1－2sinAcosA ＝ 75②联立①②得： sinA ＝ 3，cosA ＝－ 4，∴ tanA ＝－ 3， 5 5 4－ 3∴ tan2A ＝2tanA2＝224 . A ＝－ 1－tan 1－ 9 7163(2) ∵ tanA ＝－ 4，A2cos 22 － 3sinA － 1 cosA －3sinA 1－ 3tanA ∴ π＝ cosA ＋sinA ＝1＋ tanA 2sin A ＋43＝1－3× －4 ＝ 13.－341＋π点之间的距离为2.(1) 求 m 和 a 的值；π(2) 若点 A(x 0， y 0) 是 y ＝ f( x)图象的对称中心，且 x 0∈ 0， 2 ，求点 A 的坐标． [ 解析 ] (1) f(x)＝ sin 2ax － 3sinaxcosax1－ cos2ax3π 1＝ 2 － 2 sin2ax ＝－ sin 2ax ＋ 6 ＋ 2，由题意知， m 为 f(x)的最大值或最小值，所以 m ＝－ 12或 m ＝32，π 由题设知，函数f(x)的周期为，∴ a ＝ 2，2所以 m ＝－ 1或 m ＝3， a ＝ 2. 2 2(2) ∵ f(x)＝－ sin 4x ＋ π＋1，6 2ππ∴令 sin 4x ＋ 6 ＝0，得 4x ＋6＝ k π(k ∈ Z) ，∴ x ＝ k π π－424(k ∈ Z)，由 0≤ k π π π(k ∈ Z)，得 k ＝ 1 或 k ＝ 2，4 －24≤2 因此点 A 的坐标为 5π 1 或 11π1 ， ，24 2 24 2.( 理)(2010 广·东佛山顺德区检测 )设向量 a ＝ (sinx,1)， b ＝ (1， cosx)，记 f(x)＝ a ·b ， f ′ (x)是 f( x)的导函数．(1) 求函数 F(x)＝ f(x)f ′ (x)＋ f 2(x)的最大值和最小正周期；(2) 若 f(x)＝ 2f ′ (x)，求1＋ 2sin 2x的值．cos 2x － sinxcosx[ 解析 ] (1) f(x)＝ sinx ＋cosx ，∴ f ′( x)＝ cosx －sinx ，∴ F(x)＝ f(x)f ′ (x)＋ f 2(x) ＝ cos 2x －sin 2x ＋ 1＋2sinxcosx＝ cos2x ＋ sin2x ＋ 1＝ 1＋ 2sin π2x ＋4 ，π π π ∴当 2x ＋ ＝ 2k π＋ ，即 x ＝ k π＋ (k ∈ Z)时， F( x)max ＝1 ＋ 2.428最小正周期为 T ＝ 2π＝ π.2(2) ∵ f(x)＝ 2f ′ (x)，∴ sinx＋ cosx＝ 2cosx－ 2sinx，∴cosx＝ 3sinx，∴ tanx＝1，3∴1＋ 2sin2x ＝ 3sin2x＋ cos2x ＝ 3tan2x＋ 1＝2.cos2x－sinxcosx cos2x－sinxcosx 1－ tanx。
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第七单元三角恒等变换(120分钟150分)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知sin(α-15°)=,则cos(30°-2α)的值为A.B.C.D.解析:cos(30°-2α)=1-2sin2(15°-α)=1-2sin2(α-15°)=.答案:A2.函数y=(sin x+cos x)(sin x-cos x)是A.偶函数且在[,π]上单调递增B.偶函数且在[0,]上单调递增C.奇函数且在[0,]上单调递增D.奇函数且在[,π]上单调递增解析:y=(sin x+cos x)(sin x-cos x)=sin2x-cos2x=-cos 2x.答案:B3.函数f(x)=sin x-cos(x+)的值域为A.[-2,2]B.[-,]C.[-1,1]D.[-,]解析:因为f(x)=sin x-cos x=sin(x-),所以f(x)∈[-,].答案:B4.若=,则tan 2α等于A.B.-C.D.-解析:因为==,tan α=2,所以tan 2α===-.答案:D5.已知函数f(x)=1+cos 2x-2sin2(x-),则下列结论中正确的是A.f(x)是最小正周期为π的偶函数B.f(x)的一条对称轴是x=C .f (x )的最大值为2D .将函数y=sin 2x 的图象左移得到函数f (x )的图象解析:因为f (x )=1+cos 2x-2sin 2(x-),所以f (x )=cos 2x+cos (2x-)=cos 2x+sin2x=sin (2x+)=sin (2(x+)).答案:D6.已知0<α<,-<β<0,cos (+α)=,cos (-)=,则cos (α+)等于A .B .C .-D .-解析:因为α+=(α+)-(-),所以cos (α+)=cos [(α+)-(-)]=cos (α+)cos (-)+sin (α+)sin (-)=×+×==.答案:B7.设α、β、γ∈(0,),且sin α+sin γ=sin β,cos β+cos γ=cos α,则β-α等于A .-B .C .-或D .解析:由已知得sin γ=sin β-sin α①,cos γ=cos α-cos β②,两式平方相加得cos (β-α)=,因为sin α+sin γ=sin β,且α、β、γ∈(0,),所以sin α<sin β,故α<β,β-α=.答案:D8.已知曲线f (x )=2sin (x+)cos (-x )与直线y=相交,若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为P 1,P 2,P 3,…,则||等于A .πB .2πC .3πD .4π解析:因为f (x )=2sin (x+)cos (-x )=2sin 2(x+)=1-cos (2x+)=1+sin 2x ,所以f (x )=1+sin 2x 的最小正周期是π,结合函数f (x )=1+sin 2x 的图象(如图所示)可知,||=2π.答案:B9.已知tan (α+)=-,且<α<π,则等于A.B.-C.-D.-解析:因为==2cos α,由tan(α+)=-,得=-,tanα=-3,因为<α<π,所以cos α=-,2cos α=-.答案:C10.已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(0<φ<π)的图象如右图所示,若f(x0)=3,x0∈(,),则sin x0的值为A.B.C.D.解析:因为f(x)=5sin(x+),f(x)=3,所以sin(x0+)=,又x0∈(,),所以x0+∈(,π),故得cos(x0+)=-,所以sin x0=sin[(x0+)-]=sin(x0+)cos-cos(x0+)sin=.答案:A11.已知函数f(x)=sin 2x+cos 2x-m在[0,]上有两个零点,则m的取值范围是A.(1,2)B.[1,2]C.(1,2]D.[1,2)解析:因为f(x)=sin 2x+cos 2x-m=2sin(2x+)-m,则2sin(2x+)=m,当x∈[0,]时,t=2x+∈[,],结合y=2sin t,t∈[,]的函数图象知1≤m<2.答案:D12.函数f(x)=sin 2x+2cos2x-,g(x)=m cos(2x-)-2m+3(m>0),若任意存在x1∈[0,],存在x2∈[0,],使得g(x1)=f(x2)成立,则实数m的取值范围是A.(1,)B.(,1]C.[,1]D.[1,]解析:因为f(x)=sin 2x+2cos2x-=sin 2x+cos 2x=2sin(2x+),当x∈[0,]时,f(x)∈[1,2],当x∈[0,]时,g(x)∈[3-m,3-m],因为若任意存在x1∈[0,],存在x2∈[0,],使得g(x1)=f(x2)成立,所以[3-m,3-m]⊆[1,2],3-m≥1,3-m≤2,解得m∈[1,].答案:D第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.13.函数y=(tan x-1)cos2x的最大值是.解析:y=sin x cos x-cos2x=(sin 2x-cos 2x)-=sin(2x-)-,当2x-=+2kπ(k∈Z)时,即x=+kπ(k∈Z),y max=.答案:14.已知α,β∈(,π),sin(α+β)=-,sin(β-)=,则cos(α+)=.解析:因为α,β∈(,π),所以α+β∈(,2π),cos(α+β)=,因为β-∈(,),所以得cos(β-)=-,所以cos(α+)=cos[(α+β)-(β-)]=cos(α+β)·cos(β-)+sin(α+β)·sin(β-)=×(-)+(-)×=-.答案:-15.已知tan(α+β)=-1,tan(α-β)=,则=.解析:因为tan(α+β)=-1,tan(α-β)=,所以sin(α+β)=-cos(α+β),sin(α-β)=cos(α-β),又因为=,所以原式==.答案:16.若<β<α<,cos(α-β)=,sin(α+β)=-,则sin α+cos α的值为.解析:因为sin 2α=sin[(α+β)+(α-β)],0<α-β<,π<α+β<,所以sin(α-β)=,cos(α+β)=-,sin 2α=sin[(α+β)+(α-β)]=-,因为<α<,所以sin α+cos α>0,(sin α+cos α)2=1+sin 2α=,所以sin α+cos α=.答案:三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.(本小题满分10分)已知tan(α-β)=,tan β=-,α,β∈(0,π).(1)求tan (α+β); (2)求2α-β的值.解析:(1)因为tan 2β==-,所以tan (α+β)=tan (α-β+2β)==.5分(2)tan α=tan (α-β+β)==,tan (2α-β)=tan (α+α-β)==1,又因为tan α>0,tan β<0,所以<β<π,0<α<,-π<α-β<0,因为tan (α-β)>0,所以-π<α-β<-,得-π<2α-β<0,又tan (2α-β)>0,-π<2α-β<-, 所以得2α-β=-π.10分18.(本小题满分12分)已知f (x )=cos x (cos x-3)+sin x (sin x-3). (1)若x ∈[2π,3π],求f (x )的单调递增区间; (2)若x ∈(,)且f (x )=-1,求tan 2x 的值.解析:(1)由已知得,f (x )=cos 2x-3cos x+sin 2x-3sin x=1-3(sin x+cos x )=1-3sin (x+),由2k π+≤x+≤2k π+(k ∈Z),得2k π+≤x ≤2k π+(k ∈Z), 又x ∈[2π,3π],所以函数f (x )的单调递增区间是x ∈[,3π]. 6分(2)由(1)知f (x )=1-3sin (x+)=-1,所以sin (x+)=,所以cos 2(x+)=1-2sin 2(x+)=,sin 2x=-,因为x ∈(,),2x ∈(π,),所以cos 2x=-=-,所以tan 2x==. 12分19.(本小题满分12分)已知sin (2α+β)=3sin β,设tan α=x ,tan β=y ,记y=f (x ). (1)求f (x )的解析表达式;(2)若α是三角形的最小内角,试求函数f (x )的值域.解析:(1)由sin (2α+β)=3sin β,得sin [(α+β)+α]=3sin [(α+β)-α], sin (α+β)cos α+cos (α+β)sin α=3sin (α+β)cos α-3cos (α+β)sin α, 所以sin (α+β)cos α=2cos (α+β)sin α,所以tan (α+β)=2tan α,于是tan (α+β)=2tan α=,即2x=,所以y=,即f (x )=.6分(2)因为α是三角形的最小内角,所以0<α≤,即0<x ≤,因为==2x+,设g (x )=2x+,则g (x )=2x+≥2(当且仅当x=时取等号),故函数f (x )的值域为(0,].12分20.(本小题满分12分) 已知函数f (x )=2sin x cos x+2cos 2x-1.(1)求函数f (x )的最小正周期及在区间[0,]上的最大值和最小值.(2)若f (x 0)=,x 0∈[,],求cos 2x 0的值.解析:(1)由f (x )=2sin x cos x+2cos 2x-1得,f (x )=sin 2x+cos 2x=2sin (2x+),所以函数的最小正周期为T==π,因为x ∈[0,],所以2x+∈[,],即x ∈[0,]时,函数f (x )为增函数,而在x ∈[,]时,函数f (x )为减函数,所以f ()=2为最大值,f ()=-1为最小值. 6分(2)由(1)知,f (x 0)=2sin (2x 0+),又由已知f (x 0)=,则sin (2x 0+)=,因为x 0∈[,],则2x+∈[,],因此cos (2x 0+)<0,所以cos (2x 0+)=-,于是cos 2x 0=cos [(2x 0+)-]=cos (2x 0+)cos +sin (2x 0+)sin =-×+×=.12分21.(本小题满分12分)已知向量a =(3sin α,cos α),b =(2sin α,5sin α-4cos α),α∈(π,2π),且a ⊥b . (1)求tan α的值; (2)求cos (+)的值.解析:(1)因为a ⊥b ,所以a ·b =0而a =(3sin α,cos α),b =(2sin α,5sin α-4cos α),故a ·b =6sin 2α+5sin αcos α-4cos 2α=0,即=0,由于cos α≠0,6tan 2α+5tan α-4=0,解得tan α=-或tan α=,因为α∈(π,2π),所以tan α<0,tan α=-.6分(2)因为α∈(π,2π),所以∈(π,π),由tan α=-,求得tan α=-=,解得tan =-或tan =2(舍去),sin =,cos =-,所以cos (+)=cos cos -sin sin =-×-×=-. 12分22.(本小题满分12分)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,tan C=.(1)求角C 大小;(2)若△ABC 的外接圆直径为1,求a 2+b 2的取值范围.解析:(1)因为tan C=,即=,所以sin C cos A+sin C cos B=cos C sin A+cos C sin B ,即sin C cos A-cos C sin A=cos C sin B-sin C cos B ,得sin (C-A )=sin (B-C ),所以得C-A=B-C 或C-A=π-(B-C ) (不成立),即2C=A+B , 得C=. 6分(2)由C=,设A=+α,B=-α,0<A ,B<,知-<α<,因为a=2R sin A ,b=2R sin B ,所以a=sin A ,b=sinB ,a 2+b 2=sin 2A+sin 2B=+=1-[cos (π+2α)+cos (π-2α)]=1+cos 2α,由-<α<,知-<2α<,-<cos 2α≤1,得<a 2+b 2≤. 12分。