第三章第1节平均指标
统计学--第三章平均数与标准差
(xn xn
2 2
1
)
(二)分组资料：按频数表计算M 公式：
M L
W f
(
n 2
C)
L中位数所在组的下限 W中位数所在组的宽度 f中位数所在组的频数(例数) n总频数 C中位数所在组的前一组的累计频数cumulative frequency
用累计频数〔百分数〕法寻找中位数所在 的组段：累计频数刚大于n/2的组段 用内插法linear interpolation求中位数
第三章
平均数与标准差
第一节 算术均数和几何均数
数值变量资料的统计描述：集中趋势central tendency 和离散趋势tendency of dispersion 平均数average：说明一组观察值(变量值)的集中 趋势、中心位置或平均水平。(a measure of location, a measure of central tendency, a mean or an average) 平均数种类：算术均数arithmetic mean、几何均 数geometric mean、中位数median、众数mode、 调和均数harmonic mean, H
2
离均差积和：
( y y )( y y ) ( y ( x x )( y y )
离均差平方和或离均差积和sum of products计算 时，当原始数据比较大时，计算可以减一个数可 除一个数，进行简化。
三条规则： 1、原始数据减一个数或加一个数时，离均 差平方和或积和数值不变 2、原始数据除以一个数a，则简化值算出 的离均差平方和要乘上一个a2才是原有的离 均差平方和 3、离均差积和在计算时如将两变量之一(如 x)，除以一个数a时，则求得之离均差积和 要乘以一个a，才是原始数据的离均差积和； 如y也同时除以一个数字b，则求得的离均 差积和要同时乘以ab
统计学原理平均指标
工人数f
5 6 20 4 5 40
组中值x
1500 2500 3500 4500 5500 ——
工资总额 （元）xf
7500 15000 70000 18000 27500 138000
工人比重 （%）f/∑f
12.5 15.0 50.0 10.0 12.5 100.0
Xf/∑f
187.5 375 1750 450 687.5 3450
统计学原理
各种平均指标的计算方法
5. 调和平均数的特点
数值平均数
① 如果数列中存在等于0的标志值，则无法计算； ② 易受极端值的影响，且受极小值的影响比受极
大值的影响更大，但影响程度小于算术平均数； ③ 调和平均数应用的范围较小。
统计学原理
各种平均指标的计算方法
数值平均数
（三）几何平均数 X G
统计学原理
平均指标概述
（四）平均指标的种类
算术平均数
数值平均数 调和平均数
几何平均数
平 静态平均数
均 指
众数
位置平均数 中位数
标
简单平均数： 未分组资料
加权平均数： 分组资料
动态平均数：同一现象在不同时期上发展水平的平均
统计学原理
二、各种平均指标的计算方法
一、算术平均数 二、调和平均数 三、几何平均数 四、众数 五、中位数
（1）由平均数计算调和平均数
例：某车间各班组劳动生产率和实际产量
计算栏
班组
甲 乙 丙 合计
平均劳动生产率 （件/工时）X 10 11 12 ——
实际产量（件） m
4000 2200 2400 8600
实际工时m/X
400 200 200 800
《统计学》教案第三章 综合指标
第三章综合指标教学内容：1.总量指标的含义、种类、计量单位及其各种单位的特点2.相对指标的含义、表现形式及种类3.平均指标的内涵、作用、各种平均数的计算方法、应用场合4.标志变异指标的含义、作用、种类及其计算教学重点：1.总量指标的种类2.相对指标的种类及计算3.平均指标的种类、计算及其应用场合4.标志变异指标的作用、种类及其应用场合教学难点：平均指标、标志变异指标的计算及其应用场合授课学时：8学时统计指标按其作用和表现形式不同分为三大类：总量指标、相对指标和平均指标，我们把这三类指标统称为综合指标，即综合反映总体的数量特征和数量关系的指标。
第一节总量指标一、总量指标的概念概念：总量指标也称绝对指标，是反映现象在一定的时间、地点条件下的总规模和总水平的指标。
如：2007年全国原油产量为1.87亿吨；2007年全国国内生产总值为为246619亿元；2007年末全国总人口为132129万人2007年全国汽车产量为888. 7万辆；2007年全国工业增加值为107367亿元；2007年末全国就业人员76990万人，其中城镇就业人员29350万人。
总量指标均是用绝对指标表达出来的，也称绝对指标，作用：①它是对现象总体认识的起点（基础数据）。
总量指标是最基本的统计指标，利用它可以反映社会经济开展的规模和水平,说明一个国家的经济实力, 也可说明企业生产经营的成果。
②它是计算平均指标和相对指标的基础，平均指标、相对指标是由绝对指标月实际完成的累计数已到达计划规定数，那么剩余的时间为提前完成计划的时间。
或将全部时间减去自计划执行之日起至累计实际数量已到达计划任务的时间，即为提前完成计划的时间。
如上例，某工业部门截止2005年6月底实际完成的基建投资额已到达8000 万元，那么该部门提前半年时间完成十-五规划。
④计划执行进度的检查它是用计划期中某一段时期的实际累计完成数与计划期全期的计划任务数之比来检查计划执行的进度。
数据分布特征的统计描述
x xx1x2...xn
n
n
均值，即算术平均数
x 标志值或变量值
见49页例题
20
2、加权法：分组且各组标志值出现的次数 （权数 f ）不相等时，公式：
x xfx1f1x2f2...xnfn
f
f1f2...fn
x 为标志值，又称变量值； f 为各组标志值出现的次数
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21
某厂工人生产情况
第三章 数据分布特征的统计描述
除了统计图和统计表之外，还可以用少量 的特征值（代表值）对数据分布的数量规 律进行精确、简洁的描述。
1
离中趋势：即反映各数据远离中心值的程度 因为即使现象的集中趋势相同，其离中趋势 也可能不同。
离中趋势 (分散程度)
两个不同的曲线表示两个不同的总体，它们的 集中趋势相同但离中趋势不同。
“150个企业的平均计划完成百分数” 就是“150个企 业总的计划完成百分数”。
企业总计划完成百分数 = 总实际数 / 总计划数
计划完成 百分数％ 105~110 110~120 120~130
合计
企业 数n 30 70 50 150
计划产值 f
5700 20500 22500 48700
x
xf
％ 实际值
m 1m x
46
举例:
某蔬菜单价早中晚分别为0.5、0.4、 0.25（元/斤） （1）早中晚各买1元，求平均价格 （2）早中晚各买1斤，求平均价格 （3）早中晚各买2元、3元、4元，求平均价格 （4）早中晚各买2斤、3斤、4斤，求平均价格
47
（1）问：用调和平均。先求早、中、晚购买的斤 数。早 1/0.5=2(斤) 、中 1/0.4=2.5(斤)、晚 1/0.25=4(斤)
第3章集中趋势和离散趋势lily
例
投资银行某笔投资的年利率是按复利计算的，25年的年利 率分配是：有1年为3%，有4年为5%，有8年为8%，有10年为10%， 有2年为15%，求平均年利率。
利率(%) 3 5 8 10 15 合计 年数 1 4 8 10 2 25
平均本利率 1.031.05 1.08 1.1 1.15
• 例如：某企业共有8名高层管理人员，其月 工资分别为（单位：元）：2000、2050、 2150、2180、2200、2200、2500、2800，计 算该企业8位高层管理人员的平均工资。
平均工资 2000 2050 2150 2180 2200 2200 2500 2800 8 2260 （元）
• 一般情况下，几何平均数主要用于计算： • （1）流水生产线产品的平均合格率； • （2）按复利计息时，计算若干年的平 均利率； • （3）一定时期现象的平均发展速度。
五、中位数
Me
1.概念： 将总体中各单位标志值按大小顺序排列， 居于中间位置的那个标志值就是中位数。
2.中位数的计算方法
① 由未分组资料确定中位数
实际产值总额 （2）平均计划完成程度 计划产值总额 （各企业实际产值） 各企业实际产值 （ 各企业计划完成程度） 1140 13440 2300 1140 13440 2300 95% 105% 115% 16880 105.5% 16000
练习题
• 1、某企业职工工资资料如下表所示
中位数的位置 n1 2 ( n为总体单位数)
⑴ n为奇数时，则居于中间位置的那个标志值就是中位数。
例
有五个工人生产某产品件数，按序排列如下： 20，23，26，29，30 n 1 5 1 3 2 2 即，第3位工人日产26件产品为中位数：M e 26(件) 中位数位置
《统计学》第三章--统计指标
常住单位是在一国经济领土上具有经济利益中
心的机构单位。
机构单位是国民经济统计的基本经济单位，它 是能以自己的名义拥有资产、发生负债、从事经济 活动并与其它实体进行交易的经济实体。
“非常住单位”——也称为“国外” 。
经济领土是由一国政府控制的地理领土组成。 我国的经济领土—— 包括我国大陆的领地、领海、领空和位于国际水 域而我国具有捕捞和海底开采管辖权的大陆架、我 国住外使馆、领馆用地， 不包括位于我国领土范围内的外国使馆、领馆用 地及国际组织用地。
保险密度=保费/人口数 金融相关度（率）=金融资产总量/GNP
每万人口医院病床数
年份
每万人口医院病床数（张/万人）
2001 2002 2003 2004 2007
23.9 23.2 23.4 24.0 26.3
强度相对数的特点
相对数是惟一有单位（且为复名数）的相对数 （有的也用无名数形式）；
分子分母一般可以互换，故有正指标与逆指标之 分。
4.40 31.20 27.90 63.10
66.40
10.60
7.90 28.10 26.80 61.20
65.10
33.80 29.50 65.50
69.60
2.60 14.50
1.60 10.20
23.20 28.40
20.60 29.80
74.30 57.10
77.80 60.00
2.比例相对数——比例（结构性的比例）
•货币化程度=用货币支付的商品和劳务总量 / 全部商品和劳务总量
国家和地区
中国 日本 韩国
新加坡
美国 俄罗斯联邦
按三次产业分就业人员构成
第一产业
第二产业
第三章 统计学教案(分布的数字特征)
第三章统计分布的数值特征只知道什么是统计分布是不够的，还必须学会对其进行量化描述。
描述统计分布的重要的特征值有两个，一个是说明其集中趋势的平均指标，另一个是说明其离散程度的变异指标。
这一对矛盾的指标分别从不同角度反映了统计分布的分布特点，它们相辅相成，相互补充，缺一不可。
本章着重就这两个指标展开讨论，介绍了它们的理论、方法与应用，充分理解掌握本章的内容，对于以后各章节的学习尤为重要。
本章的目的与要求通过本章学习，要求学生在了解总体分布的两个重要特征值就是平均指标与变异指标的前提下，着重掌握这两个指标的计算方法及其数学性质；明确反映集中趋势的各种平均指标的计算特点与作用、反映离散程度的各种变异指标的计算特点与作用；还要学会利用这两个特征值得各自数学性质，采用简捷法计算算术平均数和标准差，以提高计算效率；此外，算术、调和与几何平均数三者之间的关系，算术平均数与众数、中位数之间的关系等也是学生应充分理解掌握的内容。
本章主要内容（计划学时7 ）一、分布的集中趋势（1）——数值平均数1、算术平均数2、调和平均数3、几何平均数二、分布的集中趋势（2）——位置平均数1、众数2、中位数3、其他分位数三、分布的离中趋势——变异指标1、变异全距2、平均差3、标准差4、变异系数学习重点一、重点掌握各种平均数的特点、应用条件、应用范围和计算方法，及其相互之间的关系；二、了解变异指标的意义和作用，熟练掌握各种变异指标的计算方法，尤其应重点掌握标准差的计算与应用；三、理解掌握算术平均数与标准差的数学性质，并且能利用其数学性质进行简捷计算；四、明确平均指标与变异指标的相互关系及其运用原则。
学习难点一、各种平均指标的应用条件、运用范围，尤其是加权算术权数的选择；二、根据所掌握的资料，应选择算术平均或调和平均方法;三、标准差的理论依据及其计算方法，尤其是成数标准差的计算更是初学者不易掌握的问题。
第一节 分布的集中趋势（1）——数值平均数一、统计平均数1、反映总体分布的集中趋势2、反映统计数列所达到的一般水平（静态、动态）3、与强度相对数的区别 二、算术平均数（用A x 表示） （一）算术平均数的基本内容： 算术平均数＝总体单位总量总体标志总量（二）简单算术平均数nxnx x x x ni inA ∑==+++=121可简写为：nx x A∑=式中： x i 为变量值 n 是总体单位数 Σ为总和符号例3－1.1 从某味精厂的生产线上随机抽取了10包味精，测得每包净重分别为（单位：克）499 497 501 499 502 503 500 499 498 500 将此十个数据相加除以十就是算术平均数（结果为499.8克）。
第三章,总量指标的概念和作用
二、相对指标的种类及其计算
（1）计划完成相对指标 （2）结构相对指标
料库存量等
时期指标与时点指标的区别：
1、时期指标是采用连续计数的方法取得；而时点指标是采用间断记数的 方法取得的。 2、时期指标可以累计相加，而时点指标相加却没什么意义 3、时期指标值的大小与时期长短有直接关系，而时点指标值的大小与时 间长短没关系
下表是某市的企业按主管单位分组统计的资料，请： 1、区分总体单位总量与总体标志总量； 2、区分时期指标与时点指标。
（3）比例相对指标
（4）比较相对指标 （5）动态相对指标 （6）强度相对指标
(一) 计划完成相对指标
1.概念：它是用来检查、监督计划执行情况的相 对指标，通常以“%”表示
实际完成数 计划完成相对数 100% 计划数
计算公式
2.计算
(1) 根据总量指标来计算计划完成相对数
设某工厂某年计划工业总产值为200万元，实际 完成220万元，则：
结构相对数 总体某部分数值 总体全部数值 100%
2010年我国第六次人口普查的性别构成
人数 男性 女性 686852572 652872280 结构相对数（%）
51.27 48.73
合计
1370536875
100
瑞典人口学家桑德巴根据人口的年龄构成，将人口的 构成（%）分为以下三个类型： 类型 增加型 稳定型 减少型
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第二节 相对指标
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工资总额 平均工资 职工人数 总成本 平均成本 总产量
3-1-7
1.平均指标与强度相对指标的区别： 在计算平均指标时，分子与分母必须同 属一个总体，具有一一对应关系，即有 一个总体单位，必有一个标志值与之对 应。 强度相对指标是两个有联系的不同总体 的总量指标对比的结果，这两个总量指 标没有依存关系。
2 2 2 （2） 平均每斤价格 1 . 53 ( 元 ) 2 2 2 2 1 . 6 1 . 2
3-1-6
二、算术平均数
（一）算术平均数的基本形式：是将总体 单位的某一 数量标志值之和除以总体单 位数。即 直 接 算术 总体标志总量 承 基本形式： 担 平均数 总体单位总量 者
第三章 统计分布的数值特征
§3-1 分布的集中趋势 §3-2 分布的离散程度 §3-3 分布的偏态与峰度
3-1-1
83名女生的身高
分布的集中趋势、 中心数值
St d. Dev = 4. 86
Mean = 163. 3
N = 83. 00
算术平均数
15
2
10
0
VAR00001
.0 4 1 7 .0 3 1 7 .0 2 17 0 . 1 1 7 .0 0 1 7 .0 9 1 6 .0 8 1 6 .0 7 1 6 .0 6 16 0 . 5 1 6 .0 4 1 6 .0 3 1 6 .0 2 1 6 .0 1 16 0 . 0 1 6 .0 9 1 5 .0 8 1 5 .0 7 1 5 .0 6 15 0 . 5 1 5 .0 4 1 5 .0 3 1 5 .0 2
按产棉量分 县数 组中值 xf f 组（百吨） 以组中值作为各组的代 100 以下 5 50 250 表值，假定各组标志 100 ～ 200 42 150 6300 值在组内分布是均匀的。 200 ～300 16 250 4000 此时求得的算术平 13 350 4550 300 ～ 400 4 450 1800 400 以上 均数只是其真值的 合计 80 — 16900 近似值。
3-1-2
§3-1 分布的集中趋势
一、平均指标的意义和作用 1.定义 平均指标是同类社会经济现象在一定 时间、地点条件下所达到的一般水平，是 度量分布集中趋势或中心位置的指标。
3-1-3
2.作用
（1）反映总体各单位变量分布的集中趋势和一般水 平。 （2）平均指标可以反映现象总体的综合特征。 （3）平均指标常用来进行同类现象在不同空间、不 同时间条件下的对比分析。 （4）用于分析现象之间的依存关系 3.平均指标的种类 根据各种平均数的具体代表意义和计算方式的 不同，统计平均数可分为两类：即数值平均数和位 置平均数。
x
xf 16900 平均每县产棉量 x 211 . 25 ( 百吨 ) f 80
3-1-12
（3）权数的作用和形式
a）加权算术平均数受两个因素的影响，一个是分 配数列中各组的标志值xi，另一个是各组标志值出 现的次数fi。 b）各组标志值出现的次数在计算平均数的过程中 起着权衡加轻重的作用，故常将其称作“权数”。 C）权数的形式：次数和频率。 d ）下列两种情况，分组资料可以不考虑权数，而 用简单算术平均数。 当各组的权数相同时。 当分布数列完全对称时。 A x x x f x f x f 1 1 22 nn x f nA n
3-1-5
例子：市场上有三种苹果，甲种每斤2元，乙种每斤 1.6元，丙种每斤1.2元。试问： （1）甲种苹果买2斤，乙种买3斤，丙种买5斤，则平 均每斤价钱是多少？ （2）三种苹果各买2元，则平均每斤价钱又是多少？ 解： 2 2 ＋ 1.6 3 1.2 5 （1） 平均每斤价格＝ 1 . 48 ( 元 ) 2 3 5
x
f
—公式：
200
x f x f x f 1 1 2 2 n n x f f f 1 2 n
xi f i x f 1 i n i i fi fi
i 1 n
权数
23 24 25 合计
10 20 30 60 50 30 加权 200
日产量（件）工人数
3-1-4
所谓数值平均数就是以分配数列的所有各项数据 来计算的平均数，用以反映分配数列的所有各项 数值的平均水平。 这类平均数的特点是，分配数列中任何一项 数据的变动，都会在一定程度上影响到数值平均 数的计算结果。 数值平均数包括了算术平均数、调和平均数 和几何平均数。 所谓位置平均数是根据数列中处于特殊位置上的 个别单位或部分单位的标志值来确定的。 常用的位置平均数：众数和中位数。
3-1-13
(4)加权算术平均数的频率公式。
x f xx f x f f x f x f x f f f f
x x x x x x x n n n n
n i 1 2 n i 1 i
3-1-10
2.加权算术平均数：已编制分配数列的情况下。
日产量（件） 工人数
（1）单项式数列的算术平均数 20 例：某机械厂工人日产零件数 21 4610 的分配数列。x 23 . 05 ( 件 ) 22
x
f
xf
200 420 660 1380 1200 750 4610
3-1-11
xf f
20 21 22 23 xf 4610 x 23 . 05 ( 件 ) 24 f 200 25 合计
10 20 30 60 50 30 200
（2）组距式加权算术平均数 例：某年我国80个产棉大县的分配数列如表。
3-1-8
强度相对指标：
钢产量 人均钢产量 全国总人口数
算术平均数：
全国钢铁工人 钢产量 全国钢铁工人数 平均钢产量
3-1-9
（二）算术平均数的计算 1.简单算术平均数：适用于未分组的资料。 （1）例：生产小组5个工人的日产量分别为28、 25、30、35、42件，则平均工人日产量= （28+25+30+35+42）/5=32（件） （2）计算公式：