原子物理学第四章原子的精细结构-电子的自旋
第四章 原子的精细结构：电子的自旋
l l ( l 1) gl B , s s( s 1) g s B , j j( j 1) g j B l , z ml gl B , s . z m s g s B , j , z m j g j B
j j( j 1) g j B j ,z m j g j B
g—朗德因子
其中，j=l±s，mj=j，j-1，…，-j，共 2j+1个 数值。
g因子是反映物质内部运动的一个重要物理量， 但至今仍是一个假设。
引入 g因子后，电子的轨道磁矩、自旋磁矩和总磁
r 2 iS r n n 2 r 2
e e me rn L 2me 2me
def
e 定义旋磁比： 2me
则电子绕核运动的磁矩为 L
结论：电子绕核运动的磁矩与电子的轨道角 动量反方向，大小通过旋磁比联系。
当原子束落至屏上P点时，偏离x轴的距离为
原子经磁场区（长度为d）后，与x轴线的偏角为：
Bz dD z2 z z 3kT
z cos
Bz dD z2 z z 3kT
z cos
由以上讨论知，不仅μ呈量子化， μ在z方向的 投影也呈量子化，因为只有这样，z2的数值才 可能是分立的。故从实验测得z2是分立的，反 过来证明μ呈量子化。 此实验是空间量子化最直接的证明，它是第一 次量度原子基态性质的实验。
当只考虑轨道角动量时，
l l ( l 1) B j l , gl 1， 则 l , z m m B
s 3 B j s,gs 2， 则 s,z B
原子物理学 课后答案
目录第一章原子的位形 (2)第二章原子的量子态：波尔模型 (8)第三章量子力学导论 (12)第四章原子的精细结构：电子的自旋....................... 错误！未定义书签。
第五章多电子原理：泡利原理 (23)第六章X射线 (28)第七章原子核物理概论.......................................... 错误！未定义书签。
1.本课程各章的重点难点重点:α粒子散射实验公式推导、原子能量级、氢原子的玻尔理论、原子的空间取向量子化、物质的波粒二象性、不确定原则、波函数及其物理意义和薛定谔方程、电子自旋轨道的相互作用、两个价电子的原子组态、能级分裂、泡利原理、电子组态的原子态的确定等。
难点：原子能级、电子组态、不确定原则、薛定谔方程、能级分裂、电子组态的原子态及基态的确定等。
2.本课程和其他课程的联系本课程需在高等数学、力学、电磁学、光学之后开设，同时又是理论物理课程中量子力学部分的前导课程，拟在第三学年第一学期开出。
3.本课程的基本要求及特点第一章原子的位形：卢瑟福模型了解原子的质量和大小、原子核式模型的提出；掌握粒子散射公式及其推导，理解α粒子散射实验对认识原子结构的作用；理解原子核式模型的实验验证及其物理意义。
第二章原子的量子态：玻尔模型掌握氢原子光谱规律及巴尔末公式；理解玻尔原子模型的基本假设、经典轨道、量子化条件、能量公式、主量子数、氢能级图；掌握用玻尔理论来解释氢原子及其光谱规律；了解伏兰克---赫兹实验的实验事实并掌握实验如何验证原子能级的量子化；理解索菲末量子化条件；了解碱金属光谱规律。
第三章量子力学导论掌握波粒二象性、德布罗意波的假设、波函数的统计诠释、不确定关系等概念、原理和关系式；理解定态薛定谔方程和氢原子薛定谔方程的解及n,l,m 三个量子数的意义及其重要性。
第四章 原子的精细结构：电子的自旋理解原子中电子轨道运动的磁矩、电子自旋的假设和电子自旋、电子量子态的 确定；了解史特恩—盖拉赫实验的实验事实并掌握实验如何验证角动量取向的量子化；理解碱金属原子光谱的精细结构；掌握电子自旋与轨道运动的相互作用；了解外磁场对原子的作用，理解史特恩—盖拉赫实验的结果、塞曼效应。
原子的精细结构电子的自旋
原子的精细结构电子的自旋原子是化学分子的基本单位，也是化学反应和化学变化的基本参考物。
原子结构是原子面临化学反应和化学变化的基本特征。
原子由核，电子和电子云构成。
核是原子中带有正电荷的中心，而电子则存在于核外的电子云中，又称外层电子。
电子是原子中最活跃的成分，掌握对电子的研究可以掌握整个原子的特征和行为。
其中包括原子的精细结构和电子自旋。
一、原子的精细结构原子的精细结构是指原子中电子能级的精细结构，通过电子吸收能、发射能和电子竞争的方式进行研究，以探测电子的能级结构和运动规律。
（一）原子能级原子能级是指原子中每个电子在不同能量状态下所处的状态。
原子中的能级可被分为基态，电子激发态以及离散态。
基态是能量最低的状态，所有能量处于基态的状态。
离散态是中间状态，处于基态和激发态之间。
电子激发态是指原子中的电子因为吸收或者失去能量而移动到一个较高的能量状态，成为激发态。
电子跃迁是指电子在不同的能量态之间运动时所产生的变化，这种变化会产生一定的能量。
电子跃迁的能量差可以通过光谱来测量，也可以通过测量电触发的荧光强度来测量。
（二）光谱分析光谱分析是一种探测化学物质的工具，通过电子的吸收和发射能来进行化学分析。
光谱分析可以被用于化学分析，探测电子沿着不同化学反应模式的运动规律。
光谱分析可以被用于探测分子和原子的特征，包括丰度，引力能和外加势能等等。
从光谱分析中可以得知原子的基态，激发态和离散态之间的能差，以及电子传递特征，提供了关于原子的精细结构和电子自旋的信息。
二、电子自旋电子自旋是指电子的一个内禀性质，即电子在原子内部的旋转方向。
电子是一种带有负电荷的基本粒子，也是电子云中最活跃的成分。
电子的自旋是由于自身的旋转而产生的，它与电子的电荷和运动都有关系。
电子的自旋是一种内在的、量子力学的性质，是由能量的守恒和角动量的守恒原理共同决定的。
（一）电子的自旋量子数电子的自旋是用量子力学的方法描述的，它具有双重自性，既是粒子，又是波。
原子的精细结构—电子自旋
j , z m j g j B
轨道 g 1 l 运动
l , z
e Lz m l B 2me
S z ms
S s ( s 1)
e e s S s( s 1) 2 s( s 1) B me me
自旋 gs 2 运动
s , z
e e Sz m s 2m s B me me
自旋-轨道耦合 的附加能量。
作数量级估计（对氢，n=2）：
U e2 ( c ) 2 4 0 2 E0 2 4a1 3 (1.44eV nm)(197eV nm) 2 105 eV 2(0.511106 eV ) 2 (4 0.53nm)3
精确计算：求 S L 2 2 2 J S L J S L 2S L
L 0, 1, 2, 3,
能级重数
2S+1
2
S1/ 2
S P D F
J 值= L S ， S ＋1， ，L S L
见课本p163，表……
（4）施特恩－盖拉赫实验的解释
Bz dD z2 cos z 3kT
其中μ 应为原子的总磁矩，即轨道磁矩和自旋磁矩 的合成 cos J cos mJ g J B
§4.4 碱金属双线
（1）碱金属谱线的精细结构：定性考虑 碱金属的原子光谱有四个主要线系（以锂为例）： 主线系：np→2s跃迁；
锐线系：ns→2p跃迁；
漫线系：nd→2p跃迁；
基线系：nf→3d跃迁。
当用高分辨率光谱仪观察，发现这些谱线有双 线结构：
主线系
np→2s
线系限
锐线系
ns→2p
第四章原子的精细结构：电子的自旋
第四章原子的精细结构：电子的自旋玻尔理论考虑了原子要紧的相互作用即核与电子的静电作用，较为有效地解释了氢光谱。
只是人们随后发现光谱线还有精细结构，这说明还需考虑其它相互作用即考虑引起能量变化的原因。
本章在量子力学基础上讨论原子的精细结构。
本章先介绍原子中电子轨道运动引起的磁矩，然后介绍原子与外磁场的相互作用，与原子内部的磁场引起的相互作用。
说明空间量子化的存在，且说明仅靠电子的轨道运动不能解释精细结构，还须引入电子自旋的假设，由电子自旋引起的磁相互作用才是产生精细结构的要紧因素。
§4-1原子中电子轨道运动的磁矩1.经典表示式在经典电磁学中载流线圈的磁矩为n iS ˆ=μ 。
(若不取国际单位制，则n S c i=μ)（S 为电流所围的面积，n 是垂直于该积的单位矢量。
这里假定电子轨道为圆形，可证明，关于任意形状的闭合轨道，其结果不变。
） 电子绕核的运动必定有一个磁矩，设电子旋转频率为r v πν2=，则原子中电子绕核旋转的磁矩为：L m e n vr m m e n r r v e n r e S i e e e22222-=-=-=-==ππνπμ 定义旋磁比：e defm e 2≡γ，则电子绕核运动的磁矩为L γμ-= 上式是原子中电子绕核运动的磁矩与电子轨道角动量之间的关系式。
磁矩μ 与轨道角动量L 反向，这是由于磁矩的方向是根据电流方向的右手定则定义的，而电子运动方向与电流反向之故。
从电磁学明白，磁矩在均匀外磁场中不受力，但受到一个力矩作用，力矩为B⨯=μτ 力矩的存在将引起角动量的变化，即B dt L d ⨯==μτ 由以上关系可得B dt d ⨯-=μγμ，可改写为μωμ ⨯=dt d 拉莫尔进动的角速度公式：B γω=，说明：在均匀外磁场B 中高速旋转的磁矩不向B 靠拢，而是以一定的ω绕B 作进动。
ω 的方向与B 一致。
进动角频率（or 拉莫尔频率）为：πων2=L2.量子化条件此前的两个量子数中，主量子数n 决定体系的能量，角动量量子数l 决定轨道形状。
第四章原子的精细结构：电子的自旋
不加磁场
加磁场经典预言
加磁场实验结果
斯特恩-盖拉赫实验对氢原子的结果 斯特恩盖拉赫实验时空间量子化的最直接的证明，它是第 一次量度原子的基态性质的实验，又是这个实验，进一步开辟 了原子束及分子束实验的新领域。
三、实验问题
1、先看例子（Ag、Zn l 0 ）在屏上能看到几束
理论上：（ 2l 1 1 ）只有一个值
x vt
1 Fz 2 zt t 2m
d O
P
S1 S2
S N
z1
z2
x
D
通真空泵
原子束在经过磁场区（长度D）到达出口处时，已偏离x轴z1 距离，那时与x轴的偏角为：
Fz t dz1 Fz d arctan arctan arctan 2 dx mv mv d
§18 原子中电子轨道运动的磁矩
一、经典表示式
1、磁矩 从经典电磁学知道，一载流线圈有一个磁矩μ ，它可以表示成：
ˆ IS iSen
i
-----电流大小
S
-----载流线圈所围面积
ˆ en -----垂直与该面积的单位矢量，即和导线线圈平面垂直
因 和 S
线圈平面。
子的1/1836，实际核磁子值
因为核磁矩比电子磁矩
小得多，所以原子磁矩主要由电子磁矩组成。玻尔磁子
也可作为原子磁矩的单位。
2、磁相互作用比电相互作用小
4 0 2 e 1 e 2 B ec 2 2me 2 4 0 c me e 1 1 ea1 c c ea1 2 2
它在z方向的分量只有两个：
1 sz 2
1 ： 即：自旋量子数在z方向的分量只能取 2
原子物理学杨福家第四版课后答案
原子物理学杨福家第四版课后答案原子物理学作为物理学的一个重要分支，对于理解物质的微观结构和性质具有至关重要的意义。
杨福家所著的《原子物理学》第四版更是众多学子深入学习这一领域的重要教材。
然而，课后习题的解答往往成为学习过程中的关键环节，它有助于巩固所学知识，加深对概念的理解。
以下便是对该教材课后答案的详细阐述。
首先，让我们来看第一章“原子的位形：卢瑟福模型”的课后习题。
其中，有一道关于α粒子散射实验的题目，要求计算α粒子在与金原子核发生散射时的散射角。
解答这道题，需要我们深刻理解库仑散射公式以及相关的物理概念。
我们知道，α粒子与金原子核之间的相互作用遵循库仑定律，通过对散射过程中动量和能量的守恒分析，可以得出散射角与α粒子的初始能量、金原子核的电荷量以及散射距离之间的关系。
经过一系列的数学推导和计算，最终得出具体的散射角数值。
第二章“原子的量子态：玻尔模型”中的课后习题，重点考察了对玻尔氢原子模型的理解和应用。
比如，有一道题让我们计算氢原子在不同能级之间跃迁时所发射光子的波长。
这就要求我们熟练掌握玻尔的能级公式以及光的波长与能量之间的关系。
根据玻尔的理论，氢原子的能级是量子化的，当电子从一个能级跃迁到另一个能级时，会释放出一定能量的光子。
通过计算两个能级之间的能量差，再利用光子能量与波长的关系式，就可以求出相应的波长。
在第三章“量子力学导论”的课后习题中，常常涉及到对波函数和薛定谔方程的理解和运用。
例如，有一道题给出了一个特定的势场，要求求解在此势场中粒子的波函数和可能的能量本征值。
解答此类问题，需要我们将给定的势场代入薛定谔方程，然后通过数学方法求解方程。
这个过程可能会涉及到一些复杂的数学运算，如分离变量法、级数解法等，但只要我们对量子力学的基本概念和方法有清晰的认识，就能够逐步推导得出答案。
第四章“原子的精细结构：电子的自旋”的课后习题，则更多地关注电子自旋与原子能级精细结构之间的关系。
比如，有题目要求计算在考虑电子自旋轨道耦合作用下，某原子能级的分裂情况。
原子物理第四章
= r
dt
dt
L r p r m v
d
d L d（ r m v ） d r
（m v ）
=
m v + r
dt
dt
dt
dt
d
r
因为：
m v =0
dt
பைடு நூலகம்
dL
B
dt
将
L
代入
dL
1. 史特恩-盖拉赫实验；
2. 碱金属双线实验；
3. 塞曼效应；
为什么这三个实验促使电子自旋假设三大点的提出
第一节：原子中电子轨道运动磁矩
本节介绍原子中电子轨道运动引起的磁矩，先从电
磁学定义出发，得到磁矩与轨道角动量的关系式，然
后利用量子力学中的轨道角动量公式，原子的轨道角
动量是量子化的，得到电子轨道运动磁矩的量子表达
取向，造成最终可测值为
ml
B
B
；
磁量子数是
空间量子化
的标志。
LZ ml
L l l 1
角动量空间量子化
第一节知识点：
•磁矩与轨道角动量的关系;
•电子轨道角动量的表达式;
•角动量在外磁场中的空间量子化;
•拉莫尔进动公式，物理图像.
第二节：史特恩—盖拉赫实验
1921年史特恩和盖拉赫从实验上直接观察到原
可得
在 Z 方向的投影表达式为
e
lZ LZ
ml
2me
（8）
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dt
dt
即d
dt
由此可见，在均匀外磁场B中，高速旋转的磁矩并不
向磁场B方向靠拢，而是以一定的角速度ω绕B作进动，
且ω与B同向
8
2. 的量子表示
因为μ=-γ L，且量子力学的角动量是量子化的
L l(l 1),
l 0,1,2,, n 1
其中l为角动量量子数，所以
l
e 2me
2
玻尔理论考虑了原子中最主要的相互作用， 即原子中电子和原子核的静电相互作用，也可以 称为库仑作用，这种作用导致了原子内部的粗线 条结构，如巴尔末光谱系等。
由电磁学知识容易看出，电子的运动使它和 原子核之间除了存在库仑作用之外还应该存在磁 相互作用，而且通过计算得知磁相互作用比电相 互作用要弱的多，既然电相互作用导致了原子的 粗线条结构，那么磁相互作用就决定了原子的精 细结构。而在实验中我们的确发现了光谱线的精 细结构，如巴尔末系中的 H 线不是单线，其中 含有七条谱线等
l(l 1) B l(l 1) , l 0,1,2,, n 1
(18 - 4)
B
e 2me
0.9274 10 23
A m2
为玻尔磁子，是轨 道磁矩的最小单元。
0.92741023 J T1 是原子物理学中的 0.5788104 ev T1 一个重要常数。
11
3. 角动量取向量子化
我们知道，当l =1时:
L l(l 1) 2
Z : - , 0,
0
即角动量矢量在
空间有三个取向
v 轨道角动量的大小 L及其z分量Lz的取值是量子化的， 而 Lz取值的量子化意味着角动量在空间取向 是量子化 的，因为对于每一个l值有2l+1个ml值,即 L在z 轴上应 有2l+1个分量，因而 L 有2l+1个取向。
13
§4.2 史特恩－盖拉赫实验
通过第一节的学习，我们知道不仅原子中电子 轨道的大小、形状和电子运动的角动量、原子内 部的能量都是量子化的，而且在外部磁场中角动 量的空间取向也是量子化的。
史特恩－盖拉赫实验就验证了原子在外磁场中 取向量子化的结论
14
实 验 装 置
O中装有被加热成蒸汽的某种基态原子，原子从O 中逸出后通过狭缝s1、s2形成以速度v 沿水平方向 （x）运动的原子束，然后通过一个只沿Z方向变化 的磁场，最后打到观察屏P上。
e 2me
mer 2
e 2me
L
μ＝ － e
L L
2me
(18 - 1)
e 称旋磁比
2me
L为电子的轨道角动量
6
磁矩在外磁场B中受力矩
τ
μ
B，将引起角动量的变化
dL μB dt
(18- 2)
γL
dμ
μγB
dt
或 d μ＝ω μ (18- 3)
第四章 原子的精细结构: 电子的自旋
§4.1 原子中电子轨道的运动磁矩 §4.2 史特恩－盖拉赫实验 §4.3 电子自旋的假设 §4.4 碱金属原子双线结构 §4.5 塞曼效应
1
前面我们用玻尔理论详细讨论了氢原子和碱金 属原子的能级与光谱，理论与实验符合的很好，可 是后来用高分辨率光谱仪观测时发现，上述光谱还 有精细结构，这说明我们的原子模型还很粗糙。本 章我们将引进电子自旋假设，对磁矩的合成以及磁 场对磁矩的作用进行讨论，去考察原子的精细结构， 并且我们要介绍史特恩-盖拉赫实验，塞曼效应，碱 金属双线三个重要实验，它们证明了电子自旋假设 的正确性。电子自旋假设的引入，正确解释了氦原 子的光谱和塞曼效应。
(18 - 5)
可以看出μB 是轨道磁矩的最小单元
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另外，因为
原子的磁偶 极矩的量度
第一玻
尔半径
B
e 2me
1 2
e2 c
2 me e 2
e
1 2
c(ea1
)
精细结构常数
原子电偶极矩的量度
可见磁相互作用至少比电相互作用小两个数量级， 所以电相互作用决定原子的粗线条结构而磁相互 作用决定了原子的精细结构。
dt
其中ω=γB是电子磁矩绕外 磁场方向旋转的角速度，称 为拉莫尔进动的角速度。 拉莫尔进动是电子磁矩或角 动量绕外磁场旋进的运动。
B(z)
d
dt
sin
e
L dL dt
d
d
sin
7
进一步分析：
图为与B垂直的 进动面上
的一小块扇面，显然有
d sind
则d sin d sin
4
1. 电子轨道磁矩的经典表示式
电磁学中我们学习过，闭合通电回路具有磁矩：
iSn
n
n
L
i
i
r
r
e
由于电子带负电，所以它绕核运动就形成一个闭 合通电回路，从而也具有一定的磁矩。
5
电子的轨道磁矩大小的经典表示式为：
μ
i
S
er 2
e
r 2
2
因 为L和μ反 向 ， 所 以
9
又因为量子力学中角动量 L 在z方向的投影大小为：
Lz ml
ml 0,1,2,,l
其中ml为磁量子数，共有（2l+1）个取值。（此式将在 《量子力学》中学习）
所以l在z方向的投影 l ,z为：
l,z
Lz
ml
e 2me
ml B
ml 0,1,2,,l
3
§4.1 原子中电子轨道的运动磁矩
从电磁学理论出发，得到电子轨道运动引起的磁 矩的经典表达式，根据量子力学的计算结果，得出电 子轨道磁矩的量子表达式。对电子轨道磁矩的讨论使 我们发现，电子运动轨道的大小，运动的角动量以及 原子内部的能量都是量子化的。不仅如此，我们还将 看到，在磁场中或电场中，电子的轨道只能取一定的 方向，一般地说,在电场或磁场中，原子角动量的方向 也是量子化的，人们把这种情况称作空间量子化。
12
与l =1情况相同，我们有l =2时有5个取向， l =3时有 7个取向
Z
L 6 2
L 2(2 1) 6,(l 2)
ml 00,1,2,(l 2) Lz 0,,2
2
l2
即，角动量量子数为l 时，其在空间有2l+1个取向，
它对应有2l+1个投影值ml
15
实验结果 与经典预 言的对比
怎么解释 预言与结 果的差异