【精品】初中数学——分类讨论思想(初二)
中学数学中重要的数学思想――分类讨论的思想
中学数学中重要的数学思想――分类讨论的思想依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类的数学思想叫做分类的思想。
“物以类聚，人以群分”。
将事物进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做分类讨论的方法。
分类的思想是自然科学乃至社会科学研究中经常用到的，又叫做逻辑划分。
不论从宏观上还是从微观上对研究对象进行分类，都是深化研究对象、发展科学必不可少的思想。
因此分类讨论既是一种逻辑方法，也是一种数学思想。
需要运用分类讨论的思想解决的数学问题，就其引起分类的原因，可归结为：①涉及的数学概念是分类定义的；②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能；④数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同结果的。
应用分类讨论思想解决问题，必须保证分类科学、统一，不重复，不遗漏，并力求最简。
运用分类的思想，通过正确的分类，可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答。
回顾总结中学数学教材中分类讨论的知识点，大致有：绝对值概念的定义；根式的性质；一元二次方程根的判别式与根的情况；二次函数二次项系数正负与抛物线开口方向；反比例函数k/x的反比例系数k，正比例函数的比例系数k，一次函数kx+b的斜率k 与图象位置及函数单调性关系；幂函数xn的幂指数n的正、负与定义域、单调性、奇偶性的关系；指数函数y=ax及其反函数y=logax中底数a的a＞1及0＜1对函数单调性的影响；等比数列前n项和公式中q=l与q≠1的区别；复数概念的分类；不等式性质中两边同乘(除)时正数与负数对不等号方向的影响；排列组合中的分类计数原理；圆锥曲线中离心率e的取值与椭圆、抛物线、双曲线的对应关系；直线与圆锥曲线位置关系的讨论；运用点斜式、斜截式直线方程时斜率k是否存在；曲线系方程中的参数与曲线类型；角终边所在象限与三角函数符号;……当你对以上各种情况“心中有数”时，分类讨论便不再令人望而生畏。
浅谈初中数学中的分类讨论思想
浅谈初中数学分类讨论思想在解题中的应用摘要：在初中数学解题中，分类讨论不仅是一种非常重要的数学思想，而且它还也是一种非常有效的解题策略，其主要体现在“集零为整，化整为零”思想和归类整理思想这两个部分。
在初中数学教学中，如果教师在进行初中数学的教学时，对分类讨论思想加以运用，可以使学生对数学知识有更加深入的认识和理解，同时它能够进一步的培养学生的思维能力。
本文主要是对分类讨论在初中数学解题的应用进行探讨。
关键词：分类讨论思想初中数学教学应用俗话说的好，“数学是思维的体操”，要想进行数学学习，就一定是离不开思维运用，在对数学进行每一步探索，都是需要思维来完成。
因此，在初中的数学教学中，教师要对学生慢慢的进行数学思想方法的渗透，使学生的思维能力得到进一步的提升，使其能够形成一个良好的数学思维习惯，这样不仅符合了新课改的新要求，而且其还是实施数学素质教育的一个很好的切入点。
一、分类讨论思想在初中数学解题中的重要作用简单的来说，分类讨论起本质上就是一种逻辑上划分的思维方式。
其在教学中的具体表现为对题目“化整为零”，一个一个的进行逐步击破，这样的就实现了积零为整的教学方式。
在目前，分类讨论思想已经成为一种非常重要的数学思想，其在我国数学教学中得到了广泛的应用。
它不仅只是一种独特的数学逻辑方法，而且在进行数学知识教学时其更是一种有效的解题策略。
由于分类讨论在对不同的问题进行综合考虑时，其在逻辑上具有优势，特别是在培养学生的学习能力以及提升学生的思维严谨性有很好的促进作用。
在对数学题进行解答时，如果因为题目的题意中存在着一些不确定因素，进而导致无法解答出来，这样的情况下，就可以将题目分为若干个小问题，对其进行分类讨论，使相对复杂的问题变得简单化，方便对其进行解答。
二、分类讨论思想在初中数学解题的应用1.在不等式中的运用不等式在初中数学中是一种比较基础和普遍的内容。
因为不等式要涉及到绝对值，所以就要进行转换符号，同时一个不等式可能会存在不止一个绝对值问题，遇到这样的情况，学生往往会变得无所适从，这也就影响着学生的学习成绩的提升，运用分类谈论思想，就能够对不等式进行很好的解答。
初中数学思想方法之分类讨论
初中数学思想方法之分类讨论数学是一门既抽象又具体的学科，它需要学生具备一定的思维方法和思想能力。
在初中数学中，分类讨论是一种常用的思想方法，它可以帮助学生分析问题、归纳规律并解决问题。
本文将详细介绍初中数学中分类讨论的基本思想和具体步骤，并通过例题来说明如何运用这种方法。
一、分类讨论的基本思想分类讨论是指将问题进行细化，将其分解成几个易于分析和解决的小问题，并分别进行讨论和解决。
通过这种方法可以更好地理解问题的本质，找到解题的关键点，并最终得到问题的解决办法。
分类讨论的基本思想包括以下几点：1.具体问题具体分析。
将问题进行细化后，每个小问题都有其独特的特点和解决思路，需要根据具体情况展开分析。
2.归纳总结。
在分析过程中，要总结出各个小问题之间的共同点和规律，以便更好地理解问题，并找到解决办法。
3.统一思考。
将各个小问题的解决办法进行归纳和整合，形成对大问题的解决思路。
二、分类讨论的具体步骤分类讨论的具体步骤可以简单概括为以下几点：1.理解问题。
仔细阅读题目，了解问题的背景和要求，确定需要解决的具体问题。
2.分析问题。
将大问题分解成几个小问题，每个小问题都有明确的目标和限制条件。
在分析过程中，可以通过画图、列举数据等方式进行辅助分析。
3.解决小问题。
按照特定的思路和方法，分别解决各个小问题。
在解决过程中，可以运用已经学过的数学知识、规律和公式。
4.总结归纳。
在解决小问题的过程中，要总结各个小问题之间的共同点和规律，归纳出解决大问题的关键思路和方法。
5.整合答案。
将各个小问题的解答整合成对大问题的解答。
在整合过程中，要仔细检查各个小问题的解答是否符合大问题的要求，并进行必要的修正和调整。
三、分类讨论的具体例题下面以一些常见的初中数学题目为例，说明如何运用分类讨论的方法解决问题。
例题1：现有一些白球和红球，共18个。
白球的个数不超过红球的个数。
问，最少有多少个红球？解题思路：根据题目要求和条件，可以将问题进行分类讨论。
数学思想方法讲解(初二版)
数学思想方法专题知识点归纳：常用的数学思想1．整体思想从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易. 整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等2．分类讨论思想在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异。
分各种不同情况予以考察，这是一种重要数学思想方法和重要的解题策略，引起分类讨论的因素较多，归纳起来主要有以下几个方面：（1）由数学概念、性质、定理、公式的限制条件引起的讨论；（2）由数学变形所需要的限制条件所引起的分类讨论；（3）由于图形的不确定性引起的讨论；（4）由于题目含有字母而引起的讨论。
3．数形结合思想在中学数学里，我们不可能把“数”和“形”完全孤立地割裂开，也就是说，代数问题可以几何化，几何问题也可以代数化，“数”和“形”在一定条件下可以相互转化、相互渗透。
4.函数与方程的思想方程是研究数量关系的重要工具，在处理生活中实际问题时，根据已知与未知量之间的联系及相等关系建立方程或方程组，从而使问题获得解决的思想方法称为方程思想．而函数的思想是用运动、变化的观点，研究具体问题中的数量关系，再用函数的形式把变量之间的关系表示出来．5.转化思想转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。
在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
第1讲整体思想1．(江苏盐城)已知a－b＝1，则代数式2a－2b－3的值是()A．－1 B．1 C．－5 D．52．(山东济南)化简5(2x－3)＋4(3－2x)结果为()A．2x－3 B．2x＋9 C．8x－3 D．18x－3 3．(浙江杭州)当x＝－7时，代数式(2x＋5)(x＋1)－(x－3)(x＋1)的值为________．4．(江苏苏州)若a ＝2，a ＋b ＝3，则 a 2＋ab ＝______.5．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝4k ＋1，2x ＋y ＝k ＋2，且0<x ＋y <3，则k 的取值范围是 ______________. 6．若买铅笔4支，日记本3本，圆珠笔2支，共需10元；若买铅笔9支，日记本7本，圆珠笔5支，共需25元，则购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需______元．图Z1－37．如图Z1－3, ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝________________.8．(浙江丽水)已知A ＝2x ＋y ，B ＝2x －y ，计算A 2－B 2的值．9.已知1x －1y ＝3，求代数式2x －14xy －2y x －2xy －y的值．第2讲 分类讨论思想1. 已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为（ ）A. 30°B. 75°C. 105°D. 30°或75°2. 已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_________。
初中数学教学中的分类讨论思想
互相 补充 ， 互相 评价 ， 个不同种类的一种数学思想。 它能训练学 是应 用分 类思想 解决 问题 的一个完 整的 则应 由学 生讨 论 ， 生 的思维条理性和严密性 ， 而提高学 生 过程。使学生在学 习知识 的过程 中体会 ： 逐 步完善 。 从 分析 问题和解决问题的能力。 分类思想要 为什么要分 类 ， 及分类 的基本原则。在随 贯串于整个数学教学 中， 在初 中数学教学 后 的去括号法则 、 有理数 的乘 法、 乘方 的 的过 程 中逐 步恰 当地 渗透数学 分类讨 论 教学 中均可仿照此方法渗透分类的思想 。
意ｋ 对方程性质的影响。 讨论或讲评中， 要
参 考文献 ： ［］ １王燕春 ． 分类 方法． 学会 提高分 类
［］ 日制义 务教育课 程标 准 （ ２全 实验 ［］ ３蔡上鹤． 数学思想和数学方法
初 中数学大纲 明确指 出要让学生 “ 会 使学生明确系数 ｋ决定方程的次数 ，从而 的大小和边长的关系对三角形进行分类 ” ｂ－ ａ＞ ，Ｚ４ ｃ Ｏｂ－ ａ ＜ 三种情况进 Ｚ４ ｃ Ｏｂ． ａ＝ ，Ｚ４ｃ Ｏ
号 ， 解题 的过程使学 生体会分类讨论 的 图像过哪几个象限？ 道题势必 要考虑 图 在 这
２ １ ・ ０２ １
一
般情况 下， 分类讨论后都要对结论
这也是解决这一类问题必须的 类的依据 ，初步体会分类要不重复 ，不遗 并通过 有关讨论 的知识 的传授起 到潜移 进 行归纳 ， 步骤 。对所 有分 类情况 的解进行统计 ， 理
解问题 的意思 ，哪些解符合题 目要求 ， 需
分类讨论 是重要的数学思想方法 ， 但 保留 ； 哪些解不符合题 目要求 ， 要舍去。 保
一
、
养成分类意识、 渗透分类思想
分类讨论思想
初中数学分类讨论思想全国各地每年中考数学试题都离不开考查分类讨论的思想，分类讨论思想是在解决问题出现不确定性时的有效方法。
比如线段及端点的不确定；角的一边不确定；三角形形状不确定；等腰三角形腰或顶角不确定；直角三角形斜边不确定；相似三角形对应角（边）不确定等，都需要我们正确地运用分类讨论的思想进行解决。
分类讨论思想不仅可以使我们有效地解决一些问题，同时还可以培养我们的观察能力和全面数学思维能力。
学生能够自觉合理的运用分类讨论的思想解决相应数学冋题，掌握分类讨论数学思想方法这个锐利武器，提高学生的综合运用的能力和良好的思维品质。
1.分类讨论思想含义数学问题比较复杂时，有时可以分解成若干小问题或一系列步骤进行分类并分别加以讨论的方法，我们称为分类讨论法或分类讨论思想。
2.分类讨论一般应遵循以下原则（1）对问题中的某些条件进行分类要遵循同一标准。
（2）分类要完整，不重复，不遗漏。
（3）有时分类并不是一次完成，还需进行逐级分类，对于不同级的分类，其分类标准不一定统一。
3.需要分类讨论的试题基本类型及其要求（1）考查数学概念及定义的分类。
熟练掌握数学中的概念及定义，其中以绝对值、方程及根的定义，函数的定义尤为重要，必须明确讨论对象及原因，进而确定其存在的条件和标准。
（2）考查字母的取值情况或范围的分类。
此类问题通常在函数中体现颇多，考查自变量的取值范围的分类，解题中应十分注意性质、定理的使用条件及范围.（3）考查图形的位置关系或形状的分类。
熟知直角三角形的直角，等腰三角形的腰与角以及圆的对称性，根据图形的特殊性质，找准讨论对象，逐一解决.（4）考查图形的对应关系可能情况的分类。
图形的对应关系多涉及到三角形的全等或相似问题，对其中可能出现的有关角、边的可能对应情况加以分类讨论.4.初中数学涉及分类讨论的常见问题（1）绝对值中的分类讨论，（2）应用题中的方案类型，（3）概率统计中的分类讨论，（4）分式方程无解的分类讨论问题（5）一元二次方程系数的分类讨论问题（6）三角形的形状不定需要分类讨论（7）等腰三角形的分类讨论（8）相似三角形的对应角(或边)不确定而进行的分类（9）常见平面问题中动点问题的分类讨论（10）组合图形（一次函数、二次函数与平面图形等组合）中动点问题的分类。
初中数学思想方法篇——分类讨论
新梦想教育中高考名校冲刺教育中心【老师寄语：每天进步一点点，做最好的自己】解题思想之分类讨论一、注解：分类讨论思想又称为逻辑划分，是中学数学最常用的数学思想方法之一，也是中考数学中经常出现的数学思想。
分类讨论就是依据一定的标准，对问题进行分类，求解，然后综合出问题的答案。
当被研究的问题包含多种可能情况，不能一概而论时，必须按照可能出现的情况进行分类，分别讨论，得出各种不同情况下的相应结论。
分类原则：分类的对象是明确的；标准是统一的，不遗漏、不重复、分层次；不越级讨论。
分类方法：明确讨论的对象，确定对象的全体，然后确立分类标准，正确进行分类；逐步进行讨论，获取阶段性结果；归纳总结，综合得出结论。
二、实例运用：1.在实数中的运用【例1】若1a =，4b =且a b ＜0，则a+b= 【例2】若2m-4与3m-1是同一个数的平方根，求m 。
2. 在代数式中的运用 【例3】若实数x 满足22110x x x x +++=，求1x x+的值。
【例4】分式22943x x x --+的值为0，则x= （ ）A 3B 3或-3C -3D 03. 在方程（组）中的运用【例5】已知关于x 的方程ax 2+2x-1=0有实根，求a 的取值范围。
【例6】黄金周期间，某商场购物有如下优惠方案：（1）一次性购物在100元内（不含100元）时，不享受优惠；（2）100元到300元（不含300元）时，一律享受9折优惠；（3）300元以上时，享受8折优惠。
张伟在本商场分两次购物，分别付款80元和252元。
如果改为在该商场一次性购买，需要支付多少钱？4.在不等式中的运用【例7】国家规定个人发表文章，出版图书获得稿费的纳税计算办法是：（1）稿费不高于800元的，不纳税；（2）稿费高于800元，不高于4000元的，缴纳超过800那部分的14%；（3）稿费高于4000元的，应缴纳全部稿费的12%。
已知某作家获得一笔稿费，并交纳个人所得税a元（a＞0），求这笔稿费有多少元。
数学分类讨论思想
在有关动点的几何问题中，由于图形的不确定性，我们常常需要针对各种可能出现的图形对每一种可能的情形都分别进行研究和求解．换句话说，分类思想在动态问题中运用最为广泛．
C
A
D
B
例12、如图,在矩形ABCD中,AB=20厘米,BC=4厘米,点P从点A开始沿折线A—B—C—D以4厘米/秒的速度移动,点Q从点C开始沿CD以1厘米/秒的速度移动,如果点P和Q分别从点A、C同时出发,当其中一个点到达D点时,另一点也随之停止运动.设运动时间为t（秒）.
C
B
D
A
E
F
如图，当EA=EF=10时,DE=7, DF= = , S△AEF= ×10× = 5 (cm2)
1
2
C
B
D
A
17
16
E
F
C
B
D
A
E
F
C
B
D
A
E
F
∴三角形面积是50cm2 、 40 cm2 、 cm2
【简解】本题分方程是一元二次方程和一元 一次方程两种情况讨论，答案:k＞－1；
3）在同一坐标系中，正比例函数y=-3x与反比例 函数 的图象的交点的个数是（ ）
A．0个或2个 B．l个 C．2个 D．3个
A
4）、若直线 y=－x+b 与两坐标轴围成的三角形的面积是2，则b的值为 ；
A
C
B
B
A
C
C
B
A
分析（1）圆C与斜边AB相切时， R=2.4 （2）圆C与斜边AB相交时，一个交点在线段AB上，另一个交点在延长线上。 3﹤R≦4
例9、半径为R的两个等圆外切，则半径为2R且和这两个圆都相切的圆有几个？
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分类讨论
分类讨论问题是创新性问题之一，此类题综合性强，难题较大，在历年中考试题中多以压轴题出现，对考生的
能力要求较高，具有很强的选拔性。
综合中考的复习规律，分类讨论的知识点有三大类：
1．代数类：代数有绝对值、方程及根的定义，函数的定义以及点（坐标未给定）所在象限等
.
2．几何类：几何有各种图形的位置关系，未明确对应关系的全等或相似的可能对应情况等
. 3．综合类：代数与几何类分类情况的综合运用. 在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重
要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．
分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其
实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．
正确的分类必须是周全的，既不
重复、也不遗漏．
分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；
（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级有序进行．（4）以性质、公式、定理的使用条件为标准分类的题型. 题型 1.考查数学概念及定义的分类
规律提示:熟练掌握数学中的概念及定义，其中以绝对值、方程及根的定义，函数的定义尤为重要，必须明确讨论
对象及原因，进而确定其存在的条件和标准。
例题1．方程560x x x 的最大根与最小根的积为＿＿＿＿＿＿.
例题2．解关于x 的方程：ax - 1= x
例题3．试解关于x 的方程1
11x )x (例题4．a
34933
2无解，求x x ax x 例题5．已知四个数：10、10、x 、8，它们的中位数和平均数相等，则x=___________
题型2：考查字母的取值情况或范围的分类.
规律提示：此类问题通常在函数中体现颇多，考查自变量的取值范围的分类，解题中应十分注意性质、定理的使用
条件及范围.
例题1．已知2225,7x y x y ，则x y 的值等于＿＿＿＿＿＿＿.
例题2．如图所示，在平行四边形
ABCD 中，4A D cm ，∠A ＝60°，BD ⊥AD ，一动点P 从A 出发，以每秒1cm 的速度沿A B C 的路线匀速运动，过点P 作直线PM ，使PM ⊥AD.
（1）当点P 运动2秒时，设直线PM 与AD 相交于点E ，求△APE 的面积；
（2）当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A B C的路线运动，
且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2cm的速度匀速
运动.过Q作直线QN，使QN//PM.设点Q运动的时间为t秒（0≤t≤10），
直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为Scm2.
①求S关于t的函数关系式；②（附加题）求S的最大值.
题型3．考查图形的位置关系或形状的分类.
规律提示：熟知直角三角形的直角，等腰三角形的腰与角以及圆的对称性，根据图形的特殊性质，找准讨论对象，逐一解决.
与，则线段AB的中点C到直线l的距离是（）例题1．平面上A、B两点到直线l的距离分别是2323
A．2B．3C．2或3D．不能确定
例题2．直角三角形的两边为3和4，那么第三边长为
例题3．已知x，y为直角三角形两边的长满足，则第三边的长为_____________
例题4．如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点P从A出发，沿AB以每秒1cm的速度
向B运动，同时，点Q从点B出发，沿BC以相同速度向C运动，问，当运动几
秒后，△PBQ为直角三角形？
例题5．在等腰三角形ABC中，AB=AC,一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和
12两部分，则这个三角形的底边长为：.
例题6．三角形一边长AB为13cm，另一边AC为15cm，BC上的高为12cm,求此三角形的面积。
例题7．在下图三角形的边上找出一点，使得该点与三角形的两顶点构成等腰三角
形，这样的点共有几个分别画出相应的图形。
例题8．在劳技课上，老师请同学们在一张长为17cm，宽16cm的长方形纸板上剪下一个腰长为10cm的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形上的边上）请你帮助同
学们计算剪下的等腰三角形的面积.
题型4.考查图形的对应关系可能情况的分类
规律提示：图形的对应关系多涉及到三角形的全等或相似问题，对其中可能出现的有关角、边的可能对应情况加以分类讨论.
例题1．一条绳子对折后成右图A、B, A.B上一点C，且有BC=2AC,将其从C点剪断，得到的线段中最长的一段为40cm,请问这条绳子的长度为____________。