甘肃省武威市铁路中学2014届高三数学(文)专题训练：选择填空限时练(四)Word版含答案
甘肃省武威市铁路中学高考数学专题训练 选择填空限时练(四)文(1)
甘肃省武威市铁路中学高考数学专题训练 选择填空限时练(四)文(推荐时刻：45分钟)一、选择题1． 已知集合A ＝{y |x 2＋y 2＝1}和集合B ＝{y |y ＝x 2}，那么A ∩B 等于( )A ．(0,1)B ．[0,1]C ．(0，＋∞)D ．{(0,1)，(1,0)}答案 B2． 复数(3＋4i)i(其中i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 因为(3＋4i)·i＝－4＋3i ，因此在复平面上对应的点位于第二象限，选B. 3．“α＝2k π－π4(k ∈Z )”是“tan α＝－1”的( )A ．充分没必要要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也没必要要条件答案 A解析 由α＝2k π－π4(k ∈Z )可得tan α＝－1；而由tan α＝－1得α＝k π－π4(k ∈Z )，应选A.4． 一个几何体的三视图如下图，那么此几何体的体积是( )A ．112B ．80C ．72D ．64答案 B解析 依题意得，该几何体的下半部份是一个棱长为4的正方体，上半部份是一个底面是边长为4的正方形，高为3的四棱锥，故该几何体的体积为43＋13×4×4×3＝80.应选B. 5． 将参加夏令营的500名学生编号为：001,002，…，500，采纳系统抽样的方式抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这500名学生分住在三个营区，从001到200在第一营区，从201到355在第二营区，从356到500在第三营区，三个营区被抽中的人数为( ) A ．20,15,15 B ．20,16,14 C ．12,14,16D ．21,15,14答案 B解析 依照系统抽样特点，被抽到号码l ＝10k ＋3，k ∈N .第353号被抽到，因此第二营区应有16人，因此三个营区被抽中的人数为20,16,14.6． 要取得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象( )A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位答案 D解析 要取得函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，只需将函数y ＝sin 2x 中的x 减去π6，即取得y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.7． 设数列{a n }是等差数列，假设a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝( )A ．14B ．21C ．28D ．35答案 C解析 由a 3＋a 4＋a 5＝12得a 4＝4， 因此a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝7a 1＋a 72＝7a 4＝28.8． 某程序的框图如下图，那么运行该程序后输出的B 值是( )A ．5B ．11C ．23D ．47答案 C解析 第一次循环：B ＝2×2＋1＝5，A ＝4； 第二次循环：B ＝2×5＋1＝11，A ＝5； 第三次循环：B ＝2×11＋1＝23，A ＝6； 第四次循环：输出B ＝23，选C.9． 已知概念在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的图象如下图，那么以下表达正确的选项是( )A ．f (b )>f (c )>f (d )B ．f (b )>f (a )>f (e )C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (e )>f (d ) 答案 C解析 依照函数f (x )的特点图象可得：f (c )>f (b )>f (a )．10．假设实数x ，y 知足不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≥1，3x －y ≤3，那么该约束条件所围成的平面区域的面积是( )A ．3 B.52C ．2D ．22答案 C解析 可行域为直角三角形，其面积为S ＝12×22×2＝2.11．如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的核心F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，假设|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，那么此抛物线方程为( ) A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x答案 C解析 如图，∵|BC |＝2|BF |， ∴由抛物线的概念可知∠BCD ＝30°， |AE |＝|AF |＝3，∴|AC |＝6. 即F 为AC 的中点，∴p ＝|FF ′|＝12|EA |＝32，故抛物线方程为y 2＝3x .12．已知函数y ＝f (x )是概念在R 上且以3为周期的奇函数，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝ln(x 2－x ＋1)，那么函数f (x )在区间[0,6]上的零点个数为( )A ．3B ．5C ．7D ．9答案 C解析 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0时，－x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，f (x )＝－f (－x )＝－ln(x 2＋x ＋1)；则f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32上有3个零点(在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，32上有2个零点)．依照函数周期性，可得f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫32，92上也有3个零点，在⎝ ⎛⎦⎥⎤92，6上有2个零点．故函数f (x )在区间[0,6]上一共有7个零点． 二、填空题13．在区间[0,9]上随机取一实数x ，那么该实数x 知足不等式1≤log 2x ≤2的概率为________．答案 29解析 由1≤log 2x ≤2得：2≤x ≤4，故所求概率为29.14．向量a ＝(－1,1)在向量b ＝(3,4)方向上的投影为________．答案 15解析 设向量a ＝(－1,1)与b ＝(3,4)的夹角为θ，那么向量a 在向量b 方向上的投影为|a |·cos θ＝a ·b|b |＝－1，1·3，432＋42＝15. 15．抛物线y ＝2x 2的准线方程是________．答案 y ＝－18解析 由题意知：抛物线的开口方向向上，且2p ＝12，因此准线方程为y ＝－18.16．下面四个命题：①已知函数f (x )＝sin x ，在区间[0，π]上任取一点x 0，那么使得f (x 0)>12的概率为23；②函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位取得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；③命题“∀x ∈R ，x 2－x ＋1≥34”的否定是“∃x 0∈R ，x 20－x 0＋1<34”； ④假设函数f (x )是概念在R 上的奇函数，那么f (x ＋4)＝f (x )，那么f (2 012)＝0. 其中所有正确命题的序号是________． 答案 ①③④解析 ②错误，应该向左平移π6；①使得f (x 0)>12的概率为p ＝56π－16ππ＝23；④f (2 012)＝f (0)＝0.。
甘肃省武威市铁路中学高考数学专题训练 压轴大题突破练(四)文
某某省某某市铁路中学高考数学专题训练 压轴大题突破练(四)文(推荐时间：60分钟)1．已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )在(－1,1)上单调递增，求a 的取值X 围；(3)函数f (x )是否为R 上的单调函数？若是，求出a 的取值X 围；若不是，请说明理由． 解 (1)当a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )e x ，∴f ′(x )＝(－2x ＋2)e x ＋(－x 2＋2x )e x ＝(－x 2＋2)e x .令f ′(x )>0，即(－x 2＋2)e x >0，∵e x >0，∴－x 2＋2>0. 解得－2<x < 2.∴函数f (x )的单调递增区间是[－2，2]．(2)∵函数f (x )在(－1,1)上单调递增，∴f ′(x )≥0对x ∈(－1,1)都成立，∵f ′(x )＝(－2x ＋a )e x ＋(－x 2＋ax )e x＝[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ，∴[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≥0对x ∈(－1,1)都成立，∵e x >0，∴－x 2＋(a －2)x ＋a ≥0对x ∈(－1,1)都成立．即a ≥x 2＋2x x ＋1＝(x ＋1)2－1x ＋1＝(x ＋1)－1x ＋1对x ∈(－1,1)都成立． 令y ＝(x ＋1)－1x ＋1，则y ′＝1＋1(x ＋1)2>0. ∴y ＝(x ＋1)－1x ＋1在(－1,1)上单调递增． ∴y <(1＋1)－11＋1＝32.∴a ≥32. (3)若函数f (x )在R 上单调递减，则f ′(x )≤0对x ∈R 恒成立，即[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≤0对x ∈R 都成立，∵e x >0，∴x 2－(a －2)x －a ≥0对x ∈R 都成立．∴Δ＝(a －2)2＋4a ≤0，即a 2＋4≤0，这是不可能的，故函数f (x )不可能在R 上单调递减．若函数f (x )在R 上单调递增，则f ′(x )≥0对x ∈R 恒成立，即[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≥0对x ∈R 都成立，∵e x >0，∴x 2－(a －2)x －a ≤0对x ∈R 都成立．而Δ＝(a －2)2＋4a ＝a 2＋4>0，故函数f (x )不可能在R 上单调递增．综上可知函数f (x )不可能是R 上的单调函数．2．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12，右焦点到直线x a ＋y b ＝1的距离d ＝217，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点O 作两条互相垂直的射线，与椭圆C 分别交于A ，B 两点，证明：点O 到直线AB 的距离为定值．(1)解 由e ＝12得c a ＝12，即a ＝2c ，∴b ＝3c . 由右焦点到直线x a ＋y b ＝1的距离为d ＝217， x a ＋y b＝1化为一般式： bx ＋ay －ab ＝0得|bc －ab |a 2＋b 2＝217，解得a ＝2，b ＝ 3. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当直线AB 斜率存在时，可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆x 24＋y 23＝1，联立消去y 整理可得 (4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋(4m 2－12)＝0.由根与系数的关系得：x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2. ∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝0.即：(k 2＋1)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0，∴(k 2＋1)4m 2－123＋4k 2－8k 2m 23＋4k2＋m 2＝0， 整理得7m 2＝12(k 2＋1)，所以O 到直线AB 的距离d ＝|m |k 2＋1＝127＝2217(为定值)． 当直线AB 斜率不存在时，可求出直线AB 方程为x ＝±2217. 则点O 到直线AB 的距离为2217(定值)． 3．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，上顶 点为A ，在x 轴负半轴上有一点B ，满足BF 1→＝F 1F 2→，且AB ⊥AF 2，如图所示．(1)求椭圆C 的离心率；(2)若过A 、B 、F 2三点的圆恰好与直线l ：x －3y －3＝0相切，求椭圆C 的方程；(3)在(2)的条件下，过右焦点F 2作斜率为k 的直线l ′与椭圆C 交于M 、N 两点，在x 轴上是否存在点P (m,0)使得以PM 、PN 为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出m 的取值X 围；如果不存在，说明理由．解 (1)设B (x 0,0)，则F 2(c,0)，A (0，b )，由AB ⊥AF 2，可知△ABF 2是以点A 为直角顶点的直角三角形，由BF 1→＝F 1F 2→，可知F 1为BF 2的中点，且|BF 2|＝2|F 1F 2|＝4c .∴|AF 1|＝12|BF 2|＝2c ，而|AF 1|＝a ，故有a ＝2c . ∴椭圆的离心率e ＝12. (2)由(1)，知c a ＝12，得c ＝12a . 于是F 2⎝⎛⎭⎫12a ，0，B ⎝⎛⎭⎫－32a ，0， △ABF 2的外接圆圆心为⎝⎛⎭⎫－12a ，0，半径r ＝12|F 2B |＝a ， ∴⎪⎪⎪⎪－12a －32＝a ，解得a ＝2.∴c ＝1，b ＝ 3.故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1. (3)由(2)，知F 2(1,0)，l ′：y ＝k (x －1)，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1.整理，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)， PM →＋PN →＝(x 1－m ，y 1)＋(x 2－m ，y 2)＝(x 1＋x 2－2m ，y 1＋y 2)．由于菱形的对角线垂直，则(PM →＋PN →)·MN →＝0，即(x 2－x 1)[x 1＋x 2－2m ＋k (y 1＋y 2)]＝0.故k (y 1＋y 2)＋x 1＋x 2－2m ＝0，则k 2(x 1＋x 2－2)＋x 1＋x 2－2m ＝0， k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 23＋4k 2－2＋8k 23＋4k 2－2m ＝0. 由已知条件，知k ≠0且k ∈R ，∴m ＝k 23＋4k 2＝13k 2＋4，∴0<m <14. 故存在满足题意的点P 且m 的取值X 围是⎝⎛⎭⎫0，14.4．已知向量m ＝(e x ，ln x ＋k )，n ＝(1，f (x ))，m ∥n (k 为常数，e 是自然对数的底数)，曲线y＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴垂直，F (x )＝x e x f ′(x )．(1)求k 的值及F (x )的单调区间；(2)已知函数g (x )＝－x 2＋2ax (a 为正实数)，若对于任意x 2∈[0,1]，总存在x 1∈(0，＋∞)，使得g (x 2)<F (x 1)，某某数a 的取值X 围．解 (1)由已知可得：f (x )＝ln x ＋k e x， ∴f ′(x )＝1x －ln x －k e x， 由已知，f ′(1)＝1－k e＝0，∴k ＝1， ∴F (x )＝x e x f ′(x )＝x ⎝⎛⎭⎫1x －ln x －1＝1－x ln x －x ，∴F ′(x )＝－ln x －2，由F ′(x )＝－ln x －2≥0⇒0<x ≤1e 2， 由F ′(x )＝－ln x －2≤0⇒x ≥1e 2. ∴F (x )的增区间为⎝⎛⎦⎤0，1e 2，减区间为⎣⎡⎭⎫1e 2，＋∞. (2)∵对于任意x 2∈[0,1]，总存在x 1∈(0，＋∞)，使得g (x 2)<F (x 1)，∴g (x )max <F (x )max .由(1)知，当x ＝1e 2时，F (x )取得最大值F ⎝⎛⎭⎫1e 2＝1＋1e 2. 对于g (x )＝－x 2＋2ax ，其对称轴为x ＝a ，当0<a ≤1时，g (x )max ＝g (a )＝a 2，∴a 2<1＋1e 2，从而0<a ≤1. 当a >1时，g (x )max ＝g (1)＝2a －1，∴2a －1<1＋1e 2，从而1<a <1＋12e 2. 综上可知：0<a <1＋12e 2.。
甘肃省武威市凉州区2014届高三下学期第一次诊断考试数学(文)试题Word版含答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集U =R ，集合{|21}x M x =>，集合2{|log 1}N x x =>，则下列结论中成立的是（ ）A ．M N M =B ．M N N =C ．()U M C N =∅D ．()U C M N =∅ 2.已知i 为虚数单位，则1ii z +=在复平面内对应的点位于 ( )A. 第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 3.已知命题x x R x p lg 2,:>-∈∃，命题0,:2>∈∀x R x q ，则 ( ) A.命题q p ∨是假命题 B.命题q p ∧是真命题 C.命题)(q p ⌝∧是真命题 D.命题)(q p ⌝∨是假命题 4.已知sin 3cos 53cos sin αααα+=-，则2sin sin cos ααα-的值是 （ ）A ．25B ．52- C. 2- D ．25．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 （ ）Ａ．283π-Ｂ．83π- Ｃ．82π- Ｄ．23π6. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 （ ） A.34 B.45 C.56D.1 7．函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠且的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++= 上，其中m ，n 均大于0，则12m n+的最小 值为 （ ）A ．2B ．4C ．8D ．168. 已知等比数列{n a }的公比2=q ,且42a ,6a ,48成等差数列,则{n a }的前8项和为( ) A ．127 B ．255C ．511D ．10239．已知()21sin ,42f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的图像是（ ）10.设函数()cos (0)f x x ωω=>，将y ＝f (x )的图象向右平移3π个单位长度后，所 得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于 ( ) A. 13B ．3C ．6D ．911. 点P 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上，F 1，F 2是这条双曲线的两个焦点，∠F 1PF 2＝90°，且△F 1PF 2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是 ( ) A ．2 B ． 3 C ．4 D ．5 12.定义方程()()'=f x f x 的实数根0x 叫做函数的“新驻点”，若函数()sin (0)g x x x π=<<，()ln (0),h x x x =>3()(0)x x x ϕ=≠的“新驻点”分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为 （ ） A ．a b c >> B ．c b a >> C ．a c b >> D ． b a c >>第Ⅱ卷(共90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在横线上）. 13．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴相切，则该圆的标准方程是_______________.14.若向量a ，b 满足||1a =，||b = ()a a b ⊥+，则a 与b 的夹角为15.若函数3log y x = 的图像上存在点),(y x ，满足约束条件40210x y x y y m +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则实数m 的最大值为16.在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，S 为△ABC 的面积．若向量＝(4，a 2＋b 2－c 2)，q ＝(3，S )，满足p ∥q ，则角C ＝ .三、解答题 (解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.共70分)17.(本题满分12分) 等差数列}{n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且a 1，a 3，a 9成等比数列，255a S =．(Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式；(Ⅱ)若数列}{n b 满足121+⋅++=n n n a a n n b ，求数列}{n b 的前n 项的和．18.(本小题满分12分)为了了解甘肃各景点在大众中的熟知度，随机对15～65岁的人群抽样了n 人，回答问题“甘肃省有哪几个著名的旅游景点？”统计结果如下图表．(Ⅰ)分别求出a ，b ，x ，y 的值；(Ⅱ)从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？(Ⅲ)在(Ⅱ)抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率. 19.（本小题满分12分）如图，正三棱柱（底面为正三角形，侧棱垂直于底面）111ABC A B C -中，D 是BC 的中点， 1AA AB a ==（Ⅰ）求证：1AD B D ⊥； （Ⅱ）求证：1A C ∥平面1AB D ； （Ⅲ）求三棱锥1C AB D -的体积.20.（本小题12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，短轴长为4，且有一个焦点与抛物线x y 542=的焦点重合．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知经过定点M （2,0）且斜率不为0的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，试问在x 轴上是否另存在一个定点P 使得PM 始终平分APB ∠？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．21. (本小题满分12分)已知函数()(2)e x f x ax =-在1x =处取得极值. (Ⅰ)求a 的值;(Ⅱ)求函数()f x 在[],1m m +上的最小值;(Ⅲ)求证:对任意12,[0,2]x x ∈,都有12|()()|e f x f x -≤.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA ＝OB ，CA ＝CB ，⊙O 交直线OB 于E ， D ，连接EC ，CD .(Ⅰ)求证：直线AB 是⊙O 的切线；(Ⅱ)若tan ∠CED ＝12，⊙O 的半径为3，求OA 的长．23．（本小题满分10分）选修4－4：极坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，已知曲线C 的参数方程为2cos (sn x y ααα=⎧⎨=⎩为参数）．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()4πρθ-=(Ⅰ)求直线l 的直角坐标方程；(Ⅱ)点P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值． 24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数f(x)＝|2x －1|＋|2x ＋a|，g(x)＝x ＋3.(Ⅰ)当a ＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；(Ⅱ)设a ＞－1，且当x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f(x)≤g(x)，求a 的取值范围．凉州区2014届高三年级第一次诊断考试数 学 试 卷（文）答案一 、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）∵0≠d ，∴d a =1 ①∵255a S = ∴211)4(2455d a d a +=⋅⨯+ ②由①②得：531=a ，53=d …………………5分∴n n a n 5353)1(53=⨯-+= …………………6分(Ⅱ))1111(925)1(1925)1(5353122+-+=+++⋅=+⋅++=n n n n n n n n n n b n…………………8分 ∴)]111()3121()211([925321+-++-+-+=++++n n n b b b b n12925)111(9252++⋅=+-+=n nn n n …………………12分（Ⅱ）因为第2，3，4组回答正确的人数共有54人，所以利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为： 第2组：265418=⨯人； 第3组：365427=⨯人； 第4组：16549=⨯人 …………………8分19.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：∵ABC —A 1B 1C 1是正三棱柱， ∴BB 1⊥平面ABC ，∴BB 1⊥AD在正△ABC 中，∵D 是BC 的中点，∴AD ⊥BD ，∴AD ⊥平面BB 1 CC 1,∵B 1D平面 BB 1 CC 1,∴AD ⊥B 1D …………………4分 （Ⅱ）解：连接A 1B ，设A 1B ∩AB 1 = E ，连接DE. ∵AA 1=AB ∴四边形A 1ABB 1是正方形， ∴E 是A 1B 的中点， 又D 是BC 的中点，∴DE ∥A 1C. ………………………… 7分 ∵DE平面AB 1D ，A 1C平面AB 1D ，∴A 1C ∥平面AB 1D. ……………………9分113113C AB D B ADC ADC V V S BB --==⨯= ……12分20.(本题满分12分)解：（Ⅰ）∵短轴短轴长为4，∴2b=4,解得b=2.又抛物线2y =的焦点为（错误！未找到引用源。
甘肃省武威市铁路中学2014届高三数学(文)专题训练：中档大题保分练(六)Word版含答案
(推荐时间：50分钟)1． 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴正半轴上，直线AB 的倾斜角为3π4，|OB |＝2，设∠AOB ＝θ，θ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4. (1)用θ表示点B 的坐标及|OA |；(2)若tan θ＝－43，求OA →·OB →的值． 解 (1)由题意，可得点B 的坐标为(2cos θ，2sin θ)．在△ABO 中，|OB |＝2，∠BAO ＝π4，∠B ＝π－π4－θ＝3π4－θ. 由正弦定理，得|OB |sin π4＝|OA |sin B ， 即|OA |＝22sin ⎝⎛⎭⎫3π4－θ.(2)由(1)，得OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos θ＝42sin ⎝⎛⎭⎫3π4－θcos θ.因为tan θ＝－43，θ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4， 所以sin θ＝45，cos θ＝－35. 又sin ⎝⎛⎭⎫3π4－θ＝sin 3π4cos θ－cos 3π4sin θ＝22×⎝⎛⎭⎫－35－⎝⎛⎭⎫－22×45＝210， 故OA →·OB →＝42×210×⎝⎛⎭⎫－35＝－1225. 2． 设AB ＝6，在线段AB 上任取两点(端点A 、B 除外)，将线段AB 分成了三条线段．(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率；(2)若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率．解 (1)若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度所有可能情况是1,1,4；1,2,3；2,2,2，共3种情况，其中只有三条线段长为2,2,2时，能构成三角形，故构成三角形的概率为P ＝13. (2)设其中两条线段长度分别为x 、y ，则第三条线段长度为6－x －y ，故全部试验结果所构成的区域为⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <60<y <60<6－x －y <6，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <60<y <60<x ＋y <6， 所表示的平面区域为△OAB .若三条线段x ，y,6－x －y 能构成三角形，则还要满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y >6－x －y x ＋6－x －y >y y ＋6－x －y >x，即为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >3y <3x <3， 所表示的平面区域为△DEF ，由几何概型知，所求概率为P ＝S △DEF S △AOB ＝14.3． 如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，棱AA 1与底面ABC 垂直，△ABC为等腰直角三角形，AB ＝AC ＝AA 1，D ，E ，F 分别为B 1A ，C 1C ， BC 的中点．(1)求证：DE ∥平面ABC ；(2)求证：平面AB 1F ⊥平面AEF .证明 (1)取AB 中点G ，连接DG ，GC .因为D 是AB 1的中点，所以DG ∥BB 1，且DG ＝12BB 1， 又因为BB 1∥CC 1，CE ＝12CC 1， 所以DG ∥CE 且DG ＝CE ，所以四边形DGCE 为平行四边形，所以DE ∥GC . 又DE ⊄平面ABC ，GC ⊂平面ABC ，所以DE ∥平面ABC .(2)因为△ABC 为等腰直角三角形，F 为BC 的中点， 所以BC ⊥AF ，由题意知B 1B ⊥平面ABC ，所以B 1B ⊥AF .又因为B 1B ∩BC ＝B ，所以AF ⊥平面B 1BF ，所以AF ⊥B 1F .设AB ＝AA 1＝2，则B 1F ＝6，EF ＝3，B 1E ＝3， 所以B 1F 2＋EF 2＝B 1E 2，所以B 1F ⊥EF ， 又AF ∩EF ＝F ，所以B 1F ⊥平面AEF . 又因为B 1F ⊂平面AB 1F ，所以平面AB 1F ⊥平面AEF .4． 已知等比数列{a n }满足2a 1＋a 3＝3a 2，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n ＋log 21a n，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n －2n ＋1＋47<0成立的正整数n 的最小值．解 (1)设等比数列{a n }的公比为q .由⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋a 3＝3a 2，a 2＋a 4＝2(a 3＋2)，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(2＋q 2)＝3a 1q ， ①a 1(q ＋q 3)＝2a 1q 2＋4， ② 由①，得q 2－3q ＋2＝0，解得q ＝1或q ＝2. 当q ＝1时，不合题意舍去；当q ＝2时，代入②，得a 1＝2.则a n ＝2·2n －1＝2n . (2)因为b n ＝a n ＋log 21a n ＝2n ＋log 212n ＝2n －n ， 所以S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝2－1＋22－2＋23－3＋…＋2n －n＝(2＋22＋23＋…＋2n )－(1＋2＋3＋…＋n ) ＝2(1－2n )1－2－n (1＋n )2＝2n ＋1－2－12n －12n 2. 因为S n －2n ＋1＋47<0， 所以2n ＋1－2－12n －12n 2－2n ＋1＋47<0， 即n 2＋n －90>0，解得n >9或n <－10. 又n ∈N *，故使S n －2n ＋1＋47<0成立的正整数n 的最小值为10.。
甘肃省武威市铁路中学高考数学专题训练 中档大题保分练(三)文
甘肃省武威市铁路中学高考数学专题训练 中档大题保分练(三)文(推荐时间：50分钟)1． 已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝⎝⎛⎭⎫3A cos x ，A2cos 2x (A >0)，函数f (x )＝m ·n 的最大值为6. (1)求A ；(2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎡⎦⎤0，5π24上的值域． 解 (1)f (x )＝m ·n ＝3A sin x cos x ＋A2cos 2x＝A ⎝⎛⎭⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝A sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 因为A >0，由题意知A ＝6. (2)由(1)得f (x )＝6sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位后得到y ＝6sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π6＝6sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象；再将得到的图象上各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到y ＝6sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3的图象．因此g (x )＝6sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，5π24， 所以4x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，7π6， 故g (x )在⎣⎡⎤0，5π24上的值域为[－3,6]． 2． 已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ∈{－1,0,1,2}，y ∈{－1,0,1}，求向量a ∥b 的概率； (2)若x ∈[－1,2]，y ∈[－1,1]，求向量a ，b 的夹角是钝角的概率． 解 (1)共包含12个基本事件．Ω＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)}，设“a ∥b ”为事件A ，由a ∥b ，得x ＝2y ，则A ＝{(0,0)，(2,1)}，含2个基本事件， 则P (A )＝212＝16.(2) 设“a ，b 的夹角是钝角”为事件B ，由a ，b 的夹角是钝角， 可得a ·b <0，即2x ＋y <0，且x ≠2y .Ω＝⎩⎨⎧(x ，y )⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1≤x ≤2，－1≤y ≤1，，B ＝⎩⎨⎧(x ，y )⎪⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1≤x ≤2，－1≤y ≤1，2x ＋y <0，x ≠2y ，则P (B )＝S B S Ω＝12×⎝⎛⎭⎫12＋32×23×2＝13.3． 如图1，在等腰△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，BC 边的中点，现将△ACD 沿CD翻折，使得平面ACD ⊥平面BCD .(如图2)(1)求证：AB ∥平面DEF ； (2)求证：BD ⊥AC ；(3)设三棱锥A －BCD 的体积为V 1，多面体ABFED 的体积为V 2，求V 1∶V 2的值． (1)证明 在△ABC 中，由E ，F 分别是AC ，BC 的中点， 得EF ∥AB ，又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ，∴AB ∥平面DEF . (2)证明 ∵平面ACD ⊥平面BCD ， 平面ACD ∩平面BCD ＝CD ， AD ⊥CD ，且AD ⊂平面ACD ， ∴AD ⊥平面BCD .又BD ⊂平面BCD ， ∴AD ⊥BD .又∵CD ⊥BD ，且AD ∩CD ＝D ， ∴BD ⊥平面ACD .又AC ⊂平面ACD ，∴BD ⊥AC.(3)解 由(2)可知AD ⊥平面BCD ， ∴AD 是三棱锥A －BCD 的高， ∴V 1＝13·AD ·S △BCD ，又∵E ，F 分别是AC ，BC 边的中点，∴三棱锥E －CDF 的高是三棱锥A －BCD 高的一半， 三棱锥E －CDF 的底面积是三棱锥A －BCD 底面积的一半， ∴三棱锥E －CDF 的体积V E －CDF ＝14V 1，∴V 2＝V 1－V E －CDF ＝V 1－14V 1＝34V 1，∴V 1∶V 2＝4∶3.4． 已知数列{a n }是一个公差大于零的等差数列，且a 3a 6＝55，a 2＋a 7＝16，数列{b n }的前n项和为S n ，且S n ＝2b n －2. (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝a nb n，T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，求T n .解 (1)依题意，设等差数列{a n }的公差为d (d >0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋2d )(a 1＋5d )＝55 ①2a 1＋7d ＝16 ②将②代入①得(16－3d )(16＋3d )＝220，即d 2＝4，∵d >0，∴d ＝2，a 1＝1，∴a n ＝2n －1， 当n ＝1时，S 1＝2b 1－2，b 1＝2，当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝(2b n －2)－(2b n －1－2) ＝2b n －2b n －1， ∴b n ＝2b n －1.∴{b n }是以2为首项，2为公比的等比数列． 即b n ＝2n .(2)c n ＝a n b n ＝2n －12n ，T n ＝12＋322＋…＋2n －12n③ 12T n ＝122＋323＋…＋2n －32n ＋2n －12n ＋1④∴③－④得，12T n ＝12＋222＋223＋…＋22n －2n －12n ＋1＝12＋12＋122＋…＋12n －1－2n －12n ＋1 ＝12＋12⎝⎛⎭⎫1－12n －11－12－2n －12n ＋1＝32－2n ＋32n ＋1 ∴T n ＝3－2n ＋32n .。
甘肃省武威市铁路中学2014届高三数学(文)专题训练：选择填空限时练(三)Word版含答案
(推荐时间：45分钟)一、选择题1． 设A ，B 是非空集合，定义A ×B ＝{x |x ∈(A ∪B )且x ∉(A ∩B )}，已知A ＝{x |0≤x ≤2}，B＝{y |y ≥0}，则A ×B 等于( )A ．(2，＋∞)B ．[0,1]∪[2，＋∞)C ．[0,1)∪(2，＋∞)D ．[0,1]∪(2，＋∞)答案 A解析 由题意知，A ∪B ＝[0，＋∞)，A ∩B ＝[0,2]． 所以A ×B ＝(2，＋∞)．2． 命题“对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是( )A ．不存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0B ．存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≥0C ．存在x ∈R ，x 3－x 2＋1>0D ．对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1>0 答案 C3． 给出下面四个命题：①“直线a ∥直线b ”的充要条件是“a 平行于b 所在的平面”； ②“直线l ⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l ⊥平面α”；③“直线a ，b 为异面直线”的充分不必要条件是“直线a ，b 不相交”；④“平面α∥平面β”的必要不充分条件是“α内存在不共线三点到β的距离相等”． 其中正确命题的序号是 ( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④答案 D解析 当a 平行于b 所在平面时，a ，b 可能异面，故①不正确；当a 、b 不相交时，可能a ∥b ，故③不正确；由此可排除A 、B 、C ，故选D.4． 设向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，其中0<α<β<π，若|2a ＋b |＝|a －2b |，则β－α等于 ( )A.π2B ．－π2C.π4D ．－π4答案 A解析 由|2a ＋b |＝|a －2b |得3|a |2－3|b |2＋8a·b ＝0，而|a |＝|b |＝1，故a·b ＝0，即cos(α－β)＝0，由于0<α<β<π，故－π<α－β<0，故α－β＝－π2，即β－α＝π2.选A.5． 已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，则S 10的值为( )A ．－110B ．－90C ．90D ．110答案 D解析 a 7是a 3与a 9的等比中项，公差为－2， 所以a 27＝a 3·a 9，所以a 27＝(a 7＋8)(a 7－4)，所以a 7＝8，所以a 1＝20，所以S 10＝10×20＋10×92×(－2)＝110.6． 设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率等于( )A. 3B ．2C. 5D. 6答案 C解析 设切点P (x 0，y 0)，则切线的斜率为y ′|x ＝x 0＝2x 0. 由题意有y 0x 0＝2x 0，又y 0＝x 20＋1，解得x 20＝1，所以ba ＝2，e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝ 5.7． 先后掷两次正方体骰子(骰子的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面的点数分别为m ，n ，则mn 是奇数的概率是( )A.12B.13C.14D.16答案 C解析 先后掷两次正方体骰子总共有36种可能，要使mn 是奇数，则m ，n 都是奇数，因此有以下几种可能：(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)共9种可能．因此P ＝936＝14.8． 若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A ．4 2B ．2 2C.423D.223答案 B解析 该几何体是底面是直角三角形的直三棱柱，由三棱柱体积公式V ＝S 底h 可得V＝2 2.9． 设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )A ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递减 B ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，3π4上单调递减 C ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增 D ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，3π4上单调递增 答案 A解析 变形f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ＋π4. 又f (－x )＝f (x )，得函数为偶函数，故φ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )．∴φ＝k π＋π4(k ∈Z )．∵|φ|<π2，∴φ＝π4.又T ＝π，∴ω＝2.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x . 结合图象知A 正确．10．(2013·山东)函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )答案 D解析 函数y ＝x cos x ＋sin x 为奇函数，排除B.取x ＝π2，排除C ；取x ＝π，排除A ，故选D.11．设m >1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围为( )A ．(1,1＋2)B ．(1＋2，＋∞)C ．(1,3)D ．(3，＋∞)答案 A解析 画出可行域，可知z ＝x ＋my 在点⎝⎛⎭⎫11＋m ，m1＋m 取最大值，由11＋m ＋m 21＋m<2解得1<m <1＋ 2. 12．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)答案 B解析 f ′(x )>2转化为f ′(x )－2>0， 构造函数F (x )＝f (x )－2x ， 得F (x )在R 上是增函数．又F (－1)＝f (－1)－2×(－1)＝4，f (x )>2x ＋4， 即F (x )>4＝F (－1)，所以x >－1. 二、填空题13．若直线y ＝kx －1与圆x 2＋y 2＝1相交于P 、Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为原点)，则k 的值为________． 答案 ±3解析 圆心O 到直线y ＝kx －1的距离d ＝1k 2＋1＝12， ∴k ＝±3.14．若执行如图所示的程序框图，输入x 1＝1，x 2＝2，x 3＝3，x ＝2，则输出的数等于________．答案 23解析 通过框图可以看出本题的实质是求x 1，x 2，x 3的方差，根据方差公式得 输出S ＝13[(1－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2]＝23.15．若圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上至少有三个不同点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22，则直线l 的斜率的取值范围是________． 答案 [2－3，2＋3]解析 圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0可转化为(x －2)2＋(y －2)2＝(32)2，∴圆心的坐标为(2,2)，半径为32，要求圆上至少有三个不同的点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22，则圆心到直线l 的距离应小于等于2， ∴|2a ＋2b |a 2＋b 2≤2，∴⎝⎛⎭⎫a b 2＋4⎝⎛⎭⎫a b ＋1≤0，∴－2－3≤a b ≤－2＋3，又直线l 的斜率k ＝－ab ，∴2－3≤k ≤2＋3，即直线l 的斜率的取值范围是[2－3，2＋3]． 16．已知如下等式：3－4＝17(32－42)，32－3×4＋42＝17(33＋43)，33－32×4＋3×42－43＝17(34－44)，34－33×4＋32×42－3×43＋44＝17(35＋45)，则由上述等式可归纳得到3n －3n －1×4＋3n －2×42－…＋(－1)n 4n ＝________(n ∈N *)．答案17[]3n ＋1－(－4)n ＋1。
甘肃省武威市铁路中学2013-2014学年高二下学期期中考试数学(文)试题
甘肃省武威市铁路中学2013-2014学年高二下学期期中考试数学（文）试题注意事项：所有选择题的答案必须用2B 铅笔涂在答题卡中相应的位置，否则，该大题不予记分。
第I 卷（选择题 共48分）一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项.1．身高与体重有关系可以用________分析来分析 ( )． A ．残差 B ．回归 C ．等高条形图 D ．独立检验2．数列2，5，10，17，x ，37，…中的x 等于 ( ) A ．24 B ．25 C ．26 D ．273．复数1－i 的虚部是 ( ) A ．1 B ．－1 C ．i D ．－i4．否定“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”时正确的反设为 ( ) A ．a ，b ，c 都是奇数 B ．a ，b ，c 都是偶数C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数5．下列是对三角形的分类结构图，其中不正确的是 ( )6．已知扇形的弧长为l ，半径为r ．类比三角形的面积公式：21S 底×高，可推知扇形的 面积公式S 扇形等于 ( )A ．22rB ．22lC ．12lrD ．lr9．如图，5个(x ，y )数据，去掉D (3,10)后，下列说法错误的是 ( )． A ．相关系数r 变大B ．相关指数R 2变大C ．残差平方和变大D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变强10．阅读右图所示的程序框图，它的输出结果是 ( )A ．0B ．4π C ．π D ．1＋4π11．不等式3529x ≤-<的解集为 （ ）A ．[2,1)[4,7)- B ．(2,1](4,7]-C ．(2,1][4,7)--D ．(2,1][4,7)-12．已知一个线性回归方程为y ^＝1.5x ＋45，其中x 的取值依次为1,7,5,13,19，则y －＝( )． A ．58.5 B ．46.5 C ．60 D ．75武威铁中2013—2014学年第二学期期中考试答题卡高二数学（文科）第II 卷（非选择题 共72分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，答案须填在题中横线上.13．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：已知P (K 2≥中数据，得到k ＝50×(13×20－10×7)223×27×20×30≈4.844.则认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为________． 14．当32＜m ＜1时，复数z ＝3m －2＋(m －1)i 在复平面上的对应点位于第________象限．15．函数46y x x =-+-的最小值为 .姓名 班级 考场_______________一、选择题（请用2B 铅笔填涂）16．已知b a ,是不相等的正数，b a y b a x +=+=,2，则y x ,的大小关系是_________。
甘肃省武威市铁路中学2014届高三数学(文)专题训练：选择填空限时练(六)Word版含答案
(推荐时间：45分钟)一、选择题1．已知集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x<m}，且A∪B＝R，那么m的值可以是() A．－1 B．0 C．1 D．2答案 D解析因为A∪B＝R，所以m>1，故选D.2．已知z1－i＝2＋i，则复数z的共轭复数为() A．3＋i B．3－iC．－3－i D．－3＋i答案 A解析z＝(1－i)(2＋i)＝3－i，复数z的共轭复数为3＋i，故选A.3．采用系统抽样方法从480人中抽取16人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，480，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.抽到的16人中，编号落入区间[1,160]的人做问卷A，编号落入区间[161,320]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则被抽到的人中，做问卷B的人数为() A．4 B．5 C．6 D．7答案 B解析本题考查系统抽样知识．采用系统抽样方法从480人中抽取16人做问卷调查，抽取的号码成等差数列8,38,68，…，458，编号落入区间[161,320]的人做问卷B人数5人．4．若数列{a n}满足1a n＋1－1a n＝d(n∈N*，d为常数)，则称数列{an}为“调和数列”．已知正项数列{1b n}为“调和数列”，且b1＋b2＋…＋b9＝90，则b4·b6的最大值是() A．10 B．100 C．200 D．400答案 B解析∵{1b n}为“调和数列”，∴{b n}为等差数列，b1＋b2＋…＋b9＝90，b4＋b6＝20，b4·b6≤100.5．下图为一个算法的程序框图，则其输出的结果是()A ．0B ．2 012C ．2 011D ．1答案 D解析 本题考查程序框图．根据算法的程序框图可知，p 的值周期出现，周期为4，所以p ＝1.6． 已知双曲线C 的中心在原点，焦点在坐标轴上，P (1，－2)是C 上的点，且y ＝2x 是C的一条渐近线，则C 的方程为 ( )A.y 22－x 2＝1 B ．2x 2－y 22＝1C.y 22－x 2＝1或2x 2－y 22＝1 D.y 22－x 2＝1或x 2－y 22＝1 答案 A解析 画出图形分析知，双曲线焦点在y 轴上， 设方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．∴ab＝2，① 4a 2－1b 2＝1；②解得a 2＝2，b 2＝1.选A.7． 函数f (x )＝log 2|x |，g (x )＝－x 2＋2，则f (x )·g (x )的图象只可能是( )答案 C解析 因为函数f (x )，g (x )都为偶函数， 所以f (x )·g (x )也为偶函数，所以图象关于y 轴对称，排除A ，D ； f (x )·g (x )＝(－x 2＋2)log 2|x |，当0<x <1时，f (x )·g (x )<0，排除B ，故选C.8． 等差数列{a n }中，S 15>0，S 16<0，则使a n >0成立的n 的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 C解析 依题意得S 15＝15(a 1＋a 15)2＝15a 8>0，即a 8>0；S 16＝16(a 1＋a 16)2＝8(a 1＋a 16)＝8(a 8＋a 9)<0， 即a 8＋a 9<0，a 9<－a 8<0.因此使a n >0成立的n 的最大值是8，选C.9． (2012·天津)设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )A ．[1－3，1＋3]B ．(－∞，1－3]∪[1＋3，＋∞)C ．[2－22，2＋22]D ．(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞) 答案 D解析 圆心(1,1)到直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0的距离为|m ＋n |(m ＋1)2＋(n ＋1)2＝1，所以m ＋n ＋1＝mn ≤14(m ＋n )2，所以m ＋n ≥2＋22或m ＋n ≤2－2 2.10．已知点F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(3，22)C ．(1＋2，＋∞)D ．(1,1＋2)答案 D解析 A ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫－c ，－b2a ， F 2A →＝⎝⎛⎭⎫－2c ，b 2a ，F 2B →＝⎝⎛⎭⎫－2c ，－b 2a .F 2A →·F 2B →＝4c 2－⎝⎛⎭⎫b 2a 2>0，e 2－2e －1<0,1<e <1＋ 2.11．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤1，0≤y ≤12，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a 为常数)仅在点⎝⎛⎭⎫12，12处取得最大值，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,2)B ．(0,1)C ．(－1,1)D ．(－1,0)答案 C解析 由x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤1，0≤y ≤12，画出此不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示． 由目标函数z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z ， 因为z 仅在点⎝⎛⎭⎫12，12处取得最大值，所以得－1<－a <1，得实数a 的取值范围是(－1,1)．12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|sin x |，x ∈[－π，π]，lg x ，x >π，x 1，x 2，x 3，x 4，x 5是方程f (x )＝m 的五个不等的实数根，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5的取值范围是 ( )A ．(0，π)B ．(－π，π)C ．(lg π，1)D ．(π，10)答案 D解析 函数f (x )的图象如图所示，结合图象可得x 1＋x 2＝－π，x 3＋x 4＝π， 若f (x )＝m 有5个不等的实数根，需lg π<lg x 5<1，得π<x 5<10， 又由函数f (x )在[－π，π]上对称， 所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝0，故x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5的取值范围为(π，10)． 二、填空题13．已知0<α<π，sin 2α＝sin α，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. 答案 －2－ 3解析 由sin 2α＝sin α，可得2sin αcos α＝sin α， 又0<α<π，所以cos α＝12.故sin α＝32，tan α＝ 3. 所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝3＋11－3＝－2－ 3. 14．已知函数f (x )＝－3x 2＋ax ＋b ，若a ，b 都是区间[0,4]内任取的一个数，那么f (1)>0的概率是________． 答案2332解析 由f (1)>0得－3＋a ＋b >0，即a ＋b >3. 在0≤a ≤4,0≤b ≤4的约束条件下， 作出a ＋b >3满足的可行域，如图， 则根据几何概型概率公式可得， f (1)>0的概率P ＝42－12×3242＝2332. 15．一个半径为2的球体经过切割后，剩余部分几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．答案 16π解析 该几何体是从一个球体中挖去14个球体后剩余的部分，所以该几何体的表面积为34×(4π×22)＋2×π×222＝16π.16．某校举行了由全部学生参加的校园安全知识考试，从中抽出60名学生，将其成绩分成六段[40,50)，[50, 60)，…，[90,100]后，画出如图所示的频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)为________；平均分为________．答案 75% 71解析 及格的各组的频率是(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75，即及格率约为75%；样本的均值为45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71，以这个分数估计总体的分数即得总体的平均分数约为71.。
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(推荐时间：45分钟)
一、选择题
1． 已知集合A ＝{y |x 2＋y 2＝1}和集合B ＝{y |y ＝x 2}，则A ∩B 等于
( )
A ．(0,1)
B ．[0,1]
C ．(0，＋∞)
D ．{(0,1)，(1,0)}
答案 B
2． 复数(3＋4i)i(其中i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于
( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
答案 B
解析 因为(3＋4i)·i ＝－4＋3i ，
所以在复平面上对应的点位于第二象限，选B. 3．“α＝2k π－π
4
(k ∈Z )”是“tan α＝－1”的
( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由α＝2k π－π
4(k ∈Z )可得tan α＝－1；
而由tan α＝－1得α＝k π－π
4
(k ∈Z )，故选A.
4． 一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是
( )
A ．112
B ．80
C ．72
D ．64
答案 B
解析 依题意得，该几何体的下半部分是一个棱长为4的正方体，上半部分是一个底面是边长为4的正方形，高为3的四棱锥，故该几何体的体积为43＋1
3
×4×4×3＝80.故
选B.
5． 将参加夏令营的500名学生编号为：001,002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个
容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这500名学生分住在三个营区，从001到200在第一营区，从201到355在第二营区，从356到500在第三营区，三个营区被抽中的人数为
( )
A ．20,15,15
B ．20,16,14
C ．12,14,16
D ．21,15,14
答案 B
解析 根据系统抽样特点，被抽到号码l ＝10k ＋3，k ∈N .第353号被抽到，因此第二营区应有16人，所以三个营区被抽中的人数为20,16,14.
6． 要得到函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π
3的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象
( )
A ．向左平移π
12个单位
B ．向右平移π
12个单位
C ．向左平移π
6个单位
D ．向右平移π
6个单位
答案 D
解析 要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，只需将函数y ＝sin 2x 中的x 减去π
6，即得到y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π
3. 7． 设数列{a n }是等差数列，若a 3＋a 4＋a 5＝12，则a 1＋a 2＋…＋a 7＝
( )
A ．14
B ．21
C ．28
D ．35
答案 C
解析 由a 3＋a 4＋a 5＝12得a 4＝4，
所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝7(a 1＋a 7)2
＝7a 4＝28.
8． 某程序的框图如图所示，则运行该程序后输出的B 值是
( )
A ．5
B ．11
C ．23
D ．47
答案 C
解析 第一次循环：B ＝2×2＋1＝5，A ＝4； 第二次循环：B ＝2×5＋1＝11，A ＝5； 第三次循环：B ＝2×11＋1＝23，A ＝6； 第四次循环：输出B ＝23，选C.
9． 已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的图象如图所示，则
下列叙述正确的是
( )
A ．f (b )>f (c )>f (d )
B ．f (b )>f (a )>f (e )
C ．f (c )>f (b )>f (a )
D ．f (c )>f (e )>f (d ) 答案 C
解析 根据函数f (x )的特征图象可得：f (c )>f (b )>f (a )． 10．若实数x ，y 满足不等式组：⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ≥－1，x ＋y ≥1，
3x －y ≤3，
则该约束条件所围成的平面区域的面积是
( )
A ．3 B.5
2
C ．2
D ．2 2
答案 C
解析 可行域为直角三角形，其面积为S ＝1
2
×22×2＝2.
11．如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，
交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线方程为 ( )
A ．y 2＝9x
B ．y 2＝6x
C ．y 2＝3x
D ．y 2＝3x
答案 C
解析 如图，∵|BC |＝2|BF |， ∴由抛物线的定义可知∠BCD ＝30°， |AE |＝|AF |＝3，∴|AC |＝6. 即F 为AC 的中点，
∴p ＝|FF ′|＝12|EA |＝3
2
，故抛物线方程为y 2＝3x .
12．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上且以3为周期的奇函数，当x ∈⎝⎛⎭
⎫0，3
2时，f (x )＝ln(x 2－x ＋1)，则函数f (x )在区间[0,6]上的零点个数为 ( )
A ．3
B ．5
C ．7
D ．9
答案 C
解析 当x ∈⎝⎛⎭⎫－32，0时，－x ∈⎝⎛⎭⎫0，3
2， f (x )＝－f (－x )＝－ln(x 2＋x ＋1)；
则f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－32，32上有3个零点(在区间⎣⎡⎭
⎫0，3
2上有2个零点)． 根据函数周期性，可得f (x )在⎝⎛⎭⎫32，92上也有3个零点，在⎝⎛⎦⎤9
2，6上有2个零点．故函数f (x )在区间[0,6]上一共有7个零点． 二、填空题
13．在区间[0,9]上随机取一实数x ，则该实数x 满足不等式1≤log 2x ≤2的概率为________．
答案 2
9
解析 由1≤log 2x ≤2得：2≤x ≤4，故所求概率为2
9.
14．向量a ＝(－1,1)在向量b ＝(3,4)方向上的投影为________．
答案 15
解析 设向量a ＝(－1,1)与b ＝(3,4)的夹角为θ，则向量a 在向量b 方向上的投影为|a |·cos θ＝a ·b |b |＝(－1，1)·(3，4)32＋42
＝15.
15．抛物线y ＝2x 2的准线方程是________．
答案 y ＝－18
解析 由题意知：抛物线的开口方向向上，且2p ＝1
2，
所以准线方程为y ＝－1
8.
16．下面四个命题：
①已知函数f (x )＝sin x ，在区间[0，π]上任取一点x 0，则使得f (x 0)>12的概率为2
3；
②函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π
3个单位得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象； ③命题“∀x ∈R ，x 2－x ＋1≥34”的否定是“∃x 0∈R ，x 20－x 0＋1<3
4”； ④若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (x ＋4)＝f (x )，则f (2 012)＝0. 其中所有正确命题的序号是________． 答案 ①③④
解析 ②错误，应该向左平移π6；
①使得f (x 0)>1
2的概率为p ＝56π－16ππ＝23；
④f (2 012)＝f (0)＝0.。