高考圆锥曲线题型之共线向量问题

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题型五:共线向量问题

解析几何中的向量共线,就是将向量问题转化为同类坐标的比例问题,再通过未达定理------同类坐标变换,将问题解决。此类问题不难解决。

例题7、设过点D(0,3)的直线交曲线M :22

194

x y +

=于P 、Q 两点,且DP DQ l =uuu r uuu r ,求实数l 的取值范围。

分析:由DP DQ l =uuu r uuu r

可以得到121

23(3)x x y y l l ìï=ïí

ï=+-ïî,将P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),代人曲线方程,解出点的坐标,用l 表示出来。

解:设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),

Q DP DQ l =uuu r uuu r

\(x 1,y 1-3)=l (x 2,y 2-3) 即121

23(3)x x y y l l ì=ïïíï=+-ïïî 方法一:方程组消元法

又Q P 、Q 是椭圆29x +2

4

y =1上的点

\22222222

194()(33)194x y x y l l l ìïï+=ïïïíï+-ï+=ïïïî

消去x 2,

可得222

222

(33)14

y y l l l l +--=-

即y 2=

135

6l l - 又Q -2£y 2£2, \-2£

135

6l l

-£2 解之得:

1

55

λ≤≤ 则实数l 的取值范围是1,55⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

方法二:判别式法、韦达定理法、配凑法

设直线PQ 的方程为:3,0y kx k =+≠,

由22

3

4936

y kx x y =+⎧⎨

+=⎩消y 整理后,得

22(49)54450k x kx +++=

P 、Q 是曲线M 上的两点

22(54)445(49)k k ∴∆=-⨯+=2144800k -≥

即2

95k ≥ ① 由韦达定理得:

121222

5445

,4949k x x x x k k

+=-

=++ 21212

1221()2x x x x x x x x +=++

222

254(1)45(49)k k λλ

+∴=

+ 即2222

3694415(1)99k k k

λλ+==++ ② 由①得211

095

k <

≤,代入②,整理得 2

369

15(1)5λλ<

≤+, 解之得

1

55

λ<< 当直线PQ 的斜率不存在,即0x =时,易知5λ=或15

λ=。 总之实数l 的取值范围是1,55⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

方法总结:通过比较本题的第二步的两种解法,可知第一种解法,比较简单,第二种方法是通性通法,但计算量较大,纵观高考中的解析几何题,若放在后两题,很多情况下能用通性通法解,但计算量较大,计算繁琐,考生必须有较强的意志力和极强的计算能力;不用通性通法,要求考生必须深入思考,有较强的思维能力,在命题人设计的框架中,找出破解的蛛丝马迹,通过自己的思维将问题解决。

例题8:已知椭圆C 的中心在原点,焦点在x 轴上,它的一个顶点恰好是抛物线24

1x y =的焦点,离心率为

5

5

2. (1)求椭圆C 的标准方程;

(2)过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点,交y 轴于M 点,若1λ=,

2λ=,求21λλ+的值.

分析:

(07福建理科)如图,已知点F (1,0),直线l :x =-1,P 为平面上的动点,过P 作

直线l 的垂线,垂足为点Q ,且QP QF FP FQ ⋅=⋅

(Ⅰ)求动点P 的轨迹C 的方程;

(Ⅱ)过点F 的直线交轨迹C 于A 、B 两点,交直线l 于点M ,已知

12,MA AF AF BF λλ==

,求12λλ+的值。

小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识,考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法,考查运算能力和综合解题能力.满分14分. 解法一:

(Ⅰ)设点()P x y ,,则(1)Q y -,,由QP QF FP FQ =

得:

(10)(2)(1)(2)x y x y y +-=-- ,,,,,化简得2:4C y x =.

(Ⅱ)设直线AB 的方程为:

1(0)x my m =+≠.

设11()A x y ,,22()B x y ,,又21M m ⎛

⎫--

⎪⎝⎭

,, 联立方程组241y x x my ⎧=⎨=+⎩

,,消去x 得:

2440y my --=,2(4)120m ∆=-+>,故

1212

44y y m y y +=⎧⎨

=-⎩,. 由1MA AF λ= ,2MB BF λ=

得:

1112y y m λ+

=-,2222

y y m

λ+=-,整理得: 1121my λ=--

,22

2

1my λ=--, 12122112m y y λλ⎛⎫

∴+=--

+ ⎪⎝⎭

12

1222y y m y y +=--

2424

m m =--- 0=

解法二:

(Ⅰ)由QP QF FP FQ = 得:()0FQ PQ PF +=

, ()()0PQ PF PQ PF ∴-+= ,

22

0PQ PF ∴-= ,

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