高考圆锥曲线题型之共线向量问题
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题型五:共线向量问题
解析几何中的向量共线,就是将向量问题转化为同类坐标的比例问题,再通过未达定理------同类坐标变换,将问题解决。此类问题不难解决。
例题7、设过点D(0,3)的直线交曲线M :22
194
x y +
=于P 、Q 两点,且DP DQ l =uuu r uuu r ,求实数l 的取值范围。
分析:由DP DQ l =uuu r uuu r
可以得到121
23(3)x x y y l l ìï=ïí
ï=+-ïî,将P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),代人曲线方程,解出点的坐标,用l 表示出来。
解:设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),
Q DP DQ l =uuu r uuu r
\(x 1,y 1-3)=l (x 2,y 2-3) 即121
23(3)x x y y l l ì=ïïíï=+-ïïî 方法一:方程组消元法
又Q P 、Q 是椭圆29x +2
4
y =1上的点
\22222222
194()(33)194x y x y l l l ìïï+=ïïïíï+-ï+=ïïïî
消去x 2,
可得222
222
(33)14
y y l l l l +--=-
即y 2=
135
6l l - 又Q -2£y 2£2, \-2£
135
6l l
-£2 解之得:
1
55
λ≤≤ 则实数l 的取值范围是1,55⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
。
方法二:判别式法、韦达定理法、配凑法
设直线PQ 的方程为:3,0y kx k =+≠,
由22
3
4936
y kx x y =+⎧⎨
+=⎩消y 整理后,得
22(49)54450k x kx +++=
P 、Q 是曲线M 上的两点
22(54)445(49)k k ∴∆=-⨯+=2144800k -≥
即2
95k ≥ ① 由韦达定理得:
121222
5445
,4949k x x x x k k
+=-
=++ 21212
1221()2x x x x x x x x +=++
222
254(1)45(49)k k λλ
+∴=
+ 即2222
3694415(1)99k k k
λλ+==++ ② 由①得211
095
k <
≤,代入②,整理得 2
369
15(1)5λλ<
≤+, 解之得
1
55
λ<< 当直线PQ 的斜率不存在,即0x =时,易知5λ=或15
λ=。 总之实数l 的取值范围是1,55⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
。
方法总结:通过比较本题的第二步的两种解法,可知第一种解法,比较简单,第二种方法是通性通法,但计算量较大,纵观高考中的解析几何题,若放在后两题,很多情况下能用通性通法解,但计算量较大,计算繁琐,考生必须有较强的意志力和极强的计算能力;不用通性通法,要求考生必须深入思考,有较强的思维能力,在命题人设计的框架中,找出破解的蛛丝马迹,通过自己的思维将问题解决。
例题8:已知椭圆C 的中心在原点,焦点在x 轴上,它的一个顶点恰好是抛物线24
1x y =的焦点,离心率为
5
5
2. (1)求椭圆C 的标准方程;
(2)过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点,交y 轴于M 点,若1λ=,
2λ=,求21λλ+的值.
分析:
(07福建理科)如图,已知点F (1,0),直线l :x =-1,P 为平面上的动点,过P 作
直线l 的垂线,垂足为点Q ,且QP QF FP FQ ⋅=⋅
(Ⅰ)求动点P 的轨迹C 的方程;
(Ⅱ)过点F 的直线交轨迹C 于A 、B 两点,交直线l 于点M ,已知
12,MA AF AF BF λλ==
,求12λλ+的值。
小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识,考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法,考查运算能力和综合解题能力.满分14分. 解法一:
(Ⅰ)设点()P x y ,,则(1)Q y -,,由QP QF FP FQ =
得:
(10)(2)(1)(2)x y x y y +-=-- ,,,,,化简得2:4C y x =.
(Ⅱ)设直线AB 的方程为:
1(0)x my m =+≠.
设11()A x y ,,22()B x y ,,又21M m ⎛
⎫--
⎪⎝⎭
,, 联立方程组241y x x my ⎧=⎨=+⎩
,
,,消去x 得:
2440y my --=,2(4)120m ∆=-+>,故
1212
44y y m y y +=⎧⎨
=-⎩,. 由1MA AF λ= ,2MB BF λ=
得:
1112y y m λ+
=-,2222
y y m
λ+=-,整理得: 1121my λ=--
,22
2
1my λ=--, 12122112m y y λλ⎛⎫
∴+=--
+ ⎪⎝⎭
12
1222y y m y y +=--
2424
m m =--- 0=
解法二:
(Ⅰ)由QP QF FP FQ = 得:()0FQ PQ PF +=
, ()()0PQ PF PQ PF ∴-+= ,
22
0PQ PF ∴-= ,