第五章 信道编码 习题解答

第五章 信道编码 习题解答

1．写出与10011的汉明距离为3的所有码字。

解：共有10个：01111，00101，00000，01010，01001，00110，11101，10100，11000，11110。

2． 已知码字集合的最小码距为d ，问利用该组码字可以纠正几个错误可以发现几个错误请写出一般关系式。 解：根据公式：

(1)1d e ≥+ 可发现e 个错。 (2)21d t ≥+ 可纠正t 个错。

得出规律： ?

（1）1d = ，则不能发现错及纠错。 （2）d 为奇数：可纠

1

2

d -个码元错或发现1d -个码元错。 （3）d 为偶数：可纠

12

d

-个码元错，或最多发现1d -个码元错。 （4）码距越大，纠、检错能力越强。

3．试计算（8，7）奇偶校验码漏检概率和编码效率。已知码元错误概率为4

10e p -=。 解：由于4

10e p -=较小，可只计算错两个码元（忽略错4或6个码元）的情况：

228788!

10 2.8106!2!

e p C p --==

⨯=⨯⨯ 7

87.5%8

η=

= |

4．已知信道的误码率4

10e p -=，若采用“五三”定比码，问这时系统的等效（实际）误码率为多少 解：由于4

10e p -=较小，可只计算错两个码元的情况

11252112

83232(1)610e e e p C C p p C C p --=-≈=⨯

5．求000000，110110，011101，101011四个汉明码字的汉明距离，并据此求出校正错误用的校验表。

解：先求出码字间距离：

000000 110110 011101 101011

000000 4 4 4 110110 4 4 4 、

011101 4 4 4 101011 4 4 4 汉明距离为4，可纠一位错。

由于一个码字共有6个码元，根据公式：21617r

n ≥+=+= 得 3r = 即每个码字应有3位监督码元，6-3=3位信息码元。

直观地写出各码字：123456

000001

101100111011

01011

x x x x x x 令456x x x 为监督码元，观察规律则可写出监督方程：4135236

12x x x x x x x x x

=⊕⎧⎪

=⊕⎨⎪=⊕⎩

从而写出校验子方程：113422353126s x x x s x x x s x x x ***

***

***⎧=⊕⊕⎪=⊕⊕⎨⎪=⊕⊕⎩

列出校验表：

—

6．写出信息位6k =，且能纠正1个错的汉明码。

解：汉明码的信息码元为六个，即：6k =。监督码元数r 应符合下式：217r

k r r ≥++=+ 取满足上式的最小r ：4r =，即为(10，6)汉明码。其码字由10个码元构成：12345678910x x x x x x x x x x 。 先设计校验表(不是唯一的)：

根据校验表写出校验子方程：

**** 11237

**** 21458

**** 32469

**** 435610 s x x x x s x x x x s x x x x s x x x x ⎧=⊕⊕⊕

⎪

=⊕⊕⊕⎪

⎨

=⊕⊕⊕⎪

⎪=⊕⊕⊕⎩

写出监督方程，即监督码元与信息码元之间的关系：

7123

8145

9246

10356 x x x x x x x x x x x x x x x x

=⊕⊕⎧

⎪=⊕⊕

⎪

⎨

=⊕⊕⎪

⎪=⊕⊕⎩

根据监督方程编码，写出（10，6）汉明码码字(大部分略，同学们可自行完成)：

7. 已知纠正一位错的（7，4）汉明码的生成矩阵为：

1000110

0100101 []

0010011

0001111 G

⎡⎤

⎢⎥

⎢⎥

=

⎢⎥

⎢⎥

⎣⎦

1）请写出其监督矩阵；

2）请写出其校验表；

&

3）对信源序列1110，1010，0110，...进行编码；

4）对接收端接收到的码字序列0011101，1100100，1011001，…进行译码。

解：1）监督矩阵：右边3×3是单位阵，左边3×4子阵是生成矩阵右边4×3子阵的转置：

[]10110100111001H ⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

2）校验表：每个校验子列向量对应为监督矩阵的列向量，增加一个无差错列向量000。

校验子 ok x 1* x 2* $

x 4*

x 5* x 6* x 7* s 1 0 1 1 0 %

1

0 0 s 2 0 1 0 1 1 】

1

0 s 3

1

1

1

0 @

1

3）根据[][][]C X G =⋅编码：123456712341

0001100

100101[][]00100110

001111x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎢⎥

⎢

⎥=⎢⎥

⎢⎥

⎣⎦

或者用由监督矩阵得到的监督方程编码：

1234567

1101100[]10110100111001x x x x x x x H ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

5124

61347234

x x x x x x x x x x x x =⊕⊕⎧⎪

⇒=⊕⊕⎨⎪=⊕⊕⎩

编码得：1110000，1010101，0110110，…

4）根据校验子方程（校验子方程是监督方程左右两边异或）：

****

11245****21346****

3

2347s x x x x s x x x x s x x x x ⎧=⊕⊕⊕⎪=⊕⊕⊕⎨⎪=⊕⊕⊕⎩ 0011101

[S]=[001]T x 7*错

0011100 0011 ~

1100100 [S]=[111]T x 4*错 1101100 1101 1011001 [S]=[011]T x 3*错 1001001

1001

译码得：0011，1101，1001，…

8. （7，4）循环码的生成多项式为：32

()1g x x x =++

1）写出其监督矩阵和生成矩阵；

2）对信息码元0110，1001进行编码，分别写出它们的系统码和非系统码； 3）对接收端接收到的系统码字0101111，0011100进行译码。

解：1）生成矩阵：生成多项式系数降幂排列：1101，补零成n 位的行向量：1101000，循环移位成k 行