中考必会几何模型：角平分线四大模型

角平分线四大模型

模型1 角平分线的点向两边作垂线

如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，则PB＝PA

模型分析

利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口

模型实例

（1）如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝6,BD＝4,那么点D到直线AB的距离是

解答：如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AD平分∠CAB,∴CD＝DE.

∵CB＝6,BD＝4,∴DE＝CD＝2，即点D到直线AB的距离是2.

（2）如图②，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AP平分∠BAC

证明：如图，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，

∵∠1＝∠2，∴PD＝PE,∵∠3＝∠4, ∴PE＝PF，∴PD＝PF

又∵PD⊥AB，PF⊥AC，∴AP平分∠BAC（角平分线的判定）

练习

1、如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD＝DC,BD平分∠ABC ，

求证：∠BAD＋∠BCD＝180°

证明：作DE⊥BC于E，作DF⊥BA的延长线于F，∴∠F＝∠DEC＝90°,

∵BD平分∠ABC,∴DF＝DE，又∵AD＝DC，∴△DFA≌DEC,∴∠FAD＝∠C

∵∠FAD＋∠BAD＝180°，∴∠BAD＋∠BCD＝180°

2.如图，△ABC的外角∠ACD∠的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP相交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝.

解答：如图所示，作PN⊥BD于N，作PF⊥BA，交BA延长线于F，作PM⊥AC于M ∵BP、CP分别是∠CBA和∠DCA的角平分线，∴∠ABP＝∠CBP,∠DCP＝∠ACP，

PF＝PN＝PM，∵∠BAC＝∠ACD－∠ABC，∠BPC＝∠PCD－∠PBC(外角性质)

∴∠BAC＝2∠PCD－2∠PBC＝2(∠PCD－∠PBC)＝2∠BPC＝80°

∴∠CAF＝180°－∠BAC＝100°，∵PF＝PM

∴AP是∠FAC的角平分线，∴∠CAP＝∠PAF＝50°

模型2 截取构造对称全等

如图，P是∠MON的平分线上的一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB＝OA,连接PB，则△OPB≌△OPA

模型分析

利用角平分线图形的对称性，在铁的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边，对应角相等，利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧

模型实例

（1）如图①所示，在△ABC中，AD是△BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB＋PC与AB＋AC的大小，并说明理由

解题：PB+PC＞AB+AC

证明：在BA的延长线上取点E,使AE＝AB,连接PE，∵AD平分∠CAE

∴∠CAD＝∠EAD，在△AEP与△ACP中，∵AE＝AB，∠CAD＝∠EAD,

AP＝AP，∴△AEP≌△ACP （SAS），∴PE＝PC

∵在△PBE中：PB+PE＞BE,BE＝AB+AE＝AB+AC，∴PB+PC＞AB+AC

（2）如图②所示，AD是△ABC的内角平分线，其它条件不变，试比较PC－PB与AC－AB的大小，并说明理由

解答：AC-AB>PC-PB

证明:在△ABC中, 在AC上取一点E,使AE=AB ，∴AC-AE=AB-AC=BE

∵AD平分∠BAC ，∴∠EAP=∠BAP ，在△AEP和△ACP中

∴△AEP≌△ABP (SAS) ，∴PE=PB ，∵在△CPE中

CE>CP-PE ，∴AC-AB>PC-PB

练习

1.已知，在△ABC中，∠A＝2∠B,CD是∠ACB的平分线，AC＝16,AD＝8,

求线段BC的长

解：如图在BC边上截取CE＝AC，连结DE，在△ACD和△ECD中

⎪⎩

⎪⎨⎧=∠=∠=CD CD ECD ACD EC AC

∴△ACD ≌△ECD(SAS)

∴AD ＝DE ， ∠A ＝∠1 ，∵∠A ＝2∠B ，∴∠1＝2∠B ，

∵∠1＝∠B ＋∠EDB ， ∴∠B ＝∠EDB ，

∴EBB ＝ED ， ∴EB ＝DA ＝8，BC ＝EC ＋BE ＝AC ＋DA ＝16＋8＝24

2. 在△ABC 中，AB ＝AC,∠A ＝108°,BD 平分∠ABC ，

求证：BC ＝AB ＋CD

证明：在BC 上截取BE ＝BA ，连结DE ，∵BD 平分∠ABC,BE ＝AB,BD ＝BD

∴△ABD ≌△EBD(SAS)，∴∠DEB ＝∠A ＝108°，∴∠DEC ＝180°－108°＝72°

∵AB ＝AC ，∴∠C ＝∠ABC

＝

12

(180°－108°)＝36°，∴∠EDC ＝72° ， ∴∠DEC ＝∠EDC ，∴CE ＝CD ，∴BE ＋CE ＝AB ＋CD ，∴BC ＝AB ＋CD

3.如图所示，在△ABC 中，∠A ＝100°,∠ABC ＝40°,BD 是∠ABC 的平分线，延长BD 至E ，使DE ＝AD ，求证：BC ＝AB ＋CE

证明：在CB 上取点F ，使得BF ＝AB,连结DF ，∵BD 平分∠ABC ，BD ＝BD

∴△ABD ≌△FBD ，∴DF ＝AD ＝DE,∠ADB ＝∠FDB ，∴BD 平分∠ABC

∴∠ABD ＝20°,则∠ADB ＝180°－20°－100°＝60°＝∠CDE

∠CDF ＝180°－∠ADB －∠FDB ＝60°，∴∠CDF ＝∠CDE ，在△CDE 和△CDF 中 ⎪⎩

⎪⎨⎧=∠=∠=CD CD CDE CDF DF DE

∴△CDE ≌CDF ，∴CE ＝CF ，∴BC ＝BF ＋FC ＝AB ＋CE

模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形

如图，P 是∠MON 的平分线上一点，AP 丄OP 于P 点，延长AP 交ON 于点.B,则△AOB 是等腰三角形.