信号与线性系统题解第三章

第三章习题答案

da

3.1 计算下列各对信号的卷积积分()()()y t x t h t =*：

(a) ()()

()()t

t x t e u t h t e u t αβ==（对αβ≠和αβ=两种情况都做）。

(b) 2()()2(2)(5)()t x t u t u t u t h t e =--+-=

(c) ()3()()

()1t

x t e u t h t u t -==-

(d) 5,

0()()()(1),0

t

t

t

e t x t h t u t u t e e t -⎧<⎪==--⎨->⎪⎩

(e) []()sin ()(2)()(2)x t t u t u t h t u t π=--=--

(f) ()x t 和()h t 如图P3.1(a)所示。 (g) ()x t 和()h t 如图P3.1(b)所示。

图P3.1 解：(a) ()

()0

()()()(0)t t

t

t

y t x t h t e

e

d e

e

d t βτατ

βαβτ

ττ------=*=

=>⎰⎰

当αβ≠时，()1()()t t

e y t e u t αβββα

----=

- 当αβ=时，()()t

y t te

u t α-=

(b) 由图PS3.1(a)知，

当1t ≤时，2

5

2()2()22(2)2(5)021()22

t t t t t y t e d e d e e e ττττ----⎡⎤=

-=

-+⎣⎦⎰⎰ 当13t ≤≤时，252()2()22(2)2(5)

121()22

t t t t t y t e d e d e e e ττττ-----⎡⎤=-=-+⎣⎦⎰⎰ 当36t ≤≤时，52()

2(5)211()2t t t y t e d e e ττ---⎡⎤=-=-⎣

⎦⎰ 当6t >时，()0y t =

(c) 由图PS3.1(b)知，当1t ≤时，()0y t = 当1t >时，1

33(1)

1()13t t y t e d e ττ----⎡⎤==-⎣

⎦⎰

3(1)1

()1(1)3

t y t e u t --⎡⎤∴=

--⎣⎦ (d) 由图PS3.1(d)知： 当0t ≤时，11

()t

t t t y t e d e e ττ--=

=-⎰

当01t <≤时，0

55(1)10

14()(2)255

t

t

t t t y t e d e e d e e e τ

ττττ-----=

+-=+--⎰⎰ 当1t >时，555(1)(1)111()(2)2255

t t t t t t y t e e d e e e e ττ

τ------=-=-+-⎰

(e) 如下图所示：

(f) 令()11()(2)3h t h t t δ⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦

，则11

()()()(2)3

y t x t h t x t =*-- 由图PS3.1(h)知，11424()()()()(21)333

t

t y t x t h t a b d a t b ττ-=*=

+=-+⎰

2411

()(21)(2)()3333

a y t

t b a t b at b x t ∴=-+---=+= (g)

()x t 是周期信号，由此可推知()()()y t x t h t =*也是周期的，且周期也为2。因

此只需求出()y t 的一个周期。由图PS3.1(j)可知：

当1122t -≤≤时，1

22

1121()(1)(1)4t t y t t d t d t t ττττ---=--++-+=++⎰⎰

当1322t ≤≤时，1

2

2112

7()(1)(1)34t t y t t d t d t t ττττ-=-+--+=-+⎰⎰

∴ ()y t 的一个周期为

2

2111,()422()7133,()422

t t t y t t t t ⎧+--≤≤⎪⎪=⎨

⎪-+≤≤⎪⎩

图PS3.1

3.2 计算下列各对信号的卷积和()()():y n x n h n =*

(a) ()()()()n

n x n u n h n u n αβαβ==≠

(b) ()2()

()()n x n u n h n u n =-=

(c) []()(1)()(8)()()(8)n x n u n u n h n u n u n =-----=--

(d) ()x n 和()h n 如图P3.2(a)所示。 (e) ()x n 和()h n 如图P3.2(b)所示。 (f) ()x n 和()h n 如图P3.2(c)所示。

()

x n n

()

h n (b)

3-2-1-0

1

-11

22

345

1

1

2

()

x n n

()

h n n

(c)

2-1-1-001122

3

图P3.2

解：(a) 0

()()*()()()()n

k

n k k

k y n x n h n x k h n k u n α

β-===

-=∑∑

110()()()n n n

n

k

k u n u n αβαβββα++=⎡⎤-==⎢⎥

-⎣⎦

∑ (b) 当0n ≤时， 11()222m

n k

n k m n y n ∞

+=-∞=-⎛⎫

=== ⎪⎝⎭

∑∑

当0n >时， 001()222m

k k m y n ∞

=-∞=⎛⎫

=== ⎪⎝⎭

∑∑

1()2(1)2()n y n u n u n +∴

=-+-

(c) 由图PS3.2(a)知，当8n ≤-或8n ≥时，()0y n = 当 80n -<≤时，()()71711()(1)11(1)122n

n k n

k y n +=-⎡⎤⎡⎤=

-=---=--⎣⎦⎣⎦∑ 当 08n ≤<时，()0

6

7

11()(1)111(1)22n k n k n y n -=-⎡⎤⎡⎤=

-=

--=--⎣⎦⎣

⎦∑

(d) 由图PS3.2(b)知，当1n ≤或21n ≥时，()0y n =