高考数学大一轮复习 第十章 计数原理和概率 10 排列组合的综合应用专题研究课件 理
高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 10.2 排列与组合课件(理)
解：(1)利用 3Ax8＝3（8－8！x）！，4Ax9－1＝4（9－9x＋ ！1）！， 得到（38× －8x） ！！＝（140×－9x！）！. 利用(10－x)！＝(10－x)(9－x)(8－x)！，将上式化简后得到(10－x)(9 －x)＝4×3. 再化简得到 x2－19x＋78＝0. 解方程得 x1＝6，x2＝13.由于 Ax8和 Ax9－1有意义，所以 x 满足 x≤8 和 x－1≤9.于是将 x2＝13 舍去，原方程的解是 x＝6.
(2)由组合数的性质可得 Cxx－ ＋11＋Cxx＋1＋Cxx－ ＋22＝C2x＋1＋Cx1＋1＋C4x＋2＝C2x＋2＋C4x＋2， 又 Cxx＋ ＋13＝Cx2＋3，且 C2x＋3＝Cx2＋2＋C1x＋2， 即 C1x＋2＋Cx2＋2＝C2x＋2＋C4x＋2.∴C1x＋2＝Cx4＋2， ∴5＝x＋2，x＝3.经检验知 x＝3 符合题意且使得各式有 意义，故原方程的解为 x＝3.
(2015·河北模拟)某单位要邀请 10 位教师中的 6
位参加一个会议，其中甲、乙两位教师不能同时参加，
则邀请的不同方法有( )
A．84 种
B．98 种
C．112 种
D．140 种
解：不同的邀请方法有：C12C85＋C86＝112＋28＝140 种．故选 D.
(2015·四川)用数字 0，1，2，3，4，5 组成没
(1)解方程：3A3x＝2A2x＋1＋6Ax2； (2)计算：C22＋C23＋C24＋…＋C2100.
解：(1)由 3Ax3＝2A2x＋1＋6A2x得 3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)x＋6x(x－1)， 由 x≠0 整理得 3x2－17x＋10＝0. 解得 x＝5 或23(舍去)． 即原方程的解为 x＝5. (2)原式＝(C33＋C23)＋C24＋…＋C2100 ＝(C34＋C24)＋…＋C2100＝…＝C3100＋C2100 ＝C3101＝166650.
2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第10章 排列、组合
3.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选， 则不同的选法共有_1_6__种.(用数字填写答案)
解析 方法一 按参加的女生人数可分两类：只有 1 位女生参加有 C12C24 种，有 2 位女生参加有 C22C14种. 故所求选法共有 C12C24＋C22C14＝2×6＋4＝16(种). 方法二 间接法：从 2 位女生，4 位男生中选 3 人，共有 C36种情况，没有 女生参加的情况有 C34种， 故所求选法共有 C36－C34＝20－4＝16(种).
题型突破 核心探究
TIXINGTUPO HEXINTANJIU
题型一 排列问题
自主演练
1.用1,2,3,4,5这五个数字，可以组成比20 000大，并且百位数不是数字3
的没有重复数字的五位数，共有
A.96个
√B.78个
C.72个
D.64个
解析 根据题意知，要求这个五位数比20 000大， 则万位数必须是2,3,4,5这4个数字中的一个， 当万位数是3时，百位数不是数字3，符合要求的五位数有A44 ＝24(个)； 当万位数是2,4,5时，由于百位数不能是数字3， 则符合要求的五位数有 3×(A44－A33)＝54(个)， 因此共有54＋24＝78(个)这样的五位数符合要求.
表示
微思考
1.排列问题和组合问题的区别是什么？ 提示 元素之间与顺序有关的为排列，与顺序无关的为组合. 2.排列数与组合数公式之间有何关系？它们的公式都有两种形式，如何 选择使用？ 提示 (1)排列数与组合数之间的联系为 CnmAmm＝Anm. (2)两种形式分别为：①连乘积形式；②阶乘形式. 前者多用于数字计算，后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证.
思维升华
新教材高考数学全程一轮总复习第十章计数原理概率随机变量及其分布第一节计数原理与排列组合学生用书
第一节计数原理与排列组合【课标标准】 1.了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.2.理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3.能利用排列组合解决简单的实际问题．必备知识·夯实双基知识梳理(1)分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝________种不同的方法．(2)完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝________种不同的方法．2．排列与组合的概念(1)排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照________排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．3．排列数与组合数公式(1)排列数公式＝________＝________(n，m∈N*，且m≤n)．规定0！＝1.(2)组合数公式＝________＝________(n，m∈N*，且m≤n)．规定＝1.4．排列数与组合数的性质；＝；；＝.[常用结论]分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点用来计算完成一件事的方法种数不同点分类、相加分步、相乘每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事每步依次完成才算完成这件事情(每步中的每一种方法不能独立完成这件事)注意点类类独立，不重不漏步步相依，缺一不可时标准应统一，避免出现重复或遗漏．夯实双基1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．( )(2)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．( )(3)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．( )(4)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．( )2．(教材改编)从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是( )A．12 B．24 C．64 D．813．(教材改编)用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为________．4．(易错)6名同学争夺3项冠军，不同的结果有________种．(用具体数字作答)5．(易错)某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法种数为________．关键能力·题型突破题型一两个计数原理例 1 (1)[2023·广东广州模拟]如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有5种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为( )A．480 B．600 C．720 D．840(2)有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定六名同学都能参加)①每人恰好参加一项，每项人数不限；②每项限报一人，且每人至多参加一项；③每项限报一人，但每人参加的项目不限．题后师说2．涂色问题常用的两种方法巩固训练1(1)从数字1，2，3，4中取出3个数字(允许重复)，组成三位数，各位数字之和等于6，则这样的三位数的个数为( )A．7 B．9C．10 D．13(2)[2023·河南安阳模拟]为推动就业与培养有机联动、人才供需有效对接，促进高校毕业生更加充分更高质量就业，教育部今年首次实施供需对接就业育人项目．现安排甲、乙两所高校与三家用人单位开展项目对接，若每所高校至少对接两家用人单位，则不同的对接方案共有( )A．15种 B．16种C．17种 D．18种题型二排列问题例 2有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．(1)选其中5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排成一排，女生必须站在一起；(5)全体排成一排，男生互不相邻；(6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人；(7)体体排成一排，甲必须排在乙前面；(8)全体排成一排，甲不排在左端，乙不排在右端．题后师说巩固训练2(1)[2023·江西临川一中模拟]为了贯彻落实党史学习教育成果，临川一中名师“学史力行”送教井冈山中学．现有理科语文、数学、英语、物理、化学、生物6名理科老师要安排在该中学理科1到6班上一节公开示范课，每个班级只安排一名老师上课且每个老师只在一个班上课，要求数学老师不能安排在1班，化学老师不能安排在6班，则不同的安排上课的方法数为( )A．720 B．504C．480 D．360(2)[2023·黑龙江哈九中模拟]习近平总书记在全国教育大会上发表重要讲话，称教育是国之大计，党之大计．哈九中落实讲话内容，组织研究性学习．在研究性学习成果报告会上，有A、B、C、D、E、F共6项成果要汇报，如果B成果不能最先汇报，而A、C、D按先后顺序汇报(不一定相邻)，那么不同的汇报安排种数为( )A．100 B．120C．300 D．600(3)[2023·河南安阳模拟]甲、乙、丙等七人相约到电影院看电影《长津湖》，恰好买到了七张连号的电影票，若甲、乙两人必须相邻，且丙坐在七人的正中间，则不同的坐法的种数为( )A．240 B．192C．96 D．48(4)[2023·广东佛山模拟]“五经”是儒家典籍《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校在周末兴趣活动中开展了“五经”知识讲座，每经排1节，连排5节，则《诗经》《春秋》分开排的情况有________种．题型三组合问题例 3 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长．现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有一名女生当选；(2)两队长当选；(3)至少有一名队长当选；(4)至多有两名女生当选；(5)既要有队长，又要有女生当选．题后师说组合问题的两类题型巩固训练3(1) [2023·安徽十校联考]如图，“天宫空间站”是我国自主建设的大型空间站，其基本结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱三个部分. 假设有6名航天员(4男2女)在天宫空间站开展实验，其中天和核心舱安排4人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人，且两名女航天员不在一个舱内，则不同的安排方案种数为( )A．14 B．18 C．30 D．36(2)[2023·河南安阳模拟]教育部于2022年开展全国高校书记校长访企拓岗促就业专项行动，某市3所高校的校长计划拜访当地企业，共有4家企业可供选择．若每名校长拜访3家企业，每家企业至少接待1名校长，则不同的安排方法共有( )A．60种 B．64种 C．72种 D．80种(3)[2023·山西师大附中模拟]现有16个不同小球，其中红色、黄色、蓝色、绿色小球各4个，从中任取3个，要求这3个小球不能是同一颜色，且红色小球至多1个，不同的取法为________．(4)[2023·黑龙江大庆模拟]某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有________．专题突破10 分组、分配问题微专题1不等分问题例 1(1)[2023·安徽淮南一中模拟]为了贯彻落实中央新疆工作座谈会和全国对口支援新疆工作会议精神，促进边疆少数民族地区教育事业发展，我市教育系统选派了三位男教师和两位女教师支援新疆，这五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，其中两位女教师分派到同一个地方，则不同的分派方法有( ) A．18种B．36种C．68种D．84种(2)若将6名教师分到3所中学任教，其中一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．题后师说对于不等分问题，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．微专题2整体均分问题例 2(1)已知有6本不同的书，平均分成三堆，有________种不同的分配方法？(2)国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教，现有6个免费培养的教育专业师范毕业生，将其平均分到3所学校去任教，有________种不同的分配方法．题后师说对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以(n为均分的组数)，避免重复计数．微专题3部分均分问题例 3 (1)5位大学生在暑假期间主动参加A，B，C三个社区的志愿者服务，且每个社区至少有1人参加，至多有2人参加，则不同的安排方法共有( )A．30种 B．90种C．120种 D．150种(2)[2023·广东河源模拟]某市教育局人事部门打算将甲、乙、丙、丁、戊这5名应届大学毕业生安排到该市4所不同的学校任教，每所学校至少安排一名，每名学生只去一所学校，则不同的安排方法种数是________．(3)[2023·河南新乡模拟]第24届冬季奥运会于2022年2月4日在北京市和河北省张家口市举行．现要安排六名志愿者去四个场馆参加活动，每名志愿者只能去一个场馆．且每个场馆最少安排一名志愿者，则不同的分配方法有( )A．1 020种 B．1 280种C．1 560种 D．1 680种1.[2022·新高考Ⅱ卷]甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有( )A．12种B．24种C．36种 D．48种2．[2021·全国乙卷]将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有( )A．60种 B．120种C．240种 D．480种3．[2020·新高考Ⅰ卷]6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( ) A．120种 B．90种C．60种 D．30种第一节计数原理与排列组合必备知识·夯实双基知识梳理1．（1）m＋n （2）m×n2．（1）一定顺序（2）作为一组3．（1）n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）（2）夯实双基1．答案：(1)×(2)√(3)×(4)√2．解析：从4本书中选3本有4种选法，把选出的3本书送给3名同学，有6种送法，所以不同的送法有：4×6＝24(种)．故选B.答案：B3．解析：由题意知本题需要分步计数，2和4排在末位时，共有＝2种排法，其余三位数从余下的四个数中任取三个，有＝4×3×2＝24种排法，由分步计数原理得到符合题意的偶数共有2×24＝48个．答案：484．解析：每一项冠军的情况都有6种，故6名学生争夺三项冠军，获得冠军的可能的种数是63＝216(种)．答案：2165．解析：分以下2种情况：(1)A类选修课选1门，B类选修课选2门，有种不同的选法．(2)A类选修课选2门，B类选修课选1门，有种不同的选法．所以不同的选法共有＝18＋12＝30(种)．答案：30关键能力·题型突破例1 解析：(1)依题意，按安徽与陕西涂的颜色相同和不同分成两类：若安徽与陕西涂同色，先涂陕西有5种方法，再涂湖北有4种方法，涂安徽有1种方法，涂江西有3种方法，最后涂湖南有3种方法，由分步乘法计数原理得不同的涂色方案有5×4×1×3×3＝180种，若安徽与陕西不同色，先涂陕西有5种方法，再涂湖北有4种方法，涂安徽有3种方法，涂江西、湖南也各有3种方法，由分步乘法计数原理得不同的涂色方案有5×4×3×3×3＝540 种方法，所以，由分类加法计数原理得不同的涂色方案共有180＋540＝720种．(2)①每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法，根据分步乘法计数原理，可得共有不同的报名方法36＝729种．②每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得共有不同的报名方法6×5×4＝120种．③每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，根据分步乘法计数原理，可得共有不同的报名方法63＝216种．答案：(1)C (2)见解析巩固训练1 解析：(1)其中各位数字之和等于6的三位数可分为以下情形：①由1，1，4三个数字组成的三位数：114，141，411共3个；②由1，2，3三个数字组成的三位数：123，132，213，231，312，321共6个；③由2，2，2三个数字可以组成1个三位数，即222.∴共有3＋6＋1＝10个，故选C.(2)甲高校与用人单位对接的方案种数为3＋1＝4，同理，乙高校与用人单位对接的方案种数为4，故不同的对接方案共有4×4＝16种．故选B.答案：(1)C (2)B例2 解析：(1)从7人中选5人排列，有＝7×6×5×4×3＝2 520种排列方法．(2)分两步完成，先选3人站前排，有种方法，余下4人站后排，有种方法，则共有＝5 040种排列方法．(3)先排甲，有5种方法，其余6人有种排列方法，共有＝3 600种排列方法．(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有种方法，再将女生全排列，有种方法，共有＝576种排列方法．(5)(插空法)先排女生，有种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有种方法，则共有＝1 440种排列方法．(6)把甲乙及中间三人看作一个整体，第一步先排甲乙两人有种方法，再从剩下的5人中选3人排列到中间，有种方法，最后把甲乙及中间三人看作一个整体，与剩余2人排列，有种方法，故共有＝720(种)．(7)(消序法)＝2 520.(8)(间接法)无限制排法有种，其中甲或乙在最左端或在最右端的排法为种，是甲在最左端且乙在最右端的排法，共有＝3 720(种)．巩固训练2 解析：(1)根据计数原理可以将事情分成两类：化学老师安排在1班和化学老师不安排在1班．①化学老师排在1班，先排1班，有1种方法，其余5个班的老师做全排列共有＝120种方法；②化学老师不在1班，先排1班，有4种方法，再排6班有4种方法，余下4个班有＝24种方法，所以共有：4×4×24＝384种方法，所以总的排列数为504.故选B.(2)先排B元素，有5种排法，然后排剩余5个元素共＝120，由于A、C、D顺序确定，所以不同的排法共有＝100.故选A.(3)丙在正中间(4号位)；甲、乙两人只能坐12，23或56，67号位，有4种情况，考虑到甲、乙的顺序有种情况；剩下的4个位置其余4人坐有种情况；故不同的坐法的种数为＝192.故选B.(4)先将《周易》《尚书》《礼记》进行排列，共有再从产生的4个空位中选2个安排《诗经》《春秋》，共有种排法，所以满足条件的情形共有＝72种．答案：(1)B (2)A (3)B (4)72例3 解析：(1)一名女生，四名男生，故共有＝350种．(2)将两队长作为一类，其他11人作为一类，故共有＝165种．(3)至少有一名队长含有两类：只有一名队长和有两名队长．故共有＝825种，或采用排除法：＝825种．(4)至多有两名女生含有三类：有两名女生、只有一名女生、没有女生．故共有＝966种．(5)分两类：第一类女队长当选：；第二类女队长不当选：故共有＝790种．巩固训练3 解析：(1)将6名航天员安排在3个实验舱的方案数为其中两名女航天员在一个舱内的方案数为＝12，所以满足条件的方案数为30－12＝18种．故选B.(2)3名校长在4家企业任取3家企业的所有安排情况为：＝4×4×4＝64种，又每家企业至少接待1名校长，故3名校长选的3家企业，不全相同，因为3名校长选的3家企业完全相同有＝4种，则不同的安排方法共有：64－4＝60种．故选A.(3)由题意，不考虑特殊情况，共有＝560种取法，其中每一种小球各取三个，有＝16种取法，两个红色小球，共有＝72种取法，故所求的取法共有560－16－72＝472种．(4)不妨设既会划左舷又会划右舷的2人为A、B，①若A和B两人均不去参加比赛，则选派方法有种；②若A和B两人只去一人参加比赛，(ⅰ)若只会划左舷的去两人，则选派方法为种；(ⅱ)若只会划右舷的去两人，则选派方法为种；③若A和B两人均去参加比赛，(ⅰ)若只会划左舷的去1人，则A和B两人均去划左舷，则选派方法为种；(ⅱ)若只会划左舷的去2人，则A和B两人中有一人去划左舷，另一人去划右舷，则选派方法为种；(ⅲ)若只会划左舷的去3人，则A和B两人均去划右舷，则选派方法为综上所述，不同的选派方法共有＝92种．答案：(1)B (2)A (3)472 (4)9210分组、分配问题专题突破○例1 解析：(1)根据题意，分派方案可分为两种情况：若两位女教师分配到同一个地方，且该地方没有男老师，则有：＝18种方法；故一共有：36种分派方法．故选B.(2)将6名教师分组，分三步完成：第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有种取法；第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有种取法；第3步，余下的3名教师作为一组，有种取法．根据分步乘法计数原理，共有＝60种取法．再将这3组教师分配到3所中学，有＝6种分法，故共有60×6＝360种不同的分法．答案：(1)B (2)360例2 解析：(1)6本书平均分成3堆，所以不同的分堆方法的种数为＝＝15.(2)先把6个毕业生平均分成3组，有种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有＝90种分配方法．答案：(1)15 (2)90例3 解析：(1)因为5位大学生在暑假期间主动参加A，B，C三个社区的志愿者服务，且每个社区至少有1人参加，至多有2人参加，所以5名大学生分成3组，每组的人数分别为1，2，2，所以不同的安排方式有＝90种．故选B.(2)先将5名学生分成4组共有＝10种，再将4组学生安排到4所不同的学校有＝24种，根据分步计数原理可知：不同的安排方法共有10×24＝240种．(3)根据题意，若6名志愿者以“2，2，1，1”形式分为四个服务小组，共有若6名志愿者以“3，1，1，1”形式分为四个服务小组，＝480种分配方法．由分类加法计数原理知共有1 560种分配方法．故选C.答案：(1)B (2)240 (3)C真题展台——知道高考考什么？1．解析：先利用捆绑法排乙、丙、丁、戊四人，再用插空法选甲的位置，共有＝24(种)不同的排列方式．故选B.答案：B2．解析：根据题设中的要求，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，可分两步进行安排：第一步，将5名志愿者分成4组，其中1组2人，其余每组1人，共有种分法；第二步，将分好的4组安排到4个项目中，有种安排方法．故满足题意的分配方案共有＝240(种)．答案：C3．解析：首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有；然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有；最后剩下的3名同学去丙场馆．故不同的安排方法共有＝60种．故选C.答案：C。
高考一轮复习理科数学课件： 第十单元 计数原理、概率与统计 第72讲 排列、组合的综合应用问题34
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
训练手册
点评：这类问题的关键是先选后排，既要注意选时的 特殊元素，又要注意排时的特殊要求．
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
训练手册
考点3·分组与分配问题
【例3】6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的 分法：
训练手册
【变式探究】
2．(2017·浙江卷)从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人，
副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人服务队，要求服务队中
至少有 1 名女生，共有
种不同的选法．(用数字作答)
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
训练手册
解：(方法 1)只有 1 名女生时，先选 1 名女生，有 C12种 方法；再选 3 名男生，有 C36种方法；然后排队长、副队长位 置，有 A24种方法．由分步乘法计数原理知，共有 C12C36A24＝ 480(种)选法．
(2)先组合后排列原则：对于有限制的条件的排列问 题，常可分步进行，先组合后排列，即先取出元素再安排 元素，这是分步乘法计数原理的典型应用．
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
训练手册
(3)正难则反原则：若从正面直接解决有困难，则考虑 事件的对立事件，从不适合题目的情况入手，再整体排 除．
(4)策略针对性原则：针对一些如相邻问题、不相邻问 题、定序问题等计数问题，常常有一些固定的模式可遵 循．
A．432
B．288
C．216
D．108
解：首先个位数字必须为奇数，从1,3,5,7四个中选择一个
高考高考数学一轮总复习第10章计数原理概率与统计第一节排列与组合课件理
►一个易错点：两个基本原理不清致误. (1)[①切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还要需 要分步进行.②分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关 键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步]有10 本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从 中任取两本不同类的书，共有______种不同的取法.
＝
m__！__（__n_－__m__）_1，C0n＝1
①Cnm＝Cnn－m ②Cnm＝_C_nm_－_1_＋__C_mn_－－_11__
►一个区别：排列与组合. (2)[排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”.取出元素后 交换顺序，如果与顺序有关是排列，如果与顺序无关则是组 合]从2，3，5，7四个数中任取两个不同的数相乘，有m个不 同的积；任取两个不同的数相除，有n个不同的商，则m∶n ＝________.
(5)(插空法)男生不相邻，而女生不作要求，∴应先排女生，有 A44种方法，再在女生之间及首尾空出的 5 个空位中任选 3 个空 位排男生，有 A35种方法，故共有 A44×A35＝1 440(种). (6)把甲、乙及中间 3 人看作一个整体，第一步先排甲、乙两人 有 A22种方法，再从剩下的 5 人中选 3 人排到中间，有 A35种方 法，最后把甲、乙及中间 3 人看作一个整体，与剩余 2 人排列， 有 A33种方法，故共有 A22×A35×A33＝720(种).
出m(m≤n)个元素_合__成__一__组__，
叫做从n个不同元素中取出m
排成一列，叫做从n个不同元素中
个元素的一个组合
取出m个元素的一个排列
定义
组合数：从n个不同元素中
排列数：从n个不同元素中取出
取出m(m≤n)个元素的所有
m(m≤n)个元素的所有不同排列的
2025版高考数学一轮总复习知识梳理第10章计数原理概率随机变量及其分布第1讲两个计数原理排列组合
第一讲 两个计数原理、排列、组合知 识 梳 理学问点一 两个计数原理1．分类加法计数原理完成一件事有n 类不同的方案，在第一类方案中有m 1种不同的方法，在其次类方案中有m 2种不同的方法，……，在第n 类方案中有m n 种不同的方法，则完成这件事共有N ＝ m 1＋m 2＋…＋m n 种不同的方法．2．分步乘法计数原理 完成一件事须要分成n 个不同的步骤，完成第一步有m 1种不同的方法，完成其次步有m 2种不同的方法，……，完成第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝ m 1×m 2×…×m n 种不同的方法．学问点二 排列与排列数1．排列的定义：从n 个 不同 元素中取出m (m ≤n )个元素，并依据确定的 依次 排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列． 2．排列数的定义：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的 全部不同排列 的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号 A m n 表示．3．排列数公式：A m n ＝ n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)(m ，n ∈N *，且m ≤n ) .4．全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个元素的一个全排列，A n n ＝n ×(n －1)×(n －2)×…×2×1＝ n ！ .排列数公式写成阶乘的形式为A m n ＝n ！n －m ！，这里规定0！＝ 1 .学问点三 组合与组合数1．组合的定义：一般地，从n 个 不同 元素中取出m (m ≤n )个元素 作为一组 ，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．2．组合数的定义：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的 全部不同组合 的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号 C m n 表示．3．组合数的计算公式：C mn ＝A m n A m m ＝n ！m ！n －m ！＝n n －1n －2…n －m ＋1m ！，这里规定C 0n ＝ 1 .4．组合数的性质：①C m n ＝ C n －m n ；②C m n ＋1＝ C m n ＋ C m －1n .注：应用公式化简、求值、解方程、解不等式时，留意A m n 、C m n 中的隐含条件m ≤n ，且m ，n ∈N *.归 纳 拓 展1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区分分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互联系、相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．2．对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数．双基自测题组一走出误区1．推断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能干脆完成这件事．( √ )(2)若组合式C x n＝C m n，则x＝m成立．( × )(3)4名同学分别报名参加学校的3个社团，每人限报一个，则不同的报法种数为43.( × )(4)正十二边形共有54条对角线．( √ )(5)用0,1,2,3,4这5个数字可以组成30个三位偶数．( × )(6)k C k n＝n C k－1n－1.( √ )题组二走进教材2．(选择性必修3P38T3(2)改编)某班一天上午有4节课，下午有2节课，支配语文、数学、政治、英语、体育、艺术每科一节，要求数学排在上午，体育不排上午第一节和下午其次节，则不同的支配种数是 312 .[解析]上午第一节排数学有4A44＝96种排法；上午第一节不排数学有3×3A44＝216种排法，∴不同的排法共有96＋216＝312种排法．3．(选择性必修3P27T17改编)在如图所示的五个区域中涂色，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为( C )A．24 B．48C．72 D．96[解析]区域 A B E C D题组三走向高考4．(2024·新高考Ⅱ卷)有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有( B )A．12种B．24种C．36种D．48种[解析]先将丙和丁捆在一起有A22种排列方式，然后将其与乙、戊排列，有A33种排列方式，最终将甲插入中间两空，有C12种排列方式，所以不同的排列方式共有A22A33C12＝24种，故选B.5．(2024·高考全国甲卷)有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为( B ) A．120 B．60C．40 D．30[解析]不妨记五名志愿者为a，b，c，d，e，假设a连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有A24＝12种方法，同理：b，c，d，e连续参加了两天社区服务，也各有12种方法，所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有5×12＝60种．故选B.。
高考数学一轮总复习 第十章 排列与组合
组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数
(1)从中任取4张，共有________种不同取法；
(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？
• 拓直展接提法高 求把解符排合列条应件用的问排题列的数主直要接方列法式计算
优先法 优先安排特殊元素或特殊位置
故共有 C16C25C33＝60(种)．
(2)有序不均匀分组问题． 由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)题基础上，还应考虑 再分配，共有 C16C25C33A33＝360(种)． (3)无序均匀分组问题． 先分三步，则应是 C26C24C22种方法，但是这里出现了重复．不 妨记六本书为 A，B，C，D，E，F，若第一步取了 AB，第二步 取了 CD，第三步取了 EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则 C26C24C22种分法中还有(AB，EF，CD)，
拓展提高 组合问题常有以下两类题型：
法二 (特殊位置优先法)首尾位置可安排另 6 人中的两人， 拓展提高 均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型．解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还
是不均匀分组，无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数，还要充分考虑到是否与顺序有关；
正难则有反、A等价26种转化排的方法法 ，其他有 A55种排法，共有 A26A55＝3 600(种)．
• 思路点拨 要注意分析特殊元素是“含”、“不含”、“至少”、 “至多”．
[解] (1)共有 C318＝816(种)． (2)共有 C518＝8 568(种)． (3)分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，共有 C12C418＋C318＝6 936(种)． (4)(间接法)：由总数中减去五名都是内科医生和五名都是 外科医生的选法种数，得 C520－(C512＋C58)＝14 656(种)．
2025版高考数学一轮总复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第1节两个计数原理排列与组合教师用书
第一节两个计数原理、排列与组合考试要求：理解排列、组合的概念、排列数公式及组合数公式，并能利用公式解决一些简洁的实际问题．一、教材概念·结论·性质重现1．两个计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理条件完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法完成一件事须要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法结论完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法完成这件事共有N＝m×n种不同的方法两个计数原理的区分分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．2．排列与组合的定义排列的定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素依据肯定的依次排成一列组合的定义作为一组3．排列数、组合数的定义、公式、性质排列数组合数定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的全部不同排列的个数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的全部不同组合的个数公式＝n(n－1)(n－2)·…·(n－m＋1)＝＝＝＝性质＝n！，0！＝＝＝(1)“排列”与“组合”的辨析排列与组合最根本的区分在于“有序”和“无序”．取出元素后交换依次，假如与依次有关，则是排列；假如与依次无关，则是组合．(2)①排列数与组合数之间的联系：＝．②两种形式：连乘积形式与阶乘形式．前者多用于数字计算，后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证．二、基本技能·思想·活动阅历1．推断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．( ×)(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能干脆完成这件事．( √)(3)全部元素完全相同的两个排列为相同排列．( ×)(4)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．( √)(5)若＝，则x＝m成立．( ×) 2．教学楼共有6层楼，每层都有南、北两个楼梯，从一楼到六楼的走法共有( ) A．25种B．52种C．62种D．26种A 解析：依据题意，教学楼共有6层，共5层楼梯，每层均有两个楼梯，即每层有2种走法，则一共有2×2×2×2×2＝25种走法．故选A．3．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的诞生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种．现有十二生肖的祥瑞物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜爱牛和马，乙同学喜爱牛、狗和羊，丙同学哪个祥瑞物都喜爱．假如让三位同学选取礼物都满足，则选法有( )A．30种B．50种C．60种D．90种B 解析：①甲同学选择牛，乙有2种，丙有10种，选法有1×2×10＝20种，②甲同学选择马，乙有3种，丙有10种，选法有1×3×10＝30种，所以总共有20＋30＝50种．故选B．4．4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修2门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有( )A．12种B．24种C．30种D．36种B解析：由题意知本题是一个分步乘法计数问题．因为恰有2人选修课程甲，共有＝6种结果，所以选甲的两个人再选一门课程各有两种选法，共有2×2＝4种结果，余下的两个人只有1种选法，依据分步乘法计数原理知共有6×4×1＝24种结果．故选B．5．从2名女生、4名男生中选3人参与学科竞赛，且至少有1名女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字作答)16解析：方法一：可分两种状况：第一种状况，只有1名女生入选，不同的选法有＝12(种)；其次种状况，有2名女生入选，不同的选法有＝4(种)．依据分类加法计数原理知，至少有1名女生入选的不同的选法共有12＋4＝16(种)．方法二：从6人中任选3人，不同的选法共有＝20(种)．从6人中任选3人都是男生，不同的选法有＝4(种)．所以，至少有1名女生入选的不同的选法共有20－4＝16(种)．考点1 两个计数原理——应用性1．下图是某项工程的网络图(单位：天)，则从起先节点①到终止节点⑧的路径共有( )A．14条B．12条C．9条D．7条B 解析：由图可知，由①→④有3条路径，由④→⑥有2条路径，由⑥→⑧有2条路径，依据分步乘法计数原理可得从①→⑧共有3×2×2＝12条路径．故选B．2．用数字3，6，9组成四位数，各数位上的数字允许重复，且数字3至多出现一次，则可以组成的四位数的个数为( )A．81 B．48 C．36 D．24B解析：依据题意，数字3至多出现一次，分2种状况探讨：①数字3不出现，此时四位数的每个数位都可以为6或9，都有2种状况，则此时四位数有2×2×2×2＝16个；②数字3出现1次，则数字3出现的状况有4种，剩下的三个数位，可以为6或9，都有2种状况，此时四位数有4×2×2×2＝32个，故有16＋32＝48个四位数．故选B．3．(2024·威海模拟)已知一个不透亮的袋子中放有编号分别为1，2，3，4，5，6，7的7个大小、形态相同的小球．小明从袋子中有放回地取3次球，每次只取一个球，且3次取出的球的编号相乘的结果为偶数、相加的结果为奇数，则不同的取球方法种数为( ) A．712 B．216 C．108 D．72C 解析：依据3次取出的球的编号相乘的结果为偶数、相加的结果为奇数可知，有一次取出的球的编号为奇数，2次取出的球的编号为偶数，先确定哪一次得到奇数号球，然后从4个奇数号球中取一个，再每次都从3个偶数号球中任取一个(有放回取球)，故满足题意的取球方法有3×4×3×3＝108(种)．4．现有5种不同颜色的染料，要对如图所示的四个不同区域进行涂色，要求有公共边的两个区域不能运用同一种颜色，则不同的涂色方法的种数是( )A．120 B．140 C．240 D．260D 解析：先涂A处共有5种涂法，再涂B处有4种涂法，最终涂C处，若C处与A处所涂颜色相同，则C处共有1种涂法，D处有4种涂法；若C处与A处所涂颜色不同，则C处有3种涂法，D处有3种涂法，由此可得不同的涂法方法有5×4×(1×4＋3×3)＝260(种)，故选D．两个计数原理的应用(1)应用两个计数原理的难点在于明确是分类还是分步：分类要做到“不重不漏”，正确把握分类标准是关键；分步要做到“步骤完整”，步步相连才能将事务完成．(2)较困难的问题可借助图表来完成．(3)对于涂色问题：①分清元素的数目以及在不相邻的区域内是否可以运用同类元素．②留意对每个区域逐一进行，分步处理．考点2 排列与组合——综合性(1)(2024·新高考Ⅱ卷)有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参与文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有( )A．12种B．24种C．36种D．48种B 解析：因为丙、丁要在一起，先把丙、丁捆绑，看做一个元素，连同乙、戊看成三个元素排列，有3！种排列方式；为使甲不在两端，必需且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；留意到丙、丁两人的依次可交换，有2种排列方式，故支配这5名同学共有：3！×2×2＝24(种)不同的排列方式．故选B．(2)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为( )A．232 B．252 C．472 D．484C 解析：分两类：第一类，含有1张红色卡片，不同的取法共有＝264(种)；其次类，不含有红色卡片，不同的取法共有＝220－12＝208(种)．由分类加法计数原理知，不同的取法有264＋208＝472(种)．1．有限制条件的排列问题的常用方法(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采纳特别元素优先原则，即先支配有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采纳间接法．(2)对相邻问题采纳捆绑法、不相邻问题采纳插空法、定序问题采纳倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法．2．组合问题的常见类型与处理方法(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含有”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含有”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取．(2)“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若干脆法分类困难时，可逆向思维，间接求解．考点3 分组安排问题——综合性考向1 整体均分问题教化部为了发展贫困地区教化，在全国重点师范高校免费培育教化专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培育的教化专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有______种不同的分派方法．90解析：先把6个毕业生平均分成3组，有种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有＝6种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有＝90种分派方法．解决分组问题的关键是如何删去重复排列的组数．一般地，若为平均分组，则应用n个元素分组得到的排列种数除以组数的全排列；若为不平均分组，则应依据实际状况分析重复排列的种数，然后再进行相应计算．考向2 部分均分问题将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少1本的不同分法共有________种．(用数字作答)1 560 解析：把6本不同的书分成4组，每组至少1本的分法有2种．①有1组3本，其余3组每组1本，不同的分法共有＝20(种)；②有2组每组2本，其余2组每组1本，不同的分法共有·＝45(种)．所以不同的分组方法共有20＋45＝65(种)．然后把分好的4组书分给4个人，所以不同的分法共有＝1 560(种)．考向3 不等分问题(1)把8个相同的小球全部放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则不同的放法种数为( )A．35 B．70 C．165 D．1 860C 解析：依据题意，分4种状况探讨：①没有空盒，将8个相同的小球排成一列，排好后，各球之间共有7个空位，在7个空位中任选3个，插入隔板，将小球分成4组，顺次对应4个盒子，有＝35种放法；②有1个空盒，在4个盒中任选3个，放入小球，有＝4种选法，将8个相同的小球排成一列，排好后，各球之间共有7个空位，在7个空位中任选2个，插入隔板，将小球分成3组，顺次对应3个盒子，有＝21种分组方法，则有4×21＝84种放法；③有2个空盒，在4个盒中任选2个，放入小球，有＝6种选法，将8个相同的小球排成一列，排好后，各球之间共有7个空位，在7个空位中任选1个，插入隔板，将小球分成2组，顺次对应2个盒子，有＝7种分组方法，则有6×7＝42种方法；④有3个空盒，即将8个小球全部放进1个盒子，有4种放法．故一共有35＋84＋42＋4＝165种放法．(2)若将6名老师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．360 解析：将6名老师分组，分三步完成：第1步，在6名老师中任取1名作为一组，有种分法；第2步，在余下的5名老师中任取2名作为一组，有种分法；第3步，余下的3名老师作为一组，有种分法．依据分步乘法计数原理，共有＝60种分法．再将这3组老师安排到3所中学，有＝6种分法，故共有60×6＝360种不同的分法．1．局部均分问题，解题时留意重复的次数是匀称分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以“m！”，一个分组过程中有几个这样的匀称分组就要除以几个这样的全排列数．2．不均分问题，实质上是先分组后排列的问题，即分组方案数乘以不同对象数的全排列数．简洁地说，解不等安排题的一般原则：先分组后排列．3．整体均分问题，解题时要留意分组后，不管它们的依次如何，都是一种状况，所以分组后肯定要除以(n为均分的组数)，避开重复计数．1．将六名老师安排到甲、乙、丙、丁四所学校任教，其中甲校至少安排两名老师，其他三所学校至少安排一名老师，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)660 解析：若甲校2人，乙、丙、丁其中一校2人，共有种；若甲校3人，乙、丙、丁每校1人，共有种．则不同的安排方案共有＝660种．2．6本不同的书，依据以下要求处理，各有几种分法？(1)甲得一本，乙得二本，丙得三本；(2)平均分成三堆；(3)甲、乙、丙每人至少得一本．解：(1)分成三堆的方法有种，而每种分组方法仅对应一种安排方法，故甲得一本，乙得二本，丙得三本的分法为＝60 (种)．(2)6本不同的书平均分成三堆，有＝15(种)分法．(3)共计分为3类：①依据4，1，1分，共有3＝90(种)方法；②依据3，2，1分，共有＝360(种)分法；③依据2，2，2分，共有＝90(种)分法．故共有90＋360＋90＝540(种)分法．课时质量评价(五十六)A组全考点巩固练1．现有甲、乙、丙三种树苗可供选择，分别种在一排五个坑中，要求相同的树苗不能相邻，第一、五坑内只能种甲种树苗，则不同的种法共有( )A．4种 B．5种 C．6种 D．7种C 解析：依据题意，分2种状况探讨：①若二、四号坑种的树苗相同，则二、四号坑有2种选择，三号坑有2种选择，此时有2×2＝4种种法，②若二、四号坑种的树苗不同，则二、四号坑有2×1＝2种选择，三号坑有1种选择，此时有2×1＝2种种法．则有4＋2＝6种不同的种法．故选C．2．(2024·长沙模拟)为响应国家“节约粮食”的号召，某同学确定在某食堂供应的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时主动践行“光盘行动”，则不同的选取方法有( )A．48种 B．36种 C．24种 D．12种B 解析：由题意可知，分三步完成：第一步，从2种主食中任选一种有2种选法；其次步，从3种素菜中任选一种有3种选法；第三步，从6种荤菜中任选一种有6种选法，依据分步乘法计数原理，共有2×3×6＝36(种)不同的选取方法．故选B．3．A，B，C，D，E五人并排站成一排，若A，B必需相邻且B在A的左边，那么不同的排法共有( )A．24种 B．36种 C．48种 D．60种A 解析：依据题意，分2步进行分析：①A，B必需相邻且B在A的左边，将AB看成一个整体，有1种排法；②将AB整体与C，D，E全排列，有＝24种排法，则共有1×24＝24种排法．故选A．4．(多选题)已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，从M，N这两个集合中各选一个元素分别记作a，b，则下列说法正确的有( )A．表示不同的正数的个数是6B．表示不同的比1小的数的个数是6C．(a，b)表示x轴上方不同的点的个数是6D．(a，b)表示y轴右侧不同的点的个数是6BC 解析：对于选项A，若a，b均为正，共有2×2＝4个，若a，b均为负，共有1×2＝2个，但＝，所以共有5个，所以选项A错误；对于选项B，若为正，明显均比1大，所以只需为负即可，共有2×2＋1×2＝6(个)，所以选项B正确；对于选项C，要使(a，b)表示x轴上方的点，只需b为正即可，共有2×3＝6(个)，所以选项C正确；对于选项D，要使(a，b)表示y轴右侧的点，只需a为正即可，共有2×4＝8(个)，所以选项D错误．故选BC．5．冼太夫人故里、放鸡岛、窦州古城、茂名森林公园这4个景区均为广东茂名市的热门旅游景区．现有5名学生确定于今年暑假前往这4个景区旅游．若每个景区至少有1名学生前去，且每名学生只去一个景点，则不同的旅游方案种数为( )A．120 B．180 C．240 D．360C 解析：依据题意，分2步进行分析：①将5名学生分为4组，有＝10种分组方法；②将分好的4组全排列，支配到4个景区旅游，有＝24种支配方法．则共有10×24＝240种支配方法．故选C．6．若把一句话“我喜爱数学”的汉字依次写错了，则可能出现错误的状况共有________种．119 解析：依据题意，“我喜爱数学”五个字排成一排，有＝120种不同的依次，其中正确的只有1种，则可能出现错误的状况有120－1＝119种．7．高考期间，某校高三年级租用大巴车送考，原则上每班一辆车，但由于高三(1)班人数较多，坐满一辆车之后还余下7名同学．现有高三(2)、(3)、(4)班的选考车辆分别剩余2，3，3个空位，要把这7名同学都支配到这三辆车中，则共有______种不同的支配方法．560 解析：依据题意，余下的7人坐车，还有8个空座位，可以看成7个人再加上一个空位，支配在8个空座位上的问题，有＝560种支配方法．8．有8名学生排成一排照相，求满足下列要求的排法的种数．(1)甲、乙两人相邻；(2)丙、丁两人不相邻；(3)甲站在丙、丁两人的中间(未必相邻)．解：(1)依据题意，将甲、乙看成一个整体，与其他6人全排列即可，有＝10 080(种)排法．(2)依据题意，将8人全排列，有种排法，其中丙、丁相邻的排法有种，则丙、丁两人不相邻的排法有＝30 240(种)．(3)依据题意，将8人全排列，有种排法，甲、丙、丁三人的排法有＝6(种)，其中甲站在丙、丁两人的中间有2种，则有甲站在丙、丁两人的中间有＝13 440(种)．B组新高考培优练9．某校进行体育抽测，甲与乙两名同学都要在100 m跑、立定跳远、铅球、引体向上、三级跳远这5项运动中，选出3项进行测试．假定他们对这五项运动没有偏好，则他们选择的结果中至少有两项相同运动的选法种数为( )A．70 B．50 C．30 D．20A 解析：依据题意，分2种状况探讨：①他们选择的结果中有两项相同运动，有＝60种选法．②他们选择的结果中有三项相同运动，有＝10种选法，则共有60＋10＝70种选法．故选A．10．(多选题)现支配甲、乙、丙、丁、戊5名同学参与2024年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以支配，则以下说法正确的是( )A．若每人都支配一项工作，则不同的方法数为45B．若每项工作至少有1人参与，则不同的方法数为C．假如司机工作担心排，其余三项工作至少支配1人，则这5名同学全部被支配的不同方法数为D．每项工作至少有1人参与，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同支配方案的种数是AD 解析：依据题意，依次分析选项：对于A，若每人都支配一项工作，每人有4种支配方法，则有45种支配方法，A正确；对于B，分2步进行分析：先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，支配4项工作，有种支配方法，B错误；对于C，分2步分析：须要先将5人分为3组，有种分组方法，将分好的三组支配翻译、导游、礼仪三项工作，有种状况，则有种支配方法，C错误；对于D，分2种状况探讨：①从丙，丁，戊中选出1人开车，②从丙，丁，戊中选出2人开车，则有种支配方法，D正确．故选AD．11．(多选题)现有3名男生和4名女生，在下列不同条件下进行排列，则( )A．排成前后两排，前排3人后排4人的排法共有5 400种B．全体排成一排，甲不站排头也不站排尾的排法共有3 600种C．全体排成一排，女生必需站在一起的排法共有576种D．全体排成一排，男生互不相邻的排法共有1 440种BCD 解析：依据题意，依次分析选项：对于A，将7名学生排成前后两排，前排3人后排4人的排法，有＝5 040种排法，A 错误；对于B，甲不站排头也不站排尾，有5种状况，将剩下的6人全排列，有种排法，则有＝3 600种排法，B正确；对于C，将4名女生看成一个整体，有种排法，将这个整体与3名男生全排列，有种排法，则有＝576种排法，C正确；对于D，先排4名女生，有种排法，排好后有5个空位，在5个人空位中任选3个，支配3名男生，有种排法，则有＝1 440种排法，D正确．12．(2024·临沂三模)某社区须要连续六天有志愿者参与服务，每天只须要一名志愿者，现有甲、乙、丙、丁、戊、己6名志愿者，支配依次支配到该社区参与服务，要求甲担心排第一天，乙和丙在相邻两天参与服务，则不同的支配方案共有( )A．72种 B．81种C．144种 D．192种D 解析：若乙和丙在相邻两天参与服务，不同的排法种数为＝240，若乙和丙在相邻两天且甲支配在第一天参与服务，不同的排法种数为＝48，由间接法可知，满足条件的排法种数为240－48＝192(种)．故选D．13．(2024·杭州模拟)某省派出由4名医生、5名护士组成的医疗小组前往疫区支援，要求将这9名医护人员平均派往某地的A，B，C3家医院，且每家医院至少要分到一名医生和一名护士，则不同的安排方案有________种．(用数字作答)1 080解析：由题意可知，4名医生要安排到3家医院，且每家医院至少有一名医生，则必有一家医院有2名医生，其余2家医院各有1名医生．假设A医院安排的是2名医生1名护士，则B，C医院均安排1名医生2名护士，则安排方案有＝360(种)，故不同的安排方案有360×3＝1 080(种)．14．学校拟支配6位老师在今年6月12日至14日端午值班，每天支配2人，每人值班1天；若6位老师中的甲不值12日，乙不值14日且甲、乙不在同一天值班，则不同的支配方法共有________种．36 解析：依据题意，分2步进行分析：①将6人分为3组，要求甲、乙不在同一组，有－＝12种分组方法．②若甲所在的组在14日值班，有＝2种支配方法；若甲所在的组在13日值班，则乙所在的组必需在12日值班，有1种支配方法．则有3种值班支配方法．故共有12×3＝36种支配方法．15．现有5本书和3位同学，将书全部分给这三位同学(要求用数字作答)．(1)若5本书完全相同，求共有多少种分法；(2)若5本书都不相同，每个同学至少有一本书，求共有多少种分法；(3)若5本书仅有两本相同，按一人3本另两人各1本安排，求共有多少种分法．解：(1)依据题意，5本书完全相同，将这5本书和2个挡板排成一排，利用挡板将5本书分为3组，对应3位同学即可，则有＝21(种)不同的分法．(2)依据题意，分2步进行分析：①将5本书分成3组，若分成1，1，3的三组，有＝10(种)分组方法．若分成1，2，2的三组，有＝15(种)分组方法，从而分组方法有10＋15＝25(种)．②将分好的三组全排列，对应3名学生，有＝6(种)状况，依据分步乘法计数原理，故共有25×6＝150(种)分法．(3)记这5本书分别为A，A，B，C，D，5本书取其3本安排时，①不含A时仅有一种分组，再安排给3人，有3种方法；②仅含一个A时，分组的方法有种，再安排给3人，共有＝18(种)方法；③含两个A时，分组的方法有种，再安排给3人，共有＝18(种)方法．从而共有18＋18＋3＝39(种)分法．。
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B．(n－1)(n－2)
n（n－1） C. 2
（n－1）（n－2）
D.
2
【解析】 这 n 条直线交点的个数为 Cn2＝n（n－ 2 1）. 【答案】 C
(2)四面体的顶点和各棱中点共 10 个点，若在其中取 4 个不 共面的点，则不同的取法共有多少种？
【解析】 方法一：从 10 个点中，任意取 4 个点的不同取 法共有 C104 种，其中，所取 4 个点共面的可分为两类．第一类， 四个点同在四面体的一个面上，共有 4C64 种取法．第二类，四个 点不同在四面体的一个面上，又可分为两种情形：①4 个点分布 在不共面的两条棱上，这只能是恰有 1 个点是某棱的中点，另 3 点在对棱上，因为共有 6 条棱，所以有 6 种取法；②4 个点所在 的不共面的棱不止两条，这时，4 个点必然都是棱的中点，它们 所在的 4 条棱必然是空间四边形的四条边，故有 3 种不同取法．所 以符合题意的不同取法种数为 C104－(4C64＋6＋3)＝141.
【解析】 ①确定一条直线需要两个点，因为有 4 个点共线， 所以这 9 个点所确定直线的条数为 C92－C42＋1＝31.
②确定一个三角形需要三个不共线的点，所以这 9 个点确定 三角形的个数为 C93－C43＝80.
③确定一个四边形需要四个不共线的点，所以这 9 个点确定 四边形的个数为 C94－C51C43－C44＝105.
【答案】 ①31 ②80 ③105
(2) 在 正 方 体 的 八 个 顶 点 中 取 三 点 连 成 三 角 形 ， 可 构 成 ________个等腰直角三角形．
【答案】 24
思考题 1 (1)平面内有 n 条直线任意两条都相交，任意
三条都不交于一点，则这 n 条直线的交点的个数为( )
A．n(n－1)
方法二：在四面体中取定一个面，记为 α，那么取不共面的 4 个点，可分为四类．第一类，恰有 3 个点在 α 上．这时，该 3 点必然不在同一条棱上，因此，4 个点的不同取法数为 4(C63－3) ＝68.第二类，恰有 2 个点在 α 上，可分两种情形：①该 2 点在同 一条棱上，这时 4 个点的不同取法数为 3C32·(C42－3)＝27；② 该 2 点不在同一条棱上，这时 4 个点的不同取法数为(C62－ 3C32)(C42－1)＝30.第三类，恰有 1 个点在 α 上，可分两种情形：
(7)直接分配问题．甲选 1 本有 C61 种方法，乙从余下 5 本中 选 1 本有 C51 种方法，余下 4 本留给丙有 C44 种方法，共有 C61C51C44 ＝30 种．
【答案】 (1)60 (2)360 (3)15 (4)90 (5)15 (6)90 (7)30
探究 2 均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组 合问题的常见题型．解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀 分组还是不均匀分组，无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数； 还要充分考虑到是否与顺序有关，有序分组要在无序分组的基础 上乘以分组数的阶乘数．
【思路】 这是一个分配问题，解题的关键是搞清事件是否 与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复 或遗漏．
【解析】 (1)无序不均匀分组问题，先选 1 本有 C61 种选法； 再从余下的 5 本中选 2 本有 C52 种选法；最后余下 3 本全选有 C33 种方法，故共有 C61C52C33＝60 种．
①该点是棱的中点，这时 4 个点的不同取法数为 3×3＝9；②该 点不是棱的中点，这时 4 个点的不同取法数为 3×2＝6.第四类， 4 个点都不在 α 上，只有 1 种取法．应用分类计数原理，得所求 的不同取法数为 68＋27＋30＋9＋6＋1＝141.
【答案】 141
题型二 不同元素分组分配问题
(4)有序均匀分组问题，在第(3)题基础上再分配给 3 个人，共 有分配方式C62AC4323C22·A33＝C62C42C22＝90 种．
(5)有序部分均匀分组问题，共有C64AC2212C11＝15 种．
(6)有序部分均匀分组问题．在第(5)题基础上再分配给 3 个 人，共有分配方式C64AC2212C11·A33＝90 种．
例 2 按下列要求分配 6 本不同的书，各有多少种不同的分 配方式？
(1)分成三份，1 份 1 本，1 份 2 本，1 份 3 本； (2)甲、乙、丙三人中，一人得 1 本，一人得 2 本，一人得 3 本；
(3)平均分成三份，每份 2 本； (4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人 2 本； (5)分成三份，1 份 4 本，另外两份每份 1 本； (6)甲、乙、丙三人中，一人得 4 本，另外两人每人得 1 本； (7)甲得 1 本，乙得 1 本，丙得 4 本．
思考题 2 (1)将 6 位志愿者分成 4 组，其中两个组各 2 人，另两个组各 1 人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的 分配方案有________种(用数字作答)．
专题研究 排列组合的综合应用
专题讲解
题型一 几何问题
排列组合中的几何问题依然是利用两个基本原理求解，并注 意到分类的不重不漏．
例 1 (1)平面上有 9 个点，其中有 4 个点共线，除此外无 3 点共线．
①用这 9 个点可以确定多少条直线？ ②用这 9 个点可以确定多少个三角形？ ③用这 9 个点可以确定多少个四边形？
(2)有序不均匀分组问题．由于甲、乙、丙是不同的三人，在 第(1)题基础上，还应考虑再分配，共有 C61C52C33A33＝360 种．
(3)无序均匀分组问题．先分三步，则应是 C62C42C22 种方法， 但是这里出现了重复．不妨记 6 本书为 A，B，C，D，E，F，若 第一步取了 AB，第二步取了 CD，第三步取了 EF，记该种分法 为(AB，C)， (CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB， CD)，共 A33 种情况，而这 A33 种情况仅是 AB，CD，EF 的顺序 不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有C62AC4323C22＝15 种．