平行四边形全章知识点总结加四大专题总括

× 1、对角线相等的四边形是平行四边形。 × 2、有一组对角是直角的四边形一定是矩形。 √ 3、有一个角是直角的菱形叫做正方形。 √ 4、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
D
A
AF
B
C
4.正方形的判定、性质及其应用
例题1.如图，已知正方形纸片ABCD，M，N分别是
AD，BC的中点，把BC向上翻折，使点C恰好落在
MN上的P点处，BQ为折痕，则∠PBQ=__3__0_度。
A
M
D
P
Q
B
C
N
例题3.在直线l上依次摆放着七个正方形（如图），已
知斜放置的三个正方形的面积分别是1,2,3，正放置的
痕平分这个平行四边形的面积，这样的折
叠方法有几种？
A
E
D
这些折痕有什么共性？
O
B
FC
【巩固练习一】
如图，折叠长方形的一边AD，点D落在BC边的 点F处，已知AB=8cm，AD=10cm，求EC的长.
A
10
D
8
E
8-x x
B
6 F 4C
【巩固练习二】
将矩形ABCD折叠使A、C重合，折痕交BC于E,
矩形的四个角都是直 角
矩形的两条对角线相 等
直角三角形斜边上的 中线等于斜边的一 半
有三个角是直角的四边形 是矩形
对角线相等的平行四边形 是矩形
如果一个三角形一边上的 中线等于这边的一半, 那么这个三角形是直 角三角形
二、知识概要 (菱形)
性质
判定
①一组邻边相等的平行
边
菱形的四条边都相等.
四边形是菱形. ②四条边都相等的四边
【小热身】
1 . 如图，将一长方形纸片按如图方式折叠， BC、BD为折痕，则∠CBD的度数为（ C）.
A、60° B、75 ° C、90 ° D、95 °
【小热身】
2. 将矩形纸片ABCD折叠，让AB落在对角线AC上.
若矩形ABCD中, AD=4, AB=3
① 直接说出与下列线段长度相同的线段：
①求证：DF＝EF； ②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论； ⑵若点P在线段OC上（不与点O、C重合），PE⊥PB且PE交直线CD 于点E。请完成图丙并判断⑴中的结论①、②是否分别成立？若 不成立，写出相应的结论（所写结论均不必证明）
解：（1）①连接PD，
∵四边形ABCD是正方形，
A
D
∴AC平分∠BCD，CB=CD， ∵PC=PC
P
.
F
∴△BCP≌△DCP
O
E
∴∠PBC=∠PDC，PB=PD
∵PB⊥PE，∠BCD=90°，
B
C
∴∠PBC+∠PEC=360°-∠BPE-∠BCE=180°
∴ ∠PBC= 180°—∠PEC
而∠PED= 180°—∠PEC
∴ ∠PED=∠PBC=∠PDC，
D
A
C
O
B
若展开后的菱形纸片ABCD中，两条对角线
AC=
，BD= 4 。
（1）求菱形ABCD的面积；
（2）求菱形ABCD的周长；
（3） 求∠ADC的度数。
D
A
o
C
B
想一想 如果想得到一个正方形，该怎么剪？并解释你这 样做的道理。
D
A
O
C
B
例题2.如图，是利用四边形的不稳定性制作的菱形晾
衣架。已知其中每个菱形的边长为20cm，在墙上悬挂
G
小萍的思路：分别以AB、AC为折痕，画出 ABD 和 ACD折 叠后的图形，点D的对应点分别落在点F,点E处，延长FB、EC 相交于点G.证明四边形AFGE是正方形。
1.已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm， AD=9cm，
将此长方形折叠，使点B与点D重合， 折痕为EF，
（（12））B求EB与EB的F长相.等A吗？ E
交AD于F,交AC于O.
(1)求证：四边形AECF为菱形；
(2)若AB=4，BC=8，
①求菱形AECF的边长；
②求折痕EF的长. A
GF
D
4
x
O
B 8-x E
x
C
提出问题
问题1：解决折叠问题主要运用了哪些知识点?
问题2：在用勾股定理解决折叠中的运算问题 时，怎样寻求解题思路？
【拓展练习一】
1、如图，在直角坐标系中放入一边长OC为6的 矩形纸片ABCO，将纸翻折后，使点B恰好落在x轴 上，记为B′，折痕为CE，已知OC:OB′=3:4
∴PD=PE，
∵PF⊥CD，
∴DF=EF。
证明：作PG⊥AD于G
AG
D
P
.
F
O
E
B
C
∵ ∠D=∠ PFD=∠PGD=90° ∴四边形PGDF是矩形 ∴PG=DF
5.三角形的中位线定理 例题1.如图，在∆ABC中，BD,CE分别是边AC,AB上的中 线，BD与CE相交于点O,BO与OD的长度有什么关系？BC 边上的中线是否过点O?为什么？
对角线 垂直平分.每条对 角线平分一组对 角.
①对角线相等的菱形 是正方形.
②对角线互相垂直的 矩形是正方形.
题型分析 1.平行四边形的判定、性质及其应用
例题1.如图，在平行四边形ABCD中，AE，BF，CF，DE 分别为∠DAB,∠ABC,∠BCD，∠CDA的平分线，试猜想 EF与AB的位置关系，EF与AB和AD的数量关系，并说明 你的结论。
晾衣架的两个铁钉A,B之间的距离为
cm,
则∠1=
.
A FB
C
1
E
例题3.如图∆ABC的三边为BC的同侧作的等边∆ABD, ∆BCE , ∆ACF,请回答下列问题: （1）四边形ADEF是什 （2）当∆ABC满足什么条件时，四边形ADEF为矩形？ 菱形？ （3）当∆ABC满足什么条件时，以A,D,E,F为顶点的四边 形不存在?
AF= AB , EF= EB A
D
②AC的长度为多少？ ③你会求BE的长度吗？
F
X
2
B X E 4-X C
【合作探究一】
问题：将平行四边形纸片沿∠BAD的角平
分线AE折叠，你能找到点B的对应点B′吗？
四边形ABEB′是什么四边形？
A
B' D
B
EC
【合作探究一】
变式1：平行四边形ABCD，AC⊥AB，若 将平行四边形沿AC进行折叠，点B的对 应点为B′,四边形ACDB′是什么四边形？ B'
E
AC=BD且AC ⊥ BD
D G
B
F
C
那么，特殊平行四边形的“中点四边形” 会是怎样的图形呢？
1.矩形的“中点四边形”是 菱 形； 2.菱形的“中点四边形”是 矩 形；
3.正方形的“中点四边形”是 正方 形。
3.四大专题
专题一 平行四边形的折叠问题
【导入新课】
解决平行四边形的折叠问题，既 要用到轴对称的性质，有时还需要借 助勾股定理进行相关运算。接下来， 我们通过几个例题来探究平行四边形 中的折叠问题。
2）①显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四
点不可能构成平行四边形；同理P点在AB上时，Q点在DE或CE
上，也不能构成平行四边形．因此只有当P点在BF上、Q点在ED
上时，才能构成平行四边形，
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，
∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，
解：（1）证明：①∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE， ∵EF垂直平分AC，垂足为O， ∴OA=OC， ∴△AOE≌△COF， ∴OE=OF， ∴四边形AFCE为平行四边形， 又∵EF⊥AC， ∴四边形AFCE为菱形， ②设菱形的边长AF=CF=xcm，则BF=（8﹣x）cm， 在Rt△ABF中，AB=4cm， 由勾股定理得42+（8﹣x）2=x2， 解得x=5， ∴AF=5cm．
D
C
E
F
A
B
2.矩形的判定、性质及其应用
例题1. 如图，有一块矩形纸片ABCD，AB=10，AD=6，
将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将
△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则
△CEF的面积为（ C ）
(A) 4
(B)6 (C)8
(D)10
例题2.已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF 分别交AD、BC于点E、F，垂足为O． （1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求A的长； （2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和 △CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自 C→D→E→C停止．在运动过程中， ①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为 t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时， 求t的值． ②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已 知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足 的数量关系式．
形是菱形.
角
①对角相等. ②邻角互补.
菱形的两条对角线互 相垂直；
对角线 并且每条对角线平分
一组对角.
对角线互相垂直的平行 四边形是菱形.
二、知识概要 (正方形)
性质
判定
边
正方形的四条边都相 有一组邻边相等的矩
等.
形是正方形.
角
正方形的四个角都是 有一个角是直角的菱
直角.
形是正方形.
正方形的两条对角 线相等.并且互相