信息光学总结

第1章

二维傅里叶分析

第一讲 光学中常用的几种非初等函数 δ函数

Ⅰ重要的基本概念和公式 δ函数性质 (1)筛选特性 0000(,)δ(,)d d (,)f x y x x y y x y f x y +∞-∞

--=⎰⎰

(2)可分离变量 0000δ(,)δ()δ()x x y y x x y y --=--

(3)乘法性质 000000(,)δ(,)(,)δ(,)f x y x x y y f x y x x y y --=-- (4)坐标缩放 1

δ(.)δ(,)ax by x y ab

=

(5)积分形式 1

1

δ()cos , δ()d 22i x

x xd x e

ωωωωππ∞∞

±-∞

-∞

=

=⎰⎰

Ⅱ 例题讲解：

证明：()x df e x x

f j x δπ=⎰

∞

∞

-±2 ()()[]()()()

x x f x f f df x f df

x f i x f df e x x x f x

x x

x

x

x x

f j x x δππππππ===±=∞

→∞

∞

∞

-∞

∞-±⎰⎰⎰

22sin 22cos 22sin 2cos lim 20

2

此证明利用了关系式()()Nx c N x f N sin =； ()()y x f x N N ,lim ∞

→=δ

Ⅲ 练习题： 一、计算题

1. 已知连续函数f (x )， a >0和b >0 。求出下列函数： (1) ()()()0x ax x f x h -=δ

(2) ()()()[]x x comb x f x g 0-=

（提出：本题主要复习δ函数的缩放性质和筛选性质；梳妆函数的抽样特征和平移复制功能）

第二讲 卷积和相关

Ⅰ重要的基本概念和公式

1. 卷积定义：设f (x )和h (x )是两个复函数，其卷积定义为：

⎰∞

∞

--=

*=ξξξd x h f x h x f x g )()()()()(

卷积运算的意义：一个函数绕函数轴反转并沿自变量轴做某一平移后与另一

函数的重叠面积。

2. 相关的定义及其运算性质

两个复函数f (x ,y )和h (x ,y )的互相关定义为：

()()()()()()fh e x f h x d f x h d f x ξξξξξξ∞

∞

*

*-∞

-∞

=+=-=⎰

⎰

★()h x

相关运算的四个步骤：第一函数取共轭®两函数变量变换®第二函数平移®相乘积分。

3. 互相关与卷积的比较：

1）互相关时有一函数要取复共轭，而卷积没有； 2）互相关图形不需要反转；

3）两者在位移、相乘和积分这三个过程是一样的。

4. 互相关的意义：衡量两个函数间存在的关联程度，两信号关联程度高互相关值就大。 Ⅱ 例题讲解：

证明：⎪⎭

⎫

⎝⎛=*a x atri a x rect a x rect )()(

证明：相关与卷积的关系 ()()()()()fh e x f x h x f x h x *

==-*★

[]()()()()()()()()()

fh e x f x h x f x h d h f

x d f

x h x ξξξ

ξξξ∞

*-∞

∞

*

*

-∞==-=--=-*⎰⎰证明：★

Ⅲ 练习题： 一、证明题

1. 若

)()()(x g x h x f =*，试证明)()()(00x x g x h x x f -=*-；即参

与卷积的一个函数发生平移，卷积的结果也仅仅发生平移。 证明：根据卷积的定义，已知 ⎰∞

∞

--=*t

t x h t f x h x f d )()()()(

)

('d )'()'('

d )'()'(d )()()()(000'000

x x g t t x x h t f t x t x h t f t t x h x t f x h x x f x t t -=--=--=

--=*-⎰⎰

⎰∞

∞

-∞

∞

--=∞

∞

-

2. 证明)()()(00x x f x f x x -=*-δ

根据卷积的定义写出积分表达式，然后再根据δ函数的筛选性质。

)(d )()()()(000x x f t t x f x t x f x x -=--=*-⎰∞

∞

-δδ

二、思考题

1. 利用梳函数与矩形函数的卷积表示线光栅的透过率。假定缝宽为a ，光栅常数为d ，缝数为N 。

()⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛*⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=d x comb d a x rect Nd x rect x g 1

第三讲 第四讲 傅里叶变换的基本性质和基本定理

Ⅰ重要的基本概念和公式

复函数f(x,y)的傅里叶变换定义为:

2()2()1(,){(,)}(,)d d (,){(,)}(,)d d x y x y i f x f y x y i f x f y x y x y x y

F f f FT f x y f x y e x y

f x y FT F f f F f f e f f ππ∞-+-∞

∞

+--∞

⎧==⎰⎰⎪⎪⎨⎪==⎰⎰⎪⎩ 其中(,)x y F f f 称为像函数(或频谱)，f(x,y)称为原函数.两者构成傅里叶变换对； 傅里叶变换基本定理(重点)

1.线性定理 {(,)(,)}(,)(,)x y x y FT af x y bg x y aF f f bG f f +=+

2.缩放和反演定理 1

{(,)}(,){(,)}()y x x y f f FT f ax by F FT f x y F f f ab a b

=

→--=-- 3.位移定理 {}2()

(,)(,)x y i f a f b x y FT f x a y b F f f e

π±+±±=

{}12()

(,)(,)i x y x y FT F f f f x y e

πξηξη-+±±=

4. Parseval 定理

2

2

d d (,)

(,)

x y x y df df x y f x y F f f ∞

∞

-∞

-∞

=⎰⎰⎰

⎰ (能量守恒定理)