第5课时函数的单调性PPT课件
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人教版高中数学选择性必修第二册5.3.1函数的单调性【课件】
′ = − <
所以，函数 = − 在 ∈ (, ) 上单调递减，如图（2）所示.
合作探究
例1 利用导数判断下列函数的单调性：
（3） =
解：
−
（3）因为
= − ， ∈ (−∞, ) ∪ +∞
所以
′
= >
新知讲解
观察图象可以发现：
（1）从起跳到最高点，运动员的重心处于上升状态，离水面的高度h随时
间t的增加而增加，即h(t) 单调递增. 相应地， = ′ >
（2）从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度h随时
间t的增加而减少，即h(t) 单调递减. 相应地， = ′ < .
3
所以， f(x)在（−∞，-1）和（2，+∞）上都单调
递增，在（-1，2）上单调递减，如图5.3-6所示.
合作探究
规律方法：一般情况下，通过如下步骤判断函数 y=f(x)的单调性：
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导数 ′ 的零点；
第3步，用 ′ 的零点将 f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出 ′
1
所以，函数 = 1 − 在区间 −∞, 0 和(0, +∞)上单调递增，如图（3）所示.
合作探究
例2 已知导函数′ 的下列信息：
当1<x<4时，′ > ；
当x<1, 或x>4时，′ <
当x=1,或 x=4时，′ = .
试画出函数f(x)图象的大致形状.
′ = + = + >
5.函数的单调性公开课PPT全文课件-【新】人教A版高中数学选择性必修第二册PPT全文课件
追问2：如果函数f(பைடு நூலகம்)的图象在区间I是从左到右上升的，且x0∈I，那么我们说 函数f(x)在 x=x0 处是单调递增的，这种说法正确吗？
函数的单调性不是函数在某个点处的性质，而是在一定范围的性质。
问题2:判断函数单调性的方法有哪些?
1.定义法： 2.图像法： 3.性质法: 增+增→增，减+减→减， 增→减，复合函数单调性同增异减
5 . 函数的单调性公开课P P T 全文课件- 【新】人教A 版高中数学选择性必修第二册P P T 全文课件【完美课件】
5 . 函数的单调性公开课P P T 全文课件- 【新】人教A 版高中数学选择性必修第二册P P T 全文课件【完美课件】
例2 已知导函数 f ' x 的下列信息，试画出函数 f x 的图象的大致形状.
注意： (1)一般可令 f’(x)>0，这样解出的解集就是单调增区间（方便记忆），若不存在常 值函数部分，那么求减区间只需要取增区间在定义域上的补集即可(简化求解的步 骤）。 (2)若 f’(x)>0 的解集为定义域，那么说明是定义域上的增函数，若 f’(x)>0 的解集 为空集，那么 f(x)是定义域上的减函数。
f
(x)
x
1
,
x
(-
,0)
(
0,
)
x
所以
f
(x)
1 x2
0
因此, 函数 f (x) x 1 在区间 (- ,0)和 ( 0, ) 上单调递增.
x
5 . 函数的单调性公开课P P T 全文课件- 【新】人教A 版高中数学选择性必修第二册P P T 全文课件【完美课件】
判断函数单调性的一般步骤：
(1)求函数的定义域； (2)求f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0(或f'(x)<0)；即为f(x) 的单调增（或减）区间;
函数的单调性不是函数在某个点处的性质，而是在一定范围的性质。
问题2:判断函数单调性的方法有哪些?
1.定义法： 2.图像法： 3.性质法: 增+增→增，减+减→减， 增→减，复合函数单调性同增异减
5 . 函数的单调性公开课P P T 全文课件- 【新】人教A 版高中数学选择性必修第二册P P T 全文课件【完美课件】
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例2 已知导函数 f ' x 的下列信息，试画出函数 f x 的图象的大致形状.
注意： (1)一般可令 f’(x)>0，这样解出的解集就是单调增区间（方便记忆），若不存在常 值函数部分，那么求减区间只需要取增区间在定义域上的补集即可(简化求解的步 骤）。 (2)若 f’(x)>0 的解集为定义域，那么说明是定义域上的增函数，若 f’(x)>0 的解集 为空集，那么 f(x)是定义域上的减函数。
f
(x)
x
1
,
x
(-
,0)
(
0,
)
x
所以
f
(x)
1 x2
0
因此, 函数 f (x) x 1 在区间 (- ,0)和 ( 0, ) 上单调递增.
x
5 . 函数的单调性公开课P P T 全文课件- 【新】人教A 版高中数学选择性必修第二册P P T 全文课件【完美课件】
判断函数单调性的一般步骤：
(1)求函数的定义域； (2)求f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0(或f'(x)<0)；即为f(x) 的单调增（或减）区间;
函数单调性教案-ppt课件
定义：
y y f(x)
f (x1) f(x2)
O
x1
x2
x
探求新知
y y f(x)
注意：
f(x1) f(x2)
O x1 x2
x
在给定的区间上任
取x1，x2； x1 x2
f(x 1) f(x 2 )
函数f (x)在给定区 间上为增函数。这
个给定的区间就为
单调增区间。
在给定的区间上任
x x 取x1，x2； 1
1 证明函数f（x）=-x2在0, 上是减函数.
2、预习下节课我们要学习的内容——最大(小)值.
函数单调性
复习思考
1 函数的概念？
设A，B为非空数集，如果按某一确定的对应关系f，使对于 集合A中任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对 应，那么就称对应f：A→B为从集合A到B的映射；即f：A→B的 一个函数.记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B.
函数的三要素：定义域、值域、对应关系
2
f(x1) f(x 2 )
函数f (x)在给定区
间上为减函数。这
个给定的区间就为
单调减区间。
巩固反思
例1 如右图是定义 在闭区间 [-5，5]上的 函数y=f(x) ，根据图 象说出函数的单调区 间，以及在每一单调 区间上，它是增函数 还是减函数.
解：函数y=f(x) 的单调区间有[-5,-2) , [-2,1) , [1,3) , [3,5).
在定义域区间内，
① 图像从左到右一直上升——x的值增大,函数值y也增大； ② 图像从左到右一直下降——x的值增大,函数值y反而减小. 问题2：那么对于二次函数的变化规律又是怎样描述的呢？
y
第五课函数单调性.ppt
u=g(x)
减函数 增函数 减函数 增函数
y=f[g(x)]
减函数 增函数 增函数 减函数
可按多因式相乘的符号确定法则来记忆， （同增异减）增函数不改变复合函数的单 调性
四、判断函数单调性的方法： 1、定义法； 2、导数法:y’≥0增（不恒为0）； y’≤0（不恒为0）为减 3、图象法; 4、利用复合函数单调性. 5.利用基本函数的单调性 6.利用函数的奇偶性和单调性的关系 注意：证明单调性只能用定义或导数法
七、巩固练习 1.函1、数f(x)=4x2-mx+5在(2,+∞)上是增函数， 则m的取值范围是 m，≤1f6(1)的取值范 围是 .f(1)≥-7
2.奇函数f(x)在[3，7] 上是增函数，且 最小值是5，则f(x)在[-7，-3]的最 大 . 值为 －5 .
3.函数y=x+ 1 2x 的单调性为 增 .
(-1,1)上是增函数还是减函数，并证明 你的结论 增
27. 已知函数 f (x) x 4 a x 在
(-∞,1]上为单调增函数，求a的取值范围 a≥5
28.是否存在实数a，使函数 f(x)=loga(ax2-x)在区间[2,4]上是增函数？ 如果存在，说明a可以取哪些值；如果不 存在，说明理由. a>1
a 2x 1.已知函数 f ( x) 1 x2 是定义在R上
的奇函数，a为常数.（1）求a的值；（2）判 断函数f(x)在区间（－1，1）上的单调性.
2、如果函数f(x) = x2+2(a-1)x+2在区间 （-∞，4）上是减函数，那么实数的取 值范围是
小结：
1、理解掌握函数单调性的定义； 2、理解掌握判断函数单调性的方法：
11.函数f(x)在递增区间是(-4,7)，则
2024版《函数的单调性》全市一等奖完整版PPT课件
利用单调性证明不等式
1 2
构造函数 根据不等式的特点，构造一个与不等式相关的函 数。
判断函数单调性 通过求导或差分等方法判断所构造函数的单调性。
3
利用单调性证明不等式 根据函数的单调性，结合不等式的性质，证明不 等式成立。
2024/1/29
18
利用单调性解决实际应用问题
要点一
建立数学模型
要点二
判断函数单调性
2024/1/29
21
导数与微分在函数单调性研究中的应用
导数大于零的区间内函数单调 增加，导数小于零的区间内函 数单调减少。
2024/1/29
导数等于零的点为函数的驻点， 需要进一步判断其左右两侧导 数的符号来确定该点的单调性。
微分的概念可以应用于函数单 调性的研究，通过微分可以分 析函数的局部变化率，进而判 断函数的单调性。
14
指数函数与对数函数
对数函数 $y = log_a x$（$a > 0, a neq 1$）的单调 性
当 $0 < a < 1$ 时，函数在 $(0, +infty)$ 上单调递减。
当 $a > 1$ 时，函数在 $(0, +infty)$ 上单调递增。
指数函数与对数函数的图像关于直线 $y = x$ 对称，即 互为反函数。
2024/1/29
19
05
函数单调性与其他知识点关联
2024/1/29
20
函数奇偶性与周期性对单调性影响
奇函数在对称区间上的单调性相 同，偶函数在对称区间上的单调
性相反。
周期函数在一个周期内的单调性 与整体单调性一致，可以通过研 究一个周期内的单调性推断整体
的单调性。
函数的单调性 PPT课件 5 人教课标版
1.3 函数的基本性质 函数的单调性
观察下列各个函数的图象，并说说它们 分别反映了相应函数的哪些变化规律：
1、观察这三个图象，你能说出图象的特征吗？ 2、随x的增大，y的值有什么变化？
画出下列函数的图象，观察其变化规律：
f(x) = x
1、从左至右图象上升还是下降 _上_升__? 2、在区间 (_-_∞__,+__∞_)_上，随着x的增大，f(x)的值随 着 _增__大___ ．
o x 是增函数
y
在
-
，-
b 2a
增函数
o
x
在
b 2a
,
减函数
y
在 b ,
2a
增函数
o
x 在 - ，- b
2a
减函数
例1、下图是定义在区间[-5，5]上的函数y=f(x)， 根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间 上，它是增函数还是减函数？
•
7、当你把高尔夫球打不进时，球洞只是陷阱；打进时，它就是成功。
•
8、真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。
•
9、永远不要逃避问题，因为时间不会给弱者任何回报。
•
10、评价一个人对你的好坏，有钱的看他愿不愿对你花时间，没钱的愿不愿意为你花钱。
•
11、明天是世上增值最快的一块土地，因它充满了希望。
•
46、在浩瀚的宇宙里，每天都只是一瞬，活在今天，忘掉昨天。
•
47、小事成就大事，细节成就完美。
•
48、凡真心尝试助人者，没有不帮到自己的。
•
49、人往往会这样，顺风顺水，人的智力就会下降一些；如果突遇挫折，智力就会应激增长。
观察下列各个函数的图象，并说说它们 分别反映了相应函数的哪些变化规律：
1、观察这三个图象，你能说出图象的特征吗？ 2、随x的增大，y的值有什么变化？
画出下列函数的图象，观察其变化规律：
f(x) = x
1、从左至右图象上升还是下降 _上_升__? 2、在区间 (_-_∞__,+__∞_)_上，随着x的增大，f(x)的值随 着 _增__大___ ．
o x 是增函数
y
在
-
，-
b 2a
增函数
o
x
在
b 2a
,
减函数
y
在 b ,
2a
增函数
o
x 在 - ，- b
2a
减函数
例1、下图是定义在区间[-5，5]上的函数y=f(x)， 根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间 上，它是增函数还是减函数？
•
7、当你把高尔夫球打不进时，球洞只是陷阱；打进时，它就是成功。
•
8、真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。
•
9、永远不要逃避问题，因为时间不会给弱者任何回报。
•
10、评价一个人对你的好坏，有钱的看他愿不愿对你花时间，没钱的愿不愿意为你花钱。
•
11、明天是世上增值最快的一块土地，因它充满了希望。
•
46、在浩瀚的宇宙里，每天都只是一瞬，活在今天，忘掉昨天。
•
47、小事成就大事，细节成就完美。
•
48、凡真心尝试助人者，没有不帮到自己的。
•
49、人往往会这样，顺风顺水，人的智力就会下降一些；如果突遇挫折，智力就会应激增长。
《函数的单调性》示范公开课教学PPT课件【高中数学人教版】
（2）它在定义域I上的单调性是怎样的？证明你的结论．
答案：图象略．
（1）（－∞，0）∪（0，＋∞）．
（2）当k＞0时，y＝ k 在区间（－∞，0）和（0，＋∞）上单调递减； x
当k＜0时，y＝ k 在区间（－∞，0）和（0，＋∞）上单调递增． x
目标检测
44．画出反比例函数y＝
k x
的图象．
（1）这个函数的定义域I是什么？
新知探究
追问5 函数f（x）＝|x|，f（x）＝－x2各有怎样的单调性？
f（x）＝|x|在区间（－∞，0]上单调递减， 在区间[0，＋∞）上单调递增； f（x）＝－x2在区间（－∞，0]上单调递增， 在区间[0，＋∞）上是单调递减．
新知探究
问题4 如何用符号语言准确刻画函数值随自变量的增大而增大 （减小）呢？
证明：由x1，x2∈（1，＋∞），得x1＞1，x2＞1，
所以x1x2＞1，x1x2－1＞0．
由x1＜x2，得x1－x2＜0，
于是（x1－x2）（
x1x2 1 x1 x2
）＜0，即y1＜y2．
所以，函数y＝x＋ 1 在区间（1，＋∞）上的单调递增． x
新知探究
追问 你能用单调性定义探究y＝x＋ 1 在整个定义域内的单调性吗？ x
图1
图2
图3
图1的特点是：从左至右始终保持上升；
图2与图3的特点是：从左至右有升也有降．
新知探究
★资源名称： 【数学探究】函数值的变化情况 ★使用说明：本资源通过操作展示动画，使学生观察函数值随着自变量值的变化而变化的情 况．通过交互式动画的方式，运用了本资源，可以吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教 学效率． 注：此图片为动画缩略图，如需使用资源，请于资源库调用
函数的单调性ppt课件
应用实例
THANKS
感谢观看
定义法
通过求函数的导数来判断函数的单调性。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
导数法
03
单调性在解决函数的零点问题中也有着重要的应用。通过判断函数的单调性，可以确定函数的零点所在的区间，进而求出函数的零点。
01
单调性在解决不等式问题中有着广泛的应用。通过判断函数的单调性，可以确定不等式的解集或解的范围。
成本效益分析
利用单调性，可以分析企业生产成本与收益之间的关系，制定合理的经营策略。
风险评估
在金融学中，单调性可用于评估投资风险，例如股票价格的变化趋势。
03
02
01
单调性与其他数学概念的关系
04
CATALOGUE
单调性与导数之间存在密切的联系，导数的符号决定了函数的增减性。
单调性是指函数在某个区间内的变化趋势，而导数则是函数在某一点的切线斜率。如果函数在某个区间内单调递增，则其导数在该区间内大于等于零；如果函数在某个区间内单调递减，则其导数在该区间内小于等于零。因此，通过求函数的导数，可以判断函数的单调性。
安静
一度1
01
2
02
on on
03
asiest s掏燕 credit, members on,
切实实地 金字,
on thebbbb斯特 to , therefore, ,2 core on鉴于后者 on, core yes on
,
, on the, core, credit. on buried.,,xe.
函数的单调性可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
THANKS
感谢观看
定义法
通过求函数的导数来判断函数的单调性。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
导数法
03
单调性在解决函数的零点问题中也有着重要的应用。通过判断函数的单调性，可以确定函数的零点所在的区间，进而求出函数的零点。
01
单调性在解决不等式问题中有着广泛的应用。通过判断函数的单调性，可以确定不等式的解集或解的范围。
成本效益分析
利用单调性，可以分析企业生产成本与收益之间的关系，制定合理的经营策略。
风险评估
在金融学中，单调性可用于评估投资风险，例如股票价格的变化趋势。
03
02
01
单调性与其他数学概念的关系
04
CATALOGUE
单调性与导数之间存在密切的联系，导数的符号决定了函数的增减性。
单调性是指函数在某个区间内的变化趋势，而导数则是函数在某一点的切线斜率。如果函数在某个区间内单调递增，则其导数在该区间内大于等于零；如果函数在某个区间内单调递减，则其导数在该区间内小于等于零。因此，通过求函数的导数，可以判断函数的单调性。
安静
一度1
01
2
02
on on
03
asiest s掏燕 credit, members on,
切实实地 金字,
on thebbbb斯特 to , therefore, ,2 core on鉴于后者 on, core yes on
,
, on the, core, credit. on buried.,,xe.
函数的单调性可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
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在区间[0,+∞)的图象与f(x)的图象重合，设a＜b＜0，给出
下列不等式：
①f(b)-f(-a)＞g(a)-g(-b); ②f(b)-f(-a)＜g(a)-g(-b);
③f(a)-f(-b)＞g(b)-g(-a); ④f(a)-f(-b)＜g(b)-g(-a)
其中成立的是( D ) (A)①与④ (B)②与③ (C)①与③ (D)②与④
2021
2
2.单调区间
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么就说 函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，这一区间叫 做y=f(x)的单调区间.在单调区间上增函数的图象是上升的， 减函数的图象是下降的.
3.用定义证明函数单调性的步骤
证明函数f(x)在区间M上具有单调性的步骤：
(1)取值：对任意x1,x2∈M，且x1＜x2；
(2)作差：f(x1)-f(x2)； (3)判定差的正负；
(4)根据判定的结果作出相应的2021结论.
3
4.复合函数的单调性
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u) 的单调性密切相关，其规律如下：
函数
单调性
u=g(x)
增
响，一开始在(0，+∞)内任取x1＜x2，展开证明.这样就不能
保证-x1，-x2在(-∞，0)上的任意性而导致错误.
2021
8
3.设 fx 1 lg1x
x2 1x
①试判断函数f(x)的单调性并给出证明；
②若f(x)的反函数为f-1(x)，证明方程f-1(x)=0有惟一解；
③解关于x的不等式f [x(x-1/2)]＜1/2
【解题回顾】原函数及其反函数的单调性是一致的.函数 的单调性有着多方面的应用，如求函数的值域、最值、解 不等式等，但在利用单调性时，不可忽略函数的定义 域.
2021
9
4.是否存在实数a，使函数f(x)=loga(ax2-x)在区间[2，4]上是 增函数?
【解题回顾】本题主要是考查复合函数的单调性，当内外 函数的增减性一致时，为增函数；当内外函数的增减性相 异时，为减函数.另外，复合函数的单调区间一定是定义域 的子区间，在解题时，要注意这一点.
增
y=f(u)
增
减
y=f[g(x)]
增
减减Biblioteka 减增减减
增
注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间
2021
返回4
课前热身
1.下列函数中，在区间(-∞，0)上是增函数的是( B ) (A)f(x)=x2-4x+8 (B)g(x)=ax+3(a≥0)
(C)h(x)=-2/(x+1) (D)s(x)=log(1/2)(-x) 2.定义在区间(-∞，+∞)的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)
【解题回顾】含参数函数单调性的判定，往往对参数要分 类讨论.本题的结论十分重要，在一些问题的求解中十分 有用，应予重视.
2021
7
2.已知y=f(x)是奇函数，它在(0，+∞)上是增函数，且f(x)＜0，
试问F(x)=1/f(x)在(-∞，0)上是增函数还是减函数?
【解题回顾】本题最容易发生的错误，是受已知条件的影
个区间上是增函数.如果对于属于定义域I内某个区间上的任
意两个自变量的值x1 , x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那
么就说f(x)在这个区间上是减函数.函数是增函数还是减函 数.是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是 增函数，而在另一些区间上可能是减函数，例如函数y=x2， 当x∈[0，+∞]时是增函数，当x∈(-∞，0)时是减函数.
1 x
5.函数f(x)=-log(1/2)(-x2+3x-2)的减区间是( ) A.(-∞，1) B.(2，+∞) C.（1，32） D.[32，2]
答案： (3) B (4) (-∞，-1)，(-1，+∞) (-1，1]
(5) C
2021
返回6
能力·思维·方法
1.讨论函数f(x)=x+a/x(a＞0)的单调性
2021
5
3.如果函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4]上是减函数， 那么实数a的取值范围是( ) (A)(-∞，-3) (B)(-∞，-3) (C)(-3，+∞) (D)(-∞，3)
4.函数 f x 1 x的减区间是_____________________；函
1 x
数 f x 1 x 的减区间是_____________
2021
返回10
延伸·拓展
5.定义在(-1，1)上的函数f(x)满足以下两个条件：
①②对当任x∈意(-x1,，y∈0)(时-1，，1有)，f(都x)有＞0f.xfyf1xxyy
(1)判定f(x)在(-1，1)上的奇偶性，并说明理由. (2)判定f(x)在(-1，0)上的单调性，并给出证明.
(3)求证： f n 2 1 3 n 1 f n 1 1 f n 12 n N
指数函数、对数函数相对应. 本题第四问在前三个问题的基
础上给出则水到渠成.
2021
返回11
误解分析
(1)对抽象函数单调性及奇偶性的判定仍以定义为中心.结合 抽象函数关系式对变量进行适当的赋值不以定义为主线则 一切变形会失去目标.
(2)后一问题的解决、注意联系前一问题、看能否找到办法.
2021
返回12
第5课时 函数的单调性
要点·疑点·考点 课 前 热 身 能力·思维·方法 延伸·拓展 误 解 分 析
2021
1
要点·疑点·考点
1.函数的单调性 一般地，设函数f(x)的定义域为 I ： 如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的
值x1 , x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这
(4)求证：f 5 1 f 1 1 1 f n 2 1 3 n 1 f 2 1 【解题回顾】抽象函数是高考考查函数的目标之一、几种常
见的抽象函数在做小题时，可与具体函数相对应如．f(x+g)=
f(x)+f(y)．f(x)f(y)=f(x+g)．f(x·y)=f(x)+f(y)等分别与一次函数、
下列不等式：
①f(b)-f(-a)＞g(a)-g(-b); ②f(b)-f(-a)＜g(a)-g(-b);
③f(a)-f(-b)＞g(b)-g(-a); ④f(a)-f(-b)＜g(b)-g(-a)
其中成立的是( D ) (A)①与④ (B)②与③ (C)①与③ (D)②与④
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2.单调区间
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么就说 函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，这一区间叫 做y=f(x)的单调区间.在单调区间上增函数的图象是上升的， 减函数的图象是下降的.
3.用定义证明函数单调性的步骤
证明函数f(x)在区间M上具有单调性的步骤：
(1)取值：对任意x1,x2∈M，且x1＜x2；
(2)作差：f(x1)-f(x2)； (3)判定差的正负；
(4)根据判定的结果作出相应的2021结论.
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4.复合函数的单调性
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u) 的单调性密切相关，其规律如下：
函数
单调性
u=g(x)
增
响，一开始在(0，+∞)内任取x1＜x2，展开证明.这样就不能
保证-x1，-x2在(-∞，0)上的任意性而导致错误.
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3.设 fx 1 lg1x
x2 1x
①试判断函数f(x)的单调性并给出证明；
②若f(x)的反函数为f-1(x)，证明方程f-1(x)=0有惟一解；
③解关于x的不等式f [x(x-1/2)]＜1/2
【解题回顾】原函数及其反函数的单调性是一致的.函数 的单调性有着多方面的应用，如求函数的值域、最值、解 不等式等，但在利用单调性时，不可忽略函数的定义 域.
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4.是否存在实数a，使函数f(x)=loga(ax2-x)在区间[2，4]上是 增函数?
【解题回顾】本题主要是考查复合函数的单调性，当内外 函数的增减性一致时，为增函数；当内外函数的增减性相 异时，为减函数.另外，复合函数的单调区间一定是定义域 的子区间，在解题时，要注意这一点.
增
y=f(u)
增
减
y=f[g(x)]
增
减减Biblioteka 减增减减
增
注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间
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课前热身
1.下列函数中，在区间(-∞，0)上是增函数的是( B ) (A)f(x)=x2-4x+8 (B)g(x)=ax+3(a≥0)
(C)h(x)=-2/(x+1) (D)s(x)=log(1/2)(-x) 2.定义在区间(-∞，+∞)的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)
【解题回顾】含参数函数单调性的判定，往往对参数要分 类讨论.本题的结论十分重要，在一些问题的求解中十分 有用，应予重视.
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2.已知y=f(x)是奇函数，它在(0，+∞)上是增函数，且f(x)＜0，
试问F(x)=1/f(x)在(-∞，0)上是增函数还是减函数?
【解题回顾】本题最容易发生的错误，是受已知条件的影
个区间上是增函数.如果对于属于定义域I内某个区间上的任
意两个自变量的值x1 , x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那
么就说f(x)在这个区间上是减函数.函数是增函数还是减函 数.是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是 增函数，而在另一些区间上可能是减函数，例如函数y=x2， 当x∈[0，+∞]时是增函数，当x∈(-∞，0)时是减函数.
1 x
5.函数f(x)=-log(1/2)(-x2+3x-2)的减区间是( ) A.(-∞，1) B.(2，+∞) C.（1，32） D.[32，2]
答案： (3) B (4) (-∞，-1)，(-1，+∞) (-1，1]
(5) C
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能力·思维·方法
1.讨论函数f(x)=x+a/x(a＞0)的单调性
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3.如果函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4]上是减函数， 那么实数a的取值范围是( ) (A)(-∞，-3) (B)(-∞，-3) (C)(-3，+∞) (D)(-∞，3)
4.函数 f x 1 x的减区间是_____________________；函
1 x
数 f x 1 x 的减区间是_____________
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延伸·拓展
5.定义在(-1，1)上的函数f(x)满足以下两个条件：
①②对当任x∈意(-x1,，y∈0)(时-1，，1有)，f(都x)有＞0f.xfyf1xxyy
(1)判定f(x)在(-1，1)上的奇偶性，并说明理由. (2)判定f(x)在(-1，0)上的单调性，并给出证明.
(3)求证： f n 2 1 3 n 1 f n 1 1 f n 12 n N
指数函数、对数函数相对应. 本题第四问在前三个问题的基
础上给出则水到渠成.
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误解分析
(1)对抽象函数单调性及奇偶性的判定仍以定义为中心.结合 抽象函数关系式对变量进行适当的赋值不以定义为主线则 一切变形会失去目标.
(2)后一问题的解决、注意联系前一问题、看能否找到办法.
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第5课时 函数的单调性
要点·疑点·考点 课 前 热 身 能力·思维·方法 延伸·拓展 误 解 分 析
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要点·疑点·考点
1.函数的单调性 一般地，设函数f(x)的定义域为 I ： 如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的
值x1 , x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这
(4)求证：f 5 1 f 1 1 1 f n 2 1 3 n 1 f 2 1 【解题回顾】抽象函数是高考考查函数的目标之一、几种常
见的抽象函数在做小题时，可与具体函数相对应如．f(x+g)=
f(x)+f(y)．f(x)f(y)=f(x+g)．f(x·y)=f(x)+f(y)等分别与一次函数、