函数单调性说课PPT
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函数单调性课件ppt
的对称轴为
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单调增区间
单调减区间
a>0
a<0
证明：在区间 上任取两个值 且
则
，且
所以函数 在区间上 是增函数.
取值
作差
变形
定号
结论
返回
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是定义在R上的单调函数，且 的图 象过点A（0，2）和B（3，0） （1）解方程 （2）解不等式 （3）求适合 的 的取值范围
变式2：讨论 的单调性
成果交流
变式1：讨论 的单调性
x
y
y=-x2+2
1
-1
1
2
2
-1
-2
-2
_______;
_______.
例2.画出下列函数图像，并写出单调区间：
如果证得对任意的 ，
且 有 ，能断定
函数在区间上是增函数吗?
例3.判断函数 在定义域 上的单调性.
判断2：定义在R上的函数 f (x)满足 f (2)> f(1)，则函数 f (x)在R上是增函数；
（3） x 1, x 2 取值的任意性
y
x
O
1
2
f(1)
f(2)
下表是函数 中y随x的变化情况 分析函数值的变化可得到函数的单调性。
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
…
16
9
那么就说 f (x)在区间I上
是单调增函数，
区间I内随着x的增大，y也增大
图象在区间I逐渐上升
I
那么就说在f(x)这个区间上是单调 减函数，I称为f(x)的单调 减 区间.
函数的单调性ppt课件
利用函数的单调性求最值 [思路分析] (1)结合函数f(x)的图像分析f(x)的单调性，从而确定其最大值； 利用函数增加、减少的定义判断f(x)在[2,6]上的单调性，再求最值．
[规律总结] 1.熟记运用函数单调性求最值的步骤： 判断：先判断函数的单调性． 求值：利用单调性代入自变量的值求得最值． 明确利用单调性求最大值、最小值易出错的几点： 写出最值时要写最高(低)点的纵坐标，而不是横坐标． 求最值忘记求定义域． 求最值，尤其是闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入．
添加标题
下列命题正确的是( )
[答案] D
PART 1
利用定义证明或判断函数的单调性
结论：根据差的符号，得出单调性的结论．
定号：判断上式的符号，若不能确定，则分区间讨论；
作差变形：计算f(x1)－f(x2)，通过因式分解、通分、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方、分母(分子)有理化等方法变形；
取值：在给定区间上任取两个值x1，x2，且x1<x2；
在定义域的某个子集上是增加的或是减少的
增函数
减函数
单调函数
3．函数的单调性 如果函数_________________________________，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性．如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为________或________，统称为________．
[正解] 因为函数的单调递减区间为(－∞，4]，且函数图像的对称轴为直线x＝1－a，所以有1－a＝4，即a＝－3. [答案] a＝－3 [规律总结] 单调区间是一个整体概念，比如说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子集．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．
函数的单调性ppt课件
在[0, ) 上，任取 x1， x2 ，只要 x1 x2 ，就有 f ( x1 ) f ( x2 ) ．
问题：你能归纳以上两个函数单调性的刻画方法，给出函数 =
()在区间I上单调性的符号表述吗？
二、新课讲解
1、函数的单调性的定义:
(1)一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间 ⊆D:
• 思考1：根据图象，当自变量x的值增大时,相应函数值是如何变化的呢？
4
当x≤ 0时，y随x的增大而减小
当x≥0时，y随x的增大而增大
1
-2 -1
O
x
1 2
0.001和0.002差着
0.001，0.001和0却
差着一切。
二、新课讲解
• 以函数图像y=f(x)= 2 为例：
思考2：我们知道当x≤0时，y随x的增大而减小。那“x增大了”如何用符号语言
表示？“对应函数值y减小”又该如何表示？观察下表，你能给出具体描述吗？
x
...
-5
-4
-3
-2
-1
...
f(x)=x2
...
25
16
9
4
1
...
当x从-5增大到-4，函数值f(x)从25减小到16；当x从-4增大到-3，函数值f(x)从
16减小到9；当x从-3增大到-2，函数值f(x)从9减小到4；
即f (x1)<f (x2).这时,f (x)=kx+b是增函数.
②当k<0时,k(x1-x2)＞0.于是f (x1)-f (x2)>0,
即f (x1)>f (x2).这时,f (x)=kx+b是减函数.
变形
判号
定论
三、题目训练
问题：你能归纳以上两个函数单调性的刻画方法，给出函数 =
()在区间I上单调性的符号表述吗？
二、新课讲解
1、函数的单调性的定义:
(1)一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间 ⊆D:
• 思考1：根据图象，当自变量x的值增大时,相应函数值是如何变化的呢？
4
当x≤ 0时，y随x的增大而减小
当x≥0时，y随x的增大而增大
1
-2 -1
O
x
1 2
0.001和0.002差着
0.001，0.001和0却
差着一切。
二、新课讲解
• 以函数图像y=f(x)= 2 为例：
思考2：我们知道当x≤0时，y随x的增大而减小。那“x增大了”如何用符号语言
表示？“对应函数值y减小”又该如何表示？观察下表，你能给出具体描述吗？
x
...
-5
-4
-3
-2
-1
...
f(x)=x2
...
25
16
9
4
1
...
当x从-5增大到-4，函数值f(x)从25减小到16；当x从-4增大到-3，函数值f(x)从
16减小到9；当x从-3增大到-2，函数值f(x)从9减小到4；
即f (x1)<f (x2).这时,f (x)=kx+b是增函数.
②当k<0时,k(x1-x2)＞0.于是f (x1)-f (x2)>0,
即f (x1)>f (x2).这时,f (x)=kx+b是减函数.
变形
判号
定论
三、题目训练
函数单调性课件(公开课)ppt
(2)yx2 2. y x2+ 2 的 单 调 增 区 间 是 _(____, _0_] ;
y
y=-x2+2
2
1
y x2+ 2 的 单 调 减 区 间 是 _[_0_, ___)_.
-2 -1
12 x
-1
-2
2021/6/24
17
例3:下图是定义在[－5，5]上的函数y＝f（x）的图象， 根据图象说出y＝f（x）的单调区间，以及在每一单调区 间上， y＝f（x）是增函数还是减函数？
则 f(x1)f(x2)(x1x 11)(x2x12)
作差
11
(x1
x2)(x1
) x2
(x1 x2)(xx21 xx21)
变 形
(x1 x2)(x1x1x2x2 1)
x1,x21,，且 x1 x2 x1x20,x1x2 10
f( x 1 ) f( x 2 ) 0 , f( x 1 ) f( x 2 )
y
10 8 6 4 2
O -2
2021/6/24
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 x
3
上升
y y x 1
下降
y
y x1
局部上升或下降 y
o
x
o
x
y x2
o
x
能函用数图的象这上种动性点质P称（为x，函y数）的的单横调、性纵坐标
关在系某一来区说间明内上，升或下降趋势吗？
定号
所以函数 y x 1 在区间上 1, 是增函数. x
结论
2021/6/24
21
试用定义法证明函数 f (x) 1 x
在区间 0, 上是单调增函数。
函数的单调性ppt课件
应用实例
THANKS
感谢观看
定义法
通过求函数的导数来判断函数的单调性。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
导数法
03
单调性在解决函数的零点问题中也有着重要的应用。通过判断函数的单调性，可以确定函数的零点所在的区间，进而求出函数的零点。
01
单调性在解决不等式问题中有着广泛的应用。通过判断函数的单调性，可以确定不等式的解集或解的范围。
成本效益分析
利用单调性，可以分析企业生产成本与收益之间的关系，制定合理的经营策略。
风险评估
在金融学中，单调性可用于评估投资风险，例如股票价格的变化趋势。
03
02
01
单调性与其他数学概念的关系
04
CATALOGUE
单调性与导数之间存在密切的联系，导数的符号决定了函数的增减性。
单调性是指函数在某个区间内的变化趋势，而导数则是函数在某一点的切线斜率。如果函数在某个区间内单调递增，则其导数在该区间内大于等于零；如果函数在某个区间内单调递减，则其导数在该区间内小于等于零。因此，通过求函数的导数，可以判断函数的单调性。
安静
一度1
01
2
02
on on
03
asiest s掏燕 credit, members on,
切实实地 金字,
on thebbbb斯特 to , therefore, ,2 core on鉴于后者 on, core yes on
,
, on the, core, credit. on buried.,,xe.
函数的单调性可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
THANKS
感谢观看
定义法
通过求函数的导数来判断函数的单调性。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
导数法
03
单调性在解决函数的零点问题中也有着重要的应用。通过判断函数的单调性，可以确定函数的零点所在的区间，进而求出函数的零点。
01
单调性在解决不等式问题中有着广泛的应用。通过判断函数的单调性，可以确定不等式的解集或解的范围。
成本效益分析
利用单调性，可以分析企业生产成本与收益之间的关系，制定合理的经营策略。
风险评估
在金融学中，单调性可用于评估投资风险，例如股票价格的变化趋势。
03
02
01
单调性与其他数学概念的关系
04
CATALOGUE
单调性与导数之间存在密切的联系，导数的符号决定了函数的增减性。
单调性是指函数在某个区间内的变化趋势，而导数则是函数在某一点的切线斜率。如果函数在某个区间内单调递增，则其导数在该区间内大于等于零；如果函数在某个区间内单调递减，则其导数在该区间内小于等于零。因此，通过求函数的导数，可以判断函数的单调性。
安静
一度1
01
2
02
on on
03
asiest s掏燕 credit, members on,
切实实地 金字,
on thebbbb斯特 to , therefore, ,2 core on鉴于后者 on, core yes on
,
, on the, core, credit. on buried.,,xe.
函数的单调性可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
精选 《函数的单调性》完整版教学课件PPT
么参数的这个值应舍去;假设只有在个别点处有f'(x)=0,那么由
f'(x)≥0(或f'(x)≤0)恒成立解出的参数取值范围为最后解.
激趣诱思
知识点拨
3.解决该类问题常用的有关结论:
m≥f(x)恒成立⇔m≥f(x)max;
m≤f(x)恒成立⇔m≤f(x)min.
激趣诱思
知识点拨
微思考
(1)在区间(a,b)上,假设f'(x)>0,那么f(x)在此区间上单调递增,反之也
较大
较小
函数值变化
较快
较慢
函数的图象
比较“陡峭”(向上或向下)
比较“平缓”(向上或向下)
名师点析1.原函数的图象通常只看增(减)变化,而导函数的图象通
常对应只看正(负)变化.
2.导数的绝对值大(小)对应着原函数图象的陡峭(平缓).弄清楚两个
对应就能准确快速地分析函数图象的变化趋势与导数值大小的关
系.
解:①当a=0时,f(x)=x2+1,其单调递减区间为(-∞,0),单调递增区间为
(0,+∞).
2
②当 a<0 时,f'(x)=-ax2+2x.令 f'(x)>0,得(-ax+2)x>0,即 - x>0,得
2
2
2
x>0 或 x< ;令 f'(x)<0,得(-ax+2)x<0,即 - x<0,得 <x<0.故 f(x)的单
(2)函数定义域为R,f'(x)=ex-1.
知识点拨
四、解析式中含参数的函数单调区间的求法
函数解析式中含有参数时,讨论其单调性(或求其单调区间)问题,往
f'(x)≥0(或f'(x)≤0)恒成立解出的参数取值范围为最后解.
激趣诱思
知识点拨
3.解决该类问题常用的有关结论:
m≥f(x)恒成立⇔m≥f(x)max;
m≤f(x)恒成立⇔m≤f(x)min.
激趣诱思
知识点拨
微思考
(1)在区间(a,b)上,假设f'(x)>0,那么f(x)在此区间上单调递增,反之也
较大
较小
函数值变化
较快
较慢
函数的图象
比较“陡峭”(向上或向下)
比较“平缓”(向上或向下)
名师点析1.原函数的图象通常只看增(减)变化,而导函数的图象通
常对应只看正(负)变化.
2.导数的绝对值大(小)对应着原函数图象的陡峭(平缓).弄清楚两个
对应就能准确快速地分析函数图象的变化趋势与导数值大小的关
系.
解:①当a=0时,f(x)=x2+1,其单调递减区间为(-∞,0),单调递增区间为
(0,+∞).
2
②当 a<0 时,f'(x)=-ax2+2x.令 f'(x)>0,得(-ax+2)x>0,即 - x>0,得
2
2
2
x>0 或 x< ;令 f'(x)<0,得(-ax+2)x<0,即 - x<0,得 <x<0.故 f(x)的单
(2)函数定义域为R,f'(x)=ex-1.
知识点拨
四、解析式中含参数的函数单调区间的求法
函数解析式中含有参数时,讨论其单调性(或求其单调区间)问题,往
函数的单调性与导数(说课)
05 课程总结
本节课的收获
01
理解了函数的单调性与导数的关系
通过本节课的学习，学生们能够理解函数的单调性与其导数之间的关系，
掌握利用导数判断函数单调性的方法。
02
掌握了求导的基本法则
学生们学会了使用求导的基本法则，如链式法则、乘积法则、商的求导
法则等，能够熟练地求出函数的导数。
03
增强了数学思维能力
04 导数与函数的单调性
导数与单调性的关系
01
02
03
导数大于零
函数在该区间内单调递增。
导数小于零
函数在该区间内单调递减。
导数等于零
函数可能存在拐点或极值 点。
单调性判定定理的应用
判断函数单调性
通过求导数并分析导数的 正负来判断函数的单调性。
确定极值点
通过导数为零的点来确定 可能的极值点，并结合单 调性判断是否为极值点。
通过本节课的学习，学生们不仅掌握了相关的数学知识，更重要的是培
养了他们的数学思维能力，如逻辑推理、抽象思维和归纳演绎等。
课程中的不足与改进
部分学生对于求导法则的运用还不够熟练
在练习过程中，发现部分学生对于求导法则的运用还不够熟练，需要在课后加强练习和巩固。
部分学生对单调性与导数的关系理解不够深入
在讨论单调性与导数的关系时，发现部分学生对其理解不够深入，需要在后续课程中加强这方面的讲解和练习。
详细描述
基本初等函数的导数公式包括指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三 角函数的导数。复合函数的导数法则涉及到内外函数的导数计算，以及链式法 则的应用。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率。
函数的单调性PPT课件
0
y=f(x)
f(x1)
x1
f(x2)
x
x2
注意:
(1)函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的。假如 函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数,那么就说函数y=f (x) 在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做y=f (x)的单调区间.
(2)在单调区间上增函数的图像从左向右是上升的,减函数的图像从 左向右是下降的.
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果实数 M满足： （1）对于任意的的x∈I，都有f(x) ≥M;
（2）存在 x0 I，使得 f(x0 ) = M ，
那么我们称M是函数y=f(x)的最小值
❖函数的最值
The End
谢谢您的聆听！
期待您的指正！
函数的单调性PPT课件
定义：
一般地,设函数的定义域为I :
y y=f(x)
如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自
f(x1)
变量的值 x1, x2 ,当 x1< x2 时,都有f(x1 )<f( x2) ,那么 就说f(x)在这个区间上是增函数.
0
x1
y
f(x2)
x
x2
如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自 变量的值 x1 , x2 ,当 x1< x2 时,都有f( x1)>f( x2) ,那么 就说f(x)在这个区间上是减函数.
(, 0), (0, )
3〔、1y〕当axa[2>在0b时b,,xf(x)c)在(a(上0,为) 2b增a]函上数为。减函数。
〔2〕当a<02时a ,f(x) 在 (, b ] 上为增函数。
[ b , )
2a
y=f(x)
f(x1)
x1
f(x2)
x
x2
注意:
(1)函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的。假如 函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数,那么就说函数y=f (x) 在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做y=f (x)的单调区间.
(2)在单调区间上增函数的图像从左向右是上升的,减函数的图像从 左向右是下降的.
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果实数 M满足： （1）对于任意的的x∈I，都有f(x) ≥M;
（2）存在 x0 I，使得 f(x0 ) = M ，
那么我们称M是函数y=f(x)的最小值
❖函数的最值
The End
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期待您的指正！
函数的单调性PPT课件
定义：
一般地,设函数的定义域为I :
y y=f(x)
如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自
f(x1)
变量的值 x1, x2 ,当 x1< x2 时,都有f(x1 )<f( x2) ,那么 就说f(x)在这个区间上是增函数.
0
x1
y
f(x2)
x
x2
如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自 变量的值 x1 , x2 ,当 x1< x2 时,都有f( x1)>f( x2) ,那么 就说f(x)在这个区间上是减函数.
(, 0), (0, )
3〔、1y〕当axa[2>在0b时b,,xf(x)c)在(a(上0,为) 2b增a]函上数为。减函数。
〔2〕当a<02时a ,f(x) 在 (, b ] 上为增函数。
[ b , )
2a
函数的单调性PPT课件
2021
f (x1) f (x2 )
x1
x2 x
图5
（二）典型例题 例1 如图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图象， 根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间 上，函数y=f(x)是增函数还是减函数.
y
f (x)
-2
-5
1
3
x 5
图6
2021
注意：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的 一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增 减变化，所以不存在单调性问题；对于闭区间上的连续 函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单 调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都 可以；
2021
值随着 ________ ． 2．f (x) = -2x+1 ① 从左至右图象上升还是下降 ______? ②在区间 ____________ 上，随着x的增大，f (x)的值随 着 ________ ．
2021
3．f (x) = x 2 ①在区间 ____________ 上，f (x)的值随 着x的增大而 ________ ． ② 在区间 ____________ 上，f (x)的值随 着x的增大而 ________ ．
2021
例2 证明函数 y x 1 在（1，+∞）上为增函数． x
例3 讨论函数 f(x) x2 2ax 3 在(-2,2)内的单调性.
2021
三、归纳小结 1.函数的单调性的判定、证明和单调区间的确定：函数
的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证 明．画函数图象通常借助五点法，求函数的单调区间 时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步： 取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论 2.直接利用初等函数的单调区间。
f (x1) f (x2 )
x1
x2 x
图5
（二）典型例题 例1 如图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图象， 根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间 上，函数y=f(x)是增函数还是减函数.
y
f (x)
-2
-5
1
3
x 5
图6
2021
注意：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的 一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增 减变化，所以不存在单调性问题；对于闭区间上的连续 函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单 调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都 可以；
2021
值随着 ________ ． 2．f (x) = -2x+1 ① 从左至右图象上升还是下降 ______? ②在区间 ____________ 上，随着x的增大，f (x)的值随 着 ________ ．
2021
3．f (x) = x 2 ①在区间 ____________ 上，f (x)的值随 着x的增大而 ________ ． ② 在区间 ____________ 上，f (x)的值随 着x的增大而 ________ ．
2021
例2 证明函数 y x 1 在（1，+∞）上为增函数． x
例3 讨论函数 f(x) x2 2ax 3 在(-2,2)内的单调性.
2021
三、归纳小结 1.函数的单调性的判定、证明和单调区间的确定：函数
的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证 明．画函数图象通常借助五点法，求函数的单调区间 时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步： 取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论 2.直接利用初等函数的单调区间。
函数单调性教案ppt课件
利用单调性解决实际问题，例如
利用函数的单调性判断经济模型的稳定性。
06
总结与回顾
本节课的主要内容回顾
函数单调性的定义
单调性在解题中的应用
函数在某区间上的单调性是指函数在 该区间上随着自变量的增大（或减 小），函数值也增大（或减小）。
利用单调性可以解决一些函数问题， 如求最值、证明不等式等。
单调性的判断方法
80%
图像法
通过观察函数的图像，直观判断 函数的单调性。
导数法证明单调性
02
01
03
1. 求导数
首先求出函数的导数。
2. 判断导数的正负
根据导数的正负判断函数的增减性。
3. 得出结论
根据导数的正负变化，得出函数在哪些区间上递增或 递减。
定义法证明单调性
1. 取值
在定义域内取任意两个值$x_1$ 和$x_2$，且$x_1 < x_2$。
2. 比较函数值
计算$f(x_1)$和$f(x_2)$，并比 较两者大小。
3. 得出结论
根据函数值的比较结果，判断 函数的单调性。
05
练习与巩固
单调性判断练习
判断函数在指定区间的单调性，例如
$f(x) = x^2$在$[0, +infty)$上单调递增。
判断函数在多个区间的单调性，例如
$f(x) = frac{1}{x}$在$(-infty, 0)$和$(0, +infty)$上单调递减。
通过导数判断函数单调性的方法，包 括求导、判断导数的正负以及导数的 符号变化等。
下节课预告
函数的极值与最值 导数的几何意义与切线斜率
导数在实际问题中的应用
THANK YOU
感谢聆听
利用函数的单调性判断经济模型的稳定性。
06
总结与回顾
本节课的主要内容回顾
函数单调性的定义
单调性在解题中的应用
函数在某区间上的单调性是指函数在 该区间上随着自变量的增大（或减 小），函数值也增大（或减小）。
利用单调性可以解决一些函数问题， 如求最值、证明不等式等。
单调性的判断方法
80%
图像法
通过观察函数的图像，直观判断 函数的单调性。
导数法证明单调性
02
01
03
1. 求导数
首先求出函数的导数。
2. 判断导数的正负
根据导数的正负判断函数的增减性。
3. 得出结论
根据导数的正负变化，得出函数在哪些区间上递增或 递减。
定义法证明单调性
1. 取值
在定义域内取任意两个值$x_1$ 和$x_2$，且$x_1 < x_2$。
2. 比较函数值
计算$f(x_1)$和$f(x_2)$，并比 较两者大小。
3. 得出结论
根据函数值的比较结果，判断 函数的单调性。
05
练习与巩固
单调性判断练习
判断函数在指定区间的单调性，例如
$f(x) = x^2$在$[0, +infty)$上单调递增。
判断函数在多个区间的单调性，例如
$f(x) = frac{1}{x}$在$(-infty, 0)$和$(0, +infty)$上单调递减。
通过导数判断函数单调性的方法，包 括求导、判断导数的正负以及导数的 符号变化等。
下节课预告
函数的极值与最值 导数的几何意义与切线斜率
导数在实际问题中的应用
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