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2024年八年级同步练习卷专题15矩形菱形正方形(共40题)+答案解析

专题15矩形菱形正方形（共40题）一、解答题：本题共40小题，共320分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

1.本小题8分如图，在▱中，点E ，F 分别在BC ，AD 上，，求证：四边形AECF 是矩形；，，，求BC 的长．2.本小题8分如图，在▱中，交于点O ，点在AC 上，求证：四边形EBFD 是平行四边形；若求证：四边形EBFD 是菱形．3.本小题8分如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AD 的中点，点F ，G 在AB 上，，求证：四边形OEFG 是矩形；若，，求OE 和BG 的长．4.本小题8分如图，在菱形ABCD 中，AC 为对角线，点E ，F 分别在AB ，AD 上，，连接求证：；延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O，若，，求AO的长．5.本小题8分在中，AD是BC边上的中线，点E在线段AD上，点F在线段AD的延长线上，，连接BE，如图1，求证：四边形BFCE是平行四边形．若，①依题意补全图2；②求证：四边形BFCE为菱形.6.本小题8分如图，在平行四边形ABCD中，BD平分求证：四边形ABCD是菱形；连接AC交BD于点O，延长BC到点E，在的内部作射线CM，使得，过点D作于点若，，求的度数及BD的长．7.本小题8分如图，在平行四边形ABCD中，对角线相交于点O，点E，F在BD上，，连接求证：四边形AECF为平行四边形；若，求证：四边形AECF是矩形．8.本小题8分如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为OA的中点．连接DE并延长至点F，使得连接AF，求证：四边形AFBO为平行四边形；若，求证：四边形AFBO为矩形．9.本小题8分如图，在四边形ABCD中，，过点B作交CD于点E，点F为AD边上一点，，连接求证：四边形ABEF为矩形；若，求ED的长．10.本小题8分如图，点O为▱的对角线AC的中点，直线l绕点O旋转，当时，与边分别交于点E，F，连接若，求▱的面积．11.本小题8分如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点连接OE，若，，求OE的长．12.本小题8分如图，在平行四边形ABCD中，，过点D作交BC的延长线于点连接AE交CD于点F，连接若，，求BF的长．13.本小题8分如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，，若，求四边形AEBO的面积．14.本小题8分如图，在中，，D，E分别为BC，AC的中点，过点A作交DE的延长线于点求证：四边形ABDF是菱形；若，，求AE的长．15.本小题8分如图，在中，，点D为BC中点，过点分别作的平行线，相交于点求证：四边形ADCE为矩形；连接，若，求AB的长．16.本小题8分如图，在菱形ABCD中，于E，于求证：四边形BEDF是矩形；连接BD，如果，，求AB的长．17.本小题8分已知在中，，点D，E分别是边中点，连接，延长DE到点F，使得，连接求证：四边形AFCD是菱形如果，且，求AB的长．18.本小题8分如图，在菱形ABCD中，对角线交于点O，点E是过点O作BC的平行线与过点B作BD的垂线垂足为的交点.求证：四边形OEBC是平行四边形；连接AE，求证：四边形AEBO是矩形.19.本小题8分如图，在▱中，点E是BC中点．点F是AD中点．连接、、平分求证：四边形AECF是菱形：连接AC，与EF交于点O，连接若，，求OD的长．20.本小题8分如图，在四边形ABCD中，，求证：四边形ABCE为菱形；若，，求CD的长．21.本小题8分如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，，，点E在AC上，且求证：四边形EBCD是菱形；若，，，求AE的长．22.本小题8分如图，▱中，对角线AC、BD交于点O，在BD上截取求证：四边形AECF是矩形；若，求证：AC平分23.本小题8分如图，BD是的角平分线，过点D作交AB于点E，交BC于点求证：四边形BEDF为菱形；如果，，，求菱形BEDF的面积．24.本小题8分如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，延长CB到点E，使得连接过点B作，交AE于点F，连接OF求证：四边形AFBO是矩形；若，，求OF的长25.本小题8分如图，▱的对角线AC，BD相交于点O，，求证：四边形OCED是平行四边形；当▱是________填“矩形”或“菱形”时，四边形OCED是菱形，并写出证明过程．26.本小题8分如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，且求证：四边形ABCD是矩形；的角平分线DE交AB于点E，当，时，求AE的长．27.本小题8分如图，▱的对角线AC，BD相交于点O，将对角线BD向两个方向延长，分别至点E和点F，且使求证：四边形AECF是平行四边形；若，求证：四边形AECF是矩形．28.本小题8分如图，在中，，点D为AC的中点，连接DB，过点C作，且，连接BE，求证：四边形BECD是菱形；连接AE，当，时，求AE的长．29.本小题8分如图，在平行四边形ABCD中，连接AC，，点M为边AD的中点，连接CM并延长，交BA 的延长线于点E，连接求证：四边形ACDE是矩形；若，，求四边形BCDE的面积．30.本小题8分如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，，，，E为AD的中点，连接求证：四边形BCDE为菱形；连接AC，若AC平分，，求AC的长．31.本小题8分如图，在▱中，于E，于F，且求证：▱是菱形；连接AC，BD交于点O，当，时，求▱的面积．32.本小题8分如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，过点B作，过点C作交BM于点求证：四边形BECO是矩形；连接DE，若，，求DE的长．33.本小题8分如图，在中，，点A关于BC的对称点为D，连接BD，求证：四边形ABDC是菱形；过点A作于E，且交BC于点F，若，，求AF的长．34.本小题8分如图，在平行四边形ABCD中，过点D作于点E，DE的延长线交AB于点过点B作交DC于点交AC于点过点G作于点求证：四边形NEMG为矩形；若，，，求线段AC的长．35.本小题8分如图，四边形ABCD是平行四边形，、相交于点O，点E是AB的中点，连接OE，过点E作于点F，过点O作于点求证：四边形EFGO是矩形；若四边形ABCD是菱形，，求OG的长．36.本小题8分如图，在平行四边形ABCD中，AE平分，交BC于点E，BF平分，交AD于点F，AE与BF 交于点P，连接EF，求证：四边形ABEF是菱形；若，，，求的值．37.本小题8分如图，在菱形ABCD中，O为AC，BD的交点，P，M，N分别为CD，OD，OC的中点．求证：四边形OMPN是矩形；连接AP，若，，求AP的长．38.本小题8分如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BC，EO为矩形BECO对角线，，求证：四边形ABCD是菱形；连接DE，若，，求DE的值．39.本小题8分如图，在中，，过点C的直线，D为AB边上一点，过点D作，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，求证：当，且D为中点时，四边形CDBE是什么特殊四边形？说明理由．求，时，求EF的长．40.本小题8分如图，四边形ABCD是矩形，延长DA至E，使得，连接BE，过点D作交BA的延长线于F，连接EF，求证：四边形BDFE是菱形；连接CF，若，，求CF的长．答案和解析1.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，，，，，四边形AECF是平行四边形，，平行四边形AECF是矩形；解：由知四边形AECF是矩形，，，，是等腰直角三角形，，又，，，【解析】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解直角三角形等内容.利用平行四边形的性质求出，证明四边形AECF是平行四边形，然后根据对角线相等的平行四边形是矩形得出结论；证明是等腰直角三角形，可得，然后解直角三角形求出EC即可．2.【答案】证明：在▱ABCD中，，，，四边形EBFD是平行四边形；四边形ABCD是平行四边形，，，，，，，，平行四边形EBFD是菱形．【解析】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明；根据平行四边形的性质可得，然后利用等腰三角形的性质可得，进而可以证明四边形EBFD是菱形．3.【答案】解：四边形ABCD是菱形，，是AD的中点，是的中位线，，，四边形OEFG是平行四边形，，，平行四边形OEFG是矩形；四边形ABCD是菱形，，，，是AD的中点，；由知，四边形OEFG是矩形，，，，，【解析】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．根据菱形的性质得出，再由点E是AD的中点，所以OE是的中位线，推出，求得四边形OEFG是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；根据菱形的性质得到，，得到；由知，四边形OEFG 是矩形，求得，根据勾股定理得到，于是得到结论．4.【答案】证明：四边形ABCD是菱形，，AC平分，，，，；解：如图所示：由得：，又，所以，又，四边形BEGD为平行四边形，，，，，，，【解析】本题考查了菱形的性质、平行线的判定、等腰三角形的性质、解直角三角形及平行四边形的性质与判定等知识；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．由菱形的性质得出，AC平分，再根据，得到，最后根据等腰三角形的三线合一得到结论；先证四边形BEGD为平行四边形，得到，再由，得出，由，得出，得出5.【答案】证明：，，是BC边上的中线，，，≌，，四边形BFCE是平行四边形．解：①依题意补全图2，如图；②证明：，，是BC边上的中线，，由证明方法可得四边形BFCE是平行四边形，四边形BFCE为菱形．【解析】【分析】证明≌，可得，再根据，即可得出结论；由，可得，再由等腰三角形的性质可证，再利用菱形的判定即可得出结论．【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质及菱形的判定，熟练掌握平行四边形的判定与性质及菱形的判定是解题的关键．6.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，，平分，，，，平行四边形ABCD是菱形．解：四边形ABCD是菱形，，，，.四边形ABCD是菱形，，，又，，【解析】【分析】由平行四边形的性质和角平分线的定义证明，得到，即可证明平行四边形ABCD是菱形；由菱形的性质可得，进而得到，；进一步求出，则由角平分线的性质得到，则.【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，角平分线的性质和定义，平行四边形的性质，证明四边形ABCD是菱形是解题的关键．7.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，.，.，≌..四边形AECF为平行四边形．，.，...四边形AECF是矩形．【解析】【分析】证明≌，得到，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得证；证明，进而得到，即可得证．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定．熟练掌握相关知识点并灵活运用，是解题的关键．8.【答案】证明：平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，，又，为的中位线，，且，又E为OA的中点，，，四边形AFBO为平行四边形．平行四边形ABCD，，，，，，平行四边形ABCD是菱形，，，平行四边形AFBO是矩形．【解析】本题考查了中位线的性质与判定，平行四边形的性质，菱形的性质与判定，矩形的判定，熟练掌握特殊四边形的判定定理是解题的关键．证明OE为的中位线，则，且，又，则，即可得证；根据平行四边形的性质得出，则，结合已知得到，可得，则四边形ABCD是菱形，可得，结合的结论，即可得证．9.【答案】证明：，即，，四边形ABEF为平行四边形．，四边形ABEF为矩形；解：，.，，，，即，解得：，.【解析】由题意易证四边形ABEF为平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判定；由题意易证，即得出，代入数据，即可求出DF的长，最后由勾股定理即可求解．【点睛】本题考查矩形的判定和性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握上述知识是解题关键．10.【答案】四边形ABCD是平行四边形，，为AC的中点，在和中，，四边形AECF是平行四边形，过点C作交AB于点H，，四边形AECF是菱形，，，，，，▱ABCD的面积【解析】【分析】根据AAS证明得再证明四边形AECF是平行四边形，最后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行证明即可；过点C作交AB延长线于点H，求出，再根据菱形的面积计算公式求解即可．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质和以及菱形面积求法等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．11.【答案】解：四边形ABCD是矩形，，，又，四边形ADEC是平行四边形，，；如图，过点O作于点F，四边形ABCD是矩形，点O是的中点，，，点是BC的中点，是的中位线，又四边形ADEC是平行四边形，，在中，由勾股定理可得：.【解析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，熟记各性质并求出四边形ADEC是平行四边形是解题的关键．根据矩形的对角线相等可得，对边平行可得，再证明出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得，从而得证；如图，过点O作于点F，欲求OE，只需在直角中求得、的值即可．结合三角形中位线求得OF，结合矩形、平行四边形的性质以及勾股定理求得OE即可．12.【答案】解：证明：四边形ABCD是平行四边形，，，又，，四边形ACED 是矩形．如图所示．四边形ACED 是矩形，，四边形ABCD 是平行四边形，，，，又，是等边三角形，，，，，在中，【解析】【分析】根据三个角是直角的四边形是矩形判断即可；先证明是等边三角形，再根据含角的直角三角形的三边关系，利用勾股定理即可计算．【点睛】本题考查平行四边形的性质，矩形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，灵活运用相关性质是解题的关键．13.【答案】证明：，四边形AEBO 是平行四边形又四边形ABCD 是矩形，，四边形AEBO 是菱形解：如图：连接EO，交AB于点F四边形ABCD是矩形，，又是等边三角形，四边形AEBO是菱形，四边形AEBO的面积为：【解析】【分析】根据矩形的性质得出，进而利用菱形的判定解答即可；根据菱形的性质及面积公式，解直角三角形即可求得．【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，作出辅助线是解决本题的关键．14.【答案】证明：，E分别为BC，AC的中点，，，.又，四边形ABDF是平行四边形．，..四边形ABDF是菱形．解：连接AD，如图．四边形ABDF是菱形，，.是等边三角形．，..在中，，，.【解析】【分析】根据已知条件得出，，，可得四边形ABDF是平行四边形．进而根据已知条件得出，即可得出结论；连接AD，得出是等边三角形．在中，解直角三角形即可求解．【点睛】本题考查了中位线的性质，菱形的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握菱形的性质与判定是解题的关键．15.【答案】证明：由题意得，四边形ADCE是平行四边形，，点D为BC中点，，即，四边形ADCE为矩形．解：四边形ADCE为矩形，，点D为BC中点，在中，，解得：在中，，故AB的长为.【解析】先根据平行四边形的判定，证明四边形ADCE是平行四边形，根据等腰三角形的性质证明，即可证明结论；根据矩形的性质和锐角三角函数定义求出在中由勾股定理即可得出结果．本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义，熟练掌握定理与性质是解题的关键．16.【答案】证明：四边形ABCD是菱形，，，，，，四边形BEDF是矩形；解：设AB的长为x，四边形ABCD是菱形，，四边形BEDF是矩形，，，，，在中，，，，由勾股定理得，解得，的长为.【解析】【分析】根据有三个角是直角的四边形是矩形即可得到结论；设AB的长为x，由，求得，在中，利用勾股定理列式计算即可求解.【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，勾股定理，正切函数，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．17.【答案】证明：点E是边AC中点，，又，四边形AFCD是平行四边形在中，点D，E分别是边中点，，，，，.四边形AFCD是菱形；解：由知，四边形AFCD是菱形，，，，，在中，，，解得或舍，AB的长为【解析】【分析】先根据对角线互相平分证明四边形AFCD是平行四边形，再根据三角线中位线的性质证明，进而得出，即可证明四边形AFCD是菱形；根据菱形的性质可得，再利用三角函数、勾股定理解即可．【点睛】本题考查三角形中位线的性质，菱形的判定和性质，利用三角函数、勾股定理解直角三角形等，解题的关键是掌握菱形的判定方法及性质，牢记三角函数的定义．18.【答案】证明：四边形ABCD为菱形，，又，，即：，，四边形OEBC是平行四边形.由可知：四边形OEBC是平行四边形，，，四边形ABCD为菱形，，，，四边形AEBO为平行四边形，又，四边形AEBO是矩形.【解析】此题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，解答此题的关键是熟练掌握菱形的两组对边分别平行;四条边都相等;对角线互相垂直平分;两组对边分别平行的四边形是平行四边形;一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;有一个角是直角的平行四边形是矩形.由菱形的性质可得出：，再根据可得出，然后再根据已知条件即可判定四边形OEBC是平行四边形;首先根据的结论得出，，再根据菱形的性质得出，据此可得到，，于是可先判定四边形AEBO为平行四边形，最后再根据已知条件即可判定四边形AEBO是矩形.19.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，是AD中点，E是BC中点，四边形AECF是平行四边形平分四边形AECF是菱形解：四边形AECF是菱形，，，，，过点O作于点G，，即，，【解析】【分析】根据四边形ABCD是平行四边形及F是AD中点，E是BC中点，可得四边形AECF 是平行四边形，再根据EF平分，易证得，则可得，继而证得结论；过点O作于点G，由三角形面积公式可求OG的长，勾股定理可求GF，的长，OD的长即可求解.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理的应用，解直角三角形，三角形面积公式的应用，解题的关键是熟练掌握各知识点，作出辅助线，用好数形结合的思想.20.【答案】证明：，，，四边形ABCE为平行四边形，又，平行四边形ABCE为菱形．解：，，，，，，，，，，在中，，.【解析】【分析】先根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形ABCE为平行四边形，再由，即可证明平行四边形ABCE为菱形；先证明，进而得到，，利用三角形内角和定理推出，由平行线的性质得到，解，即可得到.【点睛】本题主要考查了菱形的判定，平行线的性质，解直角三角形，等边对等角，三角形内角和定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键．21.【答案】证明：在和中，，≌，，，，四边形EBCD是平行四边形，，，是等腰三角形，O为BD中点，，即，平行四边形EBCD是菱形；解：四边形BCDE是菱形，，，，，在中，，，，，，在中，，.【解析】先证明≌，得到，再根据内错角相等，两直线平行，得到，进而证明四边形EBCD是平行四边形，然后根据对角线互相垂直，即可证明四边形EBCD是菱形；根据菱形的性质，得到，，再利用勾股定理，求得，然后根据正切值，求得，最后利用勾股定理，得到，即可求出AE的长．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，熟练掌握菱形的判定和性质是解题关键．22.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，，，，四边形AECF是平行四边形，；四边形AECF是矩形；证明：四边形AECF是矩形，，四边形AECF是正方形，，又四边形ABCD是平行四边形，四边形ABCD是菱形，平分.【解析】【分析】先根据平行四边形的性质得到，进而证明，由此即可证明四边形AECF是矩形；先证明四边形AECF是正方形，得到，即可证明四边形ABCD是菱形，则由菱形的性质可得AC平分.【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，矩形的判定，菱形的性质与判定，平行四边形的性质，熟知特殊平行四边形的判定定理是解题的关键．23.【答案】证明：，，四边形BFDE是平行四边形，是的角平分线，，，，，，平行四边形BFDE是菱形；连接EF，交BD于O，，，，平分，，，，，，在中，，菱形BFDE的面积.【解析】【分析】根据平行四边形的和菱形的判定证明即可；根据含的直角三角形的性质和勾股定理以及菱形的面积解答即可．【点评】此题考查了菱形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键．24.【答案】证明：四边形ABCD是菱形，，，即：，O为AC的中点，，即B为EC的中点，为的中位线，，又，四边形AFBO是平行四边形，又，四边形AFBO是矩形；解：由可知，，四边形AFBO是矩形，，则，，四边形BCOF是平行四边形，，四边形ABCD是菱形，，，是等边三角形，，.【解析】【分析】由菱形的性质可知，O为AC的中点，根据，可得BO为的中位线，可得，进而证得四边形AFBO是平行四边形，即可证得四边形AFBO是矩形；结合可知，可证四边形BCOF是平行四边形，可得，由，可证得是等边三角形，进而可得答案．【点睛】本题考查菱形的性质，三角形的中位线定理，矩形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键．25.【答案】解：在▱中，，，，，四边形OCED是平行四边形；矩形，当▱是矩形时，，，四边形OCED是菱形．【解析】【分析】根据平行四边形的性质得到，结合可得，即可证明；根据矩形的性质得到，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形判定即可．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的性质，菱形的判定，解题的关键是掌握特殊四边形的判定和性质定理．26.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，，，▱ABCD为矩形．解：过点E作于点G，如图所示：四边形ABCD是矩形，，，为的角平分线，，，，，设，则，在中，，，【解析】本题考查了矩形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角函数定义等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和三角函数定义是解题的关键．由平行四边形性质和已知条件得出，即可得出结论；过点E作于点G，由角平分线的性质得出由三角函数定义得出，，设，则，在中，由三角函数定义得出，即可得出答案．27.【答案】证明：▱ABCD，，，即四边形AECF是平行四边形.▱AECF，，，四边形AECF是平行四边形，▱AECF是矩形.【解析】此题考查了平行四边形的性质和判定，解题时要注意选择适宜的判定方法．根据平行四边形的性质和判定解答即可；根据平行四边形的性质和矩形的判定解答即可．28.【答案】证明：，，四边形BECD是平行四边形，在中，，点D为AC的中点，，四边形BECD是菱形．解：四边形BECD是菱形，，，，，，四边形ADEB是平行四边形，，，，，，四边形ADEB是菱形，，，，在中，，.【解析】【分析】先证明四边形BECD是平行四边形，再利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，即可证明四边形BECD是菱形；根据菱形的性质，证明四边形ADEB是平行四边形，再根据角所对的直角边等于斜边一半，推出，进而证明四边形ADEB是菱形，然后利用勾股定理，求得OA的长，即可求出AE的长．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，直角三角形的特征，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定和性质是解题关键．29.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，，.，.点M为边AD的中点，.≌..四边形ACDE是平行四边形．，.平行四边形ACDE是矩形．解：四边形ACDE是矩形，，..，.，.，..【解析】【分析】先根据平行四边形的性质得，.从百得，，再证明≌.得，从而得四边形ACDE是平行四边形．即可由矩形判定定理得出结论，先由矩形与三角形面积公式求得，.再由求解即可．【点睛】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，矩形与三角形的面积，熟练掌握平行四边形的性质定理，矩形的判定定理，全等三角形的判定与性质是解题的关键．30.【答案】证明：为AD的中点，，，四边形BCDE为平行四边形.又在中，E为AD的中点，，，▱为菱形.解：设AC与BE交于点H，如图.，平分，，，，由可知，，，为等边三角形，，，在中，，【解析】本题考查菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，直角三角形的性质.由，，推出四边形BCDE是平行四边形，再证明即可解决问题；在中，只要证明，即可解决问题.31.【答案】证明：在▱中，，于E，于F，且，，≌，，▱是菱形；解：▱是菱形，，，，，在中，，，▱的面积为.【解析】【分析】证明≌，得即可；在中，根据三角函数求出，再根据勾股定理得角三角形等知识，掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是本题的关键．32.【答案】证明：四边形ABCD是菱形，，，四边形，平行四边形解：四边形，，是等边三角形，，在中，，，，四边形BECO是矩形，，，在中，.【解析】【分析】根据菱形的性质可得，再根据，可得四边形BECO是平行四边形，进而证明四边形BECO是矩形；根据题意可得是等边三角形，勾股定理求得BO的长，进而求得BD的长，在中，勾股定理即可求解．【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．33.【答案】证明：关于BC的对称点为D，，，，，四边形ABDC是菱形；解：，，，，四边形ABDC是菱形，，，，，，设，，有，，.【解析】【分析】根据A关于BC的对称点为D，可得，，结合已知条件，可得，即可得证；根据勾股定理求得AE，根据菱形的性质得出，，即可证明，根据相似三角形的性质即可求解．【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握是菱形的性质与判定解题的关键．34.【答案】解：，，，，，，四边形NEMG是矩形．四边形NEMG是矩形，，，，，，，，。

(完整word版)矩形菱形正方形练习题及答案

矩形的习题精选一、性质1、下列性中，矩形具有而质平行四边形不一定具有的是（）A、对边相等B、对角相等C、对角线相等D、对边平行2.在矩形ABCD中，∠AOD=130°，则∠ACB=_ _3.已知矩形的一条对角线长是8cm，两条对角线的一个交角为60°，则矩形的周长为______4.矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，对角线是13cm，那么矩形的周长是____________5.如图所示，矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠BAE=30°，BE=1cm，那么DE的长为_____6、直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm和6cm，则它的面积为___7、已知，在Rt△ABC中，BD为斜边AC上的中线，若∠A=35°，那么∠DBC= 。

8、如图，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，BE⊥AC于E，CF⊥BD 于F.求证：BE=CF. AB E FO9.如图，△ABC中，∠ACB=90度，点D、E分别为AC、AB的中点，点F在BC延长线上，且∠CDF=∠A，求证：四边形DECF是平行四边形；10.已知:如图，在△ABC中，∠BAC≠90°∠ABC=2∠C，AD⊥AC，交BC或CB的延长线D。

试说明:DC=2AB.11、在△ABC中，∠C=90O，AC=BC，AD=BD，PE⊥AC于点E，PF ⊥BC于点F。

求证：DE=DF二、判定1、下列检查一个门框是否为矩形的方法中正确的是（C ）A．测量两条对角线，是否相等B．测量两条对角线，是否互相平分C．用曲尺测量门框的三个角，是否都是直角D．用曲尺测量对角线，是否互相垂直2、平行四边形ABCD，E是CD的中点，△ABE是等边三角形，求证：四边形ABCD是矩形3、在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，EF过点O，且AF⊥BC，求证：四边形AFCE是矩形4、平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点Ｏ，点Ｐ是四边形外一点，且PA⊥PC，PB⊥PD，垂足为Ｐ。

(完整版)矩形、菱形与正方形-专题训练(含答案)

矩形、菱形与正方形专题训练(含答案)班级________姓名________成绩________一、选择题(每小题3分，共30分)1．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，则矩形ABCD的面积是( )A．12 B．24 C．12 3 D．16 3第1题图第2题图第3题图第4题图2．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( ) A．14 B．15 C．16 D．173．如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C与点C′重合．若AB＝2，则C′D的长为( ) A．1 B．2 C．3 D．44．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E分别是边AB，AC的中点．将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是( )A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形5．由菱形的两条对角线的交点向各边引垂线，以各垂足为顶点的四边形是( )A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形6．如图，▱ABCD的周长为16 cm，AC，BD相交于点O，OE⊥AC交AD于点E，则△DCE的周长为( )A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm第6题图第9题图第10题图7．菱形的周长为8 cm，高为1 cm，则菱形两邻角度数比为( )A．3∶1 B．4∶1 C．5∶1 D．6∶18．用两块完全相同的直角三角形拼下列图形：①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形，⑤等腰三角形，⑥等边三角形，一定能拼成的图形是( )A．①④⑤B．②⑤⑥C．①②③D．①②⑤9．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1＋S2的值为( )A．16 B．17 C．18 D．1910．如图，F为正方形ABCD的边AD上一点，CE⊥CF交AB的延长线于点E，若正方形ABCD 的面积为64，△CEF的面积为50，则△CBE的面积为( )A．20 B．24 C．25 D．26二、填空题(每小题3分，共24分)11．如图所示，在菱形ABCD中，∠ADC＝72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为点E，连结CP，则∠CPB＝____度．第11题图第12题图第14题图第15题图12．如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，A1，B1，C1，D1分别是四边形ABCD 各边中点，如果AC＝8，BD＝10，则四边形A1B1C1D1的面积为___．13．矩形的对角线相交成的角中，有一个角是60°，这个角所对的边长为20 cm，则其对角线长为____________-_，矩形的面积为_______________．14．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC＝4 cm，BD＝8 cm，则这个菱形的面积是____cm2.15．如图，矩形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，连结DE和BF，分别取DE，BF的中点M，N，连结AM，CN，MN，若AB＝22，BC＝23，则图中阴影部分的面积为____________．,第16题图第17题第18题图16．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件______________，使▱ABCD是矩形．17．如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E点在BC上，EG⊥OB，EF⊥OC，垂足分别为点G，F，AC＝10，则EG＋EF＝____．18．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为(10，0)，(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为_______________________________．三、解答题(共66分)19．(6分)如图，已知矩形ABCD中，E是AD上一点，F是AB上一点，EF⊥EC且EF＝EC，DE ＝4 cm，矩形ABCD的周长为32 cm，求AE的长．20．(8分)如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连结BM，DN.(1)求证：四边形BMDN是菱形；(2)若AB＝4，AD＝8，求MD的长．21．(8分)如图所示，矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，∠DAE∶∠BAE＝3∶1，求∠BAE和∠EAO 的度数．22．(10分)如图，已知菱形ABCD中，AB＝AC，E，F分别是BC，AD的中点，连结AE，CF.(1)证明：四边形AECF是矩形；(2)若AB＝8，求菱形ABCD的面积．23．(12分)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是点E，F，并且DE＝DF，求证：(1)△ADE≌△CDF；(2)四边形ABCD是菱形．24．(10分)在四边形ABCD中，AB＝CD，M，N，P，Q分别是AD，BC，BD，AC的中点，求证：MN与PQ互相垂直平分．参考答案一、选择题(每小题3分，共30分)1．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，则矩形ABCD的面积是( D )A．12 B．24 C．12 D．16第1题图第2题图第3题图第4题图2．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( C ) A．14 B．15 C．16 D．173．如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C与点C′重合．若AB＝2，则C′D的长为( B ) A．1 B．2 C．3 D．44．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E分别是边AB，AC的中点．将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是( A )A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形5．由菱形的两条对角线的交点向各边引垂线，以各垂足为顶点的四边形是( B )A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形6．如图，▱ABCD的周长为16 cm，AC，BD相交于点O，OE⊥AC交AD于点E，则△DCE的周长为( C )A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm第6题图第9题图第10题图7．菱形的周长为8 cm，高为1 cm，则菱形两邻角度数比为( C )A．3∶1 B．4∶1 C．5∶1 D．6∶18．用两块完全相同的直角三角形拼下列图形：①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形，⑤等腰三角形，⑥等边三角形，一定能拼成的图形是( D )A．①④⑤B．②⑤⑥C．①②③D．①②⑤9．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1＋S2的值为( B )A．16 B．17 C．18 D．1910．如图，F为正方形ABCD的边AD上一点，CE⊥CF交AB的延长线于点E，若正方形ABCD 的面积为64，△CEF的面积为50，则△CBE的面积为( B )A．20 B．24 C．25 D．26二、填空题(每小题3分，共24分)11．如图所示，在菱形ABCD中，∠ADC＝72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为点E，连结CP，则∠CPB＝__72__度．第11题图第12题图第14题图第15题图12．如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，A1，B1，C1，D1分别是四边形ABCD 各边中点，如果AC＝8，BD＝10，则四边形A1B1C1D1的面积为__20__．13．矩形的对角线相交成的角中，有一个角是60°，这个角所对的边长为20 cm，则其对角线长为__40_cm__，矩形的面积为__400_cm2__．14．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC＝4 cm，BD＝8 cm，则这个菱形的面积是__16__cm2.15．如图，矩形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，连结DE和BF，分别取DE，BF的中点M，N，连结AM，CN，MN，若AB＝2，BC＝2，则图中阴影部分的面积为__2__．,第16题图第17题第18题图16．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件__AO＝BO(答案不唯一)__，使▱ABCD 是矩形．17．如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E点在BC上，EG⊥OB，EF⊥OC，垂足分别为点G，F，AC＝10，则EG＋EF＝__5__．18．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为(10，0)，(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为__(8，4)，(3，4)或(2，4)__．三、解答题(共66分)19．(6分)如图，已知矩形ABCD中，E是AD上一点，F是AB上一点，EF⊥EC且EF＝EC，DE ＝4 cm，矩形ABCD的周长为32 cm，求AE的长．解：∵∠AFE ＋∠AEF ＝∠AEF ＋∠CED ＝90°，∴∠AFE ＝∠DEC .又∵∠A ＝∠D ＝90°，EF ＝EC ，∴△AEF ≌△DCE ，∴AE ＝CD .设AE ＝x ，则CD ＝x ，∴AD ＋CD ＝21×32，即x ＋4＋x ＝16，∴x ＝6.即AE ＝6 cm20．(8分)如图，在矩形ABCD 中，对角线BD 的垂直平分线MN 与AD 相交于点M ，与BD 相交于点O ，与BC 相交于点N ，连结BM ，DN .(1)求证：四边形BMDN 是菱形；(2)若AB ＝4，AD ＝8，求MD 的长．解：(1)∵MN 是BD 的垂直平分线，∴BO ＝DO ，∠BON ＝∠DOM ＝90°.∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠BNO ＝∠DMO ，∴△BON ≌△DOM (AAS )，∴OM ＝ON .∵OB ＝OD ，∴四边形BMDN 是平行四边形．∵MN ⊥BD ，∴▱BMDN 是菱形(2)设MD ＝x ，则MB ＝x ，MA ＝8－x ，在Rt △ABM 中，∵BM 2＝AM 2＋AB 2，∴x 2＝(8－x )2＋42，解得x ＝5.∴MD 的长为521．(8分)如图所示，矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于点E ，∠DAE ∶∠BAE ＝3∶1，求∠BAE 和∠EAO 的度数．解：提示：由∠DAE ∶∠BAE ＝3∶1，求出∠BAE ＝22.5°，而∠ABD ＝90°－∠BAE ＝90°－22.5°＝67.5°，∵∠BAO ＝∠ABD ＝67.5°，∴∠EAO ＝∠BAO －∠BAE ＝67.5°－22.5°＝45°22．(10分)如图，已知菱形ABCD 中，AB ＝AC ，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，连结AE ，CF .(1)证明：四边形AECF 是矩形；(2)若AB ＝8，求菱形ABCD 的面积．解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ，又∵AB ＝AC ，∴△ABC 是等边三角形．∵E 是BC 的中点，∴AE ⊥BC (等边三角形三线合一)，∠AEC ＝90°.同理，CF ⊥AD .∵E ，F 分别是BC ，AD 的中点，∴AF ＝21AD ，EC ＝21BC .∵四边形ABCD 是菱形，∴AD 綊BC ，∴AF 綊EC ，∴四边形AECF 是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)．又∵∠AEC ＝90°，∴四边形AECF 是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)(2)在Rt △ABE 中，∵AE ＝＝4，∴S 菱形ABCD ＝8×4＝3223．(12分)如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，垂足分别是点E ，F ，并且DE ＝DF ，求证：(1)△ADE ≌△CDF ；(2)四边形ABCD 是菱形．解：证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A ＝∠C ，又∵DE ＝DF ，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，∴∠DEA ＝∠DFC ＝90°，∴△ADE ≌△CDF (AAS ) (2)由(1)知AD ＝DC ，又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是菱形24．(10分)在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，M ，N ，P ，Q 分别是AD ，BC ，BD ，AC 的中点，求证：MN 与PQ 互相垂直平分．解：证明：连结MP ，NQ ，PN ，MQ ，∵PM 綊21AB ，同理NQ 綊21AB ，∴PM 綊NQ ，∴四边形MPNQ 为平行四边形，又∵PN 綊21CD ，而CD ＝AB ，∴PN ＝PM ，∴四边形MPNQ 为菱形，∴MN 与PQ 互相垂直平分。

矩形菱形测试题及答案

矩形菱形测试题及答案一、选择题1. 下列哪个图形是矩形？A. 四边形B. 菱形C. 平行四边形D. 矩形答案：D2. 菱形的对角线具有什么性质？A. 相等B. 平行C. 垂直D. 垂直且平分答案：D3. 如果一个平行四边形的对角线互相垂直，则该平行四边形是：A. 矩形B. 菱形C. 平行四边形D. 梯形答案：B二、填空题4. 矩形的四个角都是_________。

答案：直角5. 菱形的四条边都_________。

答案：相等6. 如果一个平行四边形的一组对边相等，则该平行四边形是_________。

答案：矩形三、判断题7. 矩形的对角线相等。

（）答案：正确8. 菱形的对角线不一定垂直。

（）答案：错误9. 平行四边形的对角线互相平分。

（）答案：正确四、简答题10. 请简述矩形和菱形的共同点。

答案：矩形和菱形都是平行四边形，它们的对边都相等且平行。

11. 矩形和菱形的区别是什么？答案：矩形的四个角都是直角，而菱形的角不一定是直角；矩形的对角线相等且互相平分，而菱形的对角线垂直且互相平分。

五、计算题12. 已知一个矩形的长为10厘米，宽为5厘米，求其面积。

答案：矩形的面积 = 长× 宽 = 10厘米× 5厘米 = 50平方厘米。

13. 若菱形的一条对角线长为8厘米，另一条对角线长为6厘米，求菱形的面积。

答案：菱形的面积= 1/2 × 对角线1 × 对角线2 = 1/2 × 8厘米× 6厘米 = 24平方厘米。

六、解答题14. 如何证明一个四边形是矩形？答案：要证明一个四边形是矩形，需要证明以下条件之一：- 四边形的对角线相等且互相平分。

- 四边形的四个角都是直角。

- 四边形的对边相等且平行。

15. 证明菱形的对角线互相垂直。

答案：设菱形ABCD，对角线AC和BD相交于O点。

由于菱形的对边相等，所以AB=BC，AD=DC。

根据平行四边形的性质，OA=OC且OB=OD。

矩形、菱形、正方形精讲精练(含答案)-

矩形、菱形、正方形重点与难点：矩形、菱形、正方形的性质与判定定理。

一、知识点（1）矩形：有一个角是直角的平行四边形；菱形：有一组邻边相等的平行四边形；正方形：有一个角是直角并且有一组邻边相等的平行四边形。

（注：矩形、菱形、正方形的定义既是性质又是判定）（2）矩形的性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等；矩形是轴对称图形菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；正方形的性质：正方形既是矩形又是菱形，它具有矩形和菱形的全部性质；（3）矩形的判定：有三个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；菱形的判定：四边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；正方形的判定：先判定是矩形，再判定是菱形；或者先判定是菱形，再判定是矩形。

（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；菱形的面积等于对角线乘积的半二、例题：例1、如图，矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥CE交AB于F，若DE=2，矩形的周长为16，且CE=EF，求AE的长。

解：∵矩形ABCD∴∠A=∠D=90°（矩形的四个角都是直角）∴∠AEF+∠AFE=90°∵CE⊥EF∴∠AEF+∠DEC=90°∴∠AFE=∠DEC（等角的余角相等）在△AEF和△DCE中B CE D AF⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CE EF DCE AEF D A ∴△AEF ≌ △DCE（AAS ）∴AE=DC（全等三角形的对应边相等） ∴2×（AE+DE+CD ）=16 即AE=3。

例2、如图，E 是菱形ABCD 边AD 的中点，EF⊥AC 于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于G ，求证：AB 与EF 互相平分。

证明：∵菱形ABCD∴AC 平分∠BAD（菱形的对角线平分对角）AD 平行且等于AB （菱形四条边都相等，平行四边形的对边互相平行） ∠GAE=∠GBF，∠GFB=∠GEA（两直线平行，内错角相等）在△AEH 和△AGH 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠EHA GHA AH AH EAHGAH ∴△AEH ≌ △AGH（ASA ） ∴AE=AG ∵AE=21AD ∴AG=21AD=21AB 即AG=AB 在△AEG 和△BFG 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠GB GA GBF GEA FBG EAG ∴△AEG ≌ △BFG（AAS ） ∴AG=BG，EG=FGABCDEFGH例3、如图，以正方形ABCD 的DC 边为一边向外作一个等边三角形，①求证：△ABE 是等腰三角形；②求∠BAE 的度数。

矩形菱形原创训练题

矩形、菱形矩形性质：边：角：对角线：矩形判定：是矩形是矩形是矩形菱形性质：边：角：对角线：菱形判定：是菱形是菱形是菱形菱形面积公式：基础题：1、下列说法正确的是（） A ．矩形的对角线互相平分 B ．平行四边形的对角线相等C ．有一个角是直角的四边形是矩形D ．对角线相等的四边形是矩形2、下列说法：①矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形； ③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；⑤两条对角线互相垂直平分的四边形是矩形．其中，正确的有 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3、矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，602AOB AB ∠==°，，则矩形的对角线AC 的长是 ,面积为 4.已知矩形的一条对角线长是8cm ，两条对角线的一个交角为60°，则矩形的周长为______5.矩形的两条对角线的夹角是60°，一条对角线与矩形短边的和为15，那么矩形对角线的长为_______，6.如图所示，矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，∠BAE=30°，BE=1cm ，那么DE 的长为_____7.直角三角形中，两直角边长分别为12和5，则斜边中线长是8.下列检查一个门框是否为矩形的方法中正确的是（）A ．测量两条对角线，是否相等B ．测量两条对角线，是否互相平分C ．用曲尺测量门框的三个角，是否都是直角D ．用曲尺测量对角线，是否互相垂直9、如图，在矩形ABCD 中，BC=20cm ，点P 和点Q 同时从点B 和点D 出发，按逆时针方向沿矩形ABCD 的边BC 和DA 运动，点P 和点Q 的速度分别为4cm/s 和1cm/s ，则最快 s 后，四边形ABPQ 为矩形10．如图，矩形OBCD 的顶点坐标为(1，3)，则对角线BD 的长为6题图 9题图 10题图11．如图，在△ABC 中，BD ⊥AC 于点D ，CE ⊥AB 于点E ，点M ，N 分别是BC ，DE 的中点．求证：MN ⊥DE.12、在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，EF 过点O ，且AF ⊥BC ，求证：四边形AFCE 是矩形13．下面性质中菱形有而矩形没有的是（）（A）邻角互补（B）内角和为360°（C）对角线相等（D）对角线互相垂直14．下列条件中，能判定四边形是菱形的是( )A．两条对角线相等 B．两条对角线互相垂直C．两条对角线互相垂直平分 D．两条对角线相等且互相垂直15.已知菱形两条对角线的长分别为24cm和10cm，则这个菱形的周长为面积是．16. 菱形的周长为16，其相邻两内角的度数比为1∶2，则此菱形的面积为，两对角线长分别是17.已知菱形的周长为40cm，两条对角线长的比是3：4,则两对角线长分别是18.已知菱形的面积等于80cm2，高等于8cm，则菱形的周长为 .19.已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm，则菱形的面积为20、如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于21、如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是_______．22. 菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC=45°，OC=22，则点B的坐标为23、红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性的标志，将宽为1 cm的红丝带交叉成60°角重叠在一起(如图)，则重叠四边形的面积为____cm2.20题图 21题图 22题图 23题图24、菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，顺次连接菱形ABCD各边的中点所得四边形的面积为______．25、矩形ABCD中，AB=2，BC=3，顺次连接矩形ABCD各边的中点所得四边形的面积为______．26、如图所示，将一个长为10 cm，宽为8 cm的矩形纸片从下向上，从左到右对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线(虚线)剪下，再打开，得到的四边形的面积为27．如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件，使ABCD成为菱形28、如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE＝DF.给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB＝AC，从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是____ (只填写序号)．26题图 27题图 28题图29、如图，Rt△ABC中，∠B=90°，过点B作DB∥AC，且DB=AC，连接AD、ED，E是AC的中点．（1）求证：DE∥BC；（2）请问四边形ADBE是特殊四边形吗？试做出判断，并说明理由30、如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．能力题：1、如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点（且点P不与点B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．则EF的最小值为2、如图，在△ABC中，∠ACB=90°．D是AC的中点，DE⊥AC，AE∥BD，若BC=4，AE=5，则四边形ACBE的周长是________．1题图 2题图3、如图：矩形ABCD中，AB=2，BC=5，E、P分别在AD、BC上，且DE=BP=1．（1）判断△BEC的形状，并说明理由？（2）判断四边形EFPH是什么特殊四边形？并证明你的判断；（3）求四边形EFPH的面积4、如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O点，点P是线段AD上一动点（不与点D重合），PO的延长线交BC于Q点．（1）求证：四边形PBQD为平行四边形．（2）若AB=3cm，AD=4cm，P从点A出发．以1cm/秒的速度向点D匀速运动．设点P运动时间为t秒，问四边形PBQD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．5、菱形动点问题如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A 匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）.过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF.（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由.（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.备用题已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连接AF和CE．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长；如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点。

平行四边形矩形菱形经典例题(8套)

经典例题（附带详细答案）1．如图，E F 、是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，BE DF ∥，求证：AF CE =．【答案】证明：平行四边形ABCD 中，AD BC ∥，AD BC =，ACB CAD ∴∠=∠．又BE DF ∥，BEC DFA ∴∠=∠，BEC DFA ∴△≌△，∴CE AF =2．如图6，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=∠D ，，求四边形ABCD 的周长．【【答案】20、解法一: ∵∴又∵∴∴∥即得是平行四边形∴∴四边形的周长解法二:连接∵∴又∵3 ,6==AB BC AB CD ∥︒=∠+∠180C B B D ∠=∠︒=∠+∠180D C AD BC ABCD 36AB CD BC AD ====，ABCD 183262=⨯+⨯=AC AB CD ∥DCA BAC ∠=∠B D AC CA ∠=∠=，A DCBA DC BC AB EF∴≌∴∴四边形的周长解法三:连接∵∴又∵∴∴∥即是平行四边形∴∴四边形的周长3.（在四边形ABCD 中，∠D =60°，∠B 比∠A 大20°，∠C 是∠A 的2倍，求∠A ，∠B ，∠C 的大小．【关键词】多边形的内角和【答案】设x A =∠（度），则20+=∠x B ，x C 2=∠．根据四边形内角和定理得，360602)20(=++++x x x ．解得，70=x ．∴︒=∠70A ，︒=∠90B ，︒=∠140C ．4．（如图，E F ，是四边形ABCD 的对角线AC 上两点，AF CE DF BE DF BE ==，，∥．求证：（1）AFD CEB △≌△．（2）四边形ABCD 是平行四边形．【关键词】平行四边形的性质,判定【答案】证明：（1）DF BE ∥，DFE BEF ∴∠=∠．180AFD DFE ∠+∠=°，180CEB BEF ∠+∠=°，AFD CEB ∴∠=∠．又AF CE DF BE ==，，AFD CEB ∴△≌△(SAS)．（2）由（1）知AFD CEB △≌△，DAC BCA AD BC ∴∠=∠=，，AD BC ∴∥．∴四边形ABCD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）5．）25．如图13-1，在边长为5的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、DC 边上的点，且AE EF ⊥，2BE =.（1）求EC ∶CF 的值；（2）延长EF 交正方形外角平分线CP P 于点（如图13-2），试判断AE EP 与的大小关系，并说明理由；ABC △CDA △36AB CD BC AD ====，ABCD 183262=⨯+⨯=BD AB CD ∥CDB ABD ∠=∠ABC CDA ∠=∠ADB CBD ∠=∠AD BC ABCD 36AB CD BC AD ====，ABCD 183262=⨯+⨯=A BDE FC A DCB（3）在图13-2的AB 边上是否存在一点M ，使得四边形DMEP 是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．【关键词】平行四边形的判定【答案】解：（1）AE EF ⊥2390∴∠+∠=°四边形ABCD 为正方形90B C ∴∠=∠=°1390∴∠+∠=°12∠=∠90DAM ABE DA AB ∠=∠==°，DAM ABE ∴△≌△DM AE ∴=AE EP =DM PE ∴=∴四边形DMEP 是平行四边形．解法②：在AB 边上存在一点M ，使四边形DMEP 是平行四边形证明：在AB 边上取一点M ，使AM BE =，连接ME 、MD 、DP ．90AD BA DAM ABE =∠=∠=，°Rt Rt DAM ABE ∴△≌△14DM AE ∴=∠=∠，1590∠+∠=°4590∴∠+∠=°AE DM ∴⊥AE EP ⊥DM EP ∴⊥∴四边形DMEP 为平行四边形6．（2009年广州市）如图9，在ΔABC 中，D 、E 、F 分别为边AB 、BC 、CA 的中点。

矩形菱形练习题及答案

矩形【2 】.菱形常识考点：懂得并控制矩形的剖断与性质,并能应用所学常识解决有关问题. 精典例题：【例1】如图,已知矩形ABCD 中,对角线AC.BD 订交于点O,AE ⊥BD,垂足为E,∠DAE ∶∠BAE ＝3∶1,求∠EAC 的度数.剖析：本题充分应用矩形对角线把矩形分成四个等腰三角形的根本图形进行求解. 解略,答案450.例1图E ODC BA例2图FE DCB A例3图【例2】如图,已知菱形ABCD 的边长为3,延伸AB 到点E,使BE ＝2AB,贯穿连接EC 并延伸交AD 的延伸线于点F,求AF 的长.剖析：本题应用菱形的性质,联合平行线分线段成比例的性质定理,可使问题得解. 解略,答案AF ＝4.5.【例3】如图,在矩形ABCD 中,M 是BC 上的一动点,DE ⊥AM,垂足为E,3AB ＝2BC,并且AB.BC 的长是方程02)2(2=+--k x k x 的两根.（1）求k 的值;（2）当点M 分开点B 若干时,△ADE 的面积是△DEM 面积的3倍？请解释来由. 剖析：用韦达定理树立线段AB.AC 与一元二次方程系数的关系,求出k . 略解：（1）由韦达定理可得AB ＋BC ＝2-k ,AB ·BC ＝k 2,又由BC ＝23AB 可消去AB,得出一个关于k 的一元二次方程0123732=+-k k ,解得1k ＝12,2k ＝31,因AB ＋BC ＝2-k ＞0,∴k ＞2,故2k ＝31应舍去. （2）当k ＝12时,AB ＋BC ＝10,AB ·BC ＝k 2＝24,因为AB ＜BC,所以AB ＝4,BC ＝6,由DEM AED S S ∆∆=3可得AE ＝3EM ＝43AM.易证△AED ∽△MBA 得MB AE ＝AMAD ,设AE ＝a 3,AM ＝a 4,则MB ＝22a ,而AB 2＋BM 2＝AM 2,故2421644a a =+,解得2a ＝2,MB ＝22a ＝4.即当MB ＝4时,DEM AED S S ∆∆=3.评注：本题将几何问题从“形”向“数”转化,这类分解题既有几何证实中的剖析和推理,又有代数式的灵巧变换.盘算,其解题进程层次较多,步骤较庞杂,书写进程也要增强练习.摸索与创新：【问题一】如图,四边形ABCD 中,AB ＝6,BC ＝35-,CD ＝6,且∠ABC ＝1350,∠BCD ＝1200,你知道AD 的长吗？剖析：这个四边形是一个不规矩四边形,应将它补割为规矩四边形才便于求解. 略解：作AE ⊥CB 的延伸线于E,DF ⊥BC 的延伸线于F,再作AG ⊥DF 于G ∵∠ABC ＝1350,∴∠ABE ＝450 ∴△ABE 是等腰直角三角形又∵AB ＝6,∴AE ＝BE ＝3 ∵∠BCD ＝1200,∴∠FCD ＝600 ∴△DCF 是含300的直角三角形 ∵CD ＝6,CF ＝3,DF ＝33 ∴EF ＝3)35(3+-+＝8 由作图知四边形AGFE 是矩形 ∴AG ＝EF ＝8,FG ＝AE ＝3从而DG ＝DF －FG ＝32 在△ADG 中,∠AGD ＝900∴AD ＝22DG AG +＝1264+＝76＝192【问题二】把矩形ABCD 沿BD 折叠至如上图所示的情况,请你猜想四边形ABDE 是什问题一图GD问题二图么图形,并证实你的猜想.剖析与结论：本题依据题设并联合图形猜想该四边形是等腰梯形,应用对称及全等三角形的有关常识易证.跟踪练习：一.填空题：1.若矩形的对称中间到双方的距离差为4,周长为56,则这个矩形的面积为.2.已知菱形的锐角是600,边长是20cm,则较短的对角线长是cm.3.如图,矩形ABCD 中,O 是对角线的交点,若AE ⊥BD 于E,且OE ∶OD ＝1∶2,AE ＝3cm,则DE ＝cm.4.如图,P 是矩形ABCD 内一点,PA ＝3,PD ＝4,PC ＝5,则PB ＝.5.如图,在菱形ABCD 中,∠B ＝∠EAF ＝600,∠BAE ＝200,则∠CEF ＝.第3题图E O DC BA第4题图543P D CBA 第5题图FEBA二.选择题：6.在矩形ABCD 的各边AB.BC.CD.DA 上分离取点E.F.G.H,使EFGH 为矩形,则如许的矩形（）A.仅能作一个B.可以作四个C.一般情况下不可作D.可以作无限多个7.如图,在矩形ABCD 中,AB ＝4cm,AD ＝12cm,P 点在AD 边上以每秒1 cm 的速度从A 向D 活动,点Q 在BC 边上,以每秒4 cm 的速度从C 点动身,在CB 间往返活动,二点同时动身,待P 点到达D 点为止,在这段时光内,线段PQ 有（）次平行于AB. A.1 B.2 C.3 D.4••第7题图QPDCB第8题图GFE DCBA8.如图,已知矩形纸片ABCD 中,AD ＝9cm,AB ＝3cm,将其折叠,使点D 与点B 重合,那么折叠后DE 的长和折痕EF 的长分离是（） A.4cm.10cm B.5cm.10cmC.4cm.32cmD.5cm.32cm9.给出下面四个命题：①对角线相等的四边形是矩形;②对角线互相垂直的四边形是菱形;③有一个角是直角且对角线互相等分的四边形是矩形;④菱形的对角线的平方和等于边长平方的4倍.个中准确的命题有（） A.①②B.③④C.③D.①②③④10.平行四边形四个内角的等分线,假如能围成一个四边形,那么这个四边形必定是（） A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形三.解答题：11.如图,在矩形ABCD 中,F 是BC 边上一点,AF 的延伸线交DC 的延伸线于点G,DE ⊥AG 于E,且DE ＝DC,依据上述前提,请在图中找出一对全等三角形,并证实你的结论.第11题图GFEDCBA第12题图 EBA第13题图C12.如图,在△ABC 中,∠ACB ＝900,CD 是AB 边上的高,∠BAC 的等分线AE 交CD 于F,EG ⊥AB 于G,求证：四边形GECF 是菱形.13.如图,以△ABC的三边为边在BC的统一侧分离作三个等边三角形,即△ABD.△BCE.△ACF.请答复下列问题（不请求证实）：（1）四边形ADEF是什么四边形？（2）当△ABC知足什么前提时,四边形ADEF是矩形？（3）当△ABC知足什么前提时,以A.D.E.F为极点的四边形不消失？跟踪练习参考答案一.填空题：3;5.2001.180;2.20cm;3.3;4.2提醒：4题过点P作矩形任一边的垂线,应用勾股定理求解;5题贯穿连接AC,证△ABE≌△ACF得AE＝AF,从而△AEF是等边三角形.二.DDBBA三.解答题：11.可证△DEA≌△ABF12.略证：AE等分∠BAC,且EG⊥AB,EC⊥AC,故EG＝EC,易得∠AEC＝∠CEF,∵CF ＝EC,EG＝CF,又因EG⊥AB,CD⊥AB,故EG∥CF.四边形GECF是平行四边形,又因EG＝FG,故GECF是菱形.13.（1）平行四边形;（2）∠BAC＝1500;（3）当∠BAC＝600时,以A.D.E.F为极点的四边形不消失.。

九年级中考临考专题训练：矩形、菱形(含答案)

2021中考临考专题训练：矩形、菱形一、选择题1. 下列说法，正确的个数有 ()①正方形既是菱形又是矩形;②有两个角是直角的四边形是矩形;③菱形的对角线相等;④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.A.1个B.2个C.3个D.4个2. 已知菱形的边长为3，较短的一条对角线的长为2，则该菱形较长的一条对角线的长为()A.2B.2C.4D.23. （2020·四川甘孜州）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E 为AB的中点．若菱形ABCD的周长为32，则OE的长为( )A．3 B．4 C．5 D．64. 如图所示，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AC＝2，BD＝1，AP＝x，△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象的大致形状是()5. （2020·黄冈）若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（）A．4∶1 B．5∶1 C．6∶1 D．7∶16. （2020·广州）如图5，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AB=6，BC=8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（）C DFE OBA图5 A ．485 B ．325 C ．245 D ．1257. （2020·泰安）如图，矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，过点B 作BF ⊥AC 交CD 于点F ，交AC 于点M ，过点D 作DE ∥BF 交AB 于点E ，交AC 于点N ，连接FN ，EM ．则下列结论：① DN ﹦BM ；②EM ∥FN ；③AE ﹦FC ；④当AO ﹦AD 时，四边形DEBF 是菱形．其中，正确结论的个数是（） A ．1个 B ．2个 C ． 3个 D ．4个AB CDEFOMN 8. （2020·达州）如图，∠BOD =45°，BO=DO ，点A 在OB 上，四边形ABCD 是矩形，连接AC 、BD 交于点E ，连接OE 交AD 于点F .下列4个判断：①OE 平分∠BOD ；②OF=BD ；③DF=AF ；④若点G 是线段OF 的中点，则△AEG 为等腰直角三角形.正确判断的个数是（） A.4 B.3 C.2 D.1二、填空题9. 如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，∠ADB=30°，AB=4，则OC= .10. 如图，矩形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，M ，N 分别为BC ，OC 的中点.若DCA B F EOMN=4，则AC的长为.11. 如图，菱形ABCD的边长为10 cm，DE⊥AB，sin A=，则这个菱形的面积= cm2.12. 如图，矩形ABCD的面积是15，边AB的长比AD的长大2，则AD的长是________．13. 如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AD、BD的中点，若EF＝2，则菱形ABCD的周长为________．14. （2020·四川甘孜州）如图，有一张长方形纸片ABCD，AB＝8cm，BC＝10cm，点E为CD上一点，将纸片沿AE折叠，BC的对应边B'C'恰好经过点D，则线段DE的长为__________cm．15. 如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE.如果∠ADB ＝30°，则∠E＝________度.16. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10.点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处．有下列结论：①∠EBG ＝45°；②△DEF ∽△ABG ；③S △ABG ＝32S △FGH ；④AG ＋DF ＝FG . 其中正确的是______________．(把所有正确结论的序号都选上)三、解答题17. 如图，将等腰三角形ABC 绕顶点B 按逆时针方向旋转α到△A 1BC 1的位置，AB 与A 1C 1相交于点D ，AC 与A 1C 1，BC 1分别交于点E ，F . (1)求证:△BCF ≌△BA 1D ;(2)当∠C=α时，判断四边形A 1BCE 的形状，并说明理由.18. 如图，对折矩形纸片ABCD ，使AB 与DC 重合，得到折痕MN ，将纸片展平;再一次折叠，使点D 落到MN 上的点F 处，折痕AP 交MN 于E ;延长PF 交AB 于G .求证: (1)△AFG ≌△AFP ; (2)△APG 为等边三角形.19. 如图，在四边形ABCD 中，BD 为一条对角线，AD ∥BC ，AD=2BC ，∠ABD=90°，E 为AD 的中点，连接BE. (1)求证:四边形BCDE 为菱形;(2)连接AC，若AC平分∠BAD，BC=1，求AC的长.20. 如图，在平行四边形ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB的延长线于点E，连接BD，EC.(1)求证:四边形BECD是平行四边形;(2)若∠A=50°，则当∠BOD=°时，四边形BECD是矩形.21. 如图，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD、CE交于点F.(1)求证：△AEC≌△ADB；(2)若AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．22. 如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和点G，H.(1)求证：△PHC≌△CFP；(2)证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．23. 如图，在矩形ABCD中，点E是AD上的一个动点，连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△FBE，且点F落在矩形ABCD的内部，连接AF，BF，EF，过点F作GF⊥AF交AD于点G，设ADAE＝n.(1)求证：AE＝GE；(2)当点F落在AC上时，用含n的代数式表示ADAB的值；(3)若AD＝4AB，且以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形，求n的值．24. 如图，在菱形ABCD中，AB＝5，sin∠ABD＝55，点P是射线BC上一点，连接AP交菱形对角线BD于点E，连接EC.(1)求证：△ABE≌△CBE；(2)如图①，当点P在线段BC上时，且BP＝2，求△PEC的面积；(3)如图②，当点P在线段BC的延长线上时，若CE⊥EP，求线段BP的长．2021中考临考专题训练：矩形、菱形-答案一、选择题1. 【答案】B2. 【答案】C3. 【答案】B【解析】本题考查了菱形的性质和直角三角形斜边上的中线性质．∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ．∵菱形ABCD 的周长为32，∴AB ＝8．∵AC ⊥BD ，E 为AB 的中点，∴OE ＝AB ＝4．故选B ．4. 【答案】C 【解析】本题考查菱形的性质、相似三角形的性质、函数的图象和二次函数的图象和性质. 解题思路：设AC 、BD 交于点O ，由于点P 是菱形ABCD的对角线AC 上一动点，所以0＜x ＜2.当0＜x ＜1时，△AMN ∽△ABD ⇒APAO ＝MN BD ⇒x 1＝MN 1⇒MN ＝x ⇒y ＝12x 2.此二次函数的图象开口向上，对称轴是x ＝0，此时y 随x 的增大而增大. 所以B 和D 均不符合条件．当1＜x ＜2时，△CMN∽△CBD ⇒CP CO ＝MN BD ⇒2－x 1＝MN 1⇒MN ＝2－x ⇒y ＝12x(2－x)＝－12x 2＋x.此二次函数的图象开口向下，对称轴是x ＝1，此时y 随x 的增大而减小. 所以A 不符合条件．综上所述，只有C 是符合条件的．5. 【答案】B【解析】本题考查了菱形的性质及锐角三角函数等知识．由菱形的周长为16可得其边长为4，而高为2，即转化为已知某一直角三角形的斜边为4，一直角边为2，求该直角三角形的锐角．由sin α=2142，可得锐角α=30°，所以该菱形的两邻角为150°和30°，两邻角之比5∶1，因此本题选B ． 6. 【答案】C【解析】本题考查了矩形的性质，由勾股定理可得AC=10，再由矩形的对角线相等且互相平分的性质可得，OA=OD=5. △ABD 的面积为24，OA 为△ABD 的中线，由中线等分面积可得，△AOD 的面积为12.再由等面积法即可得OE+EF 的值．过程如下：∵AOE EOD AOD S S S ∴111222OA OE OD EF 即11551222OE EF ，∴OE+EF=245，因此本题选C ．7. 【答案】D【解析】本题考查了矩形的性质、三角形全等的条件与性质、等边三角形的条件与性质、平行四边形的条件与性质以及菱形的判定方法，因为四边形ABCD 是矩形，所以AB=CD ，AD=BC ，AD ∥BC ，所以∠DAN=∠BCM.因为BF ⊥AC ，DE ∥BF ，所以DE ⊥AC ，即∠AND=∠CMB=90°，所以△ADN ≌△CBM ，所以DN=BM ，∠AND=∠CBM ，则△ADE ≌△CBF ，所以AE=CF 、DE=BF ，所以NE=MF ，即①②③都是正确的，由AE=CF 、AB=CD ，所以BE=DF ，所以四边形AEBF 是平行四边形. 因为四边形ABCD 是矩形，所以AO=DO ，因为当AO ﹦AD 时，AO=DO=AO ，所以△ADO 是等边三角形，所以∠AND=∠BDE=30°，所以∠BDE=∠ABD=30°，所以DE=BE ，所以四边形DEBF 是菱形，则④也是正确的，因此本题选D ． 8. 【答案】A【解析】由矩形的性质可知：BE=DE=BD ，∠OAD=∠BAD=90°，在△ODE 和△OBE 中，BO=DO ，BE=DE ，OE=OE ，所以△ODE ≌△OBE ，∠OED=∠OEB=90°，∠OBD=∠ODB=67.5°，∠BOE=∠DOE=22.5°，故①正确；在R t △AOD 中，∠BOD=45°，∴OA=AD ，在R t △ABD 中，∠BAD=90°，∠OBD=67.5°，所以∠BDA=22.5°，在△BDA 和△FOA 中，∠BDA=∠FOA ，OA=AD ，∠OAD=∠BAD=90°，所以△BDA ≌△FOA ，所以OF=BD ，故②正确；如答图，过点F 作FQ ⊥OD 于点Q ，由角平分线的性质得AF=FQ ，由题可知∠ADO=45°，所以△FDQ 是等腰直角三角形即DF=AF ，故③正确；如答图，AG=OG=OF ，所以OG=DE ，由题意可得△OAG ≌△DAE ，所以∠OAG=∠DAE ，AG=AE ，又由∠OAG ＋∠GAF=90°可得∠GAE=90°，所以△GAE 是等腰直角三角形，故④正确．二、填空题9. 【答案】4 [解析]由题意可知，四边形ABCD 为矩形，则AC=BD ，OC=AC.已知∠ADB=30°，故在Rt △ABD 中，BD=2AB=8，∴AC=BD=8，OC=AC=4.10. 【答案】1611. 【答案】60[解析]菱形的面积可以用边长×高，即AB ×DE 计算，在Rt △ADE中，∵AD=10，sin A=，∴DE=6，∴菱形的面积为60 cm 2.12. 【答案】3【解析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用问题. 设AD ＝x ，由题知，AB ＝x ＋2，又∵矩形ABCD 的面积为15，则x(x ＋2)＝15，得到x 2＋2x －15＝0，解得，x 1＝－5(舍) , x 2＝3，∴AD ＝3.13. 【答案】16 【解析】∵E ，F 分别是AD ，BD 的中点，∴AB ＝2EF ＝4，∴菱形ABCD 周长是4AB ＝16.14. 【答案】5【解析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理．∵长方形纸片ABCD ，AB ＝8，BC ＝10，∴AB '＝8，AD ＝10，B 'C '＝10．在R t △ADB '中，由勾股定理，得DB '＝6．∴DC '＝4．设DE ＝x ，则CE ＝C 'E ＝8－x ．在R t △C 'DE 中，由勾股定理，得DE 2＝EC '2＋DC '2GQD C AB F E O即x 2＝(8－x )2＋42．∴x ＝5．即线段DE 的长为5cm ．461088-x x 108C'B'D A BCE15. 【答案】15 【解析】如解图，连接AC.∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，AC ＝BD ，又∵AB ＝BA ，∴△DAB ≌△CBA(SSS )，∴∠ACB ＝∠ADB ＝30°，∵CE ＝BD ，∴AC ＝CE ，∴∠E ＝∠CAE ＝12∠ACB ＝15°.解图16. 【答案】①③④ 【解析】由折叠的性质得，∠CBE ＝∠FBE ，∠ABG ＝∠FBG ，∴∠EBG ＝∠FBE ＋∠FBG ＝12×90°＝45°，故①正确；由折叠的性质得，BF ＝BC ＝10，BA ＝BH ＝6，∴HF ＝BF －BH ＝4，AF ＝BF 2－BA 2＝102－62＝8，设GH ＝x ，则GF ＝8－x ，在Rt △GHF 中，x 2＋42＝(8－x)2，∴x ＝3，∴GF ＝5，∴AG ＝3，同理在Rt △FDE 中，由FD 2＝EF 2－ED 2，得ED ＝83，EF ＝103，∴EDFD ＝43≠AB AG ＝2，∴△DEF 与△ABG 不相似，故②不正确；S △ABG ＝12×3×6＝9，S △FGH ＝12×3×4＝6，∴S △ABG S △FGH ＝96＝32，故③正确；∵AG ＝3，DF ＝AD －AF ＝2，∴FG＝5，∴AG ＋DF ＝FG ＝5，故④正确．综上，答案是①③④.三、解答题17. 【答案】解:(1)证明:∵△ABC 是等腰三角形，B 是顶点， ∴AB=BC ，∠A=∠C ，∵将等腰三角形ABC 绕顶点B 按逆时针方向旋转α到△A 1BC 1的位置， ∴A 1B=AB=BC ，∠A 1=∠A=∠C ，∠A 1BD=∠CBC 1.在△BCF 与△BA 1D 中，∴△BCF≌△BA1D.(2)四边形A1BCE是菱形.理由如下:∵将等腰三角形ABC绕顶点B按逆时针方向旋转α到△A1BC1的位置，∴∠A1=∠A，∵∠ADE=∠A1DB，∴∠AED=∠A1BD=α，∵∠AED=∠C=α，∴A1E∥BC.∵∠AED=∠A1=α，∴A1B∥CE.∴四边形A1BCE是平行四边形，又∵A1B=BC，∴四边形A1BCE是菱形.18. 【答案】证明:(1)∵对折矩形纸片ABCD，使AB与CD重合，得到折痕MN，∴MN∥AB，M，N分别为AD，BC中点，由平行线的性质可知PF=GF.由折叠的性质得∠PF A=∠GF A=90°，∴△AFG≌△AFP(SAS).(2)∵△AFG≌△AFP，∴AP=AG，∠2=∠3.又∵∠2=∠1，∴∠1=∠2=∠3.又∵∠1+∠2+∠3=90°，∴3∠2=90°，∴∠2=30°，∠P AG=2∠2=60°，∴△APG 为等边三角形.19. 【答案】解:(1)证明:∵E为AD的中点，AD=2BC，∴BC=ED，∵AD∥BC，∴四边形BCDE是平行四边形，∵∠ABD=90°，AE=DE，∴BE=ED，∴四边形BCDE是菱形.(2)∵AD∥BC，AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC=∠BCA，∴BA=BC=1，∵AD=2BC=2，∴sin∠ADB=，∴∠ADB=30°，∴∠DAC=∠BAD=30°，∠ADC=2∠ADB=60°.∴∠ACD=90°.在Rt△ACD中，AD=2，CD=1，∴AC=.20. 【答案】解:(1)证明:∵平行四边形ABCD，∴AE∥DC，∴∠EBO=∠DCO，∠BEO=∠CDO，∵点O是边BC的中点，∴BO=CO，∴△EBO≌△DCO(AAS)，∴EO=DO，∴四边形BECD是平行四边形.(2)100[解析]若四边形BECD为矩形，则BC=DE，BD⊥AE，又AD=BC，∴AD=DE.根据等腰三角形的性质，可知∠ADB=∠EDB=40°，故∠BOD=180°-∠ADE=100°.21. 【答案】(1)证明：∵△ADE 是由△ABC 绕点A 沿顺时针方向旋转而得，∴AD ＝AB ，AE ＝AC ，∠BAC ＝∠DAE ，(1分)∵AB ＝AC ，∴AD ＝AB ＝AE ＝AC ，∠EAC ＝∠DAB ，在△AEC 和△ADB 中∵⎩⎨⎧AD ＝ AE∠EAC ＝∠DAB AB ＝AC，∴△AEC ≌△ADB(SAS )．(3分)(2)解：当四边形ADFC 是菱形时，AC ＝DF ，AC ∥DF ，∴∠BAC ＝∠ABD ，又∵∠BAC ＝45°，∴∠ABD ＝45°，(5分)又∵△ADE 是由△ABC 绕点A 沿顺时针方向旋转而得，∴AD ＝AB ，∴∠DAB ＝90°，(6分)又∵AB ＝2，由勾股定理可得：BD ＝AD 2＋AB 2＝2AB ＝22，在菱形ADFC 中，DF ＝AD ＝AB ＝2，∴BF ＝BD －DF ＝22－2.(8分)22. 【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴DC ∥AB ，AD ∥BC ，∠DCB ＝90°.(1分) ∵EF ∥AB ，GH ∥AD ，∴EF ∥CD ，GH ∥BC ，∴四边形PFCH 是矩形，(2分)∴∠PHC ＝∠PFC ＝90°，PH ＝CF ，HC ＝PF ，(3分)∴△PHC ≌△CFP(SAS )．(4分)(2)证明：(1)由(1)知AB ∥EF ∥CD ，AD ∥GH ∥BC ，∴四边形PEDH 和四边形PGBF 都是平行四边形，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D ＝∠B ＝90°，∴四边形PEDH 和四边形PGBF 都是矩形，∴S 矩形PEDH ＝S 矩形PGBF .(8分)【解法提示】同(1)证法一样可得，△ACD ≌△CAB ，△APE ≌△PAG ，△PHC ≌△CFP ，∴S △ACD －S △AEP －S △PCH ＝S △CAB －S △PGA －S △CFP ，∴S 四边形PEDH ＝S 四边形PFBG .23. 【答案】(1)证明：由折叠性质得AE ＝FE ，∴∠EAF ＝∠EF A ，∵GF ⊥AF ，∴∠EAF ＋∠FGA ＝∠EF A ＋∠EFG ＝90°，∴∠FGA ＝∠EFG ，∴EG ＝EF ，∴AE ＝GE ；(2)解：如解图①，当点F 落在AC 上时，设AE ＝a ，则AD ＝na ，解图①由对称性得BE ⊥AF ，∴∠ABE ＋∠BAC ＝90°，∵∠DAC ＋∠BAC ＝90°，∴∠ABE ＝∠DAC ，又∵∠BAE ＝∠D ＝90°，∴△ABE ∽△DAC ， ∴AB DA ＝AE DC ，∵AB ＝DC ，∴AB 2＝AD ·AE ＝na ·a ＝na 2，∵AB ＞0，∴AB ＝na ，∴AD AB ＝na na＝n ； (3)解：若AD ＝4AB ，则AB ＝n 4a ，如解图②，当点F 落在线段BC 上时，EF ＝AE ＝AB ＝a .解图②此时n 4a ＝a ，∴n ＝4，∴当点F 落在矩形内部时，n ＞4.∵点F 落在矩形的内部，点G 在AD 上，∴∠FCG ＜∠BCD ，∴∠FCG ＜90°.①若∠CFG ＝90°，则点F 落在AC 上，由(2)得AD AB ＝n ，即4AB AB ＝n ，∴n ＝16；②如解图③，若∠CGF ＝90°，则∠CGD ＋∠AGF ＝90°，解图③∵∠F AG ＋∠AGF ＝90°，∴∠CGD ＝∠F AG ＝∠ABE .∵∠BAE ＝∠D ＝90°，∴△ABE ∽△DGC ，∴AB DG ＝AE DC ，∵DG ＝AD －AE －EG ＝na －2a ＝(n －2)a ，∴AB ·DC ＝DG ·AE ，即(n 4a )2＝(n －2)a ·a ，解得n 1＝8＋42，n 2＝8－42＜4(不合题意，舍去)．综上所述，当n ＝16或n ＝8＋42时，以点F ，C ，G 为顶点的三角形是直角三角形．24. 【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ，∠ABE ＝∠CBE .在△ABE 和△CBE 中，AB ＝BC ，∠ABE ＝∠CBE ，BE ＝BE ，∴△ABE ≌△CBE (SAS)；(2)解：如解图①，连接AC 交BD 于点O ，分别过点A 、E 作BC 的垂线，垂足分别为点H 、F ，解图①∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∵AB ＝5，sin ∠ABD ＝55，∴AO ＝OC ＝5，∴BO ＝OD ＝25， ∴AC ＝25，BD ＝45， ∵12AC ·BD ＝BC ·AH ，即12×25×45＝5AH ，∴AH ＝4，∵AD ∥BC ，∴△AED ∽△PEB ， ∴AE PE ＝AD BP， ∴AE ＋PE PE ＝AD ＋BP BP ，即AP PE ＝5＋22＝72，∴AP ＝72PE ，又∵EF ∥AH ，∴△EFP ∽△AHP ，∴EF AH ＝PE AP ，∴EF ＝PE AP ·AH ＝PE 72PE×4＝87，∴S △PEC ＝12PC ·EF ＝12×(5－2)×87＝127；(3)解：如解图②，连接AC 交BD 于点O ，解图②∵△ABE ≌△CBE ，CE ⊥PE ，∴∠AEB ＝∠CEB ＝45°，∴AO ＝OE ＝5，∴DE ＝OD －OE ＝25－5＝5，BE ＝3 5. ∵AD ∥BP ，∴△ADE ∽△PBE ，∴AD BP ＝DE BE ，∴5BP＝535，∴BP＝15.。

2024学年八年级数学经典好题专项(矩形、菱形、正方形)练习(附答案)

2024学年八年级数学经典好题专项（矩形、菱形、正方形）练习一、选择题1、菱形不具备的性质是( )A ．四条边都相等B ．对角线一定相等C ．是轴对称图形D ．是中心对称图形2、如图，菱形ABCD 中，∠D ＝150°，则∠1＝( )A ．30°B ．25°C ．20°D ．15°（2题）（3题）（4题）3、如图，在▱ABCD 中，AB ＝BC ，下列结论错误的是( )A ．四边形ABCD 是菱形B ．AB ＝ADC ．AO ＝OC ，BO ＝OD D ．∠BAD ＝∠ABC4、如图所示，菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝2，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为( )A ．2 3B ．3 3C ．4 3D ．35、如图，菱形ABCD 中，AB=15，∠ADC=120°，则B、D 两点之间的距离为（）A．15 B．3215 C．7.5 D．315（5题）（7题）（8题）（9题）6、菱形的周长为32cm，一个内角的度数是60°，则两条对角线的长分别是（）A．8cm 和cm B．4cm 和cm C．8cm 和cm D．4cm 和cm7、如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 的长分别为6 cm ，8 cm ，则这个菱形的周长为( )A ．5 cmB ．10 cmC ．14 cmD ．20 cm8、如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝80°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，垂足为点E ，连接DF ，则∠CDF 等于( )A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°9、如图．剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（）A．∠ABC=∠ADC,∠BAD=∠BCD B．AB=BC C．AB=CD ,AD=BC D．∠DAB+∠BCD=180º10、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为菱形，O(0，0)，A(4，0)，∠AOC ＝60°，则对角线交点E 的坐标为( )A ．(2， 3 )B ．( 3 ，2)C ．( 3 ，3)D ．(3， 3 )（10题）（11题）（12题）（13题）二、填空题11、如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在边BC ，AB ，CA 上，且DE ∥CA ，DF ∥BA.小聪认为如果AD平分∠BAC ，那么四边形AEDF 是菱形，小聪的说法．(填“正确”或“不正确”)12、在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若∠ABC ＝140°，则∠BAD ＝________°，∠ABD ＝________°，∠BCA ＝________°；13、如图，菱形ABCD 的边长为2 cm ，E 是BC 的中点，且AE ⊥BC ，则菱形ABCD 的面积为_____.14、如图，P 是菱形ABCD 的对角线AC 上一点，PE ⊥AD 于点E ，且PE ＝3 cm ，则点P 到AB 的距离为__ __ cm.（14题）（15题）（17题）（20题）15、如图，在菱形ABCD 中，AB ＝5，AO ＝3，点E 在BC 的延长线上，∠E ＝12∠ABC ，DE ＝16、菱形ABCD 的周长为48cm，∠BAD：∠ABC=1：2，则BD=_____，菱形的面积是______．17、如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若AC ＝8 cm ，BD ＝6 cm ，则该菱形的面积为________cm 2，周长为________cm.18、已知菱形ABCD 的面积为24 cm 2，若对角线AC ＝6 cm ，则这个菱形的边长为____ cm.19、四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，AB ＝6，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 在AC 上，若OE ＝3，则CE 的长为_________20、如图，点P 是边长为1的菱形ABCD 对角线AC 上的一个动点，点M ，N 分别是AB ，BC 边的中点，则MP ＋PN 的最小值是______.三、解答题21、已知：如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，DE ∥AC 交BC 于点E ，DF ∥BC 交AC于点F. 四边形DECF 是菱形吗？为什么？22、如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC＝8 cm，BD＝6 cm，DH⊥AB于H.(1)求菱形ABCD的面积；(2)求DH的长．23、如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD＝12 cm，AC＝6 cm.求菱形的周长．24、已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD.（1）求证：四边形AODE是矩形；（2）若AB=6，∠BCD=120°，求四边形AODE的面积.25、如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF.求证：(1)△ABF≌△DAE；(2)DE＝BF＋EF.26、已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1＝∠2.(1)若CE＝1，求BC的长；(2)求证：AM＝DF＋ME.参考答案一、选择题1、菱形不具备的性质是( B )A ．四条边都相等B ．对角线一定相等C ．是轴对称图形D ．是中心对称图形2、如图，菱形ABCD 中，∠D ＝150°，则∠1＝( D )A ．30°B ．25°C ．20°D ．15°3、如图，在▱ABCD 中，AB ＝BC ，下列结论错误的是( D )A ．四边形ABCD 是菱形B ．AB ＝ADC ．AO ＝OC ，BO ＝OD D ．∠BAD ＝∠ABC4、如图所示，菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝2，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为( B )A ．2 3B ．3 3C ．4 3D ．35、如图，菱形ABCD 中，AB=15，∠ADC=120°，则B、D 两点之间的距离为（ A ）A．15 B．3215 C．7.5 D．3156、菱形的周长为32cm，一个内角的度数是60°，则两条对角线的长分别是（C ）A．8cm 和cm B．4cm 和cm C．8cm 和cm D．4cm 和cm7、如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 的长分别为6 cm ，8 cm ，则这个菱形的周长为(D )A ．5 cmB ．10 cmC ．14 cmD ．20 cm8、如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为点E，连接DF，则∠CDF等于( B )A．50° B．60° C．70° D．80°9、如图．剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（）A．∠ABC=∠ADC,∠BAD=∠BCD B．AB=BC C．AB=CD ,AD=BC D．∠DAB+∠BCD=180º解析：∵四边形ABCD是用两张等宽的纸条交叉重叠放在一起而组成的图形，∴AB∥CD，AD∥BC, ∴四边形ABCD是平行四边形（对边相互平行的四边形是平行四边形）．过点A分别作BC，CD边上的高为AE，AF，连接AC，则AE=AF(两纸条相同，纸条宽度相同)，∴在平行四边形ABCD中．S△ABC=S△ACD，即BC•AE=CD•AF，∴BC=CD，AB=BC．故B中结论成立；∴平行四边形ABCD为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形），∴∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD（菱形的对角相等），故A中结论成立；AB=CD，AD=BC（平行四边形的对边相等），故C中结论成立：当四边形ABCD是矩形时，有∠DAB+∠BCD=180º．故D中结论不一定成立，故选D．10、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O(0，0)，A(4，0)，∠AOC＝60°，则对角线交点E的坐标为( D )A．(2， 3 ) B．( 3 ，2) C．( 3 ，3) D．(3， 3 )二、填空题11、如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA.小聪认为如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形，小聪的说法正确．(填“正确”或“不正确”)12、在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠ABC＝140°，则∠BAD＝________°，∠ABD＝________°，∠BCA＝________°；答案：40，70，2013、如图，菱形ABCD的边长为2 cm，E是BC的中点，且AE⊥BC，则菱形ABCD的面积为__2 3 cm2 ____.14、如图，P是菱形ABCD的对角线AC上一点，PE⊥AD于点E，且PE＝3 cm，则点P到AB的距离为__3 __ cm.15、如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AO＝3，点E在BC的延长线上，∠E＝12∠ABC，DE＝816、菱形ABCD的周长为48cm，∠BAD：∠ABC=1：2，则BD=_____，菱形的面积是______．217、如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AC＝8 cm，BD＝6 cm，则该菱形的面积为________cm2，周长为________cm.答案：24，2018、已知菱形ABCD的面积为24 cm2，若对角线AC＝6 cm，则这个菱形的边长为__5 __ cm.19、四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝6，对角线AC与BD相交于点O，点E在AC上，若OE＝3，则CE的长为___43或23______20、如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边的中点，则MP＋PN的最小值是__1 ____.三、解答题21、已知：如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE∥AC交BC于点E，DF∥BC交AC于点F. 四边形DECF是菱形吗？为什么？解：四边形DECF是菱形．理由如下：∵DE∥FC，DF∥EC，∴四边形DECF为平行四边形．由AC∥DE，知∠2＝∠3. ∵CD平分∠ACB，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DE＝EC，∴平行四边形DECF为菱形．22、如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC＝8 cm，BD＝6 cm，DH⊥AB于H.(1)求菱形ABCD的面积；(2)求DH的长．解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，AC ＝8 cm ，BD ＝6 cm ，∴S 菱形ABCD ＝12ACꞏBD ＝12×6×8＝24(cm 2)．(2)∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，OA ＝OC ＝12＝4 cm ，OB ＝OD ＝3 cm ，∴在直角三角形AOB 中，AB ＝OB 2＋OA 2＝32＋42＝5 cm ，∴DH ＝S 菱形ABCD AB ＝4.8 cm.23、如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，BD ＝12 cm ，AC ＝6 cm.求菱形的周长．解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO ＝12AC ，BO ＝12 BD.∵AC ＝6 cm ，BD ＝12 cm ， ∴AO ＝3 cm ，BO ＝6 cm.在Rt △ABO 中，由勾股定理，得AB ＝AO 2＋BO 2＝32＋62＝3 5 cm ，∴菱形的周长＝4AB=4×3 5 =12 5 cm.24、已知：如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，DE ∥AC ，AE ∥BD.（1）求证：四边形AODE 是矩形；（2）若AB=6，∠BCD=120°，求四边形AODE 的面积.解答：（1）证明：∵DE ∥AC ，AE ∥BD ，∴四边形AODE 是平行四边形，∵在菱形ABCD 中，AC ⊥BD ，∴ AOD=90 , ∴平行四边形AODE 是是矩形；（2）∵∠BCD=120°，AB ∥CD ，∴∠ABC=180°‐120°=60°，∵AB=BC ，∴△ABC 是等边三角形，∴OA=21×6=3, OD=OB=6×23=33,∴四边形AODE 的面积=OA ∙OD=9325、如图，在菱形ABCD 中，点P 是BC 边上一点，连接AP ，点E ，F 是AP 上的两点，连接DE ，BF ，使得∠AED ＝∠ABC ，∠ABF ＝∠BPF .求证：(1)△ABF ≌△DAE ；(2)DE ＝BF ＋EF .证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ，AD ∥BC . ∴∠BP A ＝∠DAE .∵∠ABC ＝∠AED ，∴∠BAF ＝∠ADE .∵∠ABF ＝∠BPF ，∠BP A ＝∠DAE ，∴∠ABF ＝∠DAE .∵AB ＝DA ，∴△ABF ≌△DAE (ASA)．(2)∵△ABF ≌△DAE ， ∴BF ＝AE ，AF ＝DE .∵AF ＝AE ＋EF ＝BF ＋EF ，∴DE ＝BF ＋EF .26、已知：如图，在菱形ABCD 中，F 为边BC 的中点，DF 与对角线AC 交于点M ，过M 作ME ⊥CD 于点E ，∠1＝∠2.(1)若CE ＝1，求BC 的长；(2)求证：AM ＝DF ＋ME.(1)解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，∴∠1＝∠ACD ，∵∠1＝∠2，∴∠ACD ＝∠2，∴MC ＝MD ，∵ME ⊥CD ，∴CD ＝2CE ， ∵CE ＝1，∴CD ＝2，∴BC ＝CD ＝2(2)证明：如图，∵F 为边BC 的中点，∴BF ＝CF ＝12BC ，∴CF ＝CE ，在菱形ABCD 中，AC 平分∠BCD ，∴∠ACB ＝∠ACD ，在△CEM 和△CFM 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧CE ＝CF ，∠ACB ＝∠ACD ，CM ＝CM ，∴△CEM ≌△CFM(SAS)，∴ME ＝MF ，延长AB 交DF 的延长线于点G ， ∵AB ∥CD ，∴∠G ＝∠2， ∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠G ，∴AM ＝MG ，在△CDF 和△BGF 中，∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠FC FB DFC GFB G 2,∴△CDF ≌△BGF(AAS)，∴GF ＝DF ，由图形可知，GM ＝GF ＋MF ，∴AM ＝DF ＋ME。

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矩形菱形经典练习题
矩形的性质与判定
1．（1）矩形的定义中有两个条件：一是，二是．
（2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°，则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为、、、．
2．下列说法错误的是（）． A、矩形的对角线互相平分B、矩形的对角线相等
C、有一个角是直角的四边形是矩形
D、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
3.矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（）．
A、2对
B、4对
C、6对
D、8对
4．已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为
______cm， cm， cm， cm．
5、已知：如图，矩形 ABCD中，AB长8 cm ，对角线比AD边长4 cm．求AD
的长及点A到BD的距离AE的长．
6、下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？
（1）有一个角是直角的四边形是矩形；（）
（2）有四个角是直角的四边形是矩形；（）
（3）四个角都相等的四边形是矩形；（）
（4）对角线相等的四边形是矩形；（）
（5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；（）
（6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（）
（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；（）
（8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（）
（9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形． ( )
7．工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：
⑴先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使AB＝CD，EF＝GH；
⑵摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状
是形，根据的数学道理是：；
⑶将直角尺靠紧窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时
（如图④），说明窗框合格，这时窗框是形，根据的数学道理是：；
8．矩形的两条对角线的夹角为60°，对角线长为15cm，较短边的长为（）．
(A)12cm (B)10cm (C)7.5cm (D)5cm
9、如图，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，BE AC
⊥于E，CF BD
⊥于F。

求证BE=CF。

10、已知，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∠1=45°，求证：BO=BE
11、如图所示，E为□ABCD外，AE⊥CE,BE⊥DE，求证：□ABCD为矩形
12、如图，在△ABC中，BE、CF是高，点M、N分别是BC、EF的中点，求证：MN⊥EF
E
A
B C
D
O
1
13、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别是AC、AB的中点，点F在BC的延长线上，且∠CDF=∠A，求证：四边形DECF是平行四边形
14、如图，直线EF∥MN，PQ交EF、MN于A、C两点，AB、CB、CD、AD分别是∠EAC、∠MCA、∠ACN、∠CAF的角平分线，求证：四边形ABCD是矩形
15、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD=BD，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，求证：DE=DF
11、如图，已知矩形ABCD，从顶点C作对角线BD的垂线与∠BAD的平分线交与点E，求证：BD=CE
12、如图所示，△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥
BC，设MN交∠BCA的平分线于E，交∠BCA的外角平分线于点F.
(1)求证：EO=FO
E F
M N
P
A
C
D
B
D
(2)当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论.
菱形的性质与判定
1．______________的平行四边形叫做菱形．
2．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ,则AB =AD =_______=_______,即菱形的_______________相等，图中的等腰三角形有__________________，直角三角形有______________，△AOD ≌____________≌____________
≌_____________，由此可以得出菱形的对角线__________________,每一条对角线________________．
3．按图示的虚线折纸，然后连接ABCD 可得菱形，由此可以得到_____________的四边形是菱形．
4．木工做菱形窗棂时总要保持四条边框一样长，道理是__________________________ ．
5．菱形的对角线长分别为6和8,则这个菱形的周长是_______，面积是______． 6．下面性质中，菱形不一定具有的是（）
A ．对角线相等
B ．是中心对称图形
C ．是轴对称图形
D ．对角线互相平分 7．菱形的周长为20 cm ，两邻角的比为1:2，则较短对角线的长是_____________；一组对边的距离是____________．
8．填空：（1）对角线互相平分的四边形是；
（2）对角线互相垂直平分的四边形是________；（3）对角线相等且互相平分的四边形是________；
（4）两组对边分别平行，且对角线的四边形是菱形． 9、下列条件中，能判定四边形是菱形的是（）．
（A ）两条对角线相等（B ）两条对角线互相垂直
（C ）两条对角线相等且互相垂直（D ）两条对角线互相垂直平分
10．已知：如图，菱形ABCD 中，E 、F 分别是CB 、CD 上的点，且BE=DF ．求证：∠AEF=∠AFE ．
A
B
C D
11．如图，O 是矩形ABCD 的对角线的交点，DE ∥AC ，CE ∥BD ，DE 和CE 相交于E ，求证：四边形OCED 是菱形。

12、如图，在□ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，CD 的中点，连结DE ，
BF ，BD ． (1)求证：△ADE ≌△CBF ．
(2)若AD ⊥BD ，则四边形BFDE 是什么特殊四边形?请证明你的结论．
13、已知：如图，M 是等腰三角形ABC 底边BC 上的中点，DM ⊥AB ，EF ⊥AB ，ME ⊥AC ，DG ⊥AC ．求证：四边形MEND 是菱形．
课后作业
1、若四边形ABCD 为平行四边形，请补充条件使得四边形ABCD 为菱形．
2、如图1，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，∠AOB =2∠BOC ，若对角线 AC =6cm ，则周长= ，面积= 。

3.如图2，菱形ABCD 的边长为8cm ，∠BAD =120°，则AC= ,BD= ,面积= 。

4.如图3，菱形ABCD 的对角线的长分别为2和5，P 是对角线AC 上任一点（点P 不与点A 、C 重合）且PE ∥BC 交AB 于E ，PF ∥CD 交
AD 于F ，则阴影部分的
面积是
图1 图2 图3
5.顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（） A .等腰梯形
B .正方形
C .平行四边形
D .矩形
B A D C
O
A
B
C
D
6.如图，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为
AF ．若6CD ，则AF 等于（） A
．
B
．
C
．
D ．8
7．已知如图，菱形ABCD 中，∠ADC =120°，AC
= （1）求BD 的长；（2）求菱形ABCD 的面积，（3）写出A 、B 、C 、D 的坐标.
ＢＦ
Ｃ
Ｅ
ＤＡ。