八年级下册初二数学因式分解教案

八年级下册初二数学因

式分解教案

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因式分解

【知识梳理】

● 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。

即：多项式→几个整式的积 例：111

()333

ax bx x a b +=+

因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。 (1)整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式； (2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘； (3)因式分解的最后结果应当是“积”的形式。

【例题】判断下面哪项是因式分解： 因式分解的方法 ● 提公因式法：

定义：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，从而将多项式化成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。

公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。

【例题】333234221286a b c a b c a b c -+的公因式是 ．

【解析】从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、－8、6，它们

的最大公约数为2；字母部分33323422,,a b c a b c a b c 都含有因式32a b c ，故多项式的公因式是232a b c ．

小结提公因式的步骤：

第一步：找出公因式；

第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。

注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。多项式中第一项有负号的，要先提取符号。

【基础练习】

1．ax 、ay 、－ax 的公因式是__________；6mn 2、－2m 2n 3、4mn 的公因式是__________．

2．下列各式变形中，是因式分解的是（ ）

A ．a 2－2ab ＋b 2－1＝（a －b ）2－1

B ．)11(22222x

x x x +=+ C ．（x ＋2）（x －2）＝x 2－4

D ．x 4－1＝（x 2＋1）（x ＋1）（x －1）

3．将多项式－6x 3y 2 ＋3x 2y 2－12x 2y 3分解因式时，应提取的公因式是（ ） A ．－3xy

B ．－3x 2y

C ．－3x 2y 2

D ．－3x 3y 3

4．多项式a n －a 3n ＋a n ＋2分解因式的结果是（ ）

A ．a n （1－a 3＋a 2）

B ．a n （－a 2n ＋a 2）

C ．a n （1－a 2n ＋a 2）

D ．a n （－a 3＋a n ）

5．把下列各式因式分解：

5x 2y ＋10xy 2－15xy 3x （m －n ）＋2（m －n ） 3（x －3）2－6（3－x ）

y （x －y ）2－（y －x ）3 －2x 2n －4x n x （a －b ）2n ＋xy （b －a ）2n ＋1 6．应用简便方法计算：

（1）2012－201

（2）×＋×－×

（3）说明3200－4×3199＋10×3198能被7整除．

【提高练习】

1．把下列各式因式分解：

（1）－16a 2b －8ab ＝________________________；

（2）x 3（x －y ）2－x 2（y －x ）2＝________________________． 2．在空白处填出适当的式子：

（1）x （y －1）－（ ）＝（y －1）（x ＋1）； （2）

=+c b ab 329

4

278（ ）（2a ＋3bc ）． 3．如果多项式x 2＋mx ＋n 可因式分解为（x ＋1）（x －2），则m 、n 的值为（ ）

A ．m ＝1，n ＝2

B ．m ＝－1，n ＝2

C ．m ＝1，n ＝－2

D ．m ＝－1，n

＝－2

4．（－2）10＋（－2）11等于（ ）

A ．－210

B ．－211

C ．210

D ．－2

5．已知x ，y 满足?

?

?=-=+,13,

62y x y x 求

7y （x －3y ）2－2（3y －x ）3的值．

6．已知x ＋y ＝2，,2

1-=xy 求x （x ＋y ）2（1－y ）－x （y ＋x ）2的值

7．因式分解：（1）ax ＋ay ＋bx ＋by ；

（2）2ax ＋3am －10bx －15bm ．

● 运用公式法

定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。

● 平方差公式

式子： ))((22b a b a b a -+=-

语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。这个公式就是平方差公式。

【例题1】在括号内写出适当的式子：

0．25m 4＝（ ）2； =n y 29

4（ ）2； 121a 2b 6＝（ ）2．

【例题2】因式分解：（1）x 2－y 2＝（ ）（ ）； （2）m 2－16＝（ ）

（ ）；

（3）49a 2－4＝（ ）（ ）；（4）2b 2－2＝（ ）

（ ）．

【基础练习】

1．下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（ ） A ．y 2－49x 2

B ．

449

1

x - C ．－m 4－n 2 D ．9)(4

12-+q p

2．下列因式分解错误．．

的是（ ） A ．1－16a 2＝（1＋4a ）（1－4a ） B ．x 3－x ＝x （x 2－1） C

．a 2－b 2c 2

＝

（a ＋bc ）（a －bc ）

D ．)l .03

2)(3

2l .0(l 0.09

4

22n m m n n m -+=- 3．把下列各式因式分解：

（a ＋b ）2－64

m 4－81n 4 （2a －3b ）2－（b ＋a ）2

4．利用公式简算：（1）2008＋20082－20092； （2）×512－×492． 5．已知x ＋2y ＝3，x 2－4y 2＝－15，（1）求x －2y 的值；（2）求x 和y 的值．

【提高练习】

1．因式分解下列各式： （1）m m +-

3

16

1＝_____________________； （2）x 4－16＝

_____________________；

（3）11-+-m m a a ＝_____________________； （4）x （x 2－1）－x 2＋1＝_________________．

2．把（3m ＋2n ）2－（3m －2n ）2分解因式，结果是（ ）

A ．0

B ．16n 2

C ．36m 2

D ．24mn

3．下列因式分解正确的是（ ）

A ．－a 2＋9b 2＝（2a ＋3b ）（2a －3b ）

B ．a 5－81ab 4＝a （a 2＋9b 2）（a 2－9b 2）

C ．)21)(21(2

12212a a a -+=- D ．x 2－4y 2－3x －6y ＝（x －2y ）（x ＋2y －3）

4．把下列各式因式分解：

m 2（x －y ）＋n 2（y －x ） 3（x ＋y ）2－27 （3m 2－n 2）2－（m 2－3n 2）2 5．已知,44

25

,7522==

y x 求（x ＋y ）2－（x －y ）2的值． 6．分别根据所给条件求出自然数x 和y 的值：

（1）x 、y 满足x 2＋xy ＝35；（2）x 、y 满足x 2－y 2＝45．

完全平方公式

（1）式子：

2

2

2

222)

(2)(2b a b ab a b a b ab a -=+-+=++ 拓展：

)

)(())((2

2

3

3

2233b ab a b a b a b ab a b a b a +-+=+++-=-

【例题】分解因式：2

2

2

2

2222)

2(22244)7(7724914-=+??-=+-+=+??+=++a a a a a x x x x x

【变式练习】

1．分解因式：4

1

242+

+x x = ； 21449a a -+= ．

2．因式分解244a a -+，正确的是( )

A ．24(1)a a -+

B ．2(2)a -

C ．(2)(2)a a --

D ．2(2)a +

【注意】①公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。

【例】[]2

23)(9)(6)(-+=++-+n m n m n m

②当多项式的各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，然后再进一步分解因式。

【例】)2)(2(2)2(2)4(2822223-+=-=-=-x x x x x x x x x

【变式练习】

1．分解因式：222050x x -+= ． 2．分解因式：=-+--2)(9)(124y x y x ． 3．分解因式：2882x y xy y -+=___ ________． 4．分解因式：(a +b )3－

4(a +b )=__________________________________________________．

5．分解因式：3m (2x －y )2－3mn 2＝

_______________________________________________．

6．因式分解：2222(1)2(1)(1)x y x y y -+-+-

【基础练习】

1．在括号中填入适当的式子，使等式成立：

（1）x 2＋6x ＋（ ）＝（ ）2；（2）x 2－（ ）＋4y 2＝（ ）2； （3）a 2－5a ＋（ ）＝（ ）2；（4）4m 2－12mn ＋（ ）＝（ ）2 2．若4x 2－mxy ＋25y 2＝（2x ＋5y ）2，则m ＝__________． 3．将a 2＋24a ＋144因式分解，结果为（ ）

A ．（a ＋18）（a ＋8）

B ．（a ＋12）（a －12）

C ．（a ＋12）

2

D ．（a －12）2

4．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的有（ ）

①9a 2－1； ②x 2＋4x ＋4； ③m 2－4mn ＋n 2； ④－a 2－b 2＋2ab ； ⑤;9

13

222n mn m +- ⑥（x －y ）2－6z （x ＋y ）＋9z 2． A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．5个

5．下列因式分解正确的是（ ）

A ．4（m －n ）2－4（m －n ）＋1＝（2m －2n ＋1）2

B ．18x －9x 2－9＝－9（x ＋1）2

C ．4（m －n ）2－4（n －m ）＋1＝（2m －2n ＋1）2

D ．－a 2－2ab －b 2＝（－a －b ）2

6．把下列各式因式分解：a 2－16a ＋64 －x 2－4y 2＋4xy

（a －b ）2－2（a －b ）（a ＋b ）＋（a ＋b ）2

4x 3＋4x 2＋x

7．计算：（1）2972 （2）

8．若a 2＋2a ＋1＋b 2－6b ＋9＝0，求a 2－b 2的值．

【提高练习】

1．把下列各式因式分解：

（1）25（p ＋q ）

2

＋10（p ＋q ）＋1＝

__________________________________________；

（2）a n ＋1＋a n －1－2a n ＝__________________________________________； （

3

）

（

a

＋

1

）

（

a

＋

5

）

＋

4

＝

__________________________________________．

2．如果x 2＋kxy ＋9y 2是一个完全平方公式，那么k 是（ ）

A ．6

B ．－6

C ．±6

D ．18

3．如果a 2－ab －4m 是一个完全平方公式，那么m 是（ ）

A ．216

1b

B ．216

1b -

C ．28

1b

D ．28

1

b -

4．如果x 2＋2ax ＋b 是一个完全平方公式，那么a 与b 满足的关系是（ ）

A ．b ＝a

B ．a ＝2b

C ．b ＝2a

D ．b ＝a 2

5．把下列各式因式分解：

2mx 2－4mxy ＋2my 2 x 3y ＋2x 2y 2＋xy 3 234

1

x x x -+ （m 2＋n 2）2－4m 2n 2

x 2＋2x ＋1－y 2 x 2－2xy ＋y 2－2x ＋2y ＋1

（a ＋1）2（2a －3）－2（a ＋1）（3－2a ）＋2a －3 6．若,31=+x

x 求2

21x x +

的值．

7．若a 4＋b 4＋a 2b 2＝5，ab ＝2，求a 2＋b 2的值．

8．已知x 3＋y 3＝（x ＋y ）（x 2－xy ＋y 2）称为立方和公式，x 3－y 3＝（x －y ）（x 2＋xy ＋y 2）称为立方差公式，据此，试将下列各式因式分解：

（1）a 3＋8

（2）27a 3－1

分组分解法(拓展)

①将多项式分组后能提公因式进行因式分解：(二二分项) 形式：bn bm an am +++ 、 b a b a ±±-22等 步骤：1．分组 2．提取公因式

【例题1】把多项式1ab a b -+-分解因式

解：1ab a b -+-=()(1)ab a b -+-=(1)(1)(1)(1)a b b a b -+-=+-

【变式练习】因式分解：bc ac ab a -+-2

②将多项式分组后能运用公式进行因式分解．(三一分项) 形式：2222c b ab a -+±

【例题2】将多项式2221a ab b --+因式分解

解：2221a ab b --+=222(2)1()1(1)(1)a ab b a b a b a b -+-=--=-+--

【变式练习】因式分解：=-+-xy y x 22522 19622-+-y xy x 十字相乘法(拓展)

形式：))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++(二次项系数为1)

分析：常数项拆成两个因数p q 和，

这两数的和p q +为一次项系数。

【例题1】分解因式：322-+x x 2．因式分解：652--x x

形式：).)((22112c x a c x a c bx ax ++=++(拓展) 分析：a =21a a ?；c =21c c ，1221c a c a b ?+?=

形式如c bx ax ++2的式子要进行因式分解，确定其中的2121,,,c c a a 是一个尝试的过程。

【例题2】分解因式322--x x

所以 )1)(32(322+-=--x x x x

【基础练习】

1．将下列各式因式分解：

（1）x 2－5x ＋6＝________________； （2）x 2－5x －6＝________________；

（3）x 2＋5x ＋6＝________________； （4）x 2＋5x －6＝________________．

2．将a 2＋10a ＋16因式分解，结果是（ ）

A．（a－2）（a＋8）B．（a＋2）（a－8）C．（a＋2）（a ＋8）D．（a－2）（a－8）

3．因式分解的结果是（x－3）（x－4）的多项式是（）

A．x2－7x－12 B．x2－7x＋12 C．x2＋7x＋12 D．x2＋7x－12 4．如果x2－px＋q＝（x＋a）（x＋b），那么p等于（）

A．ab B．a＋b C．－ab D．－a－b

5．若x2＋kx－36＝（x－12）（x＋3），则k的值为（）

A．－9 B．15 C．－15 D．9

6．把下列各式因式分解

m2－12m＋20 x2＋xy－6y2 x2－10xy＋9y2

（x－1）（x＋4）－36 ma2－18ma－40m x3－5x2y－24xy2

7．已知x＋y＝0，x＋3y＝1，求3x2＋12xy＋13y2的值．

【提高练习】

1．多项式x2－3xy＋ay2可分解为（x－5y）（x－by），则a、b的值为（）A．a＝10，b＝－2 B．a＝－10，b＝－2 C．a＝10，b＝2 D．a＝－10，b＝2

2．若x2＋（a＋b）x＋ab＝x2－x－30，且b＜a，则b的值为（）A．5 B．－6 C．－5 D．6

3．将（x＋y）2－5（x＋y）－6因式分解的结果是（）

A．（x＋y＋2）（x＋y－3）B．（x＋y－2）（x＋y＋3）

C．（x＋y－6）（x＋y＋1）D．（x＋y＋6）（x＋y－1）

4．观察下列各式：1×2×3×4＋1＝52；2×3×4×5＋1＝112；3×4×5×6＋1＝192；判

断是否任意四个连续正整数之积与1的和都是某个正整数的平方，并说明理由．

【全章巩固练习】

1．把(x －y )2－(y －x )分解因式为( )

A ．(x －y )(x －y －1)

B ．(y －x )(x －y －1)

C ．(y －x )(y －x －1)

D ．(y －x )(y －x ＋1)

2．若a +b =4，则a 2+2ab +b 2的值是( )

A ．8

B ．16

C ．2

D ．4 3．20062005(8)(8)-+-能被下列数整除的是( )

A ．3

B ．5

C ．7

D ．9

4．下列分解因式结果正确的是( )

A ．6(x －2)+x (2－x )=(x －2)(6+x )

B ．x 3+2x 2+x =x (x 2+2x )

C ．a (a －b )2+ab (a －b )=a (a －b )

D ．3x n +1+6x n =3x n (x +2) 5．如果b －a =－6，ab =7，那么a 2b －ab 2的值是( ) A ．42

B ．－42

C ．13

D ．－13

6．已知x 2－7xy +12y 2=0，那么x 与y 的关系是_________． 7．利用因式分解简便计算5799449999?+?-正确的是( )

A ．99(5744)991019999?+=?=

B ．99(57441)991009900?+-=?=

C ．99(57441)9910210098?++=?=

D ．99(574499)992198?+-=?= 8．从边长为a 的大正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形后，将其裁成四个相同的等腰梯形(如图甲)，然后拼成一个平行四边形(如图乙)．那么通过计

算阴影部分的面积可以验证公式______________．

甲

乙

(1) (2)

9．在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 形()a b >，再沿虚线剪开，如图(1)梯形，如图(2)．根据这两个图形的面积关系，表明 下列式子成立的是( ) A ．22()()a b a b a b -=+- B ．222()2a b a ab b +=++ C ．222()2a b a ab b -=-+ D ．222()a b a b -=-

10．利用简便方法计算：

(1)23×+59×+18×； (2)×+×+×(－20)

11．分解多项式： (1)16x 2y 2z 2－9 (2)81(a +b )2－4(a －b )2 (3)x (x －y )－y (y －x ) (4)－12x 3+12x 2y －3xy 2 (5)(x +y )2+mx +my (6)a (x －a )(x +y )2－b (x －a )2(x +y ) 12．已知a －b ＝2005，ab ＝2008

2005 ，求a 2b －ab 2的值。 13．已知(4x －2y －1)2+2-xy =0，求4x 2y －4x 2y 2+xy 2的值． 14．求证：无论x 、y 为何值，3530912422+++-y y x x 的值恒为正。 15．用分解因式说明：127525-能被60整除。

16．已知c b a 、、是△ABC 的三边的长，且满足0)(22222=+-++c a b c b a ，试判断此三角形的形状． 17．观察下列各式： 12+(1×2)2+22=9=32 22+(2×3)2+32=49=72

32+(3×4)2+42=169=132 ……

你发现了什么规律 请用含有n (n 为正整数)的等式表示出来，并说明其中的道理． 18．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：

1+x +x (x +1)+x (x +1)2=(1+x )[1+x +x (x +1)]=(1+x )2(1+x )=(1+x )3

(1) 上述分解因式的方法是 法，共应用了 次。

(2) 若分解1+x +x (x +1)+x (x +1)2+…+ x (x +1)2007，则需要应用上述方法 次，分解因式后的结果是 。

(3) 请用以上的方法分解因式：1+x +x (x +1)+x (x +1)2+…+ x (x +1)n (n 为正整数)，必须有简要的过程。

解：1+x +x (x +1)+x (x +1)2+…+ x (x +1)n ＝

19．阅读下列计算过程：

99×99+199=992+2×99+1=(99+1)2=100 2=10 4 (1)计算：

999×999+1999=____________=_______________=_____________=_____________； 9999×9999+19999=__________=_______________=______________=_______________。 (2) 写出计算过程。

20．如图，边长为a b ，的矩形，它的周长为14，面积为10，求22a b ab 的值。 21．如图，有三种卡片，其中边长为a 的正方形卡片1张，边长

分别为a ，b 的矩形卡片6张，边长为b 的正方形卡片9张．用这

16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长是多少