苏教版高中数学选修4-6：一次同余方程
一次同余方程的几种解法
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 2009年第3期 牡丹江教育学院学报 No 13,2009(总第115期) J OU RNAL OF MUDANJ IAN G COLL EGE OF EDUCA TION Serial No 1115[收稿日期]2008-12-22[作者简介]原新生(1967-),男,河南林州人,安阳师范学院副教授,主要从事初等数论、高等数学的教学与研究.。
一次同余方程的几种解法原 新 生(安阳师范学院,河南安阳455002) [摘 要] 介绍一次同余方程的几种解法,并比较它们的优劣,探讨不同情况下所应采用的不同方法,对解一次同余方程具有一定的指导作用。
[关键词] 一次同余方程;解法;完全剩余系[中图分类号]O151 [文献标识码]A [文章编号]1009-2323(2009)03-0115-01 定义1:设a ,b 为整数,m 是一个正整数且a ≠0(modm ),则称ax ≡b (mod m )为模m 的一次同余方程。
定义2:若x 0是使ax ≡b (mod m )成立的一个整数,则x ≡x 0(mod m )称为一次同余方程ax ≡b (mod m )的一个解。
定理:一次同余方程ax ≡b (mod m ),a ≠0(mod m )有解的充要条件(a ,m )|b,且有解时解数为(a ,m ).一次同余方程的理论各初等数论教材都作了详细的论述(见[1]、[2]、[3]),但对它的具体解法介绍的较少。
笔者在初等数论教学实践中,针对该方程总结了几种解法,并通过各种解法优劣的比较,探讨了在不同情况下所应采用的不同方法,这对学生学习初等数论,特别是解一次同余方程具有一定的指导作用。
方法一:验根法由定义2可以看出,求一次同余方程ax ≡b (mod m )有几个解,有哪些解,只需取模m 的一个完全剩余系(如0,1,2,…,m -1)中的每一个数,将其代入同余方程中逐一验证,即可求出其全部解。
人教版高中选修4-6一同余教学设计
人教版高中选修4-6一同余教学设计一、教学目标1.了解同余的基本概念与性质。
2.掌握同余方程的解法及其应用。
3.能够灵活运用同余数的概念、性质、运算法则解决实际问题。
4.提升学生的综合素养，培养学生的逻辑思维和创新能力。
二、课程内容1.同余的基本概念与性质–同余的定义、基本性质。
–同余算术运算及其性质。
–同余类的概念及其性质。
2.同余方程的解法及应用–同余方程的定义、解法及应用。
–应用同余方程解决简单的实际问题。
3.实际应用–中国剩余定理。
–同余数在密码学中的应用。
三、教学方法1.讲授法：通过PPT讲解、案例分析、示范演练等方式，向学生传授理论知识。
2.组织小组讨论：安排小组讨论环节，组织学生以小组为单位，提出问题并进行讨论，激发思维，培养学生学习能力和团队精神。
3.课堂练习：设置课堂习题，让学生在课堂上进行练习，加强所学知识的巩固与应用能力的提高。
4.独立思考：布置课后作业，要求学生自主思考并解决相关问题，促进学生的独立思考和学习能力。
四、教学重点难点1.教学重点：同余的基本概念、同余算术运算原理、同余方程及其应用。
2.教学难点：同余方程的解法及其应用，中国剩余定理的应用。
五、教学课时安排本教学设计共安排4课时，具体如下：课时授课内容学时安排第一课时基本概念与性质1学时第二课时同余方程的解法及应用 1.5学时第三课时实际应用 1.5学时第四课时综合练习与总结1学时六、教学评价1.采用课堂表现、作业、考试等多种方式进行综合评价。
2.通过学生的表现，分析教学是否达到了预期目标，是否有需要进行调整改进之处。
3.在评价中着重考核学生应用同余数解决实际问题的能力，培养学生的运用能力和创新思维。
人教版高中选修4-6四一次同余方程教学设计
人教版高中选修4-6四一次同余方程教学设计教学目标
1.理解同余关系的含义和性质；
2.掌握求解一元四次同余方程的方法；
3.培养学生的逻辑思维和解决问题的能力；
4.培养学生的合作意识和实际操作能力。
教学重点
1.同余关系的定义和性质；
2.一元四次同余方程的求解方法。
教学难点
1.一元四次同余方程的求解方法；
2.实际问题的转化为数学问题。
教学过程
第一步：导入
1.引入同余关系概念；
2.通过例题引导学生理解同余关系；
3.引入一元四次同余方程的概念和定义。
第二步：讲解
1.讲解同余方程的一般性质；
2.讲解一元四次同余方程的求解方法；
3.讲解同余方程实际问题的转化方法。
第三步：例题演练
1.给出一些例题，让学生进行操作练习；
2.引导学生探究问题的解决方法；
3.解决学生在操作中遇到的问题。
第四步：小组合作演练
1.学生自由组成4-5人小组；
2.教师发放实际问题，并让学生进行小组合作讨论；
3.学生进行实际问题的转化和求解；
4.每个小组选派一名代表介绍小组的解决方法和结果。
第五步：课堂总结
1.课堂测验检测学生学习成果；
2.教师进行复盘和总结，为下一步教学铺垫。
教学评价
1.课堂表现：包括出席情况和参与教学活动的积极性；
2.作业完成情况：包括例题的练习和实际问题的解决；
3.考试成绩：对学生掌握情况进行量化评价。
苏教版高中数学选修4-6：剩余类与安全剩余系_课件1
{ } { } { } { } m
从而
axi b
m
k j
m
j
m1
j
i 1
m
j 1
m j1 m
j1 m
m1
j
1 m(m 1)
m1.
j1 m m
2
2
知识梳理
定理3 设m1, m2N，AZ，(A, m1) = 1，
X { x1, x2 , , xm1 } ,Y { y1, y2 , , ym2 }
剩余类与完全剩余系
知识梳理
一个整数被正整数n除后，余数 有n种情形：0，1，2，3，…，n-1， 它们彼此对模n不同余。这表明， 每个整数恰与这n个整数中某一个 对模n同余。这样一来，按模n是否 同余对整数集进行分类，可以将整 数集分成n个两两不相交的子集。
知识梳理
定义1： 给定m Z ,对每个r Z,0 r m 1,称集合
一个完全剩余系， p是素数，a p (a, p) 1
所以｛a，2a，3a，，(p 1)a，pa｝构成模p的
一个完全剩余系。
因此必有唯一的数b满足式b 1 (mod p).
典例分析
例2 设A = {x1, x2, , xm}是模m的一个完全 剩余系，以{x}表示x的小数部分，证明：若(a,
知识梳理
定理4 设miN，AiZ（1 i n），并且满足： ① (mi, mj) = 1，1 i, j n，i j； ② (Ai, mi) = 1，1 i n； ③ miAj ，1 i, j n，i j 。 则当xi（1 i n）通过模mi的完全剩余系Xi时， y = A1x1 A2x2 Anxn 通过模m1m2mn的
高中数学选修4-6：初等数论初步
高中数学选修4-6：初等数论初步数论是古老而又基础的数学，至今仍有许多没有解决的问题，一些问题的解决对现代数学的发展起了重要的推动作用，也产生了一些直接与数学有关的新的重要的数学分支，而且在现代信息技术中有很重要的应用。
在日常生活中，也常常会遇到数论的一些问题。
本专题学生将通过具体的问题学习有关整数和整除的知识，探索用辗转相除法求解简单的一次不定方程、简单同余方程、同余方程组等，从中体会思想方法，了解我国古代数学的一些重要成就。
一、内容与要求1．通过实例（如星期），认识带余除法，理解同余和剩余类的概念及意义，探索剩余类的运算性质（加法和乘法），并且理解它的实际意义。
体会剩余类运算与传统的数的运算的异同（会出现零因子）。
2．理解整除、因数和素数的概念，因数和素数的概念，了解确定素数的方法了解确定素数的方法了解确定素数的方法（筛（筛法），知道素数有无穷多。
3．了解十进制表示的整数的整除判别法，探索整数能被3，9，11，7等整除的判别法。
会检查整数加法，乘法运算错误的一种方法。
4．通过实例探索利用辗转相除法求两个整数的最大公约数的方法，理解互素的概念，并能用辗转相除法证明：若a 能整除bc ，且a ，b 互素，则a 能整除c 。
探索公因数和公倍数的性质。
了解算术基本定理。
5．通过实例理解一次不定方程的模型，利用辗转相除法求解一次不定方程。
并尝试写出算法程序框图，在条件允许的情况下，可上机实现。
6．通过实例（如：韩信点兵），理解一次同余方程组模型。
7．理解大衍求一术和孙子定理的证明。
8．理解费尔马小定理（当m是素数时，am-1≡1(mod m)）和欧拉定理（aφ(m) ≡1(mod m),其中φ(m)是1,2,…,m-1与m互质的数的个数）及其证明。
9．了解数论在密码中的应用--公开密钥。
10．完成一个学习总结报告。
报告应包括三方面的内容：（1）知识的总结。
对本专题整体结构和内容的理解，对正整数基本性质及其研究方法的认识。
苏教版高中数学选修4-6：一次不定方程_课件1
思考探究
不定方程是数论中最古老的一个分支，我 国古代对不定方程进行了大量研究，且研究内 容极为丰富。早在公元前1100多年，我国古代 数学家商高就提出了直角三角形的“勾广三， 股修四，径隅五”的著名论断，这实际上给出 了方程x²+y²=z²的一组正整数解x=3，y=4，z=5。
思考探究
典例分析
例3 求 107 x 37 y 25 的一切整数解。
解：y 25 107 x 3x 25 4 x
37
37
令y' 25 4x x 37 y' 25 9 y' 6 y' 1
37
4
4
取y' 1 x 3 y 8
即得到原方程的一个整数解：x0 3, y0 8 从而所求的一切整数解为：
知识梳理
求二元一次不定方程整数解的一般方法
先求一个特殊解，再根据定理1写出其通解。
对于方程(1),若有解，则可化为：
ax by c, (a,b) 1
(3) 的形式
一般地，利用辗转相除法，得到 as bt 1, 则 x0 cs, y0 ct.
典例分析
例1 求方程 7x 4 y 1 的一个特殊解。
解：用7、4进行辗转相除法： 7 4 1L 3 3 7 4 1 4 3 1L 1 1 4 3 1 所以，1 4 (7 4 1) 1, 即 7 (1) 4 2 1. 从而，x0 1; y0 2.
注：若原方程是 7x 4 y 1，则化为 7x 4( y) 1 ，
原方程有一个特解x=-1，y=2。
典例分析
例2 求176x 162 y 2 的一切整数解。 解：原方程可化为 88x 81 y 1 令 x y z， 则方程可化为 7 x 81z 1. 再令u x 11z， 则方程可化为 7u 4z 1
人教版高中选修(B版)4-63.2一次同余方程教学设计
人教版高中选修(B版)4-63.2一次同余方程教学设计一、教学目标1.掌握一次同余方程的概念及解法。
2.能够熟练运用一次同余方程解决实际问题。
3.培养学生的数学思维能力和逻辑思维能力。
二、教学内容一次同余方程的概念及解法。
三、教学重点和难点•重点：熟练掌握一次同余方程的解法。
•难点：将一次同余方程应用到实际问题中。
四、课前准备1.教师准备课件和教学材料。
2.学生预习一次同余方程的基本知识和相关概念。
五、教学过程1.导入：教师简单介绍一下本节课要学习的内容，并且通过引导学生解决一个实际问题，引出本节课的主要内容。
例如：小明爸爸想买两个相同的项链送给他的孪生姐妹，但是他只能去一次商店，他需要知道商店铺面上的项链数量是不是1、3、5、…100中的一个数字。
请问商店总共有多少条项链？2.新知：介绍一次同余方程的相关概念和解法，并通过一些例题让学生熟练掌握解题方法。
例如：（1）求x满足同余方程$7x\\equiv 5 \\pmod{18}$.解：因为$\\gcd(7, 18) = 1$，所以可以直接使用扩展欧几里得算法求解：$$\\begin{aligned} 7x + 18y &= 1 \\\\ 7 \\times 5 - 18 & = 1 \\end{aligned}$$所以$x\\equiv 5\\times 7^{-1}\\pmod{18}$，其中$7^{-1}\\equiv 13\\pmod{18}$，所以$x\\equiv 65\\equiv 11\\pmod{18}$.3.实践：让学生通过实际问题解决一次同余方程。
例如：某社会团体欲向所有会员发放纪念章，发放数量应该是最少的，同时还需要跟会费缴纳额挂钩。
设会费是5元、9元、15元中的一个，规定三个钱数循环进行。
试求发放纪念章的数量。
解：设发放纪念章的数量为x，则有如下同余方程：$$\\begin{aligned} x &\\equiv 0\\pmod{5}\\\\ x &\\equiv0\\pmod{9} \\\\ x &\\equiv 0\\pmod{15} \\end{aligned}$$ 化简可得：$x\\equiv 0\\pmod{45}$，所以发放纪念章的数量应该是45.4.总结：让学生回顾今天所学知识点，并进行总结。
人教版高中选修(B版)4-6第三章同余方程课程设计
人教版高中选修(B版)4-6第三章同余方程课程设计1. 选题意义同余方程是高中数学中一个重要而又基础的概念，旨在帮助学生掌握同余关系和同余方程的基本概念、性质以及应用。
本次课程设计旨在通过深化同余方程的学习来提高学生的数学素养，提升其对数学的兴趣和热爱，并能够将所学知识应用于实际问题中，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
2. 适用对象本次课程设计适用于高中数学选修(B版)4-6第三章同余方程的教学内容中。
适合高中学生，尤其是对数学感兴趣且较为踏实的学生。
3. 教学目标•理解和掌握同余关系和同余方程的概念、性质和应用。
•培养学生的数学思维能力，掌握解决同余方程的基本方法和技巧。
•能够计算小范围的同余方程，同时能够将所学知识应用于实际问题中，提高学生的解决问题的能力。
4. 教学内容和方法教学内容本次课程设计主要分为以下4个部分：•同余关系•同余方程的概念和基本性质•同余方程的解法•同余方程的应用教学方法本次课程将采用课堂讲授、课堂讨论和实例演练等多种教学方法，力求深化学生理解和掌握同余方程的概念和方法，并能够灵活运用。
5. 教学步骤第一步：同余关系讲解同余关系的定义和概念，理解同余关系的基本性质。
第二步：同余方程的概念和基本性质在同余关系理解的基础上，讲解同余方程的概念和基本性质，深入理解同余方程的解法。
第三步：同余方程的解法介绍同余方程的解法，包括试除法、欧几里得算法和扩展欧几里得算法等。
第四步：同余方程的应用通过示例演练的方式，介绍同余方程的应用，如中国剩余定理、同余方程的模重心等。
6. 教学评估本次课程设计将采用笔试、说明和实例解决问题的方式进行考评。
笔试重点考察学生对相关概念的理解程度和计算能力。
说明题型则重点考察学生对重点问题的理解和思考能力。
实例解决问题题型则重点考察学生将所学知识应用到实际问题中的能力。
7. 总结同余方程是高中数学中的一个重要概念，本次课程设计旨在帮助学生更好地理解和掌握同余方程的概念和方法，以此提高学生的数学素养和对数学的兴趣和热爱。
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知识探究
前面已经提到，剩余类可以看作特殊 的“数”，剩余类环可以看作是定义了剩 余类加法和剩余类乘法运算的“数集”。 类似于实数集情形，我们也可以在剩余类 环中解方程或方程组。
知识探究
例如，在模6的剩余类环中解 方程[5][x]=[3],这里，[x]是模6 的剩余类环中的未知剩余类。注意 到在模6的剩余类环中，有：
（1）一次同余方程ax≡b(mod n)什么 情况下有解？
（2）有多少解？ （3）有解时如何描述所有的解？
知识梳理
1，先讨论特殊情形，即当（a，n） =1的情形。
我们知道，当（a，n）=1时，存在整 数k，L,使得ak+nL=1,于是n|nL=1-ak,
即aБайду номын сангаас≡1（mod n）.
知识梳理
因此， ax≡b(mod n） ax≡(ak)b=a(kb)(mod n)
典例分析
例2 找出同余方程15x≡7(mod 44)的一个解。
解：设x(mod 44)是方程的一个解，则存在 整 数y使得15x-44y=7,
解此不定方程，很容易得到一个解 （21,7）。 所以x≡21(mod 44)是同余方程 15x ≡21(mod 44)的一个解。
谢谢欣赏！
知识梳理
那么当d|b时，同余方程（1）是否一 定有解呢？
记a=a´d,n=n´d,b=b´d,则(a´,n´)=1. 注意到，ax≡b(mod n) n|ax-b
n´d|(a´x-b)d n´|a´x-b´, 于是同余方程（1）可化简为：
a´x≡b´(mod n´). (2)
知识梳理
由于（a´，n´）=1，由情形1º的讨 论知，同余方程（2）有唯一解 x≡k´b´(mod n´)，此时x=k´b´+n´L,其 中L为任意整数。
知识梳理
用L，d用带余除法： L=dq+r,0≤r≤d-1,则： x=k´b´+n´(dq+r)=k´b´+nq+n´r,
其中0≤r≤d-1,q为整数，于是： x≡k´b´+n´r(mod n),r=0,1,…,d-1.
知识梳理
容易检验，它们都是同余方程（1） 的解。
综上所述，我们得到下面的结论： 一次同余方程ax≡b(mod n)有解，则（a ，n）|b.反过来，当（a，n）|b时，一次 同余方程ax≡b(mod n)恰有（a，n）个解 。
典例分析
例1 解一次同余方程9x≡6（mod 15）.
解：注意到（9,15）=3，且3|6，故同余 方程有三个解。原同余方程可化简为3x ≡2(mod 5)。由于3×2 ≡1(mod 5)，故x ≡2×2=4(mod 5)。所以，原同余方程的 三个解分别为x≡4+5×0=4(mod 15),
x≡4+5×1=9(mod 15), x≡4+5×2=14(mod 15).
x≡kb(mod n). 因此， 同余方程（1）仅有一个解x≡kb(mod n).
知识梳理
2，再讨论（a,n）=d＞1的情景。 若同余方程（1）有解，不妨设 x≡c(mod n)为它的一个解，则 ac≡b(mod n),从而n|ac-b.由于d|a,d|n, 故d|ac,d|ac-b,从而d|ac-(ac-b)=b.这表 明，同余方程（1）有解时，必有d|b.
[5][x]=[3] [5x]=[3] 6|5x-3 5x≡3(mod 6), 因此，原方程可表示成下面含未知 数的同余式：
5x≡3(mod 6).
知识探究
通常，我们把含有未知数的同余 式叫做同余方程。方程5x≡3(mod 6), 是一类形式最简单的同余方程，叫做 一次同余方程。一次同余方程的一般 形式为：
ax≡b(mod n), (1) 其中n为正整数，a，b为整数，且a不 等于零。
知识探究
若存在整数c，使得同余式ac≡b(mod n), 成立，则把x≡c(mod n),叫做一次同余方 程ax≡b(mod n)的解。 例如，x≡3(mod 6)是5x≡3(mod 6)的解。
知识探究
对于一次同余方程我们，我们关心下 面几个问题：