含参数的一元二次方程
一元二次不等式及含参问题的解法
若a<0呢?
函数： 方程： a＞0 ax2+bx+c=0 y=ax2+bx+c 的图象 的解情况 y 当⊿＞0时， 方程有两不 等的根x1 ， x1 o x2 x x2 当⊿＝0 时， 方程有两相 等的根 X1=X2=x0 当⊿＜0 时， 方程无解 o x y 不等式的解集 ax2+bx+c＞0 ax2+bx+c＜0
方法三：
x 2 x 3 ( x 1)( x 3 ) 0 , x 1 1, x 2 3
2
复习一元二次函数
复习一元二次函数:y=ax2+bx+c(a≠0)
当a>0时图像
0
0
0
复习一元二次函数:y=ax2+bx+c(a≠0)
当a<0时图像
0
综上得 {a|0≤a≤4}.
解下列不等式：
(1 ) x 2 x
2
2 3
0 ; ( 2 ) 8 x 1 16 x .
2
含参数的一元二次不等式
例1 解关于 x 的不等式
ax
2
5 ax 6 a 0 a 0
分析: 因为 a 0 且 数的正负.
∴(1)当 a ∴当 a
k x
4
(2)当 k (3)当
8
时,不等式解集为 x 时,不等式解集为
x 2
8 k 0
(4)当 k 0 时,不等式解集为 x
x 0
例4:解关于
x 的不等式：
ax
2
( a 1) x 1 0 .
{ 解: （一）当 a 0 时, 原不等式即为 x 1 0 解 集 为 ：x | x 1} .
含参数的一元二次不等式例题
含参数的一元二次不等式例题例题 1解不等式：x^2 2x + a > 0，其中a为参数。
解析：对于一元二次方程x^2 2x + a = 0，其判别式\Delta = 4 4a。
当\Delta 0，即4 4a 0，a > 1时，不等式的解集为R。
当\Delta = 0，即4 4a = 0，a = 1时，不等式化为(x 1)^2 > 0，解集为x ≠ 1。
当\Delta > 0，即4 4a > 0，a 1时，方程x^2 2x + a = 0的两根为x_1 = 1 \sqrt{1 a}，x_2 = 1 + \sqrt{1 a}，不等式的解集为x 1 \sqrt{1 a}或x > 1 + \sqrt{1 a}。
例题 2解不等式：ax^2 + 2x + 1 > 0，其中a为参数。
解析：当a = 0时，不等式化为2x + 1 > 0，解得x > \frac{1}{2}。
当a ≠ 0时，对于一元二次方程ax^2 + 2x + 1 = 0，其判别式\Delta = 4 4a。
若\Delta 0，即4 4a 0，a > 1，不等式的解集为R。
若\Delta = 0，即4 4a = 0，a = 1，不等式化为(x + 1)^2 > 0，解集为x ≠ 1。
若\Delta > 0，即4 4a > 0，a 1且a ≠ 0，方程ax^2 + 2x + 1 = 0的两根为x_1 = \frac{1 + \sqrt{1 a}}{a}，x_2 =\frac{1 \sqrt{1 a}}{a}。
当0 a 1时，不等式的解集为x \frac{1 \sqrt{1 a}}{a}或x > \frac{1 + \sqrt{1 a}}{a}。
当a 0时，不等式的解集为\frac{1 + \sqrt{1 a}}{a} x\frac{1 \sqrt{1 a}}{a}。
含参数的一元二次不等式的解法
02
形如$ax^{2} + bx + c > 0$或$ax^{2} + bx + c < 0$的不等式，其中$a \neq 0$。
通常表示为$ax^{2} + bx + c > 0$，其中$a \neq 0$，当$a < 0$时，不等式表示的为开口向下的抛物线在$x$轴上方（或下方）的部分。
研究意义
研究目的和意义
在国内外学者的研究中，一元二次不等式的解法已经得到了广泛的研究。对于不含参数的一元二次不等式，学者们已经提出了多种求解方法，如公式法、图解法等。而对于含参数的一元二次不等式，由于参数的出现使得问题变得更为复杂，因此相关的研究相对较少。目前，已有的研究主要集中在求解含参数的一元二次不等式的解集上，而对其求解方法、参数对解的影响等方面的研究尚不充分。因此，本文将深入研究含参数的一元二次不等式的解法，探讨参数对不等式解的影响，并总结出一套有效的求解策略。
未来，我们将进一步深入研究含参数的一元二次不等式问题，探讨更加高效的解法，并尝试将其应用于更广泛的领域。
我们计划利用现代数学方法和技术，对含参数的一元二次不等式问题进行深入研究，以期取得更加系统和全面的研究成果。
同时，我们也希望通过进一步的研究，能够为解决其他相关数学问题提供思路和方法上的借鉴。
工作展望
利用数轴法求解
方法比较和实例分析
04
直接求解法
直接根据一元二次不等式的解法公式，将参数代入公式进行计算。优点是简单易懂，但计算量较大，容易出现计算错误。
方法比较
分解因式法
将一元二次不等式转化为两个一元一次不等式，再分别求解。优点是计算量较小，但需要一定的观察能力和分解因式技巧。
含参数一元二次不等式
(2)若a2-1≠0，即a≠±1时，要使原不等式的解集 为R，
2 a a 2 1 0 3 1 0 a 1 必须 0 2 2 5 (a 1) 4(a 1)(1) 0
3 ∴实数a的取值范围是 a | a 1 5
例题讲解
例2．解关于x的不等式：(x-x2+12)(x+a)<0. 解 原不等式可化为（x+3)(x-4)(x+a)>0 (ⅰ)当-a>4，即a<-4时，各根在数轴上的分布及 4 -3 -a x 穿线如下： ∴原不等式的解集为{x| -3<x<4或x>-a}. (ⅱ)当-3<-a<4，即-4<a<3时，各根在数轴上的分 x -a 布及穿线如下： -3 4 ∴原不等式的解集为{x| -3<x<-a或x>4}. (ⅲ)当-a<-3，即a>3时，各根在数轴上的分布及 穿线如下： ∴原不等式的解集为{x| -a<x<-3或x>4}.
y=ax2+bx+c
y
的图象
x1 o
y
x2 x
{x∣x＜x1 {x∣x1＜x＜x2 } 或 x ＞ x2 }
{ x∣x≠x0}
o x0 y x
Փ Փ
R
o x
例题讲解
例1解关于x的不等式
解 k 8k k (k 8) 2 （1）当 0,即k 8或k 0时, 方程2 x kx k 0 有两个不相等的实根 2 所以不等式 2x kx k 0的解集是 .
2 x 2 2kx k 解： 4 x 2 6 x 3 1 2 x 2 2(k 3) x 3 k 0 2 4x 6x 3
含参数的一元二次不等式的解法
含参数一元二次不等式解法含参一元二次不等式常用分类方法有三种：一、按2x 项系数a 符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122>+++x a ax分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项系数进行分类讨论。
解：∵()044222>+=-+=∆a a a解得方程 ()0122=+++x a ax 两根,24221aa a x +---=∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22例2 解不等式()00652≠>+-a a ax ax分析 因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数正负。
解 ()()032)65(2>--=+-x x a x x a∴当0>a 时，解集为{}32|><x x x 或；当0<a 时，解集为{}32|<<x x变式：解关于x 不等式1、0)2)(2(>--ax x ；2、(1－ax )2<1.}2,2|{,1)5(}2|{,1)4(}2,2|{,10)3(}2|{,0)2(}22|{,0)1(><>≠=><<<<=<<<x ax x a x x a ax x x a x x a x ax a 或时当时当或时当时当时当3、ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a ∈R)【解】由(1－ax )2<1得a 2x 2－2ax ＋1<1.即ax (ax －2)<0.(1)当a ＝0时，不等式转化为0<0，故原不等式无解．(2)当a <0时，不等式转化为x (ax －2)>0，即x (x －2a )<0.∵2a <0，∴不等式的解集为{x |2a<x <0}．(3)当a >0时，不等式转化为x (ax －2)<0，}11|{1)5(1)4(}11|{10)3(}1|{0)2(}1,1|{0)1(<<>Φ=<<<<>=><<x ax a a ax x a x x a x ax x a 时，当时，当时，当时，当或时，当二、按判别式∆符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆； 例3 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 系数大于0,故只需考虑∆及根情况。
含参数的一元二次不等式的解法
含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式经常使用的分类方式有三种： 一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122>+++x a ax分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项系数进行分类讨论。
解：∵()044222>+=-+=∆a a a解得方程 ()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=aa a x 24222++--=∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21|x x 当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22例2 解不等式()00652≠>+-a a ax ax分析 因为0≠a ，0>∆，因此咱们只要讨论二次项系数的正负。
解 ()()032)65(2>--=+-x x a x x a∴当0>a 时，解集为{}32|><x x x 或；当0<a 时，解集为{}32|<<x x变式：解关于x 的不等式1、0)2)(2(>--ax x ； 二、(1－ax )2<1.}2,2|{,1)5(}2|{,1)4(}2,2|{,10)3(}2|{,0)2(}22|{,0)1(><>≠=><<<<=<<<x ax x a x x a ax x x a x x a x ax a 或时当时当或时当时当时当3、ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a ∈R)【解】由(1－ax )2<1得a 2x 2－2ax ＋1<1.即ax (ax －2)<0.(1)当a ＝0时，不等式转化为0<0，故原不等式无解．(2)当a <0时，不等式转化为x (ax －2)>0，即x (x －2a )<0.∵2a <0，∴不等式的解集为{x |2a<x <0}．(3)当a >0时，不等式转化为x (ax －2)<0，又2a>0，}11|{1)5(1)4(}11|{10)3(}1|{0)2(}1,1|{0)1(<<>Φ=<<<<>=><<x ax a a ax x a x x a x ax x a 时，当时，当时，当时，当或时，当二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆； 例3 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情形。
如何解含参一元二次方程
如何解含参一元二次方程介绍：一元二次方程是数学中常见的一种方程形式，它的解法可以通过一系列的代数运算得到。
本文将介绍如何解含参一元二次方程，帮助读者更好地理解和应用这一知识点。
一、什么是含参一元二次方程含参一元二次方程是指在一元二次方程的基础上引入参数，参数是一个常数，可以是任意实数。
含参一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知实数，x为未知数。
二、解含参一元二次方程的基本步骤解含参一元二次方程的基本步骤如下：步骤一：将含参一元二次方程的公式写出来。
例如，我们考虑一个含参一元二次方程：ax^2 + bx + c = 0。
步骤二：根据一元二次方程的求解公式，计算方程的判别式Δ。
一元二次方程的判别式Δ = b^2 - 4ac。
步骤三：根据判别式的值，判断方程的根的情况。
1. 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根。
根的公式为：x1 = (-b + √Δ)/(2a)，x2 = (-b - √Δ)/(2a)。
2. 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根。
根的公式为：x1 = x2 = -b/(2a)。
3. 当Δ < 0时，方程没有实数根，但可以有复数根。
步骤四：将参数代入根的公式，求解方程的根。
三、实例演示为了更好地理解和应用解含参一元二次方程的方法，我们通过一个实例进行演示。
假设我们要解方程：3x^2 + 2x + k = 0，其中k为参数。
步骤一：根据方程的形式，我们得到含参一元二次方程为：3x^2 + 2x + k = 0。
步骤二：计算方程的判别式Δ。
根据公式，Δ = 2^2 - 4*3*k = 4 - 12k。
步骤三：根据判别式的值，判断方程的根的情况。
1. 当Δ> 0时，方程有两个不相等的实数根。
此时，我们可以根据根的公式求解方程的根。
2. 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根。
此时，我们也可以根据根的公式求解方程的根。
3. 当Δ < 0时，方程没有实数根，但可以有复数根。
含参数的一元二次不等式的解法
含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按$x$项的系数$a$的符号分类，即$a>0$，$a=0$，$a<0$。
例1：解不等式$ax+(a+2)x+1>2$分析：本题二次项系数含有参数，$\Delta=(a+2)^2-4a=a+4>0$，故只需对二次项系数进行分类讨论。
解：当$a>0$时，解得方程$ax+(a+2)x+1=0$的两根$x_1=-\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}$，$x_2=-\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}$，因为$a>0$，所以$x_1x_2$或$x<x_1$，即$x\in\left(-\infty,\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}\right)\cup\left(\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a},+\infty\right)$。
当$a=0$时，不等式为$2x+1>2$，解得$x>\frac{1}{2}$，即解集为$x>\frac{1}{2}$。
当$a<0$时，解得方程$ax+(a+2)x+1=0$的两根$x_1=-\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}$，$x_2=-\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}$，因为$a<0$，所以$x_1<x_2$。
所以解集为$x_1<x<x_2$，即$x\in\left(\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a},\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}\right)$。
例2：解不等式$ax-5ax+6a>(a\neq0)^2$分析：因为$a\neq0$，$\Delta>0$，所以我们只需讨论二次项系数的正负。
解：当$a>0$时，解得方程$ax-5ax+6a=0$的两根$x_1=2$，$x_2=3$，因为$a>0$，所以$x_13$，即$x\in\left(-\infty,2\right)\cup\left(3,+\infty\right)$。
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解含参数的一元二次型不等式讨论策略
南昌十三中 周荣
分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，是历年高考的重点.解分类讨论问题，需要学生有一定的分析能力，一定的分类技巧，有利于对学生能力的考查.下面结合解关于含参数的一元二次型不等式时对参数讨论进行举例说明.
一、对二次项系数a 的讨论：
若二次项系数x 2项的系数a 含有参数，则须对a 的符号分类，即分a >0,a=0,a <0.
例3解关于x 的不等式ax 2+(1-a)x-1>0(a >-1)
解析：二次项系数含有参数,因此对a 须在0点处分开讨论.若a ≠0原不等式ax 2+(1-a)x-1>0等价于
(x-1)(ax+1)>0. 其对应方程的根为﹣1a
与1.又∵a >-1，则 (1)当a=0时，原不等式为x-1>0，∴原不等式的解集为{x|x >1}.
(2)当a >0时，﹣1a <1，∴原不等式的解集为{x|x >1或x <-1a
}. (3)当-1<a <0时，﹣1a >1，∴原不等式的解集为{x|1<x <﹣1a
}. 二、对判别式△的讨论
若判别式△=b 2-4ac 中含有参数，则须对判别式△的符号分类，即分△>0，△=0，△<0.
例2 解关于x 的不等式2x 2+ax+2>0
解析：由于判别式△=a 2-16=(a-4)(a+4)中含有参数，因此须对△的符号进行讨论，即对a 在-4点与4点处分开讨论，则
①当a >4或a <-4时，△>0，方程2x 2+ax+2=0的两根为：
x 1=14(-a-a 2-16),x 2=14(-a+a 2-16), ∴原不等式的解集为：{x|x <14(-a-a 2-16)或x >14(-a+a 2-16)}. ②当a=±4时，△=0，原不等式解集为：{x|x ≠﹣a 4
}, ③当-4<a <4时，当△<0，时，原不等式解集为R.
三、对根的大小的讨论
若不等式对应的方程的根为x 1，x 2中含有参数,则须对x 1，x 2的大小来分类，即分x 1<x 2,x 1=x 2,x 1>x 2. 例3解关于x 的不等式x 2-2x+1-a 2≥0.
解：(x-1)2-a 2≥0，(x-1-a)(x-1+a)≥0.其对应的根为1+a 与1﹣a.
由(1+a)-(1﹣a)=2a ，得
①当a >0时，1+a >1-a ，∴原不等式的解集为{x|x ≥1+a 或x ≤1-a}. ②当a=0时，1+a =1-a ，∴原不等式的解集为全体实数R.
③当a <0时，1-a >1+a ，∴原不等式的解集为{x|x ≥1-a 或x ≤1+a}.
四、即有对判别式讨论又有对根的大小的讨论
例3解关于x 的不等式：.012
<-+ax ax
解：.012<-+ax ax )(*
（1）0=a 时，.01)(R x ∈⇔<-⇔*
（2）0≠a 时，则0042>⇔≥+=∆a a a 或4-≤a ， 此时两根为a a a a x 2421++-=，a
a a a x 2422+--=. ①当0>a 时，0>∆，⇔*∴)(<<+--x a a a a 242a
a a a 242++-； ②当04<<-a 时，0<∆，R x ∈⇔*∴)(；
③当4-=a 时，0=∆，2
1)(-≠∈⇔*∴x R x 且； ④当4-<a 时，0>∆，⇔*∴)(或a a a a x 242++->a
a a a x 242+--<. 综上，可知当0>a 时，解集为(a a a a 242+--,a
a a a 242++-)； 当04≤<-a 时，解集为R ；
当4-=a 时，解集为(21,-∞-)⋃(+∞-,2
1); 当4-<a 时，解集为(a a a a 24,2+--∞-)⋃(+∞++-,242a
a a a ).。