空间向量与立体几何

题型专题(十) 空间向量与立体几何

主要考查基础知识、基本技能，应用所学分析解决问题的能力

考点一：利用空间向量证明空间位置关系

——据两类向量(方向向量、法向量)定向，靠准确运算解题

设直线l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)．平面α，β的法向量分别为u ＝(a 2，b 2，

c 2)，v ＝(a 3，b 3，c 3)．

(1)线面平行：

l ∥α⇔a ⊥u ⇔a ·u ＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.

(2)线面垂直：

l ⊥α⇔a ∥u ⇔a ＝k u ⇔a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2.

(3)面面平行：

α∥β⇔u ∥v ⇔u ＝k v ⇔a 2＝ka 3，b 2＝kb 3，c 2＝kc 3.

(4)面面垂直：

α⊥β⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0⇔a 2a 3＋b 2b 3＋c 2c 3＝0.

[典例] 如图所示，在底面是矩形的四棱锥P ­ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PC ，PD 的中点，PA ＝AB ＝1，BC ＝2.

(1)求证：EF ∥平面PAB ； (2)求证：平面PAD ⊥平面PDC .

[证明] 以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系如图所示，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，

C (1,2,0)，

D (0,2,0)，P (0,0,1)，

所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1

2

，1，12，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，

EF ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫－12，0，0，AP ＝(0,0,1)，AD ＝(0,2,0)，DC ＝(1,0,0)，AB ＝(1,0,0)．

(1)因为EF ＝－1

2AB ，所以EF ∥AB ，

即EF ∥AB .

又AB ⊂平面PAB ，EF ⊄平面 PAB ， 所以EF ∥平面 PAB .

(2)因为AP ·DC ＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，

AD ·DC ＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，

所以AP ⊥DC ，AD ⊥DC ， 即AP ⊥DC ，AD ⊥DC .

又因为AP ∩AD ＝A ，AP ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以DC ⊥平面PAD .因为DC ⊂平面PDC ， 所以平面PAD ⊥平面PDC .

向量证明平行与垂直的四个步骤

(1)建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用载体中的垂直关系；

(2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素；

(3)通过空间向量的运算求出平面向量或法向量，再研究平行、垂直关系； (4)根据运算结果解释相关问题．

[即时应用]

在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上，且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点．

求证：(1)B 1D ⊥平面ABD ； (2)平面EGF ∥平面ABD .

证明：(1)以B 为坐标原点，BA ，BC ，BB 1所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则B (0,0,0)，D (0,2,2)，

B 1(0,0,4)，

C 1(0,2,4)，

设BA ＝a ， 则A (a,0,0)，

所以BA ＝(a,0,0)，BD ＝(0,2,2)，

1B D ＝(0,2，－2)，

1B D ·BA ＝0，1B D ·BD ＝0＋4－4＝0，

即B 1D ⊥BA ，B 1D ⊥BD .

又BA ∩BD ＝B ，BA ，BD ⊂平面ABD ， 因此B 1D ⊥平面ABD .

(2)由(1)知，E (0,0,3)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫a

2，1，4，F (0,1,4)， 则EG ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫a

2，1，1，EF ＝(0,1,1)，

1B D ·EG ＝0＋2－2＝0， 1B D ·EF ＝0＋2－2＝0，

即B 1D ⊥EG ，B 1D ⊥EF .

又EG ∩EF ＝E ，EG ，EF ⊂平面EGF ， 因此B 1D ⊥平面EGF .

结合(1)可知平面EGF ∥平面ABD . 考点二：利用空间向量求线线角、线面角

——遵循解题四步骤，关键是把坐标求

1.向量法求异面直线所成的角

若异面直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ，异面直线所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|＝|a·b |

|a| |b|.

2.向量法求线面所成的角

求出平面的法向量n ，直线的方向向量a ，设线面所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，a 〉|＝|n·a |

|n| |a|

.

[典例] (2015·全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE ＝2DF ，AE ⊥EC .

(1)证明：平面AEC ⊥平面AFC ；

(2)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值．

[解] (1)证明：如图，连接BD，设BD∩AC于点G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.

由∠ABC ＝120°，可得AG ＝GC ＝ 3. 由BE ⊥平面ABCD ，AB ＝BC ，可知AE ＝EC . 又AE ⊥EC ，所以EG ＝3，且EG ⊥AC . 在Rt △EBG 中，可得BE ＝2，故DF ＝22

. 在Rt △FDG 中，可得FG ＝62

. 在直角梯形BDFE 中， 由BD ＝2，BE ＝2，DF ＝22

， 可得EF ＝32

2

.

从而EG 2

＋FG 2

＝EF 2

，所以EG ⊥FG . 又AC ∩FG ＝G ，所以EG ⊥平面AFC . 因为EG ⊂平面AEC ， 所以平面AEC ⊥平面AFC .

(2)如图，以G 为坐标原点，分别以GB ，GC 的方向为x 轴，y 轴正方向，|GB |为单位长度，建立空间直角坐标系G ­xyz .

由(1)可得A (0，－3，0)，E (1,0，2)，

F ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－1，0，

22，C (0，3，0)， 所以AE ＝(1，3，2)，CF ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫－1，－3，

22. 故cos 〈AE ，CF 〉＝AE ·CF |AE ||CF |

＝－3

3.

所以直线AE 与直线CF 所成角的余弦值为33

.

1．利用空间向量求空间角的一般步骤