2020届黑龙江省大庆实验中学高三5月第一次模拟数学(理)试题
2020年黑龙江省大庆实验中学高考数学模拟试卷(理科)(二)(5月份) (含答案解析)
2020年黑龙江省大庆实验中学高考数学模拟试卷(理科)(二)(5月份)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知A={x|x2−2x≤0}，B={x|y=lgx}，则A∪B=()A. RB. (0,+∞)C. [0,+∞)D. [1,+∞)2.复数Z=i1+i(其中i为虚数单位)的虚部是()A. −12B. 12i C. 12D. −12i3.已知回归方程y^=1.5x−15，则()A. y=1.5x−15B. 15是回归系数aC. 1.5是回归系数aD. x=10时，y=04.函数f(x)=lg(|x|+x2)(|x|−1)x的图象大致为()A. B.C. D.5.如图是某几何体的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为()A. 8−π4B. 8−πC. 83−π4D. 83−π6.已知数列{a n}是公比为2的等比数列，若a3a4a5=8，则a6等于()A. 4B. 8C. 12D. 167. 圆M:x 2+y 2−2x −2y +1=0与直线x a +y b =1(a >2,b >2)相切，则a +2b 的最小值为( ) A. 8 B. 10 C. 12 D. 148. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若c =2，C =π3，且a +b =3，则△ABC 的面积为 ( )A. 13√312 B. 5√34 C. 512 D. 5√3129. 下列表示旅客搭乘火车的流程正确的是( )A. 买票→候车→检票→上车B. 候车→买票→检票→上车C. 买票→候车→上车→检票D. 候车→买票→上车→检票 10. 双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线与圆x 2+y 2=a 2相切，与C 的左、右两支分别交于点A 、B ，若|AB|=|BF 2|，则C 的离心率为( )A. √5+2√3B. 5+2√3C. √3D. √5 11. 已知图象经过点(7π12,0)的函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π，则φ=( )A. −π3B. π6C. π3D. −π6 12. 函数f(x)=x 2−ax +1在区间(12,3)上有零点，则实数a 的取值范围是( )A. (2,+∞)B. [2,+∞)C. [2,103)D. [2,52) 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 二项式(ax 2√x )5展开式中的常数项为5，则实数a = ______ ．14. 已知向量a⃗ =(3,1)，b ⃗ =(−2,4)，求a ⃗ 在b ⃗ 方向上的投影为______ ． 15. 已知在三棱锥P −ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB =AC =PA =2，且在△ABC 中，∠BAC =120°，则三棱锥P −ABC 的外接球的体积为______ ．16. 已知数列{a n }中，a 1=3，a n+1=1a n −1+1，则a 2014= ______ ．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. 已知：△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足cos2B −cos(A +C)=0．(Ⅰ)求角B 的大小；(Ⅱ)若sinA =3sinC ，△ABC 的面积为3√34，求b 边的长．18.如图，底面为正方形的四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为棱PC上一动点，PA=AC．(1)当E为PC中点时，求证：PA//平面BDE；(2)当AE⊥平面PBD时，求二面角P−BD−E的余弦值．19.为了精准备考，某市组织高三年级进行摸底考试，已知全体考生的数学成绩X近似服从正态分布N(100,100)(满分为150分，不低于120分为成绩优秀)．(1)若参加考试的人数为30000，求P(X⩾120)及成绩优秀的学生人数；(2)从全体考生中随机抽取3人，ξ表示数学成绩为(90,110]的人数，求ξ的分布列与期望．附：若X ∼N(μ,σ2)，则P(μ−σ<X ≤μ+σ)≈23；P(μ−2σ<X ≤μ+2σ)≈1920．20. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)和直线l ：y =bx +2，椭圆的离心率e =√63，坐标原点到直线l 的距离为√2．(1)求椭圆的方程；(2)已知定点E(−1,0)，若直线y =kx +2(k ≠0)与椭圆相交于C ，D 两点，试判断是否存在实数k ，使得以CD 为直径的圆过定点E ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．21. 已知函数f(x)=e x −ae −x −(a +1)x(a ∈R).(其中常数e =2.71828…，是自然对数的底数)．(1)求函数f(x)的极值点；(2)若对于任意0<a <1，关于x 的不等式[f(x)]2<λ(e a−1−a)在区间(a −1,+∞)上存在实数解，求实数λ的取值范围．22.直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=1+√3cosα，其中α为参数，直线l的方程y=√3sinα为x+√3y−2=0，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的普通方程和直线l的极坐标方程；(2)已知射线OA:θ=π与曲线C和直线l分别交于M，N两点，求线段MN的长．323.已知函数f(x)=|2x−1|−|x+3|，∀a，b∈[1,+∞)，|a+b|≤m|ab+1|．2(1)解不等式f(x)≤2；(2)证明：∀x∈R，f(x)≥−1−m．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：A={x|x2−2x≤0}={x|0≤x≤2}，B={x|y=lgx}={x|x>0}，则A∪B={x|x≥0}=[0,+∞)．故选：C．化简集合A、B，根据并集的定义写出A∪B．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2.答案：C解析：解：复数Z=i1+i =i(1−i)(1+i)(1−i)=12+12i，则虚部为12，故选：C．先化简复数，由虚部的定义可得答案．本题考查复数的基本概念，属基础题．3.答案：A解析：解：回归直线必要样本中心点(x,y)点，故y=1.5x−15，即A正确；回归直线方程为y=bx+a中，一次项系数是回归系数b，常数项为回归系数a，故−15是回归系数a，故B错误；1.5是回归系数b，故C错误；x=10时，y的预报值为0，但y值不一定为0，故D错误故选A根据回归直线必要样本中心点(x,y)点，代入可判断A的真假；根据回归直线方程为y=bx+a中，一次项系数是回归系数b，常数项为回归系数a，可判断B，C的真假；根据回归直线的意义，可判断D的真假．本题考查的知识点是线性回归方程，熟练掌握线性回归方程的基本概念是解答的关键．解析：先判断函数的奇偶性，然后令x =2进行计算，判断函数值的符号是否一致即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性，和特殊值的关系是解决本题的关键． 解：f(−x)=lg(|−x|+(−x)2)(|−x|−1)(−x)=−lg(|x|+x 2)(|x|−1)x =−f(x)，则f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除C ，D ，f(2)=lg(2+4)2=lg62>0，排除B ，故选：A ．5.答案：C解析：【试题解析】本题主要考查了三视图，棱锥的体积公式，圆柱的体积公式，属于较易题.该几何体是一个正四棱锥挖去一个圆柱，利用体积公式可得结果．解：该几何体是一个正四棱锥挖去一个圆柱，正四棱锥的底面边长为2，高为2，其体积为13×22×2=83，圆柱的底面半径为12，高为1，其体积为π×(12)2×1=π4， 则该几何体的体积为V =83−π4，故选C ． 6.答案：B解析：本题考查等比数列的通项公式，属基础题．由题意可得a 4的值，进而由等比数列的通项公式可得．解：∵数列{a n }是公比为2的等比数列，且a 3a 4a 5=8，∴a 43=8，解得a 4=2，∴a 6=a 4×22=8，故选：B解析：本题考查直线与圆的位置关系，利用基本不等式求最值，涉及点到直线的距离公式的用法，属中档题．根据圆M 与直线相切，即圆心到直线的距离等于半径解得a =2b−2b−2，则a +2b =2b−2b−2+2b =2b−2+2(b −2)+6，根据基本不等式求解即可．解：圆M:x 2+y 2−2x −2y +1=0化为(x −1)2+(y −1)2=1，因为圆M 与直线x a +y b =1(a >2,b >2)相切，直线x a +y b =1(a >2,b >2)化为bx +ay −ab =0，则点M 到直线bx +ay −ab =0的距离为1， 即22=1化简得ab −2a −2b +2=0，则a =2b−2b−2， 则a +2b =2b−2b−2+2b =2b−2+2(b −2)+6⩾4+6=10，当且仅当2b−2=2(b −2)时取等号，所以a +2b 的最小值为10．8.答案：D解析：解：∵c =2，C =π3，a +b =3，∴由余弦定理：c 2=a 2+b 2−2abcosC ，可得：4=a 2+b 2−ab =(a +b)2−3ab =9−3ab ，∴解得ab =53，∴S △ABC =12absinC =12×53×√32=5√312． 故选：D ．由已知及余弦定理可解得ab 的值，利用三角形面积公式即可得解．本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基础题．解析：本题考查流程图的作用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．旅客搭乘火车，应买票→候车→检票→上车，可得结论．解：旅客搭乘火车，应买票→候车→检票→上车，故选A．10.答案：A解析：解：由双曲线的定义可得|BF1|−|BF2|=2a，|AB|=|BF2|，可得|AF1|=2a，则|AF2|=|AF1|+2a=4a，cos∠BF1F2=√c2−a2c=|AF1|2+|F1F2|2−|AF2|22|AF1|⋅|F1F2|=4a2+4c2−16a22⋅2a⋅2c，化简可得c4−10a2c2+13a4=0，由e=ca可得e4−10e2+13=0，解得e2=5+2√3，可得e=√5+2√3，故选：A．由双曲线的定义可得|AF1|=2a，则|AF2|=|AF1|+2a=4a，运用直角三角形的余弦函数定义和余弦定理，可得a，c的方程，再由离心率公式，解方程可得所求值．本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查离心率的求法，注意运用锐角三角函数和余弦定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．11.答案：D解析： 本题考查三角函数的图象与性质，属于中档题． 由周期求出ω，再利用点(7π12,0)在函数f(x)的图象上，可求φ的值．解：∵T =2πω=π，∴ω=2，∴f(x)=sin(2x +φ)． 又∵点(7π12,0)在函数f(x)的图象上，∴sin (2×7π12+φ)=0，∴φ=−7π6+kπ(k ∈Z)．又∵|φ|<π2，∴φ=−π6．故选D ． 12.答案：C解析：由题意可得x 2−ax +1=0在区间(12， 3)内有解，利用函数有一个零点或者两个零点，列出关系式，即可求得实数a 的取值范围．解：由f(x)=x 2−ax +1在区间(12， 3)内有零点，可得x 2−ax +1=0在区间(12， 3)内有解． 函数f(x)=x 2−ax +1过(0,1)，∴{a 2>0f(12)f(3)<0或{ f(12)≥0f(3)≥012≤a 2≤3f(a 2)<0， 解{a 2>0f(12)f(3)<0得52<a <103， 解{ f(12)≥0f(3)≥012≤a 2≤3f(a 2)<0得2≤a ≤52， 综上a ∈[2,103).故选C ． 13.答案：1解析：解：二项式(ax2√x )5的展开式的通项公式为T r+1=C5r⋅a5−r ⋅ x10−2r ⋅ x −r2=C5r⋅a5−r ⋅ x10−52r，令10−5r2=0，解得r=4，故展开式中的常数项为C51⋅a1=5，∴a=1，故答案为1．先求出二项式展开式的通项公式，再令x的系数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项．再由常数项为5，求得a的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．14.答案：−√55解析：解：向量a⃗=(3,1)，b⃗ =(−2,4)，可得a⃗⋅b⃗ =3×(−2)+1×4=−2，|a⃗|=√9+1=√10，|b⃗ |=√4+16=2√5，可得a⃗在b⃗ 方向上的投影为a⃗ ⋅b⃗|b⃗|=2√5=−√55．故答案为：−√55．运用向量数量积的坐标表示和模的公式，可得a⃗⋅b⃗ ，|a⃗|，|b⃗ |，再由a⃗在b⃗ 方向上的投影为a⃗ ⋅b⃗|b⃗|，计算即可得到所求值．本题考查向量数量积的坐标表示和模的公式以及向量的投影的概念，考查运算能力，属于基础题．15.答案：20√5π3解析：本题考查三棱锥的外接球体积，考查学生的计算能力，确定三棱锥的外接球的半径是关键．求出BC，可得△ABC外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球体积．解：∵AB=AC=2，∠BAC=120°，∴BC=2√3，∴2r=√3√32=4，∴r=2，∵PA ⊥面ABC ，PA =2，∴该三棱锥的外接球的半径为√22+12=√5，∴该三棱锥的外接球的体积43π⋅(√5)3=20√5π3． 故答案为：20√5π3． 16.答案：32解析：解：∵a n+1−1=1a n −1=a n−1−1，∴{a n −1}为周期数列且周期为2，a 1−1=2，∴a 2014−1=a 2−1=1a1−1=12， ∴a 2014=32． 故答案为：32．由题意可知{a n −1}为周期数列且周期为2，a 1−1=2，即可求出答案本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础． 17.答案：解：(Ⅰ)由已知得cos2B +cosB =0，可得2cos 2B +cosB −1=0，即(2cosB −1)(cosB +1)=0，解得cosB =12或cosB =−1．因为0<B <π，故cosB =12，所以，B =π3．(Ⅱ)由sinA =3sinC 利用正弦定理可得a =3c ，而△ABC 的面积为12acsinB =3√34， 将a =3c 和B =π3代入上式，得出c =1，且a =3，再由余弦定理b 2=a 2+c 2−2accosB ，解得b =√7．解析：(Ⅰ)由条件可得2cos 2B +cosB −1=0，求得cos B 的值，可得B 的值．(Ⅱ)由sinA =3sinC 利用正弦定理可得a =3c ，再根据△ABC 的面积为12acsinB =3√34求得a 、c 的值，再由余弦定理求得b 的值．本题主要考查二倍角公式、诱导公式、正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．18.答案：解：(1)连接AC ，BD 设其交点为O ，连接OE ，则O 为中点，故OE//PA ，又PA ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，故PA//平面BDE ；(2)以O 为原点，OA ，OB 分别为x ，y 轴，过O 做AP 的平行线为z 轴，建立如图所示空间坐标系，如图示：设AB =2，则A(√2,0,0), C(−√2,0,0)，B(0,√2,0)，D(0,−√2,0)，P(√2,0,2√2)，设PE PC =λ>0，E(√2−2√2λ,0,2√2−2√2λ), AE⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√2λ,0,2√2−2√2λ)， AE ⊥平面PBD ，所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，解得λ=23，因为AE ⊥平面PBD ，所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面PBD 的一个法向量，E(−√23,0,2√23)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4√23,0,2√23)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√23,−√2,2√23), BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2√2,0)，设平面BDE 的法向量为n⃗ =(x,y,z )，则有{BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0, 即{−√23x −√2y +2√23z =0−2√2y =0，令x =2，得n⃗ =(2,0,1)， 设二面角P −BD −E 为θ，则|cosθ|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=35，由图知，二面角为锐角， 故二面角P −BD −E 的余弦值为35．解析：本题主要考查线面平行的证明，二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．(1)连结AC ，BD ，交于点O ，连结OE ，推导出OE//PA ，由此能证明PA//平面BDE ．(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求出平面PBD 的法向量和平面BDC 的法向量，利用向量法能求出二面角P −BD −C 的余弦值．19.答案：解：(1)∵X ∼N(100,100)，∴μ=100，σ=10，P (X ≥120)=1−P (80<X ≤120)2 =1−19202 =140， 成绩优秀的人数为30000×140=750(人)；(2)根据题意，P (90<X ≤110)≈23，ξ的取值有0，1，2，3，ξ∼B(3,23)，P(ξ=0)=(13)3=127； P(ξ=1)=C 31(13)2×23=627=29；P(ξ=2)=C 32×13×(23)2=1227=49； P(ξ=3)=(23)3=827．ξ的分布列为：E(ξ)=3×23=2．解析：本题考查正态分布及离散型随机变量的分布列与期望，属于一般题．(1)利用正态分布解决问题；(2)离散型随机变量求分布列，期望问题．20.答案：解：(1)直线l ：y =bx +2，坐标原点到直线l 的距离为√2． ∴√b 2+1=√2 ∴b =1∵椭圆的离心率e =√63， ∴a 2−1a 2=(√63)2 ∴a 2=3∴所求椭圆的方程是x 23+y 2=1；(2)直线y =kx +2代入椭圆方程，消去y 可得：(1+3k 2)x 2+12kx +9=0∴△=36k 2−36>0，∴k >1或k <−1设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，则有x 1+x 2=−12k 1+3k 2，x 1x 2=91+3k 2∵EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+1,y 1)，ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2+1,y 2)，且以CD 为圆心的圆过点E ，∴EC ⊥ED∴(x 1+1)(x 2+1)+y 1y 2=0∴(1+k 2)x 1x 2+(2k +1)(x 1+x 2)+5=0∴(1+k 2)×91+3k 2+(2k +1)×(−12k 1+3k 2)+5=0 解得k =76>1，∴当k =76时，以CD 为直径的圆过定点E解析：(1)利用直线l ：y =bx +2，椭圆的离心率e =√63，坐标原点到直线l 的距离为√2，建立方程，求出椭圆的几何量，即可求得椭圆的方程；(2)直线y =kx +2代入椭圆方程，利用韦达定理及CD 为圆心的圆过点E ，利用数量积为0，即可求得结论．本题考查椭圆的标准方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，解题的关键是联立方程，利用韦达定理求解．21.答案：解：(1)易知f′(x)=e x+ae−x−(a+1)=(e x−1)(e x−a)，e x①当a≤0时，∴函数f(x)的极小值点为x=0，无极大值点；②当0<a<1时，∴函数f(x)的极大值点为x=lna，极小值点为x=0；③当a=1时，f′(x)=(e x−1)2⩾0，e x∴函数f(x)单调递增，即f(x)无极值点；④当a>1时，∴函数f(x)的极大值点为x=0，极小值点为x=lna；综上所述，当a≤0时，函数f(x)的极小值点为x=0，无极大值点；当0<a<1时，函数f(x)的极大值点为x=lna，极小值点为x=0；当a=1时，函数f(x)无极值点；当a>1时，函数f(x)的极大值点为x=0，极小值点为x=lna．(2)以下需多次引用到如下不等式：e x≥1+x，当且仅当x=0时取等号，证明略．注意到当0<a<1时，有lna<a−1<0．−1，当0<a<1时，gˈ(a)=0，令g(a)=lna−a+1，则g′(a)=1a∴g(a)<g(1)=0，即a−1>lna，显然a−1<0，∴lna<a−1<0，∴由(1)可知当0<a<1时，f(x)在区间(a−1,0)上递减，在区间(0,+∞)上递增，∴f(x)在区间(a−1,+∞)上的最小值为f(0)=1−a，∵关于x的不等式[f(x)]2<λ(e a−1−a)在区间(a−1,+∞)上存在实数解，∴只需当0<a<1时，关于a的不等式(1−a)2<λ(e a−1−a)恒成立，由上易知当0<a<1时，e a−1−a>0，∴只需当0<a<1时，不等式λ>(1−a)2e−a恒成立即可，令函数F(x)=(1−x)2e x−1−x ，0≤x<1，则F′(x)=(x−1)(3e x−1−xe x−1−x−1)(e x−1−x)2，(法一)令函数G(x)=3e x−1−xe x−1−x−1，0≤x<1，则Gˈ(x)=(2−x)e x−1−1，当0<x<1时，∵e1−x>2−x，∴(2−x)e x−1<1，∴Gˈ(x)<0，∴G(x)>G(1)=0，即G(x)>0，∴当0<x<1时，Fˈ(x)<0，∴F(x)<F(0)=e，即F(x)<e，∴当0<a<1时，不等式λ=(1−a)2e a−ea恒成立，只需λ≥e，综上，实数λ的取值范围为[e,+∞)．解析：本题考查利用导数研究函数的极值，最值问题，难度较大．(1)求导，讨论a，即可求导函数的单调区间，从而求得极值．(2)依题意，只需当0<a<1时，不等式λ>(1−a)2e a−1−a恒成立即可，令函数F(x)=(1−x)2e x−1−x，利用导数求解即可．22.答案：解：(1)由{x=1+√3cosα,y=√3sinα(α为参数)得曲线C的普通方程为(x−1)2+y2=3．由直线l的方程为：x+√3y−2=0，得极坐标方程为√3ρsinθ+ρcosθ−2=0，即ρsin(θ+π6)=1．(2)曲线C的极坐标方程是ρ2−2ρcosθ−2=0，把θ=π3代入曲线C的极坐标方程得ρ2−ρ−2=0，解之得ρM=2或ρM=−1(舍)．把θ=π3代入直线l的极坐标方程得ρN=1，所以MN =|ρM −ρN |=|2−1|=1．解析：本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．(1)消去参数可得普通方程，再利用公式化成极坐标方程；(2)先求出曲线C 的极坐标方程，把θ=π3代入曲线C 的极坐标方程，解得ρ的值， 把θ=π3代入直线l 的极坐标方程解得ρ的值，从而得出结果．23.答案：解：(1)f(x)=|2x −1|−|x +32|={ 52−x,x <−32−3x −12,−32≤x ≤12x −52,x >12， 根据题意，{x <−3252−x ≤2或{−32≤x ≤12−3x −12≤2或{x >12x −52≤2， 解之得−56≤x ≤92，故解集为[−56,92]．(2)当x ∈(−∞,12)时，函数f(x)单调递减，当x ∈(12,+∞)时，函数f(x)单调递增．∴当x =12时，函数f(x)min =−2．由题知|a+b||ab+1|≤m ，即a+b ab+1≤m ，∵(a +b)−(ab +1)=(a −1)(1−b)≤0，则a +b ≤ab +1，∴a+b ab+1≤1．∴m ≥1，∴−m −1≤−2，∴f(x)≥−1−m ．解析：本题考查了绝对值不等式的解法和不等式的证明，属基础题．(1)f(x)=|2x −1|−|x +32|={ 52−x,x <−32−3x −12,−32≤x ≤12x −52,x >12，然后分段解不等式f(x)≤2；(2)求出f(x)的最小值，证明f(x)min≥−1−m，即可．。
2020年黑龙江省大庆实验中学高考数学模拟试卷(理科)(二)(5月份)
2020年黑龙江省大庆实验中学高考数学模拟试卷（理科）（二）（5月份）一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知{|||1}A x x =<，{|21}x B x =<，则(A B =U )A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞2．（5分）已知i 为虚数单位，若复数()1ai z a R i -=∈+的虚部为1-，则(a = ) A ．2- B ．1 C ．2 D ．1-3．（5分）某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米），左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为ˆ 1.1630.75yx =-，以下结论中不正确的为( )A ．15名志愿者身高的极差小于臂展的极差B ．15名志愿者身高和臂展成正相关关系C ．可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米D ．身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米4．（5分）函数2||()||ln x f x x x =-的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．16163π-B ．32163π-C ．1683π-D ．3283π- 6．（5分）《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．如：已知A ，B ，C 三人分配奖金的衰分比为20%，若A 分得奖金1000元，则B ，C 所分得奖金分别为800元和640元．某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得单位奖励68780元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金36200元，则“衰分比”与丁所获得的奖金分别为( )A ．20%，14580元B ．10%，14580元C ．20%，10800元D ．10%，10800元7．（5分）若0m >，0n >，且直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆222210x y x y +--+=相切，则m n +的取值范围是( )A ．[22)+∞B ．[22+，)+∞C ．(0，22]+D ．(0，22]+8．（5分）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则ABC ∆的面积222221[()()]42a b c S ab +-=-根据此公式，若cos (3)cos 0a B b c A ++=，且2222a b c --=，则ABC ∆的面积为( )A ．2B ．22C ．6D ．239．（5分）2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动，在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x 的素数个数大约可以表示为()x n x lnx≈的结论（素数即质数，0.43429)lge ≈．根据欧拉得出的结论，如下流程图中若输入n 的值为100，则输出k 的值应属于区间( )A ．(15，20]B ．(20，25]C ．(25，30]D ．(30，35]10．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -、2(,0)F c ，且双曲线C 与圆222x y c +=在第一象限相交于点A ，且12||3|AF AF =，则双曲线C 的离心率是( )A 31B 21C 3D 211．（5分）已知函数()2sin()(0f x x ωϕω=+>，0)ϕπ<<，()8f π()02f π=且()f x 在(0,)π上是单调函数，则下列说法正确的是( )A ．12ω=B ．()8f π-=C ．函数()f x 在[π-，]2π-上单调递减 D ．函数()f x 的图象关于点5(4π，0)对称 12．（5分）定义在R 上的偶函数()f x 满足(5)(3)f x f x -=+，且224,01()2,14x x x f x x lnx x ⎧-+<=⎨-⎩…剟，若关于x 的不等式2()(1)()0f x a f x a +++<在[20-，20]上有且仅有15个整数解，则实数a 的取值范围是( )A ．(1-，22]ln -B ．[233ln -，222)ln -C ．(233ln -，222]ln -D ．[222ln -，323)ln -二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在大题卡相应位置上．13．（5分）二项式65(x+展开式中的常数项是 ．14．（5分）已知向量(1,2)a =r ，(,1)b k =r ，且2a b +r r 与向量a r 的夹角为90︒，则向量a r 在向量b r 方向上的投影为 ．15．（5分）已知P ，E ，F 都在球面C 上，且P 在EFG ∆所在平面外，PE EF ⊥，PE EG ⊥，224PE GF EG ===，120EGF ∠=︒，在球C 内任取一点，则该点落在三棱锥P EFG -内的概率为 ．16．（5分）已知数列{}n a 的各项都是正数，211(*)n n n a a a n N ++-=∈，若数列{}n a 各项单调递增，则首项1a 的取值范围 ；当123a =时，记1(1)1n n nb a --=-，若1220191k b b b k <++⋯+<+，则整数k = ．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．若ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，且224(sin sin )sin sin sin 3B C A B C -=-． （1）求cos A ；。
黑龙江省大庆实验中学2020届高三数学5月综合训练试题一文含解析
某某省某某实验中学2020届高三数学5月综合训练试题（一）文（含解析）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在题目给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求． 1.设集合2{|4}A x Z x=∈，{|42}B x x =-<< ，则A B =（ ）A. {|22}x x -<≤B. {|42}x x -<≤C. {2,1,0,1,2}--D. {2,1,0,1}-- 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的交运算，即可容易求得结果.【详解】{|22}{2,1,0,1,2}A x Z x =∈-=--≤≤ 故可得{}2,1,0,1A B ⋂=-- 故选：D.【点睛】本题考查集合的交运算，属基础题. 2.已知复数z 满足（1+i ）2•z ＝1﹣i ，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】利用复数除法运算求得z ，由此求得z ，进而求得z 对应点的坐标及其所在象限.【详解】由（1+i ）2•z ＝1﹣i ，得z ()()2211111(1)2222i i i i i i i i ----====--+-，则1122z i =-+，∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为（12-，12），位于第二象限． 故选：B【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查共轭复数，考查复数对应点所在象限，属于基础题.3.已知向量,a b 满足a =（2，1），b =（1，y ），且a b ⊥，则2a b +＝（ ） A.5B. 52C. 5D. 4【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程，由此求得y ，根据向量模的坐标表示求得正确答案. 【详解】根据题意，a =（2，1），b =（1，y ），且a b ⊥，则有a b ⋅=2+y ＝0，解可得y ＝﹣2，即b =（1，﹣2），则2a b +=（4，﹣3），故2a b +=169+=5； 故选：C【点睛】本小题主要考查向量垂直和模的坐标表示，属于基础题.4.为了从甲乙两人中选一人参加校篮球队，教练将二人最近6次篮球比赛的得分数进行统计，甲乙两人的平均得分分别是x 甲、x 乙，则下列说法正确的是（ ）A. x x >甲乙，乙比甲稳定，应选乙参加比赛B. x x >甲乙，甲比乙稳定，应选甲参加比赛C. x x <甲乙，甲比乙稳定，应选甲参加比赛D. x x <甲乙，乙比甲稳定，应选乙参加比赛【答案】B 【解析】 【分析】先计算出甲乙两个学生的平均得分，再分析得解. 【详解】由题得18+26+28+28+31+3382==63x 甲，12+18+19+25+26+32==226x 乙，所以x x >甲乙.从茎叶图可以看出甲的成绩较稳定， 所以要派甲参加. 故选B【点睛】本题主要考查平均数的计算和茎叶图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5.已知正方体1111ABCD A BC D -，O 为底面ABCD 的中心，M ，N 分别为棱11A D ，1CC 的中点.则异面直线1B M 与ON 所成角的余弦值为( )A.5C.【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出向量1B M 和ON 的坐标，然后利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】以D 为原点建立如下图所示的空间直角坐标系：设正方体的棱长为2，所以有1(0,0,0),(1,1,0),(2,2,2),(1,0,2),(0,2,1)D O B M N ， 因此1(1,2,0)B M =--，(1,1,1)ON =-， 设异面直线1B M 与ON 所成角为α， 所以12222221(1)(1)(2)10115cos (1)(2)0(1)11B M ON B M ONα⋅-⨯-+-⨯+⨯===⋅-+-+⋅-++故选：C【点睛】本题考查了利用空间向量夹角公式求异面直线所成的角，考查了数学运算能力. 6.大学生积极响应“大学生志愿服务西部计划”.某高校学生小X 、小李、小孟、分别去西部某地一中、二中、三中3所学校中的一所学校支教，每校分配一名大学生，他们三人支教的学科分别是数学，语文，英语，且每学科一名大学生.现知道： （1）教语文的没有分配到一中， （2）教语文的不是小孟， （3）教英语的没有分配到三中， （4）小X 分配到一中. （5）小盂没有分配到二中，据此判断.数学学科支教的是谁？分到哪所学校？（ ） A. 小X 三中B. 小李一中C. 小盂三中D. 小X 二中【解析】 【分析】由于小X 分配到一中，小盂没有分配到二中，教英语的没有分配到三中，则可知小盂分配到三中，问题得以解决.【详解】由于小X 分配到一中，小盂没有分配到二中，教英语的没有分配到三中， 则可知小盂分配到三中，且教数学， 故选：C.【点睛】本题考查了合情推理的实际应用问题，其中解答中数练应用合理推理，结合题意求解是解答额关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．7.设,a b 是两条直线，,αβ是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是（ ） A. ,//,a b αβαβ⊥⊥ B. ,,//a b αβαβ⊥⊥ C. ,,//a b αβαβ⊂⊥ D. ,//,a b αβαβ⊂⊥ 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件的判断，即从选项中找出能推出a b ⊥成立的即可，由空间线线、线面、面面的位置关系对选项进行逐一判断，即可得出答案.【详解】A. 由,//,a b αβαβ⊥⊥，还可能得到 //b a ，如图（1），所以不正确. B. 由,,//a b αβαβ⊥⊥，还可能得到 //b a ，如图（2），所以不正确. C. 由,//b βαβ⊥，可得b α⊥，又,a α⊂所以有a b ⊥，所以正确. D. 由,//,a b αβαβ⊂⊥，如图（3），所以不正确.【点睛】本题考查线面垂直、平行的性质及面面垂直、平行的性质，考查充分条件的判断和空间想象能力，属于基础题.8.已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，在（0，+∞）上是增函数，且f （﹣4）＝0，则使得xf （x ）＞0成立的x 的取值X 围是（ ） A. （﹣4，4）B. （﹣4，0）∪（0，4）C. （0，4）∪（4，+∞）D. （﹣∞，﹣4）∪（4，+∞） 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的单调性和奇偶性，求得不等式()x f x ⋅的解集.【详解】∵函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，在（0，+∞）上是增函数，∴函数f （x ）是在（﹣∞，0）上是增函数，又f （﹣4）＝0，∴f （4）＝0，由xf （x ）＞0，得()00x f x ⎧⎨⎩＞＞或()00x f x ⎧⎨⎩＜＜，∴x ＞4或x ＜﹣4．∴x 的取值X 围是（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）． 故选：D【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题.9.棱长为2的正方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为( )A. 92B. 922C. 32D. 3【答案】A【解析】【分析】由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体切去一个三棱台，其截面是一个梯形，分别求出上下底边的长和高，代入梯形面积公式可得答案．【详解】由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体切去一个三棱台ABC DEF-，所得的组合体，其截面是一个梯形BCFE，22112+=222222+=故截面的面积19222S =⨯=， 故选：A ．【点睛】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．10.已知直线y ＝﹣2与函数()23f x sin x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，（其中w ＞0）的相邻两交点间的距离为π，则函数f （x ）的单调递增区间为（ ） A. 566k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，， B. 51212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，， C. 51166k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，， D. 511612k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，， 【答案】B 【解析】 【分析】根据周期求得ω，再根据单调区间的求法，求得()f x 的单调区间. 【详解】∵y ＝﹣2与函数()23f x sin x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，（其中w ＞0）的相邻两交点间的距离为π， ∴函数的周期T ＝π，即2πω=π，得ω＝2，则f （x ）＝2sin （2x 3π-），由2k π2π-≤2x 3π-≤2kπ2π+，k ∈Z ，得k π12π-≤x ≤k π512π+，k ∈Z ，即函数的单调递增区间为[k π12π-，k π512π+]，k ∈Z ，故选：B【点睛】本小题主要考查三角函数的单调性，考查三角函数的周期性，属于基础题.11.若函数()2020x log x x f x a x ⎧=⎨--≤⎩，＞，有且只有一个零点，则a 的取值X 围是（ ）A. （﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）B. （﹣∞，﹣1）∪[0，+∞）C. [﹣1，0）D. [0，+∞） 【答案】B 【解析】 【分析】根据()f x 在(],0-∞没有零点列不等式，解不等式求得a 的取值X 围.【详解】当x ＞0时，因为log 21＝0，所以有一个零点，所以要使函数()2020xlog x x f x a x ⎧=⎨--≤⎩，＞，有且只有一个零点，则当x ≤0时，函数f （x ）没有零点即可，当x ≤0时，0＜2x ≤1，∴﹣1≤﹣2x ＜0，∴﹣1﹣a ≤﹣2x ﹣a ＜﹣a ，所以﹣a ≤0或﹣1﹣a ＞0，即a ≥0或a ＜﹣1. 故选：B【点睛】本小题主要考查分段函数零点，属于基础题.12.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，焦距为2c ，过点1F 的直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，若22PF c =，且1143PF QF =，则椭圆C 的离心率为（ ） A. 12B. 34C. 57D. 23【答案】C 【解析】 【分析】根据题意以及椭圆的定义，可得|PF 1|、|QF 1|、|QF 2|，并计算cos ∠PF 1F 2，cos ∠QF 1F 2，然后利用cos ∠PF 1F 2+cos ∠QF 1F 2＝0化简，简单计算可得结果. 【详解】∵|PF 2|＝|F 1F 2|，∴|PF 2|＝2c ，则|PF 1|＝2a ﹣2c ．∵3|PF 1|＝4|QF 1|，∴|QF 1|3224a c =（﹣）32a c =-（），则|QF 2|＝2a 32a c --（）=322+a c ． 在等腰△PF 1F 2中，可得cos ∠PF 1F 2112122PF a c F F c-==． 在△QF 1F 2中，由余弦定理可得：cos ∠QF 1F 2=()22291()4(3)443222a c c a c c a c -+-+⨯⨯-，由cos ∠PF 1F 2+cos ∠QF 1F 2＝0，得()22291()4(3)4432222a c c a c a c c c a c -+-+-+=⨯⨯-0， 整理得：5706a c c -=，∴557,7c a c e a ∴==＝. 故选：C ．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查三角形中余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13.若x，y满足约束条件1020220xyx y+≥⎧⎪-≤⎨⎪--≤⎩，则3z x y=+的最大值是______.【答案】8 【解析】【分析】在平面直角坐标系内，画出约束条件所表示的可行解域，在可行解域内平移直线13y x =-，找到一点使得直线13y x z=-+在纵轴上的截距最大，把点的坐标代入目标函数中即可.【详解】约束条件所示的可行解域如下图所示：在可行解域内平移直线13y x=-，当直线13y x z=-+经过A点时，直线在纵轴上的截距最大，A 点的坐标是方程组222y y x =⎧⎨=-⎩的解，解得22y x =⎧⎨=⎩，所以3z x y =+的最大值是2328+⨯=.故答案为：8【点睛】本题考查了线性规划的应用，考查了数形结合思想和数学运算能力. 14.设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()3log (1)00x x f x g x x +≥⎧=⎨<⎩，，，则()8g f ⎡⎤-=⎣⎦____．【答案】-1 【解析】当0x <时，0x ->， ∴()()3log 1f x x -=-+，∵函数()f x 是定义在R 上的奇函数， ∴()()3log 1f x x -=-+，∴()()3log 1,(0)f x x x =--+<，即()()3log 1,(0)g x x x =--+< 由题意得3(8)(8)log 92f f -=-=-=-， ∴()38(2)log [(2)1]1g f g ⎡⎤-=-=---+=-⎣⎦． 答案：1-15.已知长方形ABCD 中，AB ＝1，∠ABD ＝60°，现将长方形ABCD 沿着对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，则折后几何图形的外接球表面积为_____． 【答案】4π 【解析】 【分析】设出球心的位置，利用勾股定理列方程组，解方程组求得球的半径，进而求得球的表面积. 【详解】长方形ABCD 中，AB ＝1，∠ABD ＝60°，可得BD ＝2，AD 3=， 作AE ⊥BD 于E ，可得AE •BD ＝AB •AD ，所以AE 3=，BE 2231142AB AE =-=-=，因为平面ABD ⊥平面BCD ，AE ⊂面ABD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，所以AE ⊥面BCD ， 由直角三角形BCD 可得其外接圆的圆心为斜边BD 的中点O 1，且外接圆的半径r 12BD ==1，过O 1作OO 1垂直于底面BCD ，所以EO 1＝O 1B ﹣BE ＝11122-=， 所以OO 1∥AE ，取三棱锥外接球的球心O ，设外接球的半径为R ，作OF ⊥AE 于F ，则四边形EFOO 1为矩形，O 1E ＝OF ，EF ＝OO 1，则OA ＝OC ＝OB ＝OD ＝R ，在△AFO 中，OA 2＝AF 2+OF 2＝（AE ﹣EF ）2+EO 12即R 2＝（3-OO 1）214+；①在△BOO 1中：OB 2＝OO 12+EO 12，即R 2＝OO 1214+；② 由①②可得R 2＝1，OO 1＝0，即外接球的球心为O 1，所以外接球的表面积S ＝4πR 2＝4π， 故答案为：4π【点睛】本小题主要考查几何体外接球表面积的有关计算，属于中档题.16.已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S 满足242n n n S a a =+，*n N ∈，设1(1)n n n n b a a +=-⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和，则2n T =______.【答案】()81n n +【解析】 【分析】首先由11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求出数列{}n a 的通项公式，即可得到{}n b 的通项，从而求出2n T ；【详解】解：当1n =时，211142a a a =+，得12a =，10a =（舍），由242n n n S a a =+，①当2n ≥时，211142n n n S a a ---=+，②①一②得2211422n n n n n a a a a a --=+--，化简得()()22111122n n n n n n n n a a a a a a a a -----=+-=+()12n n a a -=+.又因为数列{}n a 的各项均为正数， 所以12n n a a --=，所以数列{}n a 是首项12a =，公差2d =的等差数列，即2n a n =， 所以()()()()1221411nnn b n n n n =-⋅⋅+=-⋅⋅+，所以()()()241223344521211221n T n n n n =-⨯+⨯-⨯+⨯-⋅⋅⋅---++⋅+⎡⎤⎣⎦()4222422n =⨯+⨯++⋅()()116812n n n n +=⨯=+.故答案为：()81n n +【点睛】本题考查作差法求数列的通项公式，等差数列求和，属于中档题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2a ＝2b cos C +c sin B ．（Ⅰ）求tan B ； （Ⅱ）若C 4π=，△ABC 的面积为6，求BC ．【答案】（Ⅰ）tanB ＝2；（Ⅱ）【解析】 【分析】（I ）利用正弦定理化简已知条件，求得tan B 的值.（II ）由tan B 的值求得,cos sinB B 的值，从而求得sin A 的值，利用正弦定理以及三角形的面积公式列方程，由此求得a 也即BC 的值.【详解】（Ⅰ）∵2a ＝2b cos C +c sin B ，利用正弦定理可得：2sin A ＝2sin B cos C +sin C sin B ，又sin A ＝sin （B +C ）＝sin B cos C +cos B sin C ， 化为：2cos B ＝sin B ≠0，∴tanB ＝2． （Ⅱ）∵tan B ＝2，B ∈（0，π），可得sinB =，cosB =．∴sin A ＝sin （B +C ）＝sin B cos C +cos B sinC =+= ∴a b sinA sinB =，可得：a 24b ==．又12ab sin 4π=6，可得b a=． ∴a =，即218a =，解得BC a =＝ 【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题. 18.随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台.已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元.根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示.已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品.现以x （单位：吨，100150x ≤≤）表示下一个销售季度的市场需求量，T （单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润.（1）将T 表示为x 的函数，求出该函数表达式； （2）根据直方图估计利润T 不少于57万元的概率；（3）根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量x 的平均数与中位数的大小（保留到小数点后一位）.【答案】（1）0.839,10013065,130150x x T x -≤<⎧=⎨≤≤⎩；（2）0.7；（3）平均数为126.5（吨），估计中位数应为126.7（吨） 【解析】 【分析】（1）分别计算[)100,130x ∈和[]130,150x ∈时T 值，用分段函数表示T 的解析式；（2）计算利润T 不少于57万元时x 的取值X 围，求出对应的频率值即可；（3）利用每一小组底边的中点乘以对应的矩形的面积（即频率）求和得出平均数，根据中位数两边频率相等（即矩形面积和相等）求出中位数的大小.【详解】解：（1）当[)100,130x ∈时，()0.50.31300.839T x x x =--=-； 当[]130,150x ∈时，0.513065T =⨯=，所以，0.839,10013065,130150x x T x -≤<⎧=⎨≤≤⎩； （2）根据频率分布直方图及（1）知，当[)100,130x ∈时，由0.83957T x =-≥，得120130x ≤<， 当[]130,150x ∈时，由6557T =≥所以，利润T 不少于57万元当且仅当120150x ≤≤， 于是由频率分布直方图可知市场需求量[]120,150x ∈的频率为()0.0300.0250.015100.7++⨯=，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57万元的概率的估计值为0.7； （3）估计一个销售季度内市场需求量x 的平均数为1050.11150.21250.3x =⨯+⨯+⨯1350.251450.15126.5+⨯+⨯=（吨）由频率分布直方图易知，由于[)100,120x ∈时，对应的频率为()0.010.02100.30.5+⨯=<， 而[)100,130x ∈时，对应的频率为()0.010.020.03100.60.5++⨯=>，因此一个销售季度内市场需求量x 的中位数应属于区间[)120130,，于是估计中位数应为()1200.50.10.20.03126.7+--÷≈（吨）.【点睛】本题考查了分段函数以及频率、平均数和中位数的计算问题，是中档题. 19.如图，四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，33AB CD ==，2PA PD BC ===，90ABC ∠=︒，且PB PC =.（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）求点D 到平面PBC 的距离. 【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明BC ⊥平面PME ，由线面垂直的性质定理可得PM BC ⊥，由线面垂直的判定定理得PM ⊥平面ABCD ，再由面面垂直的判定定理证明平面PAD ⊥平面ABCD 即可.（2）由P BCD D BCP V V --=，利用等体积法，即可求出点D 到平面PBC 的距离. 【详解】（1）解：取AD 、BC 的中点分别为M 、E ，连结PM ，PE ，ME ，因为//AB CD ，33AB CD ==， 所以四边形ABCD 为梯形， 又M 、E 为AD 、BC 的中点， 所以ME 为梯形的中位线， 所以//ME AB ， 又90ABC ∠=︒， 所以ME BC ⊥，因为PB PC =，E 为BC 的中点 所以PE BC ⊥， 又PEME E =，PE ⊂平面PME ，M E ⊂平面PME ，所以BC ⊥平面PME ， 又PM ⊂平面PME ， 故PM BC ⊥，因为PA PD =，M 为AD 中点， 所以PM AD ⊥，又AD ，BC 不平行，必相交于某一点，且AD ，BC 都在平面ABCD 上， 所以PM ⊥平面ABCD ， 又PM ⊂平面PAD ， 则平面PAD ⊥平面ABCD .（2）由（1）及题意知，PM 为三棱锥P BCD -的高，AD =，2ME =，PM =故PE =11222PBC S BC PE =⨯=⨯=△ 而1121122BCD S BC CD =⨯=⨯⨯=△， 设点D 到平面PBC 的距离为h ，由等体积法知：111113333P BCD D BCP BCD PBC V V S PM S h h --==⨯=⨯=⨯=△△，解得h ，所以点D 到平面PBC 【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理、性质定理和面面垂直的判定定理，考查了三棱锥的体积公式以及利用等体积法求点到面的距离，考查了转化能力与推理能力，属于中档题.20.椭圆W ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，离心率为2，左、右顶点分别为A ，B .过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆W 截得的线段长为1. （1）求椭圆W 的标准方程；（2）经过点()1,0P 的直线与椭圆W 相交于不同的两点C 、D （不与点A 、B 重合），直线CB 与直线4x =相交于点M ，求证：A 、D 、M 三点共线.【答案】（1）2214x y +=；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知可得221b a=，结合离心率和,,a b c 关系，即可求出椭圆W 的标准方程；（2）CD 斜率不为零，设CD 的方程为1x my =+，与椭圆方程联立，消去x ，得到,C D 纵坐标关系，求出BC 方程，令4x =求出M 坐标，要证A 、D 、M 三点共线，只需证0AD AM k k -=，将AD AM k k -分子用,C D 纵坐标表示，即可证明结论.【详解】（1）由于222c a b =-，将x c =-代入椭圆方程22221x ya b+=，得2b y a =±，由题意知221b a=，即22a b =.又c e a ==2a =，1b =. 所以椭圆W 的方程为2214x y +=.（2）解法一：依题意直线CD 斜率不为0，设CD 的方程为1x my =+，联立方程22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得22(4)230m y my ++-=， 由题意，得>0∆恒成立，设11(,)C x y ，22(,)D x y ， 所以12224m y y m +=-+，12234y y m =-+ 直线CB 的方程为11(2)2y y x x =--.令4x =，得112(4,)2y M x -. 又因为(2,0)A -，22(,)D x y ，则直线AD ，AM 的斜率分别为222AD y k x =+，113(2)AM y k x =-， 所以21211221123(2)(2)23(2)3(2)(2)AD AM y y y x y x k k x x x x --+-=-=+--+. 上式中的分子211221123(2)(2)3(1)()3y x y x y my y my +=--+--121226623()04m m my y y y m -+=-+==+， 0AD AM k k ∴-=.所以A ，D ，M 三点共线.解法二：当直线CD 的斜率k 不存在时，由题意，得CD 的方程为1x =，代入椭圆W的方程，得C，(1,D ， 直线CB的方程为2)y x =-.则(4,M，(6,AM =，(3,AD =， 所以2AM AD =，即A ，D ，M 三点共线.当直线CD 的斜率k 存在时，设CD 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，11(,)C x y ，22(,)D x y ， 联立方程22 (1), 1,4y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得2222(41)8440k x k x k +-+-=. 由题意，得>0∆恒成立，故2122841k x x k +=+，21224441k x x k -=+. 直线CB 的方程为11(2)2y y x x =--.令4x =，得112(4,)2y M x -. 又因为(2,0)A -，22(,)D x y ，则直线AD ，AM 的斜率分别为222AD y k x =+，113(2)AM y k x =-， 所以21211221123(2)(2)23(2)3(2)(2)AD AM y y y x y x k k x x x x --+-=-=+--+. 上式中的分子211221123(2)(2)3(1)(2)(1)(2)y x y x k x x k x x --+=----+121225()8kx x k x x k =-++22224482584141k k k k k k k -=⨯-⨯+++0= 所以0AD AM k k -=.所以A ，D ，M 三点共线.【点睛】本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，要熟练掌握根与系数关系，设而不求方法解决相交弦问题，考查计算求解能力，属于中档题.21.已知函数f （x ）＝axe x ，g （x ）＝x 2+2x +b ，若曲线y ＝f （x ）与曲线y ＝g （x ）都过点P （1，c ）．且在点P 处有相同切线l ．（Ⅰ）求切线l 的方程；（Ⅱ）若关于x 的不等式k [ef （x ）]≥g （x ）对任意x ∈[﹣1，+∞）恒成立，某某数k 的取值X 围．【答案】（Ⅰ）4x ﹣y ﹣2＝0；（Ⅱ）1e≤k ≤e 【解析】【分析】 （I ）根据切点和斜率列方程，解方程组求得,,a b c 的值，进而求得切线方程.（II ）构造函数()()()h x k ef x g x =-⎡⎤⎣⎦，利用导数研究()h x 的单调性，对k 进行分类讨论，结合()0h x ≥恒成立，由此求得k 的取值X 围.【详解】（Ⅰ）∵f ′（x ）＝ae x （x +1），g ′（x ）＝2x +2，由已知可得()()()()'1'111f g f g c ⎧=⎪⎨==⎪⎩， 即243ae ae b c =⎧⎨=+=⎩，解得a 2e =，b ＝﹣1，c ＝2，∴切线的斜率g ′（1）＝4， ∴切线l 的方程为y ﹣2＝4（x ﹣1），即4x ﹣y ﹣2＝0，（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f （x ）＝2xe x ﹣1，g （x ）＝x 2+2x ﹣1，设h （x ）＝k [ef （x ）]﹣g （x ）＝2kxe x ﹣（x 2+2x ﹣1），即h （x ）≥0，对任意x ∈[﹣1，+∞）恒成立，从而h （x ）min ≥0，∴h ′（x ）＝2k （x +1）e x ﹣2（x +1）＝2（x +1）（ke x ﹣1），①当k ≤0时，h ′（x ）≤0，h （x ）在[﹣1，+∞）上单调递减，又h （1）＝2ke ﹣2＜0，显然h （x ）≥0不恒成立，②当k ＞0时，h ′（x ）＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝﹣lnk ，（i ）当﹣lnk ＜﹣1时，即k ＞e 时，h ′（x ）≥0，h （x ）单调递增，又h （x ）min ＝h （﹣1）2k e =-+2()2e k e-=＜0，显然h （x ）≥0不恒成立， （ii ）当﹣lnk ＝﹣1时，即k ＝e 时，h ′（x ）＞0，h （x ）单调递增，∴h （x ）min ＝h （﹣1）2k e =-+2()2e k e-==0，即h （x ）≥0恒成立，（iii ）当﹣lnk ＞﹣1时，即0＜k ＜e 时，当x ∈[﹣1，﹣lnk ）时，h ′（x ）＜0，h （x ）单调递减，当x ∈（﹣lnk ，+∞）时，h ′（x ）＞0，h （x ）单调递增，∴h （x ）min ＝h （﹣lnk ）＝-2lnk ﹣（ln 2k ﹣2lnk ﹣1）＝1﹣ln 2k ≥0，解得1e ≤k ≤e ，∴1e ≤k ＜e ， 综上所述得：1e≤k ≤e ． 【点睛】本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22.已知曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），曲线2C的参数方程为82x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）． （1）求1C 和2C 的普通方程；（2）过坐标原点O 作直线交曲线1C 于点M （M 异于O ），交曲线2C 于点N ，求||||ON OM 的最小值．【答案】（1）曲线1C 的普通方程为：22(2)4x y -+=；曲线2C 的普通方程为：80x y +-=；（2）1)．【解析】【分析】（1）利用22sin cos 1αα+=，可得1C 的普通方程，根据加减消元可得2C 的普通方程.（2）设出过原点O 的直线的极坐标方程，代入曲线12,C C 的极坐标方程，求得,ON OM 的表达式，结合三角函数值域的求法，求得||||ON OM 的最小值. 【详解】（1）22cos 22cos 2sin 2sin x x y y αααα=+-=⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩，得22(2)4x y -+= 曲线1C 的普通方程为：22(2)4x y -+=；880x x y y ⎧=⎪⎪⇒+-=⎨⎪=⎪⎩曲线2C 的普通方程为：80x y +-=．（2）设过原点的直线的极坐标方程为30,,4R πθββπβρ⎛⎫=≤<≠∈ ⎪⎝⎭； 由22(2)4x y -+=得2240x y x +-=，所以曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=在曲线1C 中，4|o |c s OM β=． 由80x y +-=得曲线2C 的极坐标方程为cos sin 80ρθρθ+-=，所以O 到直线与曲线2C 的交点N 的距离为8||sin cos ON ββ=+， 因此28||2sin cos ||4cos sin cos cos ββββββ+==+ON OM ， ||4||214πβ=⎛⎫++ ⎪⎝⎭ON OM ， 当sin 214πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，则||||ON OM 1)=． 【点睛】本题主要考查参数方程化为普通方程，考查直角坐标方程化为极坐标方程，考查极坐标系下距离的有关计算，属于中档题.23.已知函数()|1||1|f x ax x =++-.（1）若2a =，解关于x 的不等式()9f x <；（2）若当0x >时，()1f x >恒成立，某某数a 的取值X 围.【答案】（1）{}|33x x -<<（2）()0,a ∈+∞【解析】【分析】（1）利用零点分段法将()f x 表示为分段函数的形式，由此求得不等式的解集.（2）对a 分成0,0,0a a a >=<三种情况，求得()f x 的最小值，由此求得a 的取值X 围.【详解】（1）当2a =时，3,11()2112,1213,2x x f x x x x x x x ⎧⎪>⎪⎪=++-=+-≤≤⎨⎪⎪-<-⎪⎩， 由此可知，()9f x <的解集为{}|33x x -<<（2）当0a >时，()()()1,11()1112,111,a x x f x ax x a x x a a x x a ⎧⎪+>⎪⎪=++-=-+-≤≤⎨⎪⎪-+<-⎪⎩()f x 的最小值为1f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和()1f 中的最小值，其中1111f a a ⎛⎫-=+> ⎪⎝⎭，(1)11f a =+>.所以()1f x >恒成立.当0a =时，()111f x x =-+≥，且(1)1f =，()1f x >不恒成立，不符合题意.当0a <时，()1111,1f a f a a ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭， 若20a -≤<，则()11f ≤，故()1f x >不恒成立，不符合题意；若2a <-，则11f a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，故()1f x >不恒成立，不符合题意. 综上，()0,a ∈+∞.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查根据绝对值不等式恒成立求参数的取值X 围，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.。
2020 年黑龙江省大庆实验中学高三5月第一次模拟考试数学(理)试卷-含答案
参考答案
1．B
∵集合
A
x
N
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
x
log2 16
{x N
|0
x
4} 1, 2,3 ，集合
B
x 2x 2 0
x x 1 ，
A B {2, 3} .∴集合 A B 真子集个数是 22-1＝3
比赛结果相互独立.则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（ ）
A． 1 3
B． 2 5
C． 2 3
D． 4 5
10．已知 a 5ln 4 , b 4 ln 5 , c 5ln 4 ，则 a,b, c 的大小关系是（ ）
A. c b a
B. c a b
C. b a c
D. a b c
请考生在第 22 23 题中任选一道作答，如果多做，则按所做第一题计分，作答时请写清题号.
22.（本小题满分
10
分）在直角坐标系中，曲线
C
的参数方程为
x y
3 cos 2 sin
(
为参数），以原点为极点，x
轴
的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 D 的极坐标方程为 4sin( ) . 6
∴等差数列的通项公式为 an＝11+（n﹣1）30＝30n﹣19，
由 401≤30n﹣19≤731，n 为正整数可得 14≤n≤25，
∴做问卷 C 的人数为 25﹣14+1＝12，
9．A
记事件 A :甲获得冠军，事件 B :比赛进行三局，
事件 AB : 甲获得冠军，且比赛进行了三局，则第三局甲胜，前三局甲胜了两局，
2020届黑龙江省大庆实验中学高考理科数学一模试题
2020届黑龙江省大庆实验中学高考理科数学一模试题一、单选题（本题共12小题，每题5分，共60分）1．（5分）已知集合A＝{x∈N|0＜x＜log216}，集合B＝{x|2x﹣2＞0}，则集合A∩B真子集个数是（）A．2B．3C．4D．82．（5分）i为虚数单位，则的虚部为（）A．﹣i B．i C．﹣1D．13．（5分）在（﹣）6的展开式中，中间一项的二项式系数为（）A．20B．﹣20C．15D．﹣154．（5分）已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线x+2y﹣3＝0，则该双曲线的离心率为（）A．5或B．或C．或D．5或5．（5分）17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形）．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC中，．根据这些信息，可得sin234°＝（）A．B．C．D．6．（5分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则m∥n的充分条件是（）A．m，n与平面α所成角相等B．m∥α，n∥αC．m∥α，m⊂β，α∩β＝n D．m∥α，α∩β＝n7．（5分）已知点（3，1）和（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a＝0的两侧，则a的取值范围是（）A．﹣7＜a＜24B．﹣24＜a＜7C．a＜﹣1或a＞24D．a＜﹣24或a＞7 8．（5分）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，3，…，960，分组后某组抽到的号码为41．抽到的32人中，编号落入区间[401，731]的人数为（）A．10B．11C．12D．139．（5分）甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，各局比赛结果相互独立且没有平局，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）已知a＝5ln4π，b＝4ln5π，c＝5lnπ4，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c11．（5分）已知椭圆C：，过原点的直线交椭圆于A，B两点，以AB为直径的圆过右焦点F，若∠F AB＝α∈，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数（其中无理数e＝2.718…），关于x的方程有四个不等的实根，则实数λ的取值范围是（）A．B．（2，+∞）C．D．二．填空题（本题共4道小题，每题5分，共20分）13．（5分）函数f（x）＝a x+1+1，（a＞0，a≠1）的图象恒过定点P，则P点坐标为．14．（5分）我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣．”它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程，求得，类似上述过程，则．15．（5分）在四面体S﹣ABC中，SA＝SB＝2，且SA⊥SB，，，则该四面体体积的最大值为，该四面体外接球的表面积为．16．（5分）在△ABC中，，点D为线段AB上一动点，若最小值为，则△ABC的面积为．三．解答题（本题共5道小题，每题12分，共60分）17．（12分）已知数列{a n}满足，a1＝1，a2＝4且a n+2﹣4a n+1+3a n＝0（n∈N*）．（Ⅰ）求证：数列{a n+1﹣a n}为等比数列，并求出数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝2n•a n，求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面P AD为等边三角形，且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝1，∠BAD＝∠ABC＝90°，∠ADC＝45°，分别是AD，PD的中点．（Ⅰ）证明：平面CMN∥平面P AB；（Ⅱ）已知点E在棱PC上且，求直线NE与平面P AB所成角的余弦值．19．（12分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）上的两个动点A（x1，y1）和B（x2，y2），焦点为F．线段AB的中点为M（3，y0），且A，B两点到抛物线的焦点F的距离之和为8．（1）求抛物线的标准方程；（2）若线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，求△ABC面积的最大值．20．（12分）某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次NCP普查，为此需要抽验1000人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案．方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验1000次．方案②：按k个人一组进行随机分组，把从每组k个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k个人的血只需检验一次（这时认为每个人的血化验次）；否则，若呈阳性，则需对这k个人的血样再分别进行一次化验，这样，该组k个人的血总共需要化验k+1次．假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p，且这些人之间的试验反应相互独立．（1）设方案②中，某组k个人的每个人的血化验次数为X，求X的分布列；（2）设p＝0.1，试比较方案②中，k分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）21．（12分）已知函数．（1）若f'（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）＝f'（x）﹣x﹣alnx的单调性；（2）若（e是自然对数的底数），求证：f（x）＞0．四、请考生在第22～23题中任选一道作答，如果多做，则按所做第一题计分，作答时请写清题号.22．（10分）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线D的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C的极坐标的方程以及曲线D的直角坐标方程；（Ⅱ）若过点（极坐标）且倾斜角为的直线l与曲线C交于M，N两点，弦MN的中点为P，求的值．23．已知函数f（x）＝|2x﹣4|+|x+1|，（Ⅰ）解不等式f（x）≤9；（Ⅱ）若不等式f（x）＜2x+a的解集为A，B＝{x|x2﹣3x＜0}，且满足B⊆A，求实数a 的取值范围．。
黑龙江省大庆实验中学2020届高三数学仿真模拟试题理(含解析)
大庆实验中学实验一部2020届高三仿真模拟数学试卷（理工类）本试卷分第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分，共23题，共150分，共3页。
考试时间：120 分钟考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12 个小题，每小题5 分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题知，，则．故本题答案选．2. 已知复数．若在复平面内对应的点分别为，线段的中点对应的复数为，则（）A. B. 5 C. D.【答案】A【解析】，所以，选A.3. 命题，则的否定形式是（）A. ，则B. ，则C. ，则D. ，则【答案】D【解析】试题分析：在变命题的否定形式的时候，要注意把全称命题改成特称命题，本题中需要改动两处：一处是全称量词“任意”改成存在量词“存在”，另外一处把“大于等于” 改成相反方面“小于” . 所以本题应该选D.考点：命题的否定形式.4. 已知等差数列的公差为2，若、、成等比数列，则等于（）A. －2B. －4C. 2D. 0【答案】C 【解析】由题知，即，又，解得，则．故本题答案选．5. 二项式的展开式中项的系数为，则（）A. 4B. 5C. 6D. 7答案】C【考点定位】二项式定理．6. 是表示空气质量的指数，指数值越小，表明空气质量越好，当指数值不大于100 时称空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12 日指数值的统计数据，图中点表示4 月1 日的指数值为201 ．则下列叙述不正确的是（）A. 这12天中有6天空气质量为“优良”B. 这12天中空气质量最好的是4月9 日C. 这12天的指数值的中位数是90D. 从4日到9 日，空气质量越来越好【答案】C【解析】由图可知，不大于100天有6日到11日,共6天，所以A对，不选.最小的一天为10日,所以B对,不选•中位为是,C错.从图中可以4日到9日越来越小，D对.所以选C.7. 高三某班15名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示如图1．执行图2 所示的程序框图，若输入的分别为这15 名学生的考试成绩，则输出的结果为（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】D【解析】由框图功能可知，它的作用是统计出分数大于或等于110 分的人数n. 所以. 选D.8. 已知，是曲线与轴围成的封闭区域．若向区域内随机投入一点，则点落入区域的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如下图，我们可知概率为两个面积比. 选D.【点睛】解几何概型问题的关键是确定“测度” ，常见的测度有长度、面积、体积等，若题中只有一个变量，可考虑利用长度模型，若题中由两个变量，可考虑利用面积模型.9. 设点在不等式组所表示的平面区域内，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图所示，绘制不等式组表示的平面区域，结合目标函数的几何意义可得，目标函数在点处取得最大值2，在点处取得最大值5，目标函数的取值范围是.本题选择D选项•10. 已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得出这个几何体的内切球半径是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体为三棱锥，设内切球半径为，则由棱锥的体积公式有①，其中，分别为三棱锥四个面的面积，，代入①得到，解得•11. 如图所示点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】抛物线的的准线方程，焦点，由抛物线的定义可得，圆的圆心，半径，所以的周长，由抛物线及圆可得交点的横坐标为，所以，所以，故选B.12. 已知函数f (X)=，若存在X i、X2、…X n满足==••==,贝U X1+X2+…+X n的值为( )A. 4B. 6C. 8D. 10答案】C解析】由函数的解析式可得函数f(x) 的图象关于点(2,0) 对称，结合图象知：X I、X2、…X n满足•••函数f (x)与y= x-1的图象恰有5个交点，且这5个交点关于(2,0)对称, 除去点(2,0) ，故有X1+X2 +…+ X n=X l+X2+X3+X4=8.本题选择C选项.第n卷(共90分)二、填空题(每题5 分，满分20 分，将答案填在答题纸上)13. 已知函数(为正实数)只有一个零点，则的最小值为【答案】【解析】函数只有一个零点，则，则，可知，又，则．故本题应填．点睛：本题主要考查基本不等式. 基本不等式可将积的形式转化为和的形式, 也可将和的形式转化为积的形式, 两种情况下的放缩功能, 可以用在一些不等式的证明中, 还可以用于求代数式, 函数等的取值范围或最值中. 与常用来和化积, 而和常用来积化和.14. 设直线过双曲线的一个焦点，且与的一条对称轴垂直，与交于、两点，为的实轴长的倍，则的离心率为________________ ．【答案】【解析】设双曲线的标准方程为，由题意，得，即，，所以双曲线的离心率为. 点睛：处理有关直线和圆锥曲线的位置关系问题时，记住一些结论可减少运算量、提高解题速度，如：过椭圆或双曲线的焦点且与焦点所在坐标轴垂直的弦长为，过抛物线的焦点且与对称轴垂直的弦长为.15. 把3 男生2女生共5名新学生分配到甲、乙两个班，每个班分的新生不少于2 名，且甲班至少分配1 名女生，则不同的分配方案种数为 _________________ ．(用数字作答)【答案】1616.已知函数，点O为坐标原点，点，向量=(0 , 1 ), 0 n是向量与的夹角，则使得恒成立的实数t 的取值范围为 ______________ ．【答案】【解析】根据题意得, 是直线OA n 的倾斜角，则：，据此可得：结合恒成立的结论可得实数t 的取值范围为.点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：⑴ a> f(X)恒成立？a> f(X)max；⑵ a< f (x)恒成立？a< f (x) min.用裂项相消法求和时，注意裂项后的系数以及搞清未消去的项，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．三、解答题 (本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 在中，角所对的边分别为•(1)求角；(2)若的中线的长为，求的面积的最大值.【答案】( 1 )； (2)．【解析】试题分析：(1) 由题意结合余弦定理求得；(2) 利用余弦定理结合面积公式和均值不等式可得的面积的最大值为．试题解析：(1) ，即.(2) 由三角形中线长定理得：，由三角形余弦定理得：，消去得: (当且仅当时，等号成立) ，即.18. (本小题满分12 分)电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100 名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为"体育迷”.（1）根据已知条件完成上面的列联表，若按的可靠性要求，并据此资料，你是否认为“体育迷”与性别有关？（2）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为.若每次抽取的结果是相互独立的，求分布列，期望和方差.附：【答案】（1）没有理由认为“体育迷”与性别有关；（2）分布列见解析，期望为，方差为.【解析】试题分析：（1）利用频率分布直方图，可得各组概率，进一步可填出列联表，利用公式求出的值，结合所给数据，用独立性检验可得结果；（2）利用分层抽样，可确定人中有男女，利用古典概型，可得结果.试题解析：（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而列联表如下：将列联表中的数据代入公式计算，得因为，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关.（2）由分层抽样可知人中男生占，女生占，选人没有一名女生的概率为，故所求被抽取的2名观众中至少有一名女生的概率为.19.如图，在四棱锥P—ABCDK 平面PADL底面ABCD其中底面ABC［为等腰梯形，AD// BCPA= AB= BC= CD= 2, PD= 2, PAL PD Q为PD的中点.(I)证明：CQ/平面PAB(n)求直线PD与平面AQC所成角的正弦值【答案】(I)见解析；(n).【解析】试题分析：⑴取PA的中点N,由题意证得BN// CQ则CQ/平面PAB⑵利用题意建立空间直角坐标系，结合平面的法向量可得直线PD与平面AQC所成角的正弦值为．试题解析：(I)证明如图所示，取PA的中点N,连接QNBN 在^ PAD中, PNh NA PQ= QD所以QN/ AD 且QNh AD在厶APD中 , PA^ 2 , PD= 2, PA± PD所以AD== 4,而BC= 2,所以BC= AD又BC// AD,所以QN/ BC 且QNh BC故四边形BCQ为平行四边形，所以BN// CQ又BN?平面PAB且CQ平面PAB 所以CQ/平面PAB(n)如图，取AD的中点M连接BM取BM的中点Q连接BO PO由(1)知PA= AM= PM= 2,所以△ APM为等边三角形，所以POL AM 同理BOL AM.因为平面PADL平面ABCD所以POh BO.如图，以O为坐标原点，分别以OB OD OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系则O(0,0,0) D(0,3,0) A(0 －1,0) B( 0,0) P(0,0 ) C( 2,0)则=(,3,0).因为Q为DP的中点，故Q所以=.设平面AQC的法向量为m= (x , y , z),则可得令y =—，贝U x= 3, z = 5.故平面AQC勺一个法向量为m^ (3，—, 5).设直线PD与平面AQC所成角为0.贝U sin 0 = |cos 〈，n〉| ==.从而可知直线PD与平面AQC所成角正弦值为.20. 已知分别是椭圆勺左，右焦点，分别是椭圆勺上顶点和右顶点，且，离心率.(I)求椭圆的方程；(H)设经过的直线与椭圆相交于两点，求的最小值【答案】(I) ； (n).【解析】试题分析：(1) 由题意列方程可得，故所求椭圆方程为(2) 设出直线方程，联立直线与椭圆的方程，结合题意可得，当且仅当时上式取等号. 的最小值为。
黑龙江省大庆实验中学2020届高三毕业班下学期5月第一次高考模拟考试数学(理)试题(解析版)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意画出图形，可得四边形 为矩形，则 ，结合 ， ， ，列式可得 关于 的三角函数，利用辅助角公式化简后求解椭圆离心率的取值范围.
【详解】设椭圆的另一焦点为 ，连接 ， ， ，
设椭圆的焦距为 ，由题意则四边形 为矩形，∴ ，
， .
结合椭圆定义，可知 ，即 ，则 ，
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
在 ，由正弦定理可知： ，即可求得 值，根据诱导公式化简 ，即可求得答案.
【详解】在 ，由正弦定理可知：
，
，
又
.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了根据正弦定理和诱导公式求三角函数值，解题关键是掌握正弦定理公式和熟练使用诱导公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
对于事件 ，甲获得冠军，包含两种情况：前两局甲胜和事件 ，
， ，故选A.
【点睛】本题考查利用条件概率公式计算事件的概率，解题时要理解所求事件的之间的关系，确定两事件之间的相对关系，并利用条件概率公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.
10.已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系是( )
A. B. C. D.
【详解】∵点 和 在直线 的两侧，
2020年黑龙江省大庆实验中学高考数学一模试卷1 (含答案解析)
2020年黑龙江省大庆实验中学高考数学一模试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2−4x+3≥0}，B={x∈N|−1≤x≤5}，则A∩B=()A. {1,3，4，5}B. {0,1，4，5}C. {0,3，1，4，5}D. {3,4，5}2.若(1+i)z=2，则|z|是()A. 2B. √3C. √2D. 13.已知等差数列{a n}中，前n项和为S n，若a1=2，a8+a10=28，则S9=()A. 36B. 72C. 144D. 2884.已知向量a⃗=(−1,1)，b⃗ =(3,m)，a⃗//(a⃗+b⃗ )，则m=()A. −2B. 2C. −3D. 35.在古代，直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”。
三国时期吴国数学家赵爽用“弦图”(如图)证明了勾股定理，证明方法叙述为：“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实。
”这里的“实”可以理解为面积。
这个证明过程体现的是这样一个等量关系：“两条直角边的乘积是两个全等直角三角形的面积的和(朱实二)，4个全等的直角三角形的面积的和(朱实四)加上中间小正方形的面积(黄实)等于大正方形的面积(弦实)”。
若弦图中“弦实”为16，“朱实一”为2√3，若随机向弦图内投入一粒黄豆(大小忽略不计)，则其落入小正方形内的概率为A. 1−√38B. 1−√32C. √32D. 1−√326.已知函数f(x)=msinx+ncosx，且f(π6)是它的最大值，(其中m、n为常数且mn≠0)给出下列命题：①f(x+π3)是偶函数；②函数f(x)的图象关于点(8π3,0)对称；③f(−3π2)是函数f(x)的最小值；④mn =√33．其中真命题有()A. ①②③④B. ②③C. ①②④D. ②④7.若命题：“∃x0∈R,ax2−ax−2>0”为假命题，则a的取值范围是()A. (−∞,−8]∪[0,+∞)B. (−8,0)C. (−∞,0]D. [−8,0]8. 正四棱锥P—ABCD 的所有棱长都相等，E 为PC 的中点，那么异面直线BE 与PA 所成角的余弦值等于( )A. 12B. √22C. √23D. √339. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率e =2，圆A 的圆心是抛物线y =18x 2的焦点，且双曲线C 的渐近线截圆A 所得的弦长为2，则圆A 的方程为( )A. x 2+(y −132)2=6564 B. x 2+(y +132)2=6564 C. x 2+(y −2)2=2D. x 2+(y −2)2=410. sin62°cos32°−sin32°cos62°=( )A. −12B. 12C. √32 D. −√3211. 等比数列{a n }中，a 3=8，a 6=1，则数列{log 2a n }的前n 项和的最大值为( )A. 15B. 10C.1218D. log 2121812. 如图，椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右焦点分别是F 1，F 2，点P 、Q 是C 上的两点，若2QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则椭圆C 的离心率为( )A. √53B. √73C. √55D. √75二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 若实数x,y 满足约束条件{x +2y ≥0x −y ≤0x −2y +2≥0，则z =3x −y 的最小值等于______． 14. 已知函数f(x)=2f′(1)lnx −x ，则f(x)的极大值为____． 15. 在线段[0,3]上任取一点，其坐标不大于1的概率是______ ．16. 正四棱锥P −ABCD 中，PA =AB =2，则该四棱锥外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在四棱锥P−ABCD中，△PAD为正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，AB//CD，AB⊥AD，CD=2AB=2AD=4．(Ⅰ)求证：平面PCD⊥平面PAD；(Ⅱ)求三棱锥P−ABC的体积；(Ⅲ)在棱PC上是否存在点E，使得BE//平面PAD？若存在，请确定点E的位置并证明；若不存在，说明理由．18.如图，在△ABC中，B=π3，D为边BC上的点，E为AD上的点，且AE=8，AC=4√10，∠CED=π4．(1)求CE的长；(2)若CD=5，求cos∠DAB的值．19.近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象增多，大气污染危害加重．大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病．为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机对心肺疾病入院的50人进行问卷调查，得到了如下的列联表：(1)根据已知条件求出上面的2×2列联表中的A和B；用分层抽样的方法在患心肺疾病的人群中抽6人，其中男性抽多少人？(2)为了研究心肺疾病是否与性别有关，请计算出统计量K2，并说明是否有99.5%的把握认为心肺疾病与性别有关？下面的临界值表供参考：参考公式：K2=n(ad−bc)2，其中n=a+b+c+d．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，O 是坐标原点，F 1,F 2分别为其左右焦点，|F 1F 2|=2√3，M是椭圆上一点，∠F 1MF 2的最大值为．(1)求椭圆C 的方程;(2)若直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，且|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，PQ 中点为T.试问P 点到直线OT 的距离是否是定值？若是，请求出此定值，若不是，请说明理由．21. 已知函数f(x)=x 2−3x +lnx −a ，(a ∈R)(1)求f(x)的单调区间； (2)讨论f(x)的零点个数．22. 在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2，现以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线C 1的参数方程为{x =−1+2cosφy =−2+2sinφ(φ为参数)． (1)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 1的普通方程；(2)若曲线C2为曲线C1关于直线l的对称曲线，点A，B分别为曲线C1、曲线C2上的动点，点P坐标为(2,2)，求|AP|+|BP|的最小值．23.已知函数f(x)=|x+1|+|x−2|．(1)求函数f(x)的最小值k；(2)在(1)的结论下，若正实数a，b满足1a +1b=√k，求2a+3b的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：因为集合A={x|x2−4x+3≥0}={x|x≤1或x≥3}，B={x∈N|−1≤x≤5}={0,1，2，3，4，5}，所以A∩B={0,1，3，4，5}．故选：C．化简集合M，根据交集的定义写出M∩N．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2.答案：C解析：【分析】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．由(1+i)z=2，得z=21+i，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由(1+i)z=2，得z=21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i，则|z|=√2．故选：C．3.答案：B解析：【分析】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础题．根据{a n}是等差数列，a8+a10=28，得2a9=28，即a9=14，S9=a1+a92×9可得答案．【解答】解：由题意{a n}是等差数列且a8+a10=28，得2a9=28，即a9=14．∴S9=2+142×9=72，故选B．4.答案：C解析：解：向量a⃗=(−1,1)，b⃗ =(3,m)，∴a⃗+b⃗ =(2,1+m)，∵a⃗//(a⃗+b⃗ )，∴1×2=−1(1+m)，∴m=−3．故选：C．由题意求出(a⃗+b⃗ )，利用a⃗//(a⃗+b⃗ )，求出m即可．本题考查向量共线与向量的平行的坐标运算，考查计算能力．5.答案：D解析：【分析】本题主要考查与面积有关的几何概型的概率．【解答】解：根据题意得，中间小正方形的面积为16−4×2√3=16−8√3，所以P=16−8√316=1−√32．故选D．6.答案：D解析：解：由于函数f(x)=msinx+ncosx=√m2+n2sin(x+φ)，且f(π6)是它的最大值，∴π6+φ=2kπ+12π，k∈z，∴φ=2kπ+π3，∴tanφ=nm=√3，∴mn =√33，即④正确．∵f(x)=√m2+n2sin(x+π3)对于①，由于f(x+π3)=√m2+n2sin(x+23π)，不是偶函数，故①不正确．对于②，由于当x=8π3时，f(x)=0，故函数f(x)的图象关于点(8π3,0)对称，故②正确．对于③，由于f(−3π2)=√m2+n2sin(−56π)，不是函数f(x)的最小值，故③不正确．故选：D．先化简函数，利用f(π6)是它的最大值，求出φ=2kπ+π3，再对选项进行判断，即可得出结论．本题考查两角和正弦公式，正弦函数的最值，对称性，奇偶性，函数图象的变换，辅助角公式的应用，是解题的关键．7.答案：D解析：【分析】原命题若为假命题，则其否定必为真，即ax2−ax−2≤0恒成立，由二次函数的图象和性质，解不等式可得答案．本题的知识点是命题真假的判断与应用，其中将问题转化为恒成立问题，是解答本题的关键．【解答】解：∵命题∃x0∈R,ax2−ax−2>0”为假命题，命题“∀x∈R，ax2−ax−2≤0”为真命题，当a=0时，−2≤0成立，当a≠0时，a<0，故方程ax2−ax−2=0的△=a2+8a≤0解得：−8≤a<0，故a的取值范围是：[−8,0]故选：D．8.答案：D解析：解：设正四棱锥P−ABCD的所有棱长都为2，连接AC，BD交于O，连接OE，可得OE//PA，且OE=12PA=1，故∠OEB(或其补角)即为异面直线BE与PA所成角．在△OBE中，OE=1，OB=√2，BE=√3，故可得OE2+OB2=BE2，△OBE为直角三角形，故cos∠OEB=OEBE =1√3=√33．故选D．连接AC，BD交于O，连接OE，可得OE//PA，且OE=12PA，故∠OEB(或其补角)即为异面直线BE 与PA所成角，由三角形的知识可得．本题考查异面直线所成的角，作出角并能由三角形的知识求解是解决问题的关键，属中档题9.答案：C解析：【分析】运用离心率公式和基本量a，b，c的关系可得a，b的关系，即可得到双曲线的渐近线方程，求得抛物线的焦点，可得A的坐标，求得A到渐近线的距离，结合弦长公式，可得半径r，进而得到所求圆A的方程．本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率和渐近线方程的求法，考查圆的方程的求法，注意运用点到直线的距离公式和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．【解答】解：由e=ca=2，即c=2a，b=√c2−a2=√3a，可得双曲线的渐近线方程为y=±bax，即为y=±√3x，圆A的圆心是抛物线y=18x2的焦点，可得A(0,2)，圆A截双曲线C的渐近线所得的弦长为2，由圆心到直线y=√3x的距离为d=3+1=1，可得2=2√r2−1，(r为圆A的半径)，解得r=√2，可得圆A的方程为x2+(y−2)2=2．故选C．10.答案：B解析：解：sin62°cos32°−sin32°cos62°=sin62°cos32°−cos62°sin32°=sin(62°−32°)=sin30°=12故选：B由两角和与差的正弦函数化简可得．本题考查两角和与差的正弦函数，属基础题．11.答案：A解析：解：等比数列{a n}的公比设为q，a3=8，a6=1，可得q3=a6a3=18，即q=12，a n=a3q n−3=26−n，log2a n=log226−n=6−n，则1≤n≤6时，数列{log2a n}中的项非负，n≥7时，数列{log2a n}中的项为负值，则数列{log2a n}的前n项和的最大值为1+2+3+4+5=15．故选：A．等比数列{a n}的公比设为q，由等比数列的通项公式可得公比q，可得a n=26−n，log2a n=log226−n= 6−n，再由等差数列的求和公式，可得所求最大值．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．12.答案：A解析：【分析】本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题．由已知条件设|QF 2|=m ，则|PF 1|=|MF 2|=2m ，在Rt △F 1MQ 中，求得m =a3，在Rt △F 1MF 2中，|F 1F 2|=2c ，由勾股定理求出e 2=59，由此能求出椭圆的离心率． 【解答】解：2QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 得到PF 1//QF 2，PF 1⊥PF 2，延长QF 2交椭圆C 于点M ，得Rt △F 1MQ ，Rt △F 1MF 2，设|QF 2|=m ，则|PF 1|=|MF 2|=2m ，根据椭圆的定义有|QF 1|=2a −m ，|MF 1|=2a −2m ，在Rt △F 1MQ 中，(2a −2m)2+(3m)2=(2a −m)2，解得m =a3， 在Rt △F 1MF 2中，(2a −2m)2+(2m)2=4c 2， 所以5a 2=9c 2，所以e =c a=√53． 故选A ．13.答案：−72解析： 【分析】作出不等式组对应的平面区域，通过目标函数的几何意义，利用数形结合即可的得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键． 【解答】解：依题意，可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域，目标函数化为：y =3x −z ，则z 的最小值即为动直线在y 轴上的截距的最大值．通过平移可知在A 点处动直线在y 轴上的截距最大．因为A ：{x +2y =0x −2y +2=0解得A(−1,12)，所以z =3x −y 的最小值z min =3⋅(−1)−12=−72． 故答案为：−72．14.答案：2ln2−2解析： 【分析】本题考查了利用导数研究函数的极值，属于基础题．先求导数，当x =1时，即可得到f′(1)，再令导数大于0或小于0，解出x 的范围，即得到函数的单调区间，进而可得函数的极大值． 【解答】解：由于函数f(x)=2f′(1)lnx −x ， 则f′(x)=2f′(1)×1x −1(x >0)， f′(1)=2f′(1)−1，故f′(1)=1，得到f′(x)=2×1x −1=2−x x，令f′(x)>0，解得：x <2， 令f′(x)<0，解得：x >2，则函数在(0,2)上为增函数，在(2,+∞)上为减函数， 故f(x)的极大值为f(2)=2ln2−2 故答案为2ln2−2．15.答案：13解析：解：在线段[0,3]上任取一点，若此点坐标不大于1，则0≤x≤1，，则对应的概率P=13．故答案为：13根据几何概型的概率公式计算对应的长度即可得到结论．本题主要考查几何概型的概率计算，基本知识的考查．16.答案：8π解析：【分析】本题主要考查球的表面积，考查计算能力和空间想象能力，属于中档题．先画出图形，正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，然后根据勾股定理解出球的半径，最后根据球的表面积公式即可求解．【解答】解：如图，设正四棱锥底面的中心为O1，设外接球的球心为O，则O在正四棱锥的高PO1上．在直角三角形ABC中，AC=2√2，AO1=√2，则高PO1=√4−2=√2，则OO1=PO1−R=√2−R，OA=R，在直角三角形AO1O中，R2=(√2−R)2+(√2)2，解得R=√2，即O与O1重合，即正四棱锥外接球的球心是它的底面的中心O1，且球半径R=√2，球的表面积S=4πR2=8π，故答案为8π．17.答案：(Ⅰ)证明：∵AB//CD，AB⊥AD，∴CD⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥平面PAD.∵CD⊂平面PCD，∴平面PCD⊥平面PAD；(Ⅱ)解：取AD的中点O，连接PO．∵△PAD为正三角形，∴PO⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，∴PO⊥平面ABCD，即PO为三棱锥P−ABC的高．∵△PAD为正三角形，CD=2AB=2AD=4，∴PO=√3．∴V P−ABC=13S△ABC⋅PO=13×12×2×2×√3=2√33；(Ⅲ)解：在棱PC上存在点E，当E为PC的中点时，BE//平面PAD．分别取CP，CD的中点E，F，连接BE，BF，EF.∴EF//PD．∵AB//CD，CD=2AB，∴AB//FD，AB=FD，则四边形ABFD为平行四边形，得BF//AD．∵BF∩EF=F，AD∩PD=D，BF，EF⊂平面BEF，AD，PD⊂平面PAD，∴平面BEF//平面PAD.又BE⊂平面BEF，∴BE//平面PAD．解析：本题考查线面平行、面面垂直的判定，棱锥的体积求解，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．(Ⅰ)由AB//CD，AB⊥AD，可得CD⊥AD，再由面面垂直的性质可得CD⊥平面PAD，从而得到平面PCD⊥平面PAD；(Ⅱ)取AD的中点O，连接PO.由△PAD为正三角形，可得PO⊥AD.进一步得到PO⊥平面ABCD，然后利用棱锥体积公式求得三棱锥P−ABC的体积；(Ⅲ)在棱PC 上存在点E ，当E 为PC 的中点时，BE//平面PAD.分别取CP ，CD 的中点E ，F ，连接BE ，BF ，EF.可得EF//PD.再由已知得四边形ABFD 为平行四边形，有BF//AD.由面面平行的判定可得平面BEF//平面PAD ，从而得到BE//平面PAD ．18.答案：解：(1)因为，AE =8，AC =4√10． 在△AEC 中，由余弦定理得，所以160=64+CE 2+8√2CE ， 所以CE 2+8√2CE −96=0， 解得CE =4√2．(2) (2)在△CDE 中，由正弦定理得CE sin∠CDE=CDsin∠CED ， 所以，所以sin∠CDE =45．因为点D 在边BC 上，所以∠CDE >∠B =π3，而45<√32，所以∠CDE 只能为钝角，所以cos∠CDE =−35，所以cos∠DAB =cos(∠CDE −π3)=cos∠CDEcos π3+sin∠CDEsin π3 =−35×12+45×√32=4√3−310．解析：本题主要考查了余弦定理，正弦定理，同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．(1)由已知可求∠AEC ，在△AEC 中，由余弦定理可得CE 2+8√2CE −96=0，，即可解得CE 的值． (2)在△CDE 中，由正弦定理可求sin∠CDE =45，利用同角三角函数基本关系式可求cos∠CDE =−35，进而利用两角差的余弦函数公式可求cos∠DAB 的值．19.答案：(1)A =20，B =30由列联表知，患心肺疾病的有30人，要抽取6人，用分层抽样的方法，则男性要抽取6×2030=4人 (2)由列联表中的数据，患心肺疾病 不患心肺疾病 合计 男 20 5 25 女 10 15 25 合计302050代入公式中，算出：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=50×(20×15−10×5)230×20×25×25=8.333>7.879，查临界值表知：有99.5%把握认为心肺疾病与性别有关．解析：(1)根据题目所给的数据以及2×2列联表，通过分层抽样求出男性人数； (2)计算K 的观测值K 2，对照题目中的表格，得出统计结论．本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．20.答案：解：(1)由题意得2c =|F 1F 2|=2√3，所以c =√3，当M 位于上下端点时，∠F 1MF 2最大，此时，所以a =2，b =1， 所以椭圆的方程为x 24+y 2=1．(2)由|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |， 所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即OP ⊥OQ ， ①当OP 、OQ 的斜率都存在，且不为0时， 设直线OP ：y =kx ，P(x 1,y 1)、Q(x 2,y 2)， 由{y =kx x 24+y 2=1得x 12=41+4k 2，y 12=k 2x 12=4k 21+4k 2， 同理得x 22=4k 24+k 2，y 22=1k 2x 22=4k 2+4， 所以1|OP |2+1|OQ |2=1x 12+y 12+1x 22+y 22=54，所以|OP |2+|OQ |2(|OP ||OQ |)=54，所以|PQ ||OP ||OQ |=√52， 设P 到OT 的距离为h ，则S △OPT =12S △POQ ，即12×|OT |×ℎ=12×12×|OP ||OQ |，即2|OT |·ℎ=|OP ||OQ |，即|PQ |·ℎ=|OP ||OQ |， 所以ℎ=|OP ||OQ ||PQ |=2√55为定值；②当OP 、OQ 的斜率一个为0，一个不存在时，1|OP |2+1|OQ |2=14+11=54，可得h 也为定值2√55， 综上所述P 点到OT 的距离为定值2√55．解析：本题考查椭圆的标准方程、椭圆的性质以及直线与椭圆的位置关系，属于综合题，属于难题． (1)由题意即可求得a 、b 的值，从而求得椭圆的方程；(2)分类讨论，当OP 、OQ 的斜率存在时，设出OP 、OQ 的方程，代入到椭圆方程中，求得P 、Q 点的坐标，即可求得1|OP |2+1|OQ |2的值，再由P 到OT 的距离为|OP ||OQ ||PQ |，可得距离为定值．21.答案：解：(1)∵f′(x)=2x −3+1x=2x 2−3x+1x=(2x−1)(x−1)x，令f′(x)>0，解得：x >1或0<x <12， 令f′(x)<0，解得：12<x <1，∴增区间是(0,12)和(1,+∞)，减区间是(12,1)； (2)令f(x)=0，得：a =x 2−3x +lnx ， 由f ′(x)=2x −3+1x =(2x−1)(x−1)x，令g (x )=x 2−3x +lnx ， 则g(12)=−54−ln2，g(1)=−2，∴当a ∈(−54−ln2,+∞)，f (x )有一个零点； 当a =−54−ln2，f (x )有两个零点； 当a ∈(−2,−54−ln2)，f (x )有三个零点； 当a =−2，f (x )有两个零点；当a <−2，f (x )有一个零点．解析：本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及函数零点，属于中档题． (1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；(2)令f(x)=0，得：a =x 2−3x +lnx ，令g (x )=x 2−3x +lnx ，通过讨论a 的范围求出零点的个数即可．22.答案：解：(1)直线l 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2，∴√22ρsinθ+√22ρcosθ=2√2，即ρcosθ+ρsinθ=4，∴直线l 的直角坐标方程为x +y −4=0； 曲线C 1的参数方程为{x =−1+2cosφy =−2+2sinφ(φ为参数)． ∴曲线C 1的普通方程为(x +1)2+(y +2)2=4． (2)∵点P 在直线x +y =4上，根据对称性，|AP|的最小值与|BP|的最小值相等． 曲线C 1是以(−1,−2)为圆心，半径r =2的圆．∴|AP|min =|PC 1|−r =√(2+1)2+(2+2)2−2=3． 所以|AP|+|BP|的最小值为2×3=6．解析：本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线和圆的位置关系的应用．(1)直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化． (2)利用直线和曲线的位置关系的应用求出结果．23.答案：解：(1)因为|x +1|+|x −2|≥|(x +1)−(x −2)|=3，当(x +1)(x −2)≤0即−1≤x ≤2时，上式取得等号， 所以函数f(x)的最小值为k =3； (2)由(1)知，1a +1b =√3，a ，b >0， 则2a +3b =√33(2a +3b)(1a +1b)=√33(2+3+3b a +2a b)≥√33(5+2√2ab⋅3ba)=5√3+6√23，当且仅当√2a=√3b时，上式取得等号，则2a+3b的最小值为5√3+6√23．解析：(1)由绝对值不等式的性质，可得最小值；(2)由题意可得1a +1b=√3，a，b>0，则2a+3b=√33(2a+3b)(1a+1b)=√33(2+3+3ba+2ab)，运用基本不等式可得所求最小值．本题考查绝对值不等式的性质和基本不等式的运用：求最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．。
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2020届黑龙江省大庆实验中学高三5月第一次模拟数学（理）试题
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
四
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、单选题
A．5或 B． 或 C． 或 D．5或
5．１７世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是顶角为 的等腰三角形（另一种是顶角为 的等腰三角形）．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金 中， .根据这些信息，可得 （）
A． B． C． D．
12．已知函数 （其中无理数 ），关于 的方程 有四个不等的实根，则实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
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评卷人
得分
二、填空题
13．曲线 （ 且 ）恒过定点P，则P点坐标为___________.
14．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式 中“…”既代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程 求得 ，类似上述过程，则 __________．
22．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为 为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线D的极坐标方程为 .
（1）写出曲线C的极坐标方程以及曲线D的直角坐标方程；
（2）若过点 （极坐标）且倾斜角为 的直线l与曲线C交于M，N两点，弦MN的中点为P，求 的值．
23．已知函数 .
（1）解不等式 ；
方案二：按 个人一组进行随机分组，把从每组 个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这 个人的血就只需检验一次（这时认为每个人的血化验 次）；否则，若呈阳性，则需对这 个人的血样再分别进行一次化验，这时该组 个人的血总共需要化验 次.
假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为 ，且这些人之间的试验反应相互独立.
A．10B．11C．12D．13
9．甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为 ，且各局比赛结果相互独立.则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系是( )
A． B． C． D．
11．已知椭圆 ，过原点的直线交椭圆于 两点，以 为直径的圆过右焦点 ，若 ，则此椭圆离心率的取值范围是（）
（1）设方案二中，某组 个人中每个人的血化验次数为 ，求 的分布列.
（2）设 ，试比较方案二中， 分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案一，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）
21．已知函数 .
（1）若 是 的导函数，讨论 的单调性；
（2）若 （ 是自然对数的底数），求证： .
A． B． C． D．
6．已知 是两条不同的直线 是两个不同的平面,则 的充分条件是（）
A． 与平面 所成角相等B．
C． D．
7．已知点 和 在直线 的两侧，则实数a的取值范围是（）
A． B．
C． 或 D．
8．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后某组抽到的号码为41.抽到的32人中，编号落入区间 的人数为( )
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，求 面积的最大值.
20．某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次乙肝普查.为此需要抽验669人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案.
方案一：将每个人的血分别化验，这时需要验669次.
15．在 中， ，点 为线段 上一动点，若 最小值为 ，则 的面积为___________.
评卷人
得分
三、双空题
16．在四面体 中， ，且 ， ， ，则该四面体体积的最大值为________，该四面体外接球的表面积为________.
评卷人
得分
四、解答题
17．已知数列 满足， ， ，且 （ ）.
（1）求数列 的通项公式；
2．C
【解析】
【分析】
利用复数的运算法则计算即可.
【详解】
，故虚部为 .
故选：C.
【点睛】
本题考查复数的运算以及复数的概念，注意复数 的虚部为 ，不是 ，本题为基础题，也是易错题.
3．A
【解析】
【分析】
直接利用二项式定理计算得到答案.
【详解】
在 的展开式中，共有 项，中间一项是第 项，对应的二项式系数为
（2）设 ，求数列 的前n项和 .
18．如图，在四棱锥 中，侧面 为等边三角形，且垂直于底面 ， ， 分别是 的中点.
（1）证明：平面 平面 ；
（2）已知点 在棱 上且 ，求直线 与平面 所成角的余弦值.
19．已知抛物线 （ ）上的两个动点 和 ，焦点为F.线段AB的中点为 ，且A，B两点到抛物线的焦点F的距离之和为8.
（2）若不等式 的解集为 ，且满足 ，求实数 的取值范围.
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可得出 ，从而得出 的真子集的个数.
【详解】
∵集合 ，
集合 ，
∴ ，
∴集合 真子集个数是 .
故选：B.
【点睛】
本题考查了描述法、列举法的定义，对数的运算，指数函数的.
1．已知集合 ，集合 ，则集合 真子集个数是( )
A．2B．3C．4D．8
2． 为虚数单位,则 的虚部为（）
A． B． C． D．
3．在 的展开式中，中间一项的二项式系数为（）.
A．20B． C．15D．
4．已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线x＋2y－3＝0，则该双曲线的离心率为 （ ）