运筹学2

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运筹学第2章

China University of Mining and Technology
-43-
运筹学
线性规划的对偶理论
性质3 最优性定理：如果 X 0 是原问题的可行解， 0 是其对偶 Y 问题的可行解，并且:
CX 0 BY 0
即: z w
则 X 0是原问题的最优解，Y 0是其对偶问题的最优解。
T
分别是原问题和对偶问题的可行解。且原问题的目标函数值为
min W 20 y1 20 y2 s.t. y1 2 y2 1 2 y1 y2 2 2y1 3 y2 3 3 y1 2 y2 4 y1 , y2 0
Z CX 10
min W 20 y1 20 y2 s.t. y1 2 y2 1 2 y1 y2 2 2y1 3 y2 3 3 y1 2 y2 4 y1 , y2 0
(DP)
-41China University of Mining and Technology
-44China University of Mining and Technology
运筹学
线性规划的对偶理论
性质4 强(主)对偶性：若原问题及其对偶问题均具有可行解，则两者均具有最优解，且它们最优解的目标函数值相等。
还可推出另一结论：若一对对偶问题中的任意一个有最优解，则另一个也有最优解，且目标函数最优值相等；若一个问题无最优解，则另一问题也无最优解。一对对偶问题的关系，有且仅有下列三种： 1. 都有最优解，且目标函数最优值相等； 2. 两个都无可行解； 3. 一个问题无界，则另一问题无可行解。
-1-
运筹学
学习要点： 1. 理解对偶理论，掌握描述一个线性规划问题的对偶问题。 2. 能够运用对偶单纯形法来求解线性规划问题。 3. 会用互补松弛条件来考虑一对对偶问题的界。

运筹学 (2)ppt课件

《辞海》对运筹学解释为：“二十世纪四十年代开始形成的一门科学，主要研究经济活动与军事活动中能用数量来表达的有关运用，筹划与管理方面的问题，它根据问题的要求，通过数学的分析与运算，作出综合性的合理的安排，以达到较经济、较有效地使用人力、物力。近年来，它在理论与应用方面都有较大发展。其主要分枝有规划论、对策论、排队论及质量控制等。”
后来田忌的谋士孙膑献了一计：在每次开赛前要求对方先报马名，由此区分对方参赛的是上马、中马还是下马；然后以自己的上马对对方的中马、自己的中马对对方和下马、自己的下马对对方的上马。这样，两胜一负每天赢得一千金。
6
1．赛马与桂陵之战
不久，即公元前354年，魏国以庞涓为将率军伐赵，兵围邯郸。次年，邯郸在久困之下已岌岌可危，而魏军因久攻不下，损失也很大。齐国应赵国的要求，以田忌为将，孙膑为军师，率军击魏救赵。孙膑令一部轻兵乘虚直趋魏都大梁，而以主力埋伏于庞涓大军归途必经的桂陵之地。魏国因主力远征，都城十分空虚。魏惠王见齐军逼进，急令庞涓回师自救。刚刚攻下邯郸的庞涓闻大梁告急，急率疲惫之师回救。
8
2．晋国公重建皇城
距今约1000年前，开封一场大火，北宋皇城毁于一旦。宋真宗命晋国公丁渭，主持重建全部宫室殿宇。
当时，皇城都是砖木结构的，建筑材料必须从远地通过汴水运来。由于时间紧、任务重，按一般的操作法肯定不能按时完成。丁渭深思熟虑，规划并实施了一个至今令人拍案叫绝的施工方案。
运筹学
1
内容提要
绪论线性规划与单纯形法线性规划的进一步研究运输问题动态规划存储论排队论
2
绪论
3
第一节运筹学的产生和发展
运筹学，英国称Operational Research，美国称Operations Research，直译作“作业研究”或“运用研究”，简称OR。中文 “运筹”二字取自《史记•高祖本记》中，刘邦“夫运筹帷幄之中，决胜于千里之外，吾不如子房”。由此可见，它是一门决策科学，优化科学。

运筹学(二)

C
CB
b
CN
0
CB CB
xB XB
XB
B B
CB CB B1B
1
XN
B 1 N
CN CB B1 N
XS
B 1
CB B 1
B 1b
cz
若XB为最优基变量，则对应的目标函数值为： z CB XB CN XN 0 X S CB B1b
且对于上表中各检验数，有：
min W Y b
可见，当原问题得到最优解时，其松弛变量检验数的相反数 CB B 是该问题的对偶问题的一个可行解。
1
例：
原问题
对偶问题
max z 2 x1 x2
同样，少生产一件I产品，则可以节省设备A、设备B和调试工序0、 6、1个小时，把这些资源出租，就可以获得租金0y1+6y2+y3
但少生产一件I产品，则丧失了2元的利润
所以，只有当 6 y2 y3 2
5 y1 2 y2 y3 1
总的出让费最低出让费即为：
15 y1 24 y2 5 y3
max z c1 x1 c2 x2 c3 x3 c3 x3
a11 x1 a12 x2 a13 x3 a13 x3 b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 a23 x3 b2 st . a21 x1 a22 x2 a23 x3 a23 x3 b2 a31 x1 a32 x2 a33 x3 a33 x3 b3 x1 , x2 , x3 , x3 0
(1 ) (2) (3)
约束（2）可以用以下两个约束来表示：
a21 x1 a22 x2 a23 x3 a23 x3 b2 (2 -1) a21 x1 a22 x2 a23 x3 a23 x3 b2 (2 - 2)

运筹学第二章运输问题

1
=
j
j = 1
(
(
这就是运输问题的数学模型，它包含 m·n 变量, m + n 个约束条件。如果用单纯形法求解，先得在各约束条件上加入一个人工变量(以便求出初始基可行解)。因此，即使是 m = 3 ， n = 4 这样的简单问题, 变量数就有19个之多，计算起来非常复杂。因此，我们有必要针对运输问题的某些特点，来寻求更为简单方便的求解方法。
销地产地
B1
B2
B3
B4
A1
x11
x12
A2
x21
x24
A3
x32
x34
x11 、 x12 、 x32 、 x34 、 x24 、 x21 构成一个闭回路. 这里有： i1 = 1 ， i2 = 3 ， i3 = 2；j1 = 1 ，j2 = 2 ，j3 = 4. 若把闭回路的顶点在表中画出, 并且把相邻两个变量用一条直线相连 (今后就称这些直线为闭回路的边)。
第二节表上作业法1. 表上作业法的基本概念与重要结论针对运输问题的数学模型结构的特殊性，它的约束方程组的系数矩阵具有如下形式( 具体见下一张幻灯片 )，该矩阵中，每列只有两个元素为1，其余都是0。根据这个特点，在单纯形法的基础上，创造出一种专门用来求解运输问题的方法，这种方法我们称为表上作业法。运输问题也是一个线性规划问题，当用单纯形法进行求解时，我们首先应当知道它的基变量的个数；其次，要知道这样一组基变量应当是由哪些变量来组成。由运输问题系数矩阵的形式并结合第一章单纯形算法的讨论可以知道: 运输问题的每一组基变量应由 m+n-1个变量组成。 (即基变量的个数 = 产地个数 + 销售地个数 – 1) 进一步我们想知道, 怎样的 m+n-1个变量会构成一组基变量？

运筹学第二章

例2.4：将以下线性规划问题转化为标准形式
Max s.t. Z = 3 x1 - 5 x2 + 8 x3 2x1 + 2x2 - x3 = 15.7
4 x1
+ 3x3 = 8.9
x1 + x2 + x3 = 38 x2 , x3 ≥ 0
4.右端项有负值的问题：
在标准形式中，要求右端项必须每一个分量非负。当某一个右端项系数为负时，如 bi<0，则把该等式约束两端同时乘以-1，得到：
产品甲设备A 3 产品乙 2 设备能力（h） 65
设备B
设备C 利润（元/件）
2
0 1500
1
3 2500
40
75
问：如何安排生产计划，才能使制药厂利润最大？
解：设变量 xi为第i种（甲、乙）产品的生产件数（i＝1，2）。根据前面分析，可以建立如下的线性规划模型： Max
z = 1500 x1 + 2500 x2
MinZ=∑xi
i=1
X6 +
x1 x1 + x2 x2 + x3 x3 + x4 x4 + x5 x5 + x6
≥ 8 ≥ 12
≥ 10
≥ 8 ≥ 6 ≥ 4
二、线性规划模型的一般形式
目标函数 s.t.
产品对资源的单位消耗量
利润系数
Max(Min)z=c1x1+c2x2+……+cnxn
a11x1+a12x2+……+a1nxn≥(=、≤)b1 a21x1+a22x2+……+a2nxn≥(=、≤)b2 …… am1x1+am2x2+……+amnxn≥(=、≤)bm

运筹学第2章：线性规划的对偶理论

目
标函数求极小时取“≥”号
注：对称形式与线性规划标准型是两种不同的形式，对称形式中约束条件的符号由目标函数决定
从以下方面比较(LP1)与(LP2)：
原问题
对偶问题约束系数矩阵的转臵目标函数中的价格系数向量约束条件的右端项向量 Min w=Y’b A’Y≥C’ Y≥0
A
b C 目标函数约束条件决策变量
非基变量基变量
XB
0 b Xs C j - zj B
XN
N
Xs
I
0
初始单纯形表
非基变量
CB
CN
基变量
最终
单纯形表
CB
XB
XB B-1b Cj - zj
I 0
Xs B-1 N B-1 CN-CBB-1N -CBB-1
XN
若B-1b为最优解，则
CB CB ( B 1B) 0 C N CB B N 0 CB B 1 0
令 y 2 y 2 , y3 y3 y3 ，则
min 2 y1 y2 4 y3
2 y1 3 y2 y3 1 3 y y y 4 1 2 3 s.t. 5 y1 6 y2 y3 3 y1 0, y2 0, y3无约束
n j 1 m j j
C X Y b, 即 c j x j y i bi
j 1 i 1
__
__
n
m
c x ( a
j 1 m i 1 n i i i 1 i 1 j 1
n
m
ij
yi ) x j aij x j yi ( a ji yi c j )
例1

运筹学2-DEA算法

决策单元和DMU的效率评价
决策单元（DMU）
在DEA中，决策单元是指具有相同类型的输入和输出的决策实体。每个决策单元都有一组输入和输出，用于衡量其效率。
DMU的效率评价
DEA的目标是通过比较各决策单元的相对效率，对它们的效率进行评价。DEA使用数学模型和优化技术，通过比较输入和输出的比率来计算决策单元的效率得分。
环境等。
DEA算法的重要性在于它能够处理多投入、多产出的复杂系统，提供了一种有效的评估决
策单元效率的方法。
DEA算法的应用领域
01
金融领域
评估银行的经营效率，比较不同银行的盈利能力。
物流领域
评估物流企业的运输和配送效率，优化资源配置。
03
02
医疗领域
评估医院的运营效率，比较不同医院的医疗服务质量。
案例二：某医院的医疗服务效率评价
总结词
利用DEA算法Biblioteka 某医院的医疗服务效率进行评价，发现医院在某些科室的资源配置和医疗服务质量方面存在不足，提出改进建议。
VS
详细描述
该医院采用DEA算法对其医疗服务进行效率评价，发现部分科室在人力资源和设备资源配置方面存在不足，影响了医疗服务质量。医院针对这些问题，优化了资源配置，加强了医护人员的培训和管理，提高了医疗服务效率。
05 DEA算法的案例分析
案例一：某制造企业的生产效率评估
总结词
通过DEA算法，评估某制造企业的生产效率，发现企业在某些方面存在效率低下的问题，提出改进措施。
详细描述
该制造企业使用DEA算法对其生产过程进行效率评估，发现其原材料采购、生产流程和仓储管理等方面存在效率低下的问题。针对这些问题，企业采取了优化采购策略、改进生产流程和加强仓储管理等措施，提高了整体生产效率。

运筹学第2章线性规划的图解法

管理运筹学
朱晓辉管理科学与工程
管理运筹学
2-1
第二章线性规划的图解法
教学目标：
• 掌握线性规划的数学模型，能够结合问题列出模型
• 理解图解法求解 • 了解图解法的灵敏度分析
管理运筹学
2-2
第二章线性规划的图解法
• §1 问题的提出 • §2 图解法 • §3 图解法的灵敏度分析
管理运筹学
管理运筹学
2-8
§2 图解法
对于只有两个决例1.目标函数：
策变量的线性规划问
Max z = 50 x1 + 100 x2
题，可以在平面直角约束条件：
坐标系上作图表示线性规划问题的有关概念，并求解。
下面通过例1详细讲解其方法：
s.t.
x1 + 2 x1 +
x2 ≤ 300 (A) x2 ≤ 400 (B) x2 ≤ 250 (C) x1 ≥ 0 (D) x2 ≥ 0 (E)
2-3
第二章线性规划的图解法
在管理中一些典型的线性规划应用: • 合理利用线材问题：如何在保证生产的条件下，下料最少 • 配料问题：在原料供应量的限制下如何获取最大利润 • 投资问题：从投资项目中选取方案，使投资回报最大 • 产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，使获利最
大 • 劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要 • 运输问题：如何制定调运方案，使总运费最小
• 一般形式:
目标函数：
约束条件：
Max （Min） z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn
s.t. aa…x2m11a…1，1xx111xx++21a，+a2…m2a…2…1x2x2，x2+2+x…+n……+≥+a+0a2nam1xnnnxxnn≤≤（≤（（==, =,≥,≥）≥））bb2bm1

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P17 例二输入如下min=2*x1+3*x2;x1+x2>=350;x1>=125;2*x1+x2<=600;输入结果如下Global optimal solution found.Objective value: 800.0000Total solver iterations: 2Variable Value Reduced CostX1 250.0000 0.000000X2 100.0000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 800.0000 -1.0000002 0.000000 -4.0000003 125.0000 0.0000004 0.000000 1.000000灵敏度分析结果如下Ranges in which the basis is unchanged:Objective Coefficient RangesCurrent Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease X1 2.000000 1.000000 INFINITY X2 3.000000 INFINITY 1.000000 Righthand Side RangesRow Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease2 350.0000 125.0000 50.000003 125.0000 125.0000 INFINITY4 600.0000 100.0000 125.0000 P11 例一输入如下max=50*x1+100*x2;x1+x2<=300;2*x1+x2<=400;x2<=250;输出结果如下Global optimal solution found.Objective value: 27500.00Total solver iterations: 1Variable Value Reduced CostX1 50.00000 0.000000X2 250.0000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 27500.00 1.0000002 0.000000 50.000003 50.00000 0.0000004 0.000000 50.00000灵敏度分析结果如下Ranges in which the basis is unchanged:Objective Coefficient RangesCurrent Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease X1 50.00000 50.00000 50.00000 X2 100.0000 INFINITY 50.00000 Righthand Side RangesRow Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease2 300.0000 25.00000 50.000003 400.0000 INFINITY 50.000004 250.0000 50.00000 50.00000 P181 习题1（3）输入如下max=7*x1+9*x2+3*x3;-x1+3*X2+X3<=7;7*X1+X2+3*X3<=38;@gin(x1);@bin(x3);输出结果如下Global optimal solution found.Objective value: 62.00000Extended solver steps: 0Total solver iterations: 17Variable Value Reduced CostX1 5.000000 56.00000X2 3.000000 0.000000X3 0.000000 24.00000Row Slack or Surplus Dual Price1 62.00000 1.0000002 3.000000 0.0000003 0.000000 9.000000P153 习题1 输入如下model:!3发点4收点运输问题;sets:warehouses/wh1..wh3/: capacity;vendors/v1..v4/: demand;links(warehouses,vendors): cost, volume;endsets!目标函数;min=@sum(links: cost*volume);!需求约束;@for(vendors(J):@sum(warehouses(I): volume(I,J))=demand(J));!产量约束;@for(warehouses(I):@sum(vendors(J): volume(I,J))=capacity(I));!这里是数据;data:capacity=300 400 500; !（和：1200）;demand=400 250 350 200; !（和：1200）;cost=21 17 23 25 10 15 30 19 23 21 20 22;enddataend（1）输出结果如下Global optimal solution found.Objective value: 19800.00Total solver iterations: 3Variable Value Reduced Cost CAPACITY( WH1) 300.0000 0.000000 CAPACITY( WH2) 400.0000 0.000000 CAPACITY( WH3) 500.0000 0.000000 DEMAND( V1) 400.0000 0.000000 DEMAND( V2) 250.0000 0.000000 DEMAND( V3) 350.0000 0.000000 DEMAND( V4) 200.0000 0.000000 COST( WH1, V1) 21.00000 0.000000 COST( WH1, V2) 17.00000 0.000000 COST( WH1, V3) 23.00000 0.000000 COST( WH1, V4) 25.00000 0.000000 COST( WH2, V1) 10.00000 0.000000 COST( WH2, V2) 15.00000 0.000000 COST( WH2, V3) 30.00000 0.000000 COST( WH2, V4) 19.00000 0.000000 COST( WH3, V1) 23.00000 0.000000 COST( WH3, V2) 21.00000 0.000000 COST( WH3, V3) 20.00000 0.000000 COST( WH3, V4) 22.00000 0.000000 VOLUME( WH1, V1) 0.000000 5.000000 VOLUME( WH1, V2) 250.0000 0.000000 VOLUME( WH1, V3) 0.000000 0.000000 VOLUME( WH1, V4) 50.00000 0.000000 VOLUME( WH2, V1) 400.0000 0.000000 VOLUME( WH2, V2) 0.000000 4.000000 VOLUME( WH2, V3) 0.000000 13.00000 VOLUME( WH2, V4) 0.000000 0.000000 VOLUME( WH3, V1) 0.000000 10.00000 VOLUME( WH3, V2) 0.000000 7.000000 VOLUME( WH3, V3) 350.0000 0.000000 VOLUME( WH3, V4) 150.0000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price1 19800.00 -1.0000002 0.000000 9.0000003 0.000000 8.0000004 0.000000 2.0000005 0.000000 0.0000006 0.000000 -25.000007 0.000000 -19.000008 0.000000 -22.00000 （2）Global optimal solution found.Objective value: 19050.00Total solver iterations: 6Variable Value Reduced Cost CAPACITY( WH1) 300.0000 0.000000 CAPACITY( WH2) 600.0000 0.000000 CAPACITY( WH3) 500.0000 0.000000 DEMAND( V1) 400.0000 0.000000 DEMAND( V2) 250.0000 0.000000 DEMAND( V3) 350.0000 0.000000 DEMAND( V4) 200.0000 0.000000 COST( WH1, V1) 21.00000 0.000000 COST( WH1, V2) 17.00000 0.000000 COST( WH1, V3) 23.00000 0.000000 COST( WH1, V4) 25.00000 0.000000 COST( WH2, V1) 10.00000 0.000000 COST( WH2, V2) 15.00000 0.000000 COST( WH2, V3) 30.00000 0.000000 COST( WH2, V4) 19.00000 0.000000 COST( WH3, V1) 23.00000 0.000000 COST( WH3, V2) 21.00000 0.000000 COST( WH3, V3) 20.00000 0.000000 COST( WH3, V4) 22.00000 0.000000 VOLUME( WH1, V1) 0.000000 9.000000 VOLUME( WH1, V2) 250.0000 0.000000 VOLUME( WH1, V3) 0.000000 3.000000 VOLUME( WH1, V4) 0.000000 4.000000 VOLUME( WH2, V1) 400.0000 0.000000 VOLUME( WH2, V2) 0.000000 0.000000 VOLUME( WH2, V3) 0.000000 12.00000 VOLUME( WH2, V4) 200.0000 0.000000 VOLUME( WH3, V1) 0.000000 11.00000 VOLUME( WH3, V2) 0.000000 4.000000 VOLUME( WH3, V3) 350.0000 0.000000 VOLUME( WH3, V4) 0.000000 1.000000 Row Slack or Surplus Dual Price1 19050.00 -1.0000002 0.000000 -12.000003 0.000000 -17.000004 0.000000 -20.000005 0.000000 -21.000006 50.00000 0.0000007 0.000000 2.0000008 150.0000 0.000000 （3）Global optimal solution found.Objective value: 19600.00Total solver iterations: 5Variable Value Reduced Cost CAPACITY( WH1) 300.0000 0.000000 CAPACITY( WH2) 400.0000 0.000000 CAPACITY( WH3) 500.0000 0.000000 DEMAND( V1) 550.0000 0.000000 DEMAND( V2) 250.0000 0.000000 DEMAND( V3) 350.0000 0.000000 DEMAND( V4) 200.0000 0.000000 COST( WH1, V1) 21.00000 0.000000 COST( WH1, V2) 17.00000 0.000000 COST( WH1, V3) 23.00000 0.000000 COST( WH1, V4) 25.00000 0.000000 COST( WH2, V1) 10.00000 0.000000 COST( WH2, V2) 15.00000 0.000000 COST( WH2, V3) 30.00000 0.000000 COST( WH2, V4) 19.00000 0.000000 COST( WH3, V1) 23.00000 0.000000 COST( WH3, V2) 21.00000 0.000000 COST( WH3, V3) 20.00000 0.000000 COST( WH3, V4) 22.00000 0.000000 VOLUME( WH1, V1) 50.00000 0.000000 VOLUME( WH1, V2) 250.0000 0.000000 VOLUME( WH1, V3) 0.000000 4.000000 VOLUME( WH1, V4) 0.000000 4.000000 VOLUME( WH2, V1) 400.0000 0.000000 VOLUME( WH2, V2) 0.000000 9.000000 VOLUME( WH2, V3) 0.000000 22.00000 VOLUME( WH2, V4) 0.000000 9.000000 VOLUME( WH3, V1) 0.000000 1.000000 VOLUME( WH3, V2) 0.000000 3.000000 VOLUME( WH3, V3) 350.0000 0.000000 VOLUME( WH3, V4) 150.0000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price1 19600.00 -1.0000002 100.0000 0.0000003 0.000000 4.0000004 0.000000 2.0000005 50.00000 0.0000006 0.000000 -21.000007 0.000000 -10.000008 0.000000 -22.00000。