数字滤波器的各种形式及应用

2) 幅频特性相同的所有因果稳定系统中， 幅频特性相同的所有因果稳定系统中， 最小相位系统的相位延迟最小。 最小相位系统的相位延迟最小。 物理意义：时域响应 物理意义：时域响应 波形延迟最小。 的初值定理可证。 波形延迟最小。|hmin(0)|>|h(0)|; 用ZT的初值定理可证。 的初值定理可证 能量延迟最小。 ≥ 能量延迟最小。E(m)min= ∑ h2min(n)≥ n=0
π 根据幅频特性与H(z)零极点的关系，在某个零点zk＝ej2πk/N 零极点的关系，在某个零点 根据幅频特性与 零极点的关系
处设置极点p 系统函数： 处设置极点 k＝zk，系统函数：H(z)＝(1-z-N)/(1-pkz-1)， ＝ ， 以ωk＝2πk/N为中心，具有带通特性。 π 为中心，具有带通特性。 为中心 带通特性 根据ω 的取值，可实现LPF,BPF,HPF。 根据ωk的取值，可实现 。
eM kM kM rM y(n)
由直接型的系数h(n)求格型的系数（又称反射系数） 求格型的系数（又称反射系数） 由直接型的系数 求格型的系数 有递推公式，较繁。 有递推公式，较繁。P232. 式(8.2.8b)， (8.2.10), ， 利用Matlab函数可以方便地获得： 函数可以方便地获得： 利用 函数可以方便地获得 h＝[1,h1,h2,…hN] 直接型的系数，h(0)=1,归一化的 ＝ 直接型的系数， 归一化的 k＝[k1,k2,…kN] ＝ 格型的系数， 反射系数） 格型的系数，（反射系数）， tf2latc（h,1） 可得格型网络的系数 。 （ ） 可得格型网络的系数k。 2 全极点（IIR）格型网络 全极点（ ） 网络结构P234,图8.2.4 图 网络结构
m
E(m)= ∑ h2(n)； ；
n=0
m
同样长响应的积累能量 积累能量E(m) ，最小相位系统的大， 最小相位系统的大， 同样长响应的积累能量 能量集中在n小的时段 ， 能量延迟小； 可证。 能量集中在 小的时段，能量延迟小 ； 用 Parseval可证 。 小的时段 可证
3) 最小相位系统的逆系统存在。 最小相位系统的逆系统存在。 因果稳定的最小相位系统： 因果稳定的最小相位系统：H(z)=B(z)/A(z); 其逆系统： 其逆系统： Hinv(z)=1/H(z)=A(z)/B(z) 亦是因果稳定的____存在 存在. 亦是因果稳定的 存在 信道均衡器” “信道均衡器”近似是信道滤波器的逆滤波器。 信道均衡器 近似是信道滤波器的逆滤波器。
给定3个因果稳定系统 例8.1 (P260,problem 3)给定 个因果稳定系统：p1＝－ 给定 个因果稳定系统： ＝－0.9; p2＝0.9; r＝0.5, ϕ＝π/3。 ＝ 。 写出系统函数H1(z), H2(z), H3(z)的表达式； 写出系统函数 的表达式； 的表达式 绘出其幅频特性、相频特性、单位脉冲响应 绘出其幅频特性、相频特性、单位脉冲响应h1(n)、h2(n)、 、 、 h3(n)波形及相应的积累能量曲线。验证最小相位系统性质。 波形及相应的积累能量曲线。 波形及相应的积累能量曲线 验证最小相位系统性质。
e0 x(n) r0 z － 1
x(n) Z－ 1 h(0)
M阶FIR： H(z)＝A(z)= ∑ h(i)z－i 阶 ： ＝
i=0 Z－ 1
M
Z－ 1 h(2)
Z－ 1
Z－ 1 h(M) y(n)
h(1)
h(M-1)
e1 k1 k1 r1 z － 1
e2 k2 k2 r2 z－ 1
eM－1 － kM-1 kM-1 z－ 1 rM－1 －
例8.2. a)
给定FIR的差分方程： 的差分方程： 给定 的差分方程 y(n)=x(n)－1.7x(n-1)+1.53x(n-2)－0.648x(n-3)。 － － 。 求其格型系数，并画出格型结构图。 求其格型系数，并画出格型结构图。
解：取ZT，系统函数： ，系统函数： H(z)=Y(z)/X(z)=1－1.7z-1+1.53z-2－0.648z-3 － run eg8_2.m,得：ka =[-0.7026，0.7385，-0.6480] 得 ， ，
π π 解：H1(z)＝(1-0.5ejπ/3z-1)2(1-0.5e-jπ/3z-1)2/(1-0.81z-2) ＝ π π H2(z)＝(1/4)(1-0.5ejπ/3z-1)(1-0.5e-jπ/3z-1) ·… ＝ π π (1-2ejπ/3z-1)(1-2e-jπ/3z-1)/(1-0.81z-2) π π H3(z)＝(1/16)(1-2ejπ/3z-1)2(1-2e-jπ/3z-1) 2/(1-0.81z-2) ＝
Chapter 8
—各种形式及应用 各种形式及应用
8.1 Special Digital Filters 8.1.1. All Pass filter 1.定义： 定义： 定义 2. 零极点的分布规律： 零极点的分布规律：
8.1.2. 最小相位系统： 最小相位系统： 1. 定义： 定义： 因果稳定系统H(z)：极点必在单位圆内。 H(z)的 ：极点必在单位圆内。 因果稳定系统 必在单位圆内 的 所有零点亦均在单位圆内， 最小相位系统 系统” 所有零点亦均在单位圆内， “最小相位系统” Hmin(z) 亦均在单位圆内 所有零点均在单位圆外， 所有零点均在单位圆外， 均在单位圆外 2. 最小相位系统的特点： 最小相位系统的特点 特点： 1)任何非最小相位系统 H(z)＝Hmin(z)·Hap(z) 任何非最小相位系统 ＝ 应用： 应用： 将系统位于单位圆外的零（ 将系统位于单位圆外的零（极）点zk， 用其共轭倒数1/z 代替时 系统幅频特性不变 代替时， 幅频特性不变； 用其共轭倒数 k*代替时，系统幅频特性不变； 将非最小相位系统位于单位圆外的所有零点z0k 最小相位系统位于单位圆外的所有零点 用其共轭倒数1/z 代替 代替(k＝ 用其共轭倒数 0k*代替 ＝1,2,…,m0)，可得最小相位 ， 系统。且幅频特性不变。 系统。且幅频特性不变。 “级联”。 级联” 级联 “最大相位系统” Hmax(z) 最大相位系统” 系统
ω |HLP,HP(ejω)|=|sin(ωN/2)/sin(ω/2)|k， ω ω
k：根据通、阻带参数确定的常数。 ：根据通、阻带参数确定的常数。
ω |HBP(ejω)|=|cos(ωN/2) / [cos (ω)－cosω0]| k ω ω－ ω
根据要求的中心频点，及其相邻“梳齿”的峰值频率可 根据要求的中心频点，及其相邻“梳齿”的峰值频率可 选择N 选择 (i.e. ω0), k. 优点：结构简单，处理速度快。 优点：结构简单，处理速度快。
2) 特点：但为使系统函数是整系数，对消复数零点（其共轭也 特点：但为使系统函数是整系数，对消复数零点 复数零点（ 是零点） 是零点）时，应同时取相应的一对复共轭极点。 应同时取相应的一对复共轭极点。
系数为整数，要求 系数为整数，要求2cos(2πk/N)=1,0,-1, π 设计的BPF通带中心只能是π/3, π/2, 2π/3。受限制。 通带中心只能是π 设计的 通带中心只能是 π 。受限制。 3) 幅频特性： 幅频特性：
x(n) 0.648 -0.739 0.739 z－ 1 0.703 -0.703 z－ 1 z－ 1 y(n)
8.3.整系数数字滤波器 整系数数字滤波器 滤波器的提出：满足滤波器实时性和实现简单的要求。 滤波器的提出：满足滤波器实时性和实现简单的要求。 幅频特性要求不高。 幅频特性要求不高。 1. 建立在多项式拟合基础上的简单整系数滤波器 建立在多项式拟合基础上的简单整系数滤波器 多项式拟合基础 实现整系数LPF, 可用于滤除高频噪声。 可用于滤除高频噪声。 实现整系数 2. 建立在零极点对消基础上的简单整系数滤波器 建立在零极点对消基础上的简单整系数滤波器 零极点对消基础 1) 思想：以整系数的梳状滤波器为原型， 思想：以整系数的梳状滤波器为原型，
2 0 -2 -4 -6 -8 -10 -12 -14 0
) φ1(ω ) φ2(ω ) φ3(ω
0.5 ω /π
1
φ(ω) / rad
|H ω)| (e
j
0.5 ω /π
1
H1=Hmin, H2=mixed, H3=Hmax的幅度、相位特性。 的幅度、相位特性。
Ac c u m u la te d E n e rg y , E (M )=s u m (|h (n )| ) 14 12 10 8 6 4 2 0
H2(z)、 H3(z)的系数是为了保证 个系统幅频特性相同。 是为了保证3个系统幅频特性相同。 、 的系数是为了保证 个系统幅频特性相同 可由|H 可由 1(ej0) |=|H2(ej0)|＝ |H3(ej0)| ＝ 确定。 确定。
18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 0
H (ejω) 1 H (ejω) 2 H (ejω) 3
2
E(M)
E 1 (M ) E 2 (M ) E 3 (M ) 0 10 20 30 40 S a m p le d a ta s M 50 60
H1=Hmin, H2=mixed, H3=Hmax的积累能量特性。 的积累能量特性。
8.2 Lattice Structure Form Filter * Features：Robust to finite length of Registers. ： *Applications：Power Spectra estimation； ： ； Speech processing, Auto-adaptive filtering, Linear Prediction, Invers-filtering 1 全零点（FIR）格型网络 全零点（ ） 直接型： 直接型： 格型： 格型：
x(n) -0.703 -0.703 z－ 1 x(n) z－ 1 0.739 0.739 z－ 1 y(n) -0.648